CEDERJ MÉTODOS DETERMINÍSTICOS - AP < x < 2 Resposta: x ( 14/3, 2).

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1 CEDERJ MÉTODOS DETERMINÍSTICOS - AP Questão 1 (2 pontos). Resolva as inequações: a) 3x + 4 < 10 b) (x 0, 23)(x + 2, 47) 10 < 0; Solução: a) 3x + 4 < < 3x + 4 < < 3x < < x < 2 Resposta: x ( 14/3, 2). (x 0, 23)(x + 2, 47) b) < 0 (x 0, 23)(x + 2, 47) < 0 10 Mas este último produto só é negativo caso um dos fatores seja negativo e o outro positivo, isto é, para que a inequação seja satisfeita, devemos estar em um dos dois casos a seguir: x 0, 23 < 0 e x + 2, 47 > 0 ou x 0, 23 > 0 e x + 2, 47 < 0. No primeiro caso, temos x < 0, 23 e x > 2, 47, isto é, 2, 47 < x < 0, 23. No segundo caso, temos x > 0, 23 e x < 2, 47, mas claramente não há valor de x que satisfaça ao mesmo tempo essas duas desigualdades. Resposta: 2, 47 < x < 0, 23. Questão 2 (2 ponto). Seja f : R R dada por f(x) = 0, 2x 2 0, 8x 4, 2. 1

2 a) Encontre as raízes de f; Solução: Precisamos resolver a equação 0, 2x 2 0, 8x 4, 2 = 0. Mas 0, 2x 2 0, 8x 4, 2 = 0 x 2 4x 21 = 0 Vamos resolver por Bhaskara esta última equação: = ( 4) ( 21) = = 100 x = (4 ± 100)/2 = (4 ± 10)/2 = 2 ± 5 Logo, as raízes são x = 3 e x = 7. b) Esboce o gráfico de f. Solução: Para traçar o gráfico, além das duas raízes, precisamos de mais um ponto. Vamos usar o vértice da parábola. Sabemos que o valor de x no vértice é a média entre as raízes: x v = ( 3 + 7)/2 = 2. O valor de y no vértice pode ser obtido por substituição: y v = f(x v ) = 0, , 8 2 4, 2 = 0, 8 1, 6 4, 2 = 5. Podemos agora traçar a parábola utilizando as raízes e o vértice: Questão 3 (2 ponto). Resolva o sistema de equações a seguir: 2

3 12x y = 20x 2y = 9 21 Solução: Da primeira equação temos que y = 12x+9. Substituindo y na segunda equação, ficamos com: 20x 2(12x + 9) = 21 Mas 20x 2(12x + 9) = 21 20x 24x 18 = 21 4x = 3 x = 3/4. E substituindo em y, y = 12x + 9 = 12 3/4 + 9 = = 18. Resposta: x=3/4 e y = 18. Questão 4 (4 pontos). Quatro professores da UFF decidem alugar um carro econômico para juntos visitarem polos do CEDERJ. Na loja em que realizam o aluguel há duas opções para o cálculo do valor a ser pago: no plano D aluga-se pagando apenas o valor fixo por dia; no plano KM, um valor fixo por dia somado a uma taxa por quilômetro rodado. De posse destas informações eles traçaram um gráfico para descobrir qual a opção mais barata para viajar a cada um dos polos que planejavam visitar, sempre partindo da locadora de automóveis que se situa perto do campus onde trabalham. 3

4 g(x) : valor para percorrer x km em um dia pelo plano D. f(x): valor para percorrer x km em um dia pelo plano KM a) Analisando o gráfico que eles traçaram e considerando que eles vão e voltam no mesmo dia (e visitam apenas um polo por dia), marque na tabela que segue qual a opção mais barata para visitar cada polo (lembre-se que eles precisam ir e voltar). Distância Melhor Melhor da locadora plano: plano: ao polo D KM Magé 50km Piraí 110km Resende Centro 179km Rio Bonito 65km Saquarema 90km b) Segundo o gráfico, qual é o valor fixo no plano KM e qual o valor por quilômetro rodado neste mesmo plano? Explique como você obteve estes valores. 4

5 Solução: No plano KM, chamando de a o valor por quilômetro rodado e de b o valor fixo, se o cliente andar x quilômetros, pagará ax + b. Se andasse zero quilômetro (teoricamente, tendo feito o contrato) pagaria apenas o valor fixo b. Vemos que para x = 0 temos que ax + b = b = 40. Logo esse é o valor fixo. Para achar o valor de a, a taxa por quilômetro rodado, vemos que para x = 200, ax + b = 120. Lembrando que b = 40, ficamos com ax + b = 200a + 40 = 120. Daí, 200a = 80, o que significa que a = 0, 4. Concluímos assim que o valor fixo é de 40 reais e a taxa por quilômetro rodado é de R$ 0,40. c) Encontre a lei da função f : [0, ) R que indica qual o valor f(x) a ser pago no plano KM caso o cliente rode por x km. Solução: Conforme explicado no item anterior, f(x) = 0, 4x d) Em qual caso o cliente ficaria indiferente entre os dois planos? Justifique sua resposta. Como vemos no gráfico, quando o cliente roda 200 km no total, ele paga o mesmo preço (120 reais) qualquer que seja o plano. Este é o caso em que ele fica indiferente. e) A locadora de automóvel planeja alterações na tabela de preços para incentivar o cliente a optar pelo plano D: eles vão reduzir o valor da diária neste plano e aumentar o valor do quilômetro rodado no plano KM. Supondo que o valor da diária do automóvel escolhido pelos professores sofra uma redução de 20 reais no plano D, qual deve ser, no mínimo, o novo valor do quilômetro rodado para que o plano KM deixe de ser vantajoso para os professores, qualquer que seja a cidade que eles escolham (dentre as cinco da tabela)? Solução: Como vemos no gráfico, o plano KM é mais interessante quando o cliente 5

6 pretende rodar menos. Logo, se queremos que este plano deixe de ser interessante para qualquer das cidades da tabela, basta nos preocuparmos com Magé, que é a cidade mais próxima. Se a empresa aumentar a taxa por quilômetro rodado para um valor c, o cliente passará a pagar cx para rodar x quilômetros. No caso de Magé, ele pagará 100c + 40 (lembre-se que ele deve ir e voltar). Para que este plano deixe de ser interessante, este novo custo deve ser pelo menos igual ao novo preço da diária no plano D, que passará a ser 100 reais. Daí, 100c + 40 = c = 60 c = 0, 60. Logo, para que o plano KM deixe de ser interessante, o valor por quilômetro rodado deve ser de pelo menos sessenta centavos. Bom trabalho e boa sorte! 6