P.M.S. Oliveira, C.S. Munita

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1 Estudo comparativo de métodos de ormalização em resultados experimetais. P.M.S. Oliveira, C.S. Muita Istituto de Pesquisas Eergéticas e Nucleares - IPEN-CNEN/SP, Av. Prof. Lieu Prestes 4. CEP , São Paulo, SP, Brasil Itrodução A caracterização físico-química dos fragmetos cerâmicos é de grade iteresse em estudos arqueológicos, uma vez que permitem evideciar aspectos da vida de grupos acestrais, de modo a iferir aspectos da cultura, comércio e o desevolvimeto tecológico. As características macroscópicas das cerâmicas, tais como, decoração da superfície e forma, são, freqüetemete, utilizadas como idicadores culturais e croológicos. Etretato, as propriedades microscópicas como: textura, composição química e mieralógica, podem ser usadas para estudo da tecologia de fabricação e proveiêcia desses materiais. Tedo em vista o crescete avaço das técicas físico-químicas em estudos arqueométricos, a quatidade de dados gerados tem aumetado sigificativamete. Para a iterpretação desses resultados, faz-se ecessário o uso de métodos estatísticos cada vez mais sofisticados, tais como as técicas multivariadas. Estas técicas, de uma forma geral, cosideram que cada amostra aalisada pode ser represetada como um poto o espaço multidimesioal, ode cada dimesão do hiper-espaço correspode a eixos determiados pela composição físico-química das amostras. Com o obetivo de agrupar as amostras, coforme sua similaridade/dissimilaridade, devem ser formados grupos de amostras de acordo com algus critérios estatísticos. Os resultados podem ser orgaizados detro de uma matriz de dados p, sedo o o úmero de amostras variado de até e p úmero de variáveis variado de até p. O obetivo deste trabalho é estudar e avaliar modelos estatísticos com o propósito de ecotrar as codições mais adequadas para estudo da ormalidade dos dados para serem aplicados a resultados experimetais de aálise de cerâmica de sítios arqueológicos em diferetes regiões do país. Os estudos serão realizados usado uma base de dados de cerâmicas. Estudo de ormalização dos resultados. Quado se faz a iterpretação de um couto de resultados arqueométricos, uma das questões que se coloca, quase sempre, é saber a distribuição da população de ode este subcouto de amostras foi obtido. Iicialmete se faz a verificação da ormalidade das variáveis por meio das cocetrações elemetares. Se os resultados ão atedem as codições de uma distribuição ormal, para ormalizar esses dados, aplicam-se algumas trasformações, como: log a base 0, log a base e outras. Como a aálise de dados arqueométricos as amostras são costituídas por um couto de vetores, que correspodem às cocetrações elemetares, existe a suposição de que cada vetor da amostra veha de uma distribuição ormal (Satos et al., 007). Portato, tora-se ecessário que os resultados sigam uma distribuição ormal multivariada, especialmete quado são usados métodos estatísticos multivariados, tais como: aálise de compoetes pricipais, aálise discrimiate, aálise de coglomerados (cluster aalysis), etre outros (Baxter ad Freestoe, 006). Por outro lado, as situações em que há um grade úmero de amostras, as técicas de ormalização depedem, apeas, do comportameto da média, ou da distâcia evolvedo a média a forma µ S µ ()

2 ode,, é o úmero de amostras; µ, é vetor difereça etre os vetores da média das amostras e a amostra; e por fim, S -, é o iverso da matriz variâcia-covariâcia das amostras. A suposição da ormalidade das observações idividuais de uma amostra é meos sigificativa porque a distribuição ormal é assitótica em relação às pricipais estimativas estatísticas. Etretato, a qualidade da iferêcia a ormalização será melhor, quato mais se aproximam as variáveis das amostras à distribuição ormal multivariada represetada pela matriz p (Ferreira, 996). Na literatura são apresetados vários métodos para a ormalização dos resultados (Johso ad Wicher, 998; Baxter ad Gale, 998). Cotudo, esta proposta serão estudados três métodos, a saber: a) Método de Aderso Trata-se de um teste válido para verificar, ão somete o auste da ormalidade, como também o auste para outras distribuições de probabilidade. Este teste é utilizado para medir a proximidade dos potos à reta estimada o gráfico de probabilidade; apreseta mais peso os potos mais próximos da cauda da distribuição. Assim, para pequeos valores da estatística de Aderso (valores que faz com que o ível de sigificâcia obtido sea meor que 0,05), obtida por meio da expressão (), idica que a distribuição ormal é melhor estimada. O teste de Aderso estabelece um critério de aceitação ou reeição da distribuição ormal (distribuição de probabilidade ormal), cosiderado o seguite teste de hipótese: H 0 : o couto das amostras segue uma distribuição ormal H : o couto das amostras ão segue uma distribuição ormal A estatística do teste é dada por: A ( ) l [ F ( x ) + l ( F( x )] () = + = ode, F, é a fução de distribuição acumulada da distribuição de probabilidade ormal;, é o valor da -ésima amostra ordeada; e pó fim, x,, são os valores, ordeados, das variáveis das amostras. Para o teste de Aderso, os valores críticos, são valores tabelados. É um teste uicaudal e a hipótese ula (H 0 ) é reeitada se o valor calculado é maior que o valor crítico. b) Método de skewess e kurtosis É um procedimeto formal para a verificação da ormalidade por meio dos dados que utilizam o vetor de média. Os coeficietes de assimetria e curtose multivariada (Martiez-Espioza et al., 004) são calculados por meio das expressões: 3 b = (3), p i i= = e b = ( ) ( ) p i S (4), i= = ode, b,p, é o valor do coeficiete de assimetria; b,p, é o valor do coeficiete de curtose; P = ou 3 para pequeas ( ) S ( ) quatidades de amostras; i e, valores da variável a i-ésima e -ésima amostra;, é o vetor de media;, é o úmero de amostras; e por fim,s, é a matriz, de variâcia-covariâcia. Os valores calculados b,p e b,p são comparados com o valor crítico para verificar os desvios da distribuição ormal (Mardia ad Ket, 99). c) Método de Q-Q plot

3 Método que cosiste em colocar, em um gráfico, os percetis ou z-score esperados pelo auste de uma distribuição ormal. Se os potos pertecem a uma liha reta a suposição de ormalidade deve ser aceita. Supohamos que (), (),..., () são os valores de cada variável, separadamete e ordeada crescetemete, para as s amostras, calcula-se a média das cocetrações para cada variável. Dividido o valor da difereça etre o resultado de cada amostra (de cada variável) e a média da variável das amostras pelo desvio padrão, ecotram-se os valores dos z-score ou quatil para cada amostra. Para pequeas quatidades de amostras ( < 30), a difereça etre os valores da variâcia populacioal e amostral é sigificativa. Nesse caso, o valor da variâcia utilizada para calcular o desvio padrão divide-se por, equato que, para grades quatidades de amostras ( > 30), a difereça etre os valores da variâcia populacioal e da variâcia amostral tora-se pouco sigificativa, bastado para isso, que a variâcia sea dividida por. Os percetis q (i) de (i) ( i ) são plotados em um sistema cartesiao com q (i) a abscissa e (i) a ordeada. Desvios de ormalidade podem ser observados pela ispeção deste tipo de gráfico, cuos potos, quado existir ormalidade deve pertecer a uma reta de míimos quadrados. Este processo gráfico, embora bastate poderoso para se verificar desvios da ormalidade, ão costitui um teste formal para este propósito por ser subetivo. Para cotorar esta limitação, (Johso ad Wicher, 998) apresetaram um teste complemetar a este processo gráfico, o qual mede o auste dos potos do Q-Q plot a liha reta de míimos quadrados por meio de uma medida de coeficiete de correlação calculado por: r = Q ( ( i) )( q( i) q ) i = ( ( i) ) ( q( i) q ) i = i= A hipótese de ormalidade ão é satisfeita se o valor calculado for meor que o valor crítico para um determiado ível de sigificâcia. ode, Em geral, deve verificar para o caso da ormalidade multivariada, se ela obedece a seguite desigualdade: µ Σ µ χ p ( α ) µ, é a matriz trasposta da difereça etre a média das variáveis e o valor de cada variável para cada amostra;, é a media das cocetrações de cada variável; amostra; Σ, é o iverso da matriz de variâcia co-variâcia amostral; e por fim, χ p ( α ) µ, é o vetor das cocetrações das variáveis para cada (5) (6), é o valor crítico obtido pelo valor de uma distribuição quiquadrado com p graus de liberdade associado a uma distribuição ormal multivariada represetada por N p (µ, Σ) para um ível de cofiaça α. Resultados e Discussão Neste trabalho, com o obetivo de avaliar a ormalidade, foram calculados os valores para a média, desvio padrão, coeficiete de variação, míimo e máximo, e, valores calculados por meio dos procedimetos de Aderso, skewess, kurtosis e Q-Q plot para uma base de dados costituída de 89 amostras de fragmetos cerâmicos ode foram determiadas as cocetrações de As, Ce, Cr, Eu, Fe, Hf, La, Na, Nd, Sc, Sm, Th e U. Os critérios cosiderados para esta avaliação foram: métodos de Aderso e Q-Q Plot, para ível descritivo (pvalue) maior que 0.05, e por fim, kurtosis e skewess para valores etre e + e 0,5 e +0,5, respectivamete. A Tabela apreseta os resultados para os valores brutos das cocetrações elemetares. Pode-se ver que As apreseta o maior valor de coeficiete de variação (0,47).

4 Os resultados para cada método estão idicados pelos símbolos + ou que sigificam que os austes foram cosiderados compatíveis (+) e ão compatíveis (-) a uma distribuição ormal. Tabela. Resultados para o couto de dados, =89, α = 0,05 Míimo Máximo Média CV Desvio Padrão Q-Q plot p-value resultado Aderso p-value resultado kurtosis skewess Resultado Verifica-se a Tabela que 4 variáveis (Fe, Na, Sc e Th) tiveram austes cosiderados ormais pelo método de Aderso e Q-Q plot, e apeas, 3 variáveis (Fe, Na e Sc) pelo método de skewess e kurtosis. A Tabela mostra os resultados, após aplicar a trasformação logaritmo a base e para os valores das cocetrações elemetares e, pode-se ver, que o As apreseta maior valor de coeficiete de variação (0,77). Tabela. Resultados obtidos após aplicar trasformação log base e ao couto de dados, =89, α = 0,05. Míimo Máximo Média CV Desvio Padrão Q-Q plot p-value resultado Aderso p-value resultado kurtosis skewess Por outro lado, a Tabela, 7 variáveis tiveram austes cosiderados ormais, sedo que, pelo método de Aderso e de skewess e kurtosis foram as variáveis Fe, La, Nd, Sc, Sm, Th e U, e, para o Q-Q plot, Fe, Hf, La, Nd, Sc, Sm e Th. Fialmete, a Tabela 3 cotem os resultados, após aplicar a trasformação logaritmo a base 0 para os valores das cocetrações elemetares e, pode-se ver, que As apreseta maior valor de coeficiete de variação (0,77).

5 Tabela 3. Valores obtidos após aplicar trasformação log base 0 ao couto de dados, =89, α = 0,05 Míimo Máximo Média CV Desvio Padrão Q-Q plot p-value Aderso p-value Resultado kurtosis skewess Por outra parte, a Tabela 3, foram ecotrados os mesmos resultados para o auste de ormalidade mostrado a Tabela para os diferetes métodos. Coclusões Fialmete, comparado os resultados sem trasformação com os resultados com trasformação por log base e e por log base 0, as Tabelas, e 3, pode-se cocluir que há difereça etre os estudos de ormalidade aplicado as 89 amostras de obetos cerâmicos. Por outra parte, ão há difereça sigificativa ao comparar os dados usado a trasformação por log as bases e e 0. Referecias Bibliográficas BATER, M.J.; FREESTONE, I.C. Log-ratio compositioal data aalysis i archaeometry. Archaeometry, 48(3): 5 53, 006. BATER, M.J.; GALE, N. H. Testig for multivariate ormally via uivariate tests: a case study usig lead isotope ratio data. Joural of Applied Statistics, 5:67 683, 998. FERREIRA, D.F. Aálise multivariada, UFLA, Lavras MG, 996. JONHSON, R.A.; WICHERN, R.A. Applied multivariate statistical aalysis. Fifth Editio, Practice Hall, New Jersey, 998. MARDIA, K.V.; KENT, J. T. Rao score tests for goodess of fit ad idepedece. Biometrika, 78(): ,99. MARTINEZ-ESPINOZA, M.; JÚNIOR, C.C.; LAHR, F.A.R. Parametric ad o-parametric methods to determie the characteristic value i wood tests results. Scietia Forestalis, 66:76 83, 004. SANTOS, J.O.; MUNITA, C.S.; VERGUE, C.; OLIVEIRA, P.M.S. Normalização e padroização por meio da trasformação logarítmica em estudos arqueométricos de cerâmicas. 5ª Reuião Aual da Região Brasileira da Sociedade Iteracioal de Biometria - RBRAS, e º Simpósio de Estatística Aplicada à Experimetação Agroômica SEAGRO, Sata Maria RS, 3 a 7 de Julho, 007.