Um Novo Modelo de Tempo Complexo Digital Policarpo Yōshin Ulianov Changing Rivers by Oceans

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1 Um Novo Modlo d mo Comlxo Digial olicaro Yōshin Ulianov Changing Rivrs by Ocans olicaroyu@gmail.com Rsumo O rsn arigo dscrv algumas vanagns advindas da maniulação do mo com uma variávl comlxa discu a ossibilidad d calcular a xnsão da dimnsão d mo imaginário. 1 nrodução O mo é uma das variávis mais imorans d ual ur sisma físico, msmo assim a xaa naurza do mo ainda é um misério não rsolvido nos mais modrnos modlos d física órica. Alguns cinisas m rooso novas formas d modlar o mo, como or xmlo Shn Hawking [1], u considrou a ossibilidad do mo sr uma variávl comlxa. Enrano, aé hoj, nnhum modlo u considr o mo comlxo foi d fao incororado á física conmorâna. so ocorr, ois a xisência do mo imaginário é anas mra sculação, sm u xisam vanagns ara a sua adoção nos modlos d físicos mais modrnos. Ns conxo, o rsn arigo roõ uma nova forma d modlar o mo como uma variávl comlxa digial, arsnando uma sri d vanagns obidas lo uso do mo imaginário. O modlo rooso lo auor considra as sguins rmissas básicas: O mo é uma variávl comlxa orano ossui uma ar ral (mo ral) oura ar imaginaria (mo imaginário); ano o mo ral como o mo imaginário odm sr modlados como variávis discras ou digiais; O mo imaginário m xnsão limiada su um comoramno cíclico; O mo ral s inicia m um valor zro crsc coninuamn, sm ossuir um limi d xnsão. Esas rmissas são rlaivamn simls, mas não odm sr xrimnalmn comrovadas lo fao do mo imaginário não sr acssívl or nnhum insrumno físico d obsrvação u ossamos consruir, algo u srá xlicado mlhor na róxima sção. ara arsnar o modlo rooso inicialmn srão inroduzidas algumas analogias u faciliam a comrnsão do concio d mo digial mo imaginário. As rinciais vanagns do uso do modlo d mo comlxo srão dalhadas ao longo ds arigo, u ambém discu alguns modlos d rrsnação do mo imaginário ossibilidad d calculo da sua xnsão. Analogias ara nndr o mo imaginário O modlo d mo comlxo digial, rooso ns arigo, m uma for analogia com alguns sismas d arsnação d imagns, como or xmlo uma rojor d cinma, uma la d V ou msmo um monior d comuador. Nss xmlos as imagns são arsnadas uadro-auadro m uma süência u od sr associada a um mo ral digial. Normalmn a arsnação (ou criação) d uma nova imagm irá dmandar algum mo, num rocsso u od sr associado a múlilos assos d rocssamno, u irão garanir u o novo uadro (nova imagm) sja formado. Num monior digial orando, or xmlo, a 6Hz (6 imagns arsnadas a cada sgundo) cada nova imagm é m gral rcbida aravés d um cabo srial num inrvalo d 16,66 milissgundos (1/6 sgundos), u sa associado a 1

2 um novo asso d mo ral. Cada imagm or sua vz é rcbida or uma dada codificação d sinais léricos digiais (rrsnando bis 1 bis ) u irão dfinir süncialmn o valor d cada ixl (ono da imagm) aé monar um novo uadro comlo. Nsa analogia o mo gaso ara monar cada nova imagm sa associado ao mo imaginário, cuja xnsão od sr associada a um cro numro assos d rocssamno, u ns xmlo od sr considrado ao igual numro d ixls u formam cada imagm. No modlo físico rooso ao invés d anas 6 imagns or sgundo, ríamos um oal d 1,85x1 43 uadros ridimnsionais d nosso univrso comlo, sndo consruídos a cada novo sgundo. Enr cada dois dss uadros (mo d lanck []) o mo imaginário irá variar süncialmn aé aingir um numro xrmamn grand d assos d rocssamno. Na analogia d uma imagm sndo criada m uma la, uma nova varrdura do mo imaginário é smr inrcalada nr dois uadros d mo ral. Como o olho humano não disingu imagns individuais arsnadas com axa acima d 3 uadros or sgundo o mo d varrdura não é rcbido assim ara uma ssoa u assis um film é como s xisiss anas um mo ral coninuo. ara al obsrvador o mo imaginário s nconra colasado não od sr rcbido diramn. Numa nova analogia, s a imagm rojada foss, or xmlo, um dsnho animado grado m comuador o mo imaginário odria sr ambém associado ao mo d rndrização (rocsso d colorir uma imagm grada m comuador lvando m cona iluminaçõs xisns xuras dos objos) d cada cna. Ns caso o mo imaginário odria sr xrsso m função do mo dmandado ara a criação d cada imagm, u or sua vz dnd do numro d comuadors orando m arallo da caacidad d rocssamno d cada um dls, bm como da comlxidad da cna rsolução final da imagm grada. Dsa forma, m rmos d física órica, ara um obsrvador m nosso univrso, raar do mo imaginário sria uivaln a um rsonagm d dsnho animando, como or xmlo o Shrk [3] rgunar ao su colga Burro Falan: - Burro, sab uanas horas d comuador lvaram ara criar cada uadro ds dsnho? - Olha Shrk ara o rimiro film da nossa sri o mo médio d rndrização d cada uadro foi d 9 horas mia, com comuadors ons rabalhando m arallo Es dialogo arsna uma analogia da dificuldad u mos d lidar como o mo imaginário, lvando ao usionamno s d fao o mo d criação d um dsnho odria r algum significado ara um rsonagm u viv dnro dl? Alm disso odmos nos usionar sobr a ossibilidad do rsonagm Shrk criar rlógio u mdiss o mo gaso ara a consrução d cada cna? so obviamn é imossívl, ois ns caso o insrumno dvria mdir o mo gaso ara u l rório sja dsnhado. Assim o rlógio dvria sar ao msmo mo no ulso do dsnhisa no braço do rsonagm u sa sndo dsnhado, como na gravura Mãos Dsnhando d M. C. Eschr [4], mosrada na Figura 1, ond um rlógio ara mdição do mo imaginário foi incluído lo auor. Figura 1 Um rlógio ara mdir o mo imaginário. 3 Modlando o mo comlxo No modlo rooso o mo comlxo é dfinido or: s i (1)

3 Ond rrsna o mo ral o mo imaginário. Em uma rrsnação básica d númros comlxos a uação () dfin um saço bidimnsional ilimiado. Enrano como o mo imaginário m xnsão limiada é ncssário uilizar uma rrsnação alrnaiva, ara o lano d mo comlxo, or xmlo, nrolado a dimnsão d mo imaginário d forma a comor o cilindro arsnado na Figura. dimnsão d mo imaginário sja manido igual a L. A Figura 4, or xmlo, mosra uma rrsnação ond são admiidos somn valors osiivos d mo imaginário, mas raa-s basicamn da msma rrsnação arsnada na Figura 3. L s Figura mo comlxo rrsnado sobr a surfíci d um cilindro. A rrsnação arsnada na Figura rás algumas comlicaçõs no snido m u os vors dvm sr dsnhados sobr uma surfíci curva. L 1 -L i s Figura 3 Rrsnação lanificada do mo comlxo. Dsa forma é mais convnin rabalhar com uma rrsnação lanificada dsa surfíci cilíndrica u é arsnada na Figura 3. Nsa figura odmos obsrvar dois limis ara o ixo d mo imaginário, u são função do arâmro L u rrsna a xnsão do mo imaginário. No s u a lanificação do cilindro u conm o mo comlxo od sr fia d varias formas, conano u o amanho oal da 1 s 1 i i Figura 4 Rrsnação lanificada osiiva do mo comlxo. Esa forma d rrsnação d mo comlxo ambém od sr obsrvada no xmlo d uma aniga V ro branco, funcionando com bas m um único fix d lérons u varr uma la fluorscn. Ns caso, cada nova imagm dsnhada sobr a la rrsna um novo mo ral, nuano u o mo u o fix lva ara rcorrr a la inira rrsna o mo imaginário. A Figura 5 ilusra o comoramno do fix d lérons, rrsnando o mo d duas formas disinas: uma linha ra coninua um lano bidimnsional comlxo comoso d linhas agruadas. =... =L =... =L =... =L =... =L =... =L = =1 = =3 =4 =5 L Figura 5 mo d varrdura d uma V uilizado ara rrsnar o mo comlxo. 3

4 Na Figura 5 o gráfico surior arsna linhas onilhadas u rrsnam o mo d varrdura nuano u cada raço nr duas varrduras indica a formação d uma nova imagm. O gráfico infrior na Figura 5 rrsna um lano comlxo u é obido dobrando-s a ra do gráfico surior. No u s gráfico é análogo aos gráficos d mo comlxo mosrados nas Figuras Vanagns do uso do mo comlxo S d fao o mo imaginário não od sr obsrvado diramn, or u considrá-lo m ual ur modlo físico u for idalizado? A rsosa é simls, ois o modlo d mo comlxo digial rooso ns arigo m uma sri d vanagns m rlação a modlos u não considram a comonn d mo imaginário: O uso d mo comlxo rmi u arículas onuais sjam nauralmn ransformadas m cordas, u surgm do colaso da dimnsão d mo imaginário; As orias das cordas mais modrnas oram com saço/mo d ordm mais lvada, conndo 1 ou 11 dimnsõs ond xis anas uma dimnsão d mo 6 ou 7 dimnsõs d saço nroladas. O uso d dimnsõs d mo comlxo, u ambém odm sr nroladas lvam a modlos mais siméricos oologias mais fácis d srm calculadas; O mo comlxo rmi uma xlicação alrnaiva inflação cósmica, u consis no crscimno inicial anas da dimnsão d mo imaginário (nuano o mo ral s maném igual a zro); Um modlo d xansão do saço u considr a volução do mo imaginário lva a uma uação d xansão aclrada u arc sr comaívl com a xansão obsrvada m nosso rório univrso, disnsando a ncssidad d uma nrgia scura ara xlicar s fnômno; O calculo do comrimno do mo imaginário rmi simar o amanho do univrso; Divrsas consans físicas imorans odm dndr diramn do comrimno da dimnsão d mo imaginário. Esas vanagns srão arsnadas dalhs nos óicos a sguir. m maiors 5 ransformação d arículas onuais m cordas Os modlos mais radicionais d física oram sobr arículas onuais u são basicamn adimnsionais ois d fao sa é a forma mais simls d s fazr a dscrição d um sisma d arículas fundamnais. Enrano sa dscrição lva a alguns roblmas rincialmn ao s lidar com camos ond surgm forças d iração u são invrsamn roorcionais as disancias considradas. Nss casos odm ocorrr divisõs or zro uando, or xmlo, duas arículas onuais s ocam. A busca d novos modlos u conornm s io d roblma lvou a criação das chamadas orias das cordas [5] nas uais as arículas fundamnais não são mais modladas como onos, mas sim como cordas u odm assumir a forma d linhas ou msmo d mmbranas. Asar dsas orias das cordas arsnarm alguns onos inrssan aé hoj nnhuma dlas, nm msmo a famosa oria M[6], consguiu s imor como um novo adrão nm dmonsrar u não assa d uma mra absração mamáica. O auor acrdia u ar do roblma xisn com as orias das cordas é u o salo u lva d arícula fundamnais modladas como onos unidimnsional ara arículas modladas como cordas ainda não foi muio bm xlicado. O uso do mo comlxo rsolv s roblma ois uma arícula onual u s mov no mo comlxo s ransforma nauralmn m uma corda dvido ao colaso do mo imaginário. Es colaso ocorr ara odos os obsrvadors u não são caazs d rcbr o mo imaginário, ou sja odos os srs u habiam nosso univrso uais ur uiamnos u os msmos ossam consruir. 4

5 ( x, 1 ( x, ) Figura 6 Colaso do mo imaginário ransformando uma arícula onual m uma corda. Es rocsso é ilusrado na Figura 6 ond uma arícula onual d cinco dimnsõs, indicada or um ono vrmlho na figura, s mov no mo comlxo sgundo uma rajória indicada or uma linha onilhada. ara um obsrvador u não nha acsso ao mo imaginário sa arícula s ransforma nauralmn m uma corda (mosrada como uma linha vrmlha na Figura 5) u assum o formao da rajória original. 6 Racionalização na disribuição das dimnsõs nroladas d saço/mo Os modlos uilizados nas orias das cordas uilizam o concio d dimnsõs saciais nroladas [7]. Como um obsrvador a rinciio não od acssar sas dimnsõs nroladas a xisência das msmas acaba sndo alamn usionávl grando assim mais um faor imdiivo a aciação ds io d oria. A oria M, or xmlo, uiliza um modlo d saço mo com um oal d onz dimnsõs, sndo rês dimnsõs d saço normal, s dimnsõs d saço nrolado anas uma dimnsão d mo. Ns conxo o auor roôs um modlo dnominado Ulianov Sring hory (US) [8] no ual o rório mo comlxo ambém od sr raado como uma dimnsão nrolada, grando um saço mo d dz dimnsõs. A US modla o saço mo considrando rês dimnsõs d saço normal, rês dimnsõs d saço nrolado, duas dimnsõs d mo normal duas dimnsõs d mo nrolado. Es númro d dimnsõs é comaívl com os uilizados m varias orias das cordas a uilização do mo comlxo nrolado gra uma disribuição bm mais 1 homogêna. so ocorr ois ara cada uma das 5 dimnsõs normais ( x, ira xisir uma única dimnsão nrolada sndo associada ( x,. Es faor facilia rmndamn as analiss cálculos a srm ralizados ambém rmi uma rrsnação alrnaiva ond as dimnsõs nroladas são visas como s rncssm a subsaços adjacns as dimnsõs normais. Ess sub-saços são bm smlhans são sarados uns dos ouros, or ards d mo ou ards d saço conform mosrado na Figura 7. Xmsac (X Mirror Sac) ( x, ard d saço msac 4 ( x, (maginary Mirror Sac) Rmsac (Ral Mirror Sac) ( x, ard d saço ( x, Nsac (Normal Sac) Figura 7 Modlo d saço mo d 1 dimnsão uilizado na US. 7 Exlicação do rocsso d inflação cósmica A oria da inflação cósmica[9] roosa Alan H. Guh m 1981 rmi xlicar cros ascos do modlo cosmológico conhcido como Big Bang [1]. Esa oria osula u o univrso, no su momno inicial assou or uma ráida fas d crscimno xonncial. Asar dsa oria sar hoj basan consolida nos mios acadêmicos, alguns físicos óricos aonam falhas na msma. Esa é or xmlo a osição do físico aul J. Sibhard [11], u faz a o sguin usionamno: A vrdad é u a física uânica govrna a inflação ual ur coisa u ossa aconcr aconcrá. E s a oria inflacionaria não faz rvisõs ual é a sua uilidad? 3 1 5

6 Ess roblmas são rlacionados com as rórias causas do rocsso inflacionário aribuídas a um suoso camo inflaon. or um lado s camo amliaria cras fluuaçõs uânicas grando as sruuras maérias obsrvadas no univrsos (srlas, galáxias divrsos ios d aglomrados d galáxias) mas or ouro lado sas rórias fluuaçõs imlicariam m mos disinos ara o rmino da inflação m cada rgião, lvando a um modlo no ual algumas rgiõs do saço odriam sar sndo infladas aé hoj. Ns cnário a rória sruuração do mo comlxo arsna um modlo alrnaivo ara o rocsso d inflação cósmica, o ual alm d disnsar o uso d ual ur io d camo inflaon ainda rmi u o ríodo d inflação sja igual ara odos os onos do saço, indndnmn d sua localização ou d fluuaçõs uânicas xisns. A bas ds rocsso d inflação od sr obsrvada diramn nas Figuras 3 u rrsnam o cilindro u conm o mo comlxo. odmos considrarmos u num momno inicial d criação do saço mo, ano as dimnsõs d saço como d mo comlxo nham xnsão nulas. Dsa forma ara chgar ao modlo das Figuras 3 ond o mo imaginário m comrimno igual a L o rório mo imaginário dv assar or um rocsso d crscimno a arir d um valor zro. Uma das formas mais simls ara u iso ocorra é considrar um modlo no ual o mo imaginário inicialmn s xand na bas do cilindro comondo círculos sucssivos com diâmro cada vz maior. Ess círculos irão formar a bas do cilindro u conm o mo comlxo, conform mosrado na Figura 8. Como na bas do cilindro mosrado na Figuras 8, o valor d mo ral é igual a zro, odmos considrar u inicialmn anas o mo comlxo volui s xand aé aingir um cro valor nuano u o mo ral ainda s nconra conglado. Somn a arir ds ono é u o mo ral assa a voluir nuano u o mo imaginário sgum m volas com amanho uniform, comondo a surfíci xrna do cilindro. Numa analogia com um jogo d comuador, sa volução inicial do mo imaginário sria uivaln a um rocsso d inicialização do comuador u ancd a xcução do jogo roriamn dio, rrsnando um mo u o usuário dv srar aé u a rimira imagm sja arsnada na la, momno no ual o mo ral do jogo assa fivamn a xisir. Considrando u o saço u ambém m naurza digial u o msmo s xand m função do mo imaginário, irmos obsrvar o univrso crscr d amanho ao msmo mo m u o a dimnsão d mo imaginário s xand, msmo com o mo ral ainda sndo igual a zro. A Figura 9 mosra dois gráficos d xansão do univrso, ond obsrvamos m azul uma das curvas roosas ara a inflação cósmica m vrmlho a curva d xansão dvida ao aumno da dimnsão d mo imaginário, u ocorr ans u o mo ral ass fivamn a xisir. 1 5 m 1m amanho do univrso 1-5 m s 1-35 s 1-3 s Figura 9 Dois gráficos d xansão do univrso Figura 8 Exansão do mo imaginário comondo a bas do cilindro u dfin o mo comlxo. Sabndo u hoj o mnor mo u nossa cnologia consgu mdir é da ordm d 1 aossgundos (1x1-18s ) [1] m rmos ráicos 6

7 um vno u ocorra insananamn não od sr disino d ouro u lv 1-3 sgundos ara ocorrr, como é o caso das duas curvas arsnadas na Figura 8. O auor acrdia u o uso d uma xansão do saço romovida la xansão inicial do mo imaginário dva subsiuir com vanagns o modlo d inflação cósmica, sm u nnhum io d camo inflacionário rcis sr invnado alm disso rsolvndo o roblma d final d xansão ois uando o mo ral assa a xisir o rocsso d inflação cósmica rmina simulanamn m odas as rgiõs do univrso. Dfinindo um gráfico da xansão do saço m rlação ao módulo do mo comlxo obsrvamos anas uma xansão uniform sm u xisa na vrdad ual ur io d inflação. or ouro lado um obsrvador u não nha acsso ao mo imaginário irá obsrvar u o saço s xand a uma vlocidad infinia, arindo d um amanho zro ara um grand amanho inicial, sm u nnhum mo ral nha s assado. ara um obsrvador u udss rcbr o mo imaginário s novo modlo d inflação ransforma o Big Bang m um Small Bang [13]. 8 Exlicar mlhor a xansão aclrada do saço A xansão do saço m função a xansão do mo imaginário od sr fácil mn modlada, o u srá arsnado nsa sção. ommos como xmlo um saço bidimnsional dfinido sobr uma sfra d raio R, sndo u o comrimno oal dos ixos u dfinm um saço sobr sa sfra srão dados or: Lx R ; Ly R () Considrando-s u a cada novo mo imaginário o raio dsa sfra crsc uma unidad (uma disância d lanck) u o inrvalo nr dois mos imaginários ossa sr associado a um mo d lanck maginário odmos afirmar u o raio da sfra crsc a vlocidad da lu sablcndo a sguin rlação: R c (3) Enrano como o mo imaginário é cíclico o raio crsc coninuamn dvmos considrar R um somaório d odos os valors assumidos lo mo imaginário. ara al é convnin rrsnar o mo comlxo m coordnadas olars: i s (4) Sndo o módulo do mo comlxo u od sr calculado como sgu: (5) Na fas inflacionaria ond xis anas o mo comlxo, odmos considrar o suma arsnado na Figura 1, ond a xnsão do mo imaginário crsc coninuamn sndo dada or: L ( ) (6) Figura 1 Evolução do mo comlxo na fas inflacionaria Considrando u no final da xansão o mo imaginário, o módulo do mo comlxo nha um valor igual a, sndo u o comrimno do mo imaginário, dfinido or L, od sr calculado como: L Ns ono o raio (7) R, assum um valor d final d xansão ( R ) u od sr calculado com bas na 7

8 uação 3, considrando u o mo imaginário rcorru um caminho oal, u é igual a soma d odos os círculos mosrados na Figura 9, cujo valor u od sr calculado la ára do ulimo circulo normalizada m função do mo d lanck ( ), u rrsna a disância nr dois círculos sucssivos. R c Alicando a uação (7) na uação (8): R c L (8) (9) No momno m u o mo ral assa ambém a s xandir é facívl considrar u a xansão d L d R não sjam afadas, grando os gráficos mosrados na Figura 11. Nsa figura obsrvamos uma ra na cor vrd u rrsna a xansão do comrimno do mo imaginário u é rgida la uação (7). or sua vz a linha m vrmlho rrsna a xansão do mo ral, u é rgida la uação (5), considrando um ângulo zro ara o mo comlxo na forma olar ( ). Dsa forma odmos scrvr a sguin uação: (1) Alicando a uação (7) na uação (1): Ainda na Figura 11 odmos considrar u a xansão d R dfinida ara o ono na uação (8), od sr scria d forma mais gnérica: c R ( ) R ( ) c L ()d c d Alicando a uação (11) na uação (1): R ( ) c L R ( ) c L ( ) c L c (1) (13) Alicando a uação () na uação (13) ara calcular o comrimno dimnsão d saço L x, m função do mo ral: c 4 c 4 c Lx ( ) L L (14) A uação (14) mosra u s d fao o saço s xand linarmn m função do mo imaginário, um obsrvador no mo ral vria o saço s xandir d forma aclrada, o u é algo consisn com as mais modrnas obsrvaçõs cosmológicas d xansão do univrso, sm ncssidad d nnhum io d nrgia scura, u xliu sa aclração. L (11) 9 Calculando o comrimno da dimnsão d mo imaginário L o ( ) L Figura 11 Exansão do comrimno do mo imaginário do mo ral m função do módulo do mo comlxo. Nas sçõs anriors foram dadas algumas jusificaivas ara o uso do mo como uma variávl comlxa, sndo obsrvadas algumas uaçõs u m como arâmro o comrimno da dimnsão d mo imaginário. O auor acrdia u o arâmro L od sr uma das consans mais imorans u xism m nosso univrso, s bm u conform obsrvado no óico anrior, o rório valor d L varia com o mo, crscndo 8

9 coninuamn. dsa forma rcisamos considrar o valor L m função d um dado mo ral. Ans d buscar uma forma d calcular o comrimno da dimnsão d mo imaginário duas rgunas rcisar sr rsondidas: S não mos acsso diro ao mo imaginário, sria d fao ossívl calcular sua xnsão? Caso a xnsão do mo imaginário ossa sr calculada u significado físico s valor ria? A rimira rguna arc mrcr, uma rsosa ngaiva. Conform já usionado no inicio ds arigo: Como odria um rsonagm d dsnho animando calcular uano mo um comuador lva ara criar cada uadro d imagm do su dsnho? S o mo imaginário não nos é acssívl obviamn não odmos calcular a sua xnsão! D uma forma gral sa afirmação saria corra, mas xism casos nas uais o valor d L odria a rinciio sr calculado. or xmlo, na Figura 5 ond uma arícula onual é ransformada m uma corda, caso a arícula s mova a vlocidad da lu sua xnsão srá igual ao valor d L mulilicado la vlocidad da luz. Dsa forma s udrmos simar a xnsão d uma dada arícula odrmos simar o valor d L, conform od sr obsrvado na rfrncia [14]. Enrano ns rocdimno xis o risco da arícula sar nrolada m divrsas volas sucssivas assim ao invés d obr su comrimno oal sarmos obndo anas o comrimno d uma vola básica do mo imaginário. Ns caso o valor d L calculado srá bm infrior ao su valor ral. Uma oura forma d simar o valor d L é obsrvar novamn o gráfico da Figura 11, considrando o valor d como sndo dsrzívl. Dsa forma o valor d L od sr considrado igual ao valor do mo d xisência do univrso, ou sja 15 bilhõs d anos imaginários. Ns conxo, msmo sndo ossívl idnificar um numro rlacionado a dimnsão d mo imaginário, a sgunda rguna roosa ns óico coninua sndo rinn: Qual o significado d um ano imaginário ou msmo d um sgundo imaginário? Na ralidad sas unidads não fazm muio snido, mas s omamos como bas o mo d lanck, odmos obsrvar u 15 bilhõs d anos uivalm a 8,77x1 6 unidads d mo imaginário ou msmo a 8,77x1 6 assos d rocssamno. 7 Conclusão Asar dos modlos d física órica vigns não considrarm o mo imaginário, como algo alm d sculação o auor acrdia u o uso do mo como uma variávl comlxa facilia a consrução d modlos cosmológicos u dscrvam os rocssos d criação xansão do univrso. Alm disso o uso do mo imaginário rmi grar uma oria das cordas com dimnsõs nroladas mais simls, alm d xlicar or u uma arícula onual s ransforma numa corda. or fim com bas no comrimno da dimnsão d mo imaginário sria ossívl simar o amanho do univrso iniro. Considrando or xmlo uma xnsão da ordm d 8,77x1 6 unidads, la uação (14) odmos calcular um amanho d univrso da ordm d 4,9x1 88 m ou 3,x1 13 disâncias d lanck, um numro rmndamn grand, mas ainda assim facívl. 8 Rfrências Bibliográficas [1] Hawking, S., A Brif Hisory of im. Banam Books [] lanck im, from Wikidia, h fr ncyclodia: h://n.wikidia.org/wiki/lanck_im [3] Shrk, from Wikidia, h fr ncyclodia: h://.wikidia.org/wiki/shrk 9

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