UFU Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Computação Apostila de Lógica Proposicional (Fundamentos Básicos)

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1 UFU Universidde Federl de Uberlândi Fculdde de Computção Apostil de Lógic Proposicionl (Fundmentos Básicos) Prof. Luiz Gustvo Almeid Mrtins

2 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl Fundmentos Básicos d Lógic NTRODUÇÃO. Definição de Lógic A lógic é o estudo sobre nturez do rciocínio e do conhecimento. El é usd pr formlizr e justificr os elementos do rciocínio empregdos ns demonstrções / provs de teorems. A lógic clássic se bsei em um mundo bivlente ou binário (visão restrit do mundo rel), onde os conhecimentos são representdos por sentençs ue só podem ssumir dois vlores verdde (verddeiro ou flso). Portnto, nesse contexto, um demonstrção é um meio de descobrir um verdde pré-existente deste mundo..2 Lógic Proposicionl A lógic proposicionl é form mis simples de lógic. Nel os ftos do mundo rel são representdos por sentençs sem rgumentos, chmds de proposições. Ex: MUNDO REAL Hoje está chovendo A ru está molhd Se está chovendo, então ru está molhd. PROPOSÇÃO LÓGCA P Q P Q Definição (proposição): um proposição é um sentenç, de uluer nturez, ue pode ser ulificd de verddeiro ou flso. Ex: = 2 é um proposição verddeir d ritmétic. > é um proposição fls d ritmétic. Se não é possível definir interpretção (verddeiro ou flso) d sentenç, est não é um proposição. Alguns exemplos deste tipo de sentenç são presentdos bixo: Frses nterrogtivs (ex: Qul o seu nome?). Frses mpertivs (ex: Preste tenção!). Prdoxos Lógicos (ex: Est frse é fls). Exercício de Fixção Verifiue se s expressões bixo são proposições. Justifiue su respost. ) Bo sorte! b) Tods s mulheres possuem su belez. c) Márcio não é irmão do Mário. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:

3 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl d) Não fç isto! e) Cecíli é escritor. f) Quntos jponeses morm no Brsil?.3 Lógic e nformátic N computção, lógic pode ser utilizd, entre outrs coiss, pr: Conceber circuitos lógicos (o rciocínio do computdor é um rciocínio lógico); Representr conhecimento (progrmção lógic); Vlidr lgoritmos e corrigir progrms (testes lógicos ds especificções em engenhri de softwre). 2 Sintxe 2. Lingugem e Alfbeto O conjunto de fórmuls d lógic proposicionl é denomindo L (lógic de ordem ). Cd fórmul deste conjunto é um proposição gerd pel conctenção de símbolos pertencentes o lfbeto d lógic proposicionl, definido inicilmente. Este lfbeto é infinito, constituído por: Símbolos verdde: true e flse; Símbolos proposicionis: P, Q, R, S, P, P 2, P 3, etc; Conectivos proposicionis: (não), (ou inclusivo), (e), (implic ou se, então ) e (euivlênci, bi-implicção ou se e somente se ); e Símbolos de pontução: ( e ). Vle ressltr ue, ssim como n lingugem portugues, nem tod conctenção é válid, ou sej, pertence à lingugem d lógic proposicionl. As fórmuls proposicionis são construíds, prtir do lfbeto proposicionl, de cordo com s seguintes regrs:. Todo símbolo verdde é um fórmul; 2. Todo símbolo proposicionl é um fórmul; 3. Se P é um fórmul, então su negção ( P) tmbém é um fórmul; 4. Se P e Q são fórmuls, então: 4.. A disjunção de P e Q (P Q) tmbém é um fórmul; 4.2. A conjunção de P e Q (P Q) tmbém é um fórmul; 4.3. A implicção de P em Q (P Q) tmbém é um fórmul; Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:2

4 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl 4.4. A bi-implicção de P e Q (P Q) tmbém é um fórmul; Nest definição, s fórmuls mis elementres são os símbolos verdde e proposicionis. A prtir destes e utilizndo s regrs 3 e 4, recursivmente, é possível obter um conjunto infinito de fórmuls. Note ue o conectivo é unário (plicdo sobre um únic fórmul) e fic n ordem pré-fix, enunto ue os demis conectivos são binários (plicdo sobre dus fórmuls) e fic n ordem infix. Exemplos de Fórmuls Válids (P Q) ( ( R) X) ( (P ( Y) ) (Q (R V) ) ) As construções cim são fórmuls proposicionis, pois podem ser derivds prtir d plicção ds regrs de construção descrits. Exemplos de Fórmuls nválids PQR (R True ) ( Flse ( Q P) ) As construções cim não constituem fórmuls proposicionis, pois não é possível derivá-ls prtir ds regrs descrits. Exercício: Ddo os símbolos proposicionis P e Q. Mostre ue ( (P Q) ( ( P) ( Q) ) ) é um fórmul proposicionl. Solução: P e Q são fórmuls (plicndo Regr 2) (P Q) é fórmul (plicndo Regr 4.2) ( P) e ( Q) são fórmuls (plicndo Regr 3) ( ( P) ( Q) ) é fórmul (plicndo Regr 4.3) ( (P Q) ( ( P) ( Q) ) ) é fórmul (plicndo Regr 4.2) 2.2 Precedênci dos Conectivos Os símbolos de pontução (prênteses), ssim como n ritmétic, são empregdos pr priorizr um cálculo proposicionl. Esses símbolos podem ser omitidos undo isto não lter o significdo d fórmul proposicionl. Ex: (( ( P)) Q) P Q OBS: A fórmul (X Y) n pode ser escrit sem prênteses: (X Y) X Y. Se em um fórmul, os prênteses não são usdos, o cálculo proposicionl deve seguir seguinte ordem de prioridde: (mior precedênci) e e (menor precedênci) (precedênci intermediári) Ex: P Q R (P Q) R Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:3

5 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl P Q R (( P) Q) R Além d precedênci, tmbém existem s regrs de ssocitividde, ue definem prioridde no cálculo pr conectivos de mesm precedênci. São els: e e (conectivos ssocitivos à esuerd) (conectivos ssocitivos à direit) Ex: P Q R (P Q) R P Q R P (Q R) Exercício: Elimine o mior número possível de prênteses d fórmul, sem lterr seu significdo originl: (( X) (( (X Y)) Z)). Solução: ( X) (( (X Y)) Z) X ( (X Y) Z) Exercício de Fixção dentifiue uis fórmuls pertencem à lógic proposicionl. Justifiue su respost, presentndo s regrs de construção utilizds ou pontndo um conctenção inválid. Pr s fórmuls válids, remov os símbolos de pontução sem fetr su interpretção. ) (P Q) ((Q P) ( ( R))) b) Q R c) (P R) (Q (( T) R)) d) (PQ True) e) (( ( P)) (( (( ( (P Q))) R)) P)) f) ( P (Q R)) ((P Q) ( R P)) 2.3 Comprimento de Fórmul O comprimento de um fórmul proposicionl H, denotdo COMP[H], é definido como segue: Se H é um símbolo verdde ou proposicionl, então COMP[H] = ; Se H é um fórmul proposicionl, então COMP[ H] = COMP[H] ; Se (P Q) é um fórmul proposicionl, sendo um dos conectivos binários, então COMP[P Q] = COMP[P] COMP[Q]. Note ue o comprimento de um fórmul é obtido trvés d contgem dos conectivos e dos símbolos verdde e proposicionis, desconsiderndo o símbolo de pontução. Ex: COMP[ (P Q) R ] = COMP[P Q] COMP[R] = COMP[P] COMP[Q] = = = 5. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:4

6 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl Este conceito é muito utilizdo em demonstrções lógics pelo princípio d indução finit. 2.4 Subfórmuls O conjunto formdo pels subfórmuls de um fórmul proposicionl contém todos os pedços válidos dest fórmul, inclusive el mesm. Este conjunto é formdo pels seguintes regrs: H é um subfórmul de H; Se H = ( P), então P é um subfórmul de H; Se H = (P Q), sendo um dos conectivos binários, então P e Q são subfórmuls de H; Se P é subfórmul de H, então tod subfórmul de P tmbém é subfórmul de H. Definição informl: Todo pedço de H ue é um fórmul proposicionl válid, é um subfórmul de H, inclusive el mesm. Exercício de Fixção Determine o comprimento e s subfórmuls ds seguintes fórmuls proposicionis: ) (( P Q) (P Q)) True b) P ((Q R) ((P Q) (P R))) c) ((P P) P) Q d) (P Q) 3 Semântic A semântic ssoci um significdo cd objeto sintático. Assim, undo se escreve fórmul P Q, dependendo dos vlores de P e Q, est fórmul pode ser verddeir ou fls. 3. nterpretção O significdo (semântic) dos elementos sintáticos d lingugem d lógic proposicionl é determindo por um função binári totl, denomind interpretção. Est função ssoci cd fórmul um vlor verdde (verddeiro ou flso), ue pode ser representdo por {T, F} ou {, } (notção d álgebr boolen). Formlizndo o conceito de interpretção, temos: Definição (função binári): um função é binári se seu contrdomínio possui pens 2 elementos. Definição (função totl): um função é complet se é definid em todos os elementos de seu domínio. Definição (interpretção): n lógic proposicionl, um interpretção é um função binári totl, tl ue: O domínio de é constituído pelo conjunto ds fórmuls d lógic proposicionl; O contrdomínio de é o conjunto {T, F}. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:5

7 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl 3.2 Cálculo Proposicionl O cálculo proposicionl define semântic d fórmul segundo um interpretção. Ele ssoci cd fórmul um plicção do tipo: {T, F} N {T, F} sendo N, o número de símbolos proposicionis e verdde d fórmul. 3.3 Semântic do Alfbeto Proposicionl A definição d interpretção dos símbolos do lfbeto proposicionl é dd bixo: Símbolos verdde: su interpretção é fix, como segue: [True] = T e [Flse] = F Símbolos proposicionis: ddo um símbolo proposicionl P, ele pode ssumir uluer vlor do contrdomínio de. Assim: [P] {T, F} Conectivos proposicionis: não possuem significdo isoldmente. Entretnto, por simplificção, interpretção de um fórmul poderá ser denotd como significdo do conectivo. A descrição d interpretção dos conectivos é presentd seguir: Dds dus fórmuls proposicionis H e G. Negção Se E = H, então: [E] = F, pr [H] = T. [E] = T, pr [H] = F. Conjunção ( ) Se E = (H G), então: [E] = F, pr [H] = F e/ou [G] = F. [E] = T, pr [H] = T e [G] = T. Disjunção ( ) Se E = (H G), então: [E] = F, pr [H] = F e [G] = F. [E] = T, pr [H] = T e/ou [G] = T. mplicção ( ) Se E = (H G), então: [E] = F, pr [H] = T e [G] = F. [E] = T, pr [H] = F e/ou [G] = T. OBS: O conectivo denot o conceito de necessidde (o conseüente (G) indic o ue é necessário pr ue o ntecedente (H) ocorr). Um condição necessári é um pré-reuisito pr ue um fto ocorr, ms su vercidde não é suficiente pr grntir ue o fto tmbém sej verdde. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:6

8 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl Euivlênci ( ) Se E = (H G), então: [E] = F, pr [H] [G]. [E] = T, pr [H] = [G]. OBS: O conectivo denot o conceito de suficiênci (o conseüente (G) indic o ue é suficiente pr ue o ntecedente (H) ocorr, ou sej, tudo ue é necessário). Um condição suficiente é o conjunto de todos os pré-reuisitos necessários pr ue um fto ocorr. Assim, vercidde desse conjunto grnte vercidde do fto. Exercício: Sejm P e Q dus proposições. Demonstrr com jud d definição de interpretção dos conectivos ue: (P Q) (Q P). Solução: Pr [P Q] = T [P] = F e/ou [Q] = T Se [P] = F [ P] = T [Q P] = T Se [Q] = T [Q P] = T Pr [P Q] = F [P] = T e [Q] = F Se [P] = T e [Q] = F [ P] = F e [Q] = F [Q P] = F Como pr uluer interpretção, [P Q] = [Q P], então (P Q) (Q P) é válido. Exercício de Fixção Sejm P e Q dus proposições. Demonstrr com jud d definição de interpretção dos conectivos ue: ) P Q (P Q) (Q P) b) (P Q) (P Q) (Q P) c) P Q ( P Q) 4 Proprieddes Semântics São relções obtids no mundo semântico prtir ds fórmuls sintátics. O estudo dests relções entre os elementos sintáticos e semânticos, denomind teori dos modelos, é um ds principis rzões d plicção d lógic à ciênci d computção. 4. Tutologi Um fórmul H é um tutologi ou é válid se e somente se [H] = T. OBS: Note ue vlidde é muito mis ue vercidde. Um fórmul pode ser verddeir pr um determind interpretção, ms não ser válid (existe outr interpretção onde fórmul é fls). Exercício: Demonstrr trvés d definição do significdo dos conectivos ue H = X X é um tutologi. Solução: Se H é um tutologi, então [H] = T. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:7

9 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl [H] = T [X X] = T [X] = T ou [ X] = T [X] = T ou [X] = F Como [X] {T, F}, então [H] = T c..d. 4.2 Fórmuls Fctíveis Um fórmul H é fctível ou stisftível se e somente se [H] = T. Observe ue, por est definição, tutologi é um subconjunto ds fórmuls stisftíveis. Exercício: Demonstrr ue H = P Q é stisftível, ms não é um tutologi. Solução: Se H é stisftível, então [H] = T. [H] = T [P Q] = T [P] = T e/ou [Q] = T Portnto, pr [P] = T e/ou [Q] = T, temos [H] = T. Entretnto, pr [P] = F e [Q] = F, temos [H] = F. Logo, H é fctível, ms não é tutologi. c..d. 4.3 Contrdição Um fórmul H é contrditóri se e somente se [H] = F. Exercício: Demonstrr trvés d definição do significdo dos conectivos ue H = X X é um contrdição. Solução: Se H é um contrdição, então [H] = F. [H] = F [X X] = F [X] = F e/ou [ X] = F [X] = F e/ou [X] = T Como é um função binári, tl ue [X] {T, F}, então [H] = F c..d. Exercício de Fixção Determinr uis ds fórmuls bixo são tutologis, contrdições ou fórmuls fctíveis. Justifiue su respost: ) (P (P Q)) P b) P P 2 P 3 Q Q c) ( P Q) (P Q) d) P P 2 P 3 Q Q Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:8

10 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl e) (P P) (Q Q) 4.4 Euivlênci de Fórmuls Sejm H e G L. Els são euivlentes, semnticmente, se e somente se [H] = [G]. Notção: H G ou H G. Exercício: Demonstrr trvés d definição do significdo dos conectivos ue H = ( P Q) e G = (P Q) são euivlentes. Solução: Se H e G são euivlentes, então [H] = [G]. Pr [H] = T [ P Q] = T [ P] = T e [ Q] = T [P] = F e [Q] = F Se [P] = F e [Q] = F [P Q] = F [ (P Q)] = T Pr [H] = F [ P Q] = F [ P] = F e/ou [ Q] = F [P] = T e/ou [Q] = T Se [P] = T [P Q] = T [ (P Q)] = F Se [Q] = T [P Q] = T [ (P Q)] = F H e G presentm o mesmo vlor pr uluer interpretção então, els são euivlentes. A tbel bixo present lgums ds euivlêncis clássics encontrds n litertur: Tbel - Euivlêncis Clássics (H G) dentificção Fórmul H Fórmul G Dupl Negtiv ( E) E Proprieddes de E Flse E dentidde E True E Proprieddes E E True Complementres E E Flse Leis de Morgn (E R) E R (E R) E R Contrposição E R R E Proprieddes de E R E R Substituição E R (E R) (R E) Proprieddes E R R E Comuttivs E R R E Proprieddes E (R S) (E R) S Associtivs E (R S) (E R) S Proprieddes E (R S) (E R) (E S) Distributivs E (R S) (E R) (E S) Prov Condicionl E (R S) (E R) S Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:9

11 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl Exercício: Sejm P e Q L. Demonstre, com o uxílio ds euivlêncis clássics, ue s fórmuls bixo são euivlentes: E = Q (Q P) e G = ( Q Q) ( Q P). Solução: Q (Q P) Exercício de Fixção Q (Q P) (plicndo Propriedde de Substituição do ) ( Q Q) ( Q P) (plicndo Propriedde Distributiv) Demonstre, com uxílio ds euivlêncis clássics, ue s fórmuls bixo são euivlentes: ) (E G) (E G) ( E G) b) ( X Y) Z (Z X) (Z Y) c) ( (P Q) S) P (P S) ((Q S) P) 4.5 mplicção de Fórmuls Sejm H e G L. H implic em G, se e somente se, undo [H] = T, [G] = T. Notção: H G ou G H. Exercício: Demonstrr pel definição do significdo dos conectivos ue X implic em Y X. Solução: Se X implic em Y X, então: undo [X] = T, [Y X] = T. Pr [Y X] = T [Y] = F e/ou [X] = T sto signific ue, sempre ue [X] = T, temos [Y X] = T. Logo, X Y X. c..d. O conceito de implicção de fórmuls (G H) NÃO uer dizer ue, [G] = [H]; ou ue undo [H] = T, [G] = T. A implicção semântic só nos permite concluir [H] = T unto [G] = T. Nos demis csos, nd pode ser concluído. A implicção de fórmuls é usd como mecnismo de inferênci n dedução de novos conhecimentos. Exercício de Fixção Verifiue se s fórmuls bixo são implicções semântics: ) P True b) (X X = Y) (X Y) (X = ) c) P (Q R S (G U)) P True d) (P Q) (P Q) Q OBS: Enunto e são símbolos sintáticos pr implicção e euivlênci, e são elementos d metlingugem pr representr implicção e euivlênci semântic. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:

12 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl 4.6 Outrs Proprieddes Semântics Dd um fórmul H e um interpretção, então stisfz H se e somente se [H] = T. Um conjunto de fórmuls β = {H, H 2,, H N } é stisftível se e somente se [β] = T, ou sej, [H ] = [H 2 ] = = [H N ] = T. 4.7 Proposições sobre s Proprieddes Semântics A prtir ds proprieddes presentds cim, podemos concluir s seguintes proposições: - Dd um fórmul Q pertencente à lógic proposicionl, então: ) Q é tutologi Q é fctível. b) Q não é fctível Q é contrdição. c) Q é tutologi Q é contrdição. Demonstrção: Se H é um tutologi, então [Q] = T. [Q] = T [ Q] = F Logo, [ Q] = F, ou sej, Q é um contrdição. c..d 2- Se P e G são euivlentes (P G), então P G é um tutologi. Demonstrção: Se P G, então [P] = [G]. Pr [P] = [G] = T [P G] = T Pr [P] = [G] = F [P G] = T Logo, [P G] = T, ou sej, (P G) é um tutologi. c..d. 3- Se P implic semnticmente em G (P G), então P G é um tutologi. Demonstrção: Se P G, então [G] = T undo [P] = T. Pr [P] = [G] = T [P G] = T Se P G é tutologi, então [P G] = T. Pr [P G] = T [P] = F e/ou [G] = T Assim, undo [P] = T, necessrimente [G] = T (P T). c..d. 4- Sej β um conjunto de fórmuls (β = {H, H 2,, H N }). β é stisftível (H H 2 H N ) é stisftível Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:

13 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl Demonstrção: Se β é stisftível, então [H ] = [H 2 ] = = [H N ] = T. [H ] = [H 2 ] = = [H N ] = T [H ] = T e [H 2 ] = T e e [H N ] = T Se [H ] = T e [H 2 ] = T [H H 2 ] = T Se [H H 2 ] = T e [H 3 ] = T [H H 2 H 3 ] = T e ssim sucessivmente té ue [H H 2 H N ] = T. Logo, (H H 2 H N ) é stisftível c..d. 5 Métodos de Vlidção de Fórmuls Os métodos presentdos bixo são utilizdos pr verificr vlidde ds fórmuls proposicionis. Além disso, eles tmbém podem ser empregdos n demonstrção ds demis proprieddes presentds no cpítulo nterior. 5. Tbel-Verdde A tbel-verdde é um método de vlidção bsed n forç brut. sso ocorre, porue devemos mper tods s possíveis combinções dos símbolos/vriáveis proposicionis. Assim, sej P um fórmul proposicionl e α o conjunto de vriáveis proposicionis existentes em P (α = {X, X 2,, X N }). A tbel-verdde de P é um tbel com pelo menos N coluns e extmente 2 N linhs. As N primeirs coluns representm s vriáveis proposicionis, enunto (N)-ésim colun represent fórmul P. Cd linh represent um possível combinção de vlores (T ou F) ds vriáveis pertencentes α e o vlor verdde de P resultnte dest combinção. TABELA-VERDADE DOS CONECTVOS G H G H G H G H G H Q Q F F F F T T F T F T F T T F T F T F F T F F T T T T T T CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE Dependendo do tmnho d fórmul proposicionl, construção diret d su tbel-verdde não é um tref trivil. Por isso, sugeri-se su construção progressiv, trvés d representção, em coluns uxilires, ds subfórmuls d fórmul trblhd. Tl rtifício, pesr de umentr o número de coluns, fcilit o rciocínio pr o preenchimento ds linhs. Exercício: Constru tbel-verdde d fórmul P = (X Y) ( X Z). Solução: X Y Z X (X Y) ( X Z) P F F F T F F F F F T T F T T F T F T F F F F T T T F T T Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:2

14 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl T F F F F F F T F T F F F F T T F F T F T T T T F T F T Exercício de Fixção Constru tbel-verdde ds fórmuls: ) (P Q) ( Q P) b) (P R) (P Q) (Q R) c) ( P Q) (P Q) TABELA-VERDADE X PROPREDADES SEMÂNTCAS - Um fórmul é um tutologi se últim colun de su tbel-verdde contém somente vlores T ou. 2- Um fórmul é um contrdição se últim colun de su tbel-verdde contém somente vlores F ou (zero). 3- Um fórmul é fctível se últim colun de su tbel-verdde contém pelo menos um vlor T ou. 4- Dus fórmuls são euivlentes semnticmente undo, pr cd linh d tbel-verdde, sus coluns presentm o mesmo vlor. 5- Um fórmul G implic semnticmente n fórmul H se, pr tod linh cujo vlor d colun de G é verddeiro, o vlor d colun de H tmbém é verddeiro. Exercício de Fixção Determine, utilizndo tbel-verdde, se s fórmuls bixo são tutologi, contrdição ou fctíveis; ou, ind, se euivlênci e implicção semântic são válids: ) E (G H) (E G) (E H) b) ((P Q) R) (Q (R P)) c) ((P R) Q) ((P R) Q) d) (Q P) (E R) ((Q E) (P E)) ((Q R) (P R)) e) (P (Q Q)) P (P Q) 5.2 Árvore Semântic Este método determin vlidde de um fórmul prtir de um estrutur denomind árvore. Um árvore é um conjunto de nós (vértices) ligdos por rests. Os nós finis são chmdos folhs, o nó inicil é denomindo riz, enunto os demis nós são intermediários. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:3

15 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl Exemplo de Árvore: Nó Riz Nós Folhs Durnte vlidção, s rests ue ligm o nó riz os outros nós recebem um rótulo, indicndo os possíveis vlores de um determind vriável proposicionl, escolhid letorimente. Se prtir de um interpretção for possível obter o vlor d fórmul, este é ssocido o nó folh correspondente. Cso não sej possível tl ferição, cri-se mis dus rests, umentndo rmificção d árvore. Pr rotulção desss rests, escolhemos um outr vriável proposicionl. Este processo é repetido té ue todos os nós folhs tenhm vlores ssocidos à fórmul. Exercício: Demonstre, trvés de árvores semântics, vlidde de H = (P Q) ( Q P). Solução: (P Q) ( Q P) [P] = F F T T T TF T (P Q) ( Q P) [Q] = F T F F T TF T TF T [P] = T [Q] = T T (P Q) ( Q P) T?? FT (P Q) ( Q P) T T T T FT T FT Como em todos os nós folhs [H] = T, então fórmul H é válid. c..d. Exercício de Fixção Constru árvore semântic ds fórmuls: ) (P Q) ( Q P) b) (P R) ( P R) ( R P) c) X > X 2 = Y X 2 Y X ÁRVORE SEMÂNTCA X PROPREDADES SEMÂNTCAS - Um fórmul é um tutologi se só têm vlores T ou em seus nós folhs. 2- Um fórmul é um contrdição se só têm vlores F ou (zero) em seus nós folhs. 3- Um fórmul é fctível se pelo menos um nó folh com vlor T ou. 4- Dus fórmuls G e H são euivlentes semnticmente, se árvore semântic correspondente à fórmul G H for um tutologi. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:4

16 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl 5- Um fórmul G implic semnticmente n fórmul H, se árvore semântic correspondente à fórmul G H for um tutologi. 5.3 Método d Negção ou Absurdo O método d negção ou bsurdo é um método gerl de demonstrção. Ele consiste em negr firmção ue se desej provr e, prtir de um conjunto de deduções, concluir um fto contrditório ou bsurdo (ex: [P] = T e [P] = F). A plicção deste método é recomendd nos csos onde negção d firmção nos lev csos determinísticos, ou sej, com um únic possibilidde de interpretção pr fórmul, pois isto simplific demonstrção. Tl situção ocorre undo negção crret flsidde dos conectivos e e vercidde do conectivo. Exercício: Demonstrr, trvés do método d negção, vlidde d Lei de Trnsitividde do conectivo : H = ((P Q) (Q R)) (P R) Solução: vlidde = tutologi. Logo, devemos provr ue [H] = T. Supondo ue H NÃO é tutologi, então [H] = F. [((P Q) (Q R)) (P R)] = F [((P Q) (Q R))] = T e [(P R)] = F Pr [(P R)] = F [P] = T e [R] = F Pr [((P Q) (Q R))] = T [P Q] = T e [Q R] = T Se [P Q] = T [P] = F e/ou [Q] = T, ms como [P] = T, logo: Se [Q R] = T [Q] = F e/ou [R] = T, ms como [R] = F, logo: ABSURDO: Q NÃO pode ssumir dois vlores (T e F) no mesmo instnte. Portnto, suposição inicil está errd e H é tutologi. [Q] = T [Q] = F c..d. O objetivo deste método é deduzir um contrdição / bsurdo prtir d negção d fórmul em prov. Entretnto, nem sempre isto ocorre. Nestes csos, NADA se pode concluir sobre vercidde d sserção inicil. Além disso, undo existem mis de um possibilidde testd, origind de cláusuls e/ou, tods devem gerr um contrdição. MÉTODO DA NEGAÇÃO OU ABSURDO X PROPREDADES SEMÂNTCAS - Um fórmul H é um tutologi se suposição [H] = F gerr contrdição. 2- Um fórmul H é um contrdição se suposição [H] = T gerr contrdição. 3- Um fórmul H é fctível undo el não for tutologi, nem contrdição. Neste cso, bst presentr dus interpretções pr H ( e J), onde [H] = T e J[H] = F. 4- Dus fórmuls G e H são euivlentes semnticmente, se for possível provr ue fórmul G H for um tutologi. 5- Um fórmul G implic semnticmente n fórmul H, se for possível provr ue fórmul G H for um tutologi. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:5

17 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl Exercício de Fixção Demonstre, utilizndo os três métodos de vlidção estuddos, ue s fórmuls seguir são tutologis: ) ((H G) (G H)) (H H) b) (H (G E)) ((H G) (H E)) c) (H G) (H ( G)) d) (( R Q) ( Q P)) (R P) 6 Princípio d ndução Finit Apesr de não fzer prte d lógic, este princípio é um dos principis métodos utilizdos n demonstrção de resultdos. N ciênci d computção, tl princípio é usdo pr demonstrr resultdos em lingugens formis, teori de lgoritmos, teori dos códigos, etc. 6. Prdigm d ndução Considere um conjunto de peçs de dominó enfileirds e enumerds. Els estão disposts de modo ue, se o dominó é derrubdo pr direit, então o subseüente (dominó 2) tmbém ci, e ssim sucessivmente. Dinte disto, surge pergunt: O ue é suficiente pr um dominó N cir? Respost: ue uluer um dos dominós ue o ntecede ci pr direit, ou sej, existem (N-) condições suficientes. Suponhmos ue o dominó ci pr direit, logo o dominó N tmbém ci. Agor surge outr pergunt: Qul é condição necessári pr ue o dominó poss cir pr direit?. Respost: ue os dominós subseüentes possm ser derrubdos. A prtir deste cenário, observmos ue existem váris condições suficientes pr ue todos os dominós sejm derrubdos. Exemplo: Se o dominó é derrubdo pr direit, então o dominó N ci, ou simplesmente, D D N. Dentre eles, destcmos 2 conjuntos: º conjunto: Condição básic: O dominó é derrubdo pr direit. Condição indutiv: Sej N um nº rbitrário. Se o dominó N é derrubdo pr direit, então o dominó N tmbém ci. 2º conjunto: Condição básic: O dominó é derrubdo pr direit. Condição indutiv: Sej N um nº rbitrário. Se todos os dominós té N são derrubdos pr direit, então o dominó N tmbém ci. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:6

18 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl Note, ue mbos tem mesm condição básic. Entretnto, condição indutiv é ligeirmente modificd. O princípio d indução finit possui 2 forms ue correspondem estes conjuntos. Neste curso iremos bordr pens ª form. 6.2 ª Form de ndução Suponh ue pr cd N (N ), sej dd sserção A(N). Pr concluirmos ue A(N) é verddeir pr todo inteiro N, deve ser possível demonstrr s seguintes proprieddes: Bse d ndução: A sserção A() é verddeir. Psso ndutivo: Ddo um inteiro N (N ), se A(N) é verddeir, então A(N) tmbém é verddeir. Exercício: Demonstre, trvés do princípio d indução finit, ue: dd progressão ritmétic i = i, pr. A som dos N primeiros termos dest progressão pode ser clculd por: = S n N Solução: Bse d ndução: S = = = ) ( Psso ndutivo: Assumindo = S como verdde, então: = = = S S Como =, podemos reescrever expressão como: = = = c..d. Exercício de Fixção Demonstre, utilizndo o princípio d indução finit, ue: ) X N (2 X) = 2 2 X X b) X N X 5 2 X > X 2 c) X N 3 divide X 3 -X Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:7 d) X N x = 2 x -

19 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl 7 Relções Semântics entre os Conectivos 7. Conectivos Completos Um conjunto de conectivos proposicionis ϕ é completo se e somente se, é possível expressr, euivlentemente, os conectivos,,, e utilizndo pens os conectivos de ϕ. Este conceito é muito utilizdo em ciênci d computção e lógic, como por exemplo, pr simplificr os conectivos empregdos em um projeto de circuitos lógicos. Ex: Demonstre ue ϕ = {, } é um conjunto completo. Solução: dd um fórmul H, do tipo ( P), (P Q), (P Q), (P Q) ou (P Q). Podemos gerr um fórmul G, euivlente H e só contenh conectivos de ϕ. Pr H = ( P) ou (P Q), temos G = H, pois os {, } ϕ. Pr H = (P Q), temos G = ( P Q), pel plicção d Lei de Morgn. Pr H = (P Q), temos G = ( P Q), pel plicção d propriedde de substituição do. Pr H = (P Q), temos G = ( ( P Q) ( Q P)), pel seüênci explicd bixo: (P Q) (P Q) (Q P), pel plicção d propriedde de substituição do ( P Q) ( Q P), pel plicção d propriedde de substituição do ( ( P Q) ( Q P)), pel plicção d Lei de Morgn. Logo, ϕ = {, } é um conjunto completo c..d. OBS: A demonstrção ue G euivle H, trvés de tbel-verdde, fic como exercício. 7.2 Forms Normis As fórmuls d lógic proposicionl podem ser expresss utilizndo vários conjuntos de conectivos completos. Além disso, tmbém podemos representá-ls trvés de estruturs prédefinids, denominds forms normis. São els: Form Norml Disjuntiv (FND): se fórmul é um disjunção de conjunções de literis (símbolos proposicionis ou sus negções). Form Norml Conjuntiv (FNC): se fórmul é um conjunção de disjunções de literis. Ex: H = ( P Q) ( R Q P) (P S) FND G = ( P Q) ( R Q P) (P S) FNC OBTENÇÃO DAS FORMAS NORMAS Considere fórmul: H = (P Q) R. Podemos escrever H e H 2, de modo ue H sej H n FND e H 2 sej H n FNC, com segue: Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:8

20 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl º Psso: Construção d tbel-verdde de H. P Q R H Linh F F F F F F T T 2 F T F F 3 F T T T 4 T F F F 5 T F T F 6 T T F F 7 T T T T 8 2º Psso: Gerção de H (FND). - Extrir s linhs d tbel-verdde onde [H] = T. Pr cd linh N, gerr um fórmul Y N, formd pens pel conjunção de literis, de modo ue [Y N ] = T, como presentdo bixo: 2ª linh: [P] = F, [Q] = F, [R] = T Y 2 = ( P Q R). 4ª linh: [P] = F, [Q] = T, [R] = T Y 2 = ( P Q R). 8ª linh: [P] = T, [Q] = T, [R] = T Y 2 = (P Q R). - Gerr H prtir d disjunção ds fórmuls gerds no item nterior. 3º Psso: Gerção de H 2 (FNC). H = ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) - Extrir s linhs d tbel-verdde onde [H] = F. Pr cd linh N, gerr um fórmul X N, formd pens pel disjunção de literis, de modo ue [X N ] = T, como presentdo bixo: ª linh: [P] = F, [Q] = F, [R] = F X = (P Q R). 3ª linh: [P] = F, [Q] = T, [R] = F X 3 = (P Q R). 5ª linh: [P] = T, [Q] = F, [R] = F X 5 = ( P Q R). 6ª linh: [P] = T, [Q] = F, [R] = T X 6 = ( P Q R). 7ª linh: [P] = T, [Q] = T, [R] = F X 7 = ( P Q R). - Gerr H 2 prtir d conjunção ds fórmuls gerds no item nterior. H 2 = (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) Exercício de Fixção Dd fórmul H = ((P Q) ( Q R)) ( R P). ) Constru fórmul euivlente utilizndo pens os conectivos do conjunto ϕ = {, }. b) Gere s fórmuls euivlentes n FND e FNC. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:9

21 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl 8 Dedução de Teorems O processo de prov por dedução consiste em demonstrr ue, dds lgums expressões como verddeirs (hipóteses ou premisss), um nov sentenç tmbém é verddeir. Qundo isso ocorre, dizemos ue sentenç provd é um teorem com respeito às hipóteses. A prov de um teorem consiste em derivr expressão desejd H prtir ds hipóteses β, utilizndo os recursos disponíveis em lgum dos sistems de dedução válidos (β H). Definição (sistems de dedução): tmbém denomindos sistems formis, são completos (se β H, então β H) e corretos (se β H, então β H) e estbelecem estruturs ue permitem representção e dedução do conhecimento. TPOS DE SSTEMAS DE DEDUÇÃO Os sistems de dedução podem ser divididos em 2 grupos, como segue: Sistems de difícil implementção computcionl: Sistem Axiomático Dedução Nturl Sistems mis deudos pr implementção computcionl: o o Tbleux Semânticos Resolução Neste curso, presentremos o sistem xiomático e resolução. 8. Sistem Axiomático O sistem xiomático é um estrutur pr representção e dedução do conhecimento bsedo em xioms. Ele é definido pel composição de 4 elementos: Alfbeto d lógic proposicionl; Conjunto de fórmuls proposicionis (Hipóteses) Subconjunto de fórmuls, denomindos xioms; e Conjunto de regrs de inferênci. HPÓTESES As hipóteses ou premisss são fórmuls proposicionis tids (ssumids) como verddeirs. Assim, cso se descubr ue um ds hipóteses pode ser fls, tod prov feit prtir dest hipótese perde su vlidde. AXOMAS Os xioms representm o conhecimento ddo priori. No cso do sistem xiomático, este conhecimento é representdo por tutologis. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:2

22 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl O conjunto de fórmuls xiomátics pode vrir entre os sistems xiomáticos. Porém, independente do conjunto dotdo, o mesmo deve ssegurr o sistem xiomático sej completo e correto. Neste curso, dotremos um sistem cujos xioms são determindos pelos esuems: Ax = (H H) H (H H) H Ax2 = H (G H) H (G H) Ax3 = ( ( H G)) (( (E H)) (G E)) (H G) ((E H) (G E)) sendo, H, G e E uisuer fórmuls proposicionis. REGRAS DE NFERÊNCA As regrs de inferênci são implicções semântics. Els são utilizds pr fzer inferêncis, ou sej, executr os pssos de um demonstrção ou dedução. Assim como os xioms, o conjunto de regrs de inferênci dotdo em um sistem xiomático pode vrir, desde ue mntenhm s proprieddes de completude e correção. Qunto menor o conjunto de regrs de inferênci, mis elegnte é o sistem xiomático. Abixo serão listds lgums regrs de inferênci ue podem ser utilizds em um sistem xiomático: Adição: P P Q Q P Q Conjunção: P Q P P Q Q Simplificção Disjuntiv: ( P Q) ( P Q) P Absorção: P Q P ( P Q) Modus Ponens: Modus Tollens: P ( P Q) Q Q ( P Q) P Silogismo Hipotético: Silogismo Disjuntivo: ( P Q) ( Q R) P R ( P Q) P ( P Q) Q Q P Dilem Construtivo: ( P Q) ( R G) (( P R) ( Q G)) ( P Q) ( R G) (( P R) ( Q G)) Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:2

23 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl Dilem Destrutivo: ( P Q) ( R G) (( Q G) ( P R)) ( P Q) ( R G) (( Q G) ( P R)) Absurdo: P Q P OBS: A miori dos sistems xiomáticos costum utilizr pens o Modus Ponens (MP) como regr de inferênci. PROVA EM UM SSTEMA AXOMÁTCO Um prov ou demonstrção trvés do sistem xiomático consiste em presentr seüênci de pssos necessários pr derivr fórmul desejd prtir ds hipóteses. Cd psso pode ser gerção de um xiom ou plicção de um regr de inferênci. Proposição: ddo um teorem com s hipóteses H, H 2,, H N e fórmul ser provd C. Ele é verddeiro sempre ue: H H 2 K H C N ou H H 2 H N C = T Exercício : Prove P (S G) trvés de um sistem xiomático ue utiliz tods s regrs de inferênci presentds cim e com o seguinte conjunto de hipóteses: P (Q R) Q S R G Solução: - considerndo s hipóteses: P (Q R) () Q S (2) R G (3) - Aplicndo o dilem construtivo entre (2) e (3), temos: (Q R) (S G) (4) - Aplicndo o silogismo hipotético entre () e (4), temos: P (S G) c..d Exercício 2: A prtir ds hipóteses bixo e utilizndo pens o Modus Ponens (MP) como regr de inferênci, prove ue (S P). (P R) P Q P 4 P Q (P P 2 ) Q (P 3 R) R P 4 P P Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:22

24 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl P 3 P P 2 Solução: Gerr um xiom ue possu S (pois est vriável não existe no conjunto de hipóteses) e ue estej mis próximo possível d fórmul ser provd: - Usndo Ax2 com H = P e G = S, temos: P (S P) () Derivr fórmul desejd. Pr isso, é preciso isolr P (necessário pr plicr MP em ()): - Considerndo s hipóteses: (P R) P (2) Q P 4 (3) P Q (4) (P P 2 ) Q (5) (P 3 R) R (6) P 4 P (7) P (8) P 3 P (9) P 2 () - Aplicndo MP entre (8) e (4), temos: Q () - Aplicndo MP entre () e (3), temos: P 4 (2) - Aplicndo MP entre (2) e (7), temos: P (3) - Aplicndo MP entre (3) e (), temos: S P c..d. PROVA POR ABSURDO Neste tipo de prov, neg-se fórmul ue se desej provr, inclui no conjunto de hipóteses e plic s regrs de inferênci té se obter um bsurdo. Exercício: A prtir ds hipóteses bixo e utilizndo pens o Modus Ponens (MP) como regr de inferênci, prove P. S P R P S Solução: - Considerndo s hipóteses: Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:23

25 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl S P () R P (2) S (3) P (4) Negção do teorem - Aplicndo euivlênci (G H H G) em (), temos: P S (5) - Aplicndo MP entre (4) e (5), temos: S (6) Como (6) contrdiz (3), conclui-se ue suposição inicil ( P) é fls. Logo β P c..d. OBS: Como já visto, nd pode ser concluído se o bsurdo não for encontrdo. DERVAÇÃO SEM HPÓTESES Além ds provs onde um fórmul G é derivd prtir de um conjunto de hipóteses β (β G), existem csos onde o sistem xiomático não possui hipóteses (β é vzio) e fórmul desejd é derivd somente prtir dos xioms, denotmos: G. Ex: Utilizndo um sistem xiomático sem hipóteses e pens com Modus Ponens como regr de inferênci, prove (P P). - Pr gerr um sentenç ue contenh fórmul ser derivd, utilizmos o Ax3 com H = (P P), E = P e G = P, temos: ((P P) P) (( P (P P)) (P P)) () - Note ue prte ntecedente de () pode ser gerd prtir de Ax pr H = P: (P P) P (2) - Aplicndo MP entre (2) e (), temos: (( P (P P)) (P P)) (3) - A prte ntecedente de (3) pode ser gerd prtir de Ax2 pr H = P e G = P: P (P P) (4) - Aplicndo MP entre (4) e (3), temos: (P P) c..d. Exercício de Fixção Prove os teorems bixo, trvés do sistem xiomático: ) Hipóteses: hoje não é domingo ou Mnuel está feliz. Se Mnuel está feliz, ele é moroso. Mri está feliz ou Mnuel não é moroso. Hoje é domingo. Regr de nferênci: Modus Ponens Teorem: Mri está feliz. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:24

26 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl b) Hipóteses: P (Q R) S Q P G S P G Regr de nferênci: Modus Ponens Teorem: R c) Hipóteses: P (Q R) Q S R S Regr de nferênci: Livre escolh (descrever n solução o conjunto escolhido) Teorem: P S 8.2 Resolução Ao contrário do sistem xiomático, no método de resolução não se tem xioms. Portnto, este método é definido pel composição dos seguintes elementos: Alfbeto d lógic proposicionl; Conjunto de cláusuls, gerds prtir de fórmuls proposicionis (Hipóteses) Regr de inferênci. A resolução é um método de prov plicdo sobre fórmuls ue estão n form de conjunções de disjunções, conhecid como form norml conjuntiv (FNC). Ex: H = (P Q R) (R Q) ( P R P) Cd fórmul é, então, representd n form de conjunto de cláusuls (FCC). Nest notção, cd disjunção é um subconjunto (cláusul), onde o conectivo ou é trocdo por um vírgul. Além disso, s vírguls entre os subconjuntos representm conjunção (conectivo e) ds disjunções. Ex: H = {{P, Q, R}, {R, Q}, { P, R}} Note ue no exemplo cim, { P, R} represent ( P R P). sto ocorre, pois não se represent duplicidde n notção de conjuntos (FCC). REGRA DE NFERÊNCA O mecnismo de inferênci d resolução utiliz pens um regr, denomind regr de resolução, como segue: Resolução: ( P Q) ( P R) ( Q R) Ex: Considere s fórmuls: Originl FNC FCC H = P Q P Q {P, Q} H 2 = P R P R { P, R} Res(H,H 2 ) = Q R Q R {Q, R} Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:25

27 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl MÉTODOS DE PROVA POR RESOLUÇÃO N resolução, ssim como no sistem xiomático, podemos provr os teorems de form diret ou por refutção. Resolução Diret: pós converter s fórmuls proposicionis pr form de conjunto de cláusuls (FCC), plic-se repetidmente regr de resolução sobre s hipóteses té se obter fórmul desejd. Ex: Prove por resolução diret o teorem bixo: Hipóteses: Teorem: A B A C B C Solução: - Considerndo s hipóteses: A B {A, B} () A C (2) B { B} (3) - Aplicndo propriedde de substituição do em (2), temos: ( A C) { A, C} (4) - Aplicndo regr de resolução entre () e (4), temos: (B C) {B, C} (5) - Aplicndo regr de resolução entre (3) e (5), temos: C {C} c..d. Resolução por Refutção: neste método utiliz-se prov por bsurdo. Pr isto, negse fórmul desejd e crescent nov fórmul no conjunto de hipóteses. Então, pós convertê-ls pr o FCC, plic-se repetidmente regr de resolução té se obter um cláusul vzi, gerd prtir de um contrdição do tipo P e P. Ex: Prove o teorem do exemplo nterior, trvés d resolução por refutção: Solução: - Negndo o teorem, temos: C { C} () - Considerndo s hipóteses: A B {A, B} (2) A C ( A C) { A, C} (3) B { B} (4) - Aplicndo regr de resolução entre (2) e (3), temos: (B C) {B, C} (5) Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:26

28 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl - Aplicndo regr de resolução entre (3) e (5), temos: C {C} (6) - Aplicndo regr de resolução entre () e (6), temos: { } c..d. OBS: O método de resolução por refutção tmbém pode ser utilizdo pr provr vlidde de fórmuls proposicionis prtir de um conjunto de hipóteses vzio. Ex: Dd H = (P Q R) (P G) (Q G) (R G) G. Prove H. Solução: - Negndo H, temos: ( (P Q R) (P G) (Q G) (R G) G) () - Aplicndo propriedde de substituição do em (), temos: ( ((P Q R) ( P G) ( Q G) ( R G)) G) (2) - Aplicndo Lei de Morgn em (2), temos: ((P Q R) ( P G) ( Q G) ( R G)) ( G) (3) - Representndo (3) n FCC, temos: {{P, Q, R}, { P, G}, { Q, G}, { R, G}, { G}} (4) - Rotulndo s cláusuls de (4): {P, Q, R} (4.) { P, G} (4.2) { Q, G} (4.3) { R, G} (4.4) { G} (4.5) - Aplicndo regr de resolução entre (4.) e (4.2), temos: {Q, R, G} (5) - Aplicndo regr de resolução entre (4.3) e (5), temos: {R, G} (6) - Aplicndo regr de resolução entre (4.4) e (6), temos: {G} - Aplicndo regr de resolução entre (4.5) e (5), temos: { } Logo, H é válid. (7) c..d. OBS: Qundo não se consegue chegr o conjunto de cláusuls vzio pel prov por refutção, ssim como nos csos nteriores, nd se pode concluir sobre o teorem. Exercícios de Fixção - Prove os teorems bixo, trvés do método de resolução: ) Hipóteses: hoje não é domingo ou Mnuel está feliz. Se Mnuel está feliz, então ele é moroso. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:27

29 UFU - Fculdde de Computção Lógic Proposicionl Teorem: Mri está feliz ou Mnuel não é moroso. Hoje é domingo. Mri está feliz. b) Hipóteses: P (Q R) S Q P G S P G Teorem: R c) Hipóteses: P (Q R) Q S R S Teorem: P S 2- Atrvés d prov por refutção, mostre ue fórmul H = (P Q) (( P Q) Q) é válid. Prof. Luiz Gustvo A. Mrtins Pág.:28

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