PLANO DE AMOSTRAGEM PARA TESTES POR ATRIBUTOS

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1 PLANO DE AMOSTRAGEM PARA TESTES POR ATRIBUTOS por Jonas Libl Os tsts por atributos tm o objtivo d stimar para o univrso proporçõs d incidências obsrvadas m amostras, a fim d possibilitar a formação d opinião acrca do todo. Ao analisar uma amostra, podmos dividi-la m dois subconjuntos distintos, d acordo com os propósitos do xam. Assim, s o objtivo é idntificar não-conformidads, ncontrarmos um subconjunto d lmntos qu satisfazm ss objtivo, cuja proporção é rprsntada por p, outro subconjunto d lmntos qu não satisfazm o objtivo, cuja proporção é rprsntada por q ou (1-p). Essa dualidad d não-conformidads x conformidads nos rmt à distribuição d probabilidad binomial, ntrtanto, dadas as dificuldads d viabilizar os cálculos, pod-s utilizar outras distribuiçõs d probabilidad como aproximação da binomial mdiant atndimnto a dtrminadas rgras. Nss sntido, softwars consagrados d auditoria como o Audit Command Languag ACL o Intractiv Data Extraction & Analysis IDEA utilizam a distribuição d Poisson para dimnsionamnto avaliação d amostras, cujos princípios são objto do prsnt studo. A fórmula para s dtrminar a probabilidad d um dado númro X d ocorrências m uma distribuição d Poisson é: Sndo: p( x = k) = ( λ) k! k p(x=k) λ k = probabilidad d um dado númro X d ocorrências, stas sndo do tipo sim ou não, falso ou vrdadiro, crto ou rrado, fracassos ou sucssos, nãoconformidads ou conformidads; = constant 2, , utilizada para cálculos com logaritmos naturais; = ltra grga lambda, utilizada para rprsntar a xprssão np, também conhcida como valor sprado d X ou média, sndo p a proporção obsrvada n o númro d rptiçõs do xprimnto qu s dsja tstar; = númro d ocorrências qu s dsja tstar. Exmplo: Tm-s obsrvado, m trabalhos d Auditoria rlativos a abrtura d contas corrnts, nãoconformidads na ordm d 4%. Qual é a probabilidad d s obsrvar a msma incidência num próximo trabalho, m qu srá xaminada uma amostra d 50 contas? O valor sprado d X, conhcido por λ, é dado por np = 50 x 4% = 2. No xmplo m pauta, dsja-s sabr qual é a probabilidad d ncontrarmos 2 não-conformidads nssa amostra d 50. Assim, tmos qu: p( x = 2) = 2 ( 2) 2! 2 = 0, ou sja, a probabilidad d ncontrarmos, nssa amostra d 50, xatamnt 2 nãoconformidads é d 27,0671%.

2 O valor sprado d 2 não limina as outras possibilidads d xistência d nãoconformidads, podndo-s sprar dsd zro até crca d 12, com maior ou mnor grau d probabilidad. O quadro abaixo dmonstra as probabilidads associadas a cada possibilidad d ocorrência qu pod sr ncontrada nssa amostra d 50, sndo qu as maiors probabilidads stão sndo sinalizadas para 1 ou 2 não-conformidads: não-conformidads probabilidad 0 0, , , , , , , , , , , , , Outra caractrística important da distribuição d Poisson é qu o valor sprado é rsultant do somatório d todas as possibilidads d ocorrências pondradas pla sua rspctiva probabilidad. Assim sndo, na nossa amostra d 50, o valor sprado λ dado por np = 50 x 4% = 2 pod sr dmonstrado plo somatório da coluna (A x B) do quadro abaixo: não-conformidads probabilidad (A x B) (A) (B) 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , SOMA 1, Finalmnt, no tocant à concituação introdutória da distribuição d Poisson, tmos qu o somatório das probabilidads d todas as possibilidads d ocorrências corrspond a 1, ou sja, 100% da composição do valor sprado λ, cuja dmonstração a sguir s faz important para infrências postriors:

3 não-conformidads probabilidad probabilidad acumulada 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Essa tabla prmit obsrvaçõs muito intrssants acrca do comportamnto das probabilidads da amostra, como, por xmplo, pla probabilidad acumulada vrificamos qu, mbora possam ocorrr até 12 não-conformidads, xist 98,3436% d chanc d qu não ocorram mais do qu 5. As infrências basadas na distribuição d Poisson para amostragm statística tm sua origm na probabilidad acumulada. Em função d dtrminada xpctativa d nãoconformidads d dtrminada probabilidad acumulada dsjada, podmos calcular o λ qu satisfaça tal condição. Exmplificando, s dsjarmos uma probabilidad acumulada d 5% para zro não-conformidad, tmos λ calculado conform sgu: dond λ é igual a 3,00. ( λ) 0! 0 = 0,05 Em outro xmplo, m qu dsjamos uma probabilidad acumulada d 5% para até uma nãoconformidad, λ é calculado como a sguir: dond λ é igual a 4,75. 0 ( λ) ( λ) 0! + = 0,05 O cálculo d λ rvst-s d crta complxidad, sndo consguido por procsso itrativo. A manira mais fácil d solucioná-lo é através d funçõs como Atingir Mta do MS Excl ou do Solvr d calculadoras Hwltt Packard. Para facilitar a obtnção dos valors d λ, calculados m função d dtrminada xpctativa d não-conformidads d dtrminada probabilidad acumulada dsjada, xist uma tabla dnominada UEL TABLE (Uppr Error Limit Tabl). Dssa forma, sabndo-s qu λ = np, ond n é o númro d rptiçõs do xprimnto qu s dsja tstar p é a proporção obsrvada, pod-s calcular o tamanho d uma amostra a partir do valor d λ obtido na UEL TABLE do p conhcido m xprimntaçõs antriors. Exmplificando, tm-s obsrvado, m trabalhos d Auditoria rlativos a abrtura d contas corrnts, não-conformidads na ordm d 4%. Qual é o tamanho da amostra qu possibilita infrir para o univrso a incidência obsrvada, dsjando-s tstar nssa amostra apnas zro ou 1 rro? 1! 1

4 λ = np λ = 4,75 (vid UEL Tabl para probabilidad acumulada d 0,05, com incidência d até 1 nãoconformidad p = 0,04 (proporção obsrvada) n = λ / p n = 4,75 / 0,04 = 119 S xaminarmos a amostra d 119 contas ncontrarmos zro ou uma conta com nãoconformidad, a rspctiva probabilidad acumulada não xtrapolará 0,05, ou 5%. Pod-s infrir qu, m s tratando d uma distribuição d Poisson, o comportamnto dos 0,95 rstants tndrá a confirmar qu a incidência d 4% não srá ultrapassada. Por outro lado, s ncontrarmos, a título d xmplo, quatro contas com não-conformidad nssa amostra, podrmos, num procsso invrso, calcular qual o prcntual d incidências sprado para o univrso: λ = np λ = 9,16 (vid UEL Tabl para probabilidad acumulada d 0,05, com incidência d até 4 nãoconformidads p = λ / n p = 9,16 / 119 = 0,0770 = 7,70% Os tsts d auditoria aplicados sobr uma amostra objtivam assgurar qu dtrminado parâmtro d acitação não srá xtrapolado no univrso, a fim d qu st sja considrado adquado. Nss sntido, o tamanho da amostra dv sr suficint para qu o opinamnto do auditor tnha fundamnto cintífico, obsrvado o parâmtro d acitação o nívl d confiança dsjados, a sua slção s dê d forma compltamnt isnta, prmitindo qu todos os lmntos do univrso tnham a msma chanc d participarm do procsso d scolha. Supondo qu, no nosso xmplo, 4% sja o parâmtro d acitação do auditor para validação do univrso, o fato d ncontrarmos zro ou uma conta com não-conformidad nsjaria o opinamnto d adquado. Entrtanto, caso nos dparássmos com quatro contas com nãoconformidad, obviamnt o parâmtro d acitação sria xtrapolado diant da xpctativa d uma incidência d 7,70% para o univrso, implicando julgá-lo inadquado. A tabla abaixo fornc os valors d λ para até sis não-conformidads, com probabilidads acumuladas d 10%, 5%, 2,5% 1%, o qu corrspond à probabilidad infrida para o univrso d 90%, 95%, 97,5% 99%, rspctivamnt. Essa probabilidad infrida para o univrso é conhcida como nívl d confiança. UPPER ERROR LIMIT TABLE probabilidad acumulada (%) = ,5 1 nívl d confiança (%) = , ,31 3,00 3,69 4,61 1 3,89 4,75 5,58 6,64 2 5,33 6,30 7,23 8,41 3 6,69 7,76 8,77 10,05 4 8,00 9,16 10,25 11,61 5 9,28 10,52 11,67 13, ,54 11,85 13,06 14,58 Em trmos práticos, podmos rduzir substancialmnt o tamanho das amostras quando ralizamos tsts para zro não-conformidad. No nosso xmplo rlativo a abrtura d contas

5 corrnts, obtríamos uma rdução d 37% m rlação ao tamanho da amostra calculada antriormnt: λ = np λ = 3,00 (vid UEL Tabl para probabilidad acumulada d 0,05, com incidência d zro nãoconformidad p = 0,04 (proporção obsrvada) n = λ / p n = 3,00 / 0,04 = 75 Um aspcto intrssant da dfinição d amostras para tst d zro não-conformidad é qu a msma facilita a adoção, no xam, do procdimnto d stop or go. Isso prmit qu o xam sja ncrrado no momnto m qu ncontrarmos qualqur não-conformidad, msmo qu a amostra não tnha sido xaminada na sua totalidad, porqu já stará assgurado qu o parâmtro d acitação do auditor foi xtrapolado, configurando o univrso como inadquado. Num plano d amostragm paramtrizado dssa forma, a incidência obsrvada na totalidad da amostra não é rlvant para fundamntar a opinião do auditor a não sr qu, d fato, não s ncontr qualqur não-conformidad na amostra, o qu implicará o su xam complto. Entrtanto, caso sja do intrss do auditor xaminar a totalidad da amostra para, diant da quantidad d não-conformidads ncontrada, procdr a sua avaliação stimar a incidência para o univrso, cab lmbrar qu stamos utilizando a distribuição d Poisson como aproximação das probabilidads binomiais, o qu nsja o atndimnto a algumas rgras: n maior ou igual a 30; np mnor qu 5; ou, n(1-p) mnor qu 5. Por consguint, a avaliação d amostras qu não atndam às rgras acima podrá sofrr distorçõs considrávis ao srm ftuadas sob o nfoqu da distribuição d Poisson. Por ss motivo, não s rcomnda ftuá-la plo ACL ou IDEA, mas, sim, utilizar a incidência stimada para o univrso calculada pla própria distribuição binomial. Embora a litratura técnica não tnha qualqur rfrência a rspito, pod-s calculá-la através da função "Atingir Mta" do MS Excl, por similaridad com o cálculo ftuado pla distribuição d Poisson. A amostra d 75 lmntos, slcionada para tstar o parâmtro d acitação d 4% com um nívl d confiança d 95%, atnd aos mncionados rquisitos tanto quanto ao n quanto ao np (75 x 4% = 3), sndo possívl, nst caso, o uso da distribuição d Poisson como aproximação da binomial. Embora sta sja apnas uma pquna incursão no mundo da Estatística Aplicada à Auditoria, é uma grand oportunidad para compartilhar conhcimntos pssoais com profissionais intrssados no assunto, trazndo aspctos d uma matéria tão carnt d abordagns mais aprofundadas na litratura técnica. Minimizar os riscos d auditoria, assgurar maior grau d crtza na formação d opinião agrgar valor ao procsso como um todo constitum-s o nosso objtivo maior, nss sntido, o frramntal statístico tm muito a contribuir, principalmnt como dsafio à criação d múltiplas possibilidads d ampliação das nossas comptências pssoais. Rfrência bibliográfica: SILVA, Erms Mdiros da, outros. Estatística para os Cursos d Economia, Administração Ciências Contábis, Volum 2, 2 a Edição, Editora Atlas, São Paulo, KASMIER, Lonard J. Estatística Aplicada à Economia Administração, Editora McGraw Hill do Brasil Ltda., São Paulo, ACL Srvics Ltd. Manual d Rfrência do ACL para Windows 6, Copyright 2001 by JONAS LIEBL