Modelos de Correntes de Tráfego e Filas de Espera

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1 Modlos d Corrnts d Trágo Fils d Espr 1 q Cpcidd q TRÁFEGO RODOIÁRIO Rlção Fundntl. q 1 A B Dnsidd Critic Dnsidd Congstionnto NOTA:OLUME 1 OCORRE EM DUAS SITUAÇÕES DISTINTAS DE FLUXO, ILUSTRADAS COMO A E B Dnsidd Critic B locidd Critic B A S q S. FLUXO INSTÁEL A FLUXO ESTÁEL locidd Critic S 2 1

2 Introdução Os odlos são píricos ssnt n rlção vlocidd - dnsidd As sguints condiçõs d rontir dv sr sguids Fluxo nulo iplic vlocidd nul; A locidd é nul qundo dnsidd é áxi ( ) A locidd livr ( ) ocorr qundo dnsidd é nul E ind rstrição d qu Curv Fluxo - Dnsidd é côncv, ou s t u ponto ond o luxo é áxio ( ) 3 Modlo d Grnshilds (I) Hipóts Bs: A Rlção ntr dnsidd vlocidd é linr + b dond + b0 0 + b b A rlção - é dd por 4 2

3 Modlo d Grnshilds (II) Considrndo rlção undntl (*)tê-s Rsolvndo ord 2 Rsolvndo ord 2 O áxio ( )é dtrindo plo ponto ond drivd ord é nul Modlo d Grnbrg (I) Surg dvido à vriicção d qu rlção ntr dnsidd vlocidd não é linr ln( b. ) Aprsnt u ior ustnto os ddos ris. No ntnto viol u ds condiçõs d rontir dinids: A dnsidd nul só é tingid u vlocidd ininit Funcion lhor pr dnsidds bixs 6 3

4 4 7 Modlo d Grnbrg (II) A dnsidd áxi corrspond 0, dond As rlçõs - -k rsult b b ln 1 1. ln. 8 Modlo d Grnbrg (III) + ln ln

5 5 9 Modlo d Undrwood (I) O odlo d Undrwood propõ u rlção xponncil ngtiv Tbé viol u ds condiçõs d rontir dinids: A vlocidd nul só pod sr obtid qundo é ininito Tbé uncion lhor pr dnsidds bixs b 10 Modlo d Undrwood (II) ou 0 ln.. ln 0

6 Fils d Espr (Introdução) 3 lntos undntis pr crctrizção Mcniso d chgds - or coo os clints chg o sist. È crctrizdo por u cdênci d chgds (λ) por u distribuição (norlnt é u distribuição Poisson) Mcniso d srviço - é dscrito pl tx d srviço (ц), distribuição, o núro d postos d srviço. Disciplin d il - é constituído pls rgrs d scolh do próxio clint sr srvido (FIFO - irst in irst out, LIFO - lst in irst out) Modlçõs Dtrinístics ou Estocástics

7 Modlos dtrinísticos d ils d spr 13 Pdrõs d Fils d Espr 14 7

8 Forulção Mtátic A xprssão qu trduz s chgds s prtids cuulds é: ( t) r ( t) t Consont o rito d chgds é ou não constnt o cuuldo - cdênci d chgds, b - ordnd d orig ( t) r ( t) + bt r ( t) b + t b ( t) c + t + t Fils d spr sáoros Pod sr borddo rcorrndo todologis dtrinístics. A tx d srviço ssu ltrndnt os vlors d débito d sturção d vi (tpo d vrd) zro (tpo d vrlho). s rprsnt o débito d sturção q o rito d chgds. 16 8

9 Dinsão d u il d spr A vrição d dinsão d il d spr rsult d dirnç d ordnds ntr os gráicos cuuldos d chgds prtids A dinsão áx q.r,ond: q é o rito d chgds; r é o tpo d vrlho Durnt o tpo d vrd o rito d chgds ntê-s igul q o rito d prtids to o vlor d s. A il d spr diinui u rito d s-q. O instnt qu il s dissip (t 0 ) é ddo pl so do tpo d vrlho co o tpo d dissipção durnt o príodo d vrd. t q r s r r + t s q s q Prâtros d uncionnto d ils d spr intrscçõs sorizds 18 9

10 Modlos Estocásticos d Fils d Espr Hipótss Hbituis Chgds Dscrits por u distribuição d Poisson Rgr d Srviço Norlnt irst co irst srv Tpos d Atndinto Dscritos por u distribuição xponncil ngtiv Condição ncssári pr qu xist stdo stcionário ( stdy stt ), i.. qu il não crsç indinidnt Tx édi d chgds dv sr inrior à tx édi d srviço 19 Modlos Estocásticos d Fils d Espr Sist M/M/1 Procsso d Poisson Fil d spr Srviço Exponncil síds 20 10

11 Modlos Estocásticos d Fils d Espr riávis nvolvids ns quçõs d ils d spr (stdo stcionário) riávis q Tx édi d chgd Tx édi d srviço n Núro d clints no sist w Tpo d spr n il v Tpo no sist (il + tndinto) 21 Modlos Estocásticos d Fils d Espr Chgds procsso d Poisson Principis vntgns: Trtnto nlítico sipls Rzovlnt ustávl u grnd vridd d situçõs Sndo: (t) Nº d chgds no intrvlo d tpo [0,t] q tx édi d chgds δ 0 pquno intrvlo d tpo P (xctnt 1 chgd [t,t+δ]) qδ P (nnhu chgd [t,t+δ]) 1-qδ P (is d 1 chgd [t,t+δ]) 0 P ((t) n) -q t (q t) n /n! 22 11

12 Modlos Estocásticos d Fils d Espr Distribuiçõs dos tpos ntr chgds tpos d srviço Os clints chg tpos t 0 < t 1 <... - co distribuição d Poisson Din-s tpos ntr chgds : τ n t n - t n-1 Ests vriávis τ n nu procsso d Poisson co tx édi d chgds q, sgu u distribuição xponncil, P(τ n t) 1 - -q t Os tpos d srviço sgu u distribuição xponncil, co tx édi d srviço : P(S n s) 1 - -s 23 Modlos Estocásticos d Fils d Espr Crctrístics do Sist Os Tpos d srviço são indpndnts ntr si Os tpos d srviço são indpndnts ds chgds ur os tpos ntr chgds qur os tpos d srviço constitu procssos s óri P (T n > t 0 +t T n > t 0 ) P (T n t) Os vntos uturos dpnd pns do stdo prsnt ( não d or coo qui s chgou) Isto são s principis crctrístics d u Sist d Mrkov E sists d trágo co intrrupçõs orçds (sáoros) os tpos ntr chgds não cupr sts condiçõs n proxiidd ( usnt) d u locl d intrrupção 24 12

13 Modlos Estocásticos d Fils d Espr Equçõs couns pr sist co u cnl Probbilidd d n clints no sist q P( n) 1 q E ( n) q n q Explo Suponh qu os crros dor édi 5 sgundos nu sinl STOP. S chg édi 9 crros por inuto ss sinl, qul probbilidd d hvr 5 crros ou nos no sist? Núro sprdo d vículos no sist P(5) (9/12) 5 (1-9/12) 0.06 P(4) 0.08 P(3) 0.11 P(2) 0.14 P(1) 0.19 P(0) 0.25 P(n 0..5) 0.83 Núro sprdo d vículos n il q E( ) 2 ( q) 25 Modlos Estocásticos d Fils d Espr Equçõs couns Tpo édio d Espr n Fil E ( w) P( v t) 1 q ( q) Probbilidd d gstr nos d tpo t no sist q 1 qt Tpo édio no Sist E( v) 1 ( q) Probbilidd d gstr nos d tpo t n il q 1 qt P( w t) 1 Probbilidd d hvr is d n clints no sist P( n > N) q N + 1 q 26 13

14 Propgção d prturbçõs Tori ds Onds d Choqu Trt s condiçõs trnsints, ntr dois stdos stcionários 1 - Fluxo d 1000 v/h, dnsidd d 12,5 v/k vlocidd d 80 k/h U cião rduz su vlocidd pr 20 k/h nu locl ond são proibids s ultrpssgns. 2 - A corrnt rsultnt t u luxo d 1200 v/h dnsidd é d 60 v/k Ao i d lgu tpo à rnt do cião tos strd livr. A inclinção do sgnto (1) (3) rprsnt vlocidd d propgção d ond d choqu 27 Propgção d prturbçõs Tori ds Onds d Choqu A propgção d u prturbção xist spr qu dus corrnts d trágo co dirnts crctrístics s ncontr 28 14

15 Propgção d prturbçõs Tori ds Onds d Choqu Ond d choqu pr trás pr rnt Flow Rt (q) 3 1 c Spd, S b locidd d ond d choqu 2 Flow Rt (q) S 2 Spd, S c b k 1 Dnsity (k) k 2 1 Dnsity (k) 2 29 Propgção d prturbçõs Tori ds Onds d Choqu locidd d Propgção - é dd pl tngnt do sgnto qu un os dois pontos qu gr prturbção ( b). pp qb q b O índic b rprsnt situção d usnt o índic situção d ontnt S vlocidd d propgção or ior qu 0 prturbção propg-s no sntido do trágo. S é igul 0 é stcionári. S é ngtiv dsloc-s no sntido contrário o do trágo (pr trás). No xplo ntrior, q b 1200 vph; q 1000 vph; b 60 vic/k; 12,5 vic/k pp ( ) / (60-12,5) 4,21 k/h (ond pr rnt) 30 15

16 Explo d ond d choqu (digrs spço-tpo vlocidd-tpo) 31 Propgção d prturbçõs Tori ds Onds d Choqu Explo Suponh qu u luxo d 2000 vph proxição u scção d strd qu s ch u ds dus pists d strd nss sntido, à vlocidd édi d 90 k/h. A cpcidd dpois dss cho é d 1,400 vph qu pln cpcidd s ov 30 k/h. Aditindo qu os vículos proxição s distribu igulnt pls dus pists, qul vlocidd qu ond d choqu s dsloc? 1 2,000 vph 1 1,000 vic por pist por hor/90 kph vic/k 2 1,400 vph 2 1,400 vic por pist por hor/30 k/h 46,67 vic/k S 16,88 k / h 44,67 11,