EQUAÇÕES DO 1º GRAU CONTEÚDOS. Equações do 1º grau com uma incógnita Raiz de uma equação Resolução de equações AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS

Transcrição

1 EQUAÇÕES DO º GRAU CONTEÚDOS Equações do º grau com uma incógnita Raiz de uma equação Resolução de equações AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Tente adivinhar que número eu estou pensando, se a ele somar 25 sei que vou obter 45? Talvez você já tenha se deparado com algum desafio como esse, em que a pessoa descreve algumas operações matemáticas realizadas com um número, que para você ouvinte, é desconhecido, mas que para o narrador do desafio, o número é conhecido. Nesse tipo de desafio ou jogo de adivinhações fica fácil participar quando, para adivinhar o número pensado fazemos uso das equações. Vejamos como interpretá-lo. Se é mencionado que há um número não conhecido e a ele é somado o valor 25, esse número pode ser identificado por uma incógnita. Então temos a seguinte representação para esse trecho do desafio: x + 25 Neste caso, escolhemos a incógnita x, para representar o número desconhecido. No desafio foi mencionado que o resultado da soma desses valores é igual a 45. Assim, temos: x + 25 = 45. Essa expressão é identificada como uma equação. Identificamos uma equação quando temos a existência de duas condições: a relação de igualdade e a presença de incógnita. Quando transformamos o desafio em uma equação, estamos representando o problema discutido por meio da linguagem algébrica.

2 Essa relação de igualdade, que é uma equação, apresenta dois membros, observe: x + 25 = 45 º membro 2º membro Para saber qual foi o número pensado no desafio, basta resolver a equação. Acompanhe: Se a um determinado número foi somado 25 e obtido 45, para saber qual foi o número basta subtrair os 25, que inicialmente foram somados. Assim, temos: x Como estamos trabalhando com uma igualdade, se de um membro foi subtraído 25, para manter a equivalência, do outro membro, também devemos subtrair a mesma quantidade. x = x = 20 Logo, no desafio colocado, o número pensado foi 20. Ficou fácil resolver o desafio quando o representamos por meio de uma equação não é mesmo? Aliás, as equações representam uma grande ferramenta na resolução de problemas matemáticos. Vejamos apenas alguns exemplos, e como representá-los por meio de uma equação: º - Somando o salário de Alberto com o dinheiro que ele tem na poupança, que é o dobro do seu salário, ele conseguirá pagar todas as dívidas que totalizam R$ 3.900,00. E, desta forma, o corretor de imóveis deixará sua poupança com o saldo zero, mas não ficará endividado. Para representar o problema por meio de uma equação, devemos observar que, neste caso, os valores não conhecidos são o salário de Alberto e o dinheiro que ele tem na poupança. Porém, é mencionado que o dinheiro que está na poupança é o dobro do salário. Assim, representando o salário pela incógnita y, temos a seguinte equação:

3 o salário y + 2.y = total das dívidas se a soma dos valores paga as dívidas, o resultado dessa soma é igual a R$ 3.900,00. 2º - Um terço do que eu recebi de indenização utilizei para pagar o financiamento da minha casa. Um quarto coloquei na poupança e utilizei os R$ 5.000,00 restantes para pagar algumas contas que estavam pendentes. o dobro do salário, quantia que representa o valor que está na poupança. Neste caso, não são conhecidos o valor do financiamento, o valor que foi depositado na poupança e o valor recebido de indenização. No entanto, é mencionado que um terço da indenização foi utilizado para o financiamento, e um quarto colocado na poupança. Identificando o valor da indenização pela incógnita z e utilizando as informações dadas no problema colocado, temos a equação: um terço da indenização z 3 z z 4 A indenização totaliza a soma de três valores: valor utilizado para pagar o financiamento, valor colocado na poupança e os R$ 5.000,00. valor utilizado para pagar contas um quarto da indenização Todas essas equações são chamadas de equações do º grau com uma incógnita. Isso porque todas podem ser reduzidas à forma ax = b, em que x representa a incógnita, e a e b são números racionais, com a 0. Na equação os números a e b são identificados como coeficientes. Veja mais alguns exemplos de equações do º grau com uma incógnita. 5x = 5 equação do º grau na incógnita x. 2t + = 8 equação do º grau na incógnita t. 20w = 0 equação do º grau na incógnita w.

4 Nem todas as equações do º grau com incógnita estão reduzidas à forma ax = b, como nos exemplos a seguir: 3x - 2 = 3 5.( x + ) = 0 Para representá-las na forma ax = b, basta aplicar os princípios da equivalência de uma igualdade. Acompanhe um exemplo: Dada a equação: 3x - 2 = 3 3x = (adicionamos aos dois membros o valor + 2) 3x = x = 5 Assim temos a equação 3x = 5. Saiba mais (anulamos os valores opostos que estão no mesmo membro e efetuamos a adição no segundo membro) Os princípios da equivalência de uma igualdade são: Dada uma igualdade, adicionando um mesmo número aos dois membros obtemos uma nova igualdade, ou seja: Se a = b então a + c = b + c Dada uma igualdade, multiplicando os dois membros por um mesmo número diferente de zero, obtemos uma nova igualdade, ou seja: Se a = b então a.c = b.c, com c 0 A raiz de uma equação Dada a equação 3x = 5, identificamos como raiz da equação o valor que ao multiplicá-lo por 3, tornará a sentença verdadeira. Vejamos: Na equação 3.x = 5, ao multiplicar o 3 por 5, obteremos 5, logo 5 é raiz da equação. Se x = 5, temos: 3.5 = 5 5 = 5 Acompanhe outros exemplos: Dada a equação x + 5 = 0, a raiz da equação é igual a 5, pois se x for substituído pelo valor 5, temos: x + 5 = = 0

5 Dada a equação 5.x + 8 = 8, para identificar se 3 é raiz da equação basta verificar se a igualdade é verdadeira ou não, considerando x igual a 3, vamos substituí-lo: = = Se a igualdade não é verdadeira para x igual a 3, significa que esse número não é a raiz da equação. Resolução de uma equação Para trabalhar o processo resolutivo de uma equação vamos utilizar algumas situações-problema. º - Pedro deseja trocar todo o piso de sua cozinha e de sua lavanderia. De acordo os cálculos do pedreiro contratado por Pedro, é necessário comprar 20 m² de azulejo. Pois a cozinha tem o triplo da área da lavanderia. Se na hora da compra, Pedro decidi que, devido ao alto valor do piso escolhido, ele irá fazer a reforma apenas da cozinha, qual é a quantidade de azulejo que ele deve comprar? Para solucionar o problema apresentado, primeiramente, vamos representá-lo como uma equação do º grau. Para tanto, a medida da área da lavanderia será identificada como x. Se a área da cozinha é o triplo da área da lavanderia, essa medida poderá ser identificada como 3x. Assim, temos: x + 3x = 20 (área da lavanderia + área da cozinha = 20) Podemos também observar que dos membros dessa equação apresenta termos semelhantes que podem ser somados. x + 3x = 20 A resolução da equação será realizada aplicando os princípios da igualdade 4x = 20.4x 4.4x x + 3x = 4x (Aplicamos o princípio multiplicativo, multiplicamos os dois membros por um quarto) (Após realizar a multiplicação simplificamos as frações)

6 Assim temos: x = 5 Se x = 5, e x representa a medida da área da lavandeira, sabemos então que esse cômodo tem área igual a 5 m². A cozinha tem o triplo da metragem da lavanderia, portanto, a cozinha tem 5 m². Se Pedro decidiu que não vai comprar o piso para lavanderia, ele deve comprar apenas 5 m² de material. 2º - Ainda em sua reforma, Pedro comprou 20 metros de arame para cercar todo o seu jardim e uma árvore que fica na calçada de sua casa. Considerando que esse arame é suficiente para dar apenas uma volta em cada um desses perímetros, se o jardim de Pedro tem o formato retangular, sendo o comprimento o dobro da largura, e o espaço que será cercado na calçada é um quadrado que tem comprimento igual a mesma medida da largura do jardim, quanto ele deve comprar a mais de arame se deseja dar 3 voltas de arame em torno do jardim? Para auxiliar na resolução da situação colocada, vamos fazer um esboço de como é o jardim de Pedro e a parte da calçada que será cercada. Na construção desse esboço é preciso lembrar que o comprimento do jardim é o dobro da largura, e o espaço da calçada que será cercado tem comprimento igual a largura do jardim. Portanto, se identificarmos a largura do jardim como x, o comprimento será igual a 2x e o espaço da calçada também terá comprimento igual a x. Jardim x x Espaço da calçada 2.x x

7 Se para cercar toda essa área serão utilizados 20 metros de arame, temos a seguinte relação: 2.x + 2.x + x + x + x + x + x + x = 20 Perímetro do jardim Perímetro do espaço da calçada 6x + 4x = 20.0x 0 0x = 20 0.x 0 x = (Aplicamos o princípio multiplicativo e multiplicamos os dois membros por um décimo) (Após realizar a multiplicação simplificamos as frações) Se x é igual a 2, a largura do jardim é igual a 2 metros e seu comprimento é igual a 4 metros. Para cercar esse jardim e dar 3 voltas de arame serão utilizados 36 metros deste material. Já que o perímetro do jardim é igual a 2 m = 4 3º - Do empréstimo que fiz no banco, um terço gastei somente com as contas de água e luz que estavam em atraso, com um quinto paguei o aluguel e os R$ 350,00 restantes foram utilizados para fazer a compra do mês. Se o valor total do empréstimo será pago no próximo mês com um acréscimo de 5%, qual será o valor que eu vou pagar ao banco?

8 Para solucionar o terceiro problema, vamos identificar as informações fornecidas: Sabe-se que foi realizado um empréstimo, de valor não conhecido, que podemos identificar como x. Valor do empréstimo: x Um terço do empréstimo foi utilizado para pagar as contas de água e luz: Um quinto do valor do empréstimo foi utilizado para pagar o aluguel: Para as compras do mês foi utilizado o dinheiro que sobrou: R$ 350,00. Equacionando a situação proposta, temos:.x 3 +.x = x.x 5.x 3 Para resolver a equação dada, primeiramente é necessário determinar as frações equivalentes as frações apresentadas e que tenham o mesmo denominador. Para tanto, vamos reduzir todos os termos da equação ao mesmo denominador. Neste caso, reduziremos ao denominador 5, pois este é o menor múltiplo comum (m.m.c) entre os denominadores,3 e 5. 5 x x x 5 Após reduzir todos os termos ao mesmo denominador, aplicaremos o princípio multiplicativo utilizando o denominador comum x 5. x x Após realizar a multiplicação simplificamos as frações x 5. x x Fica a dica: O menor múltiplo comum (m.m.c) pode ser obtido ao decompor os números em fatores primos. 5, 3 3 5, 5, 3.5 = 5 Depois de aplicar o princípio multiplicativo, obtemos a seguinte equação: 5x + 3x =5.x 8x =5.x

9 Em seguida aplicamos o princípio aditivo somando 5x aos dois membros. 8x 5x = - 5x + 5x - 7x = 0 Aplicamos o princípio aditivo, somando aos dois membros. - 7x = x = Logo usamos o princípio multiplicativo, multiplicando os dois membros por -. ( -). ( -7x) = ( -) 7x = Aplicamos o princípio multiplicativo, multiplicando os dois membros por 7.7x = Após realizar a multiplicação simplificamos. 7.7x = x = Se x é igual a R$ 750,00, sabe-se então que o empréstimo foi de R$ 750,00. Considerando que o valor terá acréscimo de 5%, para saber o valor que deverá ser devolvido ao banco, basta calcular os 5% de R$ 750,00. R$ 750,00. 0,05 = 37,50 R$ R$ 37,50 = R$ 787,50. Deverá ser devolvido ao banco o valor de R$ 787, ATIVIDADES. Utilizando a linguagem algébrica, represente os problemas por meio de uma equação. a) Somando o número de estudantes da escola Lellis Lemos com os 250 estudantes da escola Romeu Alfa, totalizaram 800 alunos. b) Um quinto do saldo devedor paguei com minhas economias, para quitar os R$ 550,00 restantes eu tive que fazer empréstimo no banco, mas assim foi tudo liquidado.

10 2.Identifique se as sentenças são verdadeiras ou falsas. a) ( ) Dada a equação x + 3 = 5, a raiz da equação é 3. b) ( ) Dada a equação 7x + 3 = 0, a raiz da equação é -. c) ( ) Dada a equação 4x + 4 = 20, A raiz da equação é igual a Identifique qual das equações está relacionada a situação-problema apresentada. Se metade dos estudantes não atingiram a média, apenas 25 deles conseguiram notas superior a 7 e os outros 30 ficaram com a nota entre 6,0 e 7,0, qual o total de estudantes? I - x 55 x II - 2 x 55 2 III - x 55x (ENEM 200) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. Disponível em: (adaptado). Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía,5 m. Querendo atingir a meta de 7,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre a) 4,0 m e 5,0 m. b) 5,0 m e 6,0 m. c) 6,0 m e 7,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m. e) 8,0 m e 9,0 m.

11 5.(ENEM 202) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações: QO = P QD = 46 2P Em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto. A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam. Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? a) 5 b) c) 3 d) 23 e) Se na promoção eu consegui um desconto de 20% e o produto ficou por apenas R$ 250, 00. De quanto foi o desconto? 7. Uma casa tem 0 m² de jardim, o espaço reservado para área de churrasco e lavanderia tem 40 m², a cozinha tem 2 m² e cada um dos 2 banheiros têm 6 m². Há ainda 3 quartos e sala, todos com a mesma medida de área. Se essa casa ocupa uma área de 38 m², quantos metros quadrados tem cada quarto?

12 8. Um reservatório tem capacidade x de litros de água. Ele está com 25% de sua capacidade, e para enchê-lo será aberta uma torneira que tem uma vazão de 6 litros por minuto, que segundo os cálculos terminará o trabalho em 25 minutos. Quanto há de água no reservatório, antes de ser ligada a torneira? REFERÊNCIAS GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Giovanni; JUNIOR, Giovanni. A Conquista da Matemática 7º ano. São Paulo: FTD, 205. INEP. ENEM 200. Prova Azul. f>. Acesso em: 6 maio 206.0h INEP. ENEM 202 Prova Amarela. Disponível em:< m_amarelo.pdf>. Acesso em: 6 maio h. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos: Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v. Matemática: caderno do estudante. Disponível em: < no>. Acesso em: 0 maio h. GABARITO. a) Identificando os estudantes da escola Lellis Lemos como x, temos a equação x = 800. b) Sendo o saldo devedor desconhecido, podemos identificá-lo por uma incógnita. Neste caso, utilizaremos a incógnita x. Assim, temos:.x x a) (F) Dada a equação x + 3 = 5, a raiz da equação é 3. b) (V) Dada a equação 7x + 3 = 0, a raiz da equação é -. c) (V) Dada a equação 4x + 4 = 20, A raiz da equação é igual a 4.

13 3. A alternativa que representa corretamente a situação colocada é a I. Para descrever a equação, podemos identificar a quantidade total de estudantes como x. Dessa quantidade, metade não atingiu a média, ou seja, metade de x. Somando a essa metade a quantidade daqueles que obtiveram as notas entre 6,0 e 7,0 e superior a 7,0, obtém-se o total de estudantes. Logo: x 55 x 2 4. A alternativa correta é a letra D. Considerando que o primeiro salto não tem valor conhecido, vamos identificá-lo como x. Sabe-se que no segundo salto haverá uma redução de,2 e do terceiro para o segundo a redução será de,5. Assim, temos a equação: x + ( x,2 ) + ( x,2,5) = 7,4 x + x,2 + x 2,7 = 7,4 3x 3,9 = 7,4 3x 3,9 + 3,9 = 7,4 + 3,9 3x = 2,3.3x 3 x = 7,..2,3 3 Portanto, o primeiro salto deverá ser de 7, m. 5. A alternativa correta é a letra B. Se o preço de equilíbrio do mercado é quando as equações se igualam, temos: QO = QD Logo, P = 46 2P Resolvendo a equação obtém-se o preço de equilíbrio P = 46 2P P + 2P = 46 2P +2P P + 2P = 46

14 P = P = P = 66.6P 6 P = Se o valor inicial do produto é desconhecido, será utilizada a incógnita y para identificálo. Assim, temos: x x.0,20 = 250 (O valor x menos o desconto de 20% é igual a R$ 250,00) 0,80.x = 250.0,80.x 0,80 x = 32, ,80 Se o produto tinha valor inicial igual a R$ 32,5 e o desconto foi de 20%, em reais, esse desconto representa R$ 62,5. Acompanhe: R$ 32,5. 0,20 = R$ 62,5 Ou ainda, R$ 32,5 - R$ 250,00 = R$ 62,5 ( valor inicial menos o valor de venda é igual ao desconto) 7. Se os quartos e a sala têm áreas iguais, identificaremos essa medida como z. Logo, a área total de casa é: 0 m² + 40 m² + 2 m² + 2 m² + 4.z = 38 m² 74 m² + 4.z = 38 m² 74 m² - 74 m² + 4.z = 38 m² - 74 m² 4.z = 64 m².4z 4.64 m² 4

15 z = 6 m² Portanto, cada quarto tem 6 m². 8. Considerando que a capacidade é de x litros, para enchê-lo a quantidade de água será x menos a quantidade que já tinha. Logo, temos: x - x.0,25 = 25.6 (A capacidade total, menos a quantidade já existente é igual a quantidade de minutos que levaremos para encher, vezes a quantidade de litros por minuto). x x.0,25 = 750 0,75.x = 750.0,75.x 0,75 x = ,75 A capacidade total é de.000. Se antes de ligar a torneira, havia no reservatório 25% dessa capacidade, tinha exatamente 250 L ,25 = 250.