CONTRIBUIÇÕES À REDUÇÃO DE SUPERVISORES PARA SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS

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1 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA LUIS FELIPE SIVOLELLA CONTRIBUIÇÕES À REDUÇÃO DE SUPERVISORES PARA SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS Dissertção de Mestrdo presentd o Curso de Mestrdo em Engenhri Elétric do Instituto Militr de Engenhri, como requisito prcil pr otenção do título de Mestre em Ciêncis em Engenhri Elétric. Orientdor: Prof. Antonio E. C. d Cunh, Dr. Co-orientdor: Prof. Roerto Ades, Dr. Rio de Jneiro 25

2 c25 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA Prç Generl Tiúrcio, 8-Pri Vermelh Rio de Jneiro-RJ CEP Este exemplr é de propriedde do Instituto Militr de Engenhri, que poderá incluí-lo em se de ddos, rmzenr em computdor, microfilmr ou dotr qulquer form de rquivmento. É permitid menção, reprodução prcil ou integrl e trnsmissão entre iliotecs deste trlho, sem modificção de seu texto, em qulquer meio que estej ou venh ser fixdo, pr pesquis cdêmic, comentários e citções, desde que sem finlidde comercil e que sej feit referênci iliográfic complet. Os conceitos expressos neste trlho são de responsilidde do utor e dos orientdores. S624c Sivolell, Luis Felipe Contriuições à Redução de Supervisores pr Sistems Eventos Discretos / Luis Felipe Sivolell. - Rio de Jneiro : Instituto Militr de Engenhri, p.: il, grf., t. Dissertção (mestrdo) - Instituto Militr de Engenhri- Rio de Jneiro, 25.. Controle de sistems dinâmicos. 2. Sistems Eventos Discretos. 3. Teori de Controle Supervisório. I. Contriuições à Redução de Supervisores pr Sistems Eventos Discretos. II. Instituto Militr de Engenhri. CDD

3 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA LUIS FELIPE SIVOLELLA CONTRIBUIÇÕES À REDUÇÃO DE SUPERVISORES PARA SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS Dissertção de Mestrdo presentd o Curso de Mestrdo em Engenhri Elétric do Instituto Militr de Engenhri, como requisito prcil pr otenção do título de Mestre em Ciêncis em Engenhri Elétric. Orientdor: Prof. Antonio E. C. d Cunh, Dr. Co-orientdor: Prof. Roerto Ades, Dr. Aprovd em 6 de Junho de 25 pel seguinte Bnc Exmindor: Prof. Antonio E. C. d Cunh, Dr. do IME - Presidente Prof. Roerto Ades, Dr. do IME Prof. José Edurdo Rieiro Cury, Dr. d UFSC Prof. Pulo Césr Pellnd, Dr. do IME Rio de Jneiro 25 3

4 4 Aos meus pis e minh irmã.

5 AGRADECIMENTOS À minh fmíli, pelo poio incondicionl em tods s hors. Ao migo e orientdor Antonio Crrilho pel pciênci, poio incondicionl, pel orientção segur, tempo e conhecimentos indispensáveis n concretizção deste trlho. Ao migo e orientdor Roerto Ades pel segurnç, experiênci e jud que form vitis pr o êxito deste trlho. Aos demis professores do Deprtmento de Engenhri Elétric do Instituto Militr de Engenhri pelo conhecimento e poio oferecido. Aos meus colegs Jcy Montenegro Mglhães Neto, Gilmr Cinelli, Orlndo Vit, Frncisco Edurdo Lim de Medeiros, Fino Gomes d Silv, Fernndo Apolinário Pereir, Michele Ferreir Nunes e Crlos Henrique d Cost Oliveir pel jud desinteressd e convivênci enriquecedor. Ao Exército Brsileiro, e em especil o Deprtmento de Engenhri Elétric do Instituto Militr de Engenhri pel oportunidde de relizr este trlho. 5

6 SUMÁRIO LISTA DE ILUSTRAÇÕES LISTA DE TABELAS LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS INTRODUÇÃO Ojeto do Estudo Ojetivos do Trlho Orgnizção do Trlho SUPORTE TEÓRICO Sistems Eventos Discretos Mtemátic Discret Conjunto Relção Binári Relção de Equivlênci e Clsse de Equivlênci Função Grfo Lingugens Formis e Autômtos Conceitos ásicos sore lingugens formis Operções sore lingugens Lingugens e Expressões regulres Autômto Finito Determinist Operções sore utômtos Teori de Controle Supervisório Esquem de Controle Modelo d Plnt Modelo ds Especificções e Lingugem-Alvo Modelo do Supervisor Controlilidde de Lingugens A Solução do Prolem de Controle Supervisório Método de Síntese de Supervisores Otenção do Modelo d Plnt

7 Otenção ds Especificções e d Lingugem-Alvo Síntese do Supervisor Ótimo Prolem d Complexidde Computcionl Conceitos Básicos sore Algoritmos Introdução à Análise de Algoritmos Prolems NP, NP-Difíceis e NP-completos Prolems de Decisão versus Prolems de Otimizção REVISÃO BIBLIOGRÁFICA DE REDUÇÃO DE SUPERVISO- RES PARA SEDS Conceitos Básicos sore Redução de Supervisores Aordgem VAZ e WONHAM (986) Aordgem SU e WONHAM (24) CONTRIBUIÇÕES À REDUÇÃO DE SUPERVISORES Comentários Sore s Aordgens de Redução de Supervisores Relção de Mrcção de Estdos Coertur de Controle Não-redundnte e Congruênci de Controle Estimtiv do Limite Mínimo d Quntidde de Estdos do Supervisor Reduzido Generlizção d Aordgem de Redução de Supervisores Algoritmo de Cálculo d Coertur de Controle Não-redundnte Algoritmo de Cálculo d Estimtiv do Limite Mínimo d Quntidde de Estdos do Supervisor Reduzido ENSAIOS E TESTES Sistems pr nálise Exemplo de VAZ e WONHAM (986) Exemplo 2 de VAZ e WONHAM (986) Exemplo de SU e WONHAM (24) Exemplo pr Generlidde d Aordgem Célul de Mnuftur com Mes Circulr Linh de Trnsferênci com retrlho Sistem de Empcotmento Célul com Dois Roôs Sistem Integrdo de Mnuftur

8 5.. Célul com Veículos Autoguidos Resultdos dos testes Redução de Supervisores Estimtiv do Limite Mínimo d Quntidde de Estdos do Supervisor Reduzido Cliques de (X, R) e (X, R ) CONCLUSÕES E SUGESTÕES Conclusões Sugestões pr Trlhos Futuros REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICES Implementção dos Algoritmos Redução de Supervisores usndo o GRAIL Algoritmo de BRON e KERBOSCH (973) pr o cálculo dos cliques de um grfo não-direciondo

9 LISTA DE ILUSTRAÇÕES FIG.2. Trjetóri de estdos de um SED FIG.2.2 Trjetóri de um estdo em um sistem dinâmico contínuo FIG.2.3 Exemplo de representção pr um relção inári qulquer em form de grfo direciondo FIG.2.4 Exemplo de representção norml () e simplificd () pr um relção inári reflexiv e simétric em form de grfo FIG.2.5 Exemplo de um grfo não-direciondo FIG.2.6 Representção gráfic do utômto G FIG.2.7 Representção de dois utômtos equivlentes FIG.2.8 Um utômto G e su componente cessível FIG.2.9 Um utômto G e seu componente co-cessível FIG.2. Um utômto G e seu componente trim FIG.2. Representção por utômto de dois SEDs loquentes FIG.2.2 Dois utômtos G e G e seu produto crtesino G G FIG.2.3 Dois utômtos G e G e seu produto síncrono G G FIG.2.4 Esquem de controle n TCS FIG.2.5 Representção gráfic d plnt G FIG.2.6 Sistem com plnt G e supervisor S FIG.2.7 Plnt G, supervisor S e sistem em mlh fechd S/G FIG.2.8 Representção gráfic d plnt G e dos utômtos K, K 2 e K FIG.2.9 Digrm em locos d plnt G FIG.2.2 Componentes M e M 2 d plnt G FIG.2.2 Plnt G como o produto síncrono de M e M FIG.2.22 Especificção E pr o sistem FIG.2.23 A plnt G e o utômto K com eventos desilitdos FIG.2.24 O supervisor S clculdo prtir do utômto K FIG.2.25 Representção do suposto relcionmento entre s clsses de prolem P, NP, NP-difícil e NP-completo FIG.3. FIG.3.2 Plnt G, utômto K, supervisores S e S e seus respectivos supervisores reduzidos S r e S r Representção ds possiiliddes de R m entre estdos pr VAZ e WONHAM (986)

10 FIG.3.3 Supervisor S e relção de gregção R FIG.3.4 Dus soluções possíveis pr coertur de controle induzid por R FIG.3.5 Supervisores induzidos S r e S r2 pr um coertur C FIG.3.6 Sistem composto de plnt G e supervisor S FIG.3.7 Representções ds relções entres estdos do supervisor FIG.3.8 Supervisor reduzido S r FIG.3.9 Possiiliddes de interção entre plnt e o supervisor em relção mrcção FIG.3. Representção ds possiiliddes de R m entre estdos FIG.3. Sistem G e S e supervisor reduzido S r FIG.3.2 Sistem com plnt G e supervisor S FIG.3.3 Representção simólic do processo de otenção do supervisor reduzido S r FIG.4. Sistem plnt G, supervisor S e supervisor reduzido S r FIG.4.2 Sistems em mlh fechd S/G e S r /G FIG.4.3 Supervisor reduzido S r e S r/g FIG.4.4 Possiiliddes de mrcção em S/G e S r /G FIG.4.5 Possiiliddes de ção de mrcção FIG.4.6 Representção ds possiiliddes de R m entre estdos FIG.4.7 Ilustrção de x C i, x C i e x C i FIG.4.8 Ilustrção de q = f(q, s), x = g(x, s) e i = k(i, s) FIG.4.9 Fluxogrm pr o lgoritmo heurístico com critério justável de gregção proposto FIG.4. Sistem com plnt G e supervisor S, representção d relção de gregção por um grfo e list de dependêncis d relção de gregção FIG.4. Prte do processo de redução pr o sistem do Exemplo FIG.4.2 Etp 2 do processo de redução pr o sistem do Exemplo FIG.4.3 Etp 3 do processo de redução pr o sistem do Exemplo FIG.5. Plnt G e supervisor S FIG.5.2 Plnt G e os supervisores S e S FIG.5.3 Plnt G e supervisor S FIG.5.4 Plnt G e supervisor S

11 FIG.5.5 Digrm d célul com mes circulr FIG.5.6 Modelo de M i, i=,..., FIG.5.7 Especificções de comportmento pr célul com mes circulr FIG.5.8 Digrm em locos d linh de trnsferênci com retrlho FIG.5.9 Modelos de M, M 2 e T U FIG.5. Especificções de comportmento pr linh de trnsferênci com retrlho FIG.5. Digrm em locos do sistem de empcotmento FIG.5.2 Digrm ilustrtivo d máquin empcotdor FIG.5.3 Modelos pr EMP corte, EMP psso, EMP prens, EST, EST 2, R e R FIG.5.4 Especificções pr o sistem de empcotmento FIG.5.5 () Digrm em locos d célul com dois roôs. () Seqüêncis de produção FIG.5.6 Modelos M, M 2, M 3, M 4 e IO e especificções R e R FIG.5.7 Digrm em locos do sistem de mnuftur integrdo FIG.5.8 Modelo dos componentes do sistem integrdo de mnuftur FIG.5.9 Especificções pr o sistem integrdo de mnuftur FIG.5.2 Ilustrção do trjeto dos veículos utoguidos FIG.5.2 Modelos pr os veículos utoguidos FIG.5.22 Especificções pr o sistem

12 LISTA DE TABELAS TAB.2. Função de trnsição f pr o utômto G TAB.2.2 Vlores ds funções E(x), D(x), M(x) e T (x) pr os estdos do supervisor S TAB.3. Vlores ds funções E(x), D(x) e M(x) pr os estdos do supervisor S TAB.3.2 Trnsições definids entre os estdos do supervisor S r TAB.5. Descrição dos eventos pr os veículos utoguidos TAB.5.2 Resultdos dos ensios de redução de supervisores TAB.5.3 Resultdos do cálculo d estimtiv do limite mínimo d quntidde de estdos do supervisor reduzido TAB.5.4 Cálculo dos cliques dos grfos (X, R) e (X, R ) utilizndo o lgoritmo de BRON e KERBOSCH (973)

13 LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS ABREVIATURAS CLP - Controldor Lógico Progrmável IME - Instituto Militr de Engenhri NP - Nondeterministic Polinomil Time P - Polinomil Time PCS - Prolem de Controle Supervisório PSM - Prolem do Supervisor Mímimo SED - Sistem Eventos Discretos SAT - Prolem de Stisfilidde TCS - Teori de Controle Supervisório SÍMBOLOS - igul, por definição : - tl que - existe - pr todo - se, então - se, somente se - operção OR - operção AND - operção NOT - fim de demonstrção A - número de elementos do conjunto A A - pertence o conjunto A / A - não pertence o conjunto A {} ou - conjunto vzio A B - união dos conjuntos A e B A B - interseção dos conjuntos A e B A B - A é suconjunto de B 3

14 A B - A é suconjunto próprio de B A = B - conjunto A igul conjunto B 2 A - conjunto dos suconjuntos de A A B - elementos que estão em A e não estão em B A B - produto crtesino entre os conjuntos A e B (x, y) - pr ordendo x, y (, ) R - pr (,) pertence à relção R [] - clsse de equivlênci de f : A B - função que ssoci um elemento de A um elemento de B f()! - função f está definid pr f C - função f restrit o conjunto C f - função invers de f (V, E) - grfo direciondo com vértices V e rcos E u v - djcênci entre os elementos u e v de um grfo d(v) - gru de djcênci do vértice v Cl (V,E) - conjunto de cliques do grfo não-direciondo (V, E) Clm (V,E) - clique máximo do grfo não-direciondo (V, E) s - plvr sore um lfeto ε - plvr vzi s - comprimento de um plvr s Σ - lfeto de símolos finito e não-vzio σ - símolo de um lfeto Σ x - potênci x do lfeto Σ Σ - conjunto ds plvrs de um lfeto Σ + - conjunto ds plvrs não-vzis de um lfeto xy - conctenção entre s plvrs x e y L - lingugem sore um lfeto L L - conctenção entre s lingugens L e L L - prefixo-fechmento de um lingugem L L - Kleene-fechmento de um lingugem L r + s - r ou s em um expressão regulr, onde r e s são expressões regulres r - Kleene-fechmento em um expressão regulr G - utômto que represent um SED Q - conjunto de estdos de um utômto G 4

15 q - estdo inicil de um utômto G Q M - conjunto de estdos mrcdos de um utômto G f - função prcil de trnsição de eventos de um utômto G L(G) - lingugem gerd por um utômto G L m (G) - lingugem mrcd por um utômto G Ac(G) - componente cessível do utômto G CoAc(G) - componente co-cessível do utômto G T rim(g) - componente trim do utômto G G G - produto crtesino entre os utômtos G e G G G - produto síncrono entre os utômtos G e G Σ c - eventos controláveis Σ nc - eventos não-controláveis S - supervisor pr um plnt X - conjunto de estdos de um supervisor S x - estdo inicil de um supervisor S X m - conjunto de estdos mrcdos de um supervisor S g - função prcil de trnsição de eventos de um supervisor S A(x) - triuto de ção de mrcção pr o estdo x E(x) - conjunto de eventos hilitdos no estdo x D(x) - conjunto de eventos desilitdos no estdo x M(x) - triuto de mrcção pr o estdo x T (x) - triuto de mrcção em relção plnt pr o estdo x K - utômto que mrc lingugem lvo um plnt e especificção E - utômto que mrc especificção de comportmento L m (K) - lingugem lvo C(L m (K)) - conjunto de lingugens controláveis contids em L m (K) L m (K) - máxim lingugem controlável S/G - sistem em mlh fechd, supervisor S e plnt G L(S/G) - lingugem gerd do sistem em mlh fechd L m (S/G) - lingugem mrcd do sistem em mlh fechd R m - relção de mrcção de estdos R d - relção de desilitção de eventos C - coertur sore um conjunto O(n k ) - ordem do tempo de execução do pior cso de um lgoritmo 5

16 SIMBOLOGIA PARA ALGORITMOS = - triuição == - igul! = - diferente < - menor <= - menor ou igul > - mior >= - mior ou igul + = - dicion elemento em um vetor = - remove elemento em um vetor [ ] - indexção do vetor - tmnho do vetor - união entre vetores - interseção entre vetores - pertence um vetor {} - vetor vzio % - comentário 6

17 RESUMO Nos últimos nos com o crescente vnço tecnológico em áres como computção e eletrônic surgiu um nov clsse de sistems dinâmicos crcterizdos pel su evolução no tempo trvés d ocorrênci ssíncron e instntâne de eventos. Tis sistems form então denomindos Sistems Eventos Discretos (SEDs). São exemplos de plicções que utilizm este prdigm os sistems de mnuftur flexível, os sistems de nco de ddos, os progrms de computdor, s redes de computdores, os protocolos de comunicção, os sistems de processmento ncário, os sistems de trnsporte, os sistems de logístic e os sistems de controle de tráfego. A Teori de Controle Supervisório (TCS) fornece um método de síntese utomátic de controldores pr SEDs utilizndo teori de lingugens e utômtos. O supervisor otido é crcterizdo por ser minimmente restritivo, no sentido de tender s especificções, restringindo o mínimo possível o comportmento do sistem em mlh fechd. A redução de supervisores pr SEDs é um ferrment importnte pr TCS devido o fto do número de estdos do supervisor ser d mesm ordem do produto do número de estdos d plnt e especificções, o que torn normlmente o supervisor muito grnde, dificultndo su implementção e entendimento. Este trlho sei-se no estudo e nálise dos métodos de redução de supervisores pr SEDs pr propor perfeiçomentos que levm um ordgem generlizd em respeito clsse do supervisor. Pr est ordgem generlizd é feito e testdo um lgoritmo pr redução de supervisores. Tmém é proposto um lgoritmo pr clculr estimtiv do limite mínimo d quntidde de estdos do supervisor reduzido. 7

18 ABSTRACT In the lst yers with the incresing technologicl dvnce in res s computtion nd electronics new clss of dynmic systems chrcterized y its evolution in the time through the synchronous nd instntneous occurrence of events ppered. Such systems then hd een clled Discrete Events Systems (DES). Industril systems of mnufcture, dtse systems, computer progrms, computer networks, communiction protocols, nking systems, trnsport systems, logistic systems nd trffic control system re exmples of pplictions tht use tht prdigm. The Supervisory Control Theory (SCT) supplies to method of utomtic synthesis of controllers to SEDs using the theory of lnguges nd utomt. The supervisor found is chrcterized y eing less restrictive oeying the specifictions, restricting minimlly the system in closed-loop ehvior. The supervisor reduction for DES is importnt tool for the TCS due the sttespce explosion of the supervisor, which corresponds to the exponentil growth of the supervisor sttes with the numer of components of the plnt nd the specifictions. Discrete controllers corresponding to such lrge supervisors hve prolems relted to implementtion nd legiility of the underlying logic. This work is sed on the study nd nlyzes of the supervisors reduction methods for DES to propose perfectionings tht led to generlized pproch with respect to the clss of supervisor. For this generlized pproch n lgorithm for supervisors reduction is mde nd tested. Also n lgorithm is proposed to clculte the estimtion of miniml supervisor sttes size. 8

19 INTRODUÇÃO. OBJETO DO ESTUDO A prtir d revolução industril notou-se necessidde d sustituição do homem em tividdes considerds repetitivs, perigoss ou que dependessem de mior precisão e velocidde. Ao longo dos nos, form crids inúmers máquins e ferrments de crescente gru de complexidde. Entretnto, qunto mis complex máquin, mior su dependênci de controle por prte do homem. Nos últimos 2 nos com o dvento d microeletrônic e por su vez dos microcomputdores, microcontroldores e controldores lógicos progrmáveis (CLPs), sustituição d mão-de-or humn se intensificou. O homem foi quse totlmente retirdo do processo, cendo ele somente s decisões dits de lto nível. Costumeirmente, este processo dá-se o nome de utomção. Pr que esse processo fosse possível er necessário representr mneir como o ser humno percee e interge com s lterções e estímulos do miente su volt. A prtir deste prdigm definiu-se então um clsse de sistems dinâmicos crcterizdos pel su evolução no tempo por intermédio d ocorrênci ssíncron e instntâne de eventos. Tis sistems form então denomindos Sistems Eventos Discretos (SEDs). Alguns exemplos de plicções de SEDs são os sistems de mnuftur flexível, os sistems de nco de ddos, os progrms de computdor, s redes de computdores, os protocolos de comunicção, os sistems de processmento ncário, os sistems de trnsporte, os sistems de logístic, os sistems de controle de tráfego entre outros. Dentre s diverss ordgens pr os SEDs, destc-se Teori de Controle Supervisório (TCS) desenvolvid por RAMADGE e WONHAM (989), que consiste em um ordgem de controle, onde o SED é modeldo por lingugens formis e utômtos. A TCS fornece um método de síntese utomático de controldores pr SEDs, ditos supervisores, ddos o modelo do sistem controlr, dito plnt, e s especificções de comportmento. Os supervisores clculdos pel TCS possuem crcterístic de serem minimmente restritivos, no sentido de tenderem às especificções, restringindo o mínimo possível o comportmento d plnt. Trduzindo este critério em termos práticos, oter-se-á o máximo de desempenho em termos de trefs concorrentes que plnt poderá relizr. 9

20 Emor complexidde dos lgoritmos de síntese d TCS sej polinomil em relção o número de estdos dos utômtos que representm plnt e especificções, o número de estdos dos utômtos que representm plnt e especificções vári exponencilmente com o número de seus componentes (RAMADGE e WONHAM, 989). Assim, um prolem fundmentl d TCS é explosão comintóri de estdos dos modelos em função do número de componentes. Est explosão comintóri de estdos torn complexidde dos lgoritmos implicitmente exponencil em relção o número de componentes d plnt e ds especificções. A explosão comintóri de estdos tmém crret o crescimento exponencil, em relção o número de componentes d plnt e ds especificções, do número de estdos do supervisor sintetizdo. Isso é prolemático qundo se consider que lógic de controle resultnte do supervisor destin-se ser implementd em um controldor discreto, sej um microcomputdor, um microcontroldores, ou um CLP. O grnde número de estdos dos supervisores gerdos pelos lgoritmos de síntese d TCS pr sistems reis torn tis supervisores n prátic, ilegíveis, no sentido de impossiilitr o entendimento d lógic de controle por inspeção visul d listgem (ou gráfico) do supervisor (DACUNHA, 23). Algums soluções form proposts pr contornr o prolem d explosão comintóri de estdos n TCS, tis como s técnics de decomposição estruturl d plnt. Podem ser citdos, o controle modulr (RAMADGE e WONHAM, 987) o controle modulr locl (DEQUEIROZ, 2), controle hierárquico (DACUNHA, 23), (TORRICO, 23) e (ZHONG e WONHAM, 99) e explorção de simetris (EYZELL e CURY, 2). Um solução complementr às citds nteriormente é redução de supervisores. A primeir ordgem pr redução de supervisores foi desenvolvid por VAZ e WO- NHAM (986) e trt pens supervisores não-mrcdores, isto é, supervisores que não influem no comportmento mrcdo d plnt em mlh fechd. A ordgem se sei n definição de um relção de gregção sore o conjunto de estdos do supervisor pr crir suconjuntos de estdos. Tis suconjuntos são denomindos céluls e formm um coertur de controle sore os estdos do supervisor. Cd célul d coertur de controle represent um estdo do supervisor reduzido. Oserv-se que o prolem do cálculo de um coertur de controle ótim, isto é, com menor quntidde de céluls, é um prolem NP-difícil. Propõe-se então um lgoritmo de usc exustiv em tempo exponencil em relção quntidde de estdos do supervisor pr o cálculo dest coertur de controle. A segund ordgem de redução, presentd por SU e WONHAM (24), segue 2

21 desenvolvid por VAZ e WONHAM (986), sendo relizds lgums modificções no que se refere mrcção, onde são considerdos supervisores mrcdores, e n coertur de controle, que é redefinid como um prtição dos estdos do supervisor e denomind congruênci de controle. Pr o cálculo d congruênci de controle é proposto um lgoritmo em tempo polinomil em relção à quntidde de estdos do supervisor que otém resultdos su-ótimos. SU e WONHAM (24) propõem tmém um lgoritmo, em tempo polinomil, pr o cálculo d estimtiv do limite mínimo d quntidde de estdos do supervisor reduzido, que tem como ojetivo vlir o quão próximo quntidde de estdos d congruênci de controle clculd ficou do vlor ótimo. Um outro trlho que ord o ssunto foi presentdo por MINHAS (22) que, utilizndo s definições proposts por VAZ e WONHAM (986), desenvolveu um lgoritmo lterntivo pr o cálculo de um coertur de controle. MINHAS (22) propõe tmém um novo lgoritmo pr o cálculo d estimtiv do limite mínimo d quntidde de estdos do supervisor reduzido que, em lguns csos, pode ser mis preciso do que o de SU e WONHAM (24). Entretnto, s proposts de MINHAS (22) não proporcionrm mudnçs significtivs no prdigm d redução de supervisores..2 OBJETIVOS DO TRABALHO O presente trlho foi relizdo com os seguintes ojetivos: Estudr s ordgens de redução de supervisores existentes pr SEDs. Apresentr proposts pr perfeiçomento e generlizção dos métodos de redução de supervisores pr SEDs existentes. Desenvolver um lgoritmo pr o cálculo do supervisor reduzido. Desenvolver um lgoritmo pr o cálculo d estimtiv do limite mínimo d quntidde de estdos do supervisor reduzido. Implementr em C++ um ferrment computcionl pr redução de supervisores pr SEDs usndo iliotec de funções pr utômtos e lingugens Gril presentd por RAYMOND e WOOD (996)..3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO O Cpítulo 2 present os tópicos necessários pr compreensão d teori utilizd neste trlho. 2

22 O Cpítulo 3 present os métodos de redução de supervisores pr SEDs propostos por VAZ e WONHAM (986) e SU e WONHAM (24). O Cpítulo 4 present s principis contriuições teórics deste trlho. É propost um ordgem generlizd pr redução de supervisores no que diz respeito clsse de supervisores serem reduzidos. A prtir dest ordgem, é definido um lgoritmo pr redução de supervisores e um lgoritmo que clcul estimtiv do limite mínimo d quntidde de estdos do supervisor reduzido. O Cpítulo 5 present os resultdos dos ensios e testes relizdos utilizndo ferrment computcionl pr redução de supervisores em diversos sistems. O Cpítulo 6 conclui o trlho, nlisndo seu conteúdo em termos dos ojetivos propostos. Tmém neste cpítulo são resumids s contriuições teórics relizds e presentm-se ind sugestões pr os futuros trlhos. 22

23 2 SUPORTE TEÓRICO Neste cpítulo é trtdo o suporte teórico empregdo pr o desenvolvimento deste trlho. A primeir seção trt dos SEDs, presentndo definições, crcterístics e comprção com os sistems contínuos. A segund seção trt de conceitos e definições de mtemátic discret. A terceir seção trt ds lingugens formis e utômtos, que são os modelos utilizdos pel TCS. A qurt seção present TCS, sus crcterístics e definições. N últim seção são presentdos os conceitos ásicos de nálise e clssificção de lgoritmos. 2. SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS Nest seção é presentd um clsse de sistems dinâmicos denomindo Sistems Eventos Discretos (SEDs). Este desenvolvimento sei-se em (WONHAM, 24), (CURY, 2) e (CASSANDRAS e LAFORTUNE, 999). Definição 2. (Sistems Eventos Discretos). Os SEDs são sistems dinâmicos discretos, isto é, com espço de estdos discreto, que evoluem com ocorrênci rupt de eventos físicos, em intervlos de tempo irregulres e desconhecidos (CASSANDRAS e LAFORTUNE, 999). Os SEDs são um clsse de sistems físicos que surgirm com o desenvolvimento tecnológico e são crcterizdos principlmente por possuírem dinâmic definid pel ocorrênci de estímulos denomindos eventos. São exemplos de eventos, chegd de um produto em um linh de produção, o início e o término de um procedimento, ultrpssgem do vlor de um vriável contínu de um determindo limir. A ocorrênci de eventos gerlmente interferem n dinâmic, n form de um mudnç ou trnsição instntâne do estdo do sistem. Os estdos são definidos como um conjunto de crcterístics conhecids que definem o sistem em um ddo período de tempo entre dois eventos consecutivos. A Figur 2. mostr um trjetóri de estdos de um SED qulquer, onde é ilustrdo que um mesmo evento pode ter efeitos diferentes no sistem, dependendo do estdo onde ocorre. Por exemplo, o evento no estdo X lev o sistem o estdo X, porém no estdo X o evento lev o sistem o estdo X 2. Tmém é ilustrdo que um mesmo 23