1. Cinemática. Cinemática Escalar FIQUE LIGADO FIQUE LIGADO

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1 1. Cinemáic É o cmpo d físic que esud os movimenos relizdos pelos corpos. Cinemáic Esclr Pono Meril É um corpo cujs dimensões podem ser desprezds, levndo-se em con um referencil. Ex.: Um pesso no desero. Corpo Exenso É um corpo cujs dimensões são levds em con de cordo com o referencil. Ex.: Um pesso num sl. Referencil, Repouso e Movimeno Referencil é o que se om por bse pr vlir se um corpo esá em repouso ou em movimeno. Qundo disânci enre o referencil e o corpo umen (ou diminue), diz-se que há movimeno, ms qundo disânci enre eles fic inlerd, enão há repouso. Ex.: Um pesso cminhndo (referencil = árvore) = movimeno. Ex.: Dus pessos denro de um mesmo crro (referencil = própris pessos) = repouso. Não exisem repouso e movimeno bsoluo, pois udo depende do referencil dodo. Trjeóri É um linh que une ods s posições ocupds por um corpo durne o seu movimeno. A rjeóri mbém depende do referencil dodo. Resumindo, rjeóri é o cminho feio pelo corpo em relção o referencil dodo. Ex.: Objeo lnçdo de um vião. Pr um pesso que observ qued de denro do vião, o objeo cirá em linh, ms pr um pesso que observ do solo, o objeo erá um rjeóri oblíqu. Espço É medid lgébric, o longo de um rjeóri, d disânci do pono onde se enconr o corpo o pono de referênci dodo como origem. Deslocmeno Esclr É vrição do espço, ou sej, diferenç enre o espço finl e o espço inicil. Em ours plvrs, é disânci enre s posições inicil e finl. Disânci Percorrid É som dos vlores dos deslocmenos prciis. Velocidde Esclr É relção enre o deslocmeno de um corpo em deermindo empo. Em ours plvrs, é rpidez com que o corpo se desloc. Divide-se em velocidde esclr médi e velocidde esclr insnâne. Memicmene, velocidde médi é represend pel equção: V m Vm = velocidde médi; ΔS = vrição do espço = espço finl (S) espço inicil (So); Δ = vrição do empo = empo finl () empo inicil (o). A velocidde insnâne é dd em um momeno específico, no qul não há vrições pr o empo. A medid d velocidde pode ser express no em Km/h (quilômero por hor) como em m/s (mero por segundo). Pr rnsformr de um unidde pr our, bs muliplicr ou dividir por 3,6. Ex.: 90Km/h 25m/s (de Km/h pr m/s dividese por 3,6) Ex.: 30m/s 108Km/h (de m/s pr Km/h muliplic-se por 3,6) Velocidde Reliv Exisem dus regrs práics pr se chegr o módulo de um velocidde esclr reliv enre dois corpos: Qundo dois ou mis corpos vão pr o mesmo senido, velocidde esclr reliv (Vrel) é dd pels diferençs enre s velociddes desses corpos. Qundo dois ou mis corpos esão em senidos conrários, velocidde esclr reliv (Vrel) é dd pels soms enre s velociddes desses corpos. Movimeno Uniforme (MU) É qundo um corpo se desloc com velocidde consne durne odo o percurso. No movimeno uniforme, velocidde insnâne do corpo será igul à velocidde médi, pois não hverá vrição n velocidde em nenhum momeno do percurso. 545

2 Pr clculr posição do corpo no decorrer do empo, us-se seguine equção: S = espço finl; So = espço inicil; v = velocidde; = empo. Acompnhe-me: qundo o corpo se desloc no mesmo senido d orienção d rjeóri indicd (v > 0 e ΔS > 0), diz-se que ele esá em movimeno progressivo. Já qundo o corpo se desloc no senido conrário d orienção d rjeóri indicd (v < 0 e ΔS < 0), diz-se que ele esá em movimeno rerógrdo. Gráficos do Movimeno Uniforme São dois os gráficos do movimeno uniforme, um do Espço X empo e ouro d Velocidde X empo. Gráfico: espço X empo: s A ngene do ângulo formdo é igul à medid d velocidde. Gráfico: Velocidde X empo: s Movimeno Uniformemene Vrido (MUV) É qundo um corpo se desloc com velocidde vrid durne o percurso, exisindo, nesse deslocmeno, um celerção que produz ess vrição de velocidde. É mbém conhecido como movimeno celerdo (ou rerddo). Pr clculr celerção médi do corpo no movimeno, us-se seguine fórmul: αm = velocidde médi; ΔV = vrição d velocidde = velocidde finl (V) velocidde inicil (V o ); Δ = vrição do empo = empo finl () empo inicil ( o ). A celerção insnâne é dd em um momeno específico, no qul não há vrições pr o empo. A medid d celerção deve ser express em m/s 2 (mero por segundo o qudrdo). Pr clculr velocidde do corpo no decorrer do empo, us-se seguine equção: V = velocidde finl; V o = velocidde inicil; = celerção; = empo. No MUV, velocidde esclr médi pode ser clculd por meio do já conhecido V m, como mbém rvés d médi riméic enre s velociddes esclres, finl e inicil. A áre formd enre dois empos é igul o deslocmeno (vrição do espço). Já, pr clculr o deslocmeno (vrição do espço), us-se our equção: S = espço finl; So = espço inicil; Vo = velocidde inicil; = celerção; = empo

3 Exise our equção, usd no pr enconrr velocidde, como pr o deslocmeno, que não necessi do empo (observe que ods s equções neriores usm o empo), é chmd equção de TORRICELLI: V = velocidde finl; V o = velocidde inicil; = celerção; ΔS = vrição do espço = espço finl (V) espço inicil (V o ). Gráficos do Movimeno Uniformemene Vrido São rês os gráficos do movimeno uniformemene vrido, um do Espço X empo, ouro d Velocidde X empo e um d Acelerção X empo. Gráfico: espço X empo: s Gráfico: Velocidde X empo: v α s Obs.: A áre formd enre dois empos é igul à vrição d velocidde. Movimeno Vericl É um vrição do MUV qundo os corpos são lnçdos pr cim ou pr bixo. Obs.: no movimeno vericl, deve-se desprezr resisênci do r. As equções são s mesms do MUV, devendo pens rocr celerção pel celerção d grvidde g, que em vlor de g = 9,80m/s 2 (n miori dos cálculos, us-se o vlor de 10m/s 2 por proximção), e o espço S pel lur h. Obs.: Deve-se mbém enr pr qundo um corpo é lnçdo pr cim ou pr bixo. Qundo for pr cim, o vlor de g será negivo; qundo for pr bixo, o vlor de g será posiivo. As equções são: ± g 2g h g 2 V = velocidde finl; V o = velocidde inicil; g = celerção d grvidde; = empo; h = lur finl; ho = lur inicil; Δh = vrição d lur = lur finl (V) - lur inicil (V o ). Cinemáic Veoril A ngene do ângulo formdo é igul à medid d celerção, e áre formd enre dois empos é igul o deslocmeno (vrição do espço). Gráfico: Acelerção X empo: Grndezs físics que não ficm olmene deerminds com um vlor e um unidde são chmds de grndezs veoriis. Os veores êm, lém do vlor numérico, direção e o senido deermindos. Um veor pode ser represendo d seguine form: com um se cim d ler que o represen pr indicr que se r de um grndez veoril. Grficmene, um veor é represendo por um segmeno oriendo de re. Cálculos com veores. Alguns cálculos com veores necessirão do conhecimeno sobre rigonomeri. 547

4 Adição de veores. Qundo é fei um operção com veores, chm-se o seu resuldo de resulne. Ddo dois veores e, resulne é obid grficmene rçndo-se pels exremiddes de cd um deles um prlel o ouro. A R C Módulo: =. Direção: mesm de ; Senido: se > 0 - o mesmo senido de se < 0 - conrário de. Veor Oposo Denomin-se veor oposo de um veor o veor - com s seguines crcerísics: O Em que b é o veor som. Como figur formd é um prlelogrmo, ese méodo é denomindo méodo do prlelogrmo. A inensidde do veor é dd por: Qundo emos um cso priculr, no qul os veores esão em posições orogonis enre si, bs plicr o eorem de Piágors. R b Subrção enre dois veores Ddos dois veores e, o veor resulne é ddo por, em que A é exremidde e B é origem. O b R B B Direção de Senido de é mesm de é conrário o de A figur represen o veor e o seu oposo -. - Prese enção pr dois delhes: Qundo dois veores iverem mesm direção e o mesmo senido ( = 0º), o veor resulne será: Inensidde: R = + b Direção: Mesm de e Senido: Mesmo de e Qundo dois veores iverem mesm direção e os senidos oposos ( = 180º), o veor resulne será: Anliicmene, o veor é ddo por:» Módulo:» Direção: d re AB» Senido: de B pr A Produo de um número por um veor: O produo de um número por um veor resulrá em ouro veor ddo por: 548 Inensidde: R = - b Direção: Mesm de e Senido: Mesmo do veor de mior módulo Decomposição de um veor São ddos um veor e um sisem de dois eixos orogonis x e y:

5 y y P y O x P x Proje-se orogonlmene s exremiddes do veor nos eixos x e y, obendo-se sus componenes rengulres x e y. Anliicmene, emos: o riângulo OP P é reângulo, porno: Adição de mis de dois veores (méodo do polígono): Nese méodo, o objeivo é formr um polígono com os veores que se desej somr. O veor som ou resulne será quele que em origem n origem do primeiro e exremidde do úlimo. Noe que: Qundo exremidde do úlimo veor coincidir com origem do primeiro, iso é, qundo o polígono for fechdo, o veor resulne será nulo. (R = 0) P e 30 d 60 f c g b Movimeno em Dus Direções Tmbém conhecido como Principio de Glileu, diz que se um corpo reliz um movimeno em váris direções o mesmo empo, pode-se esudr o movimeno de cd direção em seprdo. Ex.: Um brquinho se movimenndo em um rio. Observe que se não houvesse correnez, velocidde do brquinho em relção um observdor prdo n mrgem seri VB, porém, com correnez, o movimeno do brco em relção ese observdor seri um composição do movimeno do rio e do próprio brco, de form que em relção ese observdor, o brco presenri um velocidde resulne diferene d velocidde do brco, o que pode ser observdo nos exemplos bixo h Brco se movimenndo fvor d correnez: x V c V B Veor som de mis de dois veores: Qundo um sisem é formdo por mis de dois veores concorrenes e coplnres, solução nlíic é possível. Pr no, deve-se empregr o méodo ds projeções de cd veor em dois eixos perpendiculres. Nese iem, vmos considerr o ângulo que o veor form com o eixo de referênci como sendo um ângulo menor ou igul 90. O eixo de referênci será sempre o eixo x. De cordo com ess convenção, observ-se o ângulo que cd veor d figur form com o eixo x. Sendo velocidde do brco em relção o observdor prdo n mrgem, B velocidde do brco e C velocidde d correnez, podemos observr que velocidde é resulne de B e C, e conforme eori, qundo veores um n mesm direção e mesmo senido, o módulo do veor resulne é ddo pel som dos módulos dos veores, enão: V = VB + VC (o brco desce o rio mis rpidmene do que desceri se não exisisse correnez). Brco se movimen conr correnez: V B V c 549

6 Agor, B e C possuem senidos oposos, sendo ssim, o módulo d velocidde resulne será: V = VB VC (o brco gsrá mis empo pr subir o rio do que pr descer). Brco se movimenndo perpendiculrmene às mrgens. B 45 Trjeóri do Brco V B V O que ineress qui são s medids d lur máxim ingid e do lcnce máximo. Pr clculr lur máxim, us-se seguine fórmul: V c A Nese cso, B e C são perpendiculres enre si. O brco deslocr-se-á n rjeóri AB, como mosr figur. O módulo d velocidde resulne será deermindo pelo Teorem de Piágors. Pode-se, enão, observr que velocidde do brco e velocidde d correnez são perpendiculres enre si, e que velocidde do brco B não em componene n direção de C, ou sej, correnez não erá nenhum influênci no empo em que o brco gs pr rvessr o rio; hj ou não correnez, o empo de rvessi será o mesmo, pois o efeio d correnez é unicmene o de deslocr o brco rio bixo. Do mesmo modo, sendo nul componene de B n direção d correnez, velocidde do brco não erá influênci no seu movimeno rio bixo. É ess independênci de dois movimenos simulâneos que consiui o princípio d independênci dos movimenos de Glileu. Movimeno Oblíquo É um movimeno que une um pre vericl e um pre horizonl. Ex.: O lnçmeno de um bol. y 0 g Trjeóri do corpo X = V o = velocidde inicil; g = celerção d grvidde; θ = ângulo formdo com o eixo x. Pr clculr o lcnce máximo, us-se seguine fórmul: Vo = velocidde inicil; g = celerção d grvidde; θ = ângulo formdo com o eixo x. Movimeno Circulr = Define-se o Movimeno Circulr e Uuniforme (MCU) como sendo um movimeno em círculos (podendo ser um circunferênci ou um rco de circunferênci) e com velocidde consne. Prece que não, ms é um movimeno bsne usul, presene nos venildores, liquidificdores, rods gignes, ec. Um corpo descreve um movimeno circulr uniforme qundo pss, de empo em empo, no mesmo pono d rjeóri, sempre com mesm velocidde. Assim, podemos dizer que esse movimeno é repeiivo e pode ser chmdo de movimeno periódico. Nos movimenos periódicos, exisem dois conceios muio impornes que são o período e frequênci. 550

7 Período (T): é o empo gso pr se compler um vol. = ω = velocidde ngulr; R = rio de circunferênci. Acelerção ngulr: A unidde do período é o segundo (s). Frequênci (f): é o número de vols que o corpo efeu em um deermindo empo. f = A unidde d frequênci é o Herz (Hz). Já qundo um corpo descreve um rjeóri circulr, ms su velocidde não é consne, ele esá relizndo um movimeno Circulr Uniformemene Vrido (MCUV). Equções do Movimeno Circulr As equções que deerminm o movimeno circulr são s seguines: Posição (deslocmeno) ngulr: S = Ɵ. R S = espço percorrido; Ɵ = ângulo; R = rio de circunferênci. Velocidde ngulr médi: ω = velocidde ngulr; Ɵ = vrição de ângulo; = vrição de empo. A velocidde ngulr é medid em rdinos por segundo (rd/s). γ = celerção ngulr; ω = vrição de velocidde; = vrição do empo. A celerção ngulr é medid em rdinos por segundo o qudrdo (rd/s²). Relção enre celerção esclr α e celerção ngulr γ: Ours equções do Movimeno Circulr são: θ = ângulo finl; θ 0 = ângulo inicil; ω = velocidde ngulr finl; ω 0 = velocidde ngulr inicil; γ = celerção ngulr; = empo; θ = vrição de ângulo. Pr o MCUV, ind há seguine fórmul: A relção enre ângulos em gru e em rdinos é: 2ϖ rd. = 360 grus. r Relção enre velocidde esclr v e velocidde ngulr ω : Acelerção cenrípe (c): c = V = velocidde esclr; ou c = 2 R r = celerção resulne; = celerção ngencil; c = celerção cenrípe. 551

8 Trnsmissão de movimeno circulr R N rnsmissão de movimeno circulr, velocidde liner é mesm em odos os ponos e, por isso, vle seguine relção enre rios e frequênci de roção. Rb R = rio d circunferênci; f = frequênci d circunferênci. EXERCÍCIO COMENTADO 01. Durne um vigem, um pssgeiro observou que o ônibus pssou por cinco mrcos de quilomergem, consecuivos, no inervlo de 16 minuos. Sbendo-se que os mrcos de quilomergem esão seprdos regulrmene de um disânci igul 5,0 km, velocidde esclr médi do ônibus, medid pelo pssgeiro, em km/h, foi de: ) 75 b) 80 c) 90 d) 95 e) 100 RESPOSTA: A. Se ele pssou por 5 mrcos, enão ele percorreu 20 km (enre cd mrco há 5 km e enre os 5 mrcos há 4 espços). Agor, pr clculr velocidde médi do ônibus, bs fzer: Vm = Δs/Δ Vm = 20/0,2666 (16 min. correspondem 0,2666 d hor) Vm = 75Km/h VAMOS PRATICAR 01. Se um veículo, rfegndo em um rodovi, percorrer 225 km em 2 hors e 15 minuos, enão, nesse percurso, su velocidde médi será de 100 km/h. Cero ( ) Errdo ( ) 02. Um corpo em movimeno circulr uniforme é submeido um celerção cenrípe ngencil à su rjeóri. Cero ( ) Errdo ( ) As grndezs físics esclres são perfeimene definids um vez ddo o seu vlor numérico ou módulo (junmene com respeciv unidde). Enreno, muis são s grndezs físics que, pr serem definids, necessim, lem de módulo, de direção e senido. Esss grndezs são chmds grndezs veoriis. Com relção à eori memáic dos veores e esclres, julgue os iens. 03. É possível que som de rês veores não nulos de mesmo módulo sej mbém nul, bsndo, pr isso, que, pelo menos, dois dos veores enhm direção idênic e senidos oposos. Cero ( ) Errdo ( ) 04. No movimeno circulr uniforme, o veor que represen forç cenrípe é sempre perpendiculr o veor velocidde insnâne e prlelo o veor celerção cenrípe. Cero ( ) Errdo ( ) 05. Um helicópero H se movimen n descendene com velocidde inicil, de módulo 10 m/s, formndo um ângulo de 3 com horizonl, conforme mosr figur bixo. A celerção do helicópero é consne, horizonl e conrári o movimeno. Qundo o helicópero inge o pono P, 50 m bixo d posição inicil, o seu movimeno pss ser vericl com celerção zero. 50m H 06. Qul é, proximdmene, em m, o deslocmeno horizonl X do helicópero? Ddos: cos 3 = 1 sen 3 = 0,05 ) 32 b) 50 c) 167 d) 500 e) Um cminhão pssou no quilômero 100 de um rodovi com velocidde de 50,0 km/h, X 3 P 552

9 mneve ess velocidde é o quilômero 110, qundo freou uniformemene e prou em um plc que indicv 120,0 km. No insne em que o cminhão pssou no quilômero 100, um moocicle que se enconrv prd nesse locl priu com movimeno uniformemene celerdo durne pre do percurso e uniformemene rerddo em seguid, é prr no quilômero 120, chegndo juno com o cminhão. Nesss condições, velocidde máxim d moocicle, em km/h, foi, proximdmene, igul : ) 70 b) 69 c) 67 d) 65 e) Um corpo que ci prir do repouso em qued livre no vácuo, depois de percorrer um lur h, cheg o solo com velocidde v. Abndondo do repouso, de um lur 4h, o corpo inge o solo com velocidde: ) Nul b) 2v c) 3v d) 4v e) 5v Em um pis de leismo, dois les correm em ris diferenes, com velociddes iguis em módulo, como mosr figur bixo. M 40m P 30m C Q N 10m Ri 1 Ri O primeiro le pss pelo pono M o mesmo empo em que o segundo pss pelo pono P e, em seguid, chegm simulnemene os ponos N e Q. Os rcos PQ e MN são rjeóris em semicírculos concênricos de cenro em C e de rios 30 m e 40 m, respecivmene. Se os ponos P, C, Q e N são colineres, o ângulo Ɵ mede, proximdmene: ) 13º b) 35º c) 45º d) 60º e) 75º 10. Um objeo, n superfície d Terr, é lnçdo vericlmene pr cim com velocidde inicil de 40 m/s. O empo necessário pr que o objeo inj lur máxim é de: ) 10s. b) 8s. c) 6s. d) 4s. e) 2s. 11. Ao longo de um esrd reilíne, um crro pss pelo poso policil d cidde A, no km 223, às 9h 30min e 20s, conforme regisr o relógio d cbine de vigilânci. Ao chegr à cidde B, no km 379, o relógio do poso policil dquel cidde regisr 10h 20min e 40s. O chefe do policimeno d cidde A verific juno o chefe do poso d cidde B que o seu relógio esá dindo em relção àquele em 3min e 10s. Admiindo-se que o veículo, o pssr no pono exo de cd poso policil, presen velocidde denro dos limies permiidos pel rodovi, o que se pode firmr com relção à rnsposição do percurso pelo veículo, enre os posos, sbendo-se que, nese recho, o limie de velocidde permiid é de 110 km/h? ) Trfegou com velocidde médi ACIMA do limie de velocidde. b) Trfegou com velocidde sempre ABAIXO do limie de velocidde. c) Trfegou com velocidde médi ABAIXO do limie de velocidde. d) Trfegou com velocidde sempre ACIMA do limie de velocidde e) Trfegou com celerção médi DENTRO do limie permiido pr o recho. GABARITO 01 CERTO 06 C 02 ERRADO 07 B 03 ERRADO 08 C 04 CERTO 09 D 05 D 10 A 553

10 2. Dinâmic É o esudo do movimeno com forç, e forç é inerção enre dois corpos. Assocido o conceio de forç, em-se ouros rês conceios: Acelerção: fz com que o corpo lere su velocidde qundo um forç é plicd. Deformção: fz com que o corpo mude seu formo qundo sofre ção de um forç. Forç Resulne: É forç que produz o mesmo efeio que ods s ours plicds um corpo. Leis de Newon e sus Aplicções A 1ª lei de Newon, mbém conhecid como Princípio d Inérci, diz: Um corpo em repouso ende permnecer em repouso, e um corpo em movimeno ende permnecer em movimeno. Ex.: você denro de um veículo. A 2ª lei de Newon, mbém conhecid como Princípio Fundmenl d Dinâmic, diz: A forç é sempre diremene proporcionl o produo d celerção de um corpo pel su mss. Em ours plvrs, pode ser mbém: celerção que um corpo dquire é diremene proporcionl à forç que u sobre ele. Ou sej: F = resulne de ods s forçs que gem sobre o corpo (em N); m = mss do corpo no qul s forçs um (em kg); = celerção dquirid (em m/s²). A unidde de forç é o N (Newon). Ex.: empurrr um crro. A 3ª lei de Newon, mbém conhecid como Princípio d Ação e Reção, diz: As forçs um sempre em pres; pr od forç de ção, exise um forç de reção, de igul inensidde, mesm direção e senido conrário. Ex.: pr se deslocr, o nddor empurr águ pr rás, e es, por su vez, empurr-o pr frene. Forç de Trção T Ddo um sisem no qul um corpo é puxdo por um fio idel, ou sej, que sej inexensível, flexível e em mss desprezível, podemos considerr que forç é plicd no fio, que, por su vez, plic um forç no corpo, qul se chm Forç de Trção, que fz com que o corpo se mov. Forç Peso Ocorre qundo celerção que um corpo ssume é celerção d grvidde. É um forç vericl. P = forç Peso (em N); m = mss do corpo no qul s forçs um (em kg); g = celerção d grvidde (em m/s²). O Peso de um corpo é forç com que Terr o ri, podendo ser vriável, qundo grvidde vrir, ms mss do corpo, por su vez, é consne, ou sej, não vri. Um ds uniddes d Forç Peso é o kilogrmforç, que por definição é: 1 kgf é o peso de um corpo de mss 1kg submeido à celerção d grvidde de 9,8 m/s². A su relção com o Newon é: P = mg 1 Kgf = 1 kg. 9,8 m/s 2 1 Kgf = 9,8 Kg. m/s 2 = 9,8 N Exise our forç que mbém é vericl, Forç Norml, porém, ess é vericl n perpendiculr o plno em que o corpo esá. Tr-se de um forç de reção do plno o corpo. Qundo s forçs que um n vericl se nulm e o corpo se enconr em equilíbrio, diz-se que o Peso é igul Norml. Forç de Ario É um forç que se opõe o movimeno. F 554