Universidade Estadual de Londrina

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1 Uversdade Estadual de Lodra Programa de Mestrado e Doutorado em Mcrobologa Profa. Dra. Aa Verga Lbos Messett LONDRINA 06

2 SUMÁRIO. Aálse exploratóra de dados...0. Itervalo de cofaça e Teste... Hpótese 3. Testes de Hpóteses para duas amostras Testes ão paramétrcos Correlação e regressão Esao Iteramete Casualzado Deleameto em Blocos Quadrado lato Artgo Referêcas bblográfcas...39

3 AULA ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS. Itrodução - Em uma pesqusa é mportate ter em mete três aspectos: plaeameto, execução e dvulgação. O plaeameto é a fase cal que correspode à defção do tema, os obetvos, a forma de aálse dos dados, ou sea, é o deleameto de todo o proeto de pesqusa. É a fase mas mportate detre as três fases para se obter um resultado mas precso. É mportate evdecar que executarmos uma pesqusa com um plaeameto mal feto ou mesmo se os dados ão forem coletados de maera aproprada, aparecerá um resultado que ão correspode à realdade ou até mesmo mpossível de ser aalsada e etão esses dados se torarão útes. Depededo do problema a ser aalsado e dos obetvos da pesqusa podemos realzar uma pesqusa observacoal ou uma pesqusa expermetal: A pesqusa observacoal é aquela em que as característcas de uma população serão levatadas, observadas ou meddas, sem a sua mapulação. Como exemplo, tem-se o ceso demográfco, pesqusas eletoras, speção de qualdade. Nas pesqusas expermetas, grupos de dvíduo, amas ou obetos, serão mapulados para se avalar o efeto de dferetes tratametos. É o caso de se verfcar as reações a aplcação de medcametos ode exste um grupo cotrole e o grupo expermetal.. Defção e Classfcação da Estatístca: Hoe em da a estatístca evolve toda a elaboração que va desde o plaeameto e a coleta dos dados até a aálse e terpretação dos resultados. Assm, essa elaboração evolve o tratameto dos dados de dferetes maeras de torá-los compreesíves. Defção: Estatístca é uma parte da matemátca aplcada que forece métodos para coleta, a orgazação, a descrção, a aálse e a terpretação de dados e a utlzação desses dados para a tomada de decsão. Classfcação: - Estatístca descrtva; - Estatístca dutva. a. Estatístca descrtva: é aquela que tem por obetvo descrever e aalsar determada população ou amostra, sem preteder trar coclusões. Exemplo: taxa de desemprego, ídce de mortaldade e ataldade. b. Estatístca dutva: é aquela que cosste em obter e geeralzar coclusões para um todo (população) partdo de resultados partculares (amostra). Exemplo: pesqusa eletoral..3 Classfcação das Varáves Ao fazer um estudo estatístco de um determado fato ou grupo, tem-se que cosderar o tpo de varável. Pode-se ter varáves qualtatvas e varáves quattatvas. As varáves qualtatvas são aquelas que descrevem os atrbutos de um dvíduo, por exemplo: sexo, estado cvl, grau de strução, etc. Já as varáves quattatvas são as proveetes de uma cotagem de mesuração, por exemplo: dade, saláro, peso, altura, etc.

4 As varáves qualtatvas como as quattatvas dvdem-se em dos tpos: Varáves Tpos Descrção Exemplos Qualtatvas ou Categórcas Nomal Ordal Não exste ehuma ordeação. Exste uma ordeação I, II, III. Cor dos olhos, sexo, estado cvl. Nível de escolardade, estágo da doeça. Quattatvas Dscretas Cotíuas Valor pertece a um couto eumerável. Quado o valor pertece a um tervalo real. Número de flhos por casal, úmero de eletores. Medda de altura e peso, taxa de glcose..4 População e amostra População ou Uverso: é um couto de elemetos sobre o qual deseamos pesqusar. Exemplo: Aluos do curso de Fsoterapa da UEL, úmero de mcrorgasmos de um lago. Amostra: e um subcouto da população, cuos elemetos são retrados segudo algum crtéro. Exemplo: Aluos do prmero ao de Fsoterapa da UEL. Ceso e Amostragem Ceso: é o estudo de todos os elemetos da população. Exemplo: Altura de todos os aluos de Bologa da UEL Amostragem: é a parte da estatístca que esa obter amostras represetatvas de uma população. A faldade da amostragem é fazer geeralzação sobre todo o grupo sem precsar examar cada um de seus elemetos. Quado se desea colher formações sobre um ou mas aspectos de um grupo grade ou umeroso, verfca-se, mutas vezes, ser pratcamete mpossível fazer um levatameto do todo. Desse modo, há a ecessdade de vestgar apeas uma parte dessa população ou uverso. É compreesível que o estudo de todos os elemetos da população possblta precso cohecmeto das varáves que estão sedo pesqusadas; todava, em sempre é possível obter as formações de todos os elemetos da população. Tora-se claro que a represetatvdade da amostra depederá do seu tamaho (quato maor, melhor) e de outras cosderações de ordem metodológca. Isto é, o vestgador procurará acercar-se de cudados, vsado à obteção de uma amostra sgfcatva, ou sea, que de fato represete o melhor possível toda a população..5 Cocetos Báscos Parâmetros - Meddas que descrevem certa característca dos elemetos da população. Estatístca - Meddas que descrevem certa característca dos elemetos da amostra. Estmatva Valor resultate do cálculo de uma estatístca..6 Meddas Descrtvas - (Comparado População e Amostra) Méda, Varâca e Desvo-padrão para valores populacoas e amostras. a) Sea a população: P = {X ; X ; X 3 ;...; X N }, logo:

5 A méda artmétca populacoal ( ) é: N x ode =,,..., N. N A varâca populacoal ( ) é: N X N X N V ( X ) ou V ( X ) N N ( X N X ) Desvo-padrão populacoal ( ) é: = b) Sea a amostra: A = {x ; x ; x 3 ;...; x }, logo: A méda artmétca amostral ( ) é:, ode =,,...,. A varâca amostral (s ) é: s x x ou s ( x x) Desvo-padrão amostral (s) é: s = s ESTATÍSTICA DESCRITIVA.7 - Tabelas - A apresetação tabular é a forma de se utlzar tabelas para apresetar os dados coletados, com o obetvo de stetzar as observações, facltado sua letura e compreesão. Elemetos compoetes das tabelas estatístcas As tabelas estatístcas são costtuídas por elemetos essecas e elemetos complemetares. Elemetos essecas da tabela - Os elemetos essecas de uma tabela estatístca são: título, corpo, cabeçalho e colua dcadora. Título: O título é a dcação que precede a tabela e que cotém a desgação do fato observado, o local e a época em fo regstrado. Corpo: É o couto de coluas e lhas que cotém, respectvamete, em ordem vertcal e horzotal, as formações referete ao fato observado. Cabeçalho: É a parte superor da tabela que especfca o coteúdo das coluas. Colua dcadora: É a parte da tabela que especfca o coteúdo das lhas. Uma tabela pode ter mas de uma colua dcadora. Elemetos complemetares da tabela - Os elemetos complemetares de uma tabela estatístca são: fote, ota e chamadas, e se stuam o rodapé da tabela. Fote: A fote é a dcação da etdade resposável pelo forecmeto dos dados ou pela sua elaboração. Notas: São as formações de atureza geral, destadas a cocetuar ou esclarecer o coteúdo das tabelas, ou a dcar a metodologa adotada o levatameto ou a elaboração dos dados. 3

6 Chamadas: São as formações de atureza específca referetes às determadas partes da tabela, destadas a cocetuar ou esclarecer dados. As chamadas são dcadas o corpo da tabela com algarsmos arábcos, etre parêteses..8 Gráfcos (Varável qualtatva) - É a represetação de dados ou formações através de desehos, fguras ou mages. Exstem dversas formas de apresetação gráfca, fcado a escolha codcoada à atureza do feômeo a represetar e ao crtéro do aalsta. Dar-se-á um maor efoque àquelas formas gráfcas utlzadas a represetação de dados estatístcos. A faldade prcpal de apresetar os dados grafcamete é proporcoar ao teressado uma vsão rápda do comportameto do feômeo, poupado tempo e esforço a compreesão dos dados. A represetação gráfca de um feômeo deve obedecer a certos requstos fudametas como: smplcdade, clareza e veracdade. Algus tpos de gráfcos Gráfcos de coluas: São aqueles em que as varações quattatvas de uma ou mas varáves são represetadas por coluas sucessvas, todas com bases guas, mas com dferetes alturas, as quas são proporcoas às freqüêcas das varáves cofrotadas, dspostos vertcalmete. Gráfcos de barras - São semelhates ao de coluas, ode os retâgulos são dspostos horzotalmete. Gráfcos em lhas - Este gráfco represeta alterações quattatvas sob a forma de uma lha olgoal ou curva estatístca, que tora mas vsível o adameto do feômeo. Gráfcos em setores - São gráfcos que descrevem o fato através de setores em uma crcuferêca, cua faldade é represetar um fato utamete com todas as partes que o mesmo se subdvde. Gráfcos de coluas múltplas - São gráfcos que permtem comparar dversas varáves smultaeamete. Caracterza-se por apresetar duas ou três coluas represetatvas de varáves um mesmo período de tempo, sem espaço etre s, formado coutos de coluas, exstdo espaço etre os coutos. O obetvo é fazer comparação. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS.9 Dstrbução de frequêca: Dstrbução de frequêca costtu-se, portato, as repetções agrupadas dos valores da varável. Vsa facltar o trabalho estatístco permtdo melhor compreesão dos feômeos. Quado se trabalha com poucos valores, os cálculos podem ser realzados dretamete, sem maores dfculdades. Para varável cotíua costuma-se dstrbur os dados em classes ou categoras, e determar o úmero pertecete a cada uma das classes, deomado a freqüêca da classe (f). Dados brutos: é o couto de dados umércos apresetados da maera que foram coletados. Rol: é o arrao dos dados brutos em ordem crescete ou decrescete. Ampltude total (At): é a dfereça etre o maor e o meor valor observado. At = Xmax Xm Número de classes (K): é a quatdade de classes ecessáras para represetar os dados. Regra de Sturges : k = + 3,3 log, é o tamaho da amostra k 36 6 exemplo se = 36 for o tamaho da amostra. Ampltude das classes (h): é o quocete etre a ampltude total (At) e o úmero de classes (k), sto é: h = At / k Lmtes das classes: L ---- Ls, L é o lmte feror e o elemeto pertece à classe. Ls é o lmte superor e o elemeto ão pertece à classe. 4

7 * Potos médos das classes (X): é a méda etre o lmte superor e o lmte feror da classe. x = (Ls + L)/ * Freqüêca acumulada crescete (Fac) ou abaxo de : é a soma das freqüêcas dos valores ferores ou gual ao valor dado, sto é; Fac = f * Freqüêca relatva (fr): é a porcetagem do valor a amostra e é dado por: fr = f /; fr (%) = (f /)00 Gráfcos - Gráfco Estatístco: é uma forma de apresetação dos dados estatístcos, cuo obetvo é o de produzr, o vestgador ou o públco em geral, uma mpressão mas rápda e vva do feômeo em estudo. Represetação Gráfca de uma Dstrbução de Freqüêca: Uma dstrbução de freqüêca pode ser represetada grafcamete pelo hstograma ou polígoo de frequêca. Hstograma: é a represetação gráfca de uma dstrbução de freqüêca por meo de retâgulos ustapostos. Outros Gráfcos para varáves quattatvas Ramos e folhas O ramo são formados pelos teros dos úmeros e as folhas são formados pelos decmas. Box plot Gráfco de caxa formado por 5 úmeros: Valor mímo, prmero quartl, medaa, tercero quartl e valor máxmo. MEDIDAS DESCRITIVAS: Meddas de posção Itrodução: As meddas de posção são deomadas de meddas de tedêca cetral, pos represetam os feômeos pelos seus valores médos em toro dos quas tedem a cocetrarem-se os dados..0 Meddas de posção: Méda artmétca; Moda; Medaa Méda Artmétca - A méda artmétca de uma amostra é o couto de valores x, x,..., x represetado por é defdo por: x x x x Medaa (Med) - È o valor que dvde a amostra ou população em duas partes guas. 0% 50% 00% Med A medaa é o valor que ocupa a posção cetral da amostra ordeada (crescete ou decrescete). Isto é, dvde a amostra em duas partes guas de modo que 50% dos valores fcam à sua esquerda e 50% à sua dreta. Ou A ordem da medaa, dcada pela letra O, será: a) Se for ímpar: O e Md = X (o) x 5

8 Exemplo: X = { }; Md = 5. b) Se for par, calculam-se duas ordes: O e O e Md = [X (O) + X (O) ] /. Exemplo: Y={ }; Md = = 5.5 Moda (MO) - Deomamos Moda o valor que ocorre com maor freqüêca em uma sére de valores. A moda é classfcada da segute maera: Amodal: quado os dados ão apresetam moda; Modal: apreseta uma moda; Bmodal: quado os dados apresetam duas modas; Multmodal: quado os dados apresetam mas de duas modas. A moda comparada com a méda e a medaa, é a meos útl das meddas para represetar os dados. A moda é útl quado um ou dos valores, ou um grupo de valores, ocorrem com freqüêca muto maor que os outros valores.. Separatrzes - Como vmos, a medaa caracterza uma sére de valores devdo a sua posção cetral. Porém, ela apreseta uma característca, tão mportate quato à prmera: é que ela separa a sére em dos grupos que apresetam o mesmo úmero de valores. Os Quarts, Decs e Percets utamete com a Medaa são cohecdas pelo ome geérco de Separatrzes. Quarts Deomamos Quarts os valores de uma sére que a dvdem em quatro partes guas. 0% 5% 50% 75% 00% Q Q Q 3 Q = 0 quartl, dexa 5% dos elemetos; Q = 0 quartl, coecde com a medaa,dexa 50% dos elemetos; Q3 = 3 0 quartl, dexa 75% dos elemetos; Decs- Deomamos Decs os valores de uma sére que a dvdem em 0 partes guas. Percets - Deomamos Percets os valores de uma sére que a dvdem em 00 partes guas. Forma resumda: Quarts, Decs e Percets para dados ão agrupados..( ) Para ímpar - A ordem do quartl (=, ou 3) é dada por e o valor é localzado o rol. 4.. Para par - O quartl será a méda dos dos elemetos de ordes: e. 4 4.( ) Para ímpar - A ordem do decl ( =,,...,9) é dada por e o valor é localzado o rol. 0.. Para par - O decl será a méda dos dos elemetos de ordes: e

9 .( ) Para ímpar- A ordem do percetl ( =,,...,99) é dada por e o valor é localzado o rol Para par- O percetl será a méda dos dos elemetos de ordes: e MEDIDAS DESCRITIVAS Meddas de Varabldade A sumarzação de um couto de dados, através de uma úca medda represetatva de posção cetral, escode toda a formação sobre a varabldade do couto de valores.. Meddas de varabldade Ampltude Total mede a ampltude dos dados; At = Xmax Xm Varâca: Cosderado o osso propósto de medr a dspersão dos valores em toro da méda, é teressate estudarmos o comportameto dos desvos de cada valor em relação à méda, sto é,, estaremos meddo a dspersão x x. Observem que, a determação de cada desvo d x x etre cada x e a méda x. Porém, se somarmos todos os desvos, tem-se x x) 0 d ou 0 (. Para cotorar o problema, resolveu-se cosderar o quadrado de cada desvo ( x x), evtado-se com sso que N N ( x ) N x (x N N N d 0 x) N. Assm, defu-se a varâca (populacoal) como: d N, se os dados ão são agrupados. s Para a varâca amostral, tem-se: N x N ( x ) N (x x) N d, se os dados ão são agrupados e Desvo-padrão: = para população e s = para a amostra. Coefcete de Varação - Trata-se de uma medda relatva da dspersão, útl para a comparação em termos relatvos do grau de cocetração em toro da méda de coutos de dados dsttos. É dado por: s C. V..00% população e C. V..00% amostra. x 7

10 Algus aalstas cosderam: C.V. < 5% Baxa dspersão e alta represetatvdade da méda artmétca 5% C.V. 30% Méda dspersão e méda represetatvdade da méda artmétca C.V. 30% Alta dspersão e ehuma represetatvdade da méda artmétca ATIVIDADE Aálse exploratóra de dados ) Pesquse e escreva a defção de Estatístca. Dê a referêca bblográfca. ) Apresete um artgo (título e autores) e retre as varáves observadas e classfque-as. 3) Varável qualtatva: Os dados são sobre resstêca à ferrugem de 3 híbrdos de mlho, classfcados como: resstetes (R), muto resstetes (MR), muto sesível (MS), sesível (S). Costrur uma tabela de frequêca smples e a frequêca relatva. Costrur um gráfco para represetar os dados da tabela abaxo. Tabela.- Resstêca à ferrugem de 3 híbrdos, localzados em Chapecó -RS Híbrdos Espéce Híbrdos Espéce Híbrdos Espéce Híbrdos Espéce R R MS 3 MR MR S S 3 MS 3 MS 3 MS 3 MS 4 R 4 S 4 R 5 S 5 R 5 S 6 MS 6 MR 6 MR 7 MR 7 R 7 MS 8 S 8 MS 8 R 9 R 9 S 9 R 0 MS 0 R 30 MR 4)Varável qualtatva - Represetar um gráfco para varável qualtatva pesqusada. Varável: Quatro espéces de formgas cortadera, localzadas as duas da praa da Joaqua, exstetes uma área delmtada 00m x 00m, coletada um determado da de verão Jaero S.C. Tabela.- Quatro espéces de formgas cortadera, localzadas a Joaqua, 008- SC Formga Espéce Formga Espéce Formga Espéce Formga Espéce C C B 3 A C A A 3 A 3 B 3 B 3 A 33 B 4 B 4 D 4 B 34 C 5 C 5 D 5 A 35 D 6 B 6 B 6 A 36 D 7 D 7 A 7 B 37 B 8 B 8 C 8 D 38 B 9 B 9 D 9 B 39 B 0 A 0 B 30 C 40 C 5) Varável quattatva: Os dados abaxo represetam 40 observações dos Dâmetros de Eucalptos com 8 aos de dade (metros). Esta é uma amostra ploto de Eucalptos da Floresta Tropcal Atlâtca, em Sato Amaro da Imperatrz, SC. 8

11 Tabela.3 Dâmetro de Eucalptos com 8 aos de dade a. Apresetar a tabela de dstrbução de frequêca completa. b. Costrur 4 gráfcos para esse tpo de varável. (Hstograma, Box-plot; Dagrama de Ramos- e o folhas e Dagrama de potos). c. Verfque se há dados dscrepates (outlers). Quatos outlers exstem esse couto de dados? Apresetar o resumo dos cco úmeros. d. Realze uma aálse exploratóra dos dados. méda, moda, medaa, coefcete de varação, prmero quartl e tercero quartl. Dscuta assmetra e curtose desta dstrbução. e. Aplque o teste de Shapro-Wlk para verfcar a ormaldade dos dados. f. Retre os potos dscrepates e aplque ovamete o teste de Shapro-Wlk e verfque ovamete a varabldade dos dados e a ormaldade dos dados. g. O que ocorreu com a retrada dos outlers? Compare as estmatvas dos coutos. 6) Foram tomadas duas amostras de tamahos guas a 5 observações, de crescmeto do pseudobulbo, em cm, da espéce de orquídea Laela purpurata, sob duas codções de lumosdade (com luz dreta e com luz dreta). Os dados estão apresetados a tabela abaxo: Tabela.4 - Dados de crescmeto do pseudobulho de Laela purpurata - Floraópols, SC.,6,6,9,9,,,,, Luz dreta,4,5,5,7 3,4 3,4 3,7 3,9 4, 4,8 6,3 6,5 7, 8,8 9,4 9,5 Luz dreta,4,9,8 3, 3,5 3,5 3,6 3,9 4,3 4,5 4,6 4,8 6,3 6,5 6,7 6,7 6,8 6,9 8, 8,6 0,4,7 6,3 6,8 6,9 a) Apresetar as meddas descrtvas: M. posção e M. dspersão para Luz dreta e Luz dreta b) Costrur o box-plot e os hstogramas para comparar os coutos e verfque se há outlers. c) Costrur o Dagrama de Ramo-e-folhas para Luz dreta e Luz dreta. d) O crescmeto do pseudobulbo dessa espéce é melhor com luz dreta ou dreta? e) Apresete o resumo dos 5 úmeros para Luz dreta e Luz dreta f) Aplque dos testes de Shapro Wlk para verfcar se as amostras são proveetes de uma população com dstrbução ormal, com ível de sgfcâca de 5%. 9

12 AULA - INTERVALO DE CONFIANÇA E TESTE DE HIPÓTESES Itrodução - Trata-se de uma técca para se fazer ferêca estatístca, ou sea, a partr de um tervalo de cofaça, costruído com os elemetos amostras, pode-se ferr sobre um parâmetro populacoal. A costrução de tervalos de cofaça fudameta-se as dstrbuções amostras. Se a partr de uma amostra procura-se obter um Itervalo de Cofaça P ] =-α com uma certa probabldade de coter o verdadero parâmetro populacoal. Quado se dz que o Itervalo de Cofaça cotém o verdadero parâmetro populacoal com uma probabldade - (ível de cofaça), será o ível de sgfcâca, ou sea, o erro que está se cometedo ao afrmar-se que, por exemplo, 95% do tervalo cotém. Esta técca dfereca-se da estmação por poto ode se calcula um úco valor (estmatva) para o parâmetro populacoal.. Itervalo de Cofaça para Proporção ou Probabldade P p P Quado > 30. Vmos que, P ~ N (p; pq/), logo Z. Portato, o tervalo para um p( p) ^ p P ível será: Etão: P Z Z Z P Z Z ^ ^ p( p) Para obter o tervalo acma é ecessáro o valor de p que é descohecdo. Como estamos admtdo > 30 pode-se substtur e ecotrar: ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ p( p) ^ p( p) P p Z P p Z IC (P, -α ) = [ ^ p ^ p( p) z ] ^ resumdo:. Itervalo de Cofaça para a Méda Populacoal (Não cohece varâca populacoal) Neste caso, precsa-se calcular a estmatva da varâca a partr da amostra. Trabalha-se etão com a dstrbução t de Studet, com graus de lberdade, sto é: x s s t, com (- t + ); portato: P[x t. x t. ] s s Valor do teste t tabelado: t tab ( ; ) logo resumdo IC(, ) [ x t. ] 0

13 TESTES DE HIPÓTESES PARA UMA AMOSTRA Decsões Estatístcas - Na prátca somos chamados com muta freqüêca a tomar decsões acerca de populações, baseados as formações das amostras. Essas decsões são deomadas decsões estatístcas. Pode-se desear decdr, com base em dados amostras, se um ovo soro é realmete efcaz a cura de uma doeça, se um processo educacoal é melhor do que outro e outras. Hpótese Estatístca - A Hpótese Estatístca é uma suposção ou afrmação relatva a uma ou mas populações, que pode ser verdadera ou falsa. Testes de Hpótese - Cosste em decdr se a hpótese é verdadera ou falsa. Assm, através de uma amostra testaremos a hpótese formulada e cocluremos se ela deve ser reetada ou aceta. As Hpóteses A hpótese laçada para ser reetada ou aceta é chamada de hpótese ula, deotada por Ho. A reeção de Ho leva a acetação de uma hpótese alteratva, represetada por H. Erros do Tpo I e II - Se uma hpótese for reetada quado deveram ser aceta, dz-se que fo cometdo um erro do Tpo I. se, por outro lado, for aceta uma hpótese que devera ser reetada, dz-se que fo cometdo um erro Tpo II. Em ambos os casos ocorreram uma decsão errada ou um erro de ulgameto. Nível de Sgfcâca - Ao testar uma hpótese estabelecda, a probabldade máxma com a qual estaremos dspostos a correr o rsco de um erro Tpo I é deomada ível de sgfcâca do teste. Essa probabldade, represetada frequetemete por, é geralmete especfcada ates da extração de quasquer amostras, de modo que os resultados obtdos ão fluecem a escolha. Se, por exemplo, é escolhdo um ível de sgfcâca 5%, o plaeameto de um teste de hpótese, há etão cerca de 5 chaces em 00, da hpótese ser reetada, quado devera ser aceta, sto é, há uma cofaça de cerca de 95% de que se tome uma decsão acertada. Tpos de Testes de Hpóteses.3 Teste para a Méda (cohece ) (a) Formulação das hpóteses Ho: = 0 vs H : 0 (a) > 0 (b) < 0 (c) a ) Nível de sgfcâca - Normalmete adota-se um valor de etre % a 0%. Estabelecer os valores crítcos Tabela Normal padrão / / Z / Z / -Z (a) (b) ( c ) Z

14 3 a ) Cálculo da estatístca teste ( Z x 0). 4 a ) Coclusão: Se a) Z Z cal Nao reeta Ho Z.4 Teste para a Méda (Não cohece b) Se Z cal Z Reeta-se Ho c) Se Z cal Z Reeta-se Ho. ) a ) Formulação das hpóteses Ho: = 0 vs H : a ) Nível de sgfcâca - Estabelecer os valores crítcos 0 (a) > 0 (b) < 0 (c) / / (a) (b) - t (c) Varável t tabelada: Teste blateral: t ( ; ) e Teste Ulateral: t ( ; ) 3 a ) Cálculo da estatístca teste = méda amostral t cal x s 0 = valor da hpótese ula s = desvo-padrão amostral = tamaho da amostra 4 a ) Coclusão: a) Se t tcal ão reeta-se Ho t t b) Se t cal Reeta-se Ho c) Se t cal t Reeta-se Ho.

15 Abordagem p-valor (ou probabldade de sgfcâca): é a formação sobre a força da evdêca cotra Ho obtda a partr dos dados. Isto é, é formado se o valor observado para a estatístca de teste que levou à reeção de Ho está próxma da frotera da regão crítca (RC) (baxa evdêca cotra H0) ou se está muto afastada da frotera (alta evdêca cotra Ho). Regra: Na prátca, reeta-se H 0 quado o p-valor é meor que o ível de sgfcâca, que represeta a probabldade de reeção devda da hpótese ula. Regra habtual: P >, ao reeta H 0 P, reeta-se H 0. ATIVIDADE Itervalos de Cofaça e Teste de Hpóteses para amostra ) Coletou-se uma amostra de 35 pexes de espéce Xeomelars brasless, a localdade praa da Barra da lagoa de SC, a qual apresetou 4 de pexes com comprmeto total acma de 50 mlímetros. Costrur um Itervalo de 90% de cofaça para verdadera proporção de pexes dessa espéce com comprmeto acma de 50 mm. Refaça com ível de cofaça de 99%. O que ocorreu com os tervalos quado dmuímos o ível de sgfcâca? O valor =35 pexes, é um bom tamaho de amostra? Dmesoe a amostra para um erro amostral máxmo de 0.05 e 0.5. Comete os resultados do dmesoameto da amostra. ) Para estudar a proporção de platas com uma vrose em um pomar de produção de semetes, em uma amostra com 800 platas fo tomada e todas as platas foram submetdas ao teste Elsa. Verfcou-se que 5 delas estavam fectadas. Obter o tervalo 95% de cofaça para a proporção de platas vrótcas do pomar de produção de semetes. 3) Um expermetador teressado em determar a espessura méda do córtex de um ourço do mar, empregou o procedmeto expermetal desevolvdo por Saka. A espessura do córtex do ovo fo medda em 0 ovos de ourços, obtedo-se os segutes resultados: OM = [ 4.5, 5., 6.,.6, 3., 3.7, 3.9, 4.6, 4.7, 4.]. Determe os tes abaxo. a- Estme a espessura méda do córtex do ovo de um ourço. b- Estme a espessura méda do córtex do ovo de um ourço, utlzado um tervalo de 95% de cofaça para a espessura méda dos dados. c- O que ocorre com o tervalo de cofaça de aumetarmos o ível de cofaça para 99% ou 97,5%? Qual sua opão? 4) Costrur o tervalo de 95% de cofaça para a méda do tempo de vda de um determado seto. Uma amostra de 40 setos fo acompahada até a morte e o tempo de vda de cada um deles fo regstrado. Os dados amostras seguem abaxo: Tabela. Tempo de vda dos setos (em das) Costrur o I.C. para a verdadera méda, adotado o ível de sgfcâca de %. 5) A área folar méda da espéce Laguculara racemosa do maguezal do barro Sata Moca, (ão poluído) é de cm com a varâca cohecda gual a 6cm 4. Espera-se que a área folar do maguezal do barro do Itacorub sea maor devdo à polução do ambete. Para verfcar se essa afrmação é verdadera coletou-se uma amostra de tamaho =0 folhas, do maguezal do Itacorub, cuos resultados foram: 3

16 AF= {39.4, 39.6, 39.9, 45.6, 45.6, 46., 46., 50., 50., 5.0, 5., 54.6, 54.8, 54.6, 55., 55., 55.5, 56., 66.3, 66.5}. Esses resultados trazem evdêcas estatístcas de que houve aumeto da área folar? Adote ível de sgfcâca 5% e assumr o desvo padrão populacoal cohecdo. 6) Teste p/ meda (t) Com os dados do exercíco.5 (tabela.), cosdere que a dstrbução do tempo de vda dos setos sea descohecda. Testar a hpótese de que os setos crados em laboratóro vvem meos em méda que aqueles que em seu habtat atural, que possuem tempo de vda médo de 4,5 das. Adote o ível de sgfcâca de 5%. AULA 3 - TESTE DE HIPÓTESE PARA DUAS AMOSTRAS Comparação de médas Caso com amostras 3. Teste t para duas amostras depedetes - (Varâcas guas) A formação de pares de elemetos smlares em sempre é vável. Uma alteratva é cosderar duas amostras depedetes. O teste para duas amostras depedetes, orudas de populações com dstrbução ormal, com médas ( ) e com varâcas ( e ) descohecdas e guas. Suposção básca: As observações são depedetes; Os dos grupos provêm de dstrbuções ormas; Os dos grupos possuem a mesma varâca. a ) Hpóteses : H 0 : vs H : ; H : ou H : a ) Nível de sgfcâca Valores crítcos: blateral t (+ -; ) e ulateral t ( + - ; ) 3 a ) Estatístca teste t calc = amostras é dada: ( x s x ( x x ) ) ode o estmador do desvo padrão da dfereça etre as médas ( ) S ( ) S S ( x x) : úmero observado a amostra ; : úmero observado a amostra S e S as varâcas amostras. 4 a ) Coclusão: A hpótese ula (H 0 : ) é reetada quado t calc, o valor da estatístca t, em valor absoluto fca: Regão crítca para teste ulateral: RC = {t ϵ R t calc > t } Regão crítca para teste blateral: RC = {t ϵ R t calc < ou t calc >+ t }. t 3. Teste t para duas amostras pareadas - O teste t é aproprado para comparar coutos de dados quattatvos, em termos de seus valores médos. 4

17 a ) Hpóteses : H 0 : vs H : ; H : H : H 0 : D 0 vs H : D 0; H : D 0 H : D 0 - valor esperado da resposta do tratameto - valor esperado da resposta do tratameto a ) Nível de sgfcâca - Valores crítcos: blateral t (-; ) e ulateral t (-; ) 3 a ) Estatístca teste t calc = d s d ode : tamaho da amostra; d : méda das dfereças e s d : desvo padrão das dfereças. 4 a ) Coclusão: Regão crítca para teste blateral: RC = {t ϵ R t calc < ou t calc >+ t }. Regão crítca para teste ulateral: RC = {t ϵ R t t calc > t } Teste F para comparação de duas varâcas populacoas - Comparação de varâcas Supoha que queremos comparar duas populações, supostamete com dstrbuções ormas, têm a mesma varâca. Formulam-se as hpóteses: a ) Ho: vs H : (teste blateral ) ou H : ; H : (teste ulateral) varâca da população ode : :var âca da população. 0 ) Nível de sgfcâca α e com graus de lberdade o umerador e - g.l. o deomador. Regão crítca: Blateral: F sup ( ; gl = -; gl = -) e F f (- ; gl = -; gl = -) = F f = ( gl; gl) s 3 0 ) Estatístca teste: f calc = s Ulateral à esquerda: F f [(- ); (gl; gl)] = Ulateral à dreta: F sup [ (gl; gl)] ; F ( ) ( )( gl; gl) F ode s são as varâcas a codção s > 4 0 ) Coclusão: Reeta-se Ho: Teste blateral, f calc < F [(- ); (gl; gl)] e f > F calc [ ( ) Teste ulateral à esquerda: f calc < F [(- ) (gl; gl)] Teste ulateral à dreta: f calc > F [ (gl; gl)] s. ; (gl; gl)] 5

18 ATIVIDADE 3 Teste de Hpótese para amostras ) Fo realzado um expermeto com o obetvo de comparar os tempos gastos, em mutos, a maobra com os arados Fuçador e Erechm. Ambos arados são de tração amal. Os dados obtdos com repetções para cada arado estão a tabela abaxo. Tabela 3. Tempo gastos (mutos) a maobra com os arados. Fuçador Erechm a.testar se a méda do tempo gasto com arado Fuçador é meor que o tempo gasto com Erechm, com ível de sgfcâca de 5%. b.verfcar os pressupostos de ormaldade e homocedastcdade das varâcas. ) Um estudo para verfcar a especfcdade do fugo Ggaspora ggatea com as platas Sparta sp e Tboucha sp. Foram coletadas 5 amostras de solos em volta, da Sparta sp e 5 amostras Tboucha sp. Foram observadas as quatdades de fugos presetes. Os resultados foram: Tabela 3. - Quatdade de fugos presete as duas espéces de platas Platas Sparta sp Platas Tboucha sp. 0,,8,3,5,,,6,5,6,, 0,5,,,3,5,6,4,4,,9, 5,8,0,,5,,3 a) Verfque os pressupostos para o teste paramétrco, utlzado ível de sgfcâca 5%. b) Os dados tem evdêca sufcete para dcar uma dfereça etre as quatdades médas de fugos (Ggaspora ggatea) ecotrada em platas de Spata sp e Tboucha sp? c) Qual a formatação das hpóteses? d) Determe o p-valor. 3) Fo coduzdo um expermeto para estudar o coteúdo de hemogloba o sague de suíos com defcêca de aca. Aplcaram-se 0 mg de aca em oto suíos. Pode-se afrmar que o coteúdo de hemogloba o sague dmu com a aplcação, ao ível de sgfcâca de 5%? Costrur o Itervalo de cofaça para a verdadera redução o teor médo da hemogloba. Os íves de hemogloba foram mesurados ates e depos da aplcação da aca. Os resultados obtdos estão a tabela dos baxo: Tabela 3.3 Níves de hemogloba o sague de suíos Ates 3,6 3,6 4,7,,3 3,,4 Depos,4,5 4,6 3,7 0,3 9,8 0,4 Determe o p-valor a tabela t de Studet. 4) Desea-se testar a hpótese de a possbldade da quatdade de proteías totas o plasma, depos de determada operação em portadores de esqustossomose masôca, ser dferete da quatdade ates da operação. Fo utlzada 7 pacetes, cuos resultados foram: Tabela 3.4 Quatdade de proteías totas o plasma após crurga. Ates Depos Ates Depos Verfque os pressupostos de ormaldade para realzar um teste paramétrco, utlzado ível de sgfcâca 5% e testar se há dfereça sgfcatva etre os dos mometos. 6

19 AULA 4 - ESTATÍSTICA NÃO PARAMÉTRICA Nas pesqusas cetífcas vmos que são mutos usados o teste t de Studet, a aálse de varâca, o teste de Tukey, a regressão lear, etc. Tas testes exgem, para sua aplcação que a varável em aálse sea umérca e as hpóteses seam fetas sobre os parâmetros, daí o ome: testes paramétrcos. Mas, os testes paramétrcos têm ada outras exgêcas. Os testes paramétrcos exgem que os dados teham uma dstrbução ormal ou aproxmadamete ormal, que sea smétrca, além da pressuposção de homogeedade de varâcas (homocedastcdade), O problema exste quado estas exgêcas ão são satsfetas e as amostras são pequeas. Os testes ão paramétrcos são meos exgetes ão exgdo ormaldade dos dados. Pode-se trabalhar com varáves ão umércas, assm como, pode-se trabalhar com os postos ocupados pelas varáves ou com suas frequêcas. Aalsados os aspectos levatados aterormete fazemos a opção pela aplcação de testes paramétrcos (mas fortes e robustos) ou testes ão paramétrco quado certas codções ão são satsfetas tas como: As observações ão serem depedetes As observações forem extraídas de populações que ão possuem uma aproxmação com a dstrbução ormal. As populações ão possuem varâcas semelhates (homocedastcdade) e ão apresetam uma relação cohecda etre elas. As varáves em estudo ão apresetam meddas tervalar de modo a ão possbltar o emprego de estatístcas como o cálculo de médas e de desvos (parâmetros). TESTES NÃO PARAMÉTRICOS - CASOS DE DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES 4. Teste Qu-quadrado O teste serve para testar a hpótese de que duas varáves categórcas depedetes ou, o que matematcamete é o mesmo, testar a hpótese de que duas probabldades são guas. Ateção as exgêcas:. Idepedêca dos grupos em comparação: os dos grupos em comparação devem ser depedetes como, por exemplo, um grupo cotrole e outro expermetal, ou um grupo é costtuído por portadores de uma doeça e outro por ão-portadores.. Tamaho da amostra: a amostra deve ser de tamaho gual ou maor do que 0. Se a amostra for meor que 40, as freqüêcas esperadas devem ser maores que 5. ETAPAS a ) Elaboração das hpóteses estatístcas H 0 : As varáves são depedetes H : As varáves ão são depedetes. (As varáves apresetam algum grau de assocação etre s). a ) Estabelecer o ível de sgfcâca. Neste caso, a varável teste a ser adotada será a com [(h )(k )] graus de lberdade. A regão crítca é ulateral. 3 a ) Cálculo da varável teste Calcular as freqüêcas esperadas (Fe hk ) e avalá-las, caso exstam evetos que ão satsfaçam à codção Fe 5, estes devem ser udos aos evetos adacetes. L xc F 0 Fe = L F 0 Fe = xc... 7

20 L xc F 03 Fe 3 = 3 F 0hk Fe hk = Lh xck Estatístca de teste para um teste de depedêca h k ( Fo Fe ) cal Fe Fe) ( Fohk Fehk) ( Fo... Fe Fe hk 4 a ) Coclusão: Se cal Reeta-se H 0 ao ível de sgfcâca e coclu-se que as varáves são depedetes. Codções para o Uso do teste Qu-Quadrado: Utlzar quado >0. Caso cotráro optar pelo exato de Fsher. Se 0< <40, aplca o teste somete se todas frequêcas esperadas são maores que 5. Mutos estatístcos recomedam calcular o valor de com correção de cotudade quado o grau de lberdade for gual a. A dstrbução empírca do calculado ão se aproxma da dstrbução teórca. A estatístca cohecda como corrgdo de Yates em hora ao estatístco que a propôs, Frak Yates, é dada por: ( Fo Fe 0,5) Fe A correção de cotudade produz um teste mas coservador, sto é, um teste que tem meor probabldade de reetar a hpótese de uldade. Se a amostra é pequea, o efeto da correção de cotudade é ada maor. O Coefcete de Cotgêca - Quado a hpótese ula é reetada, coclu-se que as varáves são depedetes e apresetam algum grau de assocação que pode ser medda pelo coefcete de cotgêca de Pearso (C), que é dado pela fórmula: cal.00%. C cal O Coefcete de Cotgêca (C) possu tervalo de varação de: 0 C, que é terpretado da segute forma: - quato mas próxmo de estver o valor de C maor será o grau de depedêca etre as varáves. - quato mas próxmo de 0 estver o valor de C meor será o grau de depedêca etre as varáves. Teste Qu-quadrado para Homogeedade - O teste de homogeedade testa a afrmatva de que populações dferetes têm a mesma proporção de alguma característca em estudo. Nas pesqusas, algumas amostras são retradas de populações dferetes, e para determar se essas populações têm a mesma proporção da característca em cosderação, aplca o teste de homogeedade. A palavra homogêeo sgfca tedo a mesma qualdade, e este cotexto, testa-se se as proporções são as mesmas. ETAPAS a ) Elaboração das hpóteses estatístcas: H 0 : As varáves são homogêeas H : As varáves ão são homogêeas Os requstos, a estatístca teste, o valor crítco têm o mesmo procedmeto que o teste de depedêca com exceção das hpóteses. 8

21 4. Teste de Ma-Whtey CASO DE DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES O teste de Ma-Whtey é utlzado para testar a hpótese de que a posção cetral de duas populações são guas. Esse teste é, portato, uma alteratva para o teste t o caso de amostras depedetes. Mas só deve aplcar o teste de Ma-Whtey se sua amostra for pequea e/ou as pressuposções exgdas pelo teste t estverem seramete comprometdas. Procedmeto: a) Cosderar :o úmero de casos do grupo com meor observações : o úmero de casos do grupo com maor observações. b) Cosdere todos os dados dos dos grupos e coloque-os em ordem crescete. Atrbua o valor dos postos, prmero ao escore que algebrcamete for meor e prossga até N = +. Às observações empatadas atrbur à méda dos postos correspodetes. c) Calcular: R = soma dos postos do grupo. R = soma dos postos do grupo. d) Calcular a estatístca teste ( ) ( ) U R ou U R ETAPAS: a ) Elaboração das hpóteses estatístcas: H 0 : A medaa das duas populações são guas H : A medaa das duas populações dferem etre s. a ) Estabelecer o ível de sgfcâca. Para grades amostras ( >0 e >0, segudo Sdey Segel; 006) Quado H 0 é verdadera, os valores de Z calculado têm dstrbução asstotcamete ormal com méda zero e varâca um. Com auxílo da tabela ormal padrão determa-se as regões crítcas. 3 a ) Cálculo da estatístca teste. Utlze o meor valor de U; Z cal.. ( u) e ( u) U ( u) ; ( u) 4 a ) Coclusão: a) Se Z Z cal ão reeta H 0 Z b) Se Z cal Z Reeta-se H 0 c) Se Z cal Z Reeta-se H 0. ( 4.3 Teste de Wlcoxo - CASO DE DUAS AMOSTRAS RELACIONADAS O teste dos postos de Wlcoxo deve ser aplcado aos dados pareados. Este teste é, portato, uma alteratva ao teste t de Studet o caso de amostras depedetes, mas só deve ser aplcado quado as pressuposções exgdas pelo teste t estverem seramete comprometdas (as dfereças proveham de dstrbução ormal). Procedmeto: a) Determar para cada par a dfereça (d) etre os dos escores. b) Atrbur postos (colocar em ordem crescete) todos os d s, descosderado-se os sas. c) Idetfcar cada posto pelo sal + ou - do d que ele represeta. d) Defr a estatístca T = meor das somas de postos de mesmo sal. T + : soma dos postos dos d s postvos e T - : soma dos postos dos d s egatvos. A soma dos postos é gual a (+) /. e) Abater do o úmero de zeros, sto é, d = 0. ) 9

22 ETAPAS - para grades amostras ( > 5 segudo Sdey Segel, 006) a ) Elaboração das hpóteses estatístcas H 0 : A medaa das duas populações são guas H : A medaa das duas populações dferem etre s. a ) Estabelecer o ível de sgfcâca. Para grades amostras - Quado H 0 é verdadera, os valores de Z calculado têm dstrbução asstotcamete ormal com méda zero e varâca um. Com auxílo da tabela ormal padrão, determa-se as regões crítcas. 3 a ) Estatstca teste: T = Soma das dfereças dos postos postvos Z cal T T T T ( ) 4 T ( )( 4 ) 4 a ) Coclusão: regra habtual da tabela ormal padrão Empates - 0 tpo - Caso os dos escores de algum par são guas, d = 0 (ão houve dfereça etre dos tratametos), tas pares são retrados da aálse e o tamaho da amostra é reduzdo. 0 tpo - Dos ou mas d s podem ser de mesma magtude. Atrbu-se o empate o mesmo posto. O ovo posto será a méda dos postos que teram sdo atrbuídos se os d s tvessem dferdo. Cosdere esse procedmeto para o caso sem empates. O valor crítco Q ( α; k ) são ecotrados a tabela da dstrbução Q para testes de comparações múltplas ão paramétrcas. ATIVIDADE 4 Teste de Hpótese Não Paramétrco ) Os dados da tabela abaxo represetam cotages de sobrevvêca de exertos de amexeras, proveetes de um expermeto para comparar duas épocas de plato: a prmavera e fora da prmavera. Para cada época foram trasplatados 480 exertos e fo avalado o úmero de exertos sobrevvetes após 30 das. (Adrade; 007) Tabela 4. - Dstrbução das frequêcas da varável época de plato e sobrevvêca de exertos de amexeras Èpocas Raízes Sobrevvetes Mortas Fora da Prmavera Na Prmavera TOTAL a) Testar se exste dfereça sgfcatva etre as proporções de raízes sobrevvetes as duas épocas de plato, ao ível de sgfcâca de 5%. b) Aplque a correção de Yates; c) Dscuta a coclusão prátca. ) Os resultados de um expermeto para avalar o efeto do petróleo sobre parastas de pexes foram descrtos o artgo Effects of Crude Ols the Gastrotestal Parastes of Two Speces of Mare Fsh (J. Wldlfe Dseases 983- p.53-58). As três amostras comparadas foram () sem cotamação () cotamação por óleo derramado há ao e (3) cotamação por óleo ovo. Para cada codção as amostras, o pexe fo classfcado como tedo o parasta ou ão. Os dados dcam que as três amostras dferem em relação à proporção real de pexe com e sem parastas? Adote o ível de sgfcâca de %. 0

23 Tabela 4. Avalação do efeto do petróleo sobre parastas de pexes Cotamação Doeça Parastado ão paras Total Cotrole Óleo atgo Óleo ovo a) Realze o Teste Qu-quadrado de proporção com ível de sgfcâca de 5%. b) Calcule o Coefcete de Cotgêca. 3) No processo de produção de papel, a degradação de lga (ezma) é um aspecto fudametal, e precsa ser feto rapdamete, exgdo a utlzação do cloro, daoso ao meo ambete. Em pesqusas avalaram a vabldade de degradação da lga através da ação dos fugos, em bo-reatores, para preservação do meo ambete. Logo testaram duas espéces de fugo, meddo o tempo de degradação um pequeo cubo de madera de eucalpto. A espéce deve degradar a lga em meos tempo. Testar se a espéce é mas rápda que a espéce, com ível de sgfcâca 5%.. Tabela 4.3 Tempo de degradação realzada por duas espéces de fugos. UEL / 00 Espéce Espéce e e 9 4) Explorado dos coutos de dados - Os dados da tabela abaxo são relatvos à varação de luz o crescmeto das platas meddas através da área folar específca após 60 das, da espéce Cecropa glazou, em amostras stuadas em borda de mata e mata fechada, com tesdade de luz méda de 0,6% e 0,87%, respectvamete. A espéce C. glazou é uma plata poera, helófta, perefóla, seletva hgrófla, ocorredo preferecalmete em capoeras e capoerões de derrubadas recetes. Tabela 4.4 Área folar de Cecropa glazou localzadas a borda da mata e mata fechada Borda da mata Mata fechada 0,45 0,3458 0,3796 0,45 0,4657 0,55 0,6780 0,76 0,7894 0,8564 0,540 0,348 0,385 0,44 0,4670 0,584 0,684 0,754 0,79 0,8654 0,59 0,3487 0,3874 0,48 0,483 0,684 0,6898 0,779 0,803 0,8665 0,89 0,3490 0,394 0,436 0,486 0,6357 0,6945 0,756 0,8046 0,94 0,97 0,3547 0,393 0,4358 0,49 0,6489 0,6950 0,73 0,845 0,94 0,303 0,3574 0,397 0,4573 0,500 0,6570 0,6970 0,7783 0,8467 0,9573 0,379 0,3648 0,405 0,458 0,53 0,6704 0,75 0,7884 0,8468 0,9689 a)costrua um gráfcos ( boxplots) gráfco de caxa para comparar o crescmeto da área folar em relação à posção da mata. b) Os pressupostos para realzar um teste paramétrco foram cofrmadas? c) Testar a hpótese, com os dados amostras, para verfcar se há evdêca que o crescmeto médo da plata a borda da mata é meor que da mata fechada com ível de sgfcâca 0%.

24 5) O Prof. Marcos A. Dorelles (Faculdade de Farmáca, UFRGS) medu a colesterase em agrcultores gaúchos que aplcaram setcdas em platas de teresse comercal. Foram fetas duas coletas de sague em cada dvíduo: uma ates da aplcação da droga e outra 4 horas depos da aplcação. Os resultados obtdos estão a tabela abaxo e cosdere que os pressupostos foram ateddos. O que pode ser afrmado quato ao efeto da exposção ao setcda sobre o ível de colesterase o sague desses dvíduos, com ível de sgfcâca de 5%? (Callegar-Jacques, 003) Tabela Colesterase total (umol /ml de plasma) em 7 agrcultores: dosages ates e depos uma sessão de aplcação de setcda em platas. Id A 8,3 6,7 7,8 9,3 6,5 0,5 6,9 7,5 6,6 6,7 7,5 7,4 8, 8,8 7,6 9,4 7, D 6,84 5,98 7, 8,38 6,07 0, 5,87 7,8 6,5 6,6 7,46 7,69 7,95 9,5 7,56 9,07 6,78 Fote: Marcos A. Dorelles (Fac. Farmáca, UFRGS) 6) Teste de Wlcoxo (Grades amostras) Para examar os efetos da trasção da crculação fetal para o pós-atal etre bebês prematuros, para cada um dos 4 recém-ascdos saudáves, a taxa respratóra (mutos) fo medda em dos dferetes mometos o prmero mometo quado o bebê tha meos de 5 das e o segudo mometo quado tha mas de 5 das. Tabela 4.6- Taxa respratóra (mutos) para avalar os efetos da trasção da crculação fetal Id M M Testar a hpótese ula de que a dfereça medaa as taxas respratóras ão dferem etre os dos mometos. Adote o ível de sgfcâca de 5%. AULA 5 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES A teora de Regressão teve orgem o século XIX com Glato. Em um de seus trabalhos, estudou a relação etre a altura dos pas e dos flhos (X, Y ), procurado saber como a altura do pa fluecava a altura do flho. Notou que se o pa fosse muto alto ou muto baxo, o flho tera uma altura tededo à méda. Em geral, supoha que haa uma úca varável depedete, ou resposta, Y que depede de k varáves depedetes ou regressora, deomadas X, X,...X k. A relação etre essas varáves é caracterzada por um modelo matemátco chamado de equação de regressão. O modelo de regressão é austado a um couto de dados amostras. Em algumas stuações, o pesqusador escolhe uma fução aproprada para aproxmar f. 5. Modelo de Regressão Lear Smples Na regressão lear obetva-se determar relação etre uma úca varável regressora X e uma varável resposta Y. Pode-se assumr que a varável regressora X sea cotíua e cotrolada pelo pesqusador. Caso o expermeto sea plaeado, escolhem-se os valores de X e observam-se os valores correspodetes de Y. Supoha que a verdadera relação etre Y e X sea uma lha reta e que a observação Y para cada ível de X sea uma varável aleatóra. O valor esperado de Y para cada valor de X é:

25 E(Y\X) = 0 X. Em que os parâmetros 0 e são costates descohecdas. Assume-se que cada observação Y pode ser escrta pelo modelo Y = 0 X e Sedo (e ) o erro aletóro com méda zero e varâca, o erro e ~ (0, ). Os erros são varáves aleatóras ão correlacoadas. O modelo de regressão evolve somete uma varável regressora X e, por sso, é chamado Modelo de Regressão Lear Smples, dado a estmatva dos parâmetros. X Y X Y ˆ ( X ) X Os estmadores ˆ ˆ 0 e são os estmadores de mímos quadrados do tercepto e clação, respectvamete. O modelo de regressão lear smples austado é: ^ ^ ^ Y 0 X que dá uma estmatva potual da méda de Y para cada valor de X. O deomador é a soma de quadrados corrgda de X e o umerador é a soma dos produtos de X e Y corrgda, que podem ser escrtas de uma forma mas smples: S xx S xy X X Y ( X X ). Y ( X X ) Y ( X X ) assm, 5. Coefcete de Correlação Lear de Pearso- Tem por obetvo medr o grau de assocação etre duas varáves. O strumeto empregado para a medda da correlação lear de Pearso, represetado pela letra r, e é obtdo por: XY XY S Y XY r ode SYY Y X Y S S XX YY X Y O Coefcete de correlação é um úmero sem dmesão (admesoal) cuo valor se stua etre (-; +). Quado X e Y varam o mesmo setdo, dz-se que a correlação é postva, assm, o coefcete de correlação tem sal postva. Quado X e Y varam em setdo cotráro, dz-se que a correlação é egatva, assm, o coefcete de correlação tem sal egatvo, ou sea, Se r =, a correlação é postva perfeta; Se r = -, a correlação é egatva perfeta; Se r = 0, a correlação é ula. 3

26 O sal da correlação dca qual tedêca da varação couta das duas varáves cosderadas, etretato, deve-se cosderar também a tesdade ou o grau de correlação. 5.3 Teste de hpóteses para Correlação - Testar a hpótese que o coefcete de correlação sea gual a zero, H o = 0 H = 0 o teste estatístco aproprado para esta hpótese é dada por: r t0, que r segue uma dstrbução t com (-) graus de lberdade, se H 0 for verdadera. Assm reeta-se a hpótese ula se t 0 > t ;( ) 5.4 Estmação de - A dfereça etre o valor observado Y e o correspodete valor austado deomado RESÍDUO. O -ésmo resíduo é defdo por: e = Y Yˆ Y ( ˆ ˆ X ) =,,...,. 0 Os resíduos tem papel mportate a verfcação do auste do modelo e as suposções que são realzadas. Varâca Resdual da Amostra - Além de estmar 0 e, uma estmatva de é ecessára para testar a hpóteses e costrur tervalos de cofaça pertetes ao modelo de regressão. Esta estmatva pode ser obtda dos resíduos e = Y Yˆ. A soma de quadrado dos resíduos é dada por: SQRes = e ( Y Yˆ ). Após o desevolvmeto matemátco SQ Re s S yy ˆ S xy. A soma de quadrados dos resíduos tem (-) graus de lberdade, pos dos graus de lberdade são assocados com as estmatvas ˆ ˆ 0 e evolvdas a estmação de Yˆ. O valor esperado da SQRes é E(SQRes) = (-)., de forma que um estmador ão vesado de é: Yˆ é 5.5 Testado Hpóteses a Regressão Lear Smples - Para testar hpóteses sobre o tercepto ( 0) e o coefcete agular ( ) do modelo de regressão, deve-se fazer a suposção de que os (e ) são ormalmete dstrbuídos, ou sea, assume-se que os erros e ~ NID (0, ). Teste para o coefcete agular - Para se testar a hpótese de que o coefcete agular é gual a um valor costate, por exemplo,, 0. As hpóteses apropradas são: H 0 : =, 0 vs H :, 0 em que se especfcou uma hpótese alteratva blateral. ˆ,0 t segue uma dstrbução t com (-) graus de lberdade sob H 0 : =, 0. A QM Re s / S xx estatístca t é usada para testar H 0 comparado-se o valor observado de t com o valor tabelado da dstrbução t: t. A hpótese ula será reetada se t > t. ;( ) ;( ) 4

27 Teste para o coefcete lear - Um procedmeto smlar pose ser usado para testar a hpótese sobre o tercepto. Para testar: H 0 : 0 = 0, 0 vs H : 0 0, 0, usa-se a estatístca teste: ˆ 0 0,0 t0 x QM Re s( ) e reeta-se a hpótese ula se t 0 > ;( ) S xx t. Um caso especal é testar: H 0 : = 0 vs H : 0., cua a hpótese esta relacoada com a sgfcâca da regressão. Se H 0 : = 0 ão for reetada, sto mplca que ão há uma relação lear etre X e Y; logo o melhor estmador de Y para qualquer valor de X é Yˆ Y. 5.6 Aálse de Varâca a Regressão - A determação da equação de regressão deve ser precedda de uma aálse de varâca, a fm de comprovar estatstcamete, se os dados apresetam a suposta relação lear etre as varáves X e Y. Hpóteses a serem testadas pela aálse de varâca a regressão: a ) Hpóteses levatadas: H 0 : = 0 (ão exste a regressão) vs H : 0 ( exste a regressão) a ) Valor crítco: F [ (;-) ; ] 3 a ) Estatístca teste F Quadro da Aálse de Varâca a Regressão Causade Graus de Soma de Varação (CV) Lberdade (GL) Quadrados (SQ) Quadrado Médo (QM) Regressão SQ Regressão QM Regressão Resíduo (-) SQ Resíduo QM Resíduo Total (-) SQ Total F calculado QM QM Regressão Resíduo F tabelado F [;-; ] 4 a ) Coclusão: se F calc F tab reeta-se H 0 ao ível de sgfcâca adotado, e coclu-se que exste a Regressão ou exste a relação lear etre as varáves. Como SQTotal = SQReg + SQRes SQTotal = S yy SQReg = ˆ.S xy SQRes = SQTotal SQReg ; Observe que ao realzar a aálse de varâca, o procedmeto é comparar as varâcas; ( y y) = ( y yˆ ) + ( yˆ y) ou correspode a SQTotal = SQRes + SQReg. : SQTotal é a varação total de Y em toro da méda; : SQRes é a varação de Y em toro da reta; : SQReg é a varação das esperaças específcas de Y, em toro da méda. 5

28 5.7 Coefcete de Determação ou Explcação A Soma de Quadrado Total mede a varação as observações Y, ou a certeza em predzer Y quado X ão é cosderado. De forma aáloga, Soma de Quadrado do Resíduo mede a varação em Y quado um modelo de regressão utlzado a varável X é empregada. Uma medda atural do efeto de X reduzdo a varação em Y, ou sea, em reduzr a certeza a predção de Y, é expressar a redução da varação como (SQTotal SQRes = SQReg) como uma proporção da varação total: SQRegressão SQResíduo R ou SQTotal SQTotal A medda R é chamada de coefcete de determação ou explcação e seu compo de varação é: (0 R ) e dca a proporção da varação total que é explcada pela regressão Se R =, todos os potos observados se stuam exatamete sobre a reta de regressão, etão as varações de Y são 00% explcados pelas varações de X por meo da fução especfcada, coforme fgura. Por outro lado, um R = 0 pode ou ão dcar ausêca de correlação etre X e Y. 5.8 Aálse de Resíduo - Resíduos do auste de MRLM A aálse de resíduos desempeha papel fudametal a avalação do auste de um MRLs, vestga a adequação do modelo quato às suposções báscas do modelo, bem como orrmaldade, depedêca dos erros, homocedastcdade, relação lear de X e Y e falta de auste do modelo proposto. Além dos testes de sgfcâca e adequação, a aálse de resíduo vem complemetar o eleco de procedmetos que devem ser realzados após o auste de qualquer modelo. Tpos de resíduos - Resíduos padrozados são escaloados para reduzr uma varável aleatóra a ter esperaça com méda zero e seus desvos padrão sea aproxmadamete gual a um. Cosequetemete e e d > 3 dca outlers. d = com =,,..., QM Re s ˆ Resíduo a forma de Studet (Estudetzado) os resíduos padrozados e estudetzado são parecdos, mas em algumas stuações os resíduos estudetzado é mas sesível para detectar potos fluetes. e ( x x) r = ode h = ( ) com =,,..., ˆ ( h ) S xx Gráfcos de resíduos - Para o modelo de regressão, os termos dos erros e são assumdos serem varáves aleatóras ormas e depedetes, com méda zero e varâca. Se o modelo é adequado para os dados, os resíduos observados, devem refletr as propredades assumdas para os erros e. Esta é a déa básca da aálse de resíduos, uma maera útl de examar a adequação de um modelo estatístco. Aálse gráfco é muto efcete para verfcar a adequação do modelo, e checar volações do modelo (ão depedêca dos erros, ormaldade dos erros, varâca costate dos erros). Gráfco dos Z s versus varável regressora ou valores estmados. No gráfco plota-se os resíduos padrozados (z) o exo das ordeadas e a varável regressora ou o valor estmado da varável resposta o exo das abscssas. Ambas os gráfcos os dará mesmas formações. A característca do gráfco é que a faxa de varação dos resíduos ao logo dos valores de X é costate, ou ada, os potos devem estar espalhados aleatoramete, ão demostrado ehuma tedêca. Isso dca a ão volação do modelo. 6

29 Preseça de Outlers Outlers são observações extremas. Outlers resduas podem ser detfcados o gráfco de resíduos versus X, ou ada, utlza do gráfco de caxa dos resíduos. O gráfco de resíduos padrozados é partcularmete útl, pos permte dstgur observações afastadas, uma vez que se tora fácl detfcar resíduos que se ecotram mutos desvos padrão do zero. Embora a preseça de outlers possa crar dfculdades, só é recomedável retrá-lo da aálse se há evdêca dreta que represeta um erro de coleta, um cálculo mal feto ou crcustâca smlar. QQPlot Pequeos afastametos da ormaldade ão cram séros problemas, o que ão é verdadero para grades afastametos. Uma forma de aalsar a ormaldade dos resíduos é aálse gráfca através do gráfco QQplot. Neste caso cada resíduo é plotado cotra seu valor esperado de ormaldade. Um gráfco aproxmadamete lear sugere cocordâca com a ormaldade, equato um gráfco que se afasta substacalmete da leardade sugere que a dstrbução dos resíduos ão sea aproxmadamete ormal. Caso sea volada os pressupostos pela aálse de resíduo, partr para trasformações de dados e realzar ovamete os procedmetos. ATIVIDADE 5 ) Charet (008) - Um estudo fo realzado para vestgar o efeto de um desfetate. Foram preparadas soluções, as quas o desfetate fo dluído em quatdades fxas de água, para cocetrações de desfetate de % a 8%. Fo observado o úmero de bactéras que sobrevveram, após as superfíces serem lmpas com uma das soluções. Obs: Adote um ível de sgfcâca de 5% para trabalhar em todos os tes. Tabela 5. Número de bactéras que sobrevveram após hgezação com dversas cocetrações desfetates. Observações X: cocetrações (%) Y: Número de bactéras a) A correlação lear de Pearso etre as varáves X e Y. Testar ao ível de 5% de sgfcâca se a correlação é zero. Costrua o dagrama de dspersão b) Modelo de regressão do úmero de bactéras em fução da cocetração. Comete as estmatvas dos parâmetros do modelo. c) Determe a estmatva do úmero de bactéras que sobrevveram caso utlzasse uma cocetração de 3.5% de desfetate d) Estmatva da varâca resdual; 7

30 e) Testar os parâmetros do modelo. f) Teste a sgfcâca do modelo e determar o coefcete de determação. Dscuta. g) Realze uma aálse de resíduo completa. Os resultados dcam a trasformação dos dados. h) Estatístca de dagóstco ) Os dados abaxo se referem a varável depedete: peso de 30 cães e a varável depedete (varável resposta): pressão arteral dos cães. Determe os tes abaxo. Tabela 5. Peso e pressão arteral de 30 cães - H.V 03 d PA PESO d PA PESO d PA PESO a) A correlação lear de Pearso etre as varáves X e Y. Testar ao ível de 5% de sgfcâca se a correlação é zero. Costrua o dagrama de dspersão b) Modelo de regressão da pressão arteral em fução do peso. Comete as estmatvas dos parâmetros do modelo. c) Teste a sgfcâca do modelo e determar o coefcete de determação. Dscuta. d) Realze uma aálse de resíduo completa. Os resultados dcam a trasformação dos dados? e) Realze uma estatístca de dagóstco. Exste algum poto dscrepate a amostra? 3) Seleção de varáves Regressão múltpla YE (009) Um estudo fo coduzdo para estudar o tamaho das lulas comdas por tubarões e atus. As varáves regressoras são as característcas do bco ou boca da lula. As varáves regressoras e as varáves respostas (o software R) cosderadas o estudo são as segutes: x: comprmeto do bco (em polegadas) x: comprmeto do flaco (em polegadas) x3: comprmeto do bco à feda (em polegadas) x4: comprmeto da feda ao flaco (em polegadas) x5: largura (em polegadas) e y: peso (em lbras) Realzar a SELEÇÃO DE VARIÁVEIS. Adote ível de sgfcâca de 0%. a. Apresete o modelo completo. Quas varáves são sgfcatvas pelo teste dos parâmetros? b. Selecoar pelas téccas: ( Backward; Forward ou Stepwse). c. Qual modelo vc selecoará para represetar esse couto de dados? d. verfque a multcoleardade. 8

31 AULA 6 Esao Iteramete Casualzado 6. Aálse de Varâca = Comparações de Médas A aálse de varâca é uma técca que pode ser realzada para determar se a méda de duas ou mas populações são guas. O teste se basea uma amostra extraída de cada população e testa as segutes hpóteses ao ível de sgfcâca. H 0 : As médas das populações são guas ( ) H : As médas das populações são dferetes. ( Pelo meos dos dferem etre s) SUPOSIÇÕES: a) O modelo deve ser adtvo, sto é, os efetos devem se somar; (Teste de ão adtvdade) b) Os erros (e) devem ter dstrbução ormal; (Teste de Shapro-Wlk, Lllefor, Kolmogorov,...) c) Os erros (e) devem ser depedetes; (garatda pelo prcípo da casualzação) d) Os erro (e) devem ter mesma varâca (homocedastcdade: Teste de Bartlett, Hartley..) 6. Prcípos báscos da expermetação A pesqusa cetífca está costatemete se utlzado de expermetos para provar suas hpóteses. É claro que os expermetos varam de uma pesqusa para outra, porém, todos eles são regdos por algus prcípos báscos, ecessáros para que as coclusões que veham a ser obtdas se torem váldas. Prcípo da repetção - Ao compararmos, por exemplo, dos herbcdas (A e B), aplcados em duas parcelas perfetamete guas, apeas o fato do herbcda A ter apresetado maor cotrole que o B ão é sufcetemete para que possamos coclur que o mesmo é mas efcete, pos esse seu maor cotrole poderá ter ocorrdo por smples acaso ou ter sdo fluecado por fatores estrahos. Porém, se os dos herbcdas forem aplcados a váras parcelas e, ada assm, verfcarmos que o herbcda, A apreseta, em méda, maor cotrole, exste á um díco de que ele sea mas efcete. Esquematcamete: A B Expermeto básco Prcípos da repetção A A A A A A B B B B B B Repetções Prcípo da casualzação - Mesmo reproduzdo o expermeto básco, poderá ocorrer que o herbcda A apresetou maor cotrole por ter sdo favorecdo por qualquer fator, como por exemplo, ter todas as suas parcelas agrupadas uma faxa de meor festação. Para evtar que um dos herbcdas sea sstematcamete favorecdo por qualquer fator extero, procedemos à casualzação dos herbcdas as parcelas, sto é, eles são desgados às udades expermetas de forma totalmete casual. O prcípo da casualzação tem por faldade propcar a todos os tratametos a mesma probabldade de serem sorteados a qualquer das udades expermetas. Esquematcamete: A B Expermeto básco Prcípos da repetção e casualzação B A A B A B A B A B B A Repetções + casualzação 9