INESC Coimbra. Manuel Paulo Calado João Paulo Costa

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1 Insiuo de Engenharia de Sisemas e Comuadores de Coimbra INESC Coimbra Manuel Paulo Calado João Paulo Cosa Um Modelo de Planeameno Financeiro ara Classificação de Soluções Não-Dominadas em Programação Linear Muli-Objecivo Nº Relaórios de Invesigação

2 Insiuo de Engenharia de Sisemas e Comuadores de Coimbra INESC Coimbra Manuel Paulo Calado João Paulo Cosa Um Modelo de Planeameno Financeiro ara Classificação de Soluções Não-Dominadas em Programação Linear Muli-Objecivo Nº ISSN: Insiuo de Engenharia de Sisemas e Comuadores de Coimbra INESC Coimbra Rua Anero de Quenal, 99; Coimbra; Porugal

3 Um Modelo de Planeameno Financeiro ara Classificação de Soluções Não-Dominadas em Programação Linear Muli-Objecivo Manuel Paulo Calado João Paulo Cosa Escola Suerior de Tecnologia - Insiuo Poliécnico de Viseu Camus Poliécnico de Reeses, Viseu mcalado@dges.esv.iv. Faculdade de Economia da Universidade de Coimbra Av. Dias da Silva - 65, Coimbra jaulo@fe.uc. Agradecimeno Ese rabalho foi arcialmene aoiado ela FCT e elo FEDER, rojeco POCTI / EGE / / 2005

4 ÍNDICE Inrodução.... Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições Inrodução Variáveis e arâmeros do modelo Deerminação dos rinciais monanes de cusos e roveios agregados Resrições de não-negaividade e resrições físicas do rocesso roduivo Resrição de igualdade enre origens e alicações de fundos Resrição ara deerminação do Resulado Tribuável Definição das funções-objecivo Uilização do algorimo LinearTri ara classificação de soluções Aresenação de um exemlo numérico Formulação do roblema conforme exemlo numérico aresenado Simulação ineraciva do algorimo Linear Tri Ineracividade e inerface gráfico da alicação Conclusão Referências Anexo... 28

5 Inrodução O roósio cenral dese rabalho consise em avaliar a adaabilidade do algorimo Linear Tri (Lourenço [2000] e Lourenço e al. [2004]) à resolução de roblemas muliobjecivo no âmbio da Gesão Financeira, ara o que foi desenvolvido um modelo de Planeameno Financeiro (Calado [2004]), que rocura reflecir asecos significaivos da acividade oeracional e financeira emresariais. Ao incororar o méodo Elecre Tri (Yu [992] e Roy e al. [993]), aquele algorimo imlemena a classificação ineraciva de soluções não-dominadas, enquadrando-as em caegorias reviamene definidas, visando ober uma esruura de referências coerene, que ode ser encarada como uma aroximação da função de referências do decisor. O roblema de alicação rocura enquadrar a acividade oeracional e financeira de uma enidade emresarial. Ese modelo resulou na formulação de um roblema linear muliobjecivo, com rês funções-objecivo e uma variedade de diferenes ios de resrições funcionais. Os criérios definidos são rês funções cumulaivas de valor acual. A rimeira é uma função de cash-flow, a segunda reresena as vendas líquidas de imosos, enquano a erceira é uma função de solvabilidade financeira. Sendo rês objecivos muuamene concorrenes, não é ossível a sua maximização simulânea, elo que uma escolha final é uma solução de comromisso. O âmbio da decisão é condicionado ela exisência de resrições de carácer oeracional e financeiro. No conexo oeracional, imorou deerminar as quanidades a roduzir e a vender, de diferenes roduos em diferenes eríodos do lano, enquano na erseciva financeira relevaram quesões como o invesimeno, a liquidez e a forma de assegurar o seu financiameno. Como aseco aricularmene relevane do enquadrameno financeiro, saliena-se a necessidade de assegurar a ermanene igualdade iner-emoral enre origens e alicações de fundos, que surge como condição de equilíbrio do rório modelo. No caíulo rocedeu-se à consrução do roblema, conforme as caracerísicas enunciadas nos arágrafos aneriores, endo ambém sido enunciados os ressuosos necessários ara deduzir as relações fundamenais das resrições e funções-objecivo uilizadas. A arir da definição de duas demonsrações financeiras: um 'Balanço' (esruura de acivos e caiais) e uma 'Demonsração de Resulados', foi obida uma formulação geral que foi objeco de concreização nos caíulo seguine. No roblema rooso oderiam ainda er sido incluídas resrições ara aricularizar deerminados asecos da função de rodução, um ouco à semelhança de ceros roblemas de 'Porfolio Selecion'. Refere-se nomeadamene a ossibilidade de ocorrerem deendências enre diferenes roduos: rodução conjuna, roduos (rojecos) muuamene exclusivos, arilha de cusos enre gruos de roduos, ou ouras esecificidades écnicas do rocesso roduivo. No caíulo 2 o roblema foi concreizado ara uma insância numérica, endo sido aribuídos valores significaivos a uma mulilicidade de coeficienes e arâmeros, de cuja agregação, conforme as relações definidas no caíulo, resulou a configuração do roblema concreo, ara oserior resolução e deerminação de soluções não-dominadas. Surge enão a imlemenação do algorimo Linear Tri que, recorrendo a um adequado alicaivo informáico, ermie formular o roblema, deerminar um conjuno de soluções nãodominadas e simular ineracivamene a classificação dessas soluções, conforme o méodo Elecre Tri essimisa. Preende-se enão ober uma esruura Elecre válida e coerene, como aroximação da função de referências do decisor. Face aos objecivos e roósios ara que ese rabalho foi desenvolvido, sineizam-se seguidamene, em modo conclusivo, os asecos relevanes da sua realização: - Foi ossível adaar o algorimo Linear Tri à resolução do roblema muli-objecivo de laneameno financeiro. - Assumem aricular relevância as caracerísicas do fluxo do alicaivo informáico, quano à forma do aoio a ser resado num conexo de decisão esecífico. - Foi deerminada uma esruura Elecre Tri válida, significaiva da função de referências do decisor (sendo esa nauralmene uma função de uilidade imlícia). - Todas as soluções não-dominadas classificadas foram afecas a alguma das caegorias ré-definidas. - Embora não sendo fundamenal, esa caracerísica revelou-se ser exensiva às soluções não incluídas na esruura elecre final. - A leiura dos resulados obidos é significaiva da realidade modelada, não a conradizendo.

6 . Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições.. Inrodução Numa breve descrição, o roblema consise no laneameno, or uma enidade emresarial, da rodução e comercialização de diferenes roduos, ao longo de vários eríodos, regulares e consecuivos, aendendo a odo um conjuno de caracerísicas dos rocessos roduivo e comercial, de que são exemlos: a caacidade roduiva, os cusos da rodução, os reços e quanidades rocuradas, as necessidades de financiameno e de invesimeno, o diferimeno emoral de comras, vendas, imosos, ec. É inicialmene conhecida a disonibilidade de recursos e a sua alicação. Os recursos são as fones de financiameno ara adquirir acivos necessários ao desenvolvimeno da acividade de exloração correne, ou mesmo a razo mais longo. Os recursos odem ser alicados em bens de equiameno roduivo, crédio a clienes, exisências de roduos, disonibilidades moneárias, ec. As fones de financiameno assumem duas formas disinas: Caiais Prórios e Caiais Alheios. Enquano os rimeiros são recursos a íulo ermanene, os ouros odem ser de média/longa ermanência (emrésimos obidos) ou recursos disoníveis or razos relaivamene curos (dívidas a fornecedores ou ao Esado). Na sua acividade, a emresa suora cusos direcamene variáveis com o volume da rodução, ou ouros que decorrem da manuenção da esruura roduiva, indeendenemene do nível de acividade. As vendas deverão ser realizadas de modo que os cusos suorados sejam comensados e se realizem lucros. Ese fim ode não ser garanido, mas um ressuoso clássico consise na maximização da renabilidade. Esa finalidade ode não ser única, se se ensar que ode ôr em causa a esabilidade financeira, definida numa dula verene emoral: solvência dos comromissos resulanes de endividameno e segurança financeira de curo razo, ara não ôr em risco o ciclo das oerações correnes. Ainda relaivamene ao criério da renabilidade, ese consise numa aroximação do cálculo do VAL, onde os cash-flows, que êm o lucro como base de cálculo, incluem as amorizações de imobilizado, as rovisões eriódicas e a variação de exisências de roduos. O rincíio da acualização dos cash-flows, resene no criério VAL, é esendido aos ouros criérios, como se a análise fosse feia semre a arir das condições acuais, ois que, ainda que seja longo o eríodo de análise, raa-se na verdade de um alargameno emoral das circunsâncias que caracerizam a acualidade. Embora ossa ser encarado como um ressuoso reduor, o ineresse da análise não é desviruado, mesmo que as circunsâncias se alerem num razo curo. Todavia, como ferramena de simulação, a aleração dos arâmeros ode reflecir a evolução da rória acualidade, elo que, uma análise a longo razo ode semre ser diariamene revisa. O âmbio da decisão é ilusrado elas seguines quesões: - que quanidades roduzir de cada roduo or eríodo? - que quanidades vender de cada roduo or eríodo? - qual o financiameno eriódico or endividameno? - qual o financiameno eriódico com caiais rórios? - qual o invesimeno eriódico na aquisição de acivos? Também é aresenada uma variedade de arâmeros e coeficienes, que onderam e condicionam as diferenes variáveis de decisão, de que são aenas alguns exemlos: os reços de venda, as axas de juros de emrésimos, as axas de imosos, de amorização do imobilizado, coeficienes que reresenam o diferimeno emoral das vendas, comras, liquidação de imosos, amorização de emrésimos, ec. A maniulação deses arâmeros ermie aferir o io de olíicas de gesão e a simulação de ossíveis cenários..2. Variáveis e arâmeros do modelo Por razões que se rendem com a oeracionalidade do modelo, de modo a ornar a sua inerreação mais ineligível e ara eviar a redundância de uma mulilicidade de noações, nas exressões algébricas que vão sendo sucessivamene aresenadas, orna-se necessário exliciar as seguines considerações révias sobre as referidas noações: - devido à sua significaiva quanidade, as noações são referenciadas or rês leras, ara eviar a ossibilidade da sua ocorrência simulânea com significados disinos; - a rimeira lera de cada noação é significaiva do agregado, ou indicador, em que se enquadra a referência da noação, conforme os seguines exemlos: A Acivo Taxas ou coeficienes C Cusos u Ouros coeficienes D Desesas V Proveios ou receias K Caial Prório W Variáveis ara I Imosos X Variáveis de decisão M Valores auxiliares Y Parâmeros exógenos P Passivo Z Funções-objecivo R Resulados - nas noações de variáveis de decisão ou arâmeros, aenas a lera inicial é maiúscula; - um conjuno de noações, em lera maiúscula, reresena agregados conabilisico-financeiros; - em cada noação são normalmene adiados um ou dois índices minúsculos, i e/ou j, com o seguine significado: i: Índice de referência a eríodo emoral (i =,2,..., ) j: Índice de referência a roduo (j =,2,..., ) - as noações iniciadas or ou u, reresenam axas ou coeficienes alicáveis a agregados conabilísico-financeiros; - odas as noações são aresenadas em formao negrio, quando enquadradas em exo corrido.

7 Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições Aresenação das variáveis de decisão - Deve ser laneada a rodução de roduos (,2,...,) em eríodos sucessivos (i =,2,...,) Xq ij : Quanidade a roduzir do roduo j no eríodo i Ese io de variável aende à exisência de resrições que deerminam que a caacidade de rodução não deve ser excedida, a qual deende da dimensão do imobilizado roduivo, que é eriodicamene variável, aendendo à ossibilidade de realizar aquisições de imobilizado. - Devem ser deerminadas as quanidades a vender, de cada roduo, em diferenes eríodos: Xqv ij : Quanidade do roduo j a vender no eríodo i As quanidades eriodicamene vendáveis, dos diferenes roduos (Mqw ij ), resulam da soma das roduzidas (Xq ij ) com as exisenes no início de cada eríodo (Mqs i-,j ). Ese io de variável em em cona que a rocura é definida exernamene elo mercado, ainda que or esimaiva ou como resulado de esudos de rosecção. Definem-se resrições ara as quanidades a vender: saisfazer a rocura do mercado (Yqd ij ), sem a exceder. - Monane de emrésimos (endividameno) a que a emresa ode eriodicamene recorrer: Xde i : Monane de emrésimos a ober no eríodo i - Monane de aumeno exerno de caiais rórios (sem origem em auofinanciameno): Xk i : Aumeno do caial rório no eríodo i - Invesimeno or aquisição eriódica de imobilizado: Xim i : Monane da aquisição de imobilizado no eríodo i - Alicação eriódica de fundos em disonibilidades: Xli i : Disonibilidades no eríodo i - Monane eriódico do Resulado Tribuável: Xr i : Resulado (ou lucro) ribuável no eríodo i Todas as variáveis de decisão, que reresenam quanidades físicas (Xq, Xqv), deverão assumir valores ineiros não negaivos. As que reresenam valores financeiros (Xde, Xk, Xim, Xli e Xr i ) são não negaivas e não exigem o requisio da inegralidade. Imora ambém referir que, na formulação do modelo, as variáveis de decisão financeiras esão direcamene associadas a limies máximos e/ou mínimos, que ornam redundanes as corresondenes resrições de não-negaividade Parâmeros da esruura Acivos-Caiais É definida uma esruura de acivos e caiais, que reflece a siuação da emresa: os caiais de que disõe (Prórios ou Alheios) e a forma como esão alicados nos diferenes ios de acivos exisenes, conforme o esquema da figura. Traa-se de uma demonsração, usualmene designada or Balanço, que reora a siuação financeira de uma emresa, num momeno deerminado. Uma esruura inicial de acivos e caiais, semelhane à anerior, consiui um ono de arida ara o laneameno da acividade oeracional e financeira. Suõe-se que ese Balanço corresonde à siuação acual, a arir da qual se oderão fazer rojecções da acividade ara os eríodos subsequenes, originando novos balanços revisionais. Acivo ACT Caial Prório KPR Imobilizado líquido AIM Passivo PAS Exisências de roduos AEX Dívida de Emrésimos PDE Crédios de imoso Fornecedores de imobilizado PFI - Aquisições de imobilizado ACI Fornecedores de exisências PFE - Ouras desesas fixas ACF Sócios e/ou Accinisas PSA - Desesas variáveis da rodução ACP Ouros credores POC Crédios sobre Clienes ACC Débios de imoso - Dívida de imoso sobre resulados PIR Liquidez imediaa ALI - Dívida de imoso liquidado nas vendas PIL Figura Modelo da esruura inicial de Acivos e Caiais Balanço). ACT = AIM + AEX + ACI + ACF + ACP + ACC + ALI - Comonenes do Acivo PAS = PDE + PFI + PFE + PSA + POC + PIR + PIL - Comonenes do Passivo ACT = KPR + PAS - Condição de equilíbrio

8 Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições 4. A acividade oeracional é imlemenada ela realização de desesas, suoradas ela acividade financeira decorrene da uilização dos caiais disoníveis, alicados na aquisição de imobilizado (máquinas, insalações, equiamenos, ec.), de exisências (maérias consumidas no rocesso roduivo ou roduos ara comercialização), em desesas de disribuição ou adminisraivas, em mão-de-obra direcamene uilizada no rocesso roduivo, nas remunerações fixas do essoal, em ouros fornecimenos de bens e/ou serviços, ec. Aos cusos das referidas desesas, acrescem os decorrenes da desvalorização de acivos, como amorizações do imobilizado, que não dão origem a fluxos de saída de fundos, reverendo em cash-flow. Concomianemene são suoradas ouras desesas, de âmbio financeiro, como as que emergem do endividameno, que arcialmene financia a realização da acividade, como são os encargos financeiros associados à obenção de caiais alheios (emrésimos bancários, obrigacionisas ou ouros, locação financeira, ec.). A venda dos roduos deverá gerar os roveios que, em rincíio, deverão comensar os cusos suorados. A diferença enre os roveios realizados e os cusos suorados, quando osiiva, gera um resulado sujeio a ribuação. Aós a liquidação do imoso sobre o resulado osiivo, o remanescene ode ser disribuído como dividendos (rendimenos do caial rório). A are não disribuída resula em auofinanciameno, reverível em caial rório, o que ode conduzir à valorização de acções ou de quoas de ariciação. Também se oderá roceder a aumenos de caial que, conforme o io de enidade emresarial, oderão assumir diferenes formas: emissão de acções, valorização das quoas dos iulares ou admissão de novos iulares (novas quoas), ec. Imora ambém salienar ouros asecos do ciclo das oerações financeiras, que decorrem do emo que medeia enre a realização dos diferenes ios de desesas e o momeno em que são agas, ou enre a realização das receias e o momeno do resecivo recebimeno. Surgem concreamene as seguines siuações: - o recebimeno das vendas ocorre algum emo deois de realizadas: há concessão de crédio correne a clienes; - o agameno de comras ou fornecimenos ocorre aós a sua realização: os fornecedores concedem crédio correne; - ocorre um razo ara roceder ao agameno de imosos; - ossibilidade de reaver o imoso suorado nas desesas; Semre que for adoada uma erseciva do desfasameno emoral dos recebimenos e dos agamenos, fará mais senido falar numa óica de esouraria, que é relevane não aenas ara a liquidez mas ambém ara a deerminação do cash-flow líquido Parâmeros da esruura Cusos-Proveios Reorando-nos novamene à óica económica, imora searar os cusos incorridos em variáveis e fixos, conforme exisa ou não uma deendência esreia relaivamene ao volume de rodução. Não reendendo alongar a exosição deses conceios, que se enconram exlicados em ouros exos (or exemlo: Calado [2004] ou Borges e al. [998]), imora agora inroduzir o esquema de demonsração de resulados, que é significaivo ara exor o modelo rooso. Figura 2 Esquema uilizado ara a Demonsração de Resulados. Nesa demonsração, desacam-se os seguines agregados: Eses desfasamenos emorais conduzem a que, no fim de cada eríodo, figurem no balanço os valores corresondenes a crédios sobre clienes (ACC), dívidas a fornecedores (PFI, PFE e POC), dívidas de imosos (PIR e PIL), crédios de imoso (ACI, ACF e ACP). Poderiam definir-se razos médios de agameno e recebimeno, converidos em fracções emorais de cada eríodo. Conudo consideramos igualmene adequado admiir que, no fim de cada eríodo, se enconra a recebimeno/agameno uma deerminada ercenagem das vendas/desesas. Ese rocedimeno é alicável a débios e crédios de imoso. VPO COP ROP RAI RLA RRA = VEN + VEX = CCR + CAI + CCF = VPO COP = ROP CJE = RAI IRT = RLA RLD

9 Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições Deerminação dos rinciais monanes de cusos e roveios agregados O lano da rodução aende à circunsância de o mercado ser concorrencial, definindo reços ara os diferenes roduos, sem que o roduor ossa inerferir (rice-aker). Mesmo que se admia a hióese de o roduor oder influenciar os reços, não imora inferir uma função de rocura ajusada, considerando que, num dado inervalo da rocura, o reço é relaivamene consane. A inferência dessa função, ainda que ossível, não é facilmene ajusável, elo que o modelo aenas incorora os reços como arâmeros, raando-se de uma informação ré-deerminada (exógena). Num eríodo i, as vendas de um roduo j (VEN ij ) são deerminadas elas quanidades vendidas (Xqv ij ) e elo resecivo reço de venda uniário (Yv ij ), da forma seguine: VEN ij = Yv ij. Xqv ij O valor eriódico das vendas (VEN i ) é definido or: VEN i = (Yv ij. Xqv ij ) Num eríodo i, a variação das exisências de um roduo j (VEX ij ) é definida como a diferença enre o valor das quanidades armazenadas desse roduo, no fim desse eríodo, e o valor das quanidades armazenadas, do mesmo roduo, no fim do eríodo anerior (i-). Não se raa ois de uma variação de quanidades mas anes de uma variação de valor, que em are oderá resular da rória variação das quanidades, mas ambém de evenuais alerações de reços enre sucessivos eríodos. Considerando a quanidade exisene do roduo j no fim do eríodo i (Mqs ij ) e a que exisia no fim do eríodo anerior (Mqs i-,j ), ode ser deerminada a variação do valor das exisências (VEX ij ), elo cálculo seguine: VEX ij = Yc ij. Mqs ij Yc i-,j. Mqs i-,j Na exressão anerior, Yc ij reresena o reço de cuso da rodução de uma unidade do roduo j no eríodo i. Ese reço é diferene do reço de venda (Yv ij ), ois não seria correco valorizar a ese reço, um roduo que se enconra armazenado (ainda não vendido). Sendo MEX ij o valor das exisências do roduo j no fim de um eríodo i, a exressão anerior de VEX ij equivale a: VEX ij = MEX ij MEX i-,j Conforme as seguines definições: MEX ij = Yc ij. Mqs ij ; MEX i-,j = Yc i-,j. Mqs i-,j Imora assinalar que, na esruura de acivos do balanço acual, já são incluídos os valores conhecidos das exisências nesse insane. No eríodo seguine, a variação das exisências are do conhecimeno desses valores. Para deerminar o valor das exisências no fim dese eríodo, imora aurar o valor das exisências roduzidas e o das vendidas. Os valores das exisências iniciais são conhecidos, ois já esão incluídos no balanço inicial. Em cada eríodo subsequene, ode-se definir a seguine relação de deendência do valor das exisências relaivamene ao eríodo anerior: MEX ij = MEX i-,j + Yc ij. Xq ij Yc ij. Xqv ij Subsiuindo na anerior exressão de VEX ij, obém-se: VEX ij = Yc ij. Xq ij Yc ij. Xqv ij Para as exisências vendidas, embora o seu reço de venda uniário seja Yv ij, ao valor das exisências armazenadas aenas é subraído o corresondene ao reço de cuso Yc ij. Em cada eríodo i, o valor da rodução de um roduo j (CCR ij ) é deerminado elas quanidades roduzidas (Xq ij ) e elo seu cuso uniário (Yc ij ), da forma seguine: CCR ij = Yc ij. Xq ij Num eríodo i, o cuso eriódico da rodução (CCR i ) é: CCR i = (Yc ij. Xq ij ) Ouros cusos relevanes são as amorizações do imobilizado. São cusos fixos, ao aresenarem esreia correlação com o valor do imobilizado e não com o volume de rodução. Considera-se uma axa média de amorização do imobilizado or eríodo (ai i ). Deermina-se enão, num eríodo i, o monane de amorizações do imobilizado (CAI i ), que resula da incidência daquela axa sobre o valor do imobilizado no eríodo anerior (AIM i- ), conforme a exressão: CAI i = ai i. AIM i- ( 0 ai i ) As amorizações do imobilizado, assim como as rovisões, sendo cusos, são elemenos reduores do resulado e logo do monane da ribuação que sobre ele recai. Mas, ao conrário dos cusos suorados or desesas, as rovisões e amorizações não dão origem a qualquer saída de fundos, elo que o seu monane deve ser acrescido ao Resulado Líquido (RLA), ara deerminação do cash-flow eriódico. Tal como em relação às rubricas do Balanço, os cusos indicados na Demonsração de Resulados, são aresenados de forma significaiva e não roriamene dealhada. Considera-se assim um gruo de desesas, com a designação de Ouros Cusos Fixos (CCF), que inclui os cusos fixos que dão origem a desesas (saídas de fundos), esabelecendo-se uma correlação direca enre o monane desses cusos e o do Acivo Imobilizado.

10 Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições 6. Os cusos fixos esão associados à dimensão da esruura roduiva, indeendenemene do volume de rodução realizado. Embora com alguma simlificação, CCF i ode ser deerminado como uma ercenagem média do valor ajusado do imobilizado, definida elo arâmero cf i, relaivamene consane em cada eríodo. O ajusameno do valor do imobilizado é feio or um coeficiene de reosição física (rf i ). Ese ajusameno visa comensar o efeio de desvalorização do imobilizado, que decorre da sua amorização conabilísica. Também no imobilizado é incluído o que foi adquirido no rório eríodo, que não é sujeio a qualquer coeficiene de reosição física, uma vez que, sendo recene, ainda não sofreu qualquer efeio de amorização. Deermina-se CCF i conforme a seguine exressão: CCF i = cf i. [(+rf i ). AIM i- + Xim i ] ( 0 cf i ; rf i 0) Além dos roveios e cusos oeracionais, oderão exisir ouros roveios e cusos que não decorrem direcamene da acividade roduiva, resulando anes de uma acividade mais roriamene financeira. Embora nada obse a que uma emresa comercial ou indusrial ossa e deva fazer as suas alicações financeiras, não é roriamene esa a sua acividade rincial. Conudo, o financiameno da acividade oeracional assa normalmene elo recurso a fones exernas. Conforme a naureza do financiameno, o lano de endividameno, decorrene do recurso ao crédio, deve ser agendado endo em visa liberar os meios financeiros necessários ara assegurar as amorizações da dívida, al como o serviço da mesma. Assim, no ressuoso de que os ganhos financeiros não são significaivos, aenas resulam relevanes os encargos de financiameno, em aricular os que rocedem do endividameno. Reomando a sequência da Demonsração de Resulados, os juros de emrésimos obidos são deduzidos ao resulado oeracional, ara deerminar o resulado que será sujeio a ribuação, sendo or isso ambém designado de Resulado Anes de Imosos (RAI) ou Lucro Bruo. O monane deses encargos, num deerminado eríodo i (CJE i ), é calculado a arir da incidência de uma axa média, que ode variar enre eríodos consecuivos (je i ), sobre o monane em dívida no eríodo anerior (PDE i- ), de acordo com a seguine exressão: CJE i = je i. PDE i-. O lucro ou Resulado Anes de Imosos (RAI) é aurado aós a dedução de encargos financeiros (CJE i ), não sendo relevanes evenuais correcções fiscais alicáveis. Se RAI não for negaivo, o imoso sobre o resulado aurado (IRA) é calculado ela alicação de uma axa, variável enre eríodos consecuivos (il i ) sobre RAI i. Na siuação de haver rejuízo (RAI < 0), da alicação da axa resularia um imoso negaivo. Nese caso deermina-se o Resulado Tribuável (RTR), de modo que não resule esa ossibilidade. Assim RTR é nulo ara valores não osiivos de RAI, ou é o rório RAI quando ese for osiivo. O monane de imoso (IRT) é enão deerminado conforme a seguine exressão: IRT i = il i. RTR i Em cada eríodo, aós a dedução do imoso sobre os lucros, o lucro bruo dá lugar ao lucro líquido, ou resulado líquido desse eríodo (RLA i ). Conforme a olíica de dividendos, a adminisração decide aribuir, em cada eríodo, uma are dese resulado (RLD i ) aos accionisas (ou, de um modo geral, aos deenores do caial rório), calculada ela alicação de uma axa de disribuição de resulados (dr i ), segundo a seguine exressão: RLD i = dr i. RLA i Imora realçar que, embora seja de eserar que os resulados sejam osiivos, é admissível a ossibilidade de ocorrência de rejuízo, semre que os cusos suorados excedam o oal de roveios. Nese caso, do cálculo de IRA resula um valor negaivo. Em al circunsância, ese valor é raado de forma a ser deduzido ao evenual IRA osiivo de eríodos seguines. Se em sucessivos eríodos resular um rejuízo acumulado, não há lugar ao agameno de imoso. Na circunsância em que o RAI é negaivo, o monane de dividendos resula nulo, elo que a anerior exressão de RLD deixa de ser alicável..4. Resrições de não-negaividade e resrições físicas do rocesso roduivo Todas as variáveis de decisão assumem valores não negaivos e, em aricular, as que reseiam às quanidades (a roduzir ou a vender) assumem valores ineiros, elo que, além das resrições de não-negaividade, em alguns casos ambém são definidas resrições de inegralidade, conforme seguidamene é indicado: - Quanidades a roduzir Xq ij 0 Xq ij é ineiro - Quanidades a vender Xqv ij 0 Xqv ij é ineiro - Monane de endividameno Xde i 0 - Aumeno do caial rório Xk i 0 - Aquisição de imobilizado Xim i 0 - Disonibilidades requeridas Xli i 0 - Resulado Tribuável Xr i 0 (,2,..., ;,2,...,) (,2,..., ;,2,...,) (,2,...,) (,2,...,) (,2,...,),2,...,,2,...,

11 Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições 7. As variáveis financeiras odem ser direcamene condicionadas or limies máximos e/ou mínimos. A exisência de limies absoluos mínimos orna redundanes as corresondenes resrições de não-negaividade, dando lugar a resrições adicionais que reflecem consrangimenos financeiros: financiameno (endividameno ou caiais rórios), ou a sua alicação (imobilizado, liquidez ou ouros acivos). Consideram-se assim os seguines ios de resrições: - Monane de endividameno Mde i Xde i Mde + i i =,2,..., - Aumeno do caial rório Mk i Xk i Mk + i i =,2,..., - Aquisição de imobilizado Mim i Xim i Mim + i i =,2,..., - Nível de líquidez Mli Xli i Mli + i =,2,..., Periodicamene verificam-se as seguines condições: - as quanidades vendidas (Xqv ij ) não deverão exceder as eriodicamene vendáveis (Mqw ij ): Xqv ij Mqw ij ( Mqw ij = Xq ij + Mqs i-,j ) Xqv ij Xq ij + Mqs i-,j Xqv ij Xq ij Mqs i-,j - as quanidades eriodicamene vendidas dos diferenes roduos (Xqv ij ) são sueriormene limiadas elas que se esima que sejam rocuradas (Yqd ij ): Xqv ij Yqd ij A caacidade roduiva deende da esruura de caiais fixos, que em grande medida resula da dimensão do acivo imobilizado afeco ao rocesso roduivo (equiamenos indusriais, máquinas, ferramenas, ec.). A qualidade ecnológica deses equiamenos ode ser um facor deerminane da roduividade. Também a rearação écnica dos funcionários, oerários ou quadros sueriores é deerminane da roduividade, sendo de eserar que a qualidade do caial fixo e a dos recursos humanos (ou caial humano) surjam direcamene associadas. Imora, ara o modelo em consrução, definir o que ode ser assimilado a uma função de rodução, ara o que ensamos ser razoável admiir uma correlação aroximadamene linear, enre o valor real do imobilizado e o limie da caacidade roduiva. Para simlificar a forma como uma função dessa naureza é incororada no modelo, admia-se que aenas é fabricado um roduo. Poderia deerminar-se, com leno uso da caacidade disonível, qual seria a quanidade máxima roduzida desse único roduo. Considerando vários roduos, oderia ser realizada a mesma exeriência ara cada um deles, como se fosse único. As quanidades obidas oderiam enão servir ara deerminar uma relação de conversão enre as diferenes roduções. Nese ono, é adequado inroduzir uma unidade física comum, que ermie quanificar a caacidade roduiva disonível, sendo designada Unidade de Produção Homogénea (uh), que consiui uma medida comum de conversão (h) enre as ossíveis roduções. Como a referência de deerminação da caacidade roduiva é o valor do imobilizado, surge o roblema de não ser adequado uilizar o seu valor conabilísico, or deender das amorizações que conduzem à sua desvalorização eriódica. Se a uilização dos equiamenos conduz ao seu desgase físico, ouras desesas se realizam ara a sua manuenção. Há ois uma reosição da caacidade roduiva, ainda que arcial. Nem mesmo é seguro admiir que a maior roduividade dos equiamenos corresonda à do rimeiro momeno da sua uilização. Pode com uilidade ser reinroduzido o já ciado coeficiene de reosição física (rf i ) ara reavaliar o imobilizado, reflecindo uma dimensão aroximada do seu real valor roduivo. Embora o Acivo Fixo assuma uma ermanência duradoura, que deende da sua vida úil, aresenando uma circulação mais lena na acividade, comaraivamene a ouros acivos (exisências de roduos ou maérias ransformáveis, crédios sobre clienes ou disonibilidades líquidas, ec.), a sua renovação ode ser realizada elo invesimeno na aquisição de equiamenos, o que resula numa variação do seu valor e logo ambém da caacidade roduiva. Considerando que o valor real do imobilizado acual (MIM 0 ) corresonde exacamene ao seu valor conabilísico (AIM 0 ), iso é, MIM 0 = AIM 0, a arir desse momeno, em qualquer eríodo i seguine, o valor real do imobilizado (MIM i ) é definido ela seguine exressão: MIM i = MIM i-. (+rf i ) + Xim i. (+v i ) Nesa exressão é inroduzido um novo coeficiene, designado Taxa de Variação da Produividade (v i ), reseiane ao imobilizado adquirido no eríodo i. É um indicador médio do incremeno da roduividade, associado aos novos equiamenos. Jusifica-se ese raameno, or se eserar que ais equiamenos ossuam caracerísicas ecnológicas que reresenem acréscimos de roduividade. Se iso não aconece, ou seja, caso os novos equiamenos sejam semelhanes aos adquiridos em eríodos aneriores, enão o efeio de v i é nulo. Ese indicador, al como o que reseia à reosição física, é um arâmero do modelo, raando-se de informação écnica, deerminada no âmbio mais esecializado da engenharia da rodução.

12 Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições 8. Sendo feio o ajusameno de AIM i ara MIM i, ode ser calculada a caacidade de rodução, medida em uh s, or uma simles regra de roorcionalidade direca, odendo mesmo ser definido um coeficiene de conversão de MIM em uh, embora al não seja necessário, sendo suficiene considerar uma caacidade inicial conhecida (MIM 0 ). A resrição de uilização da caacidade disonível ode ser redefinida como: (h ij. Xq ij ) ( + rf i ). MIM i- + ( + v i ). Xim i,2,..., ;,2,...,.5. Resrição de igualdade enre origens e alicações de fundos. Conforme a esruura de Acivos e Caiais (Balanço), o Passivo e os Caiais Prórios reresenam as fones de financiameno do Acivo. O mesmo significa que as Origens de Fundos, reresenadas or Passivo e Caiais Prórios, se enconram maerializadas no Acivo. Nese conexo, os diferenes ios de bens do Acivo são Alicações de Fundos. O modelo assena num ermanene equilíbrio enre ambos os lados do Balanço, não havendo Origens de Fundos que não enham uma alicação no Acivo, nem elemenos do Acivo a que não corresonda uma fone de financiameno, considerada no Passivo ou no Caial Prório. Esa corresondência ode não esar idenificada, mas o que verdadeiramene imora é a igualdade eriódica enre os monanes das Origens e Alicações de Fundos, definida ela seguine exressão, de acordo com as comonenes do balanço: ACT i = PAS i + KPR i Esa condição de equilíbrio ode ser dealhada, conforme a seguine igualdade equivalene: AIM i + AEX i + ACI i + ACF i + ACP i + ACC i + ALI i = = KPR i + PDE i + PFI i + PFE i + PSA i + POC i + PIR i + PIL i Seguidamene são definidas as comonenes da esruura de Acivos e Caiais..5.. Comonenes da resrição. O conceio mais oeraivo do Acivo Imobilizado, que é uilizado nese exo, corresonde ao de Imobilizado Líquido (AIM). Segundo esa aceção, o valor bruo do imobilizado, que corresonde ao valor da sua aquisição, deverá ser eriodicamene acualizado ela dedução do corresondene monane de amorizações eriódicas (CAI i ). Neses ermos, o valor conabilísico do imobilizado líquido, em cada eríodo, deende do valor do eríodo anerior, da axa de amorizações e do valor dos novos equiamenos (aquisições no rório eríodo). As amorizações aenas incidem sobre o imobilizado que ransiou de eríodos aneriores. A seguine exressão deermina o valor eriódico do imobilizado: AIM i = AIM i-. (-ai i ) + Xim i Considerando a variável W0 i, al que W0 i = ai i, a exressão de AIM i fica: AIM i = W0 i. AIM i- + Xim i Toda a rodução, realizada no eríodo, ode não ser vendida no rório eríodo, ransiando ara o seguine. Embora se ossa deerminar um razo médio de armazenameno das exisências, referimos uilizar um coeficiene que, de forma equivalene, raduz o monane de exisências armazenadas (ainda não vendidas) no fim de cada eríodo (AEX i ). Para valorizar as exisências, é necessário conhecer o seu valor no início do eríodo, o das exisências vendidas e o do cuso da rodução realizada, segundo a exressão: AEX i = AEX i- + (Yc ij. Xq ij ) (Yc ij. Xqv ij ) Na aquisição de imobilizado (acivos fixos), é suorada uma are de imoso, oseriormene recuerável, exisindo assim um desfasameno emoral. Deermina-se o valor desas desesas (DIM i ), considerando o invesimeno em caial fixo no eríodo (Xim i ) e a axa de imoso que onera os bens adquiridos (im i ), conforme a seguine exressão: DIM i = Xim i. ( + im i ) O imoso suorado nas aquisições de caial fixo (IIM i ) é calculado de acordo com a seguine exressão: IIM i = Xim i. im i Deermina-se seguidamene o crédio de imoso a recuerar (ACI i ) no final do eríodo, que corresonde a uma ercenagem (uci i ) do imoso suorado: ACI i = uci i. IIM i ACI i = uci i. im i. Xim i Considerando a variável W02 i, al que W02 i = uci i. im i, a exressão de ACI i fica: ACI i = W02 i. Xim i Na realização de ouras desesas fixas, é suorada uma are de imoso, oseriormene recuerável, exisindo assim um desfasameno emoral. Podem ser deerminadas esas desesas (DCF i ), considerando o cuso corresondene (CCF i ) e a axa de imoso que onera esses cusos (if i ), de acordo com a seguine exressão: DCF i = ( + if i ). CCF i O imoso suorado nas ouras desesas fixas (ICF i ) é calculado conforme a exressão: ICF i = if i. CCF i

13 Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições 9. Deermina-se seguidamene o crédio de imoso (ACF i ) no final do eríodo, que corresonde a uma ercenagem (ucf i ) do imoso suorado: ACF i = ucf i. if i. CCF i Traduzida em variáveis elemenares, a exressão anerior é equivalene a: ACF i = ucf i. if i. cf i. [( + rf i ). AIM i- + Xim i ] Se, or comodidade, forem definidos os coeficienes sinéicos W03 i e W04 i, ais que: W03 i = ucf i. if i. cf i. (+rf i ) obém-se a seguine exressão de ACF i : W04 i = ucf i. if i. cf i ACF i = W03 i. AIM i- + W04 i. Xim i Na realização das desesas variáveis da rodução, é suorada uma are de imoso oseriormene recuerável, exisindo assim um desfasameno emoral. Podem ser deerminadas esas desesas (DCR i ), considerando o cuso corresondene (CCR i ) e a axa de imoso que onera esses cusos (i i ), de acordo com a seguine exressão: DCR i = ( + i i ). CCR i O imoso suorado nas desesas variáveis da rodução (ICR i ) é calculado de acordo com a seguine exressão: ICR i = i i. CCR i Deermina-se seguidamene o crédio de imoso a recuerar (ACP i ) no final do eríodo, que corresonde a uma ercenagem (uc i ) do imoso suorado: ACP i = i i. uc i. CCR i ACP i = i i. uc i. (Yc ij. Xq ij ) Sendo W05 i = i i. uc i, a exressão de ACP i fica: ACP i = W05 i. (Yc ij. Xq ij ) Nas vendas realizadas há liquidação de imoso, elo que o saldo de clienes, no fim de cada eríodo, é deerminado com referência às vendas ilíquidas de imoso. O monane do imoso sobre as vendas (ISV i ), no eríodo i, resula de alicar uma axa sobre as vendas líquidas do eríodo (iv i ), de acordo com a seguine exressão: ISV i = iv i. VEN i. Como a cobrança das vendas aresena normalmene um diferimeno emoral, ode ser calculado um razo médio de recebimeno das vendas. Oamos conudo or considerar que, de forma equivalene, é esimado, em cada eríodo, um coeficiene de deerminação (unr i ) do monane das vendas (VIL i ) ainda não recebidas no fim desse eríodo. Sendo VIL i = VEN i. ( + iv i ) deermina-se o saldo de clienes ( ACC i ) no fim do eríodo i, conforme a seguine exressão: ACC i = unr i. VIL i ACC i = unr i. ( + iv i ). VEN i ACC i = unr i. ( + iv i ). (Yv ij. Xqv ij ) Definindo W06 i = unr i. (+iv i ), a exressão de ACC i fica: ACC i = W06 i. (Yv ij. Xqv ij ) Conforme a condição de equilíbrio enre Origens e Alicações de Fundos, o valor dos acivos de liquidez elevada e imediaamene disoníveis (ALI), é o equivalene à disonibilidade financeira de caiais, deois de realizada a coberura de odos os resanes acivos. É definida uma variável de decisão ara o monane de disonibilidades (Xli i ): Xli i = ALI i Como já foi referido, odem ser consideradas resrições ara assegurar limiares, mínimo (ALI i ) e/ou máximo (ALI + i ) ara as disonibilidades, iso é: 0 ALI i Xli i ALI i + A conracção de emrésimos (Xde i ) incremena a dívida, mas eriodicamene esa é reduzida elos agamenos desinados à sua amorização. A dívida acumulada, no fim de cada eríodo (PDE i ), resula do valor ransiado do eríodo anerior (PDE i- ), dos incremenos resulanes de novos emrésimos (Xde i ) e das reduções corresondenes aos agamenos de amorização (DDE i ), conforme a exressão: PDE i = PDE i- + Xde i DDE i A desesa de amorização é deerminada or um arâmero, designado coeficiene médio de amorização de emrésimos (ude i ). Ese arâmero ode resular de ouros facores, como as condições e cláusulas de negociação dos emrésimos. Aqui aenas ineressa considerar o coeficiene que, indeendenemene da forma como foi obido, é uma ercenagem média da dívida acumulada dos eríodos aneriores, que é amorizada no eríodo. A amorização da dívida ode enão ser definida or: DDE i = ( PDE i- + Xde i ). ude i ( 0 ude i ) A dívida resulane, no fim do eríodo, ode ser enão redefinida ela exressão seguine: PDE i = ( PDE i- + Xde i ). ( ude i ) ou a seguine, considerando W07 i = ude i PDE i = W07 i. PDE i- + W07 i. Xde i

14 Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições 0. Como em ouras desesas, o agameno das aquisições de imobilizado ode ser diferido, do que resula um débio (PFI i ) no fim do eríodo, cujo valor é uma ercenagem (ufi i ) dessas desesas, aneriormene deerminadas, (DIM i ): DIM i = ( + im i ). Xim i Assim PFI i ode ser definido or: PFI i = DIM i. ufi i PFI i = ufi i. ( + im i ). Xim i (ufi i ) ou, considerando W08 i = ufi i. ( + im i ), ela seguine exressão: PFI i = W08 i. Xim i Analogamene deermina-se o saldo de fornecedores de exisências (PFE i ) como uma ercenagem média (ufe i ) das desesas variáveis (DCR i ), já aneriormene deerminadas: DCR i = CCR i. ( + i i ) Assim PFE i ode ser definido or: PFE i = DCR i. ufe i PFE i = CCR i. ( + i i ). ufe i ou ainda, PFE i = ufe i. ( + i i ). (Yc ij. Xq ij ) ou, sendo W09 i = ufe i. ( + i i ), ela seguine exressão: PFE i = W09 i. (Yc ij. Xq ij ) Com rocedimeno idênico aos aneriores, deermina-se a dívida a ouros credores (POC i ) como uma ercenagem média (uoc i ) das desesas fixas (DCF i ), já deerminadas: DCF i = CCF i. ( + if i ) Assim POC i ode ser definido or: POC i = DCF i. uoc i ou, de forma equivalene: POC i = CCF i. ( + if i ). uoc i POC i = uoc i. cf i. ( + if i ). [( + rf i ). AIM i- + Xim i Uilizando as seguines variáveis ara simlificação: W0 i = uoc i. cf i. ( + if i ). ( + rf i ) W i = uoc i. cf i. ( + if i ) A exressão de POC i fica: POC i = W0 i. AIM i- + W i. Xim i Como já foi referido, nas vendas oderá haver lugar à liquidação de imoso (ISV i ). A receia das vendas foi aneriormene deerminada, conforme a seguine exressão: ISV i = iv i. VEN i A ocorrência de um diferimeno emoral, enre o fim do eríodo e o momeno da enrega do imoso liquidado, deermina uma dívida de imoso sobre vendas (PIL i ), que ode ser considerada como uma ercenagem média (uil i ) de ISV i, conforme a exressão que se segue: PIL i = uil i. ISV i PIL i = uil i. iv i. VEN i Subsiuindo VEN i e fazendo W2 i = uil i. iv i, obém-se: PIL i = W2 i. (Yv ij. Xqv ij ) Quando os resulados da acividade, aós encargos financeiros (RAI i ), são osiivos, sobre o seu valor incide uma axa (il i ), que deermina o imoso sobre o resulado aurado no eríodo (IRA i ). Considerando que o resecivo agameno em lugar no eríodo seguine, o imoso a agar (PIR i ) é devido no final do eríodo a que se reora. Se não for gerado lucro num dado eríodo, ocorrendo rejuízo (valor negaivo de RAI i ), não há dívida de imoso nesse eríodo, elo que PIR i é nulo. Conudo o rejuízo ode ser reorado ao eríodo seguine e desconado a evenuais resulados osiivos de eríodos uleriores (). Face à ossibilidade de ocorrência de rejuízo, imora disinguir Resulado Anes de Imosos (RAI) de Resulado Tribuável (RTR). A qualquer valor negaivo de RAI i corresonde um RTR i nulo. Nesas circunsâncias, o cálculo do Imoso sobre o Resulado Aurado (IRA i ), alicando uma axa de imoso (il i ) sobre RAI i, deermina valores negaivos, enquano o Imoso sobre o Resulado Tribuável (IRT i ) é nulo, ao alicar a mesma axa sobre RTR i. RAI i 0 RTR i = RAI i IRA i = il i. RAI i = il i. RTR i = IRT i RAI i < 0 RTR i = 0 IRA i = il i. RAI i < 0 IRT i = 0 Embora a ocorrência de rejuízos não seja roriamene uma siuação aíica, sobreudo quando se realizam invesimenos avulados, com elevados cusos fixos ou com reduzidas margens bruas de venda, a consideração e o dealhe de ossíveis esecificidades, de âmbio fiscal, ode dar origem a alguma comlexidade no rocesso de formulação. Sendo RAI a diferença enre roveios e cusos, iso é: RAI i = VEN i + VEX i CCR i CAI i CCF i CJE i ou, desagregando em comonenes elemenares: RAI i = [( Yv ij Yc ij ). Xqv ij ] cf i. Xim i W3 i. AIM i- je i. PDE i- Conforme o regime fiscal em vigor o ermia, a ocorrência de rejuízos ode ser reorada a eríodos uleriores, a deduzir a evenuais resulados osiivos desses eríodos. Conudo, na formulação do modelo em consrução, esa hióese não é considerada, o que oderia aumenar subsancialmene a comlexidade da formulação.

15 Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições. Nesa exressão de RAI, foi inroduzido o coeficiene W3 i, definido como: W3 i = ai i + cf i. ( + rf i ) Deermina-se o Resulado Tribuável (RTR i ), resolvendo o seguine roblema linear, onde Xr i é uma variável auxiliar ara deerminar PIR i : RTR i = Min Xr i s.a: Xr i RAI i e Xr i 0 A dívida de imoso (PIR) é deerminada como uma fracção de RTR, uilizando a axa de imoso sobre lucros (il), conforme a seguine exressão de cálculo: PIR i = il i. RTR i PIR i = il i. Xr i Deermina-se o monane de resulados a disribuir a sócios e/ou accionisas (PSA), como comonene do assivo do Balanço, que corresonde exacamene ao valor dos dividendos, deerminado na Demonsração de Resulados (RLD), iso é: PSA i = RLD i Tal como PIR i, a comonene PSA i ode ser definida em função de RTR i, como se segue: PSA i = W4 i. RTR i PSA i = W4 i. Xr i onde W4 i = dr i. ( il i ) O Caial Prório (KPR) ode ser decomoso em várias subrubricas: Caial Subscrio, Reservas de Caial, Resulados Líquidos Reidos de eríodos aneriores, ec. O Caial Subscrio reresena a soma das ariciações dos iulares do Caial Prório, odendo assumir geralmene duas formas: acções ou quoas. O Caial Subscrio ode sofrer variações no monane, como resulado de: - subscrição de novas quoas ou acções, resulando em acréscimo líquido do Caial Prório; - incororação de Reservas de Caial no Caial Subscrio: raa-se de uma ransferência enre rubricas de caial, não havendo acréscimo líquido do Caial Prório. O efeio da incororação de reservas valoriza o Caial Subscrio, o que ode gerar novos aumenos de Caial Subscrio, se essa efecivamene for uma finalidade. A remuneração do Caial Subscrio é realizada ela disribuição de Resulados Líquidos (dividendos), discriminada na Demonsração de Resulados com a noação RLD, sendo efecivamene um cuso do caial rório. A are não disribuída dos Resulados Líquidos, resula em auofinanciameno, que ode ser acumulada em Reservas de Caial. Os dividendos são deerminados ela incidência de uma axa de disribuição de resulados (dr) sobre o monane dos Resulados Líquidos. A deerminação desa axa é da exclusiva resonsabilidade da Adminisração. Sendo o Caial Subscrio maerializado em acções coadas e ransaccionáveis no mercado de caiais, a variação das suas coações ode reflecir-se no rório valor da emresa. As variações do Caial Subscrio são um io de variável de decisão, consiuindo uma fone exerna de financiameno de que a rória emresa se orna iular, conrariamene aos emrésimos obidos, que se consiuem em dívida, como uma forma de Passivo. As Reservas de Caial são fundos de caial rório que não reverem em Caial Subscrio. Podem resular de imosição legal, da obediência a normas consanes dos esauos da emresa, de comromissos conraualmene assumidos, de deerminadas caegorias de subsídios ou de fundos genericamene consiuídos, de modo faculaivo, conforme deliberação de assembleias de sócios ou accionisas. Nese bolo são incluídos, de forma cumulaiva, os Resulados Líquidos não disribuídos (RRA) em eríodos aneriores (2). Nesas circunsâncias, simlifica-se a deerminação de KPR i num agregado, de acordo com a seguine exressão: KPR i = KPR i- + RRA i + Xk i A variável de decisão Xk i reresena o aumeno de caial (Xk i 0), que não deende da acumulação de RAI, em sucessivos eríodos. De forma auónoma, Xk i resula do aumeno do Caial Subscrio ou das rórias Reservas de Caial. Quano às ouras arcelas, KPR i- é o monane de Caiais Prórios ransiado do eríodo anerior. O Resulado Reido (RRA i ) corresonde ao Auofinanciameno, obido or dedução dos dividendos (RLD i ) ao Resulado Líquido Aurado (RLA i ), sendo definido or: RRA i = RLA i RLD i onde RLD i = dr i. RLA i Por simlificação, não consideramos a evenual reavaliação de ceros acivos fixos, o que daria origem à consiuição de reservas de reavaliação, admiindo que a esabilidade do nível geral de reços não inerfere nessa reavaliação. Considerando as aneriores definições de RLA i e RTR i, RRA i ode ser enunciado como: RRA i = ( il i dr i + il i. dr i ). RTR i RRA i = W5 i. RTR i (W5 i = il i dr i + il i. dr i ) A exressão de KPR i ode enão ser definida como: KPR i = KPR i- + W5 i. RTR i + Xk i A seguine exressão equivalene de KPR i é uilizada ara maior facilidade de formulação: 2 A enumeração dos diferenes ios de reservas de caial rório, enconra-se aliás enunciada nos lanos de conabilidade comuns, como o Plano Oficial de Conabilidade (22ª edição). Veja-se a ese roósio as considerações em Borges e al. [998] ágs ou em Borges e al. [997] ágs

16 Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições 2. KPR i = KPR i- + RAI i W6 i. Xr i + Xk i (onde W6 i = W5 i ) Seguidamene a exressão anerior é desagregada nas suas comonenes elemenares: KPR i = [(Yv ij Yc ij ). Xqv ij ] cf i. Xim i + Xk i W6 i. Xr i W3 i. AIM i- je i. PDE i- + KPR i Formulação da resrição. O senido original desa resrição esá de acordo com a seguine exressão: AIM i + AEX i + ACI i + ACF i + ACP i + ACC i + ALI i = = PDE i + PFI i + PFE i + PSA i + POC i + PIR i + PIL i + KPR i Cada arcela desa igualdade deve ser decomosa nas suas comonenes elemenares, aresenadas na secção anerior, e recomosa ara ober uma exressão a inegrar na formulação geral do modelo. Aós as necessárias recomosições algébricas, e raando-se de uma resrição exensa, a igualdade enre origens e alicações de fundos é simlificada ela definição de variáveis de agregação de indicadores, a seguir aresenadas: W7 ij = ( + W05 i W09 i ). Yc ij W8 ij = (W06 i W2 i ). Yv ij W9 i = + W02 i + W04 i W08 i W i + cf i W20 i = W0 i W03 i + W0 i W3 i Esa consaação faz odo o senido, aendendo a que o decremeno de KPR, or via de RAI, corresonde exacamene à are de RAI (semre que ese é osiivo) uilizada ara agameno de imoso sobre o resulado (PIR) ou ara disribuição de lucros aos sócios/accionisas (PSA)..6. Resrição ara deerminação do Resulado Tribuável (RTR) Numa inerreação resria, a não-negaividade de RTR, raduz-se na resrição Xr i 0. Todavia esa resrição esá necessariamene associada a uma oura, de cariz funcional, a que já se fez referência: Xr i RAI i Se esa resrição funcional for saisfeia, sem garania do ressuoso de não-negaividade de Xr, enão RTR oderia assumir valores negaivos. Como, or definição, RTR é uma grandeza absolua, as duas condições devem ser simulâneas. Mas no caso de RAI ser não negaivo, a não-negaividade de Xr orna-se redundane. Todavia, nese caso, ambém Xr não deverá exceder RAI, condição que, como se disse, só é admissível caso RAI assuma valores negaivos. Por esa razão, definiu-se no ono.5. o sub-roblema que minimiza Xr, sujeio às duas resrições aneriores. Como ese sub-roblema deve ser incororado no modelo, as funções-objecivo enquadram a variável Xr afecada or um coeficiene quase oalmene nulo (arâmero de ínfima erurbação: 'ε'), como será ilusrado no ono.7. Só nesa condição, ode enão ser inegrada a segunda resrição, na formulação geral do roblema, seguidamene dealhada nas suas comonenes elemenares: (W22 ij. Xqv ij ) cf i. Xim i Xr i W3 i. AIM i- + je i. PDE i- (W22 ij = Yv ij Yc ij ) W2 i = W07 i je i De forma sinéica, obém-se a seguine resrição de igualdade enre origens e alicações: (W7 ij. Xq ij ) + (W8 ij. Xqv ij ) + W9 i. Xim i W07 i. Xde i Xk i + Xli i = = W20 i. AIM i- AEX i- + W2 i. PDE i- + KPR i- Nesa exressão final generalizada da resrição de igualdade enre origens e alicações de fundos, não figura a variável de decisão Xr, orque o coeficiene que lhe seria associado é nulo. Poder-se-ia adiar ao rimeiro membro a arcela deendene de Xr, definida or: (W6 i W4 i il i ) Xr i, onde se verifica semre que, em qualquer eríodo i: W6 i W4 i il i = 0.7. Definição das funções-objecivo No modelo são considerados rês objecivos que, se não são muuamene indeendenes, são conudo claramene concorrenes, uma vez que, ara deerminados níveis de desemenho, o incremeno na escala de um criério reresena necessariamene o decremeno na escala dos ouros dois. As corresondenes fuções-objecivo são as seguines: - Função de Cash-Flow acualizado, inerreável como indicador absoluo da renabilidade; - Função linear de acualização das vendas, líquidas de imoso, como indicador do nível de acividade, indeendenemene da renabilidade corresondene; - Função de acualização da Solvabilidade: ara avaliar a caacidade de maner, de forma susenável, a segurança financeira de médio/logo razo. À semelhança do que foi feio relaivamene aos diferenes ios de resrições, aresena-se seguidamene, de modo fundamenado, a consrução de cada um deses criérios.

17 Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições Acualização do Cash-Flow A base de deerminação do Cash-Flow Bruo é o Resulado Anes de Imosos (RAI i ), enquano ara o Cash-Flow Líquido (RCF i ) é o Resulado Líquido (RLA i ), deerminado aós a dedução de encargos financeiros de financiameno e imosos sobre lucros. Face a um Resulado Líquido osiivo, ode haver disribuição de resulados (dividendos), o que daria lugar ao conceio de Cash-Flow reido, que eria or base o monane de Auofinanciameno (RRA i ). Traando-se de aroximações do Cash-Flow e não cuidando de uilizar uma definição ideal, o Cash-Flow eriódico (RCF i ) uilizado é calculado ela soma das amorizações do imobilizado (CAI i ) com as rovisões eriódicas e deduzindo a variação de exisências (VEX i ). Aendendo a que as rovisões eriódicas não são aqui valorizadas, são adoadas as seguines exressões ara RCF, que são equivalenes: RCF i = RAI i + CAI i VEX i RCF i = VEN i CCR i CCF i CJE i Cada uma desas exressões é suficienemene geral ara abranger os conceios de Cash-Flow aresenados, basando, no conexo do modelo e conforme a conveniência, anular ou não as axas ou coeficienes que ermiem deerminar o monane de imosos ou de dividendos. Na rimeira exressão figura adicionalmene uma arcela a deduzir, que corresonde ao valor da variação de exisências (VEX i ). Se a abordagem do conceio de Cash-Flow fosse esriamene orienada or uma óica de esouraria, nem mesmo seria considerada a receia não cobrada das vendas ou, em fluxo de sinal conrário, ambém não seria considerado o agameno endene de cusos suorados, orvenura resulane de crédio correne de fornecedores, o que revereria em favor do cash-flow aé à sua consumação. Não é seguida esa óica, ois ode evenualmene disorcer a leiura da lógica de renabilidade que subjaz à deerminação do cash-flow. Por ouro lado, ode nauralmene exisir uma comensação de fluxos de sinal conrário: o crédio de fornecedores é comensado elo crédio a clienes, ainda que de forma não necessariamene equivalene, mas cujas diferenças não relevam ara o objecivo essencial da análise de renabilidade. Para o conjuno dos eríodos, com o dealhe das suas comonenes, o valor correne (não acual) de RCF, virá conforme a seguine exressão (onde W23 i = cf i. ( + rf i )): RCF = (Yv ij. Xqv ij ) (Yc ij. Xq ij ) (cf i. Xim i ) (W23 i. AIM i- ) (je i. PDE i- ) (ε Xr i ) Noa: o arâmero ε reresena um valor absoluo muio róximo de zero (ε 0). Quano à acualização de RCF i, ela em or referência um coeficiene que reflece a remuneração definida num mercado de caiais eficiene (ck i ), sendo admiida como um arâmero exógeno, logo não induzida elo modelo, que oderia ser assimilada à axa de juros dos emrésimos obidos, embora al não seja necessário. Oura hióese assaria or aceiar o cuso de oorunidade do caial, deerminado no âmbio do modelo. A oção or um valor exerno facilia a simulação da viabilidade do invesimeno, em qualquer momeno, o que ode não er corresondência com as axas de juros de emrésimos obidos, normalmene mais rígidas, embora derivem da axa de referência do mercado de caiais, que aresena fluuações mais sensíveis. O coeficiene de acualização (ak i ), num qualquer eríodo i, ode enão ser definido como: ak ( + ck ) = i No úlimo eríodo ( ) da análise, imora acrescer o rório valor acual do Acivo (ACT ), uilizando o coeficiene de acualização ak. A acualização dese agregado ode não ser a mais adequada. A ráica correne recomenda a acualização do valor residual dos equiamenos. No conexo da exensão dese modelo, iso ode ornar-se numa via sinuosa, não sendo necessariamene rovido de rigor o cálculo do valor residual. Esa ossibilidade é reforçada ela hióese, embora não admiida (3), de que a emresa semre oderá ransaccionar os bens do rório imobilizado, em diferenes eríodos, que não necessariamene no momeno erminal. Neses ermos é a seguir aresenada uma função de Valor Acual Líquido (VAL) ajusada: VAL = ACT 0 i RCF i ACT + + n i = ( + ck ) ( + ck i) i = i Imora realçar que, na função ajusada do VAL, o Cash- Flow erminal (RCF n ) é incluído no Acivo (ACT n ), o que jusifica não ser incluído na soma dos cash-flows eriódicos. Embora seja recomendável o uso do VAL como funçãoobjecivo, a sua formulação orna-se subsancialmene comlexa, quando decomosa em ermos de variáveis de decisão, aricularmene ela dificuldade em incororar na formulação a acualização de ACT. 3 A menos que sejam consideradas vendas de imobilizado, no âmbio do laneameno da acividade. Conudo esa hióese não é enquadrada no escoo da acividade oeracional.

18 Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições 4. Surge enão mais exedio o uso da soma dos Cash- Flows eriódicos (RCF i ) acualizados, sendo a oseriori calculado o monane do VAL, adoando como ressuoso a não disorção do senido do resulado, conforme se considere ou não a inclusão de ACT 0 e ACT. Adoa-se assim como criério a seguine função da acualização dos Cash-Flows eriódicos: Max i ( + ck ) RCF Conrariamene ao que aconecia na anerior exressão do VAL, o Cash-Flow do eríodo erminal vem agora incluído no somaório. Definindo Z0 a função-objecivo que maximiza RCF, Z0 é seguidamene formulada na sua forma mais exensa (com o dealhe de RCF): RCF máx = Max Z0 Z0 = (uck i.yv ij. Xqv ij ) (uck i. Yc ij. Xq ij ) i (uck i. cf i. Xim i ) (uck i. W23 i. AIM i- ) (uck i. je i. PDE i- ) (ε Xr i ) (Onde uck i = ( + ck i ) - ).7.2. Função de acualização das Vendas Um ouro criério, a inegrar na formulação, reresena o monane das vendas, líquido de imosos (VEN i ), como figura na Demonsração de Resulados. Pode-se dizer que, nese caso, aenas ineressa facurar a qualquer cuso, não relevando a quesão da margem obida. Iso ode nauralmene conduzir a renabilidade de curo razo a níveis mais reduzidos, o que não é necessariamene conraroducene face à ossibilidade de exansão do nível da rocura em eríodos oseriores, o que remee ara ouro io de quesões, mais relacionadas com o âmbio da comeiividade ou esraégias concorrenciais. À semelhança do cash-flow, ambém aqui é clara a oção or acualizar os fluxos da receia eriódica das vendas. A formulação da corresondene função-objecivo é basane simlificada, aendendo a que, nese caso, aenas as variáveis de decisão sobre quanidades a vender (Xqv ij ), odem assumir coeficienes não-nulos na referida função. VEN = {[ ( + ck i ) - ]. VEN i } Sendo Z02 a função-objecivo que maximiza VEN, ode esa ser definida como a soma acualizada das vendas eriódicas, seguidamene formulada: VEN máx = Max Z02 Z02 = [uck i. (Yv ij. Xqv ij )] (ε Xr i ).7.3. Função de acualização da Solvabilidade Ouro criério, a inegrar na formulação, reresena o nível de solvabilidade e/ou endividameno. O endividameno (Xde i ) é uma fone de financiameno que consise no recurso a Caiais Alheios, normalmene obidos or emrésimos (PDE i ), em diferenes modalidades ossíveis, mas que reresenam débios a médio/longo razo. Como já foi mencionado, eses emrésimos são remunerados eriodicamene elo agameno de juros (CJE i ), segundo uma axa (je i ). Eses emrésimos são eriodicamene amorizados (DDE i ), conforme uma axa média de amorização eriódica (ude i ). Ouras fones de financiameno, irrelevanes ara ese criério, resulam dos crédios de cona correne, obidos de fornecedores (PFI i, PFE i, POC i ) ou do Esado (PIR i e PIL i ), or razos relaivamene curos e, or ouro lado, aresenam um conrabalanço em ermos de Acivos Circulanes (AEX i, ACI i, ACF i, ACP i, ACC i ). O que agora verdadeiramene imora é avaliar a susenabilidade do endividameno a médio e longo razo, não cuidando do financiameno dos asecos funcionais da acividade correne, que em grande medida assena na gesão de curo razo de Caiais e Acivos Circulanes. É ambém relevane esabelecer uma comaração enre caiais rórios e endividameno, ara ober uma deerminada esruura financeira, o que ermie analisar a relação enre diferenes objecivos. Referem-se a ese roósio as seguines considerações: - Se KPR e PDE forem muuamene conivenes, o que aconece na deerminação do Fundo de Maneio (FM), definido como diferença enre a soma daqueles agregados e o Acivo Imobilizado (FM = KPR + PDE AIM), a maximização de FM (ouro evenual criério) induziria o recurso a ambas as fones de financiameno. Já o criério da solvabilidade coloca KPR e PDE em concorrência, o que ode fazer variar eses agregados em senido inverso (uma relaivamene ao ouro), iso é: - aumena a solvabilidade com o incremeno de KPR e a redução de PDE ; - diminui a solvabilidade com a redução de KPR e o incremeno de PDE.

19 Esruuração do modelo: Variáveis, Criérios e Resrições O aumeno da solvabilidade ode ambém reresenar redução dos encargos financeiros de financiameno (CJE), o que admie o aumeno de RAI e logo ambém de RLA e VAL, acrescendo o eso da carga fiscal (aseco enalizador do recurso exclusivo a caiais rórios); 3- O criério da Solvabilidade ode ser mais resriivo do que o Fundo de Maneio, relaivamene ao financiameno da acividade, ois enquano ese favorece o aumeno de KPR e PDE, o rimeiro coloca eses agregados em conflio; 4- Da esria minimização do nível de endividameno (PDE), oderia simlesmene resular a sua anulação, elo que a acividade oderia ser exclusivamene financiada a arir de Caiais Prórios (KPR i ), ou aumenando a sua doação (Xk i ), o que oderia enalizar a caacidade de financiar um ciclo de maior exansão da acividade. Pelo conrário, um elevado nível de endividameno ambém ode resular em maior dificuldade na solvência de comromissos, o que resula agravado, em ciclos de acividade recessivos. Uma função adequada ara definir o criério de solvabilidade (RKP), consise na maximização da soma acualizada, ara o conjuno dos eríodos, da diferença enre o monane de Caiais Prórios (KPR i ) e o nível de Endividameno (PDE i ), conforme a exressão seguine: RKP = {[ ( + ck i ) - ]. KPR i [ ( + ck i ) - ]. PDE i } Sendo Z03 a função-objecivo que maximiza RKP, ode esa ser definida como a soma acualizada das diferenças eriódicas enre KPR i e PDE i, seguidamene dealhada: Z03 i = RKP máx = Max Z03 (uck i. W22 ij. Xqv ij ) (uck i. cf i. Xim i ) (uck i. W07 i. Xde i ) + (uck i. Xk i ) (uck i. W6 i. Xr i ) (uck i. W3 i. AIM i- ) (uck i. W24 i. PDE i- ) + (uck i. KPR i- ) ( W24 i = W07 i + je i ).7.4. Considerações sobre os criérios uilizados Observa-se que qualquer função-criério é linear, uma vez que o io de roblema assim o deermina. Seria alvez mais adequado avaliar cada criério, em aricular a solvabilidade, em ermos do seu eso relaivo, ou seja, em lugar de avaliar uma diferença de monanes moneários, orque não uilizar uma raio enre essas grandezas? Poderia assim falarse em solvabilidade relaiva. O io de roblema seria ouro, evenualmene não linear, devido à não linearidade da função-criério. Esa leiura ambém é alicável à renabilidade definida elo VAL, mais concreamene a imorância relaiva do VAL face ao monane de invesimeno. Vários indicadores financeiros êm em aenção o io de análise esruural, em que o eso de um agregado financeiro é deerminane da avaliação da liquidez ou solvabilidade, ou da rória renabilidade. Ese io de análise ode revelar-se falacioso, quando os monanes são comarados em conexos de avaliação esruuralmene diferenes. Para ilusrar esa falácia, admia-se a uilização da Solvabilidade, cujo monane resula de uma infinidade de diferenças enre Caiais Prórios e Endividameno. Em ermos relaivos, esse valor corresonde a raios ano mais elevados, quano mais reduzida é a dimensão da esruura roduiva. Por hióese absurda, o indicador ende ara infinio, no caso em que quase não exisa endividameno, ou seja, a máxima elevação do indicador relaivo conduz à erradicação da ossibilidade de recurso ao endividameno, do que oderia resular a conracção da acividade, com revisíveis danos na renabilidade absolua ou relaiva. Por ouro lado, ao maximizar a diferença absolua, ode resular o efeio reverso, i.é, a aroximação esruural das duas grandezas, o que conduz a um maior risco financeiro, qual efeio de alavanca, subjacene à exansão da acividade. Embora aumene a diferença, ela é gradualmene ouco exressiva face à maior dimensão do menor agregado. Pode ser ineressane analisar os indicadores esruurais, aenas servindo como ferramena de aoio na consrução da esruura de referências do decisor, ermiindo orienar o evenual rade-off, íico de uma análise iner-criério. Ouros objecivos oderiam ser considerados: minimização do cuso de uilização do caial, avaliação do risco dos acivos ou do fundo de maneio, valorização dos acivos da emresa no mercado, ou ouros, nomeadamene de âmbio social. Poderia conudo surgir a dificuldade de esabelecer uma esreia relação de deendência da função-criério relaivamene a variáveis de decisão adequadas a ouros objecivos, ou assumir novas variáveis de decisão ara um criério esecífico, mas irrelevanes ara os ouros criérios. No criério das vendas duas siuações odem ocorrer: - o máximo de vendas corresonde à rocura, se a esruura roduiva é suficiene ara ober a quanidade que, somada à exisência armazenada, saisfaz aquele nível. - o máximo das vendas é inferior à rocura, se a esruura roduiva não é suficiene ara ober a rodução que, somada à exisência armazenada, saisfaz a rocura. Pode daqui resular relevane deerminar qual a dimensão da esruura roduiva mais adequada à quoa de mercado da emresa. Ao resonder a esa quesão, surgem necessariamene ouras, como as que dizem reseio ao invesimeno e corresondene financiameno.

20 5 2. Uilização do algorimo LinearTri ara classificação de soluções Uma vez formulado o modelo geral de laneameno financeiro, surge o momeno adequado ara submeer ese modelo a um rocesso de validação, uilizando um exemlo numérico, que consiui uma insância do rório modelo. Preende-se enão ober um conjuno de soluções nãodominadas, que serão classificadas de acordo com o méodo 'Elecre Tri essimisa' (Yu [992] e Roy e al. [993]). Para realizar a imlemenação comuacional do méodo Elecre Tri essimisa, foi uilizada a alicação Linear Tri (4) (Lourenço [2000]), onde o roblema foi inicialmene formulado, ara seguidamene se roceder à esquisa e classificação ineraciva das soluções. Acivo ACT 0 000,00 Imobilizado líquido AIM 7 200,00 Exisências de roduos AEX 950,00 Crédios de imoso - Aquisições de imobilizado ACI 420,00 - Ouras desesas fixas ACF 280,00 - Desesas variáveis da rodução ACP 0,00 Crédios sobre Clienes ACC 0,00 Liquidez imediaa ALI 50, Aresenação de um exemlo numérico É inicialmene conhecida a siuação financeira acual de uma emresa ou unidade económica, que é aresenada na forma de Balanço (Esruura de Acivos e Caiais), conforme a figura 3. No quadro da figura 4 aresenam-se os coeficienes rimários, de cuja ineracção resulam os coeficienes comosos da figura 5. Caial Prório KPR 4 000,00 Passivo PAS 6 000,00 Dívida de Emrésimos PDE 4 000,00 Fornecedores de imobilizado PFI 600,00 Fornecedores de exisências PFE 400,00 Sócios e/ou accionisas PSA 0,00 Ouros credores POC 0,00 Débios de imoso - Dívida de imoso sobre resulados PIR 0,00 - Dívida de imoso liquidado nas vendas PIL 0,00 Figura 3 Esruura Inicial de acivos e caiais (Balanço acual) Coefic. Simles Períodos 2 3 Coefic. Simles Períodos 2 3 Mde Mk Mim Mli Mli Mqs0A 50 Mqs0B 50 Mqs0C 50 ai 20% 20% 20% cf 25% 25% 25% ck 0% 0% 0% dr 20% 20% 20% if 5% 5% 5% il 25% 25% 25% im 5% 5% 5% i 5% 5% 5% iv 5% 5% 5% je 0% 0% 0% rf 25% 25% 25% ha hb hc v 0% 0% 0% ucf 25% 25% 25% uci 25% 25% 25% uc 25% 25% 25% ude 25% 25% 25% ufe 0% 0% 0% ufi 0% 0% 0% uil 25% 25% 25% unr 5% 5% 5% uoc 0% 0% 0% YcA 3,0 3,0 3,0 3,0 YcB 7,0 7,0 7,0 7,0 YcC 9,0 9,0 9,0 9,0 YvA 0,0 0,0 0,0 0,0 YvB 2,0 2,0 2,0 2,0 YvC,0,0,0,0 YqdA YqdB YqdC Figura 4 Esruura de indicadores rimários. 4 Alicação desenvolvida or Rui Pedro Lourenço e João Paulo Cosa, inegrada na ese de mesrado, de que são auor e orienador: 'Algorimo Ineracivo ara Classificação de Soluções Não-Dominadas em Programação Linear Ineira Muli-Objecivo' (Lourenço [2000]).