MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 48 ÁREA DO CÍRCULO E SEMELHANÇA COM ÁREAS

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1 MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 48 ÁREA DO CÍRCULO E SEMELHANÇA COM ÁREAS

2 R

3 p R

4 R α R

5 10 cm 72º

6

7 = - A segmento = A setor - A triângulo

8 60º

9 60º

10 º

11 a b a S S c e e d d b c

12 Lado = 1 área = 1 Lado = 1 área = 1 Lado = 1 área = 1 Lado = 1 área = 1

13 20 cm 30 cm

14 Como pode cair no enem (UFF) Toda medida de desigualdade é uma forma de agregar diferenças de renda entre toda a população em um indicador escalar. Um dos índices de desigualdade mais utilizado é o Coeficiente de Gini. Sua construção é baseada numa curva denominada Curva de Lorenz, a qual é obtida a partir da ordenação das pessoas segundo o seu nível de renda. As pessoas são dispostas de forma crescente com suas rendas. A figura abaixo ilustra uma curva de Lorenz, relacionando a fração acumulada da renda (φ) com a fração acumulada da população (p). O coeficiente de Gini é definido como o dobro da área da região α limitada pela curva de 1 Φ Lorenz (a que forma um arco na figura) e a diagonal φ = p do quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1). α 0 1 P (Adaptado de Considerando que a Curva de Lorenz na figura acima é o arco de círculo com centro no ponto (0, 1) que une os pontos (0, 0) e (1, 1), pode-se afirmar que o Coeficiente de Gini é igual a: a) π d) π 2 4 b) π - 1 e) π 2-1 c) 7π 4

15 Fixação 1) (ENEM) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. grande média pequena 2m Área do círculo: πr 2 2m As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que: a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. b) a entidade I recebe a metade de material do que a entidade III. c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.

16 Fixação 2) O raio do círculo mede 3 cm. Calcule a área sombreada. C A B

17 Fixação 3) Na tirinha abaixo, considere A 1 a área inscrita na circunferência que representa o acelerador americano e A 2 a área inscrita naquela que representa o suíço. Observe que A 1 é menor que A 2. De acordo com os dados da tirinha, a razão corresponde, aproximadamente, a: A 2 a) 0,167 c) 0,046 b) 0,060 d) 0,023 A 1

18 Fixação 4) (ENEM) O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências, com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB = BC, Antônio demarcou uma 2 área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE = AB é lado do quadrado. 5 B C A E Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele: a) duplicasse a medida do lado do quadrado. b) triplicasse a medida do lado do quadrado. c) triplicasse a área do quadrado. d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. e) ampliasse a área do quadrado em 4%. D

19 Proposto 1) Calcule a área da figura escura, sendo ABCD um quadrado. A D B C

20 Proposto 2) Calcule a área da superfície escura: a) quadrado a 2a b) retângulo a c) quadrado a

21 Proposto 3) (PUC) Os pontos A, B, C, D, E, F dividem em seis partes iguais o círculo de raio R. Determine a área escura. F A B E D C

22 Proposto 4) (UFRJ) Uma pizzaria vende pizzas grandes e pequenas no tradicional formato circular. As grandes têm 40 cm de diâmetro e custam R$ 18,00; as pequenas têm 20 cm de diâmetro e custam R$ 6,00. Todas têm a mesma espessura. a) Lúcia e Raquel foram a essa pizzaria dispondo, cada uma, de R$ 10,00. Raquel propôs dividir uma pizza grande; Lúcia sugeriu que pedissem três pequenas. Qual dessas opções permite que elas comam mais? b) Manuel e Joaquim foram a essa pizzaria, com muita fome, e gastaram R$ 60,00 em 10 pizzas pequenas. Determine de quantas outras formas eles poderiam, nessa pizzaria, gastar os mesmos R$ 60,00 em pizzas.

23 Proposto 5) (UFRJ) A figura a seguir representa a planta de um terreno plano, em forma de pentágono convexo, de lados 40 m, 50 m, 35 m, 45 m e 40 m. Em toda a volta deste terreno foi construída uma calçada de 2 m de largura (ou seja, a distância de qualquer ponto da borda desta calçada ao terreno é exatamente 2m). Determine a área total da calçada. 40m 40m 50m 45m 35m

24 Proposto 6) (UFRJ) Na figura ao lado, os círculos C 1, C 2 e C 3 estão inscritos nos quadrados ABCD, DEFG e GHIA, respectivamente. Sabendo-se que o ângulo é reto e que a área de C 1 é igual a 1, calcule a soma das áreas de C 2 e de C 3. A C 1 C D G C 2 E F C 3 I H

25 Proposto Obs.: Suponha π = 3,14 e dê a resposta com duas casas decimais. Texto para as questões 7 e 8. A família Coelho pretende instalar, no jardim da sua casa, um sistema que rega utilizando aspersores. O alcance dos aspersores é a distância que a água atinge medida a partir do aspersor. Ângulo da dispersão Bico 90º Bico 180º Bico 270º Bico 360º Alcance: 5m A família Coelho comprou dois aspersores de 5 m de alcance: um com bico 90 e um com bico 270 ; e colocou-os no jardim, nos pontos assinalados com X, de forma a regar a maior área possível do jardim. 5m 10m 15m 5m Jardim x 10m

26 Proposto 7) (ENEM) A área do jardim, em metros quadrados, que não vai ser regada por nenhum dos aspersores é de: a) 6,14 d) 14,25 b) 8,40 e) 16,20 c) 10,75

27 Proposto 8) (ENEM) A área do jardim, em metros quadrados, que vai ser regada, simultaneamente, pelos dois aspersores é: a) 4,60 d) 14,25 b) 6,25 e) 16,10 c) 10,40

28 Proposto 9) (UNIRIO) Uma placa de cerâmica com uma decoração simétrica, cujo desenho está na figura, é usada para revestir a parede de um banheiro. Sabendo-se que cada placa é um quadrado de 30cm de lado, a área da região escura é: a) π b) 900 (4 -π) c) 500 π d) 500 π e) 225 (4 -π) 5 cm 5 cm

29 Proposto 10) (ENEM) Dois holofotes iguais, situados em H 1 e H 2, respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região S de maior intensidade luminosa, conforme figura. H 2 H 1 Dados: S R R Área do setor circular: ASC =, α α em radianos. 2 A área da região S, em unidades de área, é igual a: 2πR 2 3R 2 a) πr 2 d) 2 (2π - 3 3)R 2 b) 12 πr e) 2 3 πr 2 R 2 c)

30 Proposto 11) (UERJ) Na fotografia ao lado, observam-se duas bolhas de sabão unidas. Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema seguinte: A B Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida: πr a) 2 2 3πR b) 2 2 3πR c) 2 4 4πR d) 2 3