Mat.Semana 5. Alex Amaral (Rodrigo Molinari)

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1 Alex Amaral (Rodrigo Molinari) Semana 5 Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia ou a reprodução não autorizada previamente e por escrito. Todos os direitos reservados.

2 CRONOGRAMA 09/03 Função Afim: Gráfico e estudo do sinal 10/03 Função Quadrática: Definição e fórmula quadrática 16/03 Função Quadrática: Máximos ou mínimos, gráfico 17/03 Equações e Inequações de 1º e 2º graus

3 23/03 Exercícios de Revisão: Matemática Básica, Conjuntos e Funções Polinomiais 24/03 Revisão de potenciação e Função Exponencial 30/03 Módulo e equação modular 31/03 Função Modular

4 17 Equações e mar inequações de 1º e 2º graus 01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

5 RESUMO Equações O conceito de equação é toda sentença que apresenta uma igualdade (=). Por exemplo, 3x+2=5, sabemos que x = 1 é a solução única da equação. função é x=1. Como a função é crescente (a >0), f(x) > 0 x > 1 e f(x) < 0 x < 1 No segundo exemplo: -2x + 7 > 0, temos que a raiz é 7/2. Já essa função é decrescente (a < 0) assim, f(x) > 0 x < 7/2 e f(x) < 0 x > 7/2. Princípio aditivo e multiplicativo das equações O princípio aditivo diz que podemos somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados da equação que ainda assim preservaremos a igualdade. No nosso exemplo, se diminuirmos 2 dos dois lados ficamos como 3x+2-2=5-2 3x = 3. Já o princípio multiplicativo nos fala que podemos multiplicar ou dividir pelo menos número em ambos os lados da equação que a igualdade será preservada. No nosso exemplo se dividirmos os dois lados por 3 ficamos com 3x :3 =3 :3 x=1 Inequações As inequações se destacam por possui os sinais > (maior que), < (menor que), (maior ou igual que) e (menor ou igual que) e diferentemente das equações, a solução é um intervalo. Retomando o exemplo anterior, supondo que fosse 3x + 2 > 5 a solução nesse caso seria x > 1, ou seja, x=2 é solução, pois 8>5 assim como x=3 também é solução pois 11>5 e assim por diante. Outras maneiras de responder seriam S = {x R / ]1,+ [} (os colchetes abertos simbolizam que o intervalo é aberto, ou seja não inclui o 1) Inequação do 2 grau Por exemplo x² - 5x + 4 > 0 que as raízes são x = 1 e x = 4. Como a > 0 a função possui a concavidade para baixo assim: f(x) > 0 x < 1 ou x > 4 e f(x) < 0 1<x<4. Esse caso é quando o delta ( ) é maior que 0 (possui duas raízes reais distintas). Quando =0 e quando <0 sabendo a concavidade da parábola determinamos o estudo do sinal. Por exemplo, y= -x² + 6x 9, o =0 e a raiz é igual a 3, assim y<0 para todo x 3. Inequação produto e quociente Nesses casos, precisamos analisar o comportamento do x em duas equações e analisar o sinal pelo quadro de sinais: Por exemplo: (x-3)(x²-5x + 4) 0. Na primeira equação, x-3, a raiz é 3 (x-3 = 0 x = 3) e na segunda equação, x²-5x+4, as raízes são x=1 e x=4. Para sabermos onde a equação será negativa usaremos o quadro de sinais. 103 Caso fosse maior ou igual o 1 seria incluído. Inequação do 1 grau. Por exemplo: -2x + 7 > 0 7 > 2x (ou então -2x > -7 2x< 7, multiplicando por -1 o sinal se inverte) x < 7/2. Estudo do sinal Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar para quais valores de x o f(x) é positivo, negativo ou zero. No primeiro exemplo: 3x + 2 > 5, temos que a raiz da Para interpretar os sinais na equação produto basta comparar o sinal de cima com o de baixo, como na primeira equação como acima de x=3 todos os valores são positivos e na segunda equação entre x=1 e x=4 os valores são negativos, comparando os sinais entre x=3 e x=4 os valores serão negativos. Logo a solução é S={x R / x 1 ou 3 x 4}

6 No caso da inequação quociente, o procedimento é o mesmo, porém precisamos considerar também as restrições do domínio, ou seja, onde o denominador é 0. Por exemplo,, faríamos o estudo de sinal normalmente, porém x -1. EXERCÍCIOS DE AULA 1. Certa empresa de telefonia oferece a seus clientes dois pacotes de serviço: Pacote laranja: Oferece 300 minutos mensais de ligação local e o usuário deve pagar R$ 143,00 por mês. Será cobrado o valor de R$ 0,40 por minuto que exceder o valor oferecido. Pacote azul: Oferece 100 minutos mensais de ligação local e o usuário deve pagar mensalmente R$ 80,00. Será cobrado o valor de R$ 0,90 por minuto que exceder o valor oferecido. Para ser mais vantajoso contratar o pacote laranja, comparativamente ao pacote azul, o número mínimo de minutos de ligação que o usuário deverá fazer é a) 300. b) 70. c) 126. d) 400. e) O domínio da função f(x) = a) ]-1,7[ b) [-1,7[ c) [-1,7] d) ]5,+ [ e) [-1,+ [ é o intervalo: 3. O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. Disponível em: (adaptado). Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre:

7 a) 4,0 m e 5,0 m. b) 5,0 m e 6,0 m c) 6,0 m e 7,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m. e) 8,0 m e 9,0 m O conjunto solução de (-x²+7x-15).(x²+1)<0 é: a) vazio b) [3;5] c) R d) [-1;1] e) R+ Se a equação y= define uma função real y=f(x) cujo domínio é o conjunto dos reais, encontre o maior valor que p pode assumir? EXERCÍCIOS PARA CASA 1. Para se tornar rentável, uma granja deve enviar para o abate x frangos por dia, de modo que seja satisfeita a desigualdade 1,5x x Nessas condições, pode-se afirmar que o menor valor de x é: a) 100 b) 200 c) 300 d) Uma fábrica de cosméticos produz um creme cujo custo de produção é dado pela função C(x) = 2/3x+ 3, em que x é o número de cremes produzidos. Se a fábrica consegue reduzir o custo de produção de cada unidade x em 17%, a função P(x) que expressa a relação entre o novo custo de produção e a produção é: a) P(x) = 2x/3 + 3 b) P(x) = 2x/ /100 c) P(x) = 166x/ d) P(x) = 166x/ /100 e) P(x) = 166x/ / Os sistemas de cobrança dos serviços de táxi nas cidades A e B são distintos. Uma corrida de táxi na cidade A é calculada pelo valor fixo da bandeirada, que é de R$ 3,45, mais R$ 2,05 por quilômetro rodado. Na cidade B, a corrida é calculada pelo valor fixo da bandeirada, que é de R$3,60, mais R$ 1,90 por quilômetro rodado. Uma pessoa utilizou o serviço de táxi nas duas cidades para percorrer a mesma distância de 6 km. Qual o valor que mais se aproxima da diferença, em reais, entre as médias do custo por quilômetro rodado ao final das duas corridas?

8 a) 0,75 b) 0,45 c) 0,38 d) 0,33 e) 0,13 4. Marta vai se casar e N amigas suas resolveram comprar-lhe um presente no valor de R$ 300,00, cada uma delas contribuindo com a quantia de X reais. Na hora da compra, entretanto, uma delas desistiu de participar e as outras tiveram, cada uma, um acréscimo de R$ 15,00 na quota inicialmente prevista. Assim, a afirmação correta é: a) N = 4 b) X = R$ 60,00 c) X = R$ 45,00 d) X = R$ 50,00 e) N = 6 5. Tem-se (x+2).(x - 1) < 0 se e somente se: a) x < 1 b) x > - 2 c) - 2 < x < 0 d) x 2 e x = 1 e) - 2 < x < Para todo x real a) -5 k 5 b) -2 k 2 c) 2 k 4 d) 4<k 5 e) k 0, se e somente se: Qual o domínio da função f(x) =? Encontre o intervalo de valores de x IR que satisfazem o sistema

9 QUESTÃO CONTEXTO Ronaldo Fenômeno compra parte do CNB e entra no mundo dos esports Ronaldo Fenômeno entrou de vez para o mundo dos esports. O bicampeão mundial de futebol com a Seleção Brasileira adquiriu parte do CNB e-sports Club, uma das principais organizações de games competitivos do país. O jogador adquiriu parte da CNB ao lado do jogador do pôquer André Akkari e do empresário Igor Federal, diretor-executivo da Brazilian Series of Poker (BSOP). O trio passa a ter 50% da organização, e os sócios fundadores Cleber Fuzi Fonseca e Carlos Fury Júnior detém os outros 50%. O CNB foi fundado em 2001 e está entre os principais clubes de League of Legends do país. No ano passado, a equipe disputou a final do 2º Split do CBLOL contra a INTZ. Ronaldo declarou sua torcida pela organização, mas a equipe perdeu para os Intrépidos e ficou com o vice. Naquela época, o trio já demonstrava interesse em fazer parte deste mercado. O contrato foi assinado nesta semana, no Rio de Janeiro. Os jogos eletrônicos são tendência no mundo inteiro e, no Brasil, são uma febre. É um movimento impressionante! Como atletas, encontramos na CNB ideais que têm tudo a ver com os nossos e vamos transferir para os e-sports a adrenalina dos jogos nos campos de futebol e das mesas de pôquer, declarou Ronaldo, em comunicado para a imprensa. Segundo Carlos Fury Júnior, a gestão administrativa continuará essencialmente a mesma, mas com apoio de Ronaldo e Akkari. -parte-do-cnb/ 107 Ronaldo já andou investindo em outras áreas antes de investir no e-sports. Como ele nunca faz uma compra que não gere lucro, sabe que para ganhar dinheiro a equação -2x- <-x²-2 onde x representa o número de partidas ganhas tem que ser positiva. O menor valor inteiro de partidas disputas para que a equipe passe a dar lucro sempre é?

10 GABARITO 01. Exercícios para aula 1. e 2. b 3. d 4. c Questão contexto Exercícios para casa 1. a 2. e 3. e 4. b 5. e 6. b 7. D= {x R/x>4} 8. S = ]0, 2[. 108