AJUSTE DE CURVAS E MODELAGEM POPULACIONAL DE PETRÓPOLIS NO PERÍODO DE 1982 A 1990

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1 27XVI Ecotro de Modelagem Computacoal IV Ecotro de Cêca e Tecologa de Materas III Ecotro Regoal de Matemátca Aplcada e Computacoal Uversdade Estadual de Sata Cruz (UESC), Ilhéus/BA, Brasl out AJUSTE DE CURVAS E MODELAGEM POPULACIONAL DE PETRÓPOLIS NO PERÍODO DE 1982 A 1990 Rodrgo de Vascocellos Vaa Mederos rodrgodevascocellos.mederos@gmal.com Uversdade Católca de Petrópols, Petrópols, Rj, Brasl Elae dos Satos de Souza Coutho elae.coutho@ucp.br Uversdade Católca de Petrópols, Petrópols, Rj, Brasl Resumo. A modelagem matemátca os ajuda a reproduzr e compreeder um determado aspecto do mudo real. Como exemplo, temos os modelos que descrevem a evolução temporal de populações. Neste trabalho, tvemos por objetvo ecotrar um modelo matemátco que melhor se adapte aos dados dos cesos populacoas do mucípo de Petrópols (RJ) o período de 1982 a Utlzamos três modelos matemátcos de ajuste de curvas: Lear, Expoecal e Logístco. A aálse dos modelos os permte uma prevsão da população para os próxmos aos. Palavras-chave: Modelagem Populacoal, Ajuste de Curvas, Modelos Matemátcos 1. INTRODUÇÃO A cdade de Petrópols, stuada a Regão Serraa do estado do Ro de Jaero, fo fudada em 1843 com cerca de habtates. Dada as grades regões motahosas em seu etoro a questão populacoal torou-se um elemeto chave para compreeder os atuas problemas ocupacoas da cdade. O objetvo de qualquer gestor é desevolver uma estratéga que promova esse crescmeto sem que ocorram fortes mpactos para os moradores da regão. É esse cotexto que a modelagem matemátca pode cotrbur para smular dversos ceáros, cotrbudo para uma avalação crítca dos possíves mpactos causados por esse crescmeto. Sob este aspecto, o ajuste de curvas surge como uma ferrameta formal para expressar alguma tedêca do comportameto da população petropoltaa em relação ao tempo. Em outras palavras, o ajuste de curvas fucoa bascamete como a tetatva de se obter uma fução a partr de dados de duas varáves que rão se comportar de uma certa forma o plao cartesao. É teressate otar que a utlzação da modelagem matemátca está relacoada à questão da multdscplaredade, ou seja, o uso dos modelos matemátcos está atrelado aos mas dversos campos de pesqusa. Por este motvo, ela cotrbu para a teração etre os pesqusadores que utlzam esta ferrameta, expaddo em váras dreções os possíves questoametos que surgrão durate a aálse dos dados em relação à realdade ecotrada. Se os resultados ecotrados forem sufcetemete bos para fazer certas prevsões, a modelagem fo um sucesso e possvelmete o modelo será valdado. Caso os resultados ão refltam a realdade, está a hora de repesar os procedmetos tomados e aperfeçoar a modelagem e, este aspecto, uma das téccas mas utlzadas e efcetes é o ajuste de curvas. 2. MODELAGEM E MODELOS MATEMÁTICOS

2 27XVI Ecotro de Modelagem Computacoal IV Ecotro de Cêca e Tecologa de Materas III Ecotro Regoal de Matemátca Aplcada e Computacoal Uversdade Estadual de Sata Cruz (UESC), Ilhéus/BA, Brasl out A modelagem é uma maera de smplfcar o mudo real, de reproduzr e eteder um determado aspecto de um feômeo (cf. Scheffer, apud Kfour, 2008, p.75). Todo modelo matemátco passa por uma sére de etapas da modelagem, que são essecas para detfcar se o modelo está cosegudo atgr seus objetvos. Isso sgfca dzer que seja o modelo estátco ou dâmco, determístco ou estocástco, a teração do modelo para recohecer o real problema pesqusado e, assm, a famlarzação com o assuto a ser modelado tora-se o prmero passo para a sua costrução. No processo de desevolvmeto de um modelo matemátco, começamos escolhedo um tema e etão medmos ou quatfcamos os dados. Em seguda, represetamos os resultados em uma tabela. (c.f Bassaez, 2006) A dsposção dos dados em um sstema cartesao e um bom ajuste dos seus valores facltará a vsualzação do feômeo em estudo, propcado tetatvas de propostas de problemas, cojecturas ou les de formação (Idem, 2006). Geercamete, pode-se dzer que matemátca e realdade são dos cojutos dsjutos e a modelagem é um meo de fazê-los teragr. Segudo Bembegut e He (2007, p. 15) essa teração evolve uma sére de procedmetos, que podem ser agrupados em três etapas, subdvddas em ses subetapas coforme (Fg. 1): Fgura 1. Dâmca da modelagem matemátca. Na prmera fase, faz-se o recohecmeto da stuação-problema e um estudo de referecal teórco para a famlarzação com o assuto a ser modelado. A fase da matematzação é ode devem ser formuladas as hpóteses do modelo e a partr dsso sua resolução em termos matemátcos. Por fm, costruído o modelo chega a hora de terpretá-lo, aalsado as mplcações da solução ecotrada e vestgado se sto traduz a realdade. Se o modelo ão ateder às ecessdades que o geraram, o processo deve ser retomado a seguda etapa, matematzação, mudado-se ou ajustado hpóteses, varáves e etc. 3. AJUSTE DE CURVAS Para estudar a dâmca populacoal da cdade de Petrópols foram cosderadas, calmete, três hpóteses que a população podera assumr durate o período estudado

3 27XVI Ecotro de Modelagem Computacoal IV Ecotro de Cêca e Tecologa de Materas III Ecotro Regoal de Matemátca Aplcada e Computacoal Uversdade Estadual de Sata Cruz (UESC), Ilhéus/BA, Brasl out ( ): comportameto próxmo a um ajuste lear, expoecal ou logístco. A metodologa adotada os ajustes está baseada a utlzação de uma regressão a qual o método dos mímos quadrados é o mas dcado para obter os melhores resultados, uma vez que tal método é um dos mas dssemados pelo meo acadêmco. Neste método cosdera-se um cojuto de dados observados x, y, 1,2,3,, e uma fução yx f x a a a, ode a j 1,, k ; 1, 2,, k j são os parâmetros. O método dos quadrados mímos cosste em determar estes parâmetros de modo que mmze o valor de ; 1, 2,, 2 2, sto é, devemos mmzar a soma dos quadrados dos S y y f x a a a y ï k 1 1 y, observados e os valores y f x ; a1, a2,, a ï k desvos etre os valores ajustados. Neste caso, devemos ecotrar os valores dos parâmetros a e b que toram mímo o valor da soma dos quadrados dos desvos: 2, ï S S a b ax b y 1 ï Aplcado propredades de produtos otáves e de somatóro ecotraremos: S S( a, b) x a 2 x ab b 2 x y 2 y b y (1) Dervado a eq. (1) parcalmete para a e b e reorgazado os termos remos ecotrar o sstema de equações: 2 x a x b x y x a b y 1 1 (2) Isolado b a seguda equação do sstema acma ecotraremos: b y a x 1 1 Substtudo o valor de b da eq. (3) a prmera equação do sstema (2) temos: a xy x y 2 2 x x (3) (4) 3.1 Ajuste lear O ajuste lear é caracterzado pela forma

4 27XVI Ecotro de Modelagem Computacoal IV Ecotro de Cêca e Tecologa de Materas III Ecotro Regoal de Matemátca Aplcada e Computacoal Uversdade Estadual de Sata Cruz (UESC), Ilhéus/BA, Brasl out y ax b (5) Ode os parâmetros a e b são ecotrados pelo método dos mímos quadrados, de forma que tas parâmetros mmzam os valores das somas dos desvos. Com base os dados obtdos o SIAB (Sstema de Iformação da Ateção Básca de Saúde da Secretara Mucpal de Petrópols e o IBGE (Isttuto Braslero de Geografa e Estatístca) a população petropoltaa fo ecotrada e está dscrmada a tabela 1 para o cálculo dos parâmetros do ajuste lar. Tabela 1. Ajuste Lear da População de Petrópols ANO POPULAÇÃO (y ) x x.y (x ) SOMA Fote: Mederos e Coutho, dados da pesqusa. Trasformado cada ao em um respectvo x e utlzado as eq. (3) e (4) ecotraremos os parâmetros a e b que melhor ajustam os dados obtdos: xy x y 9( ) a ( )(45) 2.394, 22 x 2 x 2 9(285) (45) 2 y a x 1 1 ( ) (2.394, 22)(45) b , 25 9 Portato, substtudo a eq. (5) os resultados ecotrados, depararemos com a fução que melhor ajusta os dados populacoas de Petrópols: y2.394,22 x ,25 Como o ajuste lear pressupõe que a varação o úmero de dvíduos é costate, sto é, a quatdade de dvíduos por udade de tempo ão vara com o tempo, tal ajuste ão é o melhor para modelos dados demográfcos uma vez que toda população tede a uma certa establdade depos de um tervalo de tempo.

5 27XVI Ecotro de Modelagem Computacoal IV Ecotro de Cêca e Tecologa de Materas III Ecotro Regoal de Matemátca Aplcada e Computacoal Uversdade Estadual de Sata Cruz (UESC), Ilhéus/BA, Brasl out Ajuste lear de modelos expoecas Para os modelos expoecas, o ajuste lear é utlzado quado a represetação deste modelo se aproxma da equação (6): y be ax (6) Todava para que o ajuste lear seja utlzado e, cosequetemete, o método dos mímos quadrados, uma mudaça as varáves deve ser provdecada, sto é: y be ax l y l b l e ax l y z z x (7) O fato é que ao aplcarmos o logartmo atural para a população y, e toraram-se, respectvamete, semelhates à b e a da eq. (5) possbltado o emprego dos mímos quadrados o ajuste. Tabela 2. Ajuste expoecal da população de Petrópols ANO POPULAÇÃO (y) x z=ly x.z , , , , , , , , , , , , , , ,432 99,4561 Fote: Mederos e Coutho, dados da pesqusa. Sedo assm, o ajuste a ser proceddo será semelhate ao ajuste do modelo lear : xz x z 9(558,7328) (45)(111,6285) 0, 0098 x 2 x 2 9(285) (45) 2 z a x 1 1 (111, 6285) (0, 0098)(45) 12, Um últmo procedmeto deve ser feto em pos ele está a base logarítmca. Etão, temos: 12,3540 lb b e b e ,73 Após sso basta substtur os parâmetros ecotrados a eq. (6) para ecotrarmos a equação que melhor se ajusta ao modelo expoecal:

6 27XVI Ecotro de Modelagem Computacoal IV Ecotro de Cêca e Tecologa de Materas III Ecotro Regoal de Matemátca Aplcada e Computacoal Uversdade Estadual de Sata Cruz (UESC), Ilhéus/BA, Brasl out y ,73 e 0,0098 x 3.2 Ajuste lear para o modelo logístco A expressão da curva logístca é dada por: y x a be x 1 (8) Ode a * y, * y b y 0 * 1e y é taxa de reprodutvdade máxma. Usado a mudaça de varáves temos, y a 1 x z l z l e y 1 b a (9) E obtemos a equação da reta z x lb (10) Para estmar a capacdade suporte para a população de Petrópols, utlzou-se o método de * Ford-Walford (Bassaez, 2002, p.72). Para se obter um valor razoável de y é coveete cosderar somete os valores o qual a taxa de crescmeto começou a apresetar redução. Observado a tabela 3, verfca-se que sto ocorre a partr de 1982 (t=0). Tabela 3. Crescmeto relatvo o período ANO POPULAÇÃO (y ) Crescmeto relatvo , , , , , , , , Fote: Mederos e Coutho, dados da pesqusa. Este método supõe que, uma vez a população em equlíbro, ela ão vara mas, sto é, yt 1 yt. Assm a estmatva deste valor lmte pode ser obtda relacoado os valores das populações os states t e t+1. A partr dos potos obtdos, ajusta-se uma reta que descreve como as populações cosecutvas estão relacoadas y t 1 f y ay t t b, coforme mostrado a Fgura 2. Para ecotrar o valor de equlíbro, basta determar a terseção desta

7 27XVI Ecotro de Modelagem Computacoal IV Ecotro de Cêca e Tecologa de Materas III Ecotro Regoal de Matemátca Aplcada e Computacoal Uversdade Estadual de Sata Cruz (UESC), Ilhéus/BA, Brasl out reta com a bssetrz, uma vez que estamos supodo que o valor lmte a população ão vara, sto é, y t1 y. t y = 0,9857x R² = Fgura 2. Reta utlzada para ecotrar o valor de equlíbro. Assm, as estmatvas dos valores de a para este modelo, foram cosderados os valores populacoas de 1982 a Fazedo a terseção da reta da fg. 2 com a bssetrz ecotramos o valor-lmte da população * 5829 a y , 985 Para ecotrar os valores de b e eq. (10) utlzamos a mudaça de varáves obtda a eq. (9) e ecotramos de z em cada período, coforme tabela 4. Tabela 4. Estmatva dos valores de b e para o modelo logístco. Ao Tempo Y t Y t+1 Z , , , , , , , , Fote: Mederos e Coutho, dados da pesqusa. Utlzado os mímos quadrados são obtdos os valores de b e para a eq. (10) z 0, 026x 0, 414

8 27XVI Ecotro de Modelagem Computacoal IV Ecotro de Cêca e Tecologa de Materas III Ecotro Regoal de Matemátca Aplcada e Computacoal Uversdade Estadual de Sata Cruz (UESC), Ilhéus/BA, Brasl out Fazedo a mudaça de base em b temos b 0, 414 e b 0, 66 Portato, a curva logístca que ajusta esses dados é dada por: , x 0. 66e y x 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS Uma comparação básca etre os modelos propostos fo feta a partr do cálculo do erro etre os valores reas e os valores estmados em cada modelo. Assm, uma avalação mas crítca sobre cada modelo poderá ser feta. Tabela 5. Erros dos modelos ANO LINEAR ERRO EXPONENCIAL ERRO LOGISTÍCO ERRO REAL ,50 5,11% ,13 9,49% ,36 4,12% ,70 2,53% ,50 3,49% ,59 3,58% ,90 0,29% ,73 1,14% ,88 2,76% ,10 1,57% ,07 4,39% ,54 1,68% ,30 2,49% ,73 5,71% ,85 0,90% ,60 1,97% ,95 4,63% ,14 0,90% ,80 19,53% ,95 20,69% ,77 17,85% ,38% ,99 6,66% ,08 5,23% ,20 12,34% ,29 16,97% ,47 9,67% Fote: Mederos e Coutho, dados da pesqusa. Nota-se que, para os valores o período de 1982 a 1990, o modelo que mas se aproxma dos dados é o logístco. A elaboração dos modelos matemátcos apresetados proporcoou a vvêca da modelagem matemátca o estudo da dâmca populacoal com o uso de ajuste de curvas. Para os três modelos testados os erros cometdos através dos modelos leares se aproxmam do modelo logístco, que cotempla a hpótese da população ter uma capacdadelmte. Para projeções em curto prazo, tato o modelo lear como o expoecal são adequados, mas pelo fato de admtrem um crescmeto lmtado, espera-se que à medda que o tempo passe, a estmatva através do modelo logístco seja mas razoável, e o erro cometdo meor. Este trabalho reforça a dea da mportâca da matemátca os estudos de feômeos reas. AGRADECIMENTOS Ao CNPq pela cocessão da bolsa de cação cetífca. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BASSANEZI, R.C. Equações dferecas com aplcações. Ed. Harbra, S.Paulo BASSANEZI, R.C. Eso-apredzagem com modelagem matemátca. Ed. Cotexto, S.Paulo

9 27XVI Ecotro de Modelagem Computacoal IV Ecotro de Cêca e Tecologa de Materas III Ecotro Regoal de Matemátca Aplcada e Computacoal Uversdade Estadual de Sata Cruz (UESC), Ilhéus/BA, Brasl out BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemátca o eso. 4.ed. São Paulo: Cotexto, COUTINHO, Elae SS. A Dâmca populacoal do prarucu (arapama ggas) a reserva de desevolvmeto sustetável Mamrauá (RDSM), Amazôa. Tese de doutorado, LNCC, IBGE. Isttuto Braslero de Geografa e Estatístca. Baco de Metadados SCHEFFER, N.F. Modelagem matemátca: uma abordagem para o eso apredzagem da matemátca. Educação Matemátca em Revsta, SBEM-RS,.01, p.11-16, jaero/juho SIAB. Sstema de Iformação da Ateção Básca. Dados dspoblzados pela secretara mucpal de saúde de Petrópols CURVE FITTING AND MODELING POPULATION IN THE CITY OF PETRÓPOLIS BETWEEN 1982 AND 1990 Abstract: Mathematcal modelg helps us to uderstad a partcular aspect of the real world. For stace, there are models that descrbe the populato growth through tme. Ths artcle teds to fd a mathematcal model that best fts the data from the populato cesus the cty of Petrópols (RJ) the perod We wll use three mathematcal models of curve fttg: Lear, Expoetal ad Logstc. The aalyse of the models allows us to predct populato growth the comg years. Keywords: Populato Modelg, Curve Fttg, Mathematcal Models