MODELO PARA CÁLCULO DO VOLUME DO ESPAÇO DE TRABALHO DE MANIPULADORES 3R

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1 ONVÊNIO NPq/UFU & FAPEMIG/UFU Unverse Feerl e Uberlân Pró-Retor e Pesqus e Pós-Grução DIREORIA DE PEQUIA OMIÃO INIUIONAL DE INIIAÇÃO IENÍFIA 8 UFU nos MODELO PARA ÁLULO DO VOLUME DO EPAÇO DE RABALO DE MANIPULADORE R Kung hongu Fcule e Mtemátc-UFU - Av. João Nves e Ávl, 6, nt Mônc, Uberlân, MG, Brsl. kung_hongu@hotml.com emár e Fátm Perer rmgo Fcule e Mtemátc-UFU - Av. João Nves e Ávl, 6, nt Mônc, Uberlân, MG, Brsl. srmgo@ufu.br Resumo. O obetvo este trblho é estur um moelo pr cálculo o volume o espço e trblho e mnpulores R. O moelo geométrco reto o mnpulor é evolvo e tmbém um formulção que permte clculr s envoltórs. O estuo envoltór é e funmentl mportânc pr o evolvmento o proeto e um mnpulor, pos repret fronter e seu espço e trblho. Normlmente, o espço e trblho poe pretr regões vs e tmbém regões e sngulre, que são os pontos e cúspe. A preç e vos, e sngurles e escontnues n gerção envoltór, umentm complee formulção lgébrc cp e obter um moelo mtemátco precso pr o cálculo o volume o espço e trblho. Pr vlr metoolog evolv, smulções numércs são prets. Plvrs-chve: robôs, mnpulores, volume o espço e trblho, sngurles, envoltórs.. Introução Um robô é um mnpulor reprogrmável utomátco, multfunconl, e város grus e lbere, cp e mnpulr mters, ferrments ou spostvos especs, urnte um cclo e movmentos vros e progrmos pr eecução e verss trefs. Dest form, robôs são máquns controls por computor que são progrms pr mover, mnpulr obetos, e efetur trblhos enqunto ntergem com o mbente à su volt. Em um robô mnpulor comum, o efetuor, que poe ser um ferrment qulquer, é preceo por um conunto e segmentos, que relm seus movmentos por meo e servomotores elétr ou por comnos hrául e pneumát (tuores). As coneões entre os segmentos são enomns unts (ou rtculções). Bscmente, um robô poe ser vo em três prtes funments: mecnsmo, conmento e sstem e controle. Mecnsmo é prte que tem lbere e movmento, poe ser vo em três prtes: brço, punho e efetuor. O Aconmento é responsável pel movmentção físc e c unt o mecnsmo, ssm como e lguns efetuores. em como prncpl função trnsformr energ elétrc, hráulc, pneumátc, ou um combnção ests em energ cnétc. O stem e controle respone pel coorenção e controle o movmento o efetuor, obeto responsável pel eecução tref fnl e plcção o robô.

2 Neste estuo é preto um moelo pr cálculo o volume o espço e trblho e mnpulores R. om est fnle o moelo geométrco reto (MGD) o mnpulor é evolvo, prtr o qul se obtém um formulção que permte clculr s envoltórs o espço e trblho (Bergmsch, 4). Est pesqus propõe um formulção numérc pr promr o cálculo áre seção rl, trvés e su scretção em um mlh retngulr. Fnlmente o volume o espço e trblho é clculo como o volume o sólo e revolução obto pel rotção seção rl.. Moelo Geométrco e Mnpulores R Um repretção bstnte usul pr escrever geometrcmente um robô utl notção e Denvt e rtenberg, conforme ebo n Fg.. Est notção bscmente consste em construr mtr e trnsformção homogêne,, que repret o sstem X Y Z, ssoco o -ésmo membro o robô, em relção o sstem X - Y - Z -, ssoco o (-)-ésmo membro, pr c vrno e n, one n é o gru e lbere o robô. Fgur. Notção e Denvt e rtenberg pr mnpulores. N Fg.. poe-se observr que repretção o sstem X Y Z em relção o sstem X - Y - Z - percorre qutro etps bem efns, reprets pelos qutro prâmetros cnemát -, -, e, que tmbém são conhe por prâmetros e Denvt-rtenberger. onseqüentemente, construção mtr e trnsformção homogêne epene mner como esss etps são percorrs. Neste trblho, est mtr é construí efetuno segunte orem e eecução s etps: - um rotção horár e - em torno o eo X -, enot por Rot( -, X - ) - um trnslção e - unes sobre o eo X -, enot por rns( -, X - ) - um trnslção e unes o longo o eo Z, enot por rns(, Z ) 4- um rotção nt-horár e em torno o eo Z, enot por Rot(, Z ). Portnto, mtr e trnsformção homogêne genérc e um sstem e referênc em relção o preceente ssume o segunte specto: Rot(, X ) rns(,,) rns(,, ) Rot(, Z ) ()

3 one,,,,,, e,,. Por fm, mtr e trnsformção homogêne que repret pont o robô em relção à n bse,, poe ser obt trvés segunte epressão (rmgo e teffen Júnor, 999): n n n K () A cnemátc o robô mnpulor R é fet com o uílo e qutro sstems e referênc. O prmero ssoco à bse, nco por X Y Z o seguno ssoco à prmer unt, nco por X Y Z o tercero ssoco à segun unt, nco por X Y Z e o qurto ssoco à tercer, nco por X Y Z. L, L L L L 4 4 r r Z 4 X 4 Fgur. Repretção o moelo geométrco pr mnpulor R Observe, n Fg., que o sstem X Y Z tem orgem e eo Z concentes com os bse. omo unt é rotconl, únc ferenç entre os os sstems é o ângulo e rotção em torno o eo Z. Assm, mtr e trnsformção homogêne o sstem X Y Z em relção à bse é etermn segunte form: Rot(, Z) () onsere, tnto n repretção o sstem X Y Z em relção o sstem X Y Z qunto n repretção o sstem X Y Z em relção o sstem X Y Z, que os prâmetros e Denvt- rtenberger são ferentes e ero. Portnto, s respectvs mtres e trnsformção homogêne são s por (4)

4 4 (5) onsere, gor, um ponto no sstem X Y Z, que poe ser escolho como o centro o efetuor ou pont o efetuor ou n o fm o própro mnpulor. Por se trtr o sstem X Y Z, este ponto será enoto por e repreto por :. (6) Note que eve ser ferente e ero. so contráro, ser orgem o sstem X Y Z, não sofreno ssm nenhum movmento ecorrente tercer unt, o que não é e nteresse prátco. Utlno Eq. (), repretção vetorl e em relção à bse, enot por, é obt segunte form: (7) Epnno Eq. (7), obtém-se:, (8) (9) e, por fm () que é repretção vetorl ese. As coorens e em relção os eos X, Y e Z são s pels epressões e e,, respectvmente.. Envoltórs o Espço e rblho o Mnpulor R O espço e trblho W() e um ponto stuo n etreme o robô mnpulor é o

5 conunto e toos os pontos que ocup quno s vráves e unt são vrs em too os seus ntervlos e efnção (Gupt e Roth, 98), repreto n Fg..(). () (b) Fgur. () Espço e trblho e um robô R (b) seção rl pln. O procemento ms meto pr nvestgr o espço e trblho é vrr os ângulos, e sobre seus ntervlos e efnção e estmr s coorens o ponto com respeto à bse o mnpulor. Dest mner, obtém-se posção o efetuor. A Fg..() ebe o espço e trblho seccono e um etermno mnpulor R. omo poe se ver, o espço e trblho este tpo e robô é um sólo e revolução, teno Z como o seu eo e revolução. Dest form, é nturl mgnr que o espço e trblho é o resulto rotção, em torno o eo Z, e um seção rl pln que funcone como um seção gertr. A Fg..(b) esboç seção rl reltv o espço e trblho ebo n Fg..(). Então, o espço e trblho e robôs com estrutur R poe ser obto por nterméo etensão rl r e etensão l com respeto à bse (Bergmsch, 4). Pr est repretção, r é stânc e um ponto genérco o espço e trblho o eo Z e é stânc esse mesmo ponto o plno X Y (ve Fg..(b)). Assm, usno Eq. (), s equções prmétrcs (e prâmetros e ) o lugr geométrco escrto pelo ponto sobre um plno rl são r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Usno Eq. (9), obtém-se r ( ) ( ) ( ) ( ) () e, pel metoolog mtemátc, mtno que s Eqs. () por / e usno Eq. (9), result e ( ) ( ) (), multplcno segun equção. () Observe que no cso e, ocorrer pens um trnslção entre prmer e segun unt, o que não é nteressnte. Agor, elevno o quro, membro membro, s Eqs. () e () e somno s equções resultntes, obtém-se segunte equção [ r A] [ D] f et ( r,, ) B (4) 5

6 6 one ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 4 D B A (5) Os coefcentes A, B, e D são chmos coefcentes estruturs o mnpulor. Eles epenem, no cso o mnpulor R, os prâmetros mensons (que são fos) ce cnemátc o robô e vrável rotconl, como poe ser observo, com uílo Eq. (8), n form escrt bo ( ) ( ) [ ] ( ). 4 D B A (6) A Eq. (4) repret equção o lugr geométrco escrto pelo ponto no semplno rl o sstem X Y Z. El poe ser pens como o equção e um fmíl e curvs plns f et (r,, ), no plno r, e prâmetro. A Fg. 4 lustr um tl fmíl e curvs que está cont n seção rl o espço e trblho e um prtculr robô mnpulor R, cuos prâmetros e proeto são:.,.,.5,.,., 6 e 6. Fgur 4. Fmíl e curvs cont n seção rl o espço e trblho e um prtculr mnpulor R.

7 4. Volume e Espço e rblho O volume o espço e trblho, V, é o volume o sólo e revolução obto pel rotção seção rl em torno o eo Z. Assm, usno o eorem e Pppus-Guln, em coro com o esquem mostro n Fg. 5, o volume é o trvés equção: V π rg A, (7) one A é áre seção rl pln que é cobert pel fmíl e curvs. Fgur 5. Obtenção o volume e um sólo e resolução Este estuo utl um formulção numérc pr promr o cálculo áre seção rl, trvés e su scretção em um mlh retngulr. Inclmente, eve-se obter os vlores etremos os vetores r e, ou se, mn mn { r} e r m m { r}, mn { } mn e m { } r m. (8) Aotno-se o número e sub-ntervlos eseos pr scretção o longo e r e (n r e n ), poe-se clculr s mensões s áres elementres mlh: r rmn r e onserno, m n r mn. (9) m n r ( ) ( ). () A Eq. () permte clculr toos os pontos fmíl e curvs que compõem seção rl o espço e trblho. Assm o um etermno ponto (r, ), etermn-se su posção entro mlh e scretção, conforme Fg. 6, trvés o segunte controle e ínces: r rmn nt e mn nt. () r 7

8 P m - P, - mn r mn - r m r r Fgur 6. Dscretção seção rl usno mlh retngulr. onforme mostro no esquem Fg. 6, o ponto mlh que pertence o espço e trblho será entfco como P, o contráro terá vlor nulo, ou se: se P W ( ) P () se P W ( ) Dest form áre totl será obt pel som e tos s áres elementres mlh que estão conts, totlmente ou prclmente, n seção rl. N Eq. (), observ-se que pens os pontos pertencentes o espço e trblho contrbuem pr o cálculo áre. Já cooren o brcentro é clcul conserno som os brcentros e c áre elementr, v pel áre totl: m m ( P r ) A r g m m ( P r ) r ( ) r A r mn () Fnlmente, conheceno-se os vlores áre e o brcentro seção rl, poe-se clculr o volume o espço e trblho o mnpulor usno Eq. (7). 5. mulções Numércs A metoolog evolv fo plc pr clculr o volume o espço e trblho e lguns tpos e mnpulores, vrno os prâmetros e Denvt-rtenberg. Os cálculos form fetos utlno um progrm e Mtlb, evolvo pelos utores. onsere os seguntes eemplos numér: Eemplo : prâmetros:.,.,.5,.,., 6 e 6, áre u.. r g.7 u.m. volume o espço e trblho: V.8 u.v. 8

9 Fgur 7. eção rl o mnpulor o Eemplo Eemplo : prâmetros:.,., 4., 9.,, -9 e 9, áre u.. r g u.m. volume o espço e trblho: V 8.65 u.v. Fgur 8. eção rl o mnpulor o Eemplo Eemplo : prâmetros:.,., 4.,.,, -9 e 9, áre 5.78 u.. r g 4.4 u.m. volume o espço e trblho: V 46.8 u.v. Fgur 9. eção rl o mnpulor o Eemplo 9

10 6. onclusão Neste trblho fo estuo um moelo pr cálculo o volume o espço e trblho e mnpulores R. om est fnle, o moelo geométrco reto o mnpulor fo evolvo e tmbém um formulção lgébrc pr obter s envoltórs. Um formulção numérc fo utl pr promr o cálculo áre seção rl, trvés e su scretção em um mlh retngulr. O volume o espço e trblho fo clculo como o volume o sólo e revolução obto pel rotção seção rl. N contnue est pesqus, será estu s verss topologs este tpo e mnpulor. 7. Agrecmentos Os utores grecem à Função e Ampro à Pesqus e Mns Gers (Fpemg) pelo poo fnncero este trblho (número o processo:a-/8). 8. Bblogrf Bl, M., Wenger Ph., hblt D., 4, "Anlse et lssfcton e Mnpulteur R à es Orthogonu", hèse e Doctort - Unverst of Nntes, Frnce. Bergmsch, P. R., 4, Proeto Ótmo e Mnpulores R onserno rcterístcs e seu Espço e rblho, ese e Doutoro Unverse Feerl e Uberlân, Uberlân, MG, Brsl. Gupt K.., Roth B.,98, Desgn onsertons for Mnpultor Workspce, AME Jnl of Mechncl Desgn, Vol. 4, pp MODEL FOR ALULAION OF E WORKPAE VOLUME OF MANIPULAOR R Kung hongu Fcule e Mtemátc-UFU - Av. João Nves e Ávl, 6, nt Mônc, Uberlân, MG, Brsl. kung_hongu@hotml.com emár e Fátm Perer rmgo Fcule e Mtemátc-UFU - Av. João Nves e Ávl, 6, nt Mônc, Uberlân, MG, Brsl. srmgo@ufu.br Abstrct: he obectve of ths work s stung moel for clcultng the workspce volume of mnpultors R. he moel geometrc rect of the mnpultor s evelope n s lso prete formulton to clculte the workspce envelope. he envelope stu s of funmentl mportnce to the evelopment of the mnpultors esgn, s t reprets the borer of ther workspce. Normll, the workspce cn pret empt regons (vos) n regons of sngulrt, whch re cusp ponts. he prece of vos n sngulrtes n the scontnuous generton of the envelope gretl ncrese the complet of the clculton of the lgebrc formulton for correct mthemtcl moel of the workspce volume. o vlte the methoolog evelope, numercl smultons re prete. Kewors: robot, mnpultors, workspce volume, sngulrt, envelope.