Poços Quânticos e Transferência de Elétrons

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1 UNIVRSIDAD STADUA PAUISTA JÚIO D MSQUITA FIHO Cmpus d São José do Rio Prto Krin Hlois Pulino Poços Quânticos Trnsfrênci d létrons São José do Rio Prto -009-

2 Krin Hlois Pulino Poços Quânticos Trnsfrênci d létrons Dissrtção prsntd pr obtnção do título d Mstr m Biofísic Molculr, ár d concntrção Biofísic Molculr, junto o progrm d Pós-Grdução m Biofísic Molculr do Dprtmnto d Físic do Instituto d Biociêncis, trs Ciêncis xts d Univrsidd stdul Pulist Júlio d Msquit Filho, Cmpus d São José do Rio Prto, São Pulo, Brsil. Orintdor: Prof. Dr. lso Drigo Filho Co-orintdor: Prof. Dr. Rgin Mri Ricott São José do Rio Prto -009-

3 KARINA HOISA PAUINO Poços Quânticos Trnsfrênci d létrons Dissrtção prsntd pr obtnção do título d Mstr m Biofísic Molculr, ár d concntrção Biofísic Molculr, junto o progrm d Pós-Grdução m Biofísic Molculr do Dprtmnto d Físic do Instituto d Biociêncis, trs Ciêncis xts d Univrsidd stdul Pulist Júlio d Msquit Filho, Cmpus d São José do Rio Prto, São Pulo, Brsil. BANCA XAMINADORA Prof. Dr. lso Drigo Filho ivr-docnt UNSP São José do Rio Prto Orintdor Prof. Dr. Antônio Vidill Brrnco ivr-docnt Univrsidd stdul d Cmpins Prof. Dr. Jorg Chin ivr-docnt UNSP São José do Rio Prto São José do Rio Prto, 7 d dzmbro d 009.

4 v AGRADCIMNTOS Agrdço primirmnt Dus, por smpr str o mu ldo por sr o uxílio, forç protção qu smpr prcisi m minh vid. Agrdço os mus pis, Nid Olizio, por cuidrm d mim com muito mor crinho m todos os momntos d minh vid sm mdir sforços, m proporcionrm um bo ducção qu srvirá d licrc pr o rsto d minh vid. A minh irmã Kil qu smpr m poiou m tods s minhs dcisõs, smpr m ncorjndo sndo o mu suport ns hors d frquz. Ao mu noivo Rnto qu com muito mor, crinho pciênci, soub ntndr tods s minhs scolhs smpr stv o mu ldo pr qu u pudss subir mis um dgru m minh vid. Ao mu orintdor Prof. Dr. lso Drigo Filho, qu smpr m nsinou, m cpcitou m prprou não somnt n Físic, ms principlmnt n vid, com sus risos sus xmplos. Agrdço minh co-orintdor Prof. Dr. Rgin Mri Ricott qu m judou com sus conhcimntos, smpr com muit ddicção mizd. A todos os profssors qu contribuírm pr minh formção, m cpcitndo com sus nsinmntos. Agrdço m spcil o Prof. Dr. Vitor it o Prof. Dr. João Ruggiro pls opiniõs sugstõs dds n minh qulificção. A todos os mus migos d quip d studos m Mcânic Quântic, m spcil Gisl, Mrclo o Fbrício por m poirm n conclusão dst trblho. Agrdço s minhs trns migs Ntli Fvro Ribiro, Frncil Polotto, Gisl Bldissr plo incntivo, poio crinho sincro crido nsss sis nos d mizd. m spcil minh mig Rit d Cássi dos Anjos qu msmo long, smpr stv m poindo ns rlizçõs dos mus sonhos. A todos os mus mdos migos migs d Mont Aprzívl, pls orçõs, incntivo mizd vrddir qu smpr tivmos principlmnt o mu primo Frnndo Hnriqu Pulino por m compnhr té São Pulo. Ao Ibilc/UNSP por m dr oportunidd d studr, psquisr crscr pssol profissionlmnt. A CAPS plo importnt poio finnciro.

5 vi Tudo posso nqul qu m fortlc Fl 4,3

6 vii RSUMO Nst trblho form rsolvidos, trvés d qução d Schrödingr indpndnt do tmpo, os potnciis bistávis do Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico PDQUS do Poço Duplo Assimétrico PDQUA, concntrndo nst último grnd prt do studo. Como todo PDQUS é rssonnt por dfinição, é possívl ntão stimr o tmpo d tunlmnto trvés d Fórmul d Rbi. O msmo não contc com PDQUA, pois nm todo poço duplo ssimétrico é rssonnt. Foi ncssário ntão, ncontrr brrirs d potncil distânci ntr os poços qu prmitirm rssonânci, pois probbilidd d tunlmnto é muito mior qu quls dos csos ond não há rssonânci. Além do tmpo d tunlmnto, o tmpo d trnsição ltrônic tmbém é stimdo, com o objtivo d propor um modlo d trnsfrênci ltrônic T. Um possívl plicção pr tl modlo stá rlciond sistms biológicos ocorrndo por tunlmnto por trnsição, utilizndo o PDQUA. Com bs n T m bctéris fotossintétics, pôd-s obtr informçõs struturis, como: s distâncis nrgis nvolvids no procsso, qu form ssnciis pr os xmplos numéricos trtdos nss trblho. PAAVRAS-CHAV: Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico, Tunlmnto, Trnsfrênci ltrônic.

7 viii ABSTRACT In this wor wr rsolvd, by Schrödingr qution indpndnt of tim, th bistbl potntil of th On Dimnsionl Symmtric Doubl Squr ll PDQUS nd Asymmtric Doubl ll PDQUA, concntrting lrgly in th lttr study. As ll PDQUS is rsonnt by dfinition, it is possibl thn stimt th tim of tunnling through th Rbi formul. This not hppns with PDQUA, bcus not ll symmtric doubl wll is rsonnt. It ws ncssry thn, to find potntil brrirs nd distnc btwn wlls tht llowd th rsonnc bcus th tunnling probbility is much highr thn thos css whr thr is no rsonnc. Bsids th tim of tunnling, th lctronic trnsition tim is lso stimtd, with th objctiv of proposing modl of lctron trnsfr T. On possibl ppliction for such modl is rltd to biologicl systms occuring by tunnling nd trnsition, using th PDQUA. Bsd on th T in photosynthtic bctri, could b obtind structurl informtion, such s distncs nd nrgis involvd in th procss, which wr ssntil for th numricl xmpls trtd in this wor. KYORDS: On Dimnsionl Asymmtric Doubl Squr ll, tunnling, lctronic trnsition.

8 ix ISTA D FIGURAS. Rprsntção do Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico Gráfico d vrição ds nrgis m rlção difrnç d nrgi Δ Rprsntção do V x no Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico Digrm do modlo proposto pr trnsfrênci d létrons Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico com idntificção dos prâmtros utilizdos Rção d Trnsfrênci ltrônic Função d ond pr o primiro stdo xcitdo m função d loclizção dntro do poço duplo x Função d ond pr o sgundo stdo xcitdo m função d loclizção dntro do poço duplo x Função d ond pr o trciro stdo xcitdo m função d loclizção dntro do poço duplo x Distribuição d probbilidd d função d ond pr o trciro stdo xcitdo m função d loclizção dntro do poço duplo x

9 x ISTA D TABA 5. Autovlors d nrgi m V pr o PDQUA com V 30,6 V V 0 50 V Vlors m sgundos pr o tmpo d tunlmnto, tmpo d trnsição o rndimnto do ciclo pr o poço com V 30,6 V V 0 50 V Autovlors d nrgi m V pr o PDQUA com V 0,99 V V 0 0, V Vlors m sgundos pr o tmpo d tunlmnto, tmpo d trnsição o rndimnto do ciclo pr o poço com V 0,99 V V 0 0, V Autovlors d nrgi m V pr o PDQUA com,5 V 0,675 V d profundidd nm Vlors m sgundos pr o tmpo d tunlmnto, tmpo d trnsição o rndimnto do ciclo pr o poço com V,5 V V 0 0,675 V, d profundidd nm Autovlors d nrgi m V pr o PDQUA com,5v 0,675V d profundidd,8 nm Vlors m sgundos pr o tmpo d tunlmnto, tmpo d trnsição o rndimnto do ciclo pr o poço com V,5 V V 0 0,675 V,,8 nm

10 xi SUMÁRIO. Introdução Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico Dscrição Solução Anlític nrgi Totl mnor qu brrir d potncil nrgi mior qu brrir d potncil Sistms d dois nívis Dscrição fito d prturbção nos stdos stcionários do sistm Aspcto dinâmico: Oscilção do sistm ntr dois stdos não prturbdos volução do vtor stdo b Cálculo d probbilidd P t ; Fórmul d Rbi Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico Dscrição Solução Anlític nrgi do sistm bixo d V -V nrgi do sistm ntr os dois mínimos d potncil nrgi cim d brrir d potncil cntrl Rdução d solução obtid pr o cso simétrico Tmpo d trnsição ltrônic Um modlo pr trnsfrênci d létrons xmplos Numéricos o studo d sistms biológicos crctrísticos

11 xii 5. xmplo Numérico Sistm Biológico Crctrístico PDQUA: V 0,99 V, V 0 0, V, nm nm PDQUA: V,5 V, V 0 0,675 V, nm nm PDQUA: V,5 V, V 0 0,675 V,,8 nm nm studo ds funçõs d ond nvolvids no modlo proposto Conclusão Rfrêncis Bibliográfics Apêndic A: Digonlizção d um mtriz Hrmitin x Apêndic B: Gráficos ds quçõs trnscndntis m função d nrgi

12 Cpítulo Introdução CAPÍTUO INTRODUÇÃO Muitos fnômnos nturis s procssm trvés d trnsport d prtículs. Tods s prtículs podm sr trnsportds, como prótons, núclos létrons. As rçõs d trnsfrênci d létrons T são indispnsávis pr o dsnvolvimnto d vid. m sistms físicos, químicos biológicos ss tipo d rção stá rlciondo à trnsfrênci d nrgi. Vários xmplos podm sr citdos, ntr ls: fotossínts, rspirção clulr, lém ds intrçõs ntr protíns outros. Por st motivo o fnômno d trnsfrênci ltrônic é um ds árs d psquis mis mpls ds ciêncis molculrs modrns, sj pl motivção biológic fotossínts, fosforizção oxidtiv ou tcnológic nnotcnologi []. O studo d dinâmic dos procssos biológicos foi sndo primordo cd vz mis dvido um grnd curiosidd por sistms nvolvndo T. Dsd 960 psquisdors tm studdo trnsfrênci ltrônic m citocromo c []. Dvult m 966 vid rfrênci [3] sugriu qu o trnsport d létrons, pl pqun mss do létron, podri sr trtdo qunticmnt. m sguid, Dvult [4] rltou xprimntos qu mostrm indpndênci d tmprtur m procssos d T bixs tmprturs. Psquiss mostrrm qu com diminuição d tmprtur hvi tmbém um diminuição d T, porém prtir d um crt tmprtur T s mnti constnt. ss indpndênci lvou conclusão d qu T nst cso ocorr por tunlmnto ltrônico. Sgundo Mrcus [5], cuj tori é um ds mis importnts no studo d T, tx d trnsfrênci ltrônic m solução é dtrmind por dois ftors: o gru d intrção ltrônic mudnçs ns configurçõs nuclrs do dodor do rcptor qundo gnh ou prd um létron. São crctrizdos como dodor todo átomo qu o s ionizr do um létron pr bnd d condução m tmprturs muito bixs o létron prmnc ssocido o átomo. São chmdos d rcptors os átomos qu citm létrons d bnd d vlênci pr compltr s ligçõs covlnts com os átomos vizinhos, dixndo burcos ns bnds. m

13 Cpítulo Introdução tmprturs muito bixs, o burco prmnc ssocido o átomo [6]. ss trnsição d létrons xistnt ntr os dodors os rcptors xig um crt quntidd d nrgi, sndo ssim um létron sob um nívl d nrgi qundo gnh nrgi, nqunto um burco dsc o gnhr nrgi. Nst trblho é sugrido um possívl modlo pr T utilizndo um ds gomtris pr o poço duplo qudrdo unidimnsionl ssimétrico PDQUA. Um spcto importnt sr dstcdo é qu os poços qudrdos, principlmnt quls nvolvndo dois mínimos bistávis, prmitm cálculos xtos d tmpo d tunlmnto. O tunlmnto é um fnômno quântico bstnt importnt qu s rlcion com brrirs d nrgi potncil. l é usdo pr xplicr, por xmplo, o movimnto d prótons m ligçõs d hidrogênio [7], invrsão intrmolculr d môni [7] trnsfrênci d létrons m protíns [4]. Poços d potnciis qudráticos bistávis podm sr clssificdos como simétricos [8] ou ssimétricos. Poços duplos simétricos são quls m qu os dois poços têm msm lrgur, profundidd brrirs. Nos poços ssimétricos, plo mnos um dsss prâmtros é difrnt. Nst trblho são studdos quls m qu pns s profundidds dos dois poços, qu formm o poço duplo ssimétrico, são difrnts. ss tipo d poço duplo ssimétrico possibilit o prisionmnto d um prtícul, dvido à difrnç d profundidd dos dois poços. No Cpítulo é rsolvido o poço duplo qudrdo unidimnsionl simétrico PDQUS, dtrminndo solução d qução d Schrödingr indpndnt do tmpo [8] dss sistm. Tmbém é studdo sistms d dois nívis dduzid fórmul d Rbi, qu possibilit stimr o tmpo d tunlmnto, já qu no PDQUS todos os stdos são rssonnts. No próximo cpítulo é rsolvido, sguindo o msmo rciocínio do cpítulo ntrior, o poço duplo qudrdo unidimnsionl ssimétrico, poço tomdo como modlo pr o studo d T. Pr vrificr consistênci do rsultdo obtido é fit um proximção do PDQUA pr o PDQUS. Aind nst cpítulo é stimdo o tmpo d trnsição d um stdo ltrônico pr outro. No cpítulo 4 é proposto um possívl modlo pr T utilizndo o PDQUA. xmplos numéricos, dtrminndo os utovlors d nrgi juntmnt com tx d tunlmnto pl formul d Rbi [7], o tmpo d trnsição ltrônic, são mostrdos no cpítulo 5. Nst msmo cpítulo é fit um pqun prsntção do sistm biológico crctrístico, cujos

14 Cpítulo Introdução 3 prâmtros srvirm d inspirção pr outros xmplos do PDQUA. Por fim, no último cpítulo é prsntd conclusão d todo st trblho.

15 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico 4 CAPÍTUO POÇO DUPO QUADRADO UNIDIMNSIONA SIMÉTRICO. Dscrição Poços d potnciis qudrdos têm sido bstnt xplordos, tnto do ponto d vist d plicção como introdução didátic à Mcânic Quântic. xistm bm poucos potnciis dss tipo qu são trtdos nliticmnt n litrtur, mbor váris gomtris nvolvndo sss poços d potnciis possm sr construíds. O poço duplo qudrdo unidimnsionl simétrico [8] possui cinco difrnts rgiõs rprsntds n figur.. A rgião III dst figur é um brrir d potncil V 0 qu spr os poços mis profundos ds rgiõs II IV, ond o potncil é considrdo nulo. Nos xtrmos opostos dst poço, rgiõs I V, o potncil é infinito. O objtivo dst cpítulo é rsolvr o PDQUS obtndo s quçõs trnscndntis, qu dtrminm os nívis d nrgi sus utofunçõs. Figur.- Rprsntção do poço duplo qudrdo unidimnsionl simétrico.

16 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico 5. Solução Anlític O potncil V x sr studdo é dscrito por: V x V x 0 x V0 V V x 0 V x x < I < x < II < x < III. < x < IV x > V Os lgrismos romnos indicm s rgiõs spciis qu o potncil é constnt, como pod sr visto n figur.. A qução d Schrödingr unidimnsionl indpndnt do tmpo tm sguint form: d m dx pod sr plicd ns divrss rgiõs: d m dx Rgião II IV: Ψ x Ψ x d m dx Ψ x V x Ψ x Ψ x Rgião III: Ψ x V x Ψ x Ψ x 0, nrgi totl mnor qu brrir d potncil Considrndo o sistm como sndo um prtícul sujit o poço d potncil su nrgi totl do sistm como sndo mnor qu brrir d potncil < V 0, pod-s dtrminr s utofunçõs d cd rgião; ou sj:

17 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico 6 Rgião I: Ψ x 0..5 Rgião II: x A sn x A cos. Ψ.6 x x x Rgião III: Ψ x B C..7 Rgião IV: x D sn x D cos. Ψ.8 x Rgião V: Ψ x 0..9 Ns xprssõs cim, quçõs.5.8, dotou-s: m.0 V m 0.. Ns quçõs.0. A, A, B, C, D D são constnts. Ns rgiõs I V função d ond é nul dvido o potncil sr infinito. Isso signific qu ns frontirs xtrns dos poços, x stisfz s sguints condiçõs d contorno: Ψ Ψ 0.. Aplicndo sts condiçõs n solução d rgião II, qução.6, obtm-s: Ψ A sn cos 0, A.3 n solução d rgião IV, qução.8, obtm-s: Ψ D sn cos 0. D.4 Pr qu s quçõs.3.4 sjm iguis zro ns frontirs xtrns do poço é ncssário qu um ds opçõs sguir sj obdcid: Opção : A D 0,.5 Ψ x π A cos x, rgião II.6

18 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico 7 Ψ x. π D cos x Um outr possibilidd d obtr s quçõs.3.4 é: Opção : rgião IV.7 A D 0,.8 Ψ x A snx, rgião II.9 Ψ x Dsn x. rgião IV.0 As dus opçõs dscrits cim lvm solução do problm. Trblhndo com opção, o próximo psso é plicr continuidd ns funçõs d ond su drivds nos pontos x ±. ntão, pr x tm-s: Pr x tm-s: A A sn cos D sn B C. B C.. B C.3 D cos B C..4 As quçõs..3 corrspondm à continuidd d função d ond nos pontos indicdos cim. As quçõs..4 corrspondm à continuidd d drivd d função d ond nsss pontos. Isolndo A d qução. substituindo m., tm-s: B C cot cot..5

19 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico 8 O vlor d constnt D pod sr obtido sguindo o msmo rciocínio. Isolndo D d qução.3 substituindo m.4, chg-s : B C cot cot..6 O msmo rciocínio pod sr fito pr opção, chgndo nos sguints rsultdos: B C B C π tn π tn π tn π tn,.7..8 π π mbrndo qu cot tn tn, chg-s qu qução.5 é igul.7 qução.6 é quivlnt.8. Portnto s opçõs lvm o msmo rsultdo. Igulndo qução.5 com.6, obtém-s: ou sj, cot cot cot cot ±, Com um dsnvolvimnto lgébrico rlção cim pod sr rscrit m trmos d funçõs hiprbólics, cujo rsultdo é consistnt o obtido n rfrênci [8]. Assim, qução.30 pss sr scrit por dus xprssõs: cot tnh,.3. cot coth..3.b

20 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico 9 Com sss quçõs trnscndntis, qução.3.3b, é possívl obtr os utovlors d nrgi dntro do poço, trvés d intrscção ds curvs dsss quçõs m função d nrgi... nrgi mior qu brrir d potncil O msmo rciocínio fito pr nrgi mnor qu o vlor d brrir V 0, pod sr fito pr nrgi totl mior qu brrir d potncil >V 0. Qundo nrgi do sistm é mior qu brrir d potncil V 0, solução do problm ns rspctivs rgiõs spciis é dd por: Rgião I: Ψ x 0..3 Rgião II: x A sn x A cos. Ψ.33 x Ψ.34 Rgião III: x Bsn x C cos x. Rgião IV: x D sn x D cos. Ψ.35 x Rgião V: Ψ x Nss cso, são dfinids: m.37 V m 0,.38 Ns quçõs A, A, B, C, D D são constnts. O msmo procdimnto fito pr função d ond ns frontirs xtrns do poço pr nrgi mnor qu brrir d potncil, pod sr utilizdo nst cso. Como função d ond prmnc msm ns rgiõs II IV o rsultdo dst nális é o msmo já discutido ntriormnt. Considrndo A D 0, tm-s: Rgião II: Rgião IV: Ψ x A sn x,.39

21 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico 0 Ψ x D sn x..40 A função d ond tm qu sr contínu m ± x, ntão pr x, tm-s: cos C Bsn sn A.4 cos cos sn C B A..4 Por outro ldo, pr x, tm-s: cos C Bsn sn D.43 cos cos sn C B D..44 As quçõs.4.43 corrspondm à continuidd ds funçõs d ond nos dois pontos considrdos, nqunto.4.44 rprsntm continuidd ds drivds dsts funçõs nos pontos m qustão. Isolndo A n qução.4 substituindo m.4, obtém-s: cos cot cot cos sn sn C B..45 Isolndo D n qução.43 substituindo m.44, obtém-s: cot cos cot cos sn sn C B..46 Igulndo qução.45.46, tm-s: sn cot cos,.47

22 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico rsultndo n qução trnscndntl: tn cot..48 Porém, considrndo qução.47, obtém-s B 0. A qução.46 pod sr rscrit como: sn cos cot B..49 C cos sn cot Igulndo qução.45 com qução.49, obtém-s: cos sn cot,.50 qu rsult n qução trnscndntl: cot cot..5 D cordo com qução.50, C 0. Com s quçõs trnscndntis.48.5 torn-s possívl dtrminr os utovlors d nrgi cim d brrir cntrl >V 0 trvés d um nális gráfic, loclizndo o ponto d intrscção ntr s curvs dsss quçõs m função d nrgi..3 Sistms d dois nívis.3. Dscrição O studo prsntdo qui trt d um sistm d somnt dois stdos. A tori é formuld m trmos d um spço vtoril sobr os númros complxos, no qul stá dfinido um produto sclr hrmitino [7]. Inicilmnt o sistm físico é constituído d um bs com dois utostdos ϕ ϕ d um Hmiltonino H 0, cujos os utovlors são, rspctivmnt,. ntão pod-s scrvr:

23 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico H 0 ϕ ϕ, H 0 ϕ ϕ..5 Os utostdos formm um bs ortonorml, ou sj, o produto intrno é zro norm é igul um. Podndo scrvr: O símbolo é dlt d Kronrr, significndo qu: ϕ i ϕ j ij, sndo i,j,..53 ϕ i ϕ j ij, ϕ i ϕ j 0 i j..54 Os utostdos ϕ ϕ são stdos stcionários, sndo qu pr um possívl trnsição é convnint ssumir um prturbção xtrn. Considrndo um prturbção ssocid à H 0, tm-s qu: H H 0,.55 rsultndo nos novos utostdos novos utovlors: H ψ ψ, H ψ - ψ. A prturbção é rprsntd pl mtriz Hrmitin n bs { ϕ, ϕ } : Mtrizs qu rprsntm oprdors hrmitinos m bss ortonormis s crctrizm por tr: *,.58 nqunto são ris, ou sj, digonl só possui númros ris. A primir tp do cálculo pr obtr probbilidd d trnsição é dtrminr os utovlors - m função dos ntigos nívis d nrgi. É ncssário tmbém stblcr rlção ntr os novos utostdos ψ ψ _ os ntigos ϕ ϕ.

24 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico 3.3. fito d prturbção nos stdos stcionários do sistm Considrndo H 0 como sndo um oprdor hmiltonino, linr hrmitino, com um rprsntção digonl dscrit por: H 0ij i ij,.59 é possívl scrvr st qução.59 como mtriz, n qul, os trmos for d digonl são nulos, como mostrdo sguir: H 0 H 0 0 H 0 H 0 0. N bs { ϕ, ϕ }, mtriz rprsntndo H é scrit como: H.60.6 A digonlizção d mtriz cim pr ncontrr os utovlors - os utovtors ψ ψ _ é ftud m dtlhs n pêndic A. Os utovlors, ncontrdos pós digonlizção, são: 4, 4. Os utovtors m função dos utostdos iniciis ϕ ϕ Ψ, são: ϕ 4 4 ϕ Ψ 4 ϕ 4 ϕ Assumindo qu mtriz é purmnt não digonl, isto é, 0, xprssão.6 torn-s:.

25 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico 4 4, 4. Assumindo fixo dotndo sguint notção:.64 m.65 Δ,.66 Os utovlors d rlção.63 podm sr rscritos como: m Δ, m Δ..67 Vrindo o Δ n qução.6 o rsultdo gráfico são dois rmos d hipérbol simétric cujs ssíntots são s dus linhs rts ssocids os nívis não prturbdos. N usênci d prturbção, os nívis s cruzm n origm linhs trcjds n figur.. Com o umnto d prturbção, os dois nívis prturbdos s fstm ntr si. Qundo Δ 0, tm-s qu os nívis prturbdos podm sr scritos como: m, m. Com s xprssõs d qução.68, fzndo ds curvs.68 obtém-s um sprção mínim d m Δ 0 como mostrdo n figur.. As ssíntots s cruzm n origm, ou sj, 0. Nsss condiçõs pl qução tm-s qu rsultndo m -. m 0, Anlisndo qução.66 é possívl prcbr qu, s >, ntão proxim-s d proxim-s d. Por outro ldo, s <, ntão proxim-

26 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico 5 s d, proxim-s d. sts comprçõs podm sr visulizds nos gráficos mostrdos n figur.. Figur.-Gráfico d vrição ds nrgis m rlção difrnç d nrgi Δ. Ns proximidds ds ssíntots, isto é, pr Δ >>, s fórmuls m.64 podm sr scrits n form d um xpnsão m séri d potêncis m Δ como sgu: Δ m..., Δ.69 Δ m.... Δ Atrvés d nális do gráfico d vrição ds nrgis m rlção à difrnç d nrgi Δ é possívl concluir qu o fito d prturbção é mis importnt qundo os nívis não prturbdos possum msm nrgi. Obsrv-s tmbém qu pr um prturbção frc, ou sj, >>, os stdos prturbdos difrm pouco dos

27 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico 6 stdos não prturbdos. Qundo prturbção é fort << os stdos ψ ψ são muito difrnts dos stdos ϕ ϕ..3.3 Aspcto dinâmico: oscilção do sistm ntr dois stdos não prturbdos.3.3. volução do vtor stdo Considr um vtor d stdo Ψ dpndnt do tmpo, scrito m trmos dos utostdos do hmiltonino não prturbdo ϕ ϕ ; ou sj: t t ϕ t ϕ A função d ond do létron livr é dd por : Ψ..70 t x i t px Ψ, A,.7 Drivndo qução cim m rlção o tmpo, chg-s: d i Ψ t Ψ t..7 dt N prsnç d prturbção, volução do vtor Ψ t é dd pl qução d Schrödingr : d i Ψ t H Ψ t,.73 dt ond H H 0. Sndo um mtriz não digonl, o hmiltonino pod sr scrito como um mtriz d form: 0 0 H A qução.73 pod sr rscrit como: d t t i dt t t,.75 ou sj, d i t t t,.76 dt

28 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico 7 Considrndo qu xpndir qulqur stdo t com: d t t t..77 dt i ϕ n, τ form um bs, é smpr possívl, pr qulqur tmpo t, Ψ do sistm m trmos d n τ [7]; ou sj: c n t ϕ, Ψ t, τ ϕ n, τ,.78 n, τ t Ψ t cn, τ ϕ n, τ..79 Projtndo qução.78 n qução d Schrödingr, obtm-s: i d dt c n, τ t t ss qução pod sr intgrd dirtmnt, rsultndo m: n t c t c n τ in tt0 n, τ 0,..80 cn, τ..8 Substituindo n qução.78, obtém-s: Ψ t cn t 0 n τ in tt0, τ ϕ n, τ..8 Rtornndo o nosso cso, no qul ϕ n, τ é Ψ Ψ ; t 0 0, qução.8 é dd por: λ Ψ μ Ψ ψ 0,.83 ond os coficints λ μ são fixdos pls condiçõs iniciis, ntão, pr um tmpo t, tm-s: i t Ψ Ψ it t λ μ Ψ..84 Assumindo qu o sistm m t 0 stá m ϕ : 0 ϕ Ψ.85 pod-s clculr probbilidd d ncontrá-lo no stdo ϕ m um tmpot.

29 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico b Cálculo d probbilidd t P ; Fórmul d Rbi Ants d inicir o cálculo d probbilidd é ncssário conhcr o stdo inicil ϕ tmbém ϕ. st procsso é fito no pêndic A trvés d invrsão dos utovtors Ψ Ψ. Tomndo condição inicil 0 ϕ Ψ, o stdo inicil torn-s igul : Ψ 0 ϕ Ψ 4 - Ψ Comprndo com qução.83, chg-s nos vlors d λ μ, como sndo: λ 4.87 μ Assim, voltndo qução.84, tm-s Ψ t 4 Ψ t i - 4 Ψ t i..89 A probbilidd d trnsição por su vz é dd por t t P Ψ ϕ, sndo qu:

30 Cpítulo Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Simétrico 9 ϕ Ψ t. 4 4 i t it..90 lvndo xprssão cim o qudrdo chg-s P t 4 4 sn t 4 t 4 4 sn..9 st qução é chmd fórmul d Rbi [7] fornc probbilidd d trnsição do sistm ntr o stdo ϕ ϕ durnt um tmpo t. Anlisndo qução.9 vrific-s qu o vlor máximo ocorr qundo: T π..9 ss qução fornc um príodo d oscilção, xtríd função Sno, qu vl: π T ; 0,, Qundo os stdos ϕ ϕ têm msm nrgi não prturbd,, tm-s 4 [ 4 ] torn-s igul o vlor um. Nst cso trt-s d um sistm rssonnt corrspondndo ntão o máximo d probbilidd. Pr sistms 4 não rssonnts o trmo [ é mnor qu o vlor um. 4 ] Portnto o príodo pss sr, π T, ou sj, s o sistm stá inicilmnt no stdo ϕ, pós trnscorrido um tmpo T irá s ncontrr no stdo ϕ.

31 Cpítulo 3 Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico 0 CAPÍTUO 3 POÇO DUPO QUADRADO UNIDIMNSIONA ASSIMÉTRICO 3. Dscrição O objtivo dst cpítulo é ncontrr solução nlític d qução d Schrödingr indpndnt do tmpo pr o poço duplo qudrdo unidimnsionl ssimétrico PDQUA. st poço pod sr usdo, por xmplo, no prisionmnto tômico trnsfrênci ltrônic dvido à difrnç d profundidds, V 0 V, ntr poços vizinhos, no qul V > V0 rprsntção do potncil V x s ncontr n figur 3.. Nst figur xistm cinco rgiõs indicds, ond brrir d potncil V 0 stá situd à squrd d rgião III outr d potncil V loclizd à dirit. st rgião spr os poços d rgião II IV. O potncil n rgião II é V V0 n rgião IV é nulo. Ns rgiõs I V o potncil é infinito. Nst cpítulo são obtids s quçõs trnscndntis pr nrgi do sistm bixo d V V 0, pr nrgi ntr o dois mínimos d potncil pr nrgi cim d brrir d potncil cntrl.. A Figur 3. Rprsntção do V x no poço duplo qudrdo unidimnsionl ssimétrico.

32 Cpítulo 3 Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico 3. Solução Anlític O potncil ssimétrico, V s x, como dscrito cim indicdo n figur 3., pod sr scrito por: V s x x < I V s x V V0 < x < II V s x V < x < III 3. V s x 0 < x < IV V s x x > V Um vz qu função d ond é zro ns rgiõs I V, qução d Schrödingr indpndnt do tmpo é plicd ns rgiõs II, III IV: d m dx 0 Rgião II: Ψ x V Ψ x V Ψ x Ψ x d m dx Rgião III: Ψ x V Ψ x Ψ x d m dx Rgião IV: Ψ x Ψ x, 3., 3.3, 3.4 Podmos idntificr três csos distintos pr st poço. O primiro ocorr qundo nrgi é mnor qu V -V 0 [0 < < V -V 0 ], nss cso há pns possibilidd d ocorrr nívis d nrgi no poço mis profundo. O sgundo cso ocorr qundo o vlor d nrgi totl stá ntr os vlors d ltur ds brrirs [ V V0 < < V ], nss situção é possívl qu função d ond s distribu nos dois poços. Por fim, qundo nrgi é mior qu V [ > V ] os nívis d nrgi strão cim d brrir d potncil intrn.

33 Cpítulo 3 Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico 3.. nrgi do sistm bixo d V V 0 O primiro cso studdo rfr-s < V V ]. Nss situção, solução d [ 0 qução d Schrödingr indpndnt do tmpo pr s cinco rgiõs do poço duplo qudrdo unidimnsionl ssimétrico é dd por: Rgião I V: Ψ x 0, 3.5 x x Rgião II: Ψ x A A 3.6 x x Rgião III: Ψ x B C 3.7 Rgião IV: x D sn x D cos, x Ψ 3.8 com A, A, B, C, D, D sndo constnts srm dtrminds pl continuidd d função d ond su drivd, lém d condição d normlizção. Os prâmtros, form introduzidos pr simplificr notção, pr ss cso ls vlm: m[ V V0 ], 3.9 m V, 3.0 m. 3. Ns rgiõs I V função d ond é nul dvido o potncil sr infinito. Isso signific qu, ns frontirs xtrns dos poços, Ψ x stisfz: Ψ rlção: Ψ 0. Aplicndo st condição n rgião II, obtmos sguint A A. 3. A solução d rgião IV é rduzid d sguint form: Ψ x Dsn x. 3.3

34 Cpítulo 3 Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico 3 Outr condição sr usd é continuidd ds funçõs d ond sus drivds nos pontos x ±. Isso implic pr x qu: C B A A, 3.4 C B A A, 3.5 pr x qu: C B D sn, 3.6 cos C B D. 3.7 As quçõs corrspondm à continuidd d função d ond nos pontos indicdos s quçõs corrspondm à continuidd ds drivds ds funçõs d ond. Pr obtr um rlção ntr sss quçõs, o primiro psso é substituir qução 3. n qução 3.4 ncontrndo um xprssão d A m função ds constnts B C. Outr xprssão pr A m função ds msms constnts pod sr ncontrd substituindo qução 3. n qução 3.5. Igulndo sss dus xprssõs é possívl obtr sguint rlção: [ ] [ ] C B. 3.8 Por outro ldo, isolndo D d qução 3.6 substituindo m 3.7 chg-s : cot cot C B. 3.9 Pr obtr qução trnscndntl pr o cso m qu [0 < < V -V 0 ] bst igulr qução 3.8 com qução 3.9, rsultndo m: [ ] [ ] [ ] [ ] cot cot. 3.0 Com o gráfico dst qução trnscndntl m função d nrgi é possívl obtr os utovlors d nrgi bixo d V V 0, pois, são xprssõs qu contém nrgi.

35 Cpítulo 3 Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico nrgi do sistm ntr os dois mínimos d potncil Considrndo o sgundo cso [V -V 0 < < V ], solução d qução d Schrödingr m cd rgião é dd por: Rgiõs I V: Ψ x 0, 3. Rgião II: x A sn x A cos. x Ψ 3. x x Rgião III: Ψ x B C. 3.3 Rgião IV: x D sn x D cos. x Ψ 3.4 sndo qu A, A, B, C, D, D são constnts obtids pl continuidd d função d ond su drivd pl condição d normlizção. Nsss difrnts rgiõs são ddos: [ V V0 ], m 3.5 m V 3.6 m. 3.7 Ψ mbrndo qu ns rgiõs I V função d ond é nul, rsultndo n condição Ψ 0. Aplicndo st condição ns soluçõs d rgião II d rgião IV obtmos s funçõs d ond, rspctivmnt: Ψ x A sn x 3.8 Ψ x Dsn x. 3.9

36 Cpítulo 3 Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico 5 Outr condição sr usd é continuidd ds funçõs d ond sus drivds nos pontos x ±. Isso implic pr x : Por outro ldo pr A sn B cos A x : D sn cos B B C C C 3.3 C D B As quçõs corrspondm à continuidd d função d ond nos pontos indicdos s quçõs corrspondm à continuidd ds drivds dsss funçõs d ond. Pr obtr um rlção ntr sss quçõs, é possívl isolr A d qução 3.30 substituir n qução 3.3 obtndo: B C cot cot Por outro ldo, isolndo D d qução 3.3 substituindo m 3.33 chg-s : B C cot cot Finlmnt, pr obtr qução trnscndntl pr o cso m qu [ V V0 < < V ] bst igulr qução , rsultndo m: [ cot ] [ cot ] [ cot ] [ cot ] Com qução 3.36 torn-s possívl conhcr os utovlors d nrgi ntr os dois mínimos d potncil, trvés do ponto d intrscção do gráfico dst qução m função d nrgi.

37 Cpítulo 3 Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico nrgi cim d brrir d potncil cntrl O trciro cso pr o poço duplo ssimétrico é qundo nrgi é mior qu brrir d potncil V > V. A solução d qução d Schrödingr indpndnt do tmpo pr s cinco rgiõs do poço duplo qudrdo unidimnsionl ssimétrico, nst cso, é dd por: Rgião I V: Ψ x 0, 3.37 Rgião II: x A sn x A cos, x Ψ 3.38 Rgião III: x Bsn x C cos x, Ψ 3.39 Rgião IV: x D sn x D cos, Ψ 3.40 x Novmnt, s constnts A, A, B, C, D, D são obtids pl continuidd d função d ond su drivd pl constnt d normlizção. Tmbém form introduzidos os prâmtros: [ V V ] m 0, 3.4 V m 3.4 m Aplicndo condição d qu, função d ond é igul zro qundo o potncil for infinito ns soluçõs d rgião II d rgião IV, obtmos s funçõs d ond, rspctivmnt: Ψ x A sn x 3.44 Ψ x Dsn x. 3.45

38 Cpítulo 3 Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico 7 Sguindo os msmos pssos indicdos nos csos ntriors, ou sj, dotndo considrndo continuidd n função d ond n su drivd m x ±, chg-s s sguints rlçõs: sn C Bsn A cos, 3.46 C B cot tn cot tn, 3.47 sn C Bsn D cos, 3.48 C B cot tn tn cot Rlcionndo qução , tm-s qução trnscndntl qu prmit dtrminção dos utovlors d nrgi pr V > : cot tn cot tn cot tn tn cot Com ss rsultdo o problm originl é compltmnt rsolvido. Prticulrmnt, nrgi do sistm é dd pl qução 3.0, 3.36 ou 3.50, dpndndo do cso sr nlisdo. 3.3 Rdução d solução obtid pr o cso simétrico Usndo s soluçõs conhcids pr nrgi do poço simétrico é possívl tstr vlidd d solução ncontrd no cso ssimétrico. Pr qu o poço duplo ssimétrico s

39 Cpítulo 3 Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico 8 rduz o poço duplo simétrico bst fzr V 0 V, isso implic m qu. Usndo sss rlçõs n xprssão 3.36, V <, chg-s n qução: cot cot ± Mnipulndo lgbricmnt ss rlção, rscrvndo- m trmos d funçõs hiprbólics, é possívl vrificr qu l corrspond xtmnt s quçõs.3.3b. Por outro ldo, pr > V, substituição d por lmbrndo qu n xprssão 3.50 fornc dirtmnt qução.48.5, como sprdo. st nális mostr consistênci ntr s soluçõs obtids pr os poços duplos qudrdos unidimnsionis simétrico ssimétrico Tmpo d trnsição ltrônic Sgundo tori quântic não é possívl dtrminr posição o momnto d um prtícul com prcisão mior qu o Princípio d Incrtz d Hisnbrg ou Princípio d Indtrminção [9]. st princípio firm qu não é possívl dtrminr simultnmnt posição o momnto, ond p possui um incrtz p no msmo instnt x possui um incrtz x, rsultndo d sguint qução: Δx Δp. 3.5 S o momnto p é mdido xtmnt, incrtz n posição x é norm p 0 x s posição é conhcid xtmnt, incrtz no momnto p é infinit p x 0 [9]. ss msmo rciocínio pod sr mprgdo ns mdids d nrgi do tmpo t, como no cso d missão d um fóton com nrgi n intrvlo d tmpo t, no qul: Δ Δt, 3.5 sndo incrtz d nrgi t incrtz do intrvlo d tmpo t. O tmpo d trnsição do létron d um nívl pr o outro, pod sr stimdo plo Princípio d Incrtz scrito n qução 3.5, como sndo:

40 Cpítulo 3 Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico 9 Δt, Δ 3.53 Ond corrspond vrição dos nívis d nrgi do PDQUA studdo t é um stimtiv do intrvlo d trnsição ltrônic. A qução 3.53 é muito smlhnt qução.93 pr o tmpo d tunlmnto no Cpítulo dst trblho, visto qu difrnç st nos nívis d nrgi nvolvidos, crctrizndo ssim o tmpo qu st sndo studdo.

41 Cpítulo 4 Um modlo pr trnsfrênci d létrons 30 CAPÍTUO 4 UM MODO PARA A TRANSFRÊNCIA D ÉTRONS Utilizndo gomtri do PDQUA é possívl formr um modlo d trnsfrênci d crg. O modlo proposto é constituído d um sistm com um distribuição d nívis bstnt prticulr. O primiro nívl, o stdo fundmntl, stá loclizdo somnt no poço d mior profundidd. O sgundo trciro nívl d nrgi s ncontrm ntr os dois poços, nqunto os outros nívis stão cim d brrir intrn. Considrndo poços individuis, é possívl qu dois nívis d nrgi coincidm, ss cso é chmdo d rssonnt. Por outro ldo, os nívis dos poços individuis podm não coincidir, o qu lv o cso não rssonnt. ss distinção é muito útil m studos d tunlmnto [0], sndo qu qundo os stdos são rssonnts probbilidd d tunlmnto é muito mior qu quls dos csos ond não há rssonânci vid, por xmplo, rf. [7] discussão fit n sssão.3 do Cpítulo 3 dst trblho. O cso rssonnt é usdo no modlo pr possibilitr um mlhor crctrizção ficiênci do tunlmnto do létron. N rssonânci há um dsdobrmnto do nívl d nrgi, rsultndo m um nívl d nrgi bixo do nívl originl outro com nrgi cim, mbos com vlors d nrgi próximos o nívl d nrgi do poço individul. O qurto nívl d nrgi stá loclizdo cim d brrir d potncil é o primiro nívl dos infinitos nívis d nrgi prsnts cim d brrir. Dpois d comprndido como é formdo o poço studdo, é ncssário ntndr todo o prcurso qu o létron fz dntro dst sistm. Primirmnt, o létron s ncontr no poço d mnor profundidd no su stdo fundmntl. Dvido ss configurção, o poço m qu s ncontr o létron é o dodor o poço d mior profundidd é o rcptor psso d figur 4.. O létron pss pr o outro ldo do poço por tunlmnto, pois os nívis d nrgi são rssonnts. Nss procsso o poço rcptor fic ionizdo ngtivmnt o dodor fic ionizdo positivmnt psso d figur 4.. Qundo o létron tunl pr o poço d mior profundidd l não stá mis no stdo fundmntl, sndo possívl qu l dci pr o stdo fundmntl do poço mior, librndo um quntidd h d nrgi. ss procsso rsult m um trnsição ltrônic. No próximo

42 Cpítulo 4 Um modlo pr trnsfrênci d létrons 3 psso dss procsso o létron rcb um quntidd d nrgi h suficint pr qu o létron sub pr o nívl d nrgi cim d brrir intrn do sistm psso 3 d figur 4.. Como st nívl d nrgi stá cim d brrir d potncil, o létron tnd pssr pr o poço dodor por str crrgdo positivmnt por consqüênci do potncil coulombino crido por st psso 4 d figur 4.. Qundo o létron fz ss pssgm, tnto o dodor como o rcptor ficm nutros. Pr finlizr st ciclo, o létron ntão dci pr o stdo fundmntl do poço d mnor profundidd, rtornndo o stdo inicil. Figur 4.- Digrm do modlo proposto pr trnsfrênci d létrons. As linhs zuis rprsntm os nívis d nrgi no PDQUA o ponto vrmlho simboliz crg, nst cso, o létron.

43 Cpítulo 5 xmplos numéricos o studo d sistms biológicos crctrísticos 3 CAPÍTUO 5 XMPOS NUMÉRICOS O STUDO D SISTMAS BIOÓGICOS CARACTRÍSTICOS Nst cpítulo são fitos lguns xmplos numéricos utilizndo s quçõs trnscndntis 3.0, pr dtrminr os utovlors d nrgi trvés do gráfico dsss quçõs m função d nrgi. Os utovlors são dtrmindos plo ponto d intrscção d curv plotd trvés d prt squrd ds quçõs trnscndntis outr curv d prt dirit d qução. sss gráficos s ncontrm no pêndic B dst trblho. Todos os xmplos qui studdos são rlciondos o PDQUA ilustrdo n figur 5., sndo qu lrgur, distânci ntr os poços, o potncil V 0 V são vridos m 3 cd xmplo. Outros vlors fixdos form m 9,09 x0 g, qu corrspond à mss do 34 létron,,055x0 J.s qu corrspond, como usul, à constnt d Plnc dividid por π. Um poço duplo qudrdo pod sr considrdo como junção d dois poços simpls, no qul cd poço simpls possui um xtrmidd com um brrir infinit n outr um potncil finito V 0. Cso os poços simpls possum s msms brrirs d potncil 0 V lrgurs o rsultdo d junção dos dois poços simpls trvés d brrir consist m um poço duplo simétrico. Por outro ldo, s os poços simpls possum difrnts brrirs d potncil, V 0 V, por xmplo, ntão o rsultdo é o poço duplo ssimétrico, conform mostrdo n figur 5.. Nst figur s linhs m zul rprsntm os utovlors d nrgi pr o poço simpls s linhs m vrmlho rprsntm os utovlors pr o poço duplo. Pr o poço simpls d mior profundidd V, 0 rprsnt o stdo fundmntl rprsnt o primiro stdo xcitdo. O nívl d nrgi, loclizdo no poço d mnor profundidd V 0, foi dtrmindo com condição d rssonânci, m qu. st condição foi fit vrindo o vlor d V 0 ds distâncis nvolvids no PDQUA. O stdo fundmntl do poço duplo stá simbolizdo por * 0, - rprsntm os stdos rssonnts 3 é o primiro nívl cim d brrir d potncil.

44 Cpítulo 5 xmplos numéricos o studo d sistms biológicos crctrísticos 33 Figur 5. Poço Duplo Qudrdo Unidimnsionl Assimétrico com idntificção dos prâmtros utilizdos. Os utovlors d nrgi indicdos m vrmlho corrspondm os utovlors do poço duplo. Os utovlors indicdos m zul stão rlciondos o poço simpls. Com os utovlors d nrgi é possívl clculr tx d tunlmnto, qução.93 xprss prtir d fórmul d Rbi.9, o tmpo ncssário pr qu o létron poss dcir pr o stdo fundmntl no poço d mior profundidd, dnomindo tmpo d trnsição ltrônic, pod sr stimdo usndo o Principio d Incrtz como dscrito n scção 3.4. O tmpo crctrístico d dcimnto ntr os nívis pl xprssão: * 0 é clculdo Δt * A ficiênci do ciclo rprsntdo n figur 4., tmbém pod sr clculdo trvés dos utovlors d nrgi utilizdo qução 4..

45 Cpítulo 5 xmplos numéricos o studo d sistms biológicos crctrísticos xmplo Numérico: Nst primiro xmplo os vlors utilizdos pr prmtrizr o PDQUA crctrizdo n figur 5., form: V 30,6 V V 0 50 V. Cd poço possui o tmho d Å sprdos por um distânci d Å mdid plo cntro d cd poço, ou sj, brrir intrn tm Å d lrgur. Os gráficos ds quçõs trnscndntis 3.0, m função d nrgi corrspondm os gráficos B., B. B.3, rspctivmnt n Apêndic B. Os gráficos d qução trnscndntl m função d nrgi pr os poços V V 0 individuis tmbém s ncontrm no pêndic B corrspondndo os gráficos B.4 B.5. Os utovlors d nrgi pr o poço duplo pr o poço simpls obtidos nst xmplo s ncontrm n tbl 5. Poço Simpls Autovlors d Poço Duplo Autovlors d nrgi m V. nrgi m V. 0 7,6 * 0 7,6 0,750 04,089 0,804-0, ,54 Tbl 5. Autovlors d nrgi m V pr o PDQUA com 30,6 V 50 V d profundidd Nst tbl é possívl notr qu o utovlor d nrgi pr o stdo fundmntl do poço individul V 0 stá próximo o do stdo fundmntl do poço duplo * 0, como o sprdo, com um dsvio d 0,33%. Anlisndo somnt o poço simpls, o nívl d nrgi possui um dsvio d 0,053% m rlção. No poço duplo, os utovlors d nrgi duplicdos por consqüênci d rssonânci stão um bixo outro cim dos nívis d nrgi originis, como o sprdo. O cálculo d porcntgm é fito dividindo os utovlors d nrgi m qustão, subtrído um unidd multiplicdo o rsultdo por 00. O tmpo d tunlmnto juntmnt com o tmpo d trnsição ltrônic form clculdos trvés dos utovlors d nrgi sus vlors s ncontrm n tbl 5..

46 Cpítulo 5 xmplos numéricos o studo d sistms biológicos crctrísticos 35 TUNAMNTO s TRANSIÇÃO s 8,49 x 0-6 4,4 x 0-8 Tbl 5. Vlors m sgundos pr o tmpo d tunlmnto, tmpo d trnsição tmbém o porcntgm do rndimnto do ciclo pr o poço com V 30,6 V V 0 50 V. O tmpo d trnsição ltrônic é dus ordns d grndz mnor qu o tmpo d tunlmnto indicndo qu há um probbilidd mior pr o létron sofrr um trnsição. st cso é um bom xmplo pr ilustrr os vlors qu podm sr utilizdos m PDQUA, obsrvndo rssonânci, tunlmnto trnsição. Procurndo prâmtros pr qu o potncil sj próximo d um sistm rl, um sistm fotossintético é studdo, como dscrito n sção Sistm Biológico Crctrístico O tunlmnto pod sr idntificdo m muitos sistms, m prticulr m sistms biológicos. Vários studos form fitos com o cntro d rção RC d bctéris fotossintétics. A Rhodopsudomons sphroids [,] Rhodopsudomons viridis [3] são xmplos dst tipo d bctéri. Um squm bsdo m um dos rtigos d Fhr vid rfrnci [4] stá ilustrdo n figur 5., ond é mostrdo um rção d T m bctéris fotossintétics. Com bsorção d um fóton inici-s T m um sri d rçõs qu são stbilizds pl combinção d crgs oposts. Nst figur tmbém são vidncidos os tmpos nvolvidos n trnsfrênci m tmprtur mbint scl d nrgi m V.

47 Cpítulo 5 xmplos numéricos o studo d sistms biológicos crctrísticos 36 Figur 5. Rção d Trnsfrênci ltrônic vid rfrênci 4. O dodor primário é um dímro BChl, BPh é um cptor intrmdiário, Q Q b são ubquinons qu funcionm como cptors primários scundários o F é um íon. Obsrvndo st figur é possívl vrificr qu o BPh é m cptor primário, no ntnto su ppl só foi dscobrto dpois dos outros cptors. Os cntros d rção ds trnsfrêncis ltrônics ocorrm um distânci d 3 4 Å, m um príodo d pico sgundos sgundos, possuindo um nrgi livr d 30 cl/mol [5], o qu corrspond proximdmnt 0,043,3 V/ prtícul, rspctivmnt. Tndo um stimtiv ds distâncis d nrgi nvolvid nsss procssos biológicos com T, é possívl utilizr sts vlors no PDQUA studdo. Nos csos rssonnts probbilidd d tunlmnto é muito mior do qu nos csos não rssonnts. ntão pr tr um máxim ficiênci no procsso, tndo m vist qu sistm nvolvndo trnsfrênci ltrônic são ficints, todos os csos studdos são rssonnts.

48 Cpítulo 5 xmplos numéricos o studo d sistms biológicos crctrísticos PDQUA: V 0,99 V, V 0 0, V, nm nm Tndo o cuiddo d smpr justr os tmnhos nvolvidos no PDQUA com o objtivo d obtr stdos rssonnts, o próximo xmplo numérico foi fito utilizndo os sguints vlors pr brrir d potncil: V 0,99 V V 0 0, V. O tmnho do poço distânci ntr ls tmbém foi ltrd d ngstron pr nnômtro. Pr st cso foi utilizdo nm nm. Todos os utovlors d nrgi s ncontrm n tbl 5.3, ond 0, rprsntm nívis d nrgi do poço simpls * 0,, - 3 rprsntm nívis d nrgi do poço duplo. Os gráficos d qução trnscndntl m função d nrgi pr s tods s rgiõs dst poço s ncontrm no pêndic B corrspondndo os gráficos B.6, B.7 B.8, ssim como os gráficos B.9 B.0 qu corrspondm os poços individuis pr sts msmos vlors d potncil. Poço Simpls Autovlors d nrgi m V. Poço Duplo Autovlors d nrgi m V. 0 0,5878 * 0 0,5877 0, , , ,903 3,359 Tbl 5.3 Autovlors d nrgi m V pr o PDQUA com 0,99 V 0, V d profundidd A tbl 5.3 stá rlciond com figur 5. nlisndo sus ddos é possívl obsrvr qu o utovlor poço mior poço mnor possum um dsvio d,5%. sss vlors stão ntr os utovlors -, como o sprdo. A xplicção pr st fto st n prvisão d ndu [0], n qul s funçõs rsultnts d junção d dois poços simpls podm sr proximds por combinçõs linrs ds utofunçõs originis, dndo origm dois nívis d nrgi. O dsvio ntr o stdo fundmntl dtrmindo no poço simpls V no poço duplo é d 0,00366%, indicndo um difrnç mínim ntr ls. Atrvés dos utovlors d nrgi qu s ncontrm n tbl 5.3 foi possívl dtrminr o tmpo d tunlmnto o tmpo d trnsição bsdo no Principio d Incrtz. Todos sss vlors pr st poço d potncil stão xprssos n tbl 5.4.

49 Cpítulo 5 xmplos numéricos o studo d sistms biológicos crctrísticos 38 TUNAMNTO s TRANSIÇÃO s 3,003 x 0-4 4,978 x 0-6 Tbl 5.4 Vlors m sgundos pr o tmpo d tunlmnto, tmpo d trnsição tmbém o porcntgm do rndimnto do ciclo pr o poço com V 0,99 V V 0 0, V. O tmpo d tunlmnto é dus ordns d grndz mior qu o tmpo d trnsição ltrônic, ntão probbilidd do létron sofrm um trnsição é mior, dvido su mnor tmpo. 5.. PDQUA: V,5 V, V 0 0,675 V, nm nm Nst xmplo os vlors utilizdos pr o PDQUA mostrdo n figur 5., form: V,5 V V 0 0,675 V. O vlor d V 0 foi dtrmindo pr qu houvss rssonânci. Cd poço possui o tmho d nm sprdos por um distânci d nm mdid plo cntro d cd poço. Os gráficos d qução trnscndntl m função d nrgi pr s todos s rgiõs dst poço corrspondm os gráficos B., B. B.3, do pêndic B dst trblho, sndo B.4 B. 5 os gráficos corrspondnts os poços individuis pr s msms profundidds usds nst xmplo. Os utovlors d nrgi obtidos s ncontrm n tbl 5.5, ond os nívis d nrgi stão sguindo rprsntção d figur 5.. O tmpo d tunlmnto o d trnsição s ncontrm n tbl 5.6. Poço Simpls Autovlors d nrgi m V. Poço Duplo Autovlors d nrgi m V. 0 0,775 * 0 0,7739,0643,07098, ,0574 3,6600 Tbl 5.5 Autovlors d nrgi m V pr o PDQUA com,5 V 0,675 V d profundidd nm.

50 Cpítulo 5 xmplos numéricos o studo d sistms biológicos crctrísticos 39 A difrnç ntr os nívis * 0 stdo fundmntl pr o poço duplo 0 stdo fundmntl pr o poço simpls foi d 0,0867% o dsvio ntr foi d 0,097%. O nívl 3 stá cim d brrir os utovlors rsultnts d rssonânci 3 stão um bixo outro cim dos nívis d nrgi originis, como o sprdo. TUNAMNTO s TRANSIÇÃO s,54x 0-3 4,4 x 0-6 Tbl 5.6 Vlors m sgundos pr o tmpo d tunlmnto, tmpo d trnsição tmbém o porcntgm do rndimnto do ciclo pr o poço com V,5 V V 0 0,675 V, d profundidd nm. Os tmpos nvolvidos nst xmplos possum um difrnç d três ordns d grndz, ntão o létron tm um probbilidd mior d sofrr trnsição, pois o tmpo é mnor PDQUA: V,5 V, V 0 0,675 V,,8 nm nm O objtivo dst último xmplo é obtr um vlor d tmpo d tunlmnto ltrônico d ordm d pico sgundos pr proximr ind mis dos sistms biológicos. Pr isso foi ncssário vrir distânci ntr os poços pr qu difrnç d nrgi ntr os novos utovlors d nrgi - - foss umntd rsultndo m um tmpo d tunlmnto mior qu o xmplo ntrior. Por tnto o mlhor vlor pr distânci ntr os poços foi d,8 nm, sndo os outros prâmtros mntidos com os msmos vlors do xmplo ntrior V,5 V, V 0 0,675 V nm. Os gráficos d qução trnscndntl m função d nrgi pr tods s rgiõs dst poço corrspondm os gráficos B.6, B.7 B.8, qu s ncontrm no pêndic B dst trblho.os gráficos pr o poço simpls é igul o xmplo ntrior, corrspondnts os gráficos B.4 B.5. Os utovlors d nrgi obtidos s ncontrm n tbl 5.7, ond 0, rprsntm nívis d nrgi do poço simpls * 0,, - 3 rprsntm nívis d nrgi do poço duplo.

51 Cpítulo 5 xmplos numéricos o studo d sistms biológicos crctrísticos 40 Poço Simpls Autovlors d nrgi m V. Poço Duplo Autovlors d nrgi m V. 0 0,775 * 0 0,7740,0643,06448, , ,56556 Tbl 5.7Autovlors d nrgi m V pr o PDQUA com,5v 0,675V d profundidd,8 nm. Os ddos d tbl 5.7 mostrm qu difrnç ntr os nívis * 0 0 foi d 0,09%, mior qu do xmplo 5..3 o dsvio ntr é o msmo do xmplo ntrior, já qu únic difrnç é distânci ntr os poços por tnto os vlors rlciondos o poço simpls não mudm. TUNAMNTO s TRANSIÇÃO s,33x 0-4,885 x 0-6 Tbl 5.8 Vlors m sgundos pr o tmpo d tunlmnto, tmpo d trnsição tmbém o porcntgm do rndimnto do ciclo pr o poço com V,5 V V 0 0,675 V,,8 nm. Nst último xmplo o tmpo d tunlmnto é d,33 x 0 - s o tmpo d trnsição ltrônic é d 4,885 x 0-6 s., como mostrdo n tbl 5.8. Anlisndo sts tmpos é possívl concluir, nst cso, qu o létron trá um probbilidd muito mior m dcir pr o stdo fundmntl do poço d mior profundidd do qu tunlr novmnt pr o poço d mnor profundidd, dvido o tmpo d trnsição ltrônic sr qutro ordns d grndz mnor qu o tmpo d tunlmnto. st tmpo d pico sgundos pod sr ncontrdo n figur 5.. Nst figur os tmpos nvolvidos podm sr crctrizdos com tmpos d tunlmnto já qu o tmpo d trnsição é mnor do qu o d tunlmnto.

52 Cpítulo 5 xmplos numéricos o studo d sistms biológicos crctrísticos studo ds funçõs d onds nvolvids no modlo proposto Pr ilustrr mlhor s funçõs d ond contids no PDQUA, foi fito nst scção gráficos ds funçõs d ond rssonnts d função d ond corrspondnt o primiro stdo cim d brrir d potncil, tndo como rfrênci os ddos do xmplo 5..3 V,5 V, V 0 0,675 V,,8 nm nm. A figur 5.3 mostr o comportmnto d função d ond pr o primiro stdo xcitdo, no qul é possívl vrificr um nó n rgião m qu o poço é mis profundo, linh lrnj. A rgião vrmlh é rfrnt o poço d mnor profundidd linh zul corrspond rgião d brrir d potncil x Figur 5.3 Função d ond pr o primiro stdo xcitdo m função d loclizção dntro do poço duplo x. O ixo ds ordnds stá xtmnt no mio do poço. A linh vrmlh rprsnt qução 3., zul qução 3.3 linh lrnj qução 3.4. N figur 5.4 é ilustrdo função d ond pr o sgundo stdo xcitdo. Dois nós são obtidos, um n rgião do poço mis profundo linh lrnj outro n rgião d brrir linh zul, xtmnt no mio do poço duplo.

53 Cpítulo 5 xmplos numéricos o studo d sistms biológicos crctrísticos x Figur 5.4 Função d ond pr o sgundo stdo xcitdo m função d loclizção dntro do poço duplo x. A linh vrmlh rprsnt qução 3., zul qução 3.3 linh lrnj qução 3.4. O primiro nívl cim d brrir d potncil, trciro stdo xcitdo, é ilustrdo n figur 5.5, no qul três nós são vidncidos. O ixo vrticl stá rprsntndo xtmnt o mio do PDQUA, vrificndo qu função d ond stá mis distribuíd no ldo squrd do poço, prtncnt o poço d mnor profundidd. x Figur 5.5 Função d ond pr o trciro stdo xcitdo m função d loclizção dntro do poço duplo x. A linh vrmlh rprsnt qução 3.38, zul qução 3.39 linh lrnj qução 3.40.

54 Cpítulo 5 xmplos numéricos o studo d sistms biológicos crctrísticos 43 A distribuição d probbilidd pr função d ond do primiro nívl cim d brrir é mostrd n figur Figur 5.6 Distribuição d probbilidd d função d ond pr o trciro stdo xcitdo m função d loclizção dntro do poço duplo x. A linh vrmlh rprsnt probbilidd d ncontrr o létron no poço d mnor profundidd, linh zul probbilidd d ncontrr o létron n rgião cim d brrir d potncil linh lrnj probbilidd d ncontrr o létron no poço d mior profundidd. N figur 5.6 distribuição d probbilidd d função d ond pr os nívis d nrgi cim d brrir d potncil m vrmlho simbolizm rgião corrspondnt o poço d mnor profundidd, zul rprsnt rgião m cim d brrir d potncil lrnj simboliz rgião corrspondnt o poço d mior profundidd. A distribuição d probbilidd tm mior mplitud no poço d mnor profundidd vrmlho do qu no poço d mior profundidd lrnj, vidncindo qu qundo o létron stá no primiro stdo cim d brrir d potncil, há um probbilidd mior d ncontrá-lo no poço mnor do qu no poço mior. st fto stá rlciondo com o modlo proposto qu pod sr ncontrdo no Cpítulo 4.

55 Cpítulo 6 Conclusão 44 CAPÍTUO 6 CONCUSÃO Trnsfrênci ltrônic é um rção muito importnt m vários sistms químicos biológicos ssnciis pr vid dos srs vivos. Muitos xmplos podm sr citdos nst tipo d rção, dntr ls, fosforilção oxidtiv fotossínts, no qul o létron é trnsportdo o longo d um cdi []. No cpítulo dst trblho foi rsolvido o PDQUS trvés d qução d Schrödingr indpndnt do tmpo ncontrndo quçõs trnscndntis qu possibilit dtrminr os utovlors d nrgi [8]. Como todos os PDQUS são rssonnts, nst msmo cpítulo foi dtrmindo o tmpo d tunlmnto prtir d Fómul d Rbi [7], st tmpo tmbém pod sr plicdo m PDQUA rssonnts. A solução pr ss últim gomtri d poço pod sr ncontrd n cpítulo 3, ond são mostrds s quçõs trnscndntis pr tods s rgiõs dst poço. Pr vrificr consistênci d solução pr o PDQUA foi fit, um proximção dss tipo d sistm pr o PDQUS, ond pod sr obsrvd consistênci do rsultdo obtido. Como st poço duplo possui n su form um poço com mior profundidd, um létron qu s ncontr no nívl rssonnt d mnor nrgi no poço d mior profundidd tndrá dcir pr o stdo fundmntl dst poço. O tmpo d trnsição ltrônic ncontrdo nst cpítulo foi stimdo trvés do Principio d Incrtz d Hisnbrg. Um possívl modlo pr trnsfrênci ltrônic utilizndo o PDQUA é mostrdo no cpítulo 4. No cpitulo 5 é possívl vrificr os utovlors obtidos pr lguns xmplo do PDQUA, vrindo sus profundidds sus tmnhos. O tmpo d tunlmnto trnsição ltrônic o rndimnto d cd ciclo são xprssos nst cpítulo. No primiro xmplo um vlor inicil é ddo o potncil m V tmbém pr o tmnho dos poços distânci ntr ls. Vrificndo não sr próximo os vlors rlciondos sistms biológicos, os vlors d potncis form diminuídos sus tmnhos distâncis umntds. m todos sts xmplos o objtivo foi lcnçdo: obtr um tmpo d tunlmnto mnor do qu o tmpo d trnsição ltrônic, prmitindo qu o létron dci, grntindo ntão o modlo proposto n cpitulo 4. No xmplo 5.. os vlors dos prâmtros no PDQUA form V,5 V, V 0 0,675 V. nm nm.