Aplica»c~oes selecionadas da integral de nida

Transcrição

1 Aul 0 Aplic»c~oes selecionds d integrl de nid 0.1 Are de um regi~o pln Suponmos que f e g s~o dus fun»c~oes cont ³nus no intervlo [; b], sendo f() g(), pr todo [; b]. Pr [; b], considermos, poid µ esquerd no ponto, um fti retngulr verticl, de bse, eltur() =f() g(), como n gur 0.1. A re dess fti ser ddpor A =[f() g()]. y y = f() A = [f() - g()] y = g() b Figur 0.1. Se subdividirmos o intervlo [; b] em v rios sub-intervlos de comprimento, e sobre cd um deles constru ³rmos um re A, como cim,teremos re entre s dus curvs, compreendid entre s rets verticis = e = b, dd proimdmente por A = [f() g()] 180

2 Aplicc»~oes selecionds d integrl definid 181 onde, pelo bem d simplicidde, estmos omitidindo ³ndices do somt rio. A re entre s dus curvs, compreendid entre s rets verticis = e = b, ser dd pelo limite de tis soms integris, qundo! 0, ousej,ser ddpor A = lim [f() g()] = [f() g()] d!0 Sendo A =[f() g()], e costume simbolizr da =[f() g()]d. Temos ent~o A = R b da. E costume dizer que da =[f() g()] d e umelemento in nitesiml de re, de ltur f() g(), sobreumelemento in nitesiml de comprimento d. Os ³mbolo de integr»c~o, R,prov em d form de um rcico S, e tem o signi cdo de \som (vej isto: R om) deumn umero in nito de quntiddes in nitesimis". Assim, se f() 0, R b f() d corresponde, grosso modo, um som de elementos in nitesimis de re, de lturs f(), ebsed, com \vrindo" de t e b. Eemplo 0.1 Clculr re delimitd pels curvs y = e y = p. y y = 1 y = 0 1 Figur 0.. Solu»c~o. As curvs dds se interceptm em 0 =0eem 1 =1(solu»c~oes de = p ). Pr 0 1, temos p. Vej gur 0.. Assim sendo, reentresduscurvs eddpor A = R 1 0 [p ] d = R i [1= ] d = 3 3= 3 = = M edi ou vlor m edio de um fun»c~o Sej f um fun»c~o cont ³nu no intervlo [; b]. Em [; b] tomemos os n +1 pontos igulmente esp»cdos 0 = < 1 < <:::< n 1 < n = b 0

3 Aplicc»~oes selecionds d integrl definid 18 isto e, tis que 1 0 = 1 = :::= n n 1 = = b n Am edi ritm etic dos n +1vlores f( 0 );f( 1 );f( );::: ;f( n ), eddpor ¹ n = f( 0)+f( 1 )+ + f( n ) n +1 De niremos m edi d fun»c~o f, no intervlo[; b], como sendo Mostrremos que ¹f = lim n!1 ¹ n ¹f = R b f() d b De fto, sendo = b n,temos ¹ n = f( 0)+f( 1 )+ + f( n ) = f( 0) n = f( 0) n +1 + n µ +1 f(1 ) + f( ) + + f( n ) n +1 µ f(1 ) + f( ) + + f( n ) n b n +1 = f( 0) n b n n +1 (f( 1) + f( ) + + f( n ) ) Logo, como os pontos 0 (= ); 1 ;::: ; n 1 ; n (= b) subdividem o intervlo [; b] em n sub-intervlos, todos de comprimento =(b )=n. lim ¹ f( 0 ) n = lim n!1 n!1 n b lim n n!1 n +1 lim n!1 =0+ 1 b 1 f() d = 1 b à n! f( i ) i=1 f() d Eemplo 0. Determine o vlor m edio de f() =,nointervlo b. Solu»c~o. O vlor m edio de f em [; b], eddopor ¹f = 1 d = 1 3 b b b 3 = (b )( + b + b ) 3(b ) = + b + b 3 = 1 µ b 3 b 3 3 3

4 Aplicc»~oes selecionds d integrl definid Volume de um s olido V = A(). A() A() b Figur 0.3. N gur 0.3, pr cd, b, um plno perpendiculr um eio cort um s olido (um btt?) determinndo no s olido um sec»c~o trnsversl de re A(). De = t e = b, s~o determinds s resdetodstodsssec»c~oes trnsversis desse s olido, sendo b o seu \comprimento". Qul e o seu volume? Suponmos que o intervlo [; b] e subdividido em n sub-intervlos, todos de comprimento =(b )=n. Se e um ponto dess subdivis~o, determin-se um volume de um fti \cil ³ndric", de \bse" com re A() e\ltur", V = V () Um proim»c~o do volume do s olido e ddopelosomt orio desses v rios volumes cil ³ndricos, V» = V = A() sendoosomt orio qui escrito sem os bituis ³ndices i, pr simpli cr not»c~o. Qunto mis ns s ftis \cil ³ndrics", mis pr oimo o somt orio estr do volume do s olido, sendo seu volume igul V = lim V = lim A() =!0!0 A() d Os cientists de res plicds costumm dizer que dv = A() d e umelemento in nitesiml de volume, constru ³do sobre um ponto, de um \cilindro" de re d bse A() e ltur (espessur) \in nitesiml" d. Ao \somr" os in nitos elementos de volume, temos R b dv = R b A() d igul o volume do s olido.

5 Aplicc»~oes selecionds d integrl definid 184 Eemplo 0.3 Qul e o volume de um tronco de pir^mide, de ltur, cujbse eum qudrdo de ldo ecujotopo e um qudrdo de ldo b? Solu»c~o. Posicionemos um eio perpendiculr µs dus bses. Cd ponto (ltur), demrcd nesse eio, corresponde, no tronco de pir^mide, um sec»c~o trnsversl qudrd, de tl modo que =0corresponde µ bse qudrd de ldo, e = corresponde o topo qudrdo de ldo b. Vej gur 0.4. b = b = 0 Figur 0.4. Procurndo um fun»c~o m, f() =m + n, tl que f(0) = e f() =b. encontrmos f() = + b. A re d sec»c~o trnsversl, n ltur, e ddpor µ A() = + b O volume do tronco de pir^mide e ent~o Fzendo u = + b pr =, eent~o V = Z 0 A() d = V = Z 0 A() d =,temosdu = b b u du = Z 0 µ + b d d. Al em disso, u = pr =0,eu = b b u3 3 b = 3(b ) (b3 3 )= 3 ( + b + b ) Note que o volume do tronco de pir^mide e 1=3 do produto de su ltur pelo vlor m edio ds res ds sec»c~oes trnsversis (vej eemplo 0.). Conforme um ntigo ppiro, est f ormul j er conecid pel ntig civiliz»c~o eg ³pci do s eculo 18.C.

6 Aplicc»~oes selecionds d integrl definid Volume de um s olido de revolu»c~o Qundo rotcionmos um regi~o do plno y emtornodoeio ou do eio y, relizndo um volt complet, o lugr geom etrico descrito pelos pontos d regi~o e o que cmmos um s olido de revolu»c~o. Suponmos que um s olido de revolu»c~o e obtido rotcionndo-se, em torno do eio, um regi~o pln delimitd pels curvs y = f(), y = g(), epelsrets verticis = e = b, sendo f() g() pr b. Pr cd [; b], um plno perpendiculr o eio, cortndo este no ponto, determin no s olido de revolu»c~o um sec»c~o trnsversl. Est sec»c~o trnsversl e obtid pel revolu»c~o complet, em torno do eio, do segmento verticl A B, sendo A =(; g()) e B =(; f()). Vej gur 0.5 A re dess sec»c~o trnsversl ser nd mis que re de um regi~o pln compreendid entre dois c ³rculos conc^entricos de centro (; 0), sendo um menor, de rio g(), eoutromior,deriof(). Como re de um c ³rculo de rio r e ¼r,temos que re A(), d sec»c~o trnsversl do s olido de revolu»c~o, e dd por A() =¼[f()] ¼[g()] y y = f() B y = g() A b 180 g() f() Figur 0.5. Portnto, o volume do s olido de revolu»c~o ser V = A() d = (¼[f()] ¼[g()] ) d Se regi~o pln for delimitd pelo gr co de y = f(), pelo eio, e pels rets = e = b, teremosg() =0,eent~o V = ¼[f()] d

7 Aplicc»~oes selecionds d integrl definid 186 Eemplo 0.4 Clcule o volume de um esfer de rio. A esfer de rio pode ser interpretd como o s olido obtido pel revolu»c~o d regi~o semi-circulr + y, y 0, em torno do eio. Um tl regi~o e delimitd pels curvs y = p,ey =0,com. Assim, qui, f() = p e g() =0, sendo ent~o o elemento de volume integrr. V = Portnto, Z ¼( ) d = ¼ dv = A() d = ¼[f()] d = ¼( ) d 3 = ¼ Comprimento de um curv µ 3 3 ¼ 3 µ = ¼3 Consideremos gor curv y = f(), gr co de um fun»c~o cont ³nu f, pr b. Pr clculr o comprimento dess curv, primeirmente prticionmos o intervlo [; b] em n sub-intervlos de comprimento = b,trv es de pontos n = 0 ; 1 ;::: ; n 1 ; n = b Em seguid considermos, no gr co, os n +1pontos correspondentes, A 0 =( 0 ;f( 0 ));A 1 =( 1 ;f( 1 ));::: ;A n 1 =( n 1 ;f( n 1 ));A n =( n ;f( n )) y s 1 s A 0 A 1 y = f() s n A... A n-1 An 1 n-1 b 0 n Figur 0.6. Sendo s i =dist(a i 1 ;A i ),pri =1;::: ;n, temos que um proim»c~o do comprimento d curv e dd pel som P n i=1 s i = P n i=1 dist(a i 1;A i ).

8 Aplicc»~oes selecionds d integrl definid 187 Agor, dist(a i 1 ;A i )= p ( i i 1 ) +(f( i ) f( i 1 )) = p s µ f ( ) +( f) = 1+ Assumindo que f e diferenci vel no intervlo [; b], pelo teorem do vlor m edio, teorem 15.1, ul 1, f = f( i) f( i 1 ) = f 0 (c i ) i i 1 pr lgum c i compreendido entre i 1 e i. Assim, n s i = i=1 n p 1+(f0 (c i )) i=1 Est e um som integrl de '() = p 1+(f 0 ()),nointervlo[; b], correspondente µ subdivis~o = 0 ; 1 ;::: ; n 1 ; n = b, com um \escol" de pontos intermedi rios c 1 ;c ;::: ;c n.vejde ni»c~o µ ul17. Supondo f 0 () cont ³nu no intervlo [; b], temosent~o que o comprimento d curv y = f(), b, eddopor s = lim s = lim!0!0 n p 1+(f0 (c i )) = i=1 p 1+(f 0 ()) d Aid ei intuitiv que d integrl pr o comprimento de rco e ilustrd n gur 0.7. Pr um elemento in nitesiml de comprimento d, corresponde um vri»c~o in nitesiml em y, dy. O elemento in nitesiml de comprimento de rco, ds, correspondente µ vri»c~o d, e ddo pelo teorem de Pit gors: ds = p (d) +(dy) = s 1+ µ dy d = p 1+(f d 0 ()) d y ds d dy Figur 0.7.

9 Aplicc»~oes selecionds d integrl definid Are de um superf ³cie de revolu»c~o Consideremos curv y = f(), gr co de um fun»c~o f cont ³nu, qul ssumiremos que tem derivd f 0 tmb em cont ³nu, pr b. Rotcionndo-se ess curv em torno do eio, obtemos um superf ³cie de revolu»c~o. Pr o c lculo de su re, primeirmente prticionmos o intervlo [; b] em n sub-intervlos de comprimento = b n,trv es de pontos = 0, 1, :::, n 1, n = b. Tomndo-se dois pontos dess subdivis~o, i 1 e i, considermos os pontos correspondentes no gr co de f, A i 1 =( i 1 ;f( i 1 ) e A i =( i ;f( i )). Este procedimento geom etrico est ilustrdo n gur 0.6. Rotcionndo-se o segmento A i 1 A i em torno do eio, obtemos um tronco de cone, de gertriz lterl s i = A i 1 A i, sendo f( i 1 ) e f( i ) os rios de su bse e de seu topo. Vej gur 0.8 A i -1 A i f( ) i -1 f( ) i Figur 0.8. A re d superf ³cie lterl de um tronco de cone, de gertriz lterl ` e rios r e R no topo e n bse, e ddpor¼(r + R)`. Assim, rotcionndo o segmento A i 1 A i, em torno do eio, como cim, superf ³cie resultnte ter re S i = ¼[f( i 1 )+f( i )] s i e re d superf ³cie de revolu»c~o, d curv y = f(), b, em torno do eio, ser ddpor S = lim! 0 S i Agor, como rgumentdo n se»c~o nterior (con r), s i = A i 1 A i = p 1+[f 0 (c i )]

10 Aplicc»~oes selecionds d integrl definid 189 pr lgum c i entre i 1 e i. Assim sendo, Assim, S i = ¼[f( i 1 )+f( i )] s i = ¼[f( i 1 )+f( i )] p 1+[f 0 (c i )] S = lim Si!0 = lim ¼[f(i 1 )+f( i )] s i!0 = lim ¼[f(i 1 )+f( i )] p 1+[f 0 (c i )]!0 E pode ser mostrdo que este ultimo limite e igul lim ¼f(ci ) p 1+[f 0 (c i )] = ¼f() p 1+(f 0 ()) d!0 Assim, re d superf ³cie de revolu»c~o resultnte e dd por S = R b ¼f()p 1+(f 0 ()) d 0.6 Centro de grvidde de um gur pln Se temos, em um plno ou no esp»co n pontos P 1 ;P ;::: ;P n, tendo msss m 1 ;m ; :::;m n, respectivmente, o centro de mss ¹ P, do sistem de n pontos, e ddopor ¹P = P n i=1 m ip i P n i=1 m i ou sej, ¹ P =(¹; ¹y), sendo ¹ = P n i=1 m i i P n i=1 m i e ¹y = P n i=1 m iy i P n i=1 m i Consideremos um regi~o pln, delimitd pelos gr cos ds fun»c~oes cont ³nus y = f() e y = g(), e pels rets verticis = e = b, sendo f() g() pr b. Olndo ess regi~o como um plc pln, de espessur desprez ³vel, suponmos que el possui densidde super cil (mss por unidde de re) ± constnte. Prticionndo-se o intervlo [; b], em intervlos de comprimento = b n, trv es dos pontos 0 = ; 1 ;::: ; n = b, proimmos ess regi~o por um reuni~o de ret^ngulos, como n gur 0.9, sendo cd ret^ngulo de ltur f() g() ebse, sendo qui opontom edio do intervlo [ i 1 ; i ].

11 Aplicc»~oes selecionds d integrl definid 190 y A = [f() - g()] y = f() P i -1 i b y = g() Figur 0.9. Esse ret^ngulo ³ elementr tem re A =(f() g()), seu centro de mss e opontop =, sendo su mss dd por ; f()+g() m = ± A = ±(f() g()) O centro de mss d reuni~o de todos esses ret^ngulos elementres coincide com ocentrodemssdospontosp, tribuindo-se cd ponto mss m do seu ret^ngulo. Assim, um proim»c~o do centro de mss d regi~o pln considerd, o centro de mss dos v rios ret^ngulos elementres, e ddpor P P P m P ± A P A P ^P = P = P = P m ± A A Agor, µ A P = A ; f()+g() µ =(f() g()) ; f()+g() µ = (f() g()) ; (f() g()) f()+g() µ = (f() g()) ; 1 ([f()] [g()] ) Finlmente, o centro de mss P ¹ d regi~o pln considerd, ser ddopor P A P ¹P = lim ^P = lim P!0!0 A Portnto, pssndo o limite, ns dus coordends de ^P,cegmos ¹ P =(¹; ¹y), sendo

12 Aplicc»~oes selecionds d integrl definid 191 ¹ = R b R b (f() g()) d (f() g()) d ¹y = R b 1 R b ([f()] [g()] ) d (f() g()) d 0.7 Problems Ares de regi~oes plns 1. Clcule re delimitd pels curvs y =9 e y =3. Respost. 1=.. Clcule re delimitd pels curvs y =, =, y = ( >0) e o eio. Respost. ln. 3. Clcule re delimitd pel curv y = 3,pelrety =8e pelo eio y. Respost Clcule re totl delimitd pels curvs y = 3, y = e y =. Respost. 3=. 5. Clcule re delimitd pel elipse + y =1. Respost. ¼b. b Sugest~o. A re e delimitd pelos gr cosdefun»c~oes y = p b,com. F»c substitui»c~o = sen t. N integrl resultnte, use f ormul de redu»c~o de pot^encis cos = 1+cos. 6. Clcule re delimitd pel curv fecd (ipocicl oide) =3 + y =3 = =3. Respost. 3 8 ¼. Sugest~o. A re e delimitd pelos gr cos de fun»c~oes y = p =3 =3,com. F»c substitui»c~o = sen 3 µ,com ¼= µ ¼=. N integrl resultnte, use s f ormuls de redu»c~o de pot^encis cos = 1+cos, sen 1 cos =. Vlor m edio de um fun»c~o cont ³nu Determinr o vlor m edio d fun»c~o dd, no intervlo especi cdo. 1. f() =, b. Respost. ¹ f = 1 3 ( + b + b ).. f() = p, b (0 <b). Respost. (+b+p b) 3( p + p b). 3. f() =cos, 0 ¼=. Respost. 1=.

13 Aplicc»~oes selecionds d integrl definid 19 Volumes de s olidos Em cd problem, clcule o volume do s olido obtido por revolu»c~o, conforme descrito. 1. A elipse + y b =1gir em torno do eio. Respost. 1 3 ¼b.. O segmento de ret d origem (0; 0) o ponto (; b) gir o redor do eio, obtendo-se ssim um cone. Respost. 1 3 ¼ b. 3. A regi~o pln delimitd pel ipocicl oide =3 + y =3 = =3 gir o redor do eio. Respost. 3¼ 3 =105. y /3 /3 + y = / O rco de sen oide y =sen, 0 ¼, gir em torno do eio. Respost. ¼ =. 5. A regi~o delimitd pel pr bol y =4, pel ret =4e pelo eio, gir em torno do eio. Respost. 3¼. Comprimentos de curvs Clcule os comprimentos ds curvs descrits bio. 1. Hipocicl oide (vej gur) =3 + y =3 = =3. Respost. 6.. y = 1 p 3=,de =0 =5. Respost. 335=7. 3. y =ln, de = p 3 = p 8. Respost ln y =1 ln(cos ), de =0 = ¼=4. Respost. ln tg 3¼ 8.

14 Aplicc»~oes selecionds d integrl definid 193 Ares de superf ³cies de revolu»c~o Em cd problem, clcule re d superf ³cie obtid por revolu»c~o d curv dd em tornodoeioespeci cdo. 1. y =4, 0 3, rotciond em torno do eio. Respost ¼.. y =, 0, () rotciond em torno do eio (b) rotciond em torno do eio y. Resposts. () 8¼ p 5 (b) 4¼ p y =sen, 0 ¼, rotciond em torno do eio. Respost. 4¼[ p +ln( p + 1)]. Centro de mss (ou de grvidde) de um regi~o pln Determine s coordends do centro de grvidde d regi~o pln especi cd. 1. Regi~o no primeiro qudrnte, delimitd pel elipse Respost. (¹; ¹y) = 4 ; 4b 3¼ 3¼. + y b =1( 0, y 0).. Are delimitd pel curv y =4 4 eoeio. Respost.(¹; ¹y) =(0; 8=5). 3. Are delimitd pel pr bol y = epelret =. Respost. (¹; ¹y) = (3=5; 0).