MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS

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1 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV- &$3Ì78/,9 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS 4.- INTRODUÇÃO Inicilmene é necessário que se defin o que é sisem, sisem dinâmico e sisem esáico. Um SISTEMA é um combinção de componenes que um em conjuno pr sisfzer um objeivo especificdo. O sisem é dio ESTÁTICO, qundo síd ul do sisem depende somene d enrd ul. A síd do sisem só vri se su enrd vrir. O sisem é dio DINÂMICO, se su síd depende d enrd e dos vlores pssdos d enrd. Num sisem dinâmico síd vri se el não esiver num pono de equilíbrio, mesmo que nenhum enrd esej sendo plicd. O modelo memáico de um sisem dinâmico é definido como sendo o conjuno de equções que represenm dinâmic do sisem com um cer precisão. O modelo memáico de um ddo sisem não é único, iso é, um sisem pode ser represendo por diferenes modelos dependendo d nálise que se desej fzer. N obenção do modelo memáico pr um ddo sisem deve-se er um compromisso enre simplicidde do modelo e su precisão. Nenhum modelo memáico, por mis preciso que sej, consegue represenr complemene um sisem. Em gerl deve-se ober um modelo memáico, que sej dequdo pr solucionr o problem específico que es em nálise. Porém, é imporne resslr que os resuldos obidos des nálise serão válidos somene pr os csos em que o modelo é válido. Qundo vmos ober um modelo simplificdo de um sisem, gerlmene ignormos lgums proprieddes físics dese sisem. Se os efeios que ess proprieddes cusm n respos do sisem são pequenos, enão um bo semelhnç enre os resuldos d nálise memáic e os resuldos práicos do sisem é obido. Em gerl os sisems dinâmicos são não lineres. Porém, os procedimenos memáicos pr obenção de solução de modelos lineres são muio complicdos. Por iso, gerlmene subsiuí-se o modelo não liner por um modelo liner, com vlidde somene em um região limid de operção, ou pr um pono de operção. A obenção dos modelos que represenm um ddo sisem, são bsedos ns leis que regem quele sisem. Por exemplo, n modelgem de um sisem mecânico, deve-se er em mene s leis de Newon; n modelgem de sisems eléricos deve-se er em mene s leis ds correnes e ds ensões de irchoff; n modelgem de sisems érmicos deve-se er mene s leis que regem os fenômenos érmicos, iso é, condução, rdição e convenção, ec... Nese cpíulo, nos preocupmos com modelgem de sisems mecânicos de rnslção e roção e sisems eleromecânicos. A modelgem de ouros sisems físicos, is como, sisems érmicos e sisems hidráulicos não serão objeo de nálise. 4.- MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS Os sisems mecânicos são divididos em dois grupos, iso é, sisems mecânicos de rnslção, e sisems mecânicos de roção. A seguir, lguns conceios impornes relivos sisems mecânicos, serão revisdos. - Mss A mss de um corpo, é qunidde de méri dese corpo, qul é consne. Fisicmene, mss de um corpo é responsável pel inérci do mesmo, iso é, resisênci à mudnç de movimeno de um corpo. O peso de um corpo, é forç com qul err exerce rção dese corpo. Prof. Hélio Leães Hey - 997

2 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV- m ω Onde: g m é mss (g) ω é o peso (gf) g é celerção d grvidde ( 9,8 m/s ) vri. Embor o peso de um corpo poss vrir de um pono pr ouro, mss do mesmo não - Forç A forç é definid como cus que ende produzir um mudnç n posição de um corpo, no qul forç esá undo. As forçs, podem ser clssificds de dus forms, FORÇAS DE CONTATO e FORÇAS DE CAMPO. As forçs de cono são quels que em um cono direo com o corpo, enquno s forçs de cmpo não presenm cono direo com o corpo, como por exemplo, forç mgnéic e forç grvicionl. - Torque O orque, é definido como qulquer cus que ende produzir um mudnç n posição ngulr (rocionl) de um corpo, no qul o orque esej undo. - Deslocmeno, Velocidde e Acelerção O deslocmeno χ( ) é roc de posição de um pono, omdo como referênci, pr ouro. A velocidde é derivd emporl do deslocmeno χ(. ) dχ() ϑ() χ () d A celerção é derivd emporl d velocidde: dϑ() d χ() () () ϑ () χ () d d - Deslocmeno Angulr, Velocidde Angulr e Acelerção Angulr O deslocmeno ngulr θ(), é definido como roc de posição ngulr, sobre um eixo, de um ângulo omdo como referênci e ouro. É medido em rdinos. A direção ni-horário é omd como posiiv. A velocidde ngulr ω(), é derivd emporl do deslocmeno ngulr θ(). dθ() ω() θ () d A celerção ngulr α(), é derivd emporl d velocidde ngulr ω. dω() d θ() α() α() ω () θ() d d Prof. Hélio Leães Hey - 997

3 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-3 Obs: Se velocidde ou velocidde ngulr é medid em relção um referênci fix, enão chmmos de velocidde bsolu ou velocidde ngulr bsolu. Cso conrário serão grndezs relivs. O mesmo é válido pr celerção. LEIS DE NEWTON Ds rês leis que form formulds por Newon, segund lei é mis imporne, pr obenção de modelos memáicos de sisems mecânicos. - Segund lei de Newon (Trnslção) A celerção dquirid por de qulquer corpo rígido é diremene proporcionl s forçs que um nese corpo, e inversmene proporcionl mss dese corpo. - Segund lei de Newon (Roção) A celerção ngulr de qulquer corpo rígido é diremene proporcionl os orques que um nese corpo, e inversmene proporcionl o momeno de inérci dese corpo. Onde: J Momeno de inérci; 4..- SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO Nos sisems mecânicos de rnslção, há rês elemenos mecânicos envolvidos que são: elemeno de inérci, elemeno de morecimeno, elemeno de elsicidde. - Elemeno de Inérci (Mss) Σ forçs m. ΣT Jα M mss; f () forç plicd; χ() deslocmeno. É ssumido que mss é rígid. Des form conexão superior, não deve se mover em relção conexão inferior, iso é, mbs conexões se deslocm segundo χ(). Onde: f M m d ϑ() M d χ() (). () d d () celerção; ϑ() velocidde; χ() deslocmeno. Prof. Hélio Leães Hey - 997

4 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-4 - Elemeno de Amorecimeno (Amorecedor) No cso dese elemeno exise um deslocmeno relivo enre o pono de conexão superior e o pono de conexão inferior. Porno, exise necessidde de dus vriáveis deslocmeno pr descrever ese elemeno. A relizção físic dese elemeno é fricção viscos ssocid o óleo ou r. Forç de Amorecimeno f B d χ() dχ () () d d f() B(ϑ ()- ϑ ()) B Coeficiene de morecimeno; ϑ () Velocidde reliv o deslocmeno χ () ϑ () Velocidde reliv o deslocmeno χ (). - Elemeno de Elsicidde (Mol) Ese elemeno, pode ser deformdo por um forç exern, l que deformção é diremene proporcionl es forç. ( χ χ ) f() () () Forç de elsicidde Um vez que os elemenos mecânicos dos movimenos de rnslção esão definidos, s equções de sisems mecânicos de rnslção podem ser escris seguindo s leis de Newon. Ex : M d χ() d f B d χ() () χ() d Nese sisem, rês forçs exercem influêncis sobre mss M: forç plicd f(), forç de morecimeno e forç de elsicidde. A função de rnsferênci, pode ser obid, considerndo-se forç plicd como enrd e o deslocmeno χ( ) como síd. F(s) MS X(s) + BSX(s) + X(s) Xs () Fs () Prof. Hélio Leães Hey Gs () M MS + BS + B S + M S + M

5 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-5 Ex : Ese sisem mecânico, é o modelo simplificdo de um sisem de suspensão de um ds rods de um uomóvel, onde: M Mss do uomóvel; M Mss do rod; Ce de elsicidde (mol); Ce de elsicidde (pneu); B Ce de morecimeno (morecedores). Se observrmos figur, exisem deslocmenos independenes χ () e χ (). Iso signific que, conhecer o deslocmeno χ () não implic em conhecer o deslocmeno χ (). Porno devese escrever equções. M d χ d M d () ( ) B d. χ( ) d. χ ( ) χ () χ () d d χ () d f ( ) B d χ () dχ() () χ () χ () χ () d d Supondo que desej-se ober função de rnsferênci enre forç plicd f() e o deslocmeno do crro χ (). M S X (s) - (X (s) - X (s)) - B(SX (s) - SX (s)) 3 M S X (s) F(s) - (X (s) - X (s)) - B(SX (s) - SX (s)) - X (s) 4 Pel equção 3 ; resul X (s)(m S + + BS) X (s)( + BS) X BS + () s MS BS X s. () Pel equção 4, resul X (s)(m S BS) F(s) + ( + BS)X (s) X s MS BS Fs BS + (). () MS + BS+ + X(s) 6 X () s G (). s X () s 5 X () s G (). s X () s + G (). s F() s 6 3 As equções 5 e 6 fornecem s seguines represenções: Prof. Hélio Leães Hey - 997

6 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-6 Digrm de blocos Gráficos de fluxo de sinis Cminho direo: M G. G 3 Lços individuis: L G. G Deerminne do sisem: GG Função de rnsferênci: X GG 3 F GG Onde: GG GG 3 BS + BS + ( MS + BS+ ) ( MS + BS+ + ) BS +. ( MS + BS+ ) ( MS + BS+ + ). Com iso, função de rnsferênci dese sisem é dd por: X() s Fs () BS + ( MS + BS+ ).( MS + BS+ + ) ( MS + BS+ )( MS + BS+ + ) ( BS+ ) ( MS + BS+ )( MS + BS+ + ) X() s BS + 4 Fs () MMS + M + M BS + M + M + M S + BS+ + Prof. Hélio Leães Hey ( ) ( ) Es função de rnsferênci, descreve complemene, dinâmic do sisem presendo. Um vez conhecido, mss do crro M, mss d rod M e elsicidde do pneu, suvidde ou conforo do crro é deermindo pel definição dos vlores de e B.(B morecedor; mol). Como o coeficiene de morecimeno B vri com o desgse do morecedor, função de rnsferênci mbém vri com o empo mudndo o conforo do crro SISTEMAS MECÂNICOS DE ROTAÇÃO Os elemenos mecânicos envolvidos nos sisems mecânicos de roção, são os mesmos já definidos pr os sisems mecânicos de rnslção. A diferenç é que gor os deslocmenos são ngulres.

7 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-7 - Elemenos de inérci (Momeno de Inérci) T J J d ω() J d θ() () α() T() J θ() d d Onde: J Momeno de inérci; T() Torque plicdo; θ() Deslocmeno ngulr. α() Acelerção ngulr; ω() Velocidde ngulr. - Elemeno de Amorecimeno (Amorecedor) ( θ θ ) T() B () () θ () θ () Velocidde Reliv; T Torque plicdo; B Coef. de morecimeno Rocionl. - Elemeno de Elsicidde (Mol) ( θ θ ) T() ( ) ( ) T () Torque plicdo; θ () - θ () Desloc. ngulr relivo. Exemplos: ) Considere o sisem mecânico rocionl, mosrdo seguir: Aplicndo T.L, resul: T(s) JS.Ω(s) +B.Ω(s) Jα() T() Jω () T() Bω() T() Jω () + Bω() Ω( s) T(s) J. S + B ) Considere o sisem mecânico rocionl, mosrdo seguir: Ese sisem é um exemplo de relógios de pêndulo. O momeno de Inérci do pêndulo, é represendo por J; fricção enre o pêndulo e o r é represendo por B, e elsicidde do pêndulo é represend por. Jα( ) T() Prof. Hélio Leães Hey J d θ() T( B d θ() ) θ() d d

8 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-8 Aplicndo T.L, resul: A função de rnsferênci, será enão: JS. θ( s) Ts ( ) BS. θ( s). θ( s) θ( s) T(s) J.S + BS MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉTRICOS A modelgem de sisems eléricos é bsed ns leis ds ensões e ds correnes de irchoff. Devido noss fmiliridde com circuios eléricos, modelgem dos mesmos orn-se fcilid. Os elemenos envolvidos nos circuios eléricos são: Resisores, Induores, Cpciores, mplificdores, ec CIRCUITO RLC Aplicndo T.L ns expressões cim, resul: L.S.I(s) + R.I(s) + Vc(s) Ei(s) I(s) C.S.Vc(s) Subsiuindo-se expressão de I(s) n primeir equção, em-se: L.S.C.S.Vc(s) + R.C.S.Vc(s) + Vc(s) Ei(s) Como: Vc(s) E (s) LCS. E (s) + R.CSE (s) + E (s) Ei(s) E () s Ei() s LCS.. + RCS.. + L di () + Ri() + ϑc() ei() d i () C d ϑ c () d Obs: Em invés rblhrmos com o elemeno elérico podemos rblhr com o circuio de impedânci complex, fcilindo obenção d Função de Trnsferênci. ELEMENTO R L C IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA R LS /CS Prof. Hélio Leães Hey - 997

9 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-9 ) E () s. CS I s () Ei() s + R I () s + ( ) CS I () s I () s I() s I() s CS Ei() s R I () s ( ) CS I () s I () s + R I () s + E () s I() s I() s CS E () s + R I () s I () s CSEis () + CSE () s + RCS I () s C SE () s CSEis () + CSE () s Ei() s R. E() s + RCSE() s + RCS ( + ) + ( + )( + ) Eis () RCS RCS RCSE () s RCS RCSE () s 4.4- SISTEMAS ANÁLOGOS E Ei + RCS + RCS+ RCS ( )( ) Sisems nálogos, são sisems que embor presenem crcerísics físics diferenes, são descrios pelos mesmos modelos memáicos. A exisênci dese conceio é muio uilizd n práic. Um vez que um deermindo sisem físico esej esuddo e nlisdo, um ouro sisem nálogo ese mbém esrá. Em virude d consrução de um proóipo de um sisem mecânico, hidráulico, ec, ser mis complicdo, eses sisems podem se esuddos e nlisdos rvés do circuio elérico nálogo ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELÉTRICOS E MECÂNICOS Enre os sisems eléricos e mecânicos, exisem dois ipos de nlogis: Anlogi Forç-Tensão; Anlogi Forç-Correne. ) Anlogi Forç-Tensão cso. Abixo é mosrdo s grndezs nálogs enre os sisems Eléricos e Mecânicos pr ese Prof. Hélio Leães Hey - 997

10 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV- SISTEMA ELÉTRICO SISTEMA MECÂNICO DE TRANSLAÇÃO SISTEMA MECÂNICO DE ROTAÇÃO Tensão ϑ() Forç F() Torque T() Induânci L Mss M Momeno de Inérci (J) Resisênci R Coef. de Ario B Coef. de Ario B Inverso d Cpciânci /C Coef. de Elsicidde Coef. de Elsicidde Crg Eléric q() Deslocmeno χ( ) Desloc. Angulr θ() Correne i() Velocidde χ () Veloc. Angulr θ () ω() Sejm os sisems eléricos e mecânicos, bixo represendos. Pr o sisem mecânico, em-se que: Pr o sisem elérico, em-se que: L di () + Ri() + i() d ϑ() d C M d χ() B d χ() + + χ() f d d dq() ms, i () L dq () R dq () + + q () ϑ () d d d C onde: q() Crgs elérics. As equções diferenciis e são idênics e porno os dois sisems presendos são nálogos. b) Anlogi Forç-Correne Sejm os sisems eléricos e mecânicos, bixo represendos. Prof. Hélio Leães Hey - 997

11 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV- A equção que define o sisem mecânico já foi obid cim, em. Pr o sisem elérico, em-se que: i L () + i R () + i C () is() 3 L ϑ() d C d ϑ() ϑ() + + is() R d dφ() ms: ϑ() ; onde: φ fluxo mgnéico. d C d φ () dφ() + + φ() is() 4 d R d L As equções e 4, são idênics e porno os dois sisems presendos são nálogos. Abixo é mosrdo s grndezs nálogs enre os sisems eléricos e mecânicos pr o cso d nlogi Forç-Correne. SISTEMA ELÉTRICO SISTEMA MECÂNICO DE TRANSLAÇÃO SISTEMA MECÂNICO DE ROTAÇÃO Correne i() Forç F() Torque T() Cpciânci C Mss M Momeno de Inérci (J) Inverso d Resisênci /R Coef. de Ario B Coef. de Ario B Inverso d Induânci /L Coef. de Elsicidde Coef. de Elsicidde Fluxo Mgnéico φ() Deslocmeno χ( ) Desloc. Angulr θ() SISTEMAS ELETROMECÂNICOS Os sisems eleromecânicos serem nlisdos são o servomoor de correne conínu e o gerdor de correne conínu SERVOMOTORES DE CORRENTE CONTÍNUA Um servomoor de correne conínu é um moor de correne conínu, com crcerísics dinâmics especiis, pr serem usdos em sisems relimendos. As crcerísics desejáveis de um servomoor de CC são: Inérci reduzid; Máxim celerção possível; Al relção orque-inérci; Consne de empo exremmene pequen. Os servomoores CC de bixs poêncis são usdos em equipmenos compucionis como ciondores de disco, impressors, ciondores de fi e mbém em insrumenção. Já os servomoores CC de médis e ls poêncis são usdos em sisems roboizdos, conroles de posição, ec... O modelo básico de um servomoor CC, é mosrdo seguir: Prof. Hélio Leães Hey - 997

12 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV- ϑ () Tensão plicd n rmdur; R Resisênci de rmdur; L Induânci de rmdur; E () Forç eleromoriz i () Correne d rmdur; L f Induânci de cmpo; R f Resisênci de cmpo; ϑ f () Tensão plicd no cmpo; i f () Correne de cmpo; T() Torque desenvolvido pelo moor; L f, R f Enrolmeno de cmpo; R, L Enrolmeno de rmdur. Ese servomoor pode ser ciondo de forms, que são: Conrole d Armdur; Conrole de Cmpo; No CONTROLE DE ARMADURA, o enrolmeno de cmpo é excido seprdmene. A correne de cmpo é mnid consne e o conrole do moor é exercido pel correne de rmdur. No CONTROLE DE CAMPO, correne de rmdur é mnid consne e velocidde é conrold pel ensão de cmpo. O conrole pelo cmpo dos servomoores, presen como desvngens, o fo de rblhr com consnes de empo miores e mbém mior dificuldde de obenção de um fone de correne conínu CONTROLE PELA ARMADURA DE SERVOMOTORES CC Considere o digrm esquemáico do conrole de servomoores CC pel rmdur. A correne de cmpo é mnid consne. As equções que definem o moor CC em Regime Permnene esão bixo definids. O orque eleromgnéico desenvolvido pelo moor CC é ddo pel seguine expressão: Prof. Hélio Leães Hey T().φ().i () Onde: φ Fluxo no enreferro; CTE; i () Correne de rmdur.

13 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-3 Pel curv de mgneizção mosrd, o fluxo no enreferro n região liner, é proporcionl correne de cmpo. φ() f. i f () Como nese cso correne de cmpo é consne, resul que o fluxo mbém será: Subsiuindo 3 em, em-se: φ() 3 T(). i () 4 Pel expressão 4, o orque eleromgnéico produzido pelo moor CC é diremene proporcionl correne de rmdur. A forç eleromoriz E () induzid n rmdur é dd por: E ().φ ().ω m () 5 Onde: ω m () Velocidde ngulr do moor; Como o fluxo é consne, resul: E () 3. ω () m ou 6 E () d θ() 3. d A equção diferencil ssocid rmdur do moor CC, iso é, equção do moor CC é definid em 7. ϑ L di. () () + R. i() + E( ) 7 d 8. A equção diferencil mecânic ssocid o sisem represendo n figur, é definido em T( J d θ () ) B d θ() + 8 d d Assumindo condições iniciis nuls, rnsformd de Lplce ds expressões 6, 7, 8 e 4, será: E (s) 3.S.θ(s) 9 V (s) L.S.I (s) +R.I (s) +E (s) T(s) J.S.θ(s) + B.S.θ(s) T(s).I (s) Considerndo que ensão plicd n rmdur d máquin V (s) é enrd do sisem, o deslocmeno ngulr do eixo do roor θ(s) é síd, pode-se enão ober Função de Trnsferênci dese sisem. Prof. Hélio Leães Hey - 997

14 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-4 Inicilmene, mosr-se o digrm de blocos pr o sisem presendo. O digrm de fluxo de sinis, é mosrdo seguir: θ() s V () s + ( L. S+ R )( J. S + BS. ).. S ( L. S+ R )( J. S + BS. ) 3 θ() s V () s L. S+ R. S. J. S+ B +.. S ( ) ( ) 3 θ( s) V () s S {. ( L. S R )( JS. B) } θ( s) V () s SL.. JS L. B R. JS R. B. ( + ( + ) + + 3) 3 4 Considerndo-se que L é pequen e pode ser desprezd, emos: θ( s) V () s SR.. JS R. B. ( + + ) 3 5 Ou: θ( s) V () s RB +. 3 R. J S R. B+. S + 3 ( S+ ) S. T. m m θ() s V () s 6 T m m R. J R. B+. 3 R. B+. 3 m gnho consne d máquin; T m consne de empo d máquin. Pels expressões cim observ-se que quno menor for R e J, menor será consne de empo d máquin. Prof. Hélio Leães Hey - 997

15 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-5 As expressões 5 e 6 represenm Função de Trnsferênci pr o sisem eleromecânico mosrdo. Pr obermos represenção por espço de esdo, bs que se enh s equções diferenciis relcionds s expressões 5 e 6. D expressão 5, resul: (. ) R.. J θ() + R B+. 3 θ(). ϑ() 7 Sejm χ () e χ () s vriáveis de esdo. χ( ) θ() χ () θ () A síd θ() será: y() θ() χ () e enrd: ϑ () µ() χ () χ () ( R. B+. ) 3 χ (). χ + ϑ () R. J R. J A represenção por Espço de Esdo pr equção 7 resul: χ ().. R B χ () + R. J 3 χ().. µ ( ) χ () + R. J 8 χ() y () [ ]. χ () Em função dos ermos m e T m, já definidos, represenção por espço de esdo, resul: χ () χ().. µ ( ) χ () m T χ () m + Tm χ() y () [ ]. χ () O uso do conrole elerônico de servomoores CC, mbém conhecido como servo cionmeno, melhor significmene operção dos servomoores. A seguir é mosrdo um digrm de blocos de um servocionmeno pr conrole de velocidde de um servomoor CC. Prof. Hélio Leães Hey - 997

16 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-6 E i referênci de velocidde (vols); E velocidde de síd (vols); T N sensor de velocidde. O digrm cim, represen o conrole de velocidde de um servomoor CC. O servocionmeno, rnsform o erro enre Velocidde de Referênci e Velocidde medid, num umeno ou diminuição d ensão que limen rmdur do servomoor. A seguir é mosrdo, um digrm simplificdo, pr o conrole de posição de um servomoor. O bloco S, represen o gnho do servocionmeno e o inegrdor S. Aulmene, rvés do uso de servocionmenos incorpor-se o sisem (servocionmeno + servomoor) dus mlhs de conrole de velocidde e posição, conforme mosrdo bixo GERADOR CC O modelo básico do gerdor CC, é mosrdo seguir: As equções que regem ese sisem são: Equção de cmpo: ϑ f () R f i f () + L d f f d i () 9 Equção de Armdur: E () R i () + L d d i () +ϑ () Equçã Prof. Hélio Leães Hey - 997

17 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-7 o de crg: ϑ () Z. i () d Pel equção 5 emos que: E(). φ. θ() d Considerndo-se que velocidde do gerdor é consne, e que pel equção o fluxo no enreferro é diremene proporcionl correne de cmpo i f (), resul: E () 4. i () f por: Des form, s rnsformds de Lplce ds equções 9,, e, são dds V () s ( R + L. S). I () s 3 f f f f E () s 4. i () s 4 I f () s R Z L S E s () V () s Z. I () s 6 O digrm de bloco pr o sisem é mosrdo bixo: A função de rnsferênci enre V (s) e V f (s) é dd por: V () s 4. Z V () s ( L. S+ R )( L. S+ R + Z) f f f 7 Pel expressão cim, verific-se que crg Z fe no dinâmic do gerdor como mbém própri síd ϑ () TRANSFORMADORES E ENGRENAGENS Em um circuio elérico, um rnsformdor é um disposiivo de coplmeno mgnéico, cuj finlidde é rnsformr os níveis de ensão e correne de um ldo do coplmeno pr o ouro. Em nosso esudo odos os rnsformdores serão considerdos ideis, sendo des form, poênci de enrd do mesmo igul su poênci de síd. A seguir é mosrdo o modelo de um rnsformdor idel. P() e(). i() P () e (). i () P() P() e() i () e () i () Prof. Hélio Leães Hey - 997

18 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-8 Pel Lei de Frdy sbe-se que ensão induzid em um bobin é diremene proporcionl x de vrição do fluxo mgnéico e o número de espirs d bobin. Com iso, em-se que: e N d φ() () d e e N d φ() () d Porno: e() e () e N N N N e() e () i i () () A função d engrengem em um sisem mecânico é mesm, do rnsformdor em um sisem elérico, iso é, propicir o coplmeno mecânico. Sej o coplmeno mecânico mosrdo seguir: Onde: T (), T () Torques; θ (), θ () Deslocmenos ngulres; N, N Número de denes ds engrengens. Em um our perspeciv, o sisem de engrengens pode ser represendo como mosrdo bixo. O produo enre o número de dene de um engrengem (N ) e o deslocmeno ngulr des engrengem (θ ), deve ser igul o mesmo produo relivo our engrengem. Porno: N. θ ( ) N. θ ( ) N N ou θ () θ () Já os orques T () e T () são diremene proporcionis os números de denes ds engrengens. Porno: N T () N T () Prof. Hélio Leães Hey Por ouro ldo, o número de denes de um engrengem é diremene proporcionl o rio (ou diâmero) d engrengem, iso é, N R n. N R 4.7- LINEARIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS NÃO-LINEARES Conforme já foi comendo neriormene, os modelos mis precisos de sisems físicos são não-lineres. Enreno, rnsformção de Lplce não pode ser uilizd n solução de equções diferenciis não-lineres. Por iso, é necessário que sej inroduzid um écnic de linerizção de sisems não-lineres.

19 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV-9 Sej o sisem de um pêndulo mosrdo bixo: L comprimeno do pêndulo; M mss do pêndulo; f forç que u no pêndulo; g grvidde. A equção diferencil que descreve o movimeno do pêndulo, é: L g d θ(). d sen θ( ) Es equção é não liner, devido presenç do ermo sen θ(). A crcerísic não-liner pr função f(θ) sen θ é mosrd bixo. O procedimeno usul de linerizção é subsiuir crcerísic d função por um linh re, o que fornece um precisão rzoável pr um pequen região de operção. Por exemplo, suponh que desej-se linerizr função f(θ) sen θ em orno do pono f(θ ). Arvés de expnsão em Série de Tylor, represen-se função f(θ) em orno do pono θ, por: df df f() f( ).( ). ( θ θ ) θ θ + θ θ + dθ ( θ θ ) dθ ( θ θ )! +... Se vrição θ - θ é pequen, os ermos de mior gru podem ser desprezdos n série de Tylor. Iso resul em: df f( θ) f( θ ) +.( θ θ ) 3 dθ ( θ θ ) Sej porno: f(θ) sen θ. Com iso emos: { }( ) senθ senθ + cos θ. θ θ 4 Como, o pêndulo mosrdo, oper n região em que θ, pode-se linerizr função em orno do pono θ. Prof. Hélio Leães Hey senθ θ 5 sen θ.( θ )

20 Projeo Reenge - Eng. Eléric Aposil de Sisems de Conrole I IV- Subsiuindo 5 em, resul: L g d θ(). d θ() 6 ou θ() + g θ() L 7 Porno, pr linerizr um função f ( χ ) em orno do pono χ, deve-se expndir es função rvés de Série de Tylor, considerndo-se desprezível os ermos (θ θ ) n, pr n >. df( χ) f( χ) f( χ ) ( χ χ + ) dχ χ χ A precisão, des linerizção depende d mgniude dos ermos ignordos. Prof. Hélio Leães Hey - 997