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1 Ensios Econômicos Escol d Pós-Grdução m Economi d Fundção Gtulio Vrgs N 58 ISSN Polític Montári Ótim no Combt à In- ção Frnndo d Holnd Brbos Jniro d 990 URL:

2 Os rtigos publicdos são d intir rsponsbilidd d sus utors. As opiniõs nls mitids não xprimm, ncssrimnt, o ponto d vist d Fundção Gtulio Vrgs. ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA Dirtor Grl: Rnto Frglli Crdoso Dirtor d Ensino: Luis Hnriqu Brtolino Brido Dirtor d Psquis: João Victor Isslr Dirtor d Publicçõs Cintícs: Ricrdo d Olivir Cvlcnti d Holnd Brbos, Frnndo Polític Montári Ótim no Combt à Inflção/ Frnndo d Holnd Brbos Rio d Jniro : FGV,EPGE, 00 (Ensios Econômicos; 58) Inclui bibliogrfi. CDD-330

3 POLÍTICA MONETÁRIA ÓTIMA NO COMBATE À INFLAÇÃO Frnndo d Holnd Brbos ** Introdução Est trblho tm como objtivo stblcr um polític montári ótim pr o combt.à inflção, num conomi m qu inflção tm um componnt inrcil. Est componnt dv-s à xistênci d contrtos com mcnismos d indxção bsdos n inflção pssd. O significdo d plvr ótim quí é d qu trjtóri d quntidd d mod é scolhid d sort minimizr o custo socil do progrm d stbilizção. A formulção do problm lv um plicção d tori do control ótimo, m qu s vriávis d stdo são o hito do produto tx d inflção, vriávl d control é tx d crscimnto d quntidd d mod. O trblho stá orgnizdo do sguint modo. A Sção prsnt o modlo stilizdo d conomi, discut spcificção d função d custo socil do progrm d stbilizção, trt d rsolvr nliticmnt o problm d control. A Sção 3 contém dois xmplos qu ilustrm plicção d polític montári ótim dsnvolvid n sção prcdnt. A Sção 4 prsnt s conclusõs do trblho.. Custo do Progrm d Estbilizção Polític Montári Ótim Th socil cost of th stbiliztion progrm dpnds on th output gp h nd th rt of infltion ### ccording to th function. C = C (h, ###) () qu stisfz s sguints propridds: C h C 0 h 0 > 0 < < π O custo mrginl do hito umnt m vlor bsoluto qundo o produto s fst do produto potncil, o custo mrginl d inflção crsc com tx d inflção. Supõ-s, tmbém qu função d custo C( ) é convx, o qu signific dizr qu su mtriz hssin é positiv smi-dfinid. Admitirmos, por simplicidd, qu função d custo é ditiv ns vriávis h π, qu l pod sr scrit como: C = C (h) + C (###) = h + π () ** Profssor d Escol d Pós-Grdução m Economi d Fundção Gtúlio Vrgs.

4 As funçõs C (h) C (π) stão rprsntds n Figur. Nst função o custo d mntr-s conomi num nívl d produção difrnt do produto d plno mprgo é o msmo, qur conomi stj m rcssão ou suprqucid, o custo mrginl d inflção umnt linrmnt com tx d inflção. A função d custo () podri sr gnrlizd pl função qudrátic convx: C = (h, π) = h + h π + π ond mtriz ) Custo do hito b) Custo d Inflção Figur.Custo do Progrm d Estbilizção = é positiv smidfinid. A função d custo () é, ntão, um cso prticulr d (3) fzndo-s = 0. Qundo socidd dsj tinjir um dtrmind mt d tx d inflção, difrnt d zro, função d custo pod incorporr st objtivo, bstndo pr isto qu s fç sguint modificção: C = (h, π) = h + h ( π π) + ( π π) ond π é mt d tx d inflção. Um intrprtção ltrntiv pr st formulção bsi-s no fto d qu um dos custos sociis d inflção rsult d inflção não ntcipd não d inflçào proprimnt dit. nst intrprtção π rprsnt tx d inflção sprd, π - π é tx d inflção não ntcipd.

5 A conomi stilizd m qu inflção tm um componnt inrcil é dscrit pls sguints quçõs difrnciis: π = π + h + b µ h = π + h + b µ ( 3) ( 4) ond um ponto m cim d um vriávl é drivd dl com rlção o tmpo(.g. π =d### /dt), s ltrs ij bi, i, j, =,, rprsntm prâmtros µ é tx d crscimnto d quntidd d mod. Pr qu conomi sj stávl dmitirmos qu os lmntos d mtriz A, A = (5) são tis qu su trço sj ngtivo: tr A = + < 0 qu su dtrminnt sj positivo: ###A### = - > 0 Admitirmos, tmbém, qu no longo przo qundo o hito do produto for constnt igul zro, tx d inflção srá constnt igul à tx d crscimnto d quntidd d mod. Pr qu isto ocorr, s sguints rstriçõs dvm sr stisfits: b + = 0 b + = 0 O problm d polític montári ótim consist n scolh d tx d xpnsão montári µ, d tl sort qu o vlor tul do custo socil do progrm d stbilizção sj minimizdo, com condição d qu s quçõs d stdo d conomi sjm stisfits. Formlmnt, o problm é o sguint: ρt minimizr ( h + π ) dt ### sujito às rstriçõs:

6 π = π + h µ h = π + h µ ond ### é tx d dsconto intrtmporl, qu supõ-s constnt o longo do progrm d stbilizção. Rst ind pr compltr spcificção do problm, dscrvr s condiçõs iniciis d conomi. Admitirmos qu nts do início do progrm conomi stv m plno mprgo qu mod vinh crscndo um tx constnt igul µ*, como indicdo n Figur. Figur.Trjtóri do Estoqu d Mod Ants do Progrm d Estbilizção Num modlo ond inflção tm um componnt inrcil, tx d inflção o hito do produto no momnto t = 0 podm mudr instntnmnt, s polític montári for ltrd, sj qunto o stoqu d mod no instnt inicil, m(0), sj qunto à tx d crscimnto do stoqu d mod, µ(0). O modlo supõ qu xist um Curv d Phillips do tipo π = π i + δ h (6) ond ###i ié componnt inrcil ### é um prâmtro. S no instnt inrcil ###i(0)=### *, os vlors iniciis d ###(0) h(0) dvm stisfzr:: ###(0) = ###* + ### h (0) (7) Outr condição qu dv sr stisfit no instnt inicil é obtid liminndo-s µ ds quçõs (3) (4). Isto é: 3

7 A π ( 0 ) ( 0 = h ) + h ( 0) (8) Ests dus condiçõs iniciis, quçõs (7) (8), srão útis mis dint n dtrminção do control ótimo. Adicionlmnt, irmos usr hipóts d qu solução d control ótimo convrg pr solução d quilíbrio no longo przo, π = 0 h = 0, no problm d control ótimo com horizont infinito. Polític Montári: O Control Ótimo A solução do problm d minimizção do custo socil do progrm d stbilizção é obtid prtir do Hmiltonino d vlor corrnt H, dfinido por: H = h + π + λ π + h µ + λ π + h µ ond ### ### são dus vriávis d co-stdo. Rrrnjndo-s lguns trmos, xprssão d H trnsform-s m: H = h + π + ( λ + λ ) π + ( λ + λ ) h ( λ + λ ) µ O Hmiltonino H é linr n vriávl d control ###, tx d crscimnto d quntidd d mod. S o coficint d µ for igul zro, pr lgum intrvlo d tmpo, o Princípio do Máximo d Pontrygin não pod sr plicdo pois H indpnd do vlor d vriávl d control. Nst cso tm-s, ntão, um control singulr. As condiçõs ncssáris pr solução dst problm são dds pls sguints quçõs: λ λ λ + λ = 0 H = ρλ π H = ρλ H H λ H λ = π = h 4

8 As drivds prciis d H com rlção π, h, λ λ são iguis :: H = ( λ + λ ) µ H = π + ( λ + λ ) π H h = h + ( λ + λ ) H = π + h µ λ H = π + h µ λ Substituindo-s os vlors dsts drivds prciis ns quçõs ntriors, obtéms: λ + λ = 0 ( 9) λ = ρλ π ( λ + λ ) ( 0) λ = ρλ h ( λ + λ ) ( ) π = π + h µ ( ) h = π + h µ ( 3) ond primir qução foi rptid por convniênci. O problm consist, ntão, m rsolvr st sistm d cinco quçõs ns vriávis ###, ###, ###, h, ###. Pr st finlidd dotmos o procdimnto d liminr s vriávis ### ###,rduzindo o sistm três quçõs. Comçmos combinndo s quçõs (9) (), obtndo: 5

9 λ = ( ρ+ ) λ + h Em virtud d qução (9), qução (0) pod sr scrit como: λ = ρλ π (4) Substituindo-s st xprssão n ntrior rsult: λ = h + A A π (5) Drivndo-s st qução com rlção o tmpo, tm-s: λ = h + π A A (6) Substituindo-s os vlors d λ λ ddos pls quçõs (5) (6) n qução (4) rsult: π + h = ( ρ A ) π + ρ h (7) Com st qução liminmos λ λ. Dv-s, gor, rsolvr o sguint sistm ns vriávis π, h, µ: π = π + h µ ( 3) h = π + h µ ( 4) π + h = ( ρ A ) π + ρh ( 7) Ds quçõs (3) nd (4), obtém-s: π h = A h (8) O sistm d quçõs formdo por (7) (8) pod sr scrito como:: π ( ρ A) ρ π h = 0 A h 6

10 ou ind: π h = d d π d d h (9) ond mtriz D = {dij} é igul : ( ρ A) ( ρ A ) D = + ( ρ A ) ρ+ A (0) O trço dst mriz su dtrminnt são: tr D = ### > 0 () D = ( ρ A) A + < 0 () Os sinis dsts dsiguldds rsultm do fto d qu tx d dsconto intrtmporl é positiv, o trço d A é ngtivo o dtrminnt d A é positivo.. O sistm d quçõs difrnciis d primir ordm (9) produz dus quçõs difrnciis d sgund ordm pr tx d inflção (###) pr o hito do produto (h), Els são : π = ( tr D) π + D π = 0 ( 3) h ( tr D) h + D h = 0 ( 4) Como o trço d mtrix D é positivo o dtrminnt d D é ngtivo, s dus rízs d qução crctrístic ssocid à qução difrncil têm sinis contrários. Pr qu o sistm convirj pr solução d longo przo scolh-s riz ngtiv, qu dnominrmos por -q. Logo, s soluçõs d π h são dds por: π = C c h = C qt qt ( 5) ( 6) ond C C são dus constnts, qu dpndm ds condiçõs iniciis d conomi dds pls quçõs (7) (8). Com finlidd d nlisr o qu contc no instnt inicil m qu o progrm d stbilizção é implntdo utilizrmos um digrm d fss, com tx 7

11 d inflção mrcd no ixo vrticl o hito do produto no ixo horizontl, como indicdo n Figur 3. A prtir do sistm d quçõs (9) obtém-s, com um pouco d álgbr, s sguints quçõs d π h : π = ( ρ A) ( ρ A) π h ( ρ A) ρ+ A h = + h + + n O digrm d fss d Figur 3 prsnt s combinçõs d vlors d ### h pr os quis π = 0 h = 0. As sts indicm s trjtóris dos movimntos m cd um ds qutro rgiõs m qu s dus rts( π = 0h = 0) dividm o plno.. O ponto ond h=0 ### =0 é um ponto d sl. A trjtóri SS convrg pr st ponto nqunto trjtóri NN divrg dst ponto. Figur 3 Digrm d Fss Admit-s qu conomi ncontr-s no momnto nts do início do progrm d stbilizção no ponto A, m qu tx d inflção é igul ###(0-) o hito do produto é zro, h(0-)=0. A nov polític montári do progrm d stbilizção frá com qu 8

12 conomi mud inicilmnt do ponto A pr o ponto B, ond o hito do produto é ngtivo tx d inflção é mnor do qu qul qu vinh ocorrndo. A conomi prcorrrá, ntão, trjtóri SS convrgindo pr o quilíbrio d longo przo, ond tx d inflção o hito do produto são mbos iguis zro. 3. Polític Montári Ótim: Dois Exmplos Nst sção prsntrmos dois xmplos qu mostrm como clculr-s polític montári ótim dtrmind n sção prcdnt. No primiro xmplo, inérci inflcionári é rprsntd nliticmnt plo mcnismo d xpcttiv dpttiv, qu tu tnto n dmnd como n ofrt grgd. No sgundo xmplo, dmitirmos qu n dmnd grgd prvisão é prfit, nqunto no ldo d ofrt grgd xist um componnt inrcil n inflção qu tmbém, por convniênci nlític, srá rprsntd pl fórmul d xpcttiv dpttiv. 3.. Modlo com Expcttiv Adpttiv Considr o modlo formdo pls sguints quçõs: IS: Y = c0 c ( r π ) + c LM: m p = 0 + y r CP: π = π + δ( y y ) EA: π = θ( π π ) f A primir qução corrspond à curv IS; sgund à curv LM, trcir é curv d Phillips, qurt qução é o mcnismo d xpcttiv dpttiv. Os símbolos têm o sguint significdo: y é o (logritmo do) produto rl, r é tx d juros nominl, ### é tx d inflção sprd, f é um vriávl d polític fiscl, m é o (logritmo do) stoqu d mod, p é o (logritmo do) índic, ### é tx d inflção( π = p = dp / dt ), y é o (logritmo do) produto potncil. As ltrs ci, bi, ### ### rprsntm prâmtros. A qução d dmnd grgd é obtid combinndo-s s curvs IS LM. Isto é: ond: y = k* + α ( m p) + β π + γ f c0 0 c k * = ; + c α = c + c β = c + c ; γ = b + c 9

13 Introduzindo-s o hito do produto h = y - y, o modlo ntrior trnsform-s m : h = k + α( m p) + βπ + γ f ( 7) π = π + δh ( 8) ( ) ( 9) π = θ π π A qução do mcnismo d xpcttiv dpttiv pod sr scrit com uxílio do oprdor dfinido por DX = dx/dt, do sguint modo; π θ = π θ + D Substituindo-s st vlor d ### ns quçõs (7) (8) obtém-s: π = δ α π + θδ ( + βδ) h + δ α µ ( 30) h = απ+ θβδh + αµ ( 3) ond dmitimos qu f é constnt, o símbolo µ é tx d crscimnto d ofrt d mod, dfinid por: µ = Dm = dm dt A mtriz A d xprssão (5) nst cso é dd por: A = = δ α θδ ( + βδ) α θβδ cujo trço é igul - ###(###-######), cujo dtrminnt é #########. Logo, pr qu o modlo sj stávl dvmos tr ###>######. A mtriz D nst xmplo é igul :: D = δ + δ ( ρ+ θ) δ( ρ+ θ) δ( ρ+ θ) ρ θδ O trço dst mtriz su dtrminnt são:: 0

14 trd = ### > 0 D = θδ ( ρ + θ) + δ < 0 Admitirmos qu nts do início do progrm conomi stv m plno mprgo qu mod vinh crscndo um tx constnt igul µ*. Num modlo com xpcttivs dpttivs, tx d inflção sprd é igul à tx d xpnsão montári qu vinh ocorrndo té ntão. Isto é:: ###* = ###i (0) = ### (0) = ###* Isto é: As constntsc C ds quçõs (5) (6) dvm stisfzr às quçõs (7) (8). C = µ δ C qc = δq C + θδ C Logo: C q = ( ) θ µ C = q µ δθ As trjtóris d tx d inflção π do hito do produto h, são, ntão, ddos por:: q π = θ µ qt ( ) ( 3) h = q µ δθ qt ( 33) A tx d crscimnto d ofrt d mod pod sr fcilmnt obtid com uxílio d qução (3), pois: µ = ( h + απ θβδh α ) Substituindo-s os vlors ntriors d ### h nst xprssão, obtém-s:

15 α βθ µ = αθ + q ( q ) αθδ µ qt Obsrv-s qu no momnto inicil (t=0), tx d xpnsão montári ótim é difrnt d tx qu vinh sndo mntid no pssdo (###(0) ### ###*).Por outro ldo, há um qud instntân do produto, pois: q µ h( 0) = < 0 δθ A Figur 4 dscrv trjtóri d rcssão crid plo progrm d stbilizção. Est rcssão ocorr porqu durnt todo o progrm, cd instnt, tx d inflção obsrvd é mnor do qu tx d inflção ntcipd plos gnts conômicos como indicdo n Figur 5. Figur 4. Trjtóri d Rcssão

16 Figur 5. Txs d Inflção Atul Esprd 3

17 Sj h(0-) o vlor do hito do produto nts d comçr o progrm d stbilizção. Sgu-s d qução 97) qu: h( 0) h( 0 ) = α m( 0) m( 0 ) p( 0) + p( 0 ) + β π ( 0) π ( 0 ) + γ f ( 0) f ( 0 ) Nst modlo não ocorrm, por hipóts, sltos instntânos n tx d inflção sprd no nívl d prços. Logo: π ( 0) = π ( 0 ) p( 0) = p( 0 ) Sgu-s, portnto, qu:: h( 0) h( 0 ) = α m( 0) m( 0 ) + γ f ( 0) f ( 0 ) Suponh-s qu polític fiscl não sj ltrd, f(0) = f(0-), qu o hito do produto nts d comçr o progrm d stbilizção r igul zro. Nsts circunstâncis: m( 0) = m( 0 ) + h( 0) α Conclui-s, portnto, qu polític montári ótim do progrm d stbilizção comç com um diminuição do stoqu nominl d mod, qu dí por dint tx d crscimnto do stoqu d mod vi grdulmnt diminuindo, d cordo com trjtóri dscrit n Figur 6. A qud d tx d inflção s dá tmbém d mnir grdul. O índic d prços continu subindo, vi s proximndo cd vz mis do su nívl d longo przo, d corddo com trjtóri d Figur 7. 5

18 Figur 6. A Trjtóri d Polític Montári Ótim A polític montári ótim nst xmplo consist: i) num choqu montário, no instnt inicil, com rdução do stoqu d mod ii) n rdução grdul d tx d crscimnto do stoqu d mod o longo do tmpo. A conomi mud do ponto A pr o ponto B no digrm d fss d Figur 3, com tx d inflção cdndo um pouco conomi ntrndo m rcssão com o hito do produto ngtivo.. A rdução d tx d inflção d rcssão s frá grdulmnt com conomi convrgindo pr o plno mprgo pr inflção zro. Figur 7. A Trjtóri do Índic d Prços 6

19 3. Ajust Instntâno no Mrcdo d Ativos Inérci nos Prços Considr, gor, o modlo formdo pls sguints quçõs: h = k + α ( m p) + β π + γ f ( 36) π = π + δh ( 37) π = θ( π π ) ( 38) A qução (36) rsult d qução (7) qundo s fz π = π. Est hipóts quivl dizr qu prvisão é prfit no mrcdo d tivos, pois tx d juros nominl é igul à som d tx d juros rl com tx d inflção obsrvd. No ldo d ofrt grgd xist um componnt inrcil n tx d inflção, qu é rprsntd plo mcnismo d xpcttiv dpttiv: As quçõs (37) (38) são idêntics às quçõs (8) (9). Difrncindo-s com rlção o tmpo mbos os ldos d qução (36) substituindo-s (38) m (37), obtém-s o sguint sistm d quçõs: h = α ( µ π) + βπ ( 39) π = δβh + δh ( 40) qu pod sr scrit como: π h = βδ δ α α δ θ βδθ π h + βδ α δ µ αµ A mtriz A nst xmplo é dd por: δ α A = βδ α δ θ βδθ O trço o dtrminnt dst mtriz são iguis : tr A = δ ( α βθ) βδ A αδθ = βδ Pr qu st modlo sj stávl: sus prâmtros dvm stisfzr à sguint dsiguldd: 7

20 α β < min, θ δ O trço o dtrminnt d mtriz D, d qul é obtid solução ótim d polític montári, são ddos por: tr D = ρ D = δ ( ρ+ θ) δ + Obsrv-s qu o dtrminnt d mtriz D nst cso é xtmnt igul o vlor do xmplo ntrior. As trjtóris d tx d inflção do hito do produto são, ntão, s msms ds quçõs (3) (33), rptids qui por convniênci: q π = ( ) θ µ qt h = q µ δθ qt sj: A tx d crscimnto do stoqu d mod é obtid prtir d qução (38), ou µ = π + ( h βπ ) α Substituindo-s os vlors d### h nst xprssão, obtém-s: µ = ( α βθ) ( βδ) q + q µ qt αθ αθδ Comprndo-s tx d crscimnto do stoqu d mod, no momnto inicil, nst cso com qul d fórmul (34) é fácil vrificr-s qu tx d crscimnto do stoqu d mod gor é mnor do qu tx corrspondnt do xmplo ntrior. Pr nlisr o qu contc com o stoqu d mod no momnto inicil do progrm d stbilizção, utilizmos qução (36) pr scrvr: h( 0) h( 0 ) = α m( 0) m( 0 ) p( 0) + p( 0 ) + β π ( 0) π( 0 ) + γ f ( 0) f ( 0 ) Adotndo-s s msms hipótss do xmplo prcdnt h( 0 ) = 0, p( 0) = p( 0 ), f ( 0) = f ( 0 ) o fto d qu: q π π θ µ µ q µ ( 0) ( 0 ) = ( ) = θ O stoqu nominl d mod é igul : 8

21 β qµ m( 0) = m( 0 ) + h( 0) + (4) µ αθ Est stoqu inicil d mod é mior do qu o stoqu corrspondnt do xmplo ntrior, como s pod vrificr comprndo-s s xprssõs (4) (35). A trjtóri AA' d Figur 6 mostr polític montári ótim nst xmplo: um rdução do stoqu nominl d mod no momnto inicil do progrm d stbilizção, sguido por um montizção à tx dcrscnt do stoqu d mod. A difrnç básic ntr st xmplo o ntrior dv-s o comportmnto d tx d juros nominl. Como l rspond imditmnt o dclínio d tx d inflção, dmnd d mod umnt. Consqüntmnt, o stoqu d mod inicil dv sr mior do qu qundo tl fto não contc. 4. Conclusão Exist um long discussão n litrtur conômic qunto os bnfícios custos ssocidos os trtmntos grdulist d choqu no combt à inflção. Rcntmnt, n Améric Ltin, foi plicdo trtmnto d choqu no control dos prços dos bns srviços n conomi. Todvi, ns árs fiscl montári opção dos ncrrgdos pl polític conômic foi pl omissão ngligênci, ou qundo muito s dclrou intnçõs d justs fiscis, qu não form xcutdos n prátic. A inflção ignorou sts progrms d stbilizção continuou su trjtóri xplosiv. Economists fvor d um trtmnto d choqu conslhm o conglmnto do stoqu d mod como um mnir ficz d combt à inflção. Economists fvor d um trtmnto grdulist, como Fridmn, firmm qu "n idl policy would... involv n initil dclin in montry growth, subsqunt ris whn dclining infltion rducs vlocity, nd finl dclin to th dsird long-run lvl whn vlocity stbilizs".[fridmn (985), p. 9]. A dtrminção d polític montári ótim dsnvolvid nst trblho, num modlo d um conomi m qu inflção tm um componnt inrcil, mostr qu polític montári ótim rqur qu no início do progrm d stbilizção o stoqu d mod dv sr diminuido, como propõ o trtmnto d choqu, qu subsqüntmnt tx d crscimnto do stoqu d mod dv sr rduzid grdulmnt o longo do tmpo, como propõ o trtmnto grdulist d inflção. Bibliogrfi BEAVIS, B. I. Dobbs, (990), Optimiztion nd Stbility Thory for Economic Anlysis. Cmbridg: Cmbridg Univrsity Prss. CLARCK, Colin W., (976), Mthmticl Bioconomics: Th Optiml Mngmnt of Rnwbl Rsourcs.John Wily, Nw York. FRIEDMAN, Milton, (985), Montrism in Rhtoric nd in Prtic, in Ando A., H.Eguchi, R. Frmr Y. Suzuki, orgs., Montry policy in our tims MIT Prss, Cmbridg. 9

22 KAMIEN, M.I. N. L. Schwrtz, (98), Dynmic optimiztion: th clculus of vritions nd optiml control in conomics nd mngmnt North-Hollnd, Amstrdm. KENDRICK, D.A., (976), Applictions of Control Thory to Mcroconomics. Annls of Economic nd Socil Msurmnt, 5. PITCHFORD, J.D. S.J. Turnovsky, orgs.(977). Applictions of Control Thory to Economic Anlysis. Amstrdm: North-Hollnd. SEIERSTAD, A. K. Sydstr, (987), Optiml Control Thory with Economic Applictions. Amstrdm: North-Hollnd. THEIL, H., (964), Optiml dcision ruls for govrnmnt nd industry, Amstrdm: North-Hollnd,. TU, P.N.V., (984), Introductory Optimiztion Dynmics. Brlim: Springr-Vrlg 0