SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR POR DECOMPOSIÇÃO DE DOMÍNIO

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1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR POR DECOMPOSIÇÃO DE DOMÍNIO Idalmis Milián Sardiña 1 Luiz Nélio Henderson 2 Anônio J. Silva Neo 3 Insiuo Poliécnico UERJ, CP 97282, CEP , Nova Friburgo, RJ, Brasil 1 imilian@irj.uerj.br, 2 nelio@irj.uerj.br, 3 ajsneo@irj.uerj.br Resumo. Nese rabalho é descria a solução da equação de ransferência de calor or condução em meios unidimensionais e bidimensionais com o uso de comuação aralela, que consiui uma ferramena fundamenal ara a obenção de soluções numéricas ara roblemas de engenharia. É emregada a biblioeca de funções (Message Passing Inerface, uilizada em rogramas que exloram a exisência de múlilos rocessadores baseando-se na assagem de mensagens. Como rimeiro caso-ese é considerado um roblema de ransferência de calor ransiene unidimensional. Usando uma aroximação de diferenças finias exlícia com uma écnica de decomosição de domínio, o algorimo fica oalmene aralelizável. É ambém considerado um segundo caso-exemlo em um meio bidimensional homogêneo ara o qual é emregada uma formulação imlícia. O meio é dividido em dois subdomínios, e ara os nós da malha comuacional localizados na inerface a emeraura no meio adjacene é omada com um araso de um inervalo de emo, o que orna, o algorimo aralelizável. Palavras-chave: Transferência de calor, Condução, Decomosição de domínio. 1. INTRODUÇÃO A análise da ransferência de calor em meios comosos or diferenes maeriais em alicação em vários roblemas relevanes em engenharia, ais como em rojeo e oeração de equiamenos e insrumenos ( Frías Suárez e Darias González, 1996, 1996a, ou enão o cálculo do fluxo de calor em aredes comosas de edificações (Beyer e Vilhena, 1998 ou de câmaras frigoríficas ( Silveira e al., O esudo do comorameno érmico de maeriais comosos com o uso de rocessameno aralelo em araído muio ineresse (Dallalana e al.,1998. Para oder emregar o rocessameno aralelo na solução de roblemas de engenharia, ano com veorização quano com a uilização de vários rocessadores, algumas écnicas êm sido desenvolvidas ais como a reordenação de nós nas malhas comuacionais (Löhner, 1998 e decomosição de domínio (Tallec e al., Silva Neo e Whie (1994, 1994a resolveram um roblema de escoameno de fluidos em meios orosos não saurados usando rocessameno aralelo. Foi enado o uso de veorização

2 com uma reordenação do io Red-Blac (checer board, mas a comlexidade inerene das equações que esavam sendo raadas não ermiiram uma veorização adequada. Porém, o uso da decomosição do domínio ermiiu o uso bem sucedido de rocessameno aralelo. Eses mesmos auores alicaram com sucesso a reordenação do io Red-Blac e a decomosição de domínio na solução de um roblema envolvendo mudança de fase em um meio bidimensional (Silva Neo e Whie, 1994b. Têm sido desenvolvidos recenemene sofwares que ermiem o uso simulâneo de esações de rabalho que esejam ligados em rede, sendo ciados como exemlo: PVM- Parallel Virual Machine (Geis e al., 1994 e Message Passing Inerface ( Pacheco, A biblioeca de funções baseada na assagem de mensagens, é um dos rimeiros adrões desenvolvidos na rogramação aralela ( Pacheco, 1995, e é nese rabalho usada ara a solução do roblema de ransferência de calor or condução em meios unidimensionais e bidimensionais usando esações de rabalho em aralelo. O acesso a ambienes de desenvolvimeno de rogramas comuacionais com rocessameno aralelo usando microcomuadores, ou esações de rabalho, ermie que os esquisadores ossam esar seus códigos anes de submeê-los às maquinas aralelas roriamene dias, onde obviamene o cuso de rocessameno é maior (Cruz, 1998, Dallalana e al., Dawson e al. (1991 e Dawson e Duon (1994 desenvolveram formulações exlícias/imlícias de forma a ermiir a aralelização do algorimo de solução do roblema de ransferência de calor. Primeiro fizeram a decomosição do domínio, deois alicaram uma formulação exlícia(caso unidimensional e uma combinação exlícia-imlícia (caso bidimensional, em diferenças finias ara os nós localizados nas inerfaces dos subdomínios. Com iso conseguiram o desacolameno dos subdomínios, odendo usar enão, uma formulação imlícia em diferenças finias no inerior de cada subdomínio, sendo cada um deles aribuído a um rocessador indeendene. Primeiro são calculadas as emerauras ara os nós localizados nas inerfaces e deois, devido ao desacolameno enre os subdomínios, os cálculos odem ser realizados em aralelo. No rimeiro caso-exemlo que será aqui aresenado, em-se um meio unidimensional comoso or lacas. Usando uma formulação exlícia em diferenças finias o algorimo fica oalmene aralelizável. O meio é subdividido em subdomínios, que corresondem a cada uma das lacas, sendo cada um deses aribuído a um rocessador indeendene, sendo os cálculos realizados em aralelo. São aresenados resulados de seed-u (S u e eficiência (η. No segundo caso-exemlo é considerado um meio homogêneo bidimensional dividido em subdomínios. É usada uma formulação imlícia em diferenças finias no inerior de cada subdomínio. Como os onos na inerface dos subdomínios recisam de emerauras em onos no inerior dos subdomínios adjacenes o algorimo não é aralelizável. Para conornar essa dificuldade usamos uma variane do méodo rooso or Dawson e al (1991 e Dawson e Duon (1994. No inerior de cada subdomínio resolvemos com o méodo de Gauss-Seidel o sisema de equações algébricas lineares resulanes da aroximação or diferenças finias com formulação imlícia ara o roblema de condução de calor. Quando o nó esiver localizado na inerface de dois subdomínios, a emeraura no domínio adjacene é omada com araso de um inervalo de emo. Desa forma odos os subdomínios são desacolados, ermiindo o cálculo em aralelo. 2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA 2.1 Caso Exemlo 1 Conforme reresenado na Fig1a, nese caso exemlo consideramos um meio comoso

3 or rês lacas, onde a ransferência de calor or condução aconece somene ao longo da coordenada esacial x. Considerando que as suerfícies exernas do meio xx 0 0 e xx 3 esão isoladas ermicamene, e que o conao érmico nas inerfaces é erfeio, obém-se a seguine formulação maemáica: 2 Tl 1 1 l + gl 2 α x l 1 < x < xl, l l l + 1( x, l x x l l+ 1 x x l x l, l > 0, l 1,2, 3 ( 1a x > 0, l 1, 2 ( 1b ( 1 x, > 0 l 1, 2 ( 1c T l x, x x T l l+ x x l x l Tl T0l ( x x l 1 < x < xl, 0, l 1,2, 3 ( 1d com as condições de conorno em xx 0 e xx 3, 1 x 0 0 x x 0 0, > 0, ( 1e 3 xx3 0 x x 3, > 0, ( 1 f α 2 α 3 α 3 0 P1 P2 P3 x x 0 0 x x 1 x x2 x x3 (a meio conínuo (b decomosiçao de domínio Figura 1- Meio unidimensional onde T l reresena a emeraura no meio l, com l1,2 ou 3, l é a conduividade érmica, α l é a difusividade érmica, ou seja, α l l /ρ l c l, onde ρ l é a densidade e c l é o calor esecífico, g l é a inensidade da fone érmica volumérica, e T 0l é a emeraura inicial do meio. Deve ser observado que cada laca que comõe o meio ossui a esessura x l -x l-1 com l1,2 ou Caso Exemlo 2 Conforme reresenado na Fig.2a, nese caso exemlo é considerado um meio homogêneo bidimensional. Considerando condições de conorno dos rês ios, Dirichle, Neumann e Robin, a formulação maemáica do roblema de condução de calor é dada or:

4 2 2 T T 1 1 y, + + g( x, y, 2 2 y α 0 < x < a, 0 < y < b, > 0 ( 2a h T T ( f x 0, > 0, ( 2b T y, x a, > 0, ( 2c T c T y, y 0 > 0, ( 2d T c y 0 y b, > 0, ( 2e T y, T 0 0 x a, 0 y b, 0, ( 2 f 3. DECOMPOSIÇÃO DE DOMÍNIO 3.1 Caso Exemlo 1 Nese caso exemlo é usada uma aroximação or diferenças finias com formulação exlícia ara a solução do roblema ransiene, ornando o algorimo, orano, oalmene aralelizável. Cada laca do meio comoso foi aribuída a um rocessador (esação de rabalho diferene. Na Fig. 1b é reresenada a decomosição de domínio uilizada e na Fig. 3a é aresenada uma reresenação esquemáica da disribuição de arefas nos rês rocessadores com o uso da biblioeca. 3.2 Caso Exemlo 2 Nese caso exemlo é usada uma aroximação or diferenças finias com formulação imlícia no inerior de cada subdomínio. De forma a ober um algorimo aralelizável, ara o nó erencene à inerface dos subdomínios são omadas as emerauras dos nós no subdomínio adjacene com um araso de um inervalo de emo. Na Fig. 2b é reresenada a decomosição de domínio ara ese caso-exemlo e na Fig. 3b é aresenada uma reresenação esquemáica da disribuição de arefas nos dois rocessadores com o uso da biblioeca. y b y 0 h T T ( f κ α T T c P 1 P 2 (a meio conínuo Figura 2- Meio bidimensional homogêneo (b decomosiçao de domínio

5 0 Inicialização do roblema malha comuacional e dados de enrada + P1 P2 P3 final Pare (a Caso Exemlo 1 0 Inicialização do roblema comuacional e dados de enrada + P1 P2 Cálculo da média das emerauras nos nós da inerface final Pare (b Caso Exemlo 2 Figura 3- Reresenação esquemáica da disribuição de arefas

6 Deve ser observado que o nó localizado na inerface enre dois subdomínios será calculado duas vezes, ou seja, uma vez em cada subdomínio. Aós cada inervalo de emo, onde os rocessadores calcularam em aralelo as emerauras ara os nós da malha conidos no inerior dos subdomínios, e ambém na inerface dos mesmos, é calculada uma média das emerauras obidas ara os nós localizados na inerface, anes que seja dado o róximo asso na malha emoral. Temos aqui a reocuação da violação do balanço de energia com o rocedimeno rooso. São aresenados na róxima seção, resulados que comrovam que os cálculos realizados com aenas um rocessador e com dois rocessadores são muio róximos ( ver Tabela 2. Os resulados foram obidos jusamene ara os nós localizados na inerface de dois subdomínios, onde uma maior diferença seria eserada. Foi realizado um segundo ese onde a emeraura na inerface ara o rocessador P 2 é semre considerada com um inervalo de emo de araso, sendo calculada, orano, aenas no rocessador P1. (ver Tabela 3 Desa forma os dois subdomínios são oalmene desacolados, não necessiando do cálculo de uma emeraura média a cada inervalo de emo. Por ese moivo o bloco que reresena ese cálculo na Fig. 3b ossui o conorno onilhado. Ele somene será usado no rimeiro ese. 4. RESULTADOS Anes de aresenar os resulados faz-se necessária a colocação de dois conceios que serão uilizados a seguir. O rimeiro é o seed-u (S u obido com o rocessameno aralelo, S u s onde s, é o emo de CPU ara o cálculo feio com aenas um rocessador e é o emo de CPU ara o cálculo feio com rocessadores. O segundo conceio é relacionado à eficiência (η no uso de rocessadores, ou seja, η Su Em uma siuação ideal, s Su η 1 Porém, com o uso de rocessameno aralelo, ocorre um cuso adicional relacionado à disribuição de arefas aos rocessadores. Na Fig. 3a esa aividade esá reresenada elo bloco, e na Fig. 3b, além dese, ocorre ambém o cálculo das emerauras médias na inerface. De forma genérica escreve-se, (3 (4 (5 + (6 onde máx( (7 sendo o emo de rocessameno em cada rocessador e reresena rincialmene o emo ara disribuição de arefas ara os rocessadores. 1,2,,

7 Levando a Eq.(6 na Eq.(3 obém-se S u s + Para que S u >1, é necessário que + < s s < (8 (9 Assumindo a siuação limie mais simles e s (10 obém-se < ( 1 (11 Para dois e rês rocessadores obém-se resecivamene, < 2 e < 2 3 (12 Como o emo de comunicação com a biblioeca,, é elevado, os cálculos a serem realizados or cada rocessador êm que er um ore que faça com que o emo comuacional saisfaça a desigualdade (11 ara que o uso de rocessameno aralelo seja vanajoso. São aresenadas a seguir as abelas com os resulados ara os casos exemlo descrios nas seções 2 e 3. A Tabela 1 mosra os dados relacionados ao emo de rocessameno em rês eses diferenes, feios ara um rocessador ( s e ara rês rocessadores (. Dados do Caso Exemlo 1. ( Para simlicidade dos eses são consideradas lacas de maeriais idênicos L0.07 m (esessura de cada laca g0 W/m 3 (lacas 1 e 3 g10 6 W/m 3 (laca 2 21 W/m K ρ7817 g/m 3 c 460 J/g K Tabela 1. Caso Exemlo 1-Meio unidimensional comoso or rês lacas. Tese x s S u η m s 61 s 44 s x 10-5 m s 78.6 s 47.9 s x 10-5 m s s 51 s Dados do Caso Exemlo 2 ara o ese 1. ( É considerada uma malha comuacional com 101x101 nós ab0.1 m (comrimeno e largura da laca g10 6 W/m 3 4 W/m K α10-7 m 2 /s Tc30 o C h1000 W/ m 2 o C T f 100 o C olerancia s x0.001 m

8 s s S u s (2 η0.75 Tabela 2. Caso Exemlo 2 (ese 1* - Meio bidimensional. Comaração das emerauras calculadas com um rocessador (1 e com dois rocessadores (2. nó (i,j em. ( o C - 1 em.( o C - 2 coluna 1 (i1 (1, (1, (1, (1, (1, (1, (1, coluna 51 (i51 (inerface (51, (51, (51, (51, (51, (51, (51, coluna 100 (i100 (100, (100, (100, (100, (100, (100, (100, *Temeraura na inerface calculada nos dois rocessadores (ver seção 3.2 Dados do Caso Exemlo 2 ara o ese 2. ( É considerada uma malha comuacional com 100x100 nós ab0.1 m (comrimeno e largura da laca g10 6 W/m 3 4 W/m K α10-7 m 2 /s Tc30 o C h1000 W/ m 2 o C T f 100 o C olerancia s x m s s S u s (2 η0.85 Tabela 3. Caso Exemlo 2 (ese 2*. Comaração das emerauras calculadas com um rocessador (1 e com dois rocessadores (2. nó (i,j em. ( o C - 1 em. ( o C - 2 coluna 1 (i1 (1, (1, (1,

9 Tabela 3 Coninuação (1, (1, (1, (1, coluna 50 (i50 (inerface (50, (50, (50, (50, (50, (50, (50, coluna 99 (i99 (99, (99, (99, (99, (99, (99, (99, *Temeraura na inerface calculada aenas no rocessador P 1 (ver seção 3.2 Os resulados aresenados nas abelas 2 e 3 indicam que o algorimo usando o cálculo da emeraura dos nós da inerface aenas em um dos rocessadores (P 1 ossui um desemenho um ouco suerior, sem erda na qualidade dos resulados. 5. CONCLUSÕES E TRABALHO FUTURO Os resulados aresenados na seção anerior comrovam que os algorimos aqui roosos ermiem o desacolameno dos subdomínios em que meio é decomoso, de forma que os cálculos nos mesmos sejam realizados em aralelo sem que ocorra erda significaiva de recisão. Eses foram os rimeiros resulados obidos emregando eses algorimos. Será realizada uma invesigação mais dealhada dos mesmos de forma a alicá-los em meios bidimensionais heerogêneos, bem como em meios com roriedades érmicas deendenes da emeraura. REFERÊNCIAS Beyer, P.O. e Vilhena, M.T.M.B., 1998, Fluxo de calor bi-direcional não-esacionário em meios muli-comosos, Anais do VII Congresso Brasileiro de Engenharia e Ciências Térmicas, Vol. I, Cruz, M.E., 1998, Parallel comuaion of he ransverse ermeabiliy of fibrous orous media using PVM, Anais do VII Congresso Brasileiro de Engenharia e Ciências Térmicas, Vol. II, Dallalana, A., Cosa, B.J e Cruz, M.E.,1998, Parallel microcomuing - alicaion o hea conducion in hermal comosies, Anais do V Congresso de Engenharia Mecânica N- NE, Vol. III, Dawson, C.N, Du, Q. e Duon, T.F. 1991, A finie difference domain decomosiion algorihm for numerical soluion of he hea equaion, Mahemaics of Comuaion, Vol.57, No. 195,

10 Dawson, C.N e Duon, T.F. 1994, Exlici/imlici, conservaive domain decomosiion rocedures for arabolic roblems based on bloc-cenered finie differences, SIAM J. Numer. Anal., Vol.31, No. 4, Frías Suárez, D.G. e Darias González, J.G., 1996, Esúdio del camo de emerauras en un sensor érmico de radiación laser, Relaório Técnico No. 3, IPRJ/UERJ. Frías Suárez, D.G. e Darias González, J.G., 1996a, Esúdio del comoramieno dinámico de un sensor érmico de radiación laser, Relaório Técnico No. 4, IPRJ/UERJ. Löhner, R., 1998, Renumbering sraegies for unsrucured-grid solvers oeraing on sharedmemory, cache-based arallel machines, Comu. Mehods Al. Mech. Engrg, Vol. 163, Geis, A., Beguelin, A., Dongarra, J., Jiang W., Manche, R. e Sunderam, V., 1994, PVM- Parallel Virual Machine, A User s Guide and Tuorial for Newored Parallel Comuing, The MIT Press, Cambridge. Pacheco, P.S., 1995, A user s guide o, Dearmen of Mahemaics, Universiy of San Francisco. Silva Neo, A.J. e Whie, R.E., 1994, Numerical soluion of Richards equaion, ARO Reor 94-1, Transacions of he Elevenh Army Conference on Alied Mahemaics and Comuing, Silva Neo, A.J. e Whie, R.E., 1994a, Numerical Soluion of fluid flow in arially sauraed orous media, ARO Reor 94-1, Transacions of he Elevenh Army Conference on Alied Mahemaics and Comuing, Silva Neo, A.J. e Whie, R.E., 1994b, Numerical conrol of he Sefan roblem: Maximum meling, Comu. Mehods Al. Mech. Engrg, Vol. 113, Silveira, J.L., Groe, Z.V. e Travassos, S.E.P., 1998, Análise comaraiva enre maeriais emregados na consrução de uma câmara frigorífica: syrobloc e alvenaria de ijolos maciços, Anais do VII Congresso Brasileiro de Engenharia e Ciências Térmicas, Smir, M., Oo, S.W., Huss-Lederman, Waler, D.W. e Dongarra, J, 1996, : The Comlee Reference, he MIT Press, London, England. Tallec, P.L., Mandel, J. E Vidrascu, M., 1998, A Neumann-Neumann domain decomosiion algorihm for solving lae and shell roblems, SIAM J. Numer. Anal., Vol. 35, No. 2, SOLUTION OF THE HEAT CONDUCTION EQUATION WITH DOMAIN DECOMPOSITION Absrac. In his wor he soluion of he hea conducion equaion in one-dimensional and wo-dimensional media is described using arallel comuaion ha consiss on a fundamenal ool in obaining numerical soluion for engineering roblems. We have emloyed he library (Message Passing Inerface ha is used in comuaional codes ha ae advanage of he exisence of mulile rocessors based on message assing. As a firs es case we consider a one dimensional hea ransfer roblem. Using an exlici aroximaion by finie difference combined wih he domain decomosiion echnique, he algorihm is oally arallelizable. I is also considered a second es case in a wodimensional homogeneous medium for which an imlici formulaion is alied. The medium is sli in wo subdomains, and for he nodes of he comuaional mesh locaed a he inerface he emeraures of he adjacen subdomain are aen wih one ime se lag, which urns he algorihm fully arallelizable. Key-word: Hea ransfer, Conducion, Domain decomosiion.