UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS VIA REDES DE PETRI ESTOCÁSTICAS: APLICAÇÃO EM MINERAÇÃO CESAR MONTEIRO RIBEIRO BELO HORIZONTE - MG JUNHO/205

2 CESAR MONTEIRO RIBEIRO MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS VIA REDES DE PETRI ESTOCÁSTICAS: APLICAÇÃO EM MINERAÇÃO Disseração aresenada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elérica do Dearameno de Engenharia Elérica da Universidade Federal de Minas Gerais como requisio arcial ara a obenção do grau de Mesre em Engenharia Elérica. Orienador: Dr. Adriano Chaves Lisboa Coorienador: Prof. Dr. Carlos Andrey Maia Belo Horizone Junho de 205

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4 Agradecimenos A minha esosa Camila elo amor e comreensão. A minha lha Clarice ainda equena foi minha colega nos esudos. Agradeço a oda a minha família elo carinho e incenivo. Ao meu orienador Adriano ela sua aciência, disonibilidade e as consanes aulas de rogramação. Ao rof. Carlos Andrey, meu coorienador, elo incenivo e aoio. Ao rof. Rodney, ao Douglas elo incenivo. Aos colegas Robero e Arlindo elos conhecimenos comarilhados. v

5 Resumo Alguns rocessos oeracionais de ambienes roduivos são caracerisicamene comlexos, rincialmene devido à sua naureza dinâmica que muda seu esado ao longo do emo e à sua naureza esocásica que é deerminada or variáveis com incereza associada. Um sisema a evenos discreos é um sisema dinâmico que evolui com a ocorrência de evenos em inervalos de emo em geral irregulares e inceros, se mosrando adequado ara modelar rocessos oeracionais. Denre as écnicas de sisema a evenos discreos, as redes de Peri se aresenam como uma forma elegane de modelagem, cuja simulação é simles e direa, além de ossuírem esecicação formal bem esabelecida e serem largamene difundidas. São indicadas ara modelagem de sisemas que enham aividades aralelas, concorrenes, assíncronas e não deerminísicas. Nese rabalho, os conceios de redes de Peri foram uilizados ara modelar e simular os rocessos de oerações de carregameno e ransore ara uma mina a céu abero. Foram desenvolvidos 2 modelos de redes de Peri diferenes. Os modelos seguiram uma ordem cronológica na evolução do rabalho, aresenando um crescimeno na comlexidade e na acurácia. O rimeiro modelo, e o mais simles, foi consruído com aenas 43 lugares, 38 ransições e 3 arcos. O segundo modelo, o mais comleo, que ossui caracerísicas de uma rede de Peri colorida, foi consruído com 255 lugares, 70 ransições e 606 arcos. Na insância esada com valores realisas, a carga e descarga reresenam cerca de 60% do valor de roduividade da mina e as aradas oeracionais e aradas ara manuenção resondem or cerca de 40%. O simulador demonsrou ser cerca de rês vezes mais ráido ara aresenar os resulados da simulação quando comarado ao modelo de referência feio em SIMAN. A convergência da roduividade em função do emo foi aingida nos rimeiros segundos da simulação e os resulados da rodução aresenaram erros abaixo de 4%. Palavras-chave: simulação de sisemas a evenos discreos, redes de Peri, mineração a céu abero. vii

6 Absrac Some oeraional roducion rocesses are yically comlex, mainly because of heir dynamic naure, ha changes heir sae over ime, and heir sochasic naure, which is deermined by variables associaed wih uncerainy. A discree even sysem is a dynamic sysem ha evolves wih he occurrence of evens a inervals generally irregular and uncerain, being suiable o model oeraional rocesses. Among he echniques of discree even sysem, Peri nes are an elegan way of modeling, whose simulaion is simle and direc, besides having a well-esablished formal secicaion and being widely disseminaed. They are suiable for modeling sysems ha have arallel concurren asynchronous non-deerminisic aciviies. In his work, he conces of Peri nes were used o model he oeraions of loading and hauling mining rocesses of an oen i mine. Two dieren Peri ne models have been develoed in his work. The models follow a chronological order in he work evoluion, showing an increasing level of comlexiy and accuracy. The rs model has only 43 laces, 38 ransiions and 3 arcs. The fourh model, he mos comlee, which has characerisics of a colored Peri ne, has 255 laces, 70 ransiions and 606 arcs. In an insance wih realisic values, he loading/unloading and hauling reresen abou 60% of he mine roduciviy value and oeraional sos and mainenance reresen abou 40%. The simulaor shown o be aroximaely hree imes faser han he reference model consruced in SIMAN. The roduciviy measure converges in he rs seconds of simulaion. Producion resuls resened errors below 4%. Keywords: discree even sysem simulaion, Peri nes, oen mine i. ix

7 Lisa de Figuras. Reresenação simulação e oimização Carregameno e ransore em uma mina a céu abero Os emos ara carga do caminhão são reresenados elo hisograma, curva de valores discreos. Podem ser aroximados or uma disribuição de robabilidade Erlang ou bea, curva de valores conínuos As cargas do caminhão são reresenados elo hisograma, curva de valores discreos. Podem ser aroximados or uma disribuição de robabilidade normal, curva de valores conínuos Elemenos básicos de um DCA Fluxo resumido do méodo de 3 fases Grafo de uma rede de Peri comosa de 2 lugares (círculos) e ransição (reângulo) Transição habiliada (esquerda) e esado deois do disaro (direia) Exemlo de rede de Peri Esado de manhã Esado de arde Esado de noie Rede R marcada Grafo das marcações acessíveis Modelo M ara carga descarga com aralelismo Rede de Peri do bloco de manobra em raça Rede de Peri do bloco de equiameno (carregadeira e briador) Rede de Peri do bloco de ercurso Solução com arco inibidor e rede equivalene sem ele Rede de Peri do bloco de manuenção e aradas oeracionais Modelo M2 ara carga e descarga com aralelismo comleo e aradas xi

8 4.8 Função de disribuição de robabilidades dela de Dirac denindo um valor consane α ara o eríodo v enre habiliação e disaro de uma ransição Função de disribuição de robabilidades riangular no inervalo [a, b] com moda c ara o eríodo v enre habiliação e disaro de uma ransição Função de disribuição de robabilidades normal com média µ e desvio adrão σ ara o eríodo v enre habiliação e disaro de uma ransição Produividade or caminhão e rodução oal mensal ara o modelo M Comaração do simulador SIMAN (Arena) com redes de Peri (M2) ara roduções mensais Comaração enre rodução esimada e simulada com rede de Peri Erros relaivos dos modelos M, M2 com o modelo de referência Produividade enre os modelos em função do número de caminhões Convergência da roduividade com o SIMAN (Arena) em função do emo de modelo (acima) e emo de simulação (abaixo) Convergência da roduividade com a rede de Peri em função do emo de modelo (acima) e emo de simulação (abaixo) Comaração da convergência do SIMAN (Arena) e do modelo em rede de Peri no emo do modelo Comaração da convergência do SIMAN (Arena) e do modelo em rede de Peri no emo da simulação Convergência da roduividade com o SIMAN (Arena) em função do emo de modelo (acima) e emo de simulação (abaixo) Convergência da roduividade com a rede de Peri em função do emo de modelo (acima) e emo de simulação (abaixo) Comaração da convergência do SIMAN (Arena) e do modelo em rede de Peri no emo do modelo Comaração da convergência do SIMAN (Arena) e do modelo em rede de Peri no emo da simulação Convergência no emo do modelo (acima) e convergência no emo de simulação (abaixo) ara caminhão Convergência no emo do modelo (acima) e convergência no emo de simulação (abaixo) ara 2 caminhões Convergência no emo do modelo (acima) e convergência no emo de simulação (abaixo) ara 3 caminhões Convergência no emo do modelo (acima) e convergência no emo de simulação (abaixo) ara 4 caminhões xii

9 5.8 Convergência no emo do modelo M2 em função do número de caminhões Convergência no emo de simulação M2 em função do número de caminhões. 62 A. Diagrama comleo modelo M ara 8 caminhões A.2 Diagrama comleo modelo M2 ara 4 caminhões xiii

10 Lisa de Tabelas 4. Resumo dos modelos de redes de Peri Temorização das ransições Temorização das ransições ara cálculo de emo do ciclo Parâmeros das disribuições de robabilidades Parâmeros de emorização das ransições ara cálculo de emo do ciclo do modelo M Comaração do simulador SIMAN (Arena) com redes de Peri (M) ara roduções mensais Comaração do simulador SIMAN (Arena) com redes de Peri (M2) ara roduções mensais Comaração enre os modelos M, M Inervalos de conança consruídos ara o M Inervalos de conança consruídos ara o M Modelo - simulado com valores esocásicos e valor médio ara roduções mensais A. Arcos de lugar ara ransição modelo M A.2 Arcos de ransição ara lugar modelo M A.3 Mariz de incidência modelo M A.4 Arcos de lugar ara ransição modelo M A.5 Arcos de ransição ara lugar modelo M A.6 Mariz de incidência modelo M2 ara o rimeiro caminhão xv

11 Sumário Agradecimenos Resumo Absrac Lisa de Figuras Lisa de Tabelas v vii ix xi xv Inrodução. Conexo e moivação do rabalho Objeivo Publicações Organização do Trabalho Simulação 7 2. Simulação de Sisemas a Evenos Discreos Simulação de Minas Modelo de Minas Abordagens ara Simulação de Minas Modelos analíicos Teoria de las Lógica nebulosa Redes neurais Simulação de evenos discreos Diagrama de ciclos de aividade e méodo de rês fases Redes de Peri Redes de Peri 9 xvii

12 3. Conceios e blocos funcionais Simulação com redes de Peri Formulação maemáica Exemlo de uma simulação asso a asso Pseudocódigo Proriedades das redes de Peri Classes das rede de Peri Modelo da mina 3 4. Modelo M - Carga e descarga com aralelismo Modelo do bloco de raça Modelo do bloco de equiameno Modelo do bloco de ercurso Bloco das aradas Modelo M2 - Carga e descarga com aralelismo comleo e aradas Bloco dos recursos comarilhados Limies na rodução Inervalo de conança Resulados Parâmeros do modelo Análise dos limies na rodução Análise de erro enre abordagens Modelo M Modelo M Análise de erro enre modelos da rede de Peri Análise de erro enre modelos esocásicos e deerminísicos Análise de convergência Análise de convergência enre abordagens sem aradas Análise de convergência enre abordagens com aradas Análise de convergência enre os modelos da rede de Peri Análise de convergência em função do número de caminhões Conclusão 63 Referências Bibliográcas 65 Aêndice A Dealhameno dos Modelos 7 xviii

13 Caíulo Inrodução A necessidade or eciência no ambiene roduivo é uma busca consane uma vez que o mercado esá cada vez mais comeiivo, e os cusos associados a rodução esão semre aumenando. As emresas de sucesso veem rocurando alernaivas ara redução de cusos e aumeno da rodução. A simulação se mosra como uma ferramena de suore a omada de decisão dos gesores, ois ermie avaliar os rocessos de um ambiene de rodução em um ambiene virual, reduzindo emo e cusos associados a eses que seriam realizados na oeração. Uma mina a céu abero é uma mina onde a exração de minério ocorre na suerfície. Nos rocessos oeracionais da mineração, grande are dos recursos: carregadeiras, briadores, vias de acessos são comarilhados, um modelo de simulação ode ser consruído ara reroduzir a oeração desse ambiene visando a ober o melhor desemenho oeracional.. Conexo e moivação do rabalho Simulação é uma ferramena que resonde a ergunas do io o que ocorre se?. No conexo da mineração oderíamos er ergunas como: Qual seria a rodução de uma mina se subsiuirmos os caminhões or ouros de maior caacidade de carga? Ou, se em um dia de chuva, os caminhões ivessem a sua velocidade reduzida, qual seria a rodução da mina? Nese senido, a simulação é uma ferramena avaliadora de soluções, e não geradora de soluções. Observamos que com o uso de simulação, é ossível rever siuações sem a necessidade de imlemenação ráica. No enano, cada modicação no modelo de simulação imlica em um novo cenário. Em alguns casos o número de cenários a serem simulados é ão grande que inviabiliza a sua simulação.

14 2 Caíulo. Inrodução Ribeiro [203] e de Casro [204] aresenam um esudo ara o roblema de escolha de orfólio de invesimeno de uma emresa mineradora. Foi disonibilizado ela emresa uma careira de vários rojeos que comõem o orfólio de rojeos de invesimenos. O objeivo do rabalho é deerminar a melhor combinação de rojeos que, reseiando o orçameno esabelecido, maximize algum índice como a rodução oal da mina ou roduividade dos caminhões que são calculados aravés de simulação. Nese conexo emos um roblema de simulação e oimização, ou seja, é um roblema íico de oimização em que a função objeivo, as resrições ou ambas são resosas que somene odem ser avaliadas ela simulação comuacional [Chwif & Medina, 2007], conforme ilusrado na Figura.. Enradas X Simulação Saídas Y Oimização Informação de reroalimenação Figura.. Reresenação simulação e oimização. Tendo uma condição inicial X, o rocedimeno de oimização auará ineraivamene com o modelo de simulação, fornecendo os valores das variáveis a serem simuladas e recebendo do modelo de simulação o valor da função objeivo Y. O rocedimeno de oimização arará quando algum criério for saisfeio. O resulado nal dese rocedimeno são os valores óimos ou sub óimos das variáveis de ineresse do modelo de simulação. De uma forma geral, os sofwares comerciais de simulação aresenam alos cusos, são deendenes de sisemas oeracionais, e não aresenam claramene os algorimos de simulação imlemenados. Assim, a moivação ara desenvolvimeno do rabalho foi reroduzir o mesmo modelo de carregameno e ransore aresenado em Ribeiro [203] e de Casro [204] uilizando oura ferramena de sisemas a evenos discreos. Consruindo um simulador simles, indeendene de linguagem de rogramação e laaforma. De forma a ermiir comarações enre o simulador consruído e o modelo de referência Arena adoado. Em fase fuura, o simulado será inegrado a uma solução simulação e oimização. Ese rabalho de simulação alicada aos rocessos de carregameno e ransore de uma mina a céu abero é ara are inegrane do rojeo iniulado Priorização de Porfólio de Invesimeno Correne, arceria enre a UFMG e emresa ENACOM ara a mineradora VALE S/A.

15 .2. Objeivo 3.2 Objeivo O objeivo dese rabalho é esudar redes de Peri, uma ferramena de simulação de sisemas a evenos discreos, e sua alicação à modelagem e simulação de rocessos de carregameno e ransore de uma mina a céu abero..3 Publicações Aé o resene momeno, duas ublicações foram geradas::. [Ribeiro e al., 205a] On using eri nes o model and simulae rocess wih uncerainy. s Pan-American Congress on Comuaional Mechanics. Buenos Aires, Argenina, [Ribeiro e al., 205b] Modelagem e simulação de mina a céu abero uilizando rede de eri. XLVII Simósio Brasileiro de Pesquisa Oeracional - Poro de Galinhas, Pernambuco. A rimeira ublicação foi aresenada no congresso PANACM205 na Argenina. Discue os conceios de redes de Peri, descreve a solução adoada ara modelar e simular os rocessos de carregameno e ransore ara uma mina a céu abero. A segunda, foi aceia e será aresenada no XLVII SBPO que aconecerá em agoso de 205. Acrescena à rimeira ublicação um maior dealhameno do modelo, como aralelismo nos rocessos. Aresena medidas de roduividade da mina ara cenários simulados com vários caminhões. A quanidade de rabalhos que alicam redes de Peri a modelagem e simulação de minas a céu abero é equena. Desa forma as duas ublicações razem imoranes conribuições ara a área de simulação e se desacam dos demais rabalhos esquisados. Praa e al. [2005] aresenam um esudo de modelagem via redes de Peri ao rocesso de oeração carregadeira-caminhão. A esraégia adoada foi de aribuir esos aos arcos que modelam os rocessos de carregameno. Dessa forma foi obida a carga a ser ransorada or cada caminhão em cada ciclo. Oura solução ara a carga do caminhão foi consruída nese rabalho. Consise da combinação de duas funções de disaro ara as ações (ransições) que modelaram a carga e o emo de carga do caminhão. Konyukh & Davidenko [999] uilizam redes de Peri ara modelar e simular uma mina de carvão. Eles aresenam os gargalhos da oeração em função da variação da velocidade dos veículos. Ese rabalho aborda os gargalhos da oeração de uma forma

16 4 Caíulo. Inrodução diferene, em função da quanidade de caminhões na froa e a consequene sauração da rodução da mina. Algumas exensões às redes de Peri originais foram criadas com a nalidade de aumenar a alicação das redes de Peri, ermiir exibilidade aos modelos, cobrir algumas deciências e limiações de redes exisenes. Denre as exensões, emos o uso do conceio de arco inibidor e alicação das roriedades de redes de Peri. Essas duas écnicas foram alicadas nesse rabalho e no esudo de Brahma [2007] dando maior exibilidade aos modelos, ois ermiiram aramerizar facilmene as variáveis de simulação. Brahma [2007] aresena um signicaivo esudo ara modelagem de minas a céu abero. Nesse modelo o auor uiliza-se da écnica lugares de fusão. Segundo Jensen [996] esa écnica ermie esecicar um conjuno de lugares idênicos que reresenam um único lugar conceiual. Ou seja, um lugar que modela um recurso comarilhado or vários rocessos é reresenado de forma reeida em cada are do modelo onde ocorre o comarilhameno. O conceio de lugares de fusão foi alicado à carregadeira no rocesso de carregameno. Desa forma, em cada circuio aralelo de carga criado há um lugar que reresena a carregadeira. Quando a carregadeira é ocuada, reresenado elo recebimeno de uma cha, os demais lugares de fusão receberão ambém uma cha. O modelo se orna mais claro, ois há redução dos arcos enre os rocessos. O modelo se orna exível, ois ermie simular a solução com mais de uma carregadeira aravés da aleração no número de chas iniciais nos lugares de fusão. Já ese rabalho com alicação do conceio de arco-inibidor foi ossível modelar circuios aralelos ara os ercursos de deslocamenos dos caminhões. O modelo se ornou mais exível, ois foi ermiido execuar a simulação com n caminhões, sem que fossem inseridos emos indesejáveis nos rocessos de deslocamenos..4 Organização do Trabalho Caíulo 2: Simulação Inroduz os conceios de eoria de simulação, simulação de sisemas a evenos discreos, aresena o modelo de carregameno e ransore uilizado no rabalho e discue algumas abordagens ara simulação de minas a céu abero. Caíulo 3: Redes de Peri Aresena os conceios de redes de Peri, descreve asso a asso o rocesso de simulação usando redes de Peri.

17 .4. Organização do Trabalho 5 Caíulo 4: Modelo da mina Aresena dois modelos de rede de Peri consruídos ara simular o rocesso de carregameno e ransore. Dealhando em forma de blocos os sub-rocessos envolvidos. Caíulo 5: Resulados Aresena os arâmeros de emo e carga uilizados nos modelos de simulação e os resulados numéricos da simulação dos dois modelos criados. Caíulo 6: Conclusões Discue os resulados da simulação e rabalhos fuuros.

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19 Caíulo 2 Simulação 2. Simulação de Sisemas a Evenos Discreos De acordo com Cassandras & Laforune [200], o ermo simulação ode ser enendido como o rocesso de rojear e criar um modelo comuadorizado do sisema real ou rooso, com objeivo de conduzir exerimenos numéricos ara rover melhor enendimeno do comorameno do sisema ara um dado conjuno de condições. O ermo sisema ode ser denido como uma agregação de objeos que ossuem alguma ineração ou inerdeendência. Tais sisemas êm em comum a maneira ela qual ercebem as ocorrências no ambiene a sua vola, o que se dá ela receção de esímulos, denominados evenos. Esses evenos são, or sua naureza, insanâneos, o que lhes confere um caráer discreo no emo. Sisemas com esas caracerísicas são denominados sisemas a evenos discreos (SED) [Robinson, 2004], em oosição aos sisemas de variáveis conínuas, raados ela eoria de conrole clássica. A naureza discrea dos SED's faz com que os modelos maemáicos convencionais, baseados em equações diferenciais, não sejam adequados ara raá-los. Um sisema a evenos discreos ode ser ambém caracerizado como sendo um sisema dinâmico que evolui com a ocorrência de evenos em inervalos de emo, em geral, irregulares e inceros. Segundo Cassandras & Laforune [200], a ocorrência de um eveno causa uma ransição ou mudança de esado no sisema. Diversas são as alicações de simulação de sisemas a evenos discreos. Denre elas, é ossível desacar no ambiene de rodução indusrial (e.g manufauras, mineração) [Schroer & Tseng, 988; Yuriy, 2005], na área de resação de serviços (e.g. bancos, alimenação, correio) [Visinin e al., 204], na área de saúde (e.g. rono aendimeno, cenros cirúrgicos) [Hamrock e al., 203], e na área de informáica e elecomunicações [O'Reilly e al., 2007]. 7

20 8 Caíulo 2. Simulação Projeos de uma indúsria de mineração a céu abero geralmene aresenam a caracerísica de serem comlexos rincialmene devido à sua naureza dinâmica que muda seu esado ao longo do emo e à sua naureza esocásica que é regida or variáveis com incereza associada. Um modelo de simulação consruído ara uma mina a céu abero em o objeivo de caurar essas caracerísicas, reeindo em um comuador o mesmo comorameno do sisema real. Com um modelo comuacional ara simulação em mãos, é ossível, or exemlo, analisar insâncias esecícas de minas ou mesmo formular um roblema de oimização ara minas. 2.2 Simulação de Minas Mineração é uma área que aresena alo cuso, ano de imlanação quano de oeração, e os seus rocessos são comlexos devido à incereza inrínseca desse ambiene de rodução. As aividades em minas a céu abero envolvem rincialmene as oerações básicas de erfuração, desmone, carregameno e ransore [Husrulid & Fernberg, 2008]. Para exração de minério, alocam-se equiamenos de carga em locais esecícos da mina, denominadas frenes de lavra, de onde o maerial (minério ou eséril) reirado é deosiado em caminhões aroriados ara ransore aé um briador, onde o minério é rocessado, ou aé ilha de eséril. Sob o ono de visa econômico, Subil e al. [20] mencionam que as oerações de carregameno e ransore são as mais críicas denro dos rocessos de lavra, já que reresenam cerca de 50% dos cusos oeracionais denre os ouros rocessos do ambiene de mineração. Dessa forma, modelar essa are é críica ara o rojeo, ois reresena grande are da medida de roduividade. Ese rabalho uiliza o conceio de sisemas a evenos discreos ara modelar os rocessos de oerações de carregameno e ransore de um ambiene de mineração. Para raar as eculiaridades e as resrições dos rocessos foram consruídos quaro modelos com o objeivo de idenicar denre eles o que o melhor reroduzia o comorameno da mina. Um simulador em ambiene comuacional foi desenvolvido e alicado ara validar os modelos, os resulados numéricos da simulação de cada modelo são aresenados no caíulo 5. Um modelo simlicado do rocesso de carregameno e ransore é aresenado no rabalho de Quevedo [2009] e esá ilusrado na Figura 2.. Nesse modelo, as las no briador e na carregadeira modelam a resrição desses equiamenos ao serem ocuados or aenas um só caminhão or vez.

21 2.2. Simulação de Minas 9 Figura 2.. Carregameno e ransore em uma mina a céu abero. O modelo de carregameno e ransore aresenado é considerado um modelo simlicado, ois considera aenas uma frene de lavra e consequenemene não considera o sisema de desacho de caminhões ara diferenes frenes de lavra. Modelos que consideram várias frenes de lavra são conhecidos como roblema da misura ou blendagem [Fioroni e al., 2008]. Consise na deerminação de quano minério roveniene de cada frene deve ser misurado de modo a saisfazer as exigências da rodução [da Cosa e al., 2005]. A grande maioria do emo gaso nos rocessos de mineração a céu abero são esocásicos, e iicamene são modelados or disribuições de robabilidades Modelo de Minas Para fazer a simulação de uma mina, rimeiramene um modelo em que ser criado, indeendene de qual seja o méodo a ser uilizado. Esse modelo descreve as regras às quais cada equiameno da mina esa sujeio, esecialmene a dinâmica, de forma a ornar ossível reroduzir comuacionalmene o que aconece na realidade. Por exemlo, a Figura 2. ilusra um modelo baseado no ciclo que o caminhão faz denro da mina: carga e descarga de minério. Cada are de seu iinerário é regida or uma dinâmica esecíca e é reresenada or um bloco. Se o ineresse é a roduividade da mina, cada bloco inroduz um emo caracerísico no ciclo do caminhão que, a cada ciclo, em uma rodução indicada ela carga que carregou. Essa é a abordagem adoada ara modelagem nese rabalho. Dados reais de uma mina em Minas Gerais são mosrados ilusrados na Figura 2.2 e Figura 2.3. O emo de carga de um caminhão se assemelha a uma disribuição de

22 0 Caíulo 2. Simulação Erlang [Zukerman, 205] ou bea [Walck, 2007], conforme mosrado na Figura 2.2. A Figura 2.3 ilusra a carga de um caminhão que se assemelha a uma disribuição normal [Gauss, 809]. El-Moslmani e al. [2002] aresenam um esudo de caso uilizando disribuição exonencial ara o emo de viagem dos caminhões e a disribuição de Erlang ara o emo de carga. Farid & Koning [994] mencionam que as disribuições de robabilidades Erlang ou bea são mais adequadas ara a modelagem dos rocessos de carga e emo de viagem ara consrução de um modelo real ao invés do uso de disribuição exonencial aualmene alicada. A modelagem dos rocessos usando disribuição exonencial, ao invés de bea, imlica em subesimação da rodução e sueresimação do cuso de 4 aé 7% [Farid & Koning, 994]. Oura invesigação das disribuições de robabilidade foi alicada or Ta e al. [2005] ara modelar o emo de ciclo e carga do caminhão. Em um dos cenários simulados, é avaliada a relação da redução do volume ransorado quando os caminhões foram submeidos à redução de velocidade causada or mal emo. O emo de ransore consiui um desao à modelagem ela grande variação de frenes de lavras em um mesmo dia. densidade de robabilidade emo de carga (s) Figura 2.2. Os emos ara carga do caminhão são reresenados elo hisograma, curva de valores discreos. Podem ser aroximados or uma disribuição de robabilidade Erlang ou bea, curva de valores conínuos. O modelo simlicado de carregameno e ransore aresenado na Figura 2. é basane uilizado ara simulação de oerações de mineração a céu abero. Torkamani & Askari-Nasab [202] aresenam um modelo de simulação ara analisar o sisema caminhões-carregadeira em mina a céu abero e sua relação com lanejamenos de curo razo. Uma alicação do modelo de carregameno e ransore é aresenada or Krause & Musingwini [2007] e Eskandari e al. [203] ara modelagem e simulação de uma mina de cobre. O objeivo da simulação é aresenar cenários onde seja ossível idenicar a eciência dos recursos, ou seja, idenicar o cenário onde os recursos foram uilizados na maior are do emo. Eskandari e al. [203] aresenam uma aricularidade no mo-

23 2.3. Abordagens ara Simulação de Minas densidade de robabilidade carga (on) Figura 2.3. As cargas do caminhão são reresenados elo hisograma, curva de valores discreos. Podem ser aroximados or uma disribuição de robabilidade normal, curva de valores conínuos. delo, onde os caminhões odem seguir ara desinos diferenes ara serem carregados, deendendo da necessidade da rodução da mina. Juliá [200] aresena um modelo de simulação uilizado em um sisema áiooro na cadeia de minério de ferro. Panuza [20] aresena um modelo de simulação usado ara validar dois modelos alicados a um lanejameno oeracional em mina a céu abero. Molck [2002], or sua vez alica um modelo de simulação ara avaliar os méodos heurísicos desenvolvidos ara o agendameno de aividades de áios de esocagem de uma mineradora. 2.3 Abordagens ara Simulação de Minas Diversas écnicas de simulação odem ser alicadas em cima de um mesmo modelo. Cada écnica aresena caracerísicas e limiações esecícas que as diferenciam das demais. Bur & Caccea [203] aresenam uma revisão de rabalhos relacionados ao roblema de seleção de equiamenos ara mineração. Os méodos aresenados foram agruados em cinco gruos: rogramação linear, ineligência aricial, heurísicas, simulação e eoria das las. Ouras ossibilidades serão abordadas nesa seção. 2.4 Modelos analíicos Os modelos emregados ara levanar roblemas de oimização lineares são iicamene aroximações da realidade. Na medida em que dealhes são adicionados aos modelos, sua comlexidade aumena e iicamene não é ossível dar garanias eóricas de oimalidade, aesar do modelo se ornar mais realisa.

24 2 Caíulo 2. Simulação Uma alicação de rogramação linear como ferramena de decisão ara seleção de equiamenos de uma froa é aresenado or Baxer e al. [200] que considera que as horas de oeração do caminhão é um faor de decisão ara o agendameno da rodução e subsiuição de equiamenos. Edwards e al. [200] indica que a locação de equiamenos de escavação é uma solução mais aroriada do que a solução de aquisição de equiamenos. Toal & Ramazan [200] aresenam uma alicação de rogramação linear ineira misa ara rocesso de manuenção reveniva dos caminhões em dez anos de oeração de uma mina. Os resulados com alicação da simulação com evenos discreos do modelo mosram uma redução de aé 25% (vine e cinco or ceno) no cuso de manuenção, mesmo com o modelo simlicado da formulação MILP. O modelo emregado considera asecos econômicos macros (e.g. disonibilidade do caminhão de uma dada idade, horas de caminhão necessárias em cada eríodo) e esão longe de enrar nos dealhes de oeração da mina. Naoum & Haidar [2000] aresenam um modelo semelhane em ermos de granularidade do modelo e io de formulação, mas alicam algorimos genéicos ara conseguir soluções aceiáveis em emo adequado. 2.5 Teoria de las O desemenho de uma mina esá muio arelado à formação de las que idealmene devem ser eviadas de forma a maximizar a roduividade. Sendo assim, aenção esecial foi dada a modelos baseados em eoria de las ela sua simlicidade, aesar do escoo limiado de alicação: las. Raman e al. [2009] aresenam um esudo de simulação baseado em eoria das las ara deerminar a quanidade de equiamenos necessários ara movimenação de maeriais enre insalações de uma emresa. Eles consideram que a naureza esocásica desse sisema de rodução não é adequadamene abordada na lieraura, sendo melhor modelado usando a eoria das las. O uso de simulação aravés da eoria das las é alicado ara modelar o sisema caminhão-carregadeira como aresenado or May [202], bem como ara o esudo da seleção de froa. Com simulação uilizando da eoria das las, Karshenas [989] cia que a caacidade do caminhão deve ser cerca de cinco a see vezes maior do carregador em um rocesso de erralenagem. Aravés de grácos resulanes da simulação, é aresenado um méodo ara selecionar combinações adequadas enre caminhões e carregadeiras. Bur e al. [20] e Bur [2008] aresenam oções enre carregadeira e caminhões ossíveis ara serem usados na combinação.

25 2.6. Lógica nebulosa Lógica nebulosa A lógica nebulosa ode ser usada ara raar de incerezas do modelo de mineração. Biarafan & Aaei [2004] mosram um esudo de caso ara seleção do méodo adequado ara exloração em minas, objeivando deerminar quais arâmeros são mais imoranes. A rincial vanagem desa lógica é lidar com disribuições ara um valor que seria deerminísico, incluindo variáveis ineiras: daí o nome nebuloso. Ela iicamene oera a arir de uma base de dados a ser devidamene esabelecida. 2.7 Redes neurais Redes neurais são muio uilizadas ara reresenar um conjuno de dados de forma eciene, exraindo de forma sisemáica a função que maeia uma dada enrada em uma dada saída. Marinelli e al. [204] uilizam redes neurais ara rever as condições oeracionais dos caminhões em um ambiene de erralenagem. A camada de enrada da rede neural recebe arâmeros dos caminhões: caacidade, idade, disância ercorrida e o nível de manuenção que o caminhão foi submeido. A saída da rede neural é o nível oeracional que o caminhão se enconra. Jonak [2002] alica o conceio de redes neurais ara rever a carga nas escavadeiras. Kaageridis [2002] uiliza o conceio de redes neurais ara esimar a reserva de minerais em um ambiene de mina a céu abero. Uma rede neural foi modelada endo como sua enrada os arâmeros do erreno esquisado e a saída o io de mineral ossível de ser enconrado no erreno esquisado. 2.8 Simulação de evenos discreos Uma mina a céu abero é nauralmene modelada de forma mais real como um sisema de evenos discreos. Denro dessa abordagem, exisem diversas variações. A mais objeiva é modelar e simular direamene os evenos uilizando uma la de evenos e raando eveno or eveno. Dahl & Derigs [20] mosram um esudo de simulação alicado a emresas de ransore associadas de forma cooeraiva. Nesse esudo, as cargas são comarilhadas enre as emresas, ou seja, há um aroveiameno do free enre as mesmas. Os resulados indicam uma redução nos cusos de 4,07% quando rabalham de forma cooeraiva. Gambardella e al. [998] uilizam écnica de simulação alicada a um roblema de gesão de conêiner em um erminal oruário. O simulador alicado uiliza-se de

26 4 Caíulo 2. Simulação evenos discreos, orienado a objeo e desenho de aradigma aresenado or Booch [994]. O simulador serve de ese ara validar o modelo de oimização alicado, endo sido consruído baseado em hierarquias denidas ela auonomia e oder de decisão que cada objeo em denro do rocesso de simulação. Nesse exemlo, os gerenes esão no oo do modelo, uma vez que odem omar decisões sobre recursos e esaço. Os oeradores de guindases ossuem cera auonomia de decisões, ois odem eviar alguns conios na oeração. Na are inferior, esão os navios e caminhões que não odem omar decisões, aenas execuar ações ré-denidas. Marzouk & Moselhi [2004] aresenam uma simulação a evenos discreos e modelagem orienada a objeos alicados em um roblema de oimização de erralenagem Diagrama de ciclos de aividade e méodo de rês fases O diagrama de ciclo de aividade (DCA) aresenado or Tocher [963] é uma meodologia gráca de modelos de simulação de sisemas a evenos discreos. Uilizam somene dois símbolos ara descrever o ciclo de vida dos objeos ou elemenos de um sisema que se deseja modelar, denominadas enidades. O rimeiro símbolo é um círculo que reresena uma la. O segundo é um reângulo que reresena uma aividade. Conforme aresenado na Figura 2.4, eles indicam exliciamene as inerações enre as enidades do sisema e seus uxos. Fila Aividade Figura 2.4. Elemenos básicos de um DCA. As las e aividades esão semre disosas alernadamene em qualquer ciclo de vida. As enidades odem esar aguardando em las ou ariciando de alguma aividade. Um DCA comleo consise da combinação de odos os ciclos de vida individuais de cada enidade e reresena o comorameno do sisema que se deseja modelar. Segundo Tocher [963], o méodo das rês fases é uma forma de simulação manual de um DCA. Ese méodo foi rooso a arir da observação de que há dois ios diferenes de oerações na maioria dos sisemas:. oerações cujo início e érmino odem ser deerminados; 2. oerações odem ou não ocorrer deendendo do esado do sisema. As rês fases do DCA ilusradas na Figura 2.5 reresenam uma esruura comum resene em qualquer simulação de evenos discreos [Chwif & Medina, 2007]:

27 2.8. Simulação de evenos discreos 5. avance o relógio de simulação ara o róximo eveno; 2. execue os evenos limies, quando erminam as aividades; 3. execue os evenos condicionais, quando as aividades se iniciam. início inicialização varredura de emo Fase A execuar evenos B (erminaram) Fase B enar execuar ossíveis evenos C Fase C fim do eríodo de simulação não sim gerar relaório fim Figura 2.5. Fluxo resumido do méodo de 3 fases Redes de Peri As redes de Peri são uma forma elegane de modelar um sisema a evenos discreos, cuja simulação é simles e direa. Brahma [2007] aresena um signicaivo esudo ara modelagem de minas a céu abero. Menciona que as redes de Peri ossibiliam a decomosição hierárquica e modular de rojeos de mineração, reduzindo a comlexidade do rojeo. Arma ainda, que as incerezas de emo e esimaivas de cuso odem ser modeladas usando disribuições de robabilidade adequadas. Tal meodologia foi alicada em dois modelos, o rimeiro, nos rocessos de erfuração da mina, aividade que aresena um grau elevado de insalubridade associado a oeira,

28 6 Caíulo 2. Simulação ruído e vibração. Para a aividade de erfuração é rooso um modelo de rede de Peri que se roõe a auomaizar os rocessos, de forma que a erfuração ossa ser execuada sem a resença de um oerador. O segundo modelo foi uilizado na alocação caminhão-carregadeira, que uiliza a écnica da rede de Peri conhecida como lugares de fusão. Segundo Jensen [996], esa écnica ermie esecicar um conjuno de lugares idênicos que reresenam um único lugar conceiual. Ou seja, um lugar que modela um recurso comarilhado or vários rocessos é reresenado de forma reeida em cada are do modelo onde ocorre o comarilhameno. Segundo Brahma [2007], as redes de Peri odem ser uilizadas ara subsiuir ferramenas auais de conrole da mina, PERT (do inglês Program Evaluaion and Review Techinique ) e CPM (do inglês Criical Pah Mehod) que ambém uilizam conceios de grafos. Porém, redes de Peri ermiem maior análise e ossibiliam a simulação dos rocessos. Praa e al. [2005] aresenam um esudo de modelagem via redes de Peri ao rocesso de oeração carregadeira-caminhão. O resulado da simulação mosra o cuso oeracional, emo de ciclo ara as combinações de carregadeiras e caminhões. A esraégia adoada foi de aribuir esos aos arcos que modelam os rocessos de carregameno. Desa forma foi ossível garanir que um caminhão só inicia uma viagem quando esiver comleamene carregado e só ermina uma viagem quando esiver comleamene descarregado. Oura solução ara a carga do caminhão foi consruída nese rabalho. Consise da combinação de duas funções de disaro ara as ações (ransições) que modelaram a carga e o emo de carga do caminhão, garanindo que o caminhão fosse carregado, no mínimo, com 90% da sua carga máxima. Konyukh & Davidenko [999] uilizam redes de Peri ara modelar e simular uma mina de carvão. Uiliza-se das roriedades das redes de Peri ara denir uma condição ideal de oeração da mina ara desacho dinâmico da froa. Traa dos gargalhos da oeração em função da variação da velocidade dos veículos. Já nese rabalho aborda os gargalhos da oeração, em função da quanidade de caminhões na froa e a consequene sauração da rodução da mina. Buscando um equilíbrio enre o invesimeno nos caminhões e a rodução da mina. Ese rabalho invesiga a modelagem e simulação de uma mina a céu abero com rocessos envolvendo incerezas com redes de Peri, ela sua elegância na modelagem e oencial eciência comuacional se diferem dos demais rabalhos aresenados nesa seção ois aresenam simlicidade na abordagem do roblema aravés do dealhameno da consrução do modelo de rede de Peri em blocos com funções esecícas de cada rocesso do modelo de carregameno e ransore, ermiindo fácil enendimeno do roblema. A forma como os caminhões, considerados como clienes, ocuam os recursos dos servidores (i.e. carregadeira, briador e via de deslocameno) é bem

29 2.8. Simulação de evenos discreos 7 dealhada em cada bloco. De um modo resumido, os recursos são ocuados elos clienes aravés do sincronismo enre as ações emorizadas (chamadas de ransições no conexo de redes de Peri) e resrias a aenas um cliene ocuar o recurso or vez. Ouro ono de desaque dese rabalho é disonibilização das marizes de incidência dos modelos e os arâmeros simulados que ossibiliam a sua rerodução. A eoria de suore e o modelo da mina uilizando redes de Peri serão dealhados nas róximas seções.

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31 Caíulo 3 Redes de Peri A eoria inicial das redes de Peri foi desenvolvida e aresenada elo alemão Carl Adam Peri na sua ese de douorado Peri [962]. Segundo Muraa [989], redes de Peri é uma écnica de esecicação formal bem esabelecida, largamene difundida, sendo adequada ara modelagem de sisemas que enham aividades aralelas, concorrenes, assíncronas e não deerminísicas. A análise de uma rede de Peri ermie avaliar a esruura e o comorameno dinâmico do sisema modelado. De acordo com Maciel e al. [996], a reresenação gráca das redes de Peri em se mosrado muio úil, ois ermie a visualização dos rocessos e comunicação enre eles. Diversas alicações de redes de Peri são enconradas na lieraura. Em sisemas de ransores, Giua & Seazu [2008] aresenam um roblema de modelagem de redes ferroviárias com redes de Peri. O modelo revê a uilização de semáforos e sensores na consrução da rede, garanindo, dessa forma, segurança aos usuários aravés da imlemenação de écnicas de resrições múuas e resrições de disaro das ransições. Lis & Cein [2004] uilizam esse conceio ara modelar cruzamenos com semáforos em cenros urbanos. Segundo Zee [20], ese modelo é consruído baseado no rincíio de redes modulares que é a uilização de sub-redes de Peri na consrução do modelo nal. Dessa forma, se em liberdade em alicar mudanças em uma das sub-redes, sem afear as demais. De acordo com Masri e al. [2008], oura abordagem do conceio modular ara redes de Peri é alicada em um esudo do roocolo Eherne. No cenário aresenado, é ossível gerenciar os roocolos e serviços de forma modular e isolada, não inerferindo nos serviços adjacenes. Kounev [2006] aresena alicações das redes de Peri ara revisão de desemenho em rocessos de engenharia de sofware. Segundo Adam e al. [998] redes de Peri se aresenam favoráveis ara alica- 9

32 20 Caíulo 3. Redes de Peri ções de auomaização de rocessos emresariais conhecidos como workow. Na consrução do workow de um rocesso, são denidas as aividades, os seus execuores, os recursos necessários e a ineração enre odos. Ling & Schmid [2000] aresenam uma simulação em um ambiene de saúde associando emos não deerminísicos às aividades de workow em uma clínica médica. Como resulado dessa simulação, é obida a disonibilidade dos recursos da clínica no decorrer do emo. 3. Conceios e blocos funcionais Rede de Peri é um grafo biarido e orienado. A ideia fundamenal é que objeos, chamados de chas, ercorram o grafo segundo evenos. É uma forma bem elegane de escrever um modelo maemáico e simular sisemas a evenos discreos. O grafo biarido de uma Peri ossui dois ios de nós: lugares e ransições. O lugar reresena a condição da variável que se deseja modelar. A ransição reresena uma ação realizada elo sisema. Fichas, ambém chamadas de marcas, ou okens, são associadas a cada lugar e mudam de localização quando evenos ocorrem nas ransições. A quanidade de chas em um lugar é reresenada or um número ineiro não negaivo e reresena a condição verdadeira da variável. A cada ransição, é associada uma função de disaro que é a regra que dene o emo enre a habiliação da ransição e a execução da ação (disaro da ransição). Uma ransição orna-se habiliada quando exisem chas sucienes em cada lugar conecado a ela aravés de um arco. Um eso é associado a cada arco ara indicar o número de chas ara habiliar a reseciva ransição. Por ouro lado, os arcos que arem de uma ransição indicam quanas chas são geradas no lugar de desino, quando a reseciva ransição é disarada. Sendo assim, as chas circulam na direção dos arcos e lugares e só se conecam a ouros lugares aravés de ransições, e vice-versa. O desenho adrão do grafo de uma rede de Peri considera que cada lugar é reresenado or um círculo, e cada ransição é reresenada or um reângulo, conforme mosrado na Figura 3.. lugar ransição ou ação lugar 2 Figura 3.. Grafo de uma rede de Peri comosa de 2 lugares (círculos) e ransição (reângulo).

33 3.2. Simulação com redes de Peri 2 Cada cha é reresenada or um ono denro de um lugar, ou de forma mais exlícia: o número de marcas do resecivo lugar. As condições de habiliação de uma ransição são denidas elos números associados aos arcos que ligam lugares a ela, onde cada número reresena a quanidade de chas no resecivo lugar. Por exemlo, como mosrado na Figura 3.2, a ransição esá habiliada devido ao aendimeno da condição de habiliação ara odos os arcos, ou seja, a quanidade de chas nos lugares, 2 e 3 é igual ao eso dos resecivos arcos que ligam os lugares, 2 e 3 à ransição. Aós o disaro, uma cha é gerada no lugar Figura 3.2. Transição habiliada (esquerda) e esado deois do disaro (direia). 3.2 Simulação com redes de Peri A simulação com redes de Peri se inicia a arir da idenicação das ransições habiliadas. Aós a idenicação dessas, é monada uma lisa ordenada elo emo de disaro, chamada de calendário de evenos or Cassandras & Laforune [200]. Nesse senido, o calendário de evenos maném a ransição a ser disarada e o resecivo emo de disaro. As ransições são enão disaradas na ordem indicada elo calendário de evenos. Deois de cada disaro, novas ransições odem habiliar e ouras odem desabiliar, de forma que o calendário de evenos deve ser aualizado Formulação maemáica Uma rede de Peri ode ser comleamene reresenada or um conjuno P = {, 2,..., P } de P lugares, or um conjuno T = {, 2,..., T } de T ransições, or uma mariz de incidência W N P T enre lugares e ransições com número de chas necessárias em cada lugar ara habiliar cada ransição, or uma mariz de incidência W + N P T enre ransições e lugares com número de chas criadas ara cada lugar deois de um disaro em cada ransição, e or um veor de funções f = (f, f 2,..., f T ),

34 22 Caíulo 3. Redes de Peri f i () : R R, i =, 2,..., T, com a função de disaro de cada ransição. De forma cura, uma rede de Peri é reresenada or P(P, T, W, W +, f) (3.) O veor x = (x, x 2,..., x P ) N P reresena o número de chas em cada lugar. Por exemlo, a rede de Peri ilusrada na Figura 3.3 ode ser reresenada or: P = {, 2, 3 } T = {, 2, 3 } 0 0 W = , W + = , x = 0 0, f() = (3.2) Figura 3.3. Exemlo de rede de Peri. O disaro de uma ransição i causa mudança de esado na rede de Peri, i.e. aleração em x. Considere e i {0, } T o veor com odos elemenos nulos, exceo a osição i que é uniária. O novo esado é, enão, dado or: x k = x k + (W + W )e i (3.3) Denoando W i como sendo a i-ésima coluna da mariz W relaiva à ransição i, se em: x k = x k + W + i W i (3.4) Já a condição de habiliação de uma ransição i no esado x k ode ser escria como: x k W e i = W i (3.5)

35 3.2. Simulação com redes de Peri 23 Uma vez habiliada, a ransição disara i deois de um emo dado ela reseciva função f i () Exemlo de uma simulação asso a asso Nesa seção, uma rede de Peri simles é denida ara modelar os eríodos do dia. Para ano, os lugares da Figura 3.4 reresenam as rês condições (manhã, arde, noie) e as rês ransições as mudanças de eríodos (amanhecer, enardecer e anoiecer). Considera-se, enão, a rede de Peri em seu esado inicial demonsrado na Figura 3.4: manhã. manhã enardecer 3 amanhecer 3 noie 2 arde 2 anoiecer Figura 3.4. Esado de manhã. Manhã (lugar) é a condição ara habiliar o enardecer (ransição). Uma vez habiliada, deois de um emo, seis horas no caso, ela disara ara aingir o novo esado como demonsrado na Figura 3.5: arde. manhã enardecer 3 amanhecer 3 noie 2 arde 2 anoiecer Figura 3.5. Esado de arde. Tarde, or sua vez, é a condição ara habiliar o anoiecer. Uma vez habiliada, deois de um emo, seis horas no caso, ela disara ara aingir o novo esado como demonsrado na Figura 3.6: noie.

36 24 Caíulo 3. Redes de Peri manhã enardecer 3 amanhecer 3 noie 2 arde 2 anoiecer Figura 3.6. Esado de noie. Por m, noie é a condição ara habiliar o amanhecer. Uma vez habiliada, deois de um emo, doze horas no caso, ela disara ara aingir o esado inicial mosrado na Figura 3.4: manhã. Como, durane oda a simulação, exise aenas uma cha nesse exemlo esecíco, ca uma relação muio fore enre condição e esado. Essa relação não será ão fore no modelo de mina a ser aresenado oseriormene nese relaório. Maemaicamene, a rede de Peri e seu esado inicial são dados ela equação (3.2). Para saber os ouros esados, as equações (3.3) e (3.5) devem ser alicadas. Sendo assim, o esado inicial é : x 0 = 0 0 (3.6) Nesse esado, as ransições habiliadas são dadas ela equação (3.5) que, nesse caso, é reseiada aenas ela ransição, ois: x 0 = = W, x 0 = = W 2, x 0 = = W 3 (3.7) Uma vez habiliada, deois de um emo dado or f () = 6, disara. Quando disara, o róximo esado é dado ela equação (3.3), e assim: x = x 0 + (W + W )e = = x 0 + W + W = = (3.8)