CUSTOS NO DIMENSIONAMENTO DE LAJES PRÉ-MOLDADAS: UM MODELO MATEMÁTICO DE PROJETO ÓTIMO

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1 CUSTOS NO DIMENSIONAMENTO DE AJES PRÉ-MODADAS: UM MODEO MATEMÁTICO DE PROJETO ÓTIMO Pulo Hnriqu Fssin TARCÍSIO PEDRO DA SIA Nlson Hin Rsumo: O problm sr trtdo nst trblho rsum-s dtrminr s dimnsõs ótims d ljs pré-moldds d concrto rmdo, d form minimizr su custo por mtro qudrdo d ár construíd, prsrvd stbilidd struturl d pç rspitds s norms técnics vignts, usndo um modlo d progrmção não-linr. Pr tnto, rlizou-s um studo plortório, d nturz bibliográfic, com bordgm quntittiv m qu por mio do uílio do pcot mtmático Mtb, usndo o Método ds Brrirs (BAZARRA, 99; HEIN, 999), são nlisdos os rsultdos obtidos. Os principis bnfícios qu podm sr dvindos com rsolução do problm dscrito, stão ligdos mlhor utilizção dos rcursos ds mprss por mio do dimncionmnto dos custos m ljs pré-moldds, rprcutindo no dqudo modlo mtmático d projto ótimo. Além disso, mlhor utilizção dos rcursos conômicos prmitirá concntrr sforços m outros nvstimntos. Ár tmátic: Aplicção d Modlos Quntittivos n Gstão d Custos

2 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d Custos no dimnsionmnto d ljs pré-moldds: um modlo mtmático d projto ótimo Rsumo O problm sr trtdo nst trblho rsum-s dtrminr s dimnsõs ótims d ljs pré-moldds d concrto rmdo, d form minimizr su custo por mtro qudrdo d ár construíd, prsrvd stbilidd struturl d pç rspitds s norms técnics vignts, usndo um modlo d progrmção não-linr. Pr tnto, rlizou-s um studo plortório, d nturz bibliográfic, com bordgm quntittiv m qu por mio do uílio do pcot mtmático Mtb, usndo o Método ds Brrirs (BAZARRA, 99; HEIN, 999), são nlisdos os rsultdos obtidos. Os principis bnfícios qu podm sr dvindos com rsolução do problm dscrito, stão ligdos mlhor utilizção dos rcursos ds mprss por mio do dimncionmnto dos custos m ljs pré-moldds, rprcutindo no dqudo modlo mtmático d projto ótimo. Além disso, mlhor utilizção dos rcursos conômicos prmitirá concntrr sforços m outros nvstimntos. Plvrs-chv: Custos d ljs pré-moldds. Modlo mtmático. Otimizção d rcursos. Ár Tmátic: Aplicção d Modlos Quntittivos n Gstão d Custos Introdução O dimnsionmnto convncionl d struturs d concrto rmdo vis obtr simplsmnt um dtlhmnto d um sção, cujos sforços rsistnts sjm cpzs d suportr com dvid sgurnç os sforços tunts qu, o msmo tmpo, stisfç os rquisitos prscriçõs d norm. Sm mbrgo, pr um msmo crrgmnto tunt, istm divrss configurçõs possívis qu stisfzm tis rquisitos, por consguint muits soluçõs são considrds citávis. Entrtnto, n tulidd com lt comptitividd do mrcdo, ist ncssidd cd vz mior m s diminuir os custos ds construçõs (CHAKRABARTY, 99). Assim sndo, é cd vz mis importnt obtnção d um dtlhmnto mnos custoso ds sçõs d concrto, ou sj, ond o consumo d mtriis sj o mnor possívl sm compromtr strutur. Est objtivo é lcnçdo por mio d utilizção d um técnic d otimizção, cuj finlidd é slcionr mlhor solução ntr s muits possívis, tndo por bs um ou mis critérios, como por mplo, mnor custo critério d rsistênci. No rtigo qu s prsnt, o objtivo é construir, rsolvr vlir um modlo mtmático qu busc solução ótim do dimnsionmnto d um lj pré-fbicd d concrto rmdo. Pr tnto srão usds s frrmnts d progrmção mtmátic, qu é um mtodologi (conjunto d métodos) bm dfinid qu tnd (vi lingugm mtmátic) objtivos srm lcnçdos rstriçõs srm rspitds. Bsicmnt, pr o problm qu s prsnt o Modlo Mtmático é do tipo: Minimizr f () () g i () ;i,...,m () Sujito : n () S IR A prssão () signific qu pod ocorrr qu s funçõs f g i d () () stjm n dfinids somnt sobr um subconjunto d IR. Stng (98) põ qu, por mplo, bst qu um ds vriávis dfinids bio vnh sr ngtiv pr qu o problm não

3 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d tnh mis sntido prático. O msmo contcrá s um dsss vriávis rsultr muito grnd. N vrdd, pr qu o método d rsolução sr mprgdo convirj dv-s tr S como um conjunto robusto. As vriávis básics,..., slcionds são s sguints: n spssur d lj, ltur d vig ltrl, bs infrior d vig ltrl, lrgur d cálculo d lj, Comprimnto d cálculo d lj distânci d fc suprior d lj té su linh nutr, distânci d fc suprior d lj té linh nutr d vig, sndo os vlors,, constnts. Fids s vriávis do problm, coloc-s qustão d construção d função objtivo, ou sj, função () sr minimizd. Ess função dvrá dscrvr mtmticmnt o curso totl d lj por mtro qudrdo d ár construíd, nvolvndo, portnto, custos d mtril d mão d obr. Tm-s ntão: () fi () i f () s() ond: s ár cobrt pl lj, f custo d concrto, f custo d form, f custo do cbmnto, f f custo d montgm, custo do ço, Est conjunto d funçõs srá dscrito sguir. A psquis justific-s pl contribuição d nális do grncimnto do procsso d produção d ljs pré-moldds sobr cd um ds difrnts forms d produção um vz qu st consom rcursos conômico-finnciros d form considrávl n construção civil. A orgnizção do trblho dv-s por mio d prts intrrlcionds. Além dst introdução qu fz considrçõs prliminrs sobr tividd d rdimncionmnto dos custos d ljs pré-moldds. No momnto sguint prsnt o modlo técnico d obr. Em sguid bord s rstriçõs do problm. Dpois, dscrv o modlo mtmático. Por fim, prsnt os rsultdos s rfrêncis qu fundmntm bordgm. O Modlo técnico d obr Nst itm é lbordo o modlo técnico d obr, rspitndo s quçõs struturis forncids plo cálculo struturl (FUSCO, 98). A lj cobr um ár. Est ár é dd por (KANAGASUNDARAM, 99): () ( + ).( ) () s + O custo do concrto srá ddo por: f () ( + )() () ond:

4 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d prço d um mtro cúbico d concrto, custo d mão d obr pr o mprgo d um mtro cúbico d concrto (SHEHATA, 998); v volum d lj m m³, ddo por: () ( + ).( + ) + ( + )..( + ). () v Inclui-s o custo d form (STANGE, 98) qu é clculdo pl qução 8: ( + )SF () (8) f () N F ond: prço do mtril utilizdo pr confcção d msm, por mtro qudrdo; custo d mão d obr pr fbricção d form (SARMA, 998), por mtro qudrdo d mtril consumido. Notr qu st coficint pod, vntulmnt, vir sr ddo por um função d i, i,..., dpndndo do procsso d fbricção d form. Por mplo, fbricr um form d m d SF comprimnto pod sr mis brto qu fbricr dus d m cd; suprfíci d mtril utilizdo, dd por: SF () ( + ) + ( c + ).( + + ) + ( + ).( + ) (9) N F númro d vzs qu msm form é utilizd. Trtndo-s d um pç pré-fbricd, é ncssário considrr o custo d cbmnto d msm (MONTOYA, 99). Inclum-s nst itm, corrção d pquns flhs n suprfíci d pç, colocção d gnchos pr su suspnsão por um guindst, tc (MEO, ). A função corrspondnt srá: f () r () () ond: Custo d hor d trblho dos oprários ngjdos no cbmnto d pç; r Númro d hors d trblho dsss oprários, ddo m função ds dimnsõs d pç. Nos custos d montgm d pç pré-fbricd, considrm-s os custos d mão d obr bm como s dspss com guindst dmis quipmntos utilizdos (STANGE, 98): ond: r f () r () () custo d mão d obr dspss com quipmnto, por hor d trblho; númro d hors d trblho ncssáris pr colocção d pç, ddo m função d sus dimnsõs. Nst prcl d função objtivo stá incluído o cálculo d frrgm ncssári pr combtr s tnsõs às quis pç strá submtid (KANG, 99), hvndo sido considrds s sguints: (i) momnto fltor no sntido trnsvrsl d lj;

5 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d (ii) (iii) momnto fltor no sntido longitudinl d vig, sndo st clculd como um vig T; cislhmnto n vig; A rmdur trnsvrsl d lj, por mtro d lrgur, srá dd por: F () Z () β S () ond: β S Z coficint d rsistênci do ço à trção; forç d trção n lj, considrd como sndo igul à d comprssão, um vz qu não stá prvist rmdur d comprssão, ou sj, dv vlr smpr. D Z, () com Z dd por: β C Z () β C ε ( ε ),s : ε ε,s : < ε, ε () Com: β C ε coficint d rsistênci do concrto à comprssão; t d comprssão d concrto n lj, dd por: ε () ε h, () A rmdur trnsvrsl d longitudinl d vig srá dd por (ZIENKIEWICZ, 99): F () Z (), β S () sndo Z forç d trção n vig, tmbém considrd igul à d comprssão, ou sj: D Z. () Pr dtrminção d Z, fz-s ncssário distinguir ntr dois csos (GROSSI, 998): (i) qundo linh nutr d vig stivr dntro d lj:. (ii) qundo linh nutr d vig stivr for d lj:. >

6 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d Pr o primiro cso tm-s: Ond: b D () β b, (8) Z C D lrgur útil d vig, ou sj o coficint + b () min D α é ddo pl função:, +, (9) α ε ( ε ),s : ε () ε,s : < ε, ε () sndo ε t d comprssão do concrto n vig, dd por: ε ε () h () Com: ε t d trção do ço tomd qui como constnt igul %; h ltur útil d vig, dd por: h () + h () R ond h R é um constnt rprsnt spssur do rcobrimnto d rmdur d vig. Pr o sgundo cso tm-s qu: () D D, () Z ond: D é forç totl d comprssão, como s vig foss rtngulr com bs b D. No ntnto, vig é clculd como vig T, fzndo-s ncssário subtrir prt qu flt, à qul corrspond forç d comprssão. Dí surg: D () α (b b )( β () com ind: bmin D min ) lrgur mínim d vig, dd por: min {, b } b () min () o

7 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d ε' ( ε' ),s : ε α () ε',s : < ε, ε' () Sndo: ε' t d comprssão do concrto n fc infrior d lj, dd por (AHMAD, 99): com ε dd m (). ε ' ε () ( ) () N rmdur d cislhmnto fz-s ncssário distinguir ntr três csos (AZ, 99): ) o τ o τ (8) b) τ o < τo τo (8 ) c) τ o < τo τo (8 ) ond τ, τ τ são constnts conhcids τ é tnsão d cislhmnto istnt n vig, dd por: Ond: m τ z b m min forç trnsvrsl máim n vig, dd por: (9) () m q () com q crg totl d vig por mtro, dd por: q () [ g () p ()], + () pr g pso próprio d pç, ddo por: g () ρ( + ) + ρ ( + ) + p( + ), () Ond: ρ pso spcífico do concrto,

8 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d p rvstimnto d lj () p ( ) () p + Ond: p crg prmnnt sobr lj; z brço d lvnc intrno d vig. Pr o cálculo d z impõ-s novmnt distinguir ntr os csos No primiro cso vl: (i) (ii). > ond z h é ddo m () () h K () 8 ε,s : ε ( ε ) K () ε ε + ( ),s : < ε, ε (ε ) com ε ddo m (). No sgundo cso tm-s: ond X D () K z h D [ + K ( )] D () () () com D D sndo dds m () (), rspctivmnt, : K K (8) com K ddo m () : 8 ε',,s : ε ( ε' ) K () ε' (ε' ) +,,s : < ε, ε' (ε' ) (9)

9 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d ond ε ond: ε ' são dds m () (), rspctivmnt. Finlmnt, frrgm d cislhmnto srá: ) S τ ddo m (9) stisfizr τ τ, só srá igid rmdur mínim, isto é φ mm por mtro, ou sj F F, mm²/m. () b) S τ <τ, é prmitido o uso d rmdur rduzid, ou sj: τ τ F b σ min σ Tnsão máim prmissívl pr o ço, qu é: () σ Min {, β S /v} () com v sndo o coficint d sgurnç b min ddo por () : τ τ m,τ; τ c) S τ < τ, srá igid rmdur totl, ou sj: τ () τ F bmin σ () com σ b min ddos no cso b) cim. Um vz obtids s três difrnts frrgns, é possívl primir últim prcl d função objtivo, ou sj: ond: [ sf + ( + )( F F ) ] f () ρ ( + 8) + () ρ Pso spcífico do ço; Custo do ço por tonld; 8 Custo d mão d obr confcção ds rmdurs, por tonld d ço mprgdo; s Suprfíci d lj, dd por (); F Armdur trnsvrsl d lj, dd por (); F Armdur longitudinl d vig, dd por (); F Armdur d cislhmnto d vig, dd por (), () ou (); Comprimnto d cd stribo d rmdur d cislhmnto ddo por:

10 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d + () ( ) () As rstriçõs do problm O quilíbrio ds forçs intrns, m um dimnsionmnto ótimo, tnto n lj como n vig, dv vlr: vm Dz () No ntnto, pr qu o conjunto viávl do problm d otimizção sj robusto (STANGE, 98), não s dmitm rstriçõs d iguldd prssão () srá nfrqucid pr: vm Dz (8) O qu não ofrc nnhum dsvntgm. Plo contrário, fornc um critério mis pr s sbr s o rsultdo obtido é um ponto d ótimo ou não, pois s for, iguldd () strá ncssrimnt stisfit. Not-s, no ntnto, qu st é um condição ncssári, ms não suficint. O quilíbrio ds forçs intrns n lj obdcm qução: vm D z (9) ond D é ddo m (), v é o coficint d sgurnç vm momnto d ruptur d lj, ddo por: () M () q, 8 ond: q crg por mtro no sntido trnsvrsl d lj: q ρ () p + p +, () Com ρ, p p ddos n sção ntrior. () z brço intrno d lvnc d lj, ddo por: z () h K () u Com: h u Altur útil d lj, ou sj: h u () h () Com h sndo spssur do rcobrimnto d rmdur d lj m qu:

11 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d 8 ε,s : ε ( ε ) k () ε + ( ),s : < ε, ε (ε ) () Do quilíbrio ds forçs intrns d vig tm-s qu: vm D z () Com D ddo m () z ddo () ou (), conform o cso : vm Momnto d ruptur d vig: M () q, 8 () Ond q é ddo por () v é o coficint d sgurnç. As tnsõs d cislhmnto n vig não pod ultrpssr tnsão máim dmissívl τ fid pls norms técnics: Ond τ é ddo por (9). τ τ () Sgundo s norms técnics, t d dformção do concrto dvid tnsõs d comprssão dv mntr-s ntr,,ou sj: (i) Pr lj dv vlr ε, (8) ε, (9) Com ε ddo m (). (ii) Pr vig dv vlr ε, () ε () Com ε ddo m (). Obdcndo s norms técnics, ltur totl d vig dv sr tl qu flch máim dvid à flão s mntnh dntro d limits pré-fidos (SÜSSEKIND, 98):

12 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d + Por rzõs construtivs, é pré-fid um ltur máim () H pr vig, ou sj: H () As cots: suprior infrior pr bs d vig, por imposição ds norms técnics /ou por rzõs construtivs, tm-s: B () b () Qunto às cots: suprior infrior pr spssur d lj, novmnt por rzõs construtivs /ou imposiçõs ds nors técnics, são dds por: T () t () Pr qu lj poss sr clculd como vig; isto é, pr qu sj válido o método d cálculo qui prsntdo, lrgur d lj não dv ultrpssr mtd d su comprimnto: (8) A cot suprior pr o comprimnto d lj infrior pr su lrgur são ddos por: (9) l l () Ond l l são fidos por rzõs construtivs. A t d rmdur longitudinl d vig não dv ultrpssr um crt prcntgm k d ár d sção trnsvrsl dss vig (CUNHA, 98): Ond F é dd m () F ks T () ST Ár d sção trnsvrsl d vig, dd por: ST + [ ( ) + ]( + ). () O Modlo Mtmático Rsumido, o modlo mtmático pr o problm proposto srá ntão:

13 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d min f () i fi () s() () Sujito : g() vm () D ()z () (9) g () vm () D ()z () () g() τ() τ g () ε (), g() ε () g() ε (), g () ε () g () (8) (9) () () + () g8() g () H () 9 g() B g() b g() T g() t g() g() g() l () () () () (8) (9) () () F () ks () () T O Rsultdos Os objtivos d construir, rsolvr vlir um modlo mtmático qu buscss solução ótim do dimnsionmnto d um lj pré-fbicd d concrto rmdo form concluídos. Pr tnto form utilizds frrmnts d progrmção mtmátic, qu é um mtodologi (conjunto d métodos) bm dfinid qu tnd (vi lingugm mtmátic) objtivos srm lcnçdos rstriçõs srm rspitds. O problm trtdo nst trblho prsntou s dimnsõs ótims d ljs prémoldds d concrto rmdo, d form minimizr su custo por mtro qudrdo d ár construíd, prsrvd stbilidd struturl d pç rspitds s norms técnics vignts, usndo um modlo d progrmção não-linr. Assim, com o uílio do pcot mtmático Mtb, usndo o Método ds Brrirs (BAZARRA, 99; HEIN, 999), buscou-s nális do modlo. A prtir do ponto inicil () (), o qul corrspond o vlor d função objtivo f. Foi obtid solução *, à qul corrspond o vlor d função objtivo f*, como mostr o Qudro. * Dimnsão, 9, [cm],, [cm],, [cm]

14 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d 8, 88, [cm] 9,, [cm],9,9 [cm],, [cm] F,9, [U.M./m²](*) Qudro-: solução do modlo d progrmção mtmátic. Ao ponto d ótimo * corrspondm s frrgns F,cm²/m F,cm² F, cm²/m * * * Os principis bnfícios qu podm sr dvindos com rsolução do problm dscrito, stão ligdos utilizção dos rcursos ds mprss por mio do dimncionmnto dos custos m ljs pré-moldds, rprcutindo no dqudo modlo mtmático d projto ótimo. Além disso, utilizção dos rcursos conômicos prmitirá concntrr sforços m outros nvstimntos. (*) A brvitur U.M./m² signific Unidds Montáris por mtro qudrdo. Rfrêncis AHMAD, S.H.; SHAH, S.P. Complt Strss-Strin Curv of Concrt nd Nonlinr Dsign, In. Symposium on nonlinr dsign of concrt structurs. Univrsity of Wtrloo, 99. BAZARAA, M.S.;SHETTY, C.M. Nonlinr Progrmming thory nd lgorithms. Nw York: John Wily, 99. CHAKRABARTY, B.K. Modls for optiml dsign of rinforcd concrt bm. In. Computr & Structurs, v., n., p.-, 99. CUNHA, A.J.P. Cálculo ds sçõs submtids à flão norml compost com rmdur ótim. Dissrtção d mstrdo, Univrsidd Fdrl Fluminns, Dpto. Eng. Civil, Nitrói, 98. FUSCO, P.B. Estruturs d Concrto solicitçõs normis, d. São Pulo: TC Editor, 98. GROSSI, B.F. Otimizção d vigs d concrto rmdo. Dissrtção d mstrdo, COPPE/UFRJ, Rio d jniro, 998. HEIN, N.; OESCH, C. Psquis Oprcionl fundmntos modlos. Blumnu: EdiFurb, 999.

15 XII Congrsso Brsiliro d Custos Blo Horizont, MG, Brsil, d outubro d novmbro d KANAGASUNDARAM, S.; KARIHAOO, B.. Optimum dsign of frms undr multipls lods, In. Strutucturl Optimiztion, v., n., p.-89, 99. MEO, A.M.C. Projto ótimo d pórticos d concrto rmdo. Dissrtção d mstrdo, COPPE/UFRJ, Rio d jniro,. MONTOYA, P.J.; MESEGUER, A.G.; CABRÉ, F.M. Hormigón rmdo, v., Brclon: Editoril Gustvo Gili S,A., 98. d. SARMA, K.C.; ADEI, H. Cost optimiztion of concrt structurs, In. Journl of Structurl Enginring, p.-8, 998. SHEHATA, I.A.; GROSSI, B.F. Otimizção d vigs d concrto rmdo, In. o Congrsso Brsiliro do Concrto, Rio d Jniro, 998. STANGE, P. Ein hirrchischs optimirungsproblm in dr buplnung, Ts d doutordo, Tchnisch Univrsität Drmstdt, Drmstdt, 98. SÜSSEKIND, J.C. Curso d concrto, v., d. Rio d jniro: Editor Globo, 98. AZ,.E.; EBOIU, C.R. Dimnsionmnto ótimo d sçõs d concrto rmdo à flão compost oblíqu, In. Invstigción Oprtiv, v., n., p.8-9, 99. ZIENKIENWICZ, O.C.; GAAGHER, R.H. Optiml structurl dsign thory nd pplictions. Nw York: John Wily nd Sons, 99.