MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 46 RELAÇÕES NA CIRCUNFERÊNCIA

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1 MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 46 RELAÇÕES NA CIRCUNFERÊNCIA

2 G F A D H O S 1 S 2 B E

3 s A M t T t B O O O Secantes Tangentes Externas

4 E T O t

5 ^ AOB = AB A D 150º O β A 60º 150º 60º B C

6 α x 2x x b 0 y y 2y

7 V A B

8 A B D C

9 t A α O b B

10 B C a A b x α b D

11 x α b b a

12 A O P B D

13 A x x y B y k z k z C

14 G C A N H P F D E O B M

15 A O B D F N P E M T

16 A 3 x C P 12 D 9 B

17 B A C 4 6 y P x D E

18 R D R C

19 r 1 rad r l

20 l r a r

21 A O 60º B

22 Como pode cair no enem O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais. (BIEMBENGUT, M. S. Modelação Matemática como método de ensino--aprendizagem de Matemática em cursos de 1 o e 2 o graus Dissertação de Mestrado. IGCE/UNESP, Rio Claro, 1990 [adaptado].) Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado? a) 1 c) 5 e) 8 b) 4 d) 7

23 Fixação 1) Sabendo que O 1 e O 2 são os centros das circunferências, calcule o valor de x. x 80º O 1 O 2

24 Fixação 2) (ENEM) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado Mineirinho, conseguiu realizar a manobra denominada 900, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação 900 referese ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo o que, no caso, corresponde a: a) uma volta completa; b) uma volta e meia; c) duas voltas completas; d) duas voltas e meia; e) cinco voltas completas.

25 Fixação 3) (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram--se próximas à linha do Equador e em pontos diame-tralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito e voando em média a 800km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: a) 16 horas. d) 32 horas. b) 20 horas. e) 36 horas. c) 25 horas.

26 Fixação O diâmetro do círculo é, em centímetros, igual a: a) 3,1 c) 3,5 b) 3,3 d) 3,6 4) (UERJ) A figura abaixo representa um círculo de centro O e uma régua retangular, graduada em milímetros. Os pontos A, E e O pertencem à régua e os pontos B, C e D pertencem, simultaneamente, à régua e à circunferência. E D C A B 0 Considere os seguintes dados: SEGMENTOS MEDIDA (cm) AB 1,6 ED 2,0 EC 4,5

27 Fixação 5) Considere uma esfera de raio igual ao da Terra e amarre um barbante apertado pelo Equador. Corte o barbante, acrescente 1 metro e una de novo as pontas. Naturalmente, agora, o barbante está frouxo. Imaginando que todos os pontos do barbante fiquem ainda sobre o Equador, a uma mesma distância da esfera, determine um valor aproximado para essa distância.

28 Fixação 6) Na figura ao lado, os três círculos têm mesmo raio de 10 cm. Determine o comprimento da correia que envolve os três círculos.

29 Fixação 7) (ENEM) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm, e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente as suas faces laterais, conforme mostra a figura. 6 cm 8 cm O raio da perfuração da peça é igual a: a) 1 cm d) 4 cm b) 2 cm e) 5 cm c) 3 cm 10 cm

30 Proposto 1) (UERJ) Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A e B igual a 11 cm, como mostra o esquema: A B 11 cm Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no mesmo tempo em que a maior dá 375 voltas, e que os comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis. A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a: a) 2,5 c) 3,5 b) 3,0 d) 4,0

31 Proposto 2) (ENEM) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides. (BOLT, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva.) Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é: a) y = R b) y = 2R c) y = pr d) y = 2pR e) y = 4pR

32 Proposto 3) (UERJ) Um atleta faz seu treinamento de corrida em uma pista circular que tem 400 metros de diâmetro. Nessa pista, há seis cones de marcação indicados pelas letras A, B, C, D, E, e F, que dividem a circunferência em seis arcos, cada um medindo 60 graus. O atleta partiu do ponto correspondente ao cone A em direção a cada um dos outros cones, sempre correndo em linha reta e retornando ao cone A. Assim, seu percurso correspondeu a ABACADAEAFA. Considerando 3 = 1,7, o total de metros percorridos pelo atleta nesse treino foi igual a: a) 1480 B C b) 2960 c) 3080 d) 3120 A D F E

33 Proposto 4) (UFRJ) A região R é composta por quatro círculos de raio 1, de centros A, B, C e D. Sabendose que = 2 e que ABCD é um quadrado de diagonais AC e BD, determine o comprimento da menor linha poligonal, inteiramente em R, ligando A a C.

34 Proposto 5) (UNIRIO) Numa circunferência de 16 cm de diâmetro, uma corda é projetada ortogonalmente sobre o diâmetro BC. Sabendo-se que a referida projeção mede 4 cm, a medida de, em cm, é igual a: a) 6 d) 12 b) 8 e) 14 c) 10

35 Proposto 6) (UFRRJ) O raio de um círculo mede 6 m. Por um ponto P, distante 10 m do centro, traça-se uma tangente. O comprimento da tangente, compreendido entre P e o ponto de contato é: a) 4 m d) 10m b) 6 m e) 12 m c) 8m

36 Proposto 7) (UFRJ) Na figura dada a seguir: é lado de um octógono regular inscrito; t é uma tangente. Qual a medida de α? t B O A α

37 Proposto 8) No Japão, numerosos lugares de peregrinação xintoístas e budistas abrigam tabuletas matemáticas chamadas de Sangaku, onde estão registrados belos problemas, quase sempre geométricos, que eram oferecidos aos deuses. A figura a seguir, que é uma variante de um exemplar de Sangaku, é composta por cinco círculos que se tangenciam. Sabendo-se que seus diâmetros satisfazem as relações e, podese concluir que é igual a: a) 0,65 b) 0, c) 0, d) 0,7 e) 0, A O D F E C B

38 Proposto 9) A figura ilustra uma praça circular de raio 20 metros. Se Marina, contornando a praça segundo a circunferência ABCD, dá 240 passos, quantos ela dará se fizer o percurso ABCD segundo os lados do quadrado ABCD? (Use π = 3 e = 1,4) a) 238 b) 232 c) 224 d) 220 e) 188 C B A D

39 Proposto Calculou, então, a diferença entre as medidas do raio da circunferência maior e do raio do CD, chamando-a de x. Logo após, imaginando um CD com medida do raio idêntica à do raio da Terra, repetiu, teoricamente, as etapas anteriores, chamando de y a diferença encontrada. Assim, demonstrou a seguinte relação entre essas diferenças, x e y: a) x + y = π - 1 b) x + y = π - 2 c) y - x = π - 2 d) y - x = π ) Um professor de Matemática fez, com sua turma, a seguinte demonstração: colocou um CD sobre uma mesa e envolveu-o completamente com um pedaço de barbante, de modo que o comprimento do barbante coincidisse com o perímetro do CD; em seguida, emendando ao barbante um outro pedaço, de 1 metro de comprimento, formou uma circunferência maior que a primeira, concêntrica com o CD. Veja as figuras abaixo:

40 Proposto 11) (PUC) Na figura, têm-se 3 circunferências de centros A, B e C, tangentes duas a duas. As arestas QC e PT são perpendiculares. Sendo 4m o raio da circunferência maior, quantos metros devemos percorrer para ir de P a T, seguindo as setas? T A C B P Q

41 Proposto 12) Faça rolar uma moeda, A, em torno de uma segunda moeda igual, B, sem a deixar deslizar, até retornar ao ponto de partida. Quantas voltas dá a moeda A?

42 Proposto 13) O Ceará atravessa a maior seca do século. Há mais de cinco meses, Fortaleza vem sofrendo racionamento de água e estava ameaçada por um colapso no fornecimento, em setembro. Para combater este problema, o governo do estado construiu a maior obra da história do Ceará: o CANAL DO TRABALHADOR, ligando o Rio de Janeiro ao Açude Pacajus, com 115 quilômetros de extensão. Para se ter ideia da dimensão desta obra, basta dizer que ela é 18 km maior que o canal do Panamá em extensão, e representa um grau da curvatura da Terra. (Revista Veja.22/9/93) Considere a Terra esférica e o canal construído como parte de um círculo máximo. Com estas informações e usando valor 3 para π, o raio da Terra, em km, seria: a) d) b) e) c)

43 Proposto 14) (UFRJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal. 10m Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m.

44 Proposto 15) (UERJ) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como mostra ao lado. Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30cm de comprimento. Considerando π = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é: a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 1m

45 Proposto 16) Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendose que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 2πR, onde π 3? a) 1,2 m b) 2,4 m c) 7,2 m d) 14,4 m e) 48,00 m 80cm 10cm 30cm

46 Proposto 17) (UFRJ) A figura abaixo mostra duas circunferências que se tangenciam interiormente. A B r R O A circunferência maior tem centro em O. A menor tem raio r = 5 cm e é tangente a OA e a OB. Sabendo-se que o ângulo AOB mede 60, calcule a medida do raio R da circunferência maior.