Apostila- Pré-Cálculo

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1 Apostila- Pré-Cálculo Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral Curso: Engenharias Profª: Gislaine Vieira

2 Capítulo Matemática Elementar.) Conjuntos Numéricos Conjunto dos números Naturais (IN) IN {0,,,,,...} Conjunto dos números Inteitos (Z) Z {...,,,,0,,,,...} * Notação: Z {...,,,,,,,...} Z {0} conjuntos dos números inteiros não nulos. Z * {,,,...} conjuntos dos números inteiros positivos. Z * {...,,, } conjuntos dos números inteiros negativos. OBS:Todo número natural é um número inteiro e, portanto, IN Z Eemplos: Conjunto dos números Racionais (Q) a Q / a Z e b Z b * Todo número inteiro é racional. Portanto; Os decimais eatos Eemplos: 0,,,, Os decimais periódicos(dízimas periódicas) Eemplos: ) 0,...

3 Chamamos r 0,..., e multiplicamos ambos os membros por 0, temos: 0 r,... Subtraindo membro a membro,as equações, vem: 0 r,... r 0,... 9 r Portanto: 9 r ) r 9 0, Chamamos r 0,..., e multiplicamos ambos os membros por 00 r,... Subtraindo membro a membro,as equações, vem: 00 r,... r 0, r Portanto: 9 9 r r 99 Conjunto dos números Reais (IR) 0, temos: O conjunto dos números reais (IR) é formado pelos números racionais e pelos números irracionais. Os números reais podem ser representados por pontos de uma reta. Assim, por eemplo, podemos determinar o ponto que representa o número do seguinte modo: O conjunto IR-Q indica o conjunto dos números irracionais, isto é, o conjunto dos números reais que não são racionais. Eemplos: ( ) (racional) (irracional)

4 .)Número Inteiros -Epressões Numéricas Calcular as seguintes epressões numéricas: ) 8 ºPasso) 8 0 Calcula-se a multiplicação ºPasso) 0 Depois a soma ) 9 8 ºPasso) Calcula-se a divisão ºPasso) Depois a soma ) (7 ) ºPasso) (7 ) () 6 Calcula-se primeiro os parênteses ºPasso) () 6 6 Depois a multiplicação ºPasso) 6 6 e por último a soma ) ( 9) (7 ) ºPasso) ( 9) (7 ) () () Calcula-se primeiro os parênteses ºPasso) ( ) () Depois a multiplicação ºPasso) e por último a soma Regras dos sinais ) ( ) ( ) 0 6) ( ) ( ) - 6 7) ( ) ( ) 6 8) ( ) ( ) -0 9) ( 0) ( ) 0) ( ) ( ) - 6 ) 8 ) ( ) ( ) ( ) 9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ) ( ) (6) 6

5 ) 8 ) Fatoração 6) ). 6 8) Eemplos: Calcule o valor numérico das epressões: ) ) ( ) ( ) ( ) ( 0 Resolução: 7 0 ) ( ) ( 9 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ) ( ) ( ) ( 0 Resolução: 9) ( 8) ( ) ( ) ( ) ( (6) 8 ) Resolução: ) ), 0,7, (0, (0,) Resolução: 0, ,) 0,7, (0, (0,)

6 Eercícios Calcule o valor numéricos da epressões: ) 8 ) 000 ) 0 ) Tarefa: Lista de eercícios.)números Fracionários -Epressões Numéricas Eemplos: ) ) ) ) (m.m.c(,)).... Racionalização: ).. 6).... ( Tarefa: Lista de eercícios (.. ).( ). ) ( 6 ) (. ) 6 6.) Produtos Notáveis ºCaso)Produto da soma de dois termos ( a b) a ab b ºCaso)Produto da diferença de dois termos ( a b) a ab b 6

7 ºCaso)Produto da soma pela diferença de dois termos ( a b).( a b) a b ºCaso)Cubo da soma de dois termos ( a b) a a b ab b ºCaso)Cubo da diferença de dois termos ( a b) a a b ab b 6ºCaso)Fatoração que envolve Cubos a b ( a b)( a ab b a b ( a b)( a ab b ) ) Eercícios: Simplifique as epressões: ) ( ) ( ).( ) ) (a b).(a b) Simplifique as frações: ac 0ac ) a c ) Tarefa: Lista de eercícios.)equações do º Grau Chamamos de equação do º grau na incógnita a toda equação que pode ser epressa na forma: a b, onde a e b são constante,com a 0, e chamamos de coeficientes. b O conjunto-solução é S. a 7

8 Eemplos: Resolução em IR (IRconjuntos dos números reais) ) - 8 ) S {} S {} ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 9 S { 7 } 9.6)Equações do º Grau Chamamos de equação do º grau na incógnita a toda equação que pode ser epressa na forma: a b c 0, onde a, b e c são constante,com a 0, e chamamos de coeficientes. Formula resolutiva da Báskara:. a b c 0, a 0 b ± onde b ac é chamado discriminante da equação. a Se 0 0 Diz se que a equaçãotem raiz dupla ( < 0 Eistem raizes reais ( e ) A equação não admite soluções reais( mas eistem soluções compleas) Soma e Produto das Raízes Sendo e as raízes da equação do ºgrau, tem-se: b S a c P. a ) 8

9 Eercícios: Resolver em IR: ) 0 ) 0 ) ) 0 ) 9 0 6) ( ) 0 Tarefa: Lista de eercícios 9

10 .7) Inequações em IR Resolução em IR: ) > > S{ IR / > } lê-se: { pertence aos reais tal que é maior do que } ) 6 < 6 < 0 0 < 6 < S{ IR / < } lê-se: { pertence aos reais tal que é maior do que /} ) 0 0 S{ IR / 0 } lê-se: { pertence aos reais tal que é maior ou igual a 0} Tarefa: Lista de eercícios Eercícios: Resolver: ) 7 0 ) 9 0 ) ) > ) 6 6) > 9 0

11 Capítulo Funções.) O Plano Cartesiano y A B O Ponto A é identificado por:, y. O Ponto B é identificado por:, y. O Ponto A tem abscissa e ordenada. O Ponto B tem abscissa e ordenada. par ordenado(,) par ordenado(,).) Função y f() Sempre que duas grandezas, e y, estão relacionadas entre si, de modo que:. pode assumir qualquer valor em um conjunto A;. a cada valor de corresponde um único valor de y em um conjunto B; dizemos que a grandeza que assume valores y é uma função da grandeza que assume valores, isto é, que y é uma função de. Eemplo: Para construir um galinheiro retangular um carpinteiro dispõe de m de tela. Em um dos lados vai aproveitar uma parede já eistente. Veja os desenhos abaio. Obter uma epressão que relaciona a área do galinheiro com a medida de um dos lados. Resolução:

12 São dados: y(m²): área do galinheiro e (m): medida de um lado do retângulo. Assim, se dois lados medem, o outro mede. Logo, y.( - ) ou y - ² Desse modo descobrimos uma epressão que relaciona y com. A partir dessa lei, podemos construir uma tabela de valores,um diagrama de flechas e um gráfico cartesiano. Tabela: (m) 0 6 y(m²) Diagrama de flechas: Lado (m) Área y(m²) Gráfico Cartesiano

13 O domínio da função é o conjunto dos valores de para os quais a situação é possível. No eemplo, o domínio é formado pelos valores reais de que são positivos e menores do que 6, isto é, ]0,6[. O conjunto imagem da função é formado pelos valores correspondentes aos valores do domínio. No eemplo, o conjunto imagem é formado pelos valores de y que são positivos e menores ou iguais a8, isto é, ]0,8]. Nova notação para função: Indica-se por: Quando y é uma função de, escrevemos y f() (lê-se: y é igual a f de ) assume os valores no conjunto B. Eemplo: Considere a função f : A B uma função em que assume valores no conjunto A e y f :[,] IR definida por f ( ) Temos que: assume valores no conjunto [,] e y assumi valores no conjunto IR..) Função Constante f : IR IR f() b onde b é um número real. O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eio, passando pelo ponto (0,b). Eemplo: f() O domínio da função é o conjunto DIR e a imagem é o conjunto Im{}.)Função do º Grau ou Função Afim f : IR IR f() a b onde a e b são constante e a 0. O gráfico de uma função afim é um conjunto de pontos sobre uma reta.

14 O coeficiente a é chamado de coeficiente angular ou declividade da reta. O coeficiente angular é a tangente da inclinação da reta, isto é, é a tangente do ângulo que a reta forma com o eio. α a tgα Sendo A, y ) e B(, y ) dois pontos distintos da reta, então: ( A A B B a tgα e a y B B y A A O coeficiente b é chamado de coeficiente linear da reta. Para obtê-lo, basta fazer 0 em y a b. Daí, y b. Isso significa que o coeficiente linear é dado pelo ponto (0,b), intersecção da reta com o eio y. Observação: Se b 0 tem-se f() a e a função é chamada função linear. Neste caso a reta passa pela origem do sistema cartesiano. Eemplo: Construir o gráfico de f() Para determinar a reta é suficiente obter dois pontos distintos dessa reta. Para isso, simplesmente atribuímos dois valores distintos à variável e construímos a tabela: X y f() y * 0

15 Para obter a intersecção da reta com o eio, devemos resolver a equação f() 0: 0 - Portanto a reta intercepta o eio no ponto, 0. O coeficiente linear nos diz que a intersecção da reta com o eio y é o ponto (0,). O conjunto domínio é IR e o conjunto imagem também é IR. Eercícios: Esboçar o gráfico e dar o domínio e a imagem. ) f() - ) f() 6 ) f() - ) f() Escreva a função do º grau representada pela reta: ) 6) Tarefa: Lista 9.)Função do º Grau ou Função Quadrática f : IR IR f ( ) a b c onde a,b e c são constantes e a 0.

16 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola que tem concavidade para cima, se a > 0 ou concavidade para baio de a < 0. O sinal do discriminante eio. b ac determina a posição da parábola em relação ao Se > 0 a parábola intercepta o eio nos pontos de abscissas e e que são as raízes da equação a b c 0. Se 0 a parábola tangencia o eio nos pontos de abscissas que são as raízes da equação a b c 0 Se < 0 a parábola não intercepta o eio O Ponto vértice da parábola é obtido por: V Para o valor b a função a Valor máimo, se a < 0 ou Valor mínimo, se a > 0. b a y assume: a,. a Eemplo: y 6 8 Resolução: Para esboçar o gráfico da função, observamos o valor de a e o de. Como a > 0 então a parábola tem concavidade para cima e como ( 6)..8 6 > 0 a parábola intercepta o eio em dois pontos. Para descobrir o conjunto imagem, dependemos do vértice da parábola. Lembrando que: b 6 V e y V a. a. 6

17 O conjunto domínio é D IR, e o conjunto imagem é Im { y IR / y }. Eercícios: Esboçar o gráfico, dar o domínio e o conjunto imagem de cada função. ) y ) y ) y ) y.6)função Eponencial f * : IR IR f ( ) a onde a é um número real positivo e a. Sobre a função eponencial f ( ) a podemos afirmar que: Seu gráfico intercepta o eio y no ponto P(0,); O conjunto-imagem é { y IR / y > 0} ; f é uma função crescente se, e somente se, a >; f é uma função decrescente se, e somente se, 0< a <; OBS: Uma função é crescente se : < a < a Uma função é decrescente se : < a > a Eemplo: f ( ) y ^ f() 0 - A função é crescente, pois a >0. O conjunto domínio é * imagem é Im { y IR / y > 0} IR D IR e o conjunto 7

18 Eemplo: f ( ) f() 0 - A função é decrescente, pois 0 < a <. O conjunto domínio é D IR e o conjunto * imagem é Im { y IR / y > 0} IR Eercícios: Construa uma tabela para os seguintes valores de : -, -, 0, - e, a seguir, desenhe o gráfico da função eponencial e dê o seu domínio e seu conjunto imagem. ) f ( ) ) f ( ) Tarefa: Lista 8 de eercícios 8

19 .7) Logaritmo Definição: Dados os números reais positivos a e b com b, chamamos de logaritmo de a na base b, que indicamos por log a, ao número tal que b a. b Em símbolo: log b a b a Nomenclatura: I.) Sendo II) log0 log b a temos: : logaritmo a : logaritmando ou antilogaritmo b: base do logaritmo simplesmente III) log e a é chamado de logaritmo decimal de a e convencionou-se, neste caso, escrever log a a é chamado de logaritmo neperiano (logaritmo natural) de a e convencionouse, neste caso, escrever ln a. O número e é um irracional cujas primeiras casa decimais são, IV) Chama-se co-logaritmo de a na base b ao oposto do logaritmo de a na base b,isto é: colog b a log b a Conseqüências da definição I) log 0 b II) log b III) b log b K b K IV) b log b a a Eemplos: ) log 8 pois 8 ) log pois ) log 9

20 Eercícios: Calcule os seguintes logaritmos: ) log ) log 8 ) log 0,0 ) co log ) Para que valores de eiste log ( )? 6) Calcule o logaritmo de na base 0,. Propriedades dos Logaritmos Satisfeitas as condições de eistência dos logaritmos, tem-se: ) log ( M. N) log M log N b M ) log b log b M log b N N K ) log ( M ) k. log M b b b b ) log c a log b a (Mudança de base) log b c Eercícios: )Dado que log 0, 0 e log 0, 7, obtenha: a) log 6 b) log 8 c) log d) log e) log 0

21 .8)Circunferência É o conjunto de todos os pontos do plano eqüidistantes de um ponto fio desse plano, chamado centro Todos os pontos dessa circunferência distam r (raio)do ponto O..O Equação Reduzida da circunferência de centro (a,b) e raio r: ( a ) ( y b ) r Equação Geral: y a by a b r 0 Eercícios: Encontre uma equação para as circunferências abaio: ) ) Diga se as equações abaio, representam circunferências. Em caso positivo, determine o raio e o centro. ) y ) ( ) ( y ) ) y 6 8y 6 6) y

22 Tarefa: Lista 0 de eercicios.9)elipse Elipse é o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fios é constantes. Os pontos fios são chamados de focos. b O a ( h) ( y k) Equação Reduzida da elipse de centro (h,k) : a b Equação Geral: A Cy D Ey F 0 Eercícios: Encontre uma equação para as elipses abaio: ) ) )

23 Diga se as equações abaio, representam elipses. Em caso positivo, determine o centro. ) y 00 ) y 8 y 0 ) 6y 0 8y 9 0.0) Hipérboles Uma hipérbole é o conjunto de pontos no plano, cujo valor absoluto da diferença das distancias a dois pontos fios é uma constante. Os dois pontos fios são denominados de focos. ( h) ( y k) Equação Reduzida da hipérbole centro (h,k) : a b Equação Geral: A By Cy D Ey F 0 Eemplo: y Eercícios: Esboce as hipérboles: ) y 9 6 ) y 9 6

24 Capítulo Trigonometria.) Trigonometria no Triângulo Retângulo Considere o triângulo retângulo abaio. Definimos: CatetoOposto CO Seno de um ângulo α agudo como: sen(α ) Hipotenusa H CatetoAdjacente CA Co-seno de um ângulo α agudo, como: cos(α ) Hipotenusa H Tangente de um ânguloα agudo, CatetoOposto tg (α ) CatetoAdjacente CO CA Cotangente de um ângulo α agudo,como: CatetoAdjacente g ( ) CatetoOposto cot α CA CO Secante de um ângulo α agudo, como: sec(α ) Hipotenusa CatetoAdjacente H CA Co-secante de um ângulo agudo, como : cossec( α ) Hipotenusa CatetoOposto H CO Eemplos: Sabemos que sen(6º) 0.8, cos(6º) 0.80 e tg(6º) 0.7, Calcular o valor de em cada figura: Resolução:

25 a) sen( 6 ) 0,8 0 0,8cm b) cos( 6 ) 0,80 m c) tg( 6 ) 0,7 0 0, Km Teorema de Pitágoras: Em todo triangulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Isto é: b c a Eemplo: Sabendo que α é um ângulo agudo e que cos( α ), calcular tg (α ) e cot g ( α ). Resolução: Eiste um triangulo retângulo com ângulo agudo α tal que o cateto adjacente a α mede e a hipotenusa mede.chamamos o valor do cateto oposto ao ângulo agudo. Pelo teorema de Pitágoras temos : 69 CatetoOposto Logo, tg( α ) e CatetoAdjacente CA cot g( α ) CO Eercício: Sabendo que α é um ângulo agudo e que sen( α ), calcular tg (α ) e cot g ( α ).

26 Tabela dos Ângulos Notáveis Sen Cós Tg 0º º 60º Por convenção: n n sen ( α) (sen( α)) n n cos ( α) (cos( α)) sen kα sen( kα) Eemplos: Calcular o valor das epressões: cos(60º) cos (0º) ) E sen (0º) tg (º) Resolução: (cos0º ) E (sen0º) ( tgº ) sen cos ) E para º cos Resolução: sen(.º ) cos(.º ) sen(0º ) cos(60º) E (cos.º ) (cos0º) 6

27 )Determinar o valor de na figura: Resolução: Como o triangulo BCD é isósceles, pois possui dois ângulos de mesma medida; logo, CDBD0m. Assim, do triangulo ABD, temos que: sen 60º 0 0 BD 0 Logo, 0 m ) Sabendo que tg α, tgβ, calcular o valor de na figura Resolução: Vamos introduzir uma variável auiliar, fazendo DAy. Assim do triangulo ABC temos: tgα y y 7

28 Do triangulo ABD temos: tg β y y Devemos então resolver o sistema: ( I) y y y ( II ) Substituindo (II) em (I), temos: 0 Logo, 0 cm Eercícios Determine a medida nos triângulos retângulos abaio: ) ) º 0º 7 6 Um avião levanta vôo sob ângulo de 0º em relação à linha do horizonte.quando tiver percorrido 900m, sua distância em relação ao solo será: a)0m b)0m c)0m d)0m e)0m 8

29 )Em uma rua plana, uma torre AT é vista por dois observadores X e Y sob ângulos de 0º e 60º com a horizontal, como mostra a figura abaio. Se a distancia entre os observadores é de 0m, qual é aproimadamente a altura da torre?(se necessário, utilize, e, 7 ). )Obter o valor na figura. C A 0º 00 60º B 9

30 .) Medidas de arcos e arcos trigonométricos Medida de Arco Para medir um arco menor que uma semicircunferência, usaremos o ângulo central correspondente. A medida de arco é a medida do ângulo central. Na figura, temos AÔBm(AB). A medida de uma semicircunferência é 80º. A medida de uma circunferência ou de um arco de uma volta é 60º. A medida de um arco maior é igual a 60º menos a medida do arco menor correspondente. Radiano Um radiano é o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. Símbolo: rad. Desse modo, um ângulo central mede rad se, e somente se, determina na circunferência um arco correspondente de rad. Para determinarmos a medida de um arco AB em radianos, podemos dividir o comprimento de AB pelo comprimento do raio r. Assim, sendo l o comprimento do arco AB: 0

31 med ( AB) l r rad Pela geometria, sabemos que o comprimento da circunferência é Sendo assim, a medida, em radianos, do arco de volta inteira é: Como,, temos: r med( C) rad r med( C) 6, 8 rad C r. No comprimento da circunferência cabem, aproimadamente, 6,8 vezes o comprimento do raio. Conversão de unidades Lembrando que o arco de volta inteira mede 60º, ou seguinte regra-de-três: 60º rad y Ou ainda: 80º rad y rad, podemos estabelecer a Disso segue que: é equivalente(~) 80 rad e rad é equivalente a 80 Eemplos: a)ache a medida equivalente em radianos de 6 Resolução: a) 6 ~6. 80 b)ache a medida equivalente em graus de rad rad

32 9 6 ~ 0 rad 80 b) rad ~. rad ~ 7 Tarefa: Lista 6 Arcos Trigonométricos Consideremos, no plano cartesiano XOY,uma circunferência de centro O(0,0) e raio igual a. Sobre essa circunferência são marcados os arcos trigonométricos que: Tem origem no ponto A(,0). Tem medidas algébricas positivas, se percorridos no sentido anti-horário. Tem medidas algébricas negativas,se percorridos no sentido horário. Essa circunferência é chamada circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico. Convenções I) O sistema de coordenadas XOY divide a circunferência trigonométrica em quatro partes iguais, denominadas quadrantes. Assim: Quadrante: 0 a 90 ou ( 0 rad a rad) Quadrante: 90 a 80 ou ( rad a )

33 Quadrante: 80 a 70 ou ( rad a rad) Quadrante: 70 a 60 ou ( rad a ) Eemplo: 0º está no º quadrante, pois 0º < 0 º < 90º II) Será omitido o símbolo rad nos arcos trigonométricos em radianos. Simetrias Se 0º < < 90º, temos: Se 0 < <,temos: Esses arcos trigonométricos são chamados arcos trigonométricos correspondentes.

34 .)Seno e Cosseno de um arco trigonométrico Considere no plano cartesiano XOY uma circunferência de centro O(0,0) e raio igual a, e seja a medida de um arco trigonométrico com etremidade em M Então: I) Seno do arco de medida é a ordenada do ponto M sen OD II) Cosseno do arco de medida é a abscissa do ponto M cos OC E, ainda: O eio OY é o eio dos senos. O eio OX é o eio dos co-senos. Eemplo: Sabendo que sen0º 0, e cos0º 0, 87, achar um valor aproimado de: a) sen 0º e cos 0º b)sen 0º e cos 0º

35 Solução: a) AP 0º θ Então: sen0º sen 0º 0, cos0º cos0º 0,87 b) AP 0º θ

36 Então: sen 0º sen 0º 0, cos 0º cos0º 0,87 O eemplo anterior mostra que há uma relação entre o quadrante e o valor de seno e cosseno. Sendo θ a medida de um arco e P a sua etremidade, notamos que: P no primeiro quadrante: sen θ > 0 e cosθ > 0 ; P no º quadrante: sen θ > 0 e cosθ < 0; P no º quadrante: sen θ < 0 e cosθ < 0 P no º quadrante: sen θ < 0 e cosθ > 0 Sendoθ a medida de um arco com etremidade no º quadrante: sen (80º θ ) senθ e cos(80º θ ) cosθ sen( 80º θ ) senθ e cos(80º θ ) cosθ sen( 60º θ ) senθ e cos(60º θ ) cosθ.)tangente de um arco trigonométrico- Outras relações trigonométricas Considere no plano cartesiano XOY uma circunferência de centro O(0,0) e raio igual a, e seja a medida de um arco trigonométrico com etremidade em M,não coincidente com B nem com B. 6

37 Então: Tangente de um arco de medida é a ordenada do ponto T. tg AT Nota: O eio paralelo ao eio das ordenadas, orientado como este e que passa pelo ponto A, é chamado eio das tangentes. Relação entre tangente, seno e co-seno Seja a medida de um arco trigonométrico com etremidade no ponto M. Da figura, os triângulos OAT e COM são semelhantes. Logo: AT OA CM OC tg sen cos Assim: sen tg, cos 0. cos 7

38 Outras relações trigonométrica Além de seno, co-seno e tangente de um arco, eistem mais três relações que, satisfeitas as condições de eistência, são inversas das três primeiras. I) Co-tangente cos cot g, sen 0 sen II) Secante sec, cos 0 cos III) Co-secante cosec, sen 0 sen Conseqüências a) cot g tg b) sec tg c) cos ec cot g d) (sen α ).(cossecα) e) (cos α ).(secα) f) ( tg α ).(cot gα) Tarefa: Lista 7.)Funções Trigonométricas A) Função Seno Chama-se função seno à função que associa a todo número real,, a ordenada do ponto M, imagem de na circunferência trigonométrica. Então, podemos definir a função seno como sendo: f : IR [,] f ( ) sen 8

39 Assim: I) Domínio D IR II) Conjunto-imagem IM [-,] III) Gráfico Colocando ao pares (, sen ) em um sistema de coordenadas cartesianas e unindo esses pontos, temos uma parte do gráfico da função seno, ou, ainda, uma parte de uma curva chamada senóide. IV) Período Observe que, de em, as imagens se repetem, isto é: sen sen( ), IR Assim,dizemos que a função seno é periódica; o seu período vale.o período é o menor intervalo no qual a função passa por um ciclo completo de sua variação. 9

40 V) Paridade A função seno é uma função ímpar, pois: sen( ) sen( ), IR B) Função Co-seno Chama-se função co-seno à função que associa a todo número real,, a abcissa do ponto M, imagem de na circunferência trigonométrica. Então, podemos definir a função seno como sendo: f : IR [,] f ( ) cos Assim: I) Domínio D IR II) Conjunto-imagem IM [-,] III) Gráfico 0

41 IV) Período Observe que, de em, as imagens se repetem, isto é: cos cos( ), IR Assim,dizemos que a função co-seno é periódica; o seu período vale. V) Paridade A função co-seno é uma função par, pois: cos ( ) cos( ), IR C) Função Tangente Definimos a tangente de um número real como sendo a razão do seno para o coseno desse real. Assim: tg, cos 0. sen cos Observe que cos 0 verifica-se para h, h Z. Assim, para todo real, h, h Z, a tangente eiste, e é única. Potanto, podemos definir a função tangente como sendo: f : IR / h, h Z } IR e f() tg

42 A função tangente associa a todo número real, do ponto T, no eio das tangentes. Assim: I)Domínio D IR / h, h Z } II) Conjunto-imagem IM IR III)Gráfico h, h Z, a ordenada IV)Período Observe que, de em, as imagens se repetem, isto é: tg tg ( ),, h Z Assim,dizemos que a função tangente é periódica; e o seu período vale.

43 V) Paridade A função tangente é uma função ímpar, pois: tg ( ) tg ( ), h, h Z Eemplo: Use a periodicidade da seno e cosseno para determinar o valor eato da função 7 a) sen 7 b) cos c) cos Resolução:

44 a) 7 sen sen. sen sen 6 sen 6 sen b) 7 cos cos cos 6 cos c) cos cos cos 6 cos