Programação Baseada em Modelos Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada

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1 SEM317 Aul 9 Plnejmeno de Trjeóris em Mnipuldores Robóicos Pro. Dr. Mrcelo Becker SEM - EESC - USP

2 Sumário d Aul Inrodução Progrmção Explíci Espço ds Juns Espço Cresino Observções Progrmção Bsed em Modelos Exercícios Recomenddos Bibliogri Recomendd /89

3 Inrodução Como ober rjeóri que descreve o movimeno desejdo pr o mnipuldor robóico? Cinemáic e Dinâmic conhecids... Técnics: 1. Progrmção Explíci: usuário ornece um rjeóri pré-deinid que o mnipuldor deve seguir Posições, Velociddes e Acelerções desejds; Presenç de Obsáculos, ec. 3/89

4 Inrodução Como ober rjeóri que descreve o movimeno desejdo pr o mnipuldor robóico? Cinemáic e Dinâmic conhecids... Técnics:. Progrmção Bsed em Modelos: usuário especiic modelos geoméricos do mnipuldor e obsáculos e descreve re ser execud rvés desses modelos Condições de conorno pr ober rjeóri desejd 4/89

5 Inrodução Como ober rjeóri que descreve o movimeno desejdo pr o mnipuldor robóico? Cinemáic e Dinâmic conhecids... Técnics: 3. Progrmção Bsed em Tres: usuário especiic comndos pr o mnipuldor: pegr pruso A e colocá-lo no uro B (sk-level conroller) Cuiddo com singulriddes... 5/89

6 Sumário d Aul Inrodução Progrmção Explíci Espço ds Juns Espço Cresino Observções Progrmção Bsed em Modelos Exercícios Recomenddos Bibliogri Recomendd 6/89

7 Progrmção Explíci Como ober rjeóri que descreve o movimeno desejdo pr o mnipuldor robóico? Cinemáic e Dinâmic conhecids... Trjeóri: Forms de represenção Tempo rel: 6 ~ Hz Trjeóri pré-deinid: Posições, Velociddes e Acelerções desejds; Presenç de Obsáculos Inerce com usuário 7/89

8 Progrmção Explíci Modos de conrole pr mnipuldores robóicos Presenç de Obsáculos SIM NÃO Trjeóris Deinids SIM NÃO Plnejdor de rjeóris o-line livre de colisões e compnhmeno on-line d rjeóri Conroldor de posição com deecção e desvio de obsáculos on-line Plnejdor de rjeóris o-line e compnhmeno on-line d rjeóri Conroldor de Posição 8/89

9 Progrmção Explíci Modos de conrole pr mnipuldores robóicos Condições de Conorno d Trjeóri Especiicções d Trjeóri Plnejdor de Trjeóris ( ), & ( ),& ( ) p( ), φ( ), v( ), Ω( ) Limies Dinâmicos do Mnipuldor 9/89

10 Progrmção Explíci Movimeno desejdo pr o mnipuldor robóico? Movimeno do sisem de coordends d errmen {T} relivo o d esção {S} Movimeno descopldo ds n juns do mnipuldor, ec. {S} Câmer Sisem de Reerênci d Ferrmen {T} Ferrmen Sisem de Reerênci do Punho Sisem de Reerênci d Esção Sisem de Reerênci d Peç Sisem de Reerênci do Robô 1/89

11 Progrmção Explíci Movimeno desejdo pr o mnipuldor robóico? Movimeno descopldo: Independe do mnipuldor, errmens, peçs serem mnuseds, ec. Problem básico: {T inicil } {T inl } Mudnç de posição e orienção d errmen com relção à esção {S} 11/89

12 Progrmção Explíci Movimeno desejdo pr o mnipuldor robóico? No cso de rjeóris mis complexs: Seqüênci de posições e orienções desejdos (inermediários às posições inicil {T inicil } e inl d errmen {T inl }) Cd pono inermediário: {T inermediário } i Especiic-se ribuos espciis e emporis Movimenos suves (unções conínus cujs derivds mbém são conínus - 1ª s e às vezes ª s ) Evir movimenos com vrições bruscs de celerção (Jerk) pois germ ls vibrções e rios... 1/89

13 Progrmção Explíci Movimeno desejdo pr o mnipuldor robóico? {T inicil } {T inl } 13/89

14 Sumário d Aul Inrodução Progrmção Explíci Espço ds Juns Espço Cresino Observções Progrmção Bsed em Modelos Exercícios Recomenddos Bibliogri Recomendd 14/89

15 Espço ds Juns Movimeno desejdo pr o mnipuldor robóico é descrio em unção ds vriáveis de jun Não cus problems de singulridde Não é ei correspondênci enre s vriáveis de jun e o espço cresino Cd pono é descrio como um posição e orienção de {T} em relção {S} Convere-se os ponos pr vriáveis de jun rvés d cinemáic invers Obém-se um unção suve pr cd um ds n juns do mnipuldor 15/89

16 Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Tem-se: O pono inicil (, ) e o inl (, ) Desej-se: Um unção suve pr () Função Conínu quno à velocidde ) ( ( ) & () & ( ) Polinômio do 3º GRAU 16/89

17 Espço ds Juns Espço ds Juns Polinômios Cúbicos 4 coeicienes ) ( Assim, pr velocidde e celerção: Subsiuindo s condições pr e ) (. 3. ) ( && & 17/89

18 Espço ds Juns Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Obém-se pr s equções de posição e velocidde: /89

19 Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Obém-se os 4 coeicienes ( ) 3. ( ) 19/89

20 Espço ds Juns Polinômios Cúbicos (MLb) Pr s condições: - Tem-se: 3 15º 75º 3s ( ) ,44. & ( ) 4. 13,33. &&( ) 4 6,66. /89

21 Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Nos gráicos: Ângulo [grus] ( ) , empo [s] 1/89

22 Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Nos gráicos: 35 & ( ) 4. 13,33. 3 Velocidde Angulr [grus/s] empo [s] /89

23 Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Nos gráicos: 4 Acelerção Angulr [grus/s ] & ( ) 4 6, empo [s] 3/89

24 Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Tem-se: O pono inicil (, ) e o inl (, ) Os ponos inermediários Desej-se: Um unção suve pr ()SEM PARAR em cd pono inermediário... Procedimeno: Converer os ponos inicil, inl e inermediário pr s vriáveis de jun rvés d cinemáic invers Ober s cúbics que conecm os ponos. 4/89

25 Espço ds Juns Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Agor s condições de conorno não são nuls... & & & & ) ( ) ( & & 5/89

26 Espço ds Juns Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Obém-se os 4 coeicienes... ( ) & ( ) ( ) ( ) & & & & + + 6/89

27 Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Tendo s velociddes ds juns desejds pr cd pono, plic-se s equções neriores pr cd recho. Especiicção ds velociddes: 1. Vi usuário: ornece pr cd posição velocidde liner e ngulr no espço cresino. Vi Sisem: velociddes escolhids uomicmene rvés de um processo heurísico 3. Vi Sisem: velociddes escolhids uomicmene pr mner um celerção conínu 7/89

28 Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Heurísic: Se ocorre mudnç de sinl n inclinção n linh rcejd velocidde nul... Senão, velocidde é obid pel médi ds inclinções A D C B A B C D 8/89

29 Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Exemplo Ponos desejdos (MLb) 55 D 55 D 5 45 A 5 45 A 4 4 Ângulo [grus] 35 3 Ângulo [grus] C C 15 B 15 B Tempo [s] Tempo [s] 9/89

30 Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Exemplo Ângulos d Jun 55 D 55 D 5 45 A 5 45 A 4 4 Ângulo [grus] 35 3 Ângulo [grus] C C 15 B 15 B Tempo [s] Tempo [s] 3/89

31 Espço ds Juns Polinômios Cúbicos Exemplo - Velocidde Velocidde [grus/s] -5 Velocidde [grus/s] Tempo [s] Tempo [s] 31/89

32 Espço ds Juns Polinômios de Ordem mis Elevd Empregdos qundo se desej deinir posição, velocidde e celerção no início e o inl do segmeno d rjeóri Polinômios de 5ª ordem: 6 coeicienes... ( ) & 3 ( ) & 3 & ( ) /89 4 5

33 Espço ds Juns Espço ds Juns Polinômios de 5ª Ordem Obém-se pr s equções de posição, velocidde e celerção: && & && & 33/89

34 Espço ds Juns Polinômios de 5ª Ordem Obém-se os 6 coeicienes... & 1 & &.. ( ). (3. ) (6.& + (14. & & & ) & ). && & + (3.&&. && ). (&& && ). 34/89

35 Espço ds Juns Polinômios de 5ª Ordem (MLb) Pr s condições iniciis, em-se: 15º 75º 3s & º / s & º / s & º / s & º / s 35/89

36 Espço ds Juns Polinômios de 5ª Ordem (MLb) Obém-se s equções: & ( ) && ( ) 3 4 ( ) 15 +,. 11, , , ,3. 44, ,3. + 7, , /89

37 Espço ds Juns Polinômios de 5ª Ordem Nos gráicos: Ângulo [grus] ( ) 15 +,. 11, , empo [s] 37/89

38 Espço ds Juns Polinômios de 5ª Ordem Nos gráicos: 4 & 3 4 ( ) 66,66. 44, , Velocidde Angulr [grus/s] empo [s] 38/89

39 Espço ds Juns Polinômios de 5ª Ordem Nos gráicos: 4 3 Acelerção Angulr [grus/s ] & 3 ( ) 133,3. 133,3. + 9, empo [s] 39/89

40 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics Inerpolção liner pr mover jun d posição ul pr posição inl Velocidde orn-se desconínu no início e no inl do movimeno... Pr ober um rjeóri suve : dicion-se rechos prbólicos... Empreg-se rechos de celerção consne Compormeno suve pr velocidde Compormeno conínuo pr posição e velocidde Diverss soluções são possíveis... Simeri com relção h n solução! 4/89

41 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics h b - b h Como velocidde n roneir d prábol é igul à velocidde no segmeno de re:. && b h b h b 1 & b +.. b 41/89

42 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics Assim, pr. h : &&. & b.. b + ( ) Durção desejd pr o Movimeno && 4&& ( && ) b && ( 4 ) 4/89

43 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics Tem-se: O pono inicil (, ) e o inl (, ) Os ponos inermediários Desej-se: Um unção suve pr ()SEM PARAR em cd pono inermediário... Procedimeno: Segmenos lineres unem os ponos especiicdos; Segmenos prbólicos suvizm o movimeno. 43/89

44 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics (MLb) Pr s condições iniciis, em-se: 15º 75º & 1 && 4º / s 3º / s 44/89

45 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics Nos gráicos: Ângulo [grus] 5 4 Ângulo [grus] empo [s] empo [s] 45/89

46 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics Nos gráicos: Velocidde Angulr [grus/s] 15 1 Velocidde Angulr [grus/s] empo [s] empo [s] 46/89

47 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics Nos gráicos: Acelerção Angulr [grus/s ] Acelerção Angulr [grus/s ] empo [s] empo [s] 47/89

48 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics Sejm: j, k e l 3 ponos consecuivos A durção do segmeno que conec os ponos j e k é djk A durção do segmeno de prábol que conec os ponos j e k é k A durção do segmeno de re que conec os ponos j e k é jk A velocidde durne o recho liner é A celerção durne o recho prbólico no pono j é & & j & jk 48/89

49 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics j & jk kl & jk k l i k d1 djk 49/89

50 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics Ddos: Todos os ponos desejdos d rjeóri: k As durções desejds dos rechos d rjeóri: djk A mgniude desejd d celerção pr cd recho: & k Obém-se: A durção dos segmenos prbólicos que conecm os ponos d rjeóri: k 5/89

51 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics Pr os ponos inernos à rjeóri: & && k jk k jk k j djk djk sgn( & k kl & kl & && jk 1 & j jk ) && 1 k k 51/89

52 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics Pr o 1º recho d rjeóri: & d1 && sgn( & & ) && d1 1 1 ( 1) && 1 & d1 d /89

53 Espço ds Juns Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics Pr o úlimo recho d rjeóri: 1 1 n n n n & & && 1 1) ( 1) ( 1 1) ( 1) ( 1) ( 1 1) ( 1 1) ( 1 ) ( 1 ) sgn( 1 n n n n d n n n n n n n d n n d n n n n d n n n n n n n n n n d n n && & && & & && 53/89

54 Espço ds Juns Funções Lineres e Prbólics Exemplo Ponos desejdos (MLb) D A 4 Ângulo [grus] C 15 B Tempo [s] 54/89

55 Sumário d Aul Inrodução Progrmção Explíci Espço ds Juns Espço Cresino Observções Progrmção Bsed em Modelos Exercícios Recomenddos Bibliogri Recomendd 55/89

56 Espço Cresino Movimeno desejdo pr o mnipuldor robóico é descrio em unção de vriáveis Cresins Seqüênci de ponos que ornecem Posição e Orienção d errmen em unção do empo Cd pono é descrio como um posição e orienção de {T} em relção {S} em Coordends Cresins Trjeóris mis comuns: segmenos de re, rcos de circunerênci, elipses, senoidis, ec. 56/89

57 Espço Cresino Movimeno desejdo pr o mnipuldor robóico é descrio em unção de vriáveis Cresins Seqüênci de ponos que ornecem Posição e Orienção d errmen em unção do empo Não é necessário converer inicilmene os ponos pr vriáveis de jun rvés d cinemáic invers São Compucionlmene mis crs pois requerem solução d cinemáic invers do mnipuldor em empo rel (x de ulizção upde re) 57/89

58 Espço Cresino Movimeno Reilíneo no Espço Cresino Movimeno comumene empregdo Selecion-se um seqüênci de ponos linhdos e próximos Empreg-se um unção suve pr conecr os ponos Splines, p.e.: unções lineres e prbólics Componenes de posição: linhdos Componenes de orienção: Mriz de roção» Não se pode usr inerpolção liner» Empreg-se enão represenção ângulo-eixo (ngle-xis) 58/89

59 Espço Cresino Problems enconrdos no Espço Cresino com Movimeno Reilíneos Incompibilidde com o espço de rblho e singulriddes 1. Ponos inermediários d Trjeóri or do espço de rblho Posição Inicil e Finl Posições inermediáris A B 59/89

60 Espço Cresino Problems enconrdos no Espço Cresino com Movimeno Reilíneos Incompibilidde com o espço de rblho e singulriddes. Velociddes de Jun Elevds qundo próximos singulriddes Mnipuldor desvi d rjeóri desejd... B A 6/89

61 Espço Cresino Problems enconrdos no Espço Cresino com Movimeno Reilíneos Incompibilidde com o espço de rblho e singulriddes 3. Posições inicil e inl ingíveis em dierenes soluções A B 61/89

62 Sumário d Aul Inrodução Progrmção Explíci Espço ds Juns Espço Cresino Observções Progrmção Bsed em Modelos Exercícios Recomenddos Bibliogri Recomendd 6/89

63 Observções Gerção de Trjeóris em Tempo Rel Trjeóri usulmene gerd em ermos de ( ), & ( ) e & ( ) vriáveis de jun Envids pr o Sisem de Conrole do Mnipuldor Tx de ulizção (upde re)... Gerdor de Trjeóri d & d () & ( ) d () Sisem de Conrole τ Robô & 63/89

64 Observções Gerção de Trjeóris em Tempo Rel Espço ds Juns Pr splines cúbics (polinômios de 3º gru) Todos os coeicienes ds n splines cúbics são clculdos previmene: 3 n( n) + 1. n +. n 3. n + n n n Qundo se cheg o inl de um recho d rjeóri, um novo conjuno de coeicienes do polinômio é empregdo e reinicido como ( zero ) n 64/89

65 Observções Gerção de Trjeóris em Tempo Rel Espço ds Juns Pr splines Lineres e Prbólics O vlor de é veriicdo cd ulizção pr deerminr se o recho ul é liner ou prbólico. Pr o recho liner: + & & & && j jk jk. 65/89

66 Observções Gerção de Trjeóris em Tempo Rel Espço ds Juns Pr splines Lineres e Prbólics O vlor de é veriicdo cd ulizção pr deerminr se o recho ul é liner ou prbólico. Pr o recho prbólico: & & j && && jk k ( 1 ) + inb j + &.( jk + &&. k inb inb jk ) + 1 && k. inb Pr um novo recho com spline liner e prbólic, é reinicido como sendo k / 66/89

67 Observções Gerção de Trjeóris em Tempo Rel Espço Cresino Pr splines Lineres e Prbólics Vlores de posição e orienção represendos no espço cresino. x represen posição e orienção. Pr cd gru de liberdde, em-se, no recho liner: x x& && x x x& j jk + x& jk. 67/89

68 Observções Gerção de Trjeóris em Tempo Rel Espço Cresino Pr splines Lineres e Prbólics No recho prbólico: inb x x& && x x x& && x j jk k + x& ( 1 ) + jk + && x k. j.( inb jk inb ) + 1 && x k. inb 68/89

69 Observções Gerção de Trjeóris em Tempo Rel Espço Cresino Pr splines Lineres e Prbólics Convere-se enão rjeóri em coordends Cresins pr vriáveis de jun, & e & : x, x & ex&& & Pr posição: CINEMÁTICA INVERSA Pr velocidde: JACOBIANO Pr celerção: JACOBIANO INVERSO e su DERIVADA Modo mis simples: Converer x em S T e empregr um SOLVER pr se ober G um veor Θ com s vriáveis de jun (x de quisição); Dierencição Numéric é enão empregd: Θ & e Θ& 69/89

70 Observções Gerção de Trjeóris em Tempo Rel Espço Cresino Pr splines Lineres e Prbólics Algorimo, pr cd insne de empo : x Θ() Θ& () Θ&& () S G T S SOLVE( T) Θ() Θ( δ Θ& () Θ& ( δ δ) δ) G Θ, Θ& e Θ& Envi-se pr o sisem de conrole do Mnipuldor 7/89

71 Observções Plnejr Trjeóris com o Modelo Dinâmico Em gerl, consider-se um vlor pdrão ou máximo de celerção n gerção de rjeóris Função d dinâmic do Mnipuldor e de seus limies Audores são crcerizdos: Não por orque e celerção máximos... Por curvs de orque vs. velocidde Induz-se Simpliicções: Considerr um celerção máxim ( conservdor ) pr cd jun do mnipuldor Não se provei complemene s cpciddes de velocidde do udor... 71/89

72 Observções Plnejr Trjeóris com o Modelo Dinâmico Pr se ober o empo mínimo pr um mnipuldor ingir um posição ou execur um rjeóri: Modelo Dinâmico do Mnipuldor Curvs de orque x velocidde dos udores Soluções Numérics são empregds... 7/89

73 Observções Uso de Qurenions Comprção enre o uso de qurenions e mrizes Operção Qurenions Mrizes R 1 R 9 (+) e 16 (x) 15 (+) e 4 (x) R v 1 (+) e (x) 6 (+) e 9 (x) R Rol(n,) 4 (x), 1 ( ) e 1 (rcn) 8 (+), 1 (x), ( ) e 1 (rcn) 73/89

74 Sumário d Aul Inrodução Progrmção Explíci Espço ds Juns Espço Cresino Observções Progrmção Bsed em Modelos Exercícios Recomenddos Bibliogri Recomendd 74/89

75 Progrmção bsed em Modelos Plnejr Trjeóris Livres de Colisões Colisões com obsáculos: Fixos (máquins, predes, grdes, ec.) Móveis (pessos, objeos, ouros mnipuldores, ec.) Não disponíveis comercilmene... O sisem deve er modelos: Do mnipuldor; D áre de rblho; Dos obsáculos poenciis. 75/89

76 Progrmção bsed em Modelos Plnejr Trjeóris livres de Colisões Váris écnics são plicds: Modelr o espço livre d áre de rblho empregndo Teori de Gros e enconrr um rjeóri livre de colisões Complexidde exponencil no número de juns do mnipuldor... Empregr Cmpos de Poencil Ariicil o redor dos obsáculos e um pólo de rção n posição desejd Mínimos Locis... 76/89

77 Progrmção bsed em Modelos Plnejr Trjeóris livres de Colisões Exemplo: Lozno-Pérez (1987) Robô PUMA com grr de 3 dedos 6 Grus de Liberdde 77/89

78 Progrmção bsed em Modelos Plnejr Trjeóris livres de Colisões Exemplo: Lozno-Pérez (1987) Mnipuldor com n grus de liberdde Represenção no Espço de Conigurções: Conigurion Spce (C-spce): Conjuno de prâmeros que deinem complemene posição de qulquer pono do mnipuldor ou obsáculo (ixo ou móvel) denro de seu espço de rblho. Form de represenção:» Espço ds Juns» Espço Cresino Muliplicidde de Soluções obids n cinemáic invers... 78/89

79 Progrmção bsed em Modelos Plnejr Trjeóris livres de Colisões Exemplo: Lozno-Pérez (1987) Mpei-se os obsáculos no Espço de Conigurções C-Spce Obscles (Figur pr um mnipuldor RRR) b 3 3 b 3 3 R 1 Espço Livre: complemeno do C-Spce Obscles 79/89

80 Progrmção bsed em Modelos Plnejr Trjeóris livres de Colisões Exemplo: Lozno-Pérez (1987) Espço livre é obido pr cd jun n juns n C-spces... 8/89

81 Progrmção bsed em Modelos Plnejr Trjeóris livres de Colisões Exemplo: Lozno-Pérez (1987) π 1 1 π 1 Um mnipuldor com juns rocionis (RR) e obsáculos no espço cresino (D) e no espço ds juns (C-spce) 81/89

82 Progrmção bsed em Modelos Plnejr Trjeóris livres de Colisões Exemplo: Lozno-Pérez (1987) 1 Um mnipuldor com 3 juns rocionis (RRR) e obsáculos no espço cresino (D) e no espço ds juns (C-spce) 8/89

83 Progrmção bsed em Modelos Plnejr Trjeóris livres de Colisões Exemplo: Lozno-Pérez (1987) Qundo errmen execu um re em um região inern... 83/89

84 Progrmção bsed em Modelos Plnejr Trjeóris livres de Colisões 84/89

85 Sumário d Aul Inrodução Progrmção Explíci Espço ds Juns Espço Cresino Observções Progrmção Bsed em Modelos Exercícios Recomenddos Bibliogri Recomendd 85/89

86 Exercícios Recomenddos Exercícios: Livro do Crig (5): pp /89

87 Sumário d Aul Inrodução Progrmção Explíci Espço ds Juns Espço Cresino Observções Progrmção Bsed em Modelos Exercícios Recomenddos Bibliogri Recomendd 87/89

88 Bibliogri Recomendd Crig, J.C., 5, Inroducion o Roboics: Mechnics nd Conrol, 3 rd Ediion, Person Educion Inc., ISBN Pul, R. P., 1981, Robo Mnipulors. Mhemics, Progrmming nd Conrol,, The MIT Press. Fu, K.S., Gonzles, R.C., nd Lee, C.S.G., 1987, Roboics: Conrol, Sensing, Vision, nd Inelligence, McGrw-Hill In. Ediions, ISBN Corke, P., Roboics Toolbox or MLb (Relese 7). 88/89

89 Bibliogri Recomendd Lozno-Perez, T., 1987, A Simple Moion-Plnning Algorihm or Generl Robo Mnipulors, IEEE Journl o Roboics nd Auomion, Vol. RA-3, Nº 3, pp Lozno-Perez, T., 1981, Auomic Plnning o Mnipulor Trnser Movemens, IEEE Trnscions on Sysems, Mn, nd Cyberneics, Vol. SMC-11, Nº 1, pp /89