Integrais de nidas e o Teorema Fundamental do C alculo

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1 Aul 17 Integris de nids e o Teorem Fundmentl do C lculo 17.1 A integrl de nid Sej = f() um fun»c~o cont ³nu em um intervlo fechdo [; b]. Subdividmos o intervlo [; b] trv es de n +1 pontos ; 1 ; ;::: ; n 1 ; n, tis que = < 1 < < < n 1 < n = b O conjunto de pontos } = f = ; 1 ; ;::: ; n 1 ; n = bg constitui um subdivis~o ou prti»c~o do intervlo [; b]. Tomemos ind pontos c 1 ;c ;c 3 ;::: ;c n 1 ;c n em [; b], tis que c 1 [ ; 1 ]=[; 1 ]; c [ 1 ; ];. c i [ i 1 ; i ]; Sejm. c n [ n 1 ; n ]: 1 = 1 = 1. i = i i 1. n = n n 1 146

2 Integris definids e o Teorem Fundmentl do C lculo 147 E formemos som P S = f(c 1 ) 1 + f(c ) + + f(c n ) n = n f(c i ) i. Est e umsom integrl de f, nointervlo[; b], correspondente µ prti»c~o }, e µ escolh de pontos intermedi rios c 1 ;::: ;c n. P Note que, qundo f() > em [; b], som integrl de f, S = n f(c i ) i, e somds res de n ret^ngulos, sendo o i- esimo ret^ngulo, pr 1 i n, debse i e ltur f(c i ).Isto e ilustrdo n gur = f() f(c n ) f(c 1 ) f(c ) f(c 3 )..... = c c c c = b n-1 n n 1 3 n Figur Sej omiordosn umeros 1,, :::, n. Escrevemos =mf 1 ; ;::: ; n g = m i Tl e tmb em chmdo de norm d prti»c~o }. E poss ³vel demonstrr que, qundo considermos um sucess~o de subdivis~oes = < 1 < < n = b, dointervlo[; b], fzendo com que =m i tornesemisemispr oimo de zero (e o n umero n, de sub-intervlos, torne-se cd vez mior), s soms integris S, correspondentes esss subdivis~oes, v~o tornndo-se cd vez mis pr oims de um n umero rel, chmdointegrl de nid de f, nointervlo [; b] edenotdopor R b f,ouporr b f() d. Em outrs plvrs, qundo formmos um seqäu^enci de prti»c~oes } 1, }, :::, } k, :::,dointervlo[; b], denormsrespetivmenteiguis 1,, :::, k, :::, ssocindo cd prti»c~o um conjunto de pontos intermedi rios (os c i 's), e formn-

3 Integris definids e o Teorem Fundmentl do C lculo 148 do ent~o um seqäu^enci de soms integris S 1 ;S ;::: ;S k ;:::, sendo teremos lim S k = = R b f, pr lgum n umero rel. k!+1 lim k =, k!+1 De modo mis simpli cdo, integrl de nid de f, de t e b (ou no intervlo [; b]) e on umero rel = f() d = lim! S = lim m i! f(c i ) i Observ»c~o 17.1 Se f() > no intervlo [; b], qundo m i!, on umero k, de sub-intervlos tende 1. Os ret^ngulos ilustrdos n gur 17.1 tornm-se cd vez mis estreitos e numerosos µ medid em que m i torn-semisemispr oimo de. P Neste cso, lim n m i! f(c i) i de nir re compreendid entre curv = f(), oeio, e s rets verticis =, = b. Sumrizndo, Se f() > em [; b], temos f() d =( re sob o gr co de f, de = t e = b) Observ»c~o 17. Por outro ldo, se f() < pr todo [; b], teremos R b f() d = A, sendo A re (positiv) d regi~o pln compreendid entre o eio, ogr co de f, esrets = e = b. Note que, neste cso, feit um subdivis~o = < 1 < < < n = b, e escolhidos os pontos c 1 ;c ;::: ;c n,comc i [ i 1 ; i ],pri =1; ;::: ;n,teremos f(c i ) i < pois f(c i ) < pr cd i, e i > pr cd i. Observ»c~o 17.3 Se o gr co de f, nointervlo[; b], ecomoogr co esbo»cdo n gur 17., ent~o, sendo A 1, A, A 3 e A 4 s res (positivs) indicds n gur, teremos f() d = A 1 A + A 3 A 4 Observ»c~o 17.4 Pode-se demonstrr que se f e cont ³nu em [; b], o limite P lim n m i! f(c i) i = R b f n~o depende ds sucessivs subdivis~oes = < 1 < < n = b, e nem ds sucessivs escolhs de pontos c 1 ;c ;::: ;c n,comc i [ i 1 ; i ] pr cd i.

4 Integris definids e o Teorem Fundmentl do C lculo 149 = f() A 1 A A 3 A 4 b Figur 17.. R b f = A 1 A + A 3 A 4. Observ»c~o 17.5 Se, pr um P fun»c~o g, de nid em [; b], n~o necessrimente cont ³nu, eistir o limite lim n m i! g(c i) i ( i 's e c i 's tl como ntes), dizemos que g e integr vel em [; b], e de nimos, tl como ntes, g() d = lim m i! g(c i ) i Eemplo 17.1 Sendo f() =, clculr R 1 f() d, ousej,determinr re compreendid entre pr bol = eoeio, nointervlo 1. Pr clculr integrl pedid, vmos primeirmente subdividir o intervlo [; 1] em n sub-intervlos de comprimentos iguis =1=n, ou sej,tomremos =, 1 =1=n, ==n, :::, n 1 =(n 1)=n e n = n=n =1. Neste cso, 1 = = = n =1=n. Tomremos ind c i = i = i=n, pri =1; ;::: ;n. Teremos som integrl S = f(c i ) i = = f(i=n) 1 n = 1 n 3 µ i 1 n n = i n 3 i = n n 3 Pode ser demonstrdo que n = 1 n(n + 1)(n +1), fto que usremos 6 qui. Assim, como! seesomentesen!1,temos

5 Integris definids e o Teorem Fundmentl do C lculo 15 Z 1 f() d = Z 1 d = lim m i! = lim n! n n 3 f(c i ) i = lim n!1 n(n + 1)(n +1) 6n 3 = 6 = 1 3 A re procurd e igul 1=3 (de unidde de re). Proposi»c~o 17.1 Se f e cont ³nu no intervlo [; b], sendo m e M os vlores m imo e m ³nimo de f, respectivmente, no intervlo [; b], ent~o m(b ) f() d M(b ) M A" B" m A' B' A B b Figur m(b ) R b f M(b ). Abio, fremos um demonstr»c~o d proposi»c~o Antes por em, dremos um interpret»c~o geom etric dess proposi»c~o,no csoemquef>em [; b]. D gur 17.3, em que m e M s~o, respectivmente, os vlores m ³nimo e m imo de f() pr [; b], temos re ABB A ( re sob o gr co de f, nointervlo[; b]) re ABB A. D ³, m(b ) f() d M(b ) Demonstr»c~o d proposi»c~o Tomndo-se um subdivis~o qulquer de [; b], = < 1 < < n = b e tomndo-se pontos c i [ i 1 ; i ],pri =1; ;::: ;n,temos f(c i ) i M i

6 Integris definids e o Teorem Fundmentl do C lculo 151 pois f(c i ) M, e i >, prcdi. D ³, f(c i ) i M i = M pois Logo, eportnto i = M(b ) i = n = b lim m i! f(c i ) i M(b ) f() d M(b ) Anlogmente, deduzimos que R b f() d m(b ). Assumiremos sem demonstr»c~o s seguintes proprieddes. Proposi»c~o 17. Se f e g s~o cont ³nus em [; b], ent~o, sendo k um constnte e <c<b, 1. R b (f()+g()) d = R b f() d + R b. R b k f() d = k R b f() d 3. R c f() d + R b f() d = R b c f() d g() d 4. se f() g(), prtodo [; b], ent~o R b f() d R b g() d Observ»c~o 17.6 Sendo f cont ³nu em [; b], s~o dotds s seguintes conven»c~oes (de ni»c~oes). (i) R f() d = (ii) R f() d = R b f() d b Adotds esss conven»c~oes, proposi»c~o 17., cim enuncid, continu verddeir qulquer que sej ordem dos limites de integr»c~o, b e c, podendo ind dois deles (ou os tr^es) coincidirem. Teorem 17.1 (Teorem do vlor m edio pr integris) Se f e cont ³nu no intervlo [; b], eistec [; b] tl que f() d = f(c) (b )

7 Integris definids e o Teorem Fundmentl do C lculo 15 Adinte fremos demonstr»c~o deste teorem. Um interpret»c~o geom etric do teorem do vlor m edio pr integris, no cso em que f() > em [; b], efeitn gur A' B' f(c) A B c b Figur Teorem do vlor m edio pr integris: R b f = ( re sob o gr co de f) = ( re ABB A ) = f(c)(b ). Pr demonstrrmos o teorem do vlor m edio pr integris, usremos o Teorem do vlor intermedi rio. f(b) f() b Figur Pr cd, tl que f() f(b), eiste [; b] tl que f( )=. Teorem 17. (Teorem do vlor intermedi rio) Sej f um fun»c~o cont ³nu no intervlo [; b]. Pr cd, tl que f() f(b), eiste [; b] tl que f( )=. Ilustrmos geometricmente o teorem do vlor intermedi rio n gur Como conseqäu^enci do teorem do vlor intermedi rio, temos o teorem do nulmento, j eplordo n ul 7, µ p gin 66:

8 Integris definids e o Teorem Fundmentl do C lculo 153 (Teorem do nulmento) Sendo <b,ef cont ³nu em [; b], sef() < e f(b) > (ou se f() > e f(b) < ), ent~o fun»c~o f possui um riz no intervlo [; b]. Demonstr»c~o. Como f() < < f(b), pelo teorem do vlor intermedi rio, eiste [; b] tl que f( )=. Demonstr»c~o do teorem Sendo f cont ³nu no intervlo [; b], pelo teorem de Weierstrss, p gin 69, ul 8, eistem m; M R tis que m =minff() j [; b]g e M =mff() j [; b]g. Al em disso, eistem pontos 1 ; [; b] tis que f( 1 )=m e f( )=M. Pel proposi»c~o 17.1, m(b ) f() d M(b ) D ³, m 1 f() d M b R Sendo = 1 b b f() d, como f( 1)=m M = f( ), pelo teorem do vlor intermedi rio, eiste c [; b] (c entre 1 e ) tl que f(c) =. Logo, eportnto f(c) = 1 b f() d f() d = f(c)(b ) 17. O teorem fundmentl do c lculo Teorem 17.3 (Teorem fundmentl do c lculo, primeir vers~o) Sej um fun»c~o cont ³nu no intervlo [; b]. Prcd [; b], sej f Ent~o '() = Z f(t) dt ' () =f(); 8 [; b] Um ds conseqäu^encis imedits do teorem fundmentl do c lculo e que Tod fun»c~o cont ³nu f, emumintervlo[; b], possui um primitiv (ou nti-derivd) em [; b], sendo el fun»c~o ', de nid por '() = R f(t) dt, prcd [; b].

9 Integris definids e o Teorem Fundmentl do C lculo 154 Demonstr»c~o do teorem fundmentl do c lculo, primeir vers~o. Pr em [; b], e 6=,com + em [; b], temos ' = '( + ) '() = = Z + (Vej gurs 17.6 e 17.6b.) f(t) dt + Z Z + f(t) dt = Z Z + f(t) dt f(t) dt f(t) dt () (b) = f() = f() ϕ () b ϕ + b Figur () Interpret»c~o geom etric de '(), [; b]. (b) Interpret»c~o geom etric de ', pr >. Pelo teorem do vlor m edio pr integris, eiste w entre e + tl que Assim sendo, Z + f(t) dt = f(w) [( + ) ] ' = '( + ) '() =f(w) o que implic ' = f(w); pr lgum w entre e + Temos w! qundo!. Como f e cont ³nu, ' ' () = lim! = lim f(w) = lim f(w) =f()! w! Como conseqäu^enci do teorem fundmentl do c lculo, primeir vers~o, temos su segund vers~o, tmb em chmd f ormul de Newton-Leibniz. Ele estbelece um cone~o surpreendente entre s integris inde nids e s integris de nids.

10 Integris definids e o Teorem Fundmentl do C lculo 155 Teorem 17.4 (Teorem fundmentl do c lculo, segund vers~o) Sendo f um fun»c~o cont ³nu no intervlo [; b], se Z f() d = F ()+C ent~o f() d = F (b) F () Demonstr»c~o. Pelo teorem fundmentl do c lculo, primeir vers~o, temos que fun»c~o '() = R f(t) dt, b, e um primitiv de f() no intervlo [; b], ou sej, ' () =f(). Se R f() d = F ()+C, temos tmb em F () =f(). Logo, pel proposi»c~o 15.1 eiste um constnte k tl que '() =F ()+k; pr todo em [; b] Agor, '() = R f(t) dt =. Logo, F ()+k =, de onde ent~o k = F (). Assim sendo, Z f(t) dt = '() =F () F () Qundo = b, temos f() d = F (b) F () E costume denotr [F ()] b = F ()jb = F (b) F (). Ou sej, sendo R f() d = F ()+C, temos R b f() d = F ()jb = F (b) F (). Eemplo 17. Clculr re compreendid entre curv =sen eoeio, pr ¼. Solu»c~o. Como sen qundo ¼, temos que re procurd e ddpel integrl A = R ¼ sen d. Temos R sen d= cos + C. = sen uniddes de áre π Logo, A = R ¼ sen d=[ cos ]¼ =( cos ¼) ( cos ) = 1+1 = (uniddes de re).

11 Integris definids e o Teorem Fundmentl do C lculo Integr»c~o de nid, com mudn»c de vri vel Veremos gor que, qundo fzemos mudn»c de vri vel (integr»c~o por substitui»c~o), no cso de um integrl de nid, podemos nlizr os c lculos com nov vri vel introduzid, sem necessidde de retornr µ vri vel originl. Pr tl, o relizrmos mudn»c de vri vel, trocmos dequdmente os limites de integr»c~o. Suponhmos que = f() de ne um fun»c~o cont ³nu em um intervlo I, com ; b I, e que = '(t) e umfun»c~o de t deriv vel em um certo intervlo J ½ R, stisfzendo 1. f('(t)) I qundo t J.. '( ) =, '( ) =b, pr certos ; J; 3. ' (t) e cont ³nu em J; Sendo F () um primitiv de f() em I, temos R f() d = F ()+C, ecomo vimos, tomndo = '(t), teremosd = ' (t) dt, e R f('(t))' (t) dt = F ('(t)) + C. Ent~o, Pelo teorem fundmentl do c lculo, f() d = F ()j b = F (b) F () =F ('( )) F ('( )) = F ('(t))j = Z f('(t)) ' (t) dt Eemplo 17.3 Clculr R 1 1 p 1+ d. Fzendo u =1+, clculmos R p 1+ d = 1 3p 1+ + C. Pelo teorem fundmentl do c lculo, R 1 1 p 1+ d = 3p = p 8 p 8 = Por outro ldo, poder ³mos ter trocdo os limites de integr»c~o, o relizr mudn»c de vri vel. O resultdo seri: pr = 1, u =;epr =1, u =(!). Ent~o R 1 p 1+ 1 d = R p u 1du =. Eemplo 17.4 Clculr re delimitd pel circunfer^enci de equ»c~o + =.

12 Integris definids e o Teorem Fundmentl do C lculo 157 Pr clculr re A desse c ³rculo, bst clculr re sob o semi-c ³rculo = p, cim do eio, entre os pontos = e =, ou sej, clculr A= = Z p d Fremos substitui»c~o = sen t, ¼= t ¼=. Pr t = ¼=, = ; prt = ¼=, =. Teremos ent~o d = cos tdt, = cos t e, como cos t no intervlo [ ¼=;¼=], p = cos t. Logo, R p d = R ¼= ¼= cos tdt. Temos cos t +sen t =1e cos t sen t = cos t, logo cos t = 1 (1 + cos t). Assim, Z p Z ¼= d = cos tdt = = = ¼= Z ¼= ¼= (1 + cos t) dt 1 t + sen t ¼= Eportnto re do c ³rculo e A = ¼. ¼= ¼ + 1 sen ¼ ¼ + 1 sen( ¼) = ¼ 17.. Integr»c~o de nid, por prtes Suponhmos que u = u() e v = v() s~o fun»c~oes deriv veis no intervlo [; b], coms derivds u () e v () cont ³nus em [; b]. Temos (u v) = u v + u v = uv + vu,eent~o R b [u()v()] d = R b u()v () d + R b v()u () d. Pelo teorem fundmentl do c lculo, R b [u()v()] d = u()v()j b.portnto R b u()v () d = u()v()j b R b v()u () d. Em not»c~o brevid, udv = uvj b vdu

13 Integris definids e o Teorem Fundmentl do C lculo Problems Clcule s integris de nids listds bio. 1. R 1 d. Respost. ¼= R p = p d 1. Respost. ¼=4. 3. R ¼=3 tg d. Respost. ln. 4. R 1 5. R dt. Respost. ln. t sen tdt. Respost. 1 cos. 6. R ¼= sen cos d. Respost. 1=3. 7. R ¼= 8. R 4 1 d 3+ cos. Respost. ¼ = rc tg u. u =tg,e d p +4. Respost. 3 p =. p. Sugest~o. Use identidde cos = 1 tg,f»c 5 9. R 1 d. Respost. ¼ + 1. Sugest~o. F»c =tgu. 1 (1+ ) 4 1. R R ¼= p 1 d. Respost. 4 rc tg. cos d 6 5sen+sen. Respost. ln tg 1. Clcule integrl R t p d ( t ), sem usr ntiderivds, interpretndo- como re sob curv (semi-c ³rculo) = p, e cim do eio, no intervlo [;t] ( gur 17.7). t Figur p Respost. t t + rc sen t. Sugest~o. Subdivid re ser clculd em dus regi~oes, como sugere gur.