7 Referências bibliográficas

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4 Aêndes Aênde A Equações de smulação de reservatóros As equações odem ser eressas nas formas ontnua (dferenal) e dsreta (dferença fnta), mas geralmente equações multfásas e multdmensonas odem ser resolvdas somente na forma dsreta. Equação de onservação de massa un-dmensonal: t n n ( q q q ) M M onde omonente; élula; n nío do nremento de temo t; n fnal do t, q vazão mássa; M massa; oço (fonte ou sumdouro). mas o omonente ode estar resente em ada fase : q q, ± ± e, assumndo que o fluo elas fronteras é somente or onveção:

5 6 ( ) ± ± u A q,, ρ Onde: A área de fluo; ρ massa eseífa; fração mássa; u velodade. Sendo que, ela le de ar: kk u r γ µ O eso eseífo é: ρ g γ k ermeabldade absoluta do meo oroso; kr ermeabldade relatva a fase ; µ é a vsosdade; ressão da fase e rofunddade vertal. M M, e ( ) S V M,, φρ V volume total da élula (roha oros); Φ orosdade; S saturação Substtundo tudo na equação nal temos, ara o omonente : r r q kk A kk A t,,, γ µ ρ γ µ ρ

6 62 ( ) ( ) [ ] n n S V S V,, φρ φρ Nesta etaa odemos dsretzar os termos gradente e oloar a equação num formato adequado ara solução numéra ou odemos dervar as orresondentes equações dferenas. Vamos ontnuar a dervação aromando as dervadas na le de ar utlzando: P ± ± ± ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] { } q T T T T t,,,,, γ γ [ ] [ ] { } n n S V S V,, φρ φρ Onde a transmssbldade do omonente na fase entre as élulas ± e é: ± ± r kk A T µ ρ,, ± ± Na forma omata, utlzando os deltas: ( ) [ ] ( ) t S V q T T t,,,, φρ γ Portanto, ara 3 dmensões, odemos esrever: ± ± ±

7 63 t [ ( T, T, γ ) q ] t ( V S ) jk, φρ jk, jk Uma élula em 3 dmensões tem 6 élulas vznhas. As varáves, nas equações que vmos até agora são: Varável Número n n n S n Total n n 2n Para o resente estudo, ortanto, teremos 8 varáves, uma vez que temos 2 omonentes (CO2 e salmoura) resentes em duas fases (aquosa e ríta, sso se a água udesse estar resente na fase ríta). Equações que desrevem o nosso sstema são: Equação onservação Número n Pressão alar n - Equlíbro n Restrções de fase n Restrções de saturação S Total n n 2n

8 64 Ténas de dsretzação e erros Para dsutr sobre o erro de aromação vamos dstngur a solução eata da equação dferenal, U, e sua aromação or dferença fnta, u. O modelo a ser aromado é: 2 U 2 U η t Onde η k/φµt. Na forma de dferença fnta: U ( 2 2 ) tu η t R Onde R ontém os termos remanesentes das aromações or dferença fnta ara as dervadas no esaço e no temo. Se o termo remanesente é desrezado a aromação torna-se: 2 u ( ) 2 tu η t Onde u é a aromação or dferença fnta de U no onto do grd. Quando esta equação é resolvda num omutador um valor médo de u será obtdo. A dsretzação das equações dferenas onduz a um onjunto de equações algébras as quas forneem uma resosta aromada em ontos dsretos do domíno. A téna de dsretzação mas utlzada na smulação de reservatóros é o método de dferença fnta. Estem város modos de dsretzar equações de fluo de fludos utlzando aromações or dferenças fntas, abordagens omuns são baseadas em eansão or sére de Talor, abordagem varaonal e formulação ntegral. Vamos revsar alguns onetos básos do método de dferença fnta va eansão or sére de Talor.

9 65 Tratamento do oço no smulador Nas equações de fluo os termos referentes aos oços aareem omo fonte (njeção) ou sumdouro (rodução). No nível da dferença fnta a fonte, ou o sumdouro, de massa é dstrbuído or toda a élula e não se ode assumr que a ressão na élula é gual à ressão no oço naquela élula. No entanto estas duas ressões odem ser relaonadas através de um modelo analíto ou numéro. Este modelo deve levar em onta as araterístas geométras do oço e as roredades do reservatóro nas vznhanças do oço. A equação mas smles é obtda assumndo fluo radal, monofáso e em regme ermanente: ( r) q µ ln 2πkh r r Se ro é o rao no qual a ressão na élula (obtda do smulador) é gual a ressão no oço (obtda da equação ama), então a equação que defne ro é: ( r) o q µ ln 2πkh r r o Ou: o q µ r ln 2πkh r o () Também ara fluo em regme ermanente, nomressível e numa malha unforme e ortogonal (fgura 99), temos: ka 4 4 j o q q j j j a µ µ kh ( ) o (2) Onde: a

10 66 E: A ha Fgura 99 Reresentação esquemáta do tratamento do oço no smulador. A ressão nas élulas vznhas ode ser alulada or: o q µ ln 2πkh a r o, onde,2,3 e 4 Substtundo nesta equação a equação (2), temos: r o a e π 2 0,208 (). Com o valor de ro odemos alular a ressão no oço através da equação Quando momos um lmte mámo de vazão ara o oço as equações fam da segunte forma (eemlo onde a vazão total é lmtada):

11 67 ( ) 0 ln 2 o T r r h k B q µ π, onde o, g, a e, 2, 3 e 4 O fator volume de formação da fase (B) é neessáro, os os lmtes de vazão são esefados nas ondções de suerfíe. Esta equação junto om a varável adonal ode ser adonada ao nosso onjunto de equações não lneares, ou odemos resolver ara e elmnar esta varável das nossas equações de fluo: As duas formas ama serão útes no tratamento geral dos lmtes de oço. ( ) ( ) T T B q T B

12 68 Aênde B - Reações Químas As reações de equlíbro químo são modeladas om as onstantes de equlíbro químo: Q α K eq, α 0, α,..., R aq α naq Q a k υ kα k a γ m,,..., n aq Ou, esrevendo de um modo mas smles: aa bb C X Y zz 2 Velodade da reação dreta: v k [ A] a [ B] b [ C] Velodade da reação nversa: v 2 k2 [ X ] [ Y ] [ Z ] z No equlíbro: v v 2 Portanto: K z [ X ] [ Y ] [ Z ] a b [ A] [ B] [ C] eq Q α

13 69 A onstante de equlíbro químo em meo homogêneo é o resultado do quoente entre o roduto das onentrações das substânas obtdas na reação e o roduto das onentrações das substânas reagentes, e todas as onentrações estão elevadas a eoentes guas aos oefentes estequométros. A onstante de equlíbro vara elusvamente em função da temeratura. As reações entre omonentes na fase aquosa são rádas om relação as reações de dssolução mneral. Por sso as reações ntra-aquosas odem ser reresentadas omo reações de equlíbro químo ao asso que as reações de dssolução/retação são deendentes da taa de reação. Geralmente é onsderado um modelo de atvdade deal o qual assume a atvdade gual à molaldade. As atvdades do CO 2aq e da H 2 O odem ser onsderadas guas a sem erros sgnfatvos. É neessáro nformar ao smulador o nome dos omonentes aquosos, seus esos moleulares, o tamanho dos ons e a arga elétra. No aso dos omonentes mneras além do nome e do eso moleular devemos nformar a massa eseífa. evemos anda nformar a onentração nal de gás e omonentes aquosos em molaldade mol/kg H 2 O e a fração volume mneral/volume bulk de roha dos mneras, omo mostra a o eemlo da tabela 26. Tabela 26 Valores de entrada do smulador.

14 70 Os oefentes estequométros de ada reação são nformados e também o log(base 0) da onstante de equlíbro químo (tabelado em função da temeratura):

15 7 Aênde C Comressbldade A orosdade das rohas sedmentares é função do grau de omatação das mesmas, e as forças de omatação são funções da máma rofunddade que a roha já se enontrou. 2 Esse efeto é devdo à arrumação dos grãos, resultante da omatação. Assm, sedmentos que já estveram a grandes rofunddades aresentam menores valores de orosdade que aqueles que nuna foram tão rofundamente enterrados. 2 Três tos de omressbldade devem ser dstngudos nas rohas2: Comressbldade da roha matrz: é a varação fraonal em volume do materal sóldo da roha om a varação untára da ressão; Comressbldade total da roha: é a varação fraonal do volume total da roha om a varação untára da ressão; Comressbldade dos oros: é a varação fraonal do volume oroso da roha om a varação untára da ressão; Quando fludos são njetados em uma roha reservatóro, oorre um aumento da ressão nterna da roha e om sso ela fa sujeta a tensões resultantes dferentes. Essa varação de tensões rovoa modfações nos grãos, nos oros e algumas vezes no volume total da roha. e maor mortâna na engenhara de reservatóros é a varação do volume oroso, devda à hamada omressbldade efetva ou dos oros, defnda omo: f V V VV Consderando-se a defnção de orosdade, anterormente aresentada, onsderando que o volume total da roha é onstante, dervando a eressão do volume oroso em relação à ressão e fazendo-se as substtuções obtém-se: φ f φ

16 72 No modelo numéro onsderado no resente trabalho a orosdade vara om ressão, numa mesma élula, segundo a eressão: or() or * [ f * ( - ref )] Sendo que as onstantes or, f e ref são a orosdade nal, a omressbldade efetva da formação e a ressão de referêna, resetvamente. Fsamente, ara vener toda a resstêna ofereda elos anas orosos, om suas tortuosdades e estrangulamentos, e se desloar, é neessáro que os fludos estejam submetdos a erta ressão. O aumento da ressão ausa ontração dos fludos ontdos no aquífero e eansão do volume oroso. Oorre também o desloamento de um fludo or outro (nvasão do aquífero elo gás)(modfado 23 modfado fundamentos de eng. de etróleo). Em geral é mossível orrelaonar valores de omressbldade de roha, de tal manera que a omressbldade deve semre ser medda ara o reservatóro que estver sendo estudado. As orrelações forneem, na melhor das hóteses, aenas uma ordem de magntude dos valores de omressbldade. Na ausêna de valores meddos, no entanto, a orrelação de Hall (953), aresentada na fgura 00, ode ser usada ara estmatva da omressbldade efetva de uma roha-reservatóro. Hall nvestgou o omortamento da omressbldade efetva f à ressão eterna (eso das amadas) onstante e, utlzando dados de dversos amos, onstruu um gráfo de orosdade versus omressbldade efetva da roha.

17 73 Fgura 00 Comressbldade efetva da formação, f (Hall, 953). 2 Posterormente Neman (973) aresentou outras orrelações ara a estmatva de arentos onsoldados, fráves e não onsoldados, onforme ode ser vsto nas fguras 0 a 03. Fgura 0 Comressbldade efetva da formação a uma ressão ltostáta de 75% ara arentos onsoldados. 22

18 74 Fgura 02 Comressbldade efetva da formação a uma ressão ltostáta de 75% ara arentos fráves. 22 Fgura 03 Comressbldade efetva da formação a uma ressão ltostáta de 75% ara arentos nonsoldados. 22 Referêna deste tóo: 2