Deiziane Mendes Wanzeler

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS Deiziane Mendes Wanzeler DECAIMENTO EXPONENCIAL E ANÁLISE NUMÉRICA DE SOLUÇÃO DO SISTEMA TERMOELÁSTICO NÃO DISSIPATIVO Orienador: Prof. Dr. Mauro De Lima Sanos Belém-PA 28

2 Deiziane Mendes Wanzeler DECAIMENTO EXPONENCIAL E ANÁLISE NUMÉRICA DE SOLUÇÃO DO SISTEMA TERMOELÁSTICO NÃO DISSIPATIVO Disseração apresenada ao corpo docene do Programa de Pós-Graduação em Maemáica e Esaísica - UFPA, como quisio parcial para a obenção do grau de Mesre em Maemáica. Área de Concenração: Equações Diferenciais Parciais Orienador: Prof. Dr. Mauro de Lima Sanos Belém-PA 28

3 Deiziane Mendes Wanzeler DECAIMENTO EXPONENCIAL E ANÁLISE NUMÉRICA DE SOLUÇÃO DO SISTEMA TERMOELÁSTICO NÃO DISSIPATIVO Esa Disseração foi julgada e aprovada pelo Corpo Docene do Programa de Pós-Graduação em Maemáica e Esaísica da Universidade Federal do Pará, para a obenção do grau de Mesre em Maemáica. Belém, 6 junho de 28 Prof. Dr. Mauro De Lima Sanos (Coordenador do PPGME - UFPA) Banca Examinadora Prof. Dr. Mauro De Lima Sanos Universidade Federal do Pará, UFPA Orienador Prof. Dr. João Marcelo Brazão Proázio Universidade Federal do Pará, UFPA-DCR Examinador Prof. Dr. Valcir João Da Cunha Farias Universidade Federal do Pará, UFPA-PPGME Examinador Prof. Dr. Ademir Fernando Pazoo Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ Examinador

4 Agradecimenos Agradeço a Deus, Todo Poderoso, fone de oda a sabedoria, que me concedeu a vida e força para chegar ao final dese rabalho; Agradeço a minha mãe pela força e encorajameno para seguir em frene e a oda família; Agradeço em especial a minha avó, que sempre me deu força e bons exemplos para seguir em frene; Ao meu orienador, Prof. Dr. Mauro De Lima Sanos, pela orienação, disponibilidade e aenção dispensados na elaboração dese rabalho; Aos professores do Programa de Pós-graduação em Maemáica e Esaísica; Ao Prof. Dr. Valcir, pela orienação, paciência e ranqüilidade num momeno decisivo do desenvolvimeno dese rabalho; Aos meus amigos do coração: Carla, Ana Paula, Silvia, Renao, sem esquecer a mais nova inegrane Paula Crisina; À odos aqueles que mesmo inconscienes do papel que cumpriam, ornaram esa ravessia mais amena.

5 Ao fuuro: Weverson Wanzeler

6 Resumo Nese rabalho vamos mosrar a exisência e regularidade de soluções, o decaimeno exponencial e a solucão numérica do seguine sisema ermoelásico hiperbólico definido em um domínio não cilíndrico ( ˆQ) com convenienes hipóeses sobre k e γ: Com as condições de froneira e as condições iniciais u u xx + βθ x = em ˆQ, θ k θ xx ηθ xx + µu x = em ˆQ. u(, ) = u(γ(), ) = ; k θ(, ) = k θ(γ(), ) = ( < < T ). u = = u, u = = u 1, θ = = θ em ], γ()[. A exisência será desenvolvida usando o Méodo de Galerkin no problema aproximado definido em um domínio cilíndrico (Q). A unicidade é desenvolvida usando o Méodo da Energia. O decaimeno exponencial do sisema em uma série de dificuldades, uma delas é que não podemos rabalhar direamene com o sisema, daí a necessidade de se ober um sisema aproximado, vamos mosrar que a energia associada a ese sisema é limiada. A solução numérica do problema se faz aplicando o Méodo dos Elemenos Finios em combinação com o méodo das diferenças finias.

7 Absrac In his paper we sudy he hyperbolic hermoelasic sysem in a domain wih moving boundary, which obained when insead of he Fourier s Law for he hea flux relaion, we follow he linearized model proposed by Coleman and Gurin [21] abou he memory heory of hea conducion. We show exisence and uniqueness and exponenial decay rae of global regular soluions. The numeric analysis of soluion was also considered.

8 SUMÁRIO Resumo Absrac vi vii Inrodução 2 1 Preliminares Espaços De Bannach O Espaço Dual Os Espaços L P (Ω) Ouros Resulados Teoria das Disribuições Escalares Espaços das funções Teses Convergência em C (Ω) Disribuições Escalares Convergência e Derivada Disribucional Espaços de Sobolev O espaço H m (Ω) Exisência e Unicidade de Solução Global Esimaiva a Priori I Esimaiva a Priori II Decaimeno Exponencial 29 4 Análise Numérica Da Solução Aproximação Por Elemenos Finios Aproximação Via Galerkin Méodo Das Diferenças Finias Sisema Desacoplado Discreização Da Energia Do Sisema Resulados Numéricos BIBLIOGRAFIA 52

9 Inrodução Nese rabalho esudaremos a exisência e regularidade de soluções globais do sisema ermoelásico hiperbólico em um domínio não-cilíndrico. Na Teoria clássica Linear de ermoelasicidade, a Lei de Fourier é usada para descrever a condução de calor num corpo. Esa Teoria em duas deficiências principais. Primeira, não é possível descrever al condua para efeios de memória que podem prevalecer em alguns maeriais, paricularmene a baixas emperauras. Segunda, a pare parabólica correspondene ao sisema prediz um resulado irreal; que uma perurbação érmica em um pono é insananeameno senida em odo o corpo. Esas observações levam a acrediar que para maeriais com memória, a Lei de Fourier não é um bom modelo e emos que olhar oura Lei consiuiva mais geral. Sendo assim, seguiremos nese rabalho o modelo linearizado inroduzido por Coleman e Gurin [21]. Nosso objeivo é esudar a exisência, unicidade de solução, comporameno assinóico e a análise numérica da solução do seguine sisema u u xx + βθ x = em ˆQ θ k θ xx ηθ xx + µu x = em ˆQ onde ˆQ é um domínio não-cilíndrico. Faremos uma breve descrição de alguns resulados imporanes. Quando k = e η = 1, emos o pioneiro rabalho de Dafermos [1]. Ele mosrou que a solução do sisema ermoelásico linear se esabiliza sem axa de decaimeno. Poseriormene significaivos progressos sobre o aspeco linear e não linear do sisema ermoelásico foram obidos; Veja [2,3,4,5,6,7,8,9,11,13,14,15,16], onde os auores obem a exisência, unicidade e esabilidade exponencial de solução. Relacionado ao objeivo dese rabalho, no caso η =, emos o rabalho de Faori e Rivera [1] que mosra a

10 3 esabilidade exponencial do sisema ermoelásico linear com memória em domínio fixo. Em um domínio com froneira móvel o problema (2.1)-(2.2) e(2.4)-(2.5) não foi considerado na lieraura. Sendo assim esudaremos al problema. O rabalho esá organizado da seguine forma: No primeiro capíulo fizemos uma inrodução preliminar de alguns resulados imporanes para o desenvolvimeno do rabalho. No segundo, emos a exisência e unicidade de solução global. No erceiro, o esudo do comporameno assinóico e no quaro emos a análise numérica da solução do sisema.

11 Capíulo 1 Preliminares Nese capíulo apresenaremos alguns resulados que serão uilizados nos capíulos poseriores. 1.1 Espaços De Bannach Um espaço normado E é dio um Espaço de Bannach, se o mesmo é compleo, iso é, se oda seqüência de Cauchy converge em E O Espaço Dual Definição Denoamos por E o conjuno das funções f : E R lineares e conínuas, iso é : E = {f : E R; f é linear e conínua}. O conjuno E é chamado o dual de E. Proposição Uma aplicação linear f é conínua se, e somene se, ela é limiada. Demonsração : Pela coninuidade de f eremos que para odo ɛ > o exise δ > al que: x < δ f(x) < ɛ δ δ Isso significa que para cada y E, y saisfaz a condição: y δ, logo, ( ) y y δ f y y < ɛ f(y) ɛ y, assim concluímos que f é limiada. δ Reciprocamene, suponhamos que f seja limiada, vamos mosrar que f deve ser conínua. Da limiação de f exise C > al que f(x) C x. Porano, para odo ɛ > exise δ > al que se : x y < δ f(x) f(y) < ɛ. Enão, omemos δ = ɛ C a sua coninuidade. e sabendo que f é limiada,enão segue

12 1.2 Os Espaços L P (Ω) Os Espaços L P (Ω) Vejamos alguns resulados imporanes para o que se segue. Definição Seja p R, < p <, definimos: L P (Ω) = { f : Ω R ; fé mensurável e f P L 1 (Ω) }. Considerando agora P =, em-se: L (Ω) = {f : Ω R ; f é mensurável e c al que f(x) c quase sempre em Ω}. Definimos ambém as normas :. P : L P (Ω) R +, para P =, dadas respecivamene por: f(x) P = ( Ω f(x) P dµ) 1 P e f = inf {c : f(x) c quase sempre em Ω}. Lema (A Desigualdade De Young) Se 1 < p < e a,b são números reais não negaivos enão: ab 1 p ap + 1 q bq a igualdade só ocorre quando a p = b q. Demonsração: Se ϕ() = (1 λ) + λ λ ϕ () = λ(1 λ 1 ) e se λ 1 < emos que: 1) ϕ () < para < 1 2) ϕ () > para > 1 Logo, para 1, emos ϕ() > ϕ(1) =, onde (1 λ) + λ λ. Se b a deigualdade segue subsiuindo por ap. Por ouro lado, se b =, o Lema é imediao. bq Lema (Desigualdade de Hölder) Sejam f L p (Ω) e g L q (Ω), com 1 < p <. Enão f, g L 1 (Ω) e : Ω f.g dx f p g q. Demonsração: Os casos p = 1 e p = seguem de modo imedio. Com 1 < p < segue que

13 1.2 Os Espaços L P (Ω) 6 f(x) g(x) 1 p f(x) p + 1 q g(x) q, por Young. Assim, emos emos que f.g L 1 (Ω). Ω f.g dx 1 p f p L p + 1 q g q L q Subsiuindo f por λf, λ > segue que Ω f.g dx λp 1 p f p L + 1 p λq g q L q Por ouro lado, minimizando o lado direio da desigualdade acima, para λ (, ) emos que o mínimo ocorre para λ = f 1 L p g q/p L q e o resulado segue. Teorema (Da Convergência Dominada De Lebesgue) Seja (f n ) n uma seqüência de funções inegráveis definidas em X. Suponha que: 1) (f n ) n converge quase sempre para uma função real, mensurável, f. 2) Exise uma função inegrável g, al que f n g, n. Enão, fdµ = lim f n dµ. Demonsração : ver [17] Definição Seja H um Espaço de Hilber. Chama-se base hilberiana de H uma seqüência de elemenos (ω n ) de H ais que: 1) (ω n ) = 1 n, (ω n, ω m ) =, n,m n; 2) O espaço gerado pela (ω n ) é denso em H. A seguine proposição esabelece que a convergência em L p (Ω) dá origem a uma convergência ponual. Proposição Sejam Ω R n um abero, 1 p, u L p (Ω) e (u k ) k N uma seqüência

14 1.3 Ouros Resulados 7 em L p (Ω) convergindo para u em L p (Ω). Enão exise uma subseqüência de (u k ), ainda denoada por (u k ), al que: 1) u k (x) u(x), quase sempre em Ω; 2) u k (x) h(x), quase sempre em Ω, k N, com h L p (Ω). Demonsração: ver [17] 1.3 Ouros Resulados Definição (Convergência Fraca) Sejam E um espaço de Bannach e (u v ) v N uma seqüência de E. Enão o u v u se, e somene se, < ϕ, u v > < ϕ, u >, u E. Proposição Seja E um Espaço de Bannach e x n uma sucessão em E. Se verifica: 1) [x n xemσ(e, E )][< f, X n > < f, x >, f E ]. 2) Se x n x foremene, enão x n x fracamene para σ(e, E ). 3) Se x n x fracamene para σ(e, E ) e se f n f foremene em E, enão < f n, X n > < f, x >. Demonsração: ver [17] 1.4 Teoria das Disribuições Escalares Espaços das funções Teses Sejam Ω R um abero limiado e ϕ : Ω R uma função conínua. Denoamos supore de ϕ ao fecho em Ω do conjuno dos ponos x perencenes a Ω onde ϕ não se anula. Denoamos o supore de ϕ por supp(ϕ). Simbolicamene, emos que: supp(ϕ) = {x Ω; ϕ(x) } em Ω. Usando a definição acima concluímos que o supp(ϕ) é o menor fechado fora do qual (ϕ) se anula e valem as seguines relações: 1) supp(ϕ + ψ) supp(ϕ) supp(ψ), 2) supp(ϕψ) supp(ϕ) supp(ψ), 3) supp(λϕ) = λsupp(ϕ), λ R {}.

15 1.4.2 Convergência em C (Ω) 8 Daremos um desaque especial às funções ϕ : Ω R com supore compaco conido em Ω que sejam infiniamene diferenciáveis. Com esse objeivo definimos o espaço C (Ω) como sendo o espaço veorial das funções indefinidamene diferenciáveis com supore compaco conido em Ω. Os elemenos de C (Ω) são denominados funções eses em Ω. Observação Por um muli-índice, enendemos, uma n-upla α = (α 1,..., α n ) de números ineiros não negaivos. Denoamos por α = α α n a ordem do muli-índice e por D α o operador derivação parcial de ordem α, D α = α α 1 x α n x n Para α = (,..., ), emos por definição D ϕ = ϕ Convergência em C (Ω) Dizemos que uma sucessão (ϕ n ) n R de funções em C (Ω) converge para ϕemc (Ω) quando forem saisfeias as seguines condições: (i) Exise um conjuno compaco K Ω al que supp(ϕ) K e supp(ϕ n ) K, n R (ii)d α ϕ n D α ϕ uniformemene em K para odo muli-índice α. O espaço veorial C (Ω) junamene com a noção de convergênia definida acima é um espaço veorial opológico que denoamos por D(Ω) e é denominado espaço de funções eses. Denoa-se por L p (Ω), 1 < p <, o espaço das funções reais u : Ω R mensuráveis ais que u p são Lebesgue inegráveis em Ω. O espaço L p (Ω) é um Espaço de Bannach com a norma u p L p (Ω) = Ω u p dx.

16 1.4.2 Convergência em C (Ω) 9 Quando p =, L (Ω) denoa o Espaço de Bannach de odas as funções reais essencialmene limiadas com a norma u = sup ess u(x) x Ω Quando p = 2, L 2 (Ω) é um Espaço de Hilber com produo inerno (u, v) = u(x)v(x)dx, Ω e norma induzida u 2 = Ω u(x) 2 dx. Observação Sendo Ω limiado, obemos D(Ω) L p (Ω), para odo p, al que 1 p < com imersão onínua e densa. De fao, dado ϕ D(Ω) emos que Ω ϕ(x) p dx sup ϕ(x) p µ(ω) <. x Ω Iso prova a inclusão algébrica. Para a coninuidade, suponhamos que ϕ n ϕ em D(Ω). Mosraremos que Ω ϕ n (x) ϕ(x) p dx. Noemos que ϕ n (x) ϕ(x) p dx = Ω K ϕ n (x) ϕ(x) p dx.

17 1.4.3 Disribuições Escalares 1 Logo, pelo Teorema da Convergênia Dominada de Lebesgue, emos que lim ϕ n (x) ϕ(x) p dx = lim ϕ n (x) ϕ(x) p dx = lim ϕ n(x) ϕ(x) p dx = n Ω n K K n Para a demonsração de que a imersão anerior é densa veja [18] Disribuições Escalares Denominamos disribuição escalar sobre Ω a oda forma linear e conínua sobre D(Ω), iso é, uma função T : D(Ω) R que saisfaz as seguines condições: (i) T (αϕ + βψ) = αt (ϕ) + βt (ψ), ϕ, ψ D(Ω), α, β R. (ii) T é conínua, iso é, se (ϕ v ) v R converge para ϕ, em D(Ω), enão T (ϕ v ) T (ϕ) em R. O valor da disribuição T na função ese ϕ será denoado por < T, ϕ >. Considere no espaço veorial das disribuições escalares a seguine noção de convergência: A sucessão (T v ) v N converge para T quando a sucessão (< T v, ϕ >) v N converge para < T, ϕ > em R, para oda ϕ D(Ω). O espaço das disribuições que aparecem com mais freqüência são aquelas definidas a parir de funções localmene inegráveis. Definição Temos que uma função u : Ω R é localmene inegravel em Ω quando u é inegrável à Lebesgue em odo compaco K Ω. O espaço das funções localmene inegráveis é denoado por L 1 loc (Ω). Em símbolo emos u L 1 loc (Ω) K u(x) dx <, para odo compaco K Ω. A disribuição T u assim definida é dia gerada pela função localmene inegravel

18 1.4.3 Disribuições Escalares 11 u e usando o Lema Du Bois Raymond emos que T u é univocamene deerminada por u no seguine senido: T u = T v se, e somene se, u = v quase sempre em Ω. Nese senido idenificamos u com a disribuição T u e o espaço L 1 loc (Ω) das funções localmene inegráveis pode ser viso como pare do espaço das disribuições D (Ω). Denoamos por L 1 loc (R) o espaço veorial das funções u : R R ais que a resrição de u a qualquer compaco k de R é inegrável a Lebesgue em k. Seja u L 1 loc (R) e ϕ C (R). Denomina-se convolução de u com ϕ à função u ϕ definida em R por: (u ϕ)(x) = R u(x y) ϕ(y) dy = R u(y) ϕ(x y) dy. Segue-se que u ϕ C (R) e se u possui supore compaco, enão u ϕ C (R). Lema (Du Bois Raymond). Seja u L 1 loc (Ω). Enão T u = se, e somene se. u = quase sempre em Ω. Demonsração: Considerando o inervalo abero finio ]a, b[ fixo. Sabe-se que C é denso em L 1 (a, b). Conseqüenemene, se u = L 1 loc (a, b), enão, para cada ɛ > exise v C (a, b) al que: (a, b) b a u v dx ɛ. Da hipóese do Lema e desa úlima desigualdade, resula: para oda ϕ (a, b). b a vϕdx = b a (vϕ uϕ)dx ɛ max ϕ, (1.1) Considere-se os conjunos: k 1 = {x ]a, b[ ; v(x) ɛ} ; k 2 = {x ]a, b[ ; v(x) ɛ}, ϕ 1 = 1 em k 1, ϕ 1 = em k 2, ϕ 1 1

19 1.4.4 Convergência e Derivada Disribucional 12 ϕ 2 = 1 em k 2, ϕ 2 = em k 2, ϕ 2 1 Considereando-se Ψ = ϕ 1 ϕ 2, obem-se: Ψ = 1 em k 1, Ψ = 1 em k 2, Ψ +1 Resula, porano, b a vψdx = ]a,b[ k vψdx + vψdx, K onde K K 1 K 2. Observando-se que v ɛ em ]a, b[ K, a (1.1) implica: K vψdx b a vψdx + ]a,b[ K vψdx ɛ + (b a)ɛ. Da definição de Ψ e desa úlima desigualdade, obém-se: K v dx = K vψdx ɛ + (b a)ɛ. Porano, b a u dx < b a u v dx + v dx + v dx 2ɛ + 2(b a)ɛ. K ]a,b[ K Fazendo-se ɛ ender para zero conclui-se que u = quase sempre em ]a, b[. Sendo ]a, b[ arbirário, resula a demonsração do Lema Convergência e Derivada Disribucional Seja T uma disribuição sobre Ω e α um muli-índice. A derivada no senido das disribuições de ordem α de T é definida como sendo o funcional linear D α T : D(Ω) R

20 1.5 Espaços de Sobolev 13 al que < D α T, ϕ >= ( 1) α < T, D α ϕ >, ϕ D(Ω). Segue da definição acima que cada disribuição T sobre Ω possui derivadas de odas as ordens. Assim as funções de L 1 loc (Ω) possuem derivadas de odas as ordens no senido das disribuições. Observe que a aplicação D α : D (Ω) D (Ω) é linear e conínua no senido da convergência definida em D (Ω). Iso significa que lim T v = T em D (Ω) enão lim v v Dα T v = D α T em D (Ω). 1.5 Espaços de Sobolev Nesa seção mosraremos uma classe de espaços fundamenais para o esudo das Equações Diferenciais Parciais. Tal classe é conhecida como Espaços de Sobolev O espaço H m (Ω) Seja Ω um abero do R n com froneira Γ regular. Foi observado na seção anerior que se u L p (Ω), u possui derivadas de odas as ordens no senido das disribuições. Observamos que D α u, em geral, não é uma disribuição definida por uma função de L p (Ω). Esamos ineressados em espaços de disribuições u L p (Ω) cujas derivadas permaneçam em L p (Ω). Tais espaços são denominados Espaços de Sobolev. Dados um ineiro m > e 1 p, o espaço de Sobolev de ordem m sobre Ω é o espaço veorial denoado por W m,p (Ω) consiuído das funções u L p (Ω) para os quais D α u L p (Ω), para odo mul-índice α com α m. Em símbolos emos W m,p (Ω) = {u L p (Ω) : D α u L p (Ω), α, com α m}.

21 1.5.1 O espaço H m (Ω) 14 O espaço W m,p (Ω) será munido da norma u W m,p (Ω)= D α u p L p (Ω) α m 1/p, 1 p < e se p = u W m,p (Ω)= D α u L (Ω). α m Em ambos os casos W m,p (Ω) é um Espaço de Bannach. O espaço W m,p (Ω) é um espaço reflexivo se 1 < p < e separável se 1 p <. No caso paricular em que p = 2 o espaço W m,2 (Ω) é um espaço de Hilber, sendo denoado por H m (Ω), iso é, H m (Ω) = { u L 2 (Ω) : D α u L 2 (Ω), α, com α m }. O Traço em H 1 (Ω) D(Ω) é o conjuno { ϕ Ω ; ϕ D(R n ) } que se pode definir a resrição à froneira Γ de Ω. Dada ϕ H 1 (Ω), consideremos uma seqüência (ϕ v ) v N em D(Ω) com ϕ v ϕ em H 1 (Ω). Definimos o operador γ : H 1 (Ω) L 2 (Γ) por γ (ϕ) = lim k ϕ k Γ, sendo ese limie considerado na norma de L 2 (Γ).

22 1.5.1 O espaço H m (Ω) 15 O operador γ denominado o operador raço é conínuo, linear e seu núcleo é H 1(Ω). De forma mais simples escrevemos ϕ Γ em vez de γ ϕ. Assim, podemos caracerizar, o espaço H 1(Ω) por H1 (Ω) = { ϕ H 1 (Ω); ϕ Γ = }.A generalização do operador de raço para os espaços H m (Ω) ocorre de forma naural e no caso m = 2, emos H 2 (Ω) = { ϕ H 2 (Ω); ϕ Γ =, ϕ } v Γ =. O dual opológico do espaço (Ω) represenamos por W m,p (Ω) se 1 p < com 1 p + 1 q = 1. Se ϕ W m,p (Ω), enão ϕ D(Ω) D (Ω). W m,p Quando p = 2, W m,2 (Ω) será denoado por H m (Ω) cujo dual é H m (Ω). O eorema seguine caraceriza o espaço W m,p (Ω). Teorema Seja T W m,p (Ω) se, somene se, exisem g α L q (Ω) ais que T = D α g α. α m Demonsração : Ver [19] Lema (Desigualdade de Poincaré) Seja Ω R n um abero limiado em alguma direção. Se u H 1 (Ω), enão exise uma consane C > ɛ al que u 2 L 2 (Ω) C u 2 L 2 (Ω). Dmonsração: Ver [18] Lema (Lema de Gronwall) Sejam ϕ, ψ : [a, b] R funções conínuas e não-negaivas, α. Se enão, ϕ() α + a ϕ(s)ψ(s)ds, [ ] ϕ() α exp ψ(s)ds, [a, b]. a Em paricular, ϕ() é limiada e se α =, enão ϕ. Demonsração:

23 1.5.1 O espaço H m (Ω) 16 Fazendo Z() = α + a ϕ(s)ψ(s)ds, da hipóese segue que ϕ() Z() e pelo eorema fundamenal do cálulo, emos que Z () = ϕ()ψ(). Logo, Z () Z()ψ(), de onde segue: Z () Z() ψ() Inegrando a úlima desigualdade de a aé, segue: a Z (s) Z() ds a ψ(s) ds Daí, a d ln(z(s)) ds d a ψ(s) ds Porano, ln Z() Z(a) a ψ(s) ds, ou seja, ( ) Z() α exp ψ(s) ds, [a, b] a De al desigualdade e de ϕ() Z(), emos o Lema. Definição Dizemos que uma função b L 1 [, [ é posiiva definida quando T ω() b( τ)ω(τ)dτd, (1.2) para odo ω C([, [) e T >. Dizemos que b é foremene posiiva definida se exisir ɛ > al que a função b() ɛ é posiiva definida. Observação Toda função foremene posiiva definida é posiiva definida. Lema Se b L 1 (, ). Enão b é foremene posiiva definida se e somene se exisir uma consane posiiva ɛ al que Reˆb(iλ) ɛ λ 2, λ R; + 1

24 1.5.1 O espaço H m (Ω) 17 onde ˆb é a ransformada de Laplace de b. Demonsração: ver[12] Lema Suponhamos que k L 1 (R + ) é uma função foremene posiiva definida saisfazendo k L 1 (R + ), enão k y(τ) 2 dτ β K k y(τ)y(τ)dτ para odo y L 1 loc (R +) onde K = k 2 L 1 (R + ) + 4 k 2 L 1 (R + ) e β > é al que a função k() β e é uma função posiiva definida. Demonsração: ver[12]

25 Capíulo 2 Exisência e Unicidade de Solução Global O objeivo principal dese capíulo é esudar a Exisência e Unicidade de solução global do seguine sisema ermoelásico com memória: u u xx + βθx = em ˆQ (2.1) θ k θ xx ηθ xx + µu x = em ˆQ (2.2) onde Q é um domínio não-cilídrico de R 2 definido por ˆQ = {(x, ) R 2, < x < γ(), < < T } = ], γ()[ {}, (2.3) <<T γ( ) é uma função posiiva e η é uma consane suficienimene pequena. A froneira laeral ˆ de ˆQ é dada por ˆ = ({} {}) ({γ()} {}). <<T Além disso, a solução saisfaz a condição de froneira u(, ) = u(γ(), ) = ; k θ(, ) = k θ(γ(), ) = ( < < T ) (2.4) e as condições iniciais u = = u, u = = u 1, θ = = θ em ], γ()[. (2.5) Noe que as condições de froneira (2.4) implicam na condição de froneira de Dirichle para θ H 1 (I ), onde I =], γ()[. Assumiremos que θ(x, ) = <.

26 19 Finalmene, denoaremos por k uma função C 1 (, ) saisfazendo as seguies propriedades: k é uma função foremene posiiva definida; k e k decaem exponencialmene para zero; iso é, exisem consanes C i e p i (1 = 1, 2) al que k() C 1 e p 1, k () C 2 e p 2. De (2.1)-(2.2), emos: onde d d E() = β (k θ x )θ x dx η β θ x 2 dx, (2.6) µ I µ I E() = 1 ( u 2 + u x 2 + β 2 I µ θ 2 )dx, é a energia do sisema. Noe que do fao de k ser uma função foremene posiiva definida não implica que (2.6) seja negaiva, veja observação abaixo. Observação Considerando a função k() = e cos e ω() = e 2. Temos que k saisfaz as hipóeses do Lema (1.5.3), enão k é foremene posiiva definida; iso é, saisfaz (1.2). Além disso emos e k ω = e s cos s e 2( s) ds Logo, escolhendo = π 2 [ e R() = (k ω)().ω() = 2 = e 4 2 ] e 2 (cos + sin ) e 2 2 [ e (cos + sin ) 1 ]. + 2nπ, segue que R() >, e escolhendo = π 2 + 2nπ, emos

27 2 R() <. Porano, R() é não posiiva. Mas T R()d >, para odo T >. Porano, o sisema (2.1)- (2.2) e (2.4)-(2.5) é do ipo não dissipaivo. Mosraremos a exisência e unicidade de solução do nosso problema em um domínio cilíndrico Q =], 1[ ], T [ difeormofismo τ : ˆQ Q definido por (T > ), que é relacionado com ˆQ (ver(2.3)) pelo τ(x, ) = (y, ) = (xγ 1 (), ) para (x, ) ˆQ. (2.7) Definimos: ψ(y, ) = u τ 1 (y, ) = u(γ()y, ) ϕ(y, ) = θ τ 1 (y, ) = θ(γ()y, ) (2.8) Denoaremos por Dw a derivada parcial da função w em relação a y. Temos u(x, ) = ψ(y, ), u x (x, ) = ψ y. y x + ψ. x = γ 1 ψ y (y, ), u xx (x, ) = γ 2 ψ yy, u (x, y) = ψ y. y + ψ ( ) = ψ y y γ + ψ, γ u x = d ( ) 1 ψ γ (y, ) d y = 2 ψ γ y 2 γ 2 y γ ψ γ 2 y ψ γ y, u (x, ) = d d ) 2 = (y γ 2 ψ γ 2y γ y2 γ [ y γ ψ γ y + ψ ] = ) ( y γ ψ γ y + 2 ψ y γ γ γ 2 y ψ y + 2 ψ 2. ( y γ γ Das considerações acima, obemos o problema ransformado, ) ( ψ y ) + ψ

28 21 ψ D(a 1 Dψ) + a 2 Dψ + a 3 Dψ + βγ 1 Dϕ = em Q, (2.9) ϕ γ 2 k D 2 ϕ ηγ 2 D 2 ϕ + a 2 2 Dϕ + µγ 1 Dψ + b 2 Dψ + b 1 D 2 ψ = em Q,(2.1) ψ(, ) = ψ(1, ) = k ϕ(, ) = k ϕ(1, ) = em, >, (2.11) ψ = = ψ ; ψ = = ψ 1 ; ϕ = = ϕ em ], 1[, (2.12) onde Considere e suponhamos que a(, v, w) = a 1 (y, ) = 1 (γ y) 2 γ 2, a 2 (y, ) = 2 γ γ y, a 3 (y, ) = γ γ γ 2 y, b 1 (y, ) = µ γ γ 2 y, b 2 () = µ γ γ 2. 1 a 1 (, y)dvdwdy (2.13) γ W 3, (, ), ess inf γ() γ >, (2.14) < γ W 1,2 (, ), ess inf < γ () γ 1 >. (2.15) Exemplo Como exemplo de uma função saisfazendo (2.14) e (2.15), emos:. γ() = e α α, onde α > De (2.15), emos que ˆQ cresce no senido que 1 > 2, enão a projeção de [, γ( 1 )] sobre o espaço = coném a projeção [, γ( 2 )] sobre o mesmo espaço. Assumindo que sup γ () < < 1 λ γ 2 L, ( < λ < γ 2 L ). (2.16)

29 22 Segue que a 1 (y, ) λ >, (y, ) Q, (2.17) onde λ é uma consane posiiva independene de y e. Teorema Sejam T >, ψ H 1(, 1) H2 (, 1), ψ 1 H 1(, 1) e ϕ H 1 (, 1) H 2 (, 1). Se (2.5)-(2.8) são válidas, enão exise uma única solução regular para o sisema (2.9)- (2.12) al que ψ L (, ; H 1(, 1) H2 (, 1)), ψ L (, ; H 1 (, 1)) ψ L (, ; L 2 (, 1)), ϕ L (, ; L 2 (, 1)) L 2 (, ; H 1(, 1) (2.18) H2 (, 1)), ϕ L (, ; L 2 (, 1)) L 2 (, ; H 1(, 1)). Demonsração: Seja A o operador denoado por Aw = w ww, D(A) = H 1 (, 1) H 2 (, 1). Sendo A um operador auo-adjuno posiivo no espaço de Hilber L 2 (, 1), considere {w n } um conjuno oronormal compleo de H 1 (, 1), formado por auo-funções do operador A com correspondenes auo-valores λ 1 < λ 2 λ n. Denoaremos por ψ (m) = ψ (m) 1 = ϕ (m) = m (ψ, w i )w i, i=1 m (ψ 1, w i )w i, i=1 m (ϕ, w i )w i. i=1 Para cada m N, seja V m o subespaço gerado por w 1, w 2,..., w m. Do Teorema de Picard segue que exise uma única solução local (ψ (m), ϕ (m) ) sob a forma: ψ (m) () = ϕ (m) () = m g in ()w i =1 m h in ()w i =1 do problema aproximado

30 2.1 Esimaiva a Priori I 23 (ψ (m), w i ) + a(, ψ (m), w i ) + (a 2 Dψ (m), w i ) + (a 3 Dψ (m), w i ) (2.19) +βγ 1 (Dϕ (m), w i ) = (ϕ (m), w i ) γ 2 (k D 2 ϕ (m), w i ) ηγ 2 (D 2 ϕ (m), w i ) (a 2ϕ (n), w i ) +µγ 1 (Dψ, w i ) + (b 2 Dψ (m), w i ) + (b 1 D 2 ψ (m), w i ) = (2.2) ψ (m) (x, ) = ψ (m) ψ em D(A) (2.21) ψ (m) (x, ) = ψ (m) 1 ψ 1 em H 1 (, 1) ϕ (m) (x, ) = ϕ (m) ϕ em D(A) A exensão desas soluções para o inervalo [, T ], < T <, é conseqüência da esimaiva abaixo: 2.1 Esimaiva a Priori I Muliplicando a equação (2.19) e (2.2) por g im () e β µ h im() respecivamene, emos: (ψ (m), ψ (m) ) + a(, ψ (m), ψ (m) ) + (a 2 Dψ (m), ψ (m) ) + (a 3 Dψ (m), ψ (m) +βγ 1 (Dϕ (m), ψ (m) ) = ) β µ (ϕ(m), ϕ (m) ) β µ γ 2 (k D 2 ϕ (m), ϕ (m) ) β µ ηγ 2 (D 2 ϕ (m), ϕ (m) ) + β µ + β µ µγ 1 (Dψ (m), ϕ (m) ) + β µ (b 2Dψ (m), ϕ (m) ) + β µ (b 1D 2 ψ (m), ϕ (m) ) = 1 2 (a 2Dϕ (m), ϕ (m) ) Observando que emos a(, ψ, ψ ) = 1 1 a 1 (y, )DψDψ dy, a 1 (y, )DψDψ dy = 1 d 2 d 1 = 1 d 2 d a(, ψ, ψ) 1 2 a 1 (y, )DψDψ dy a 1(y, )DψDψ dy. a 1(y, )DψDψ dy

31 2.1 Esimaiva a Priori I 24 De emos 1 d 2 d ψ 2 L + 1 d 2 2 d a(, ψ, ψ) + 1 β d 2 µ d ϕ 2 L + β η 2 µ γ 2 () 1 1 Dϕ(y) 2 dy = 1 a 2 1(, y)dψdψdy (a 2 Dψ, ψ ) (a 3 Dψ, ψ ) βγ 1 (Dϕ, ψ ) β 1 µ γ 2 (k Dϕ(y))Dϕ(y)dy 1 β 2 µ (a 2Dϕ, ϕ) β µ µγ 1 (Dψ, ϕ) β µ (b 2Dψ, ϕ) β µ (b 1D 2 ψ, ϕ). βγ 1 (Dϕ, ψ ) βγ 1 (Dψ, ϕ) = βγ 1 (Dϕ, ψ ) + βγ 1 (Dψ, ϕ) =, e 1 (Dψ, ϕ)dx = ϕψ 1 ψ Dϕdx = 1 ψ Dϕdx = (ψ, Dϕ). Ou Obemos: 1 d 2 d ( ψ 2 L + a(, ψ, ψ) + β 2 µ ϕ 2 L ) + β η 2 µ γ 2 Dϕ(y) 2 dy () = 1 1 ( 2γ γ y 2 γ 2 2γγ + 2(γ ) 3 γy 2 ) 2 γ 4 Dψ 2 dy ] [ ] [ 2 γ γ y(dψ, ψ ) γ γ γ 2 y(dψ, ψ ) βγ 1 (Dϕ, ψ ) + βµ 1 γ 2 (k Dϕ(y))Dϕ(y)dy ] β 1 [ 2γ y(dϕ, ϕ) βγ 1 (Dψ, ϕ) β ] [ µ γ y(dψ, ϕ) β ] [ µγ µ 2 γ µ γ2 µ γ 2 y(d2 ψ, ϕ). 1 1 d 2 d ( ψ 2 L + a(, ψ, ψ) + β 2 µ ϕ 2 L ) + β 2 µγ 2 (k Dϕ(y))Dϕ(y)dy + β η µ γ 2 Dϕ(y) 2 dy () = 1 1 ( 2γ γ y 2 γ 2 2γγ + 2(γ ) 3 γy 2 ) 2 γ 4 Dψ 2 dy + 2γ γ y(dψ, ψ ) + γ γ γ 2 y(dψ, ψ ) β γ βγ βγ y(dϕ, ϕ) + y(dψ, ϕ) y(dψ, Dϕ). µ γ γ2 γ2 Da condição (2.14), emos: ( 1 d ψ (m) 2 L + a(, ψ (m), ψ (m) ) + β ) 2 d 2 µ ϕ(m) 2 L + β η 2 µ γ 2 () Dϕ (m) (y) 2 dy + β µγ 2 1 (k Dϕ (m) (y))dϕ (m) (y)dy ( γ L1 + γ L1 )E (m) 1 (),

32 2.2 Esimaiva a Priori II 25 onde E (m) 1 () = ψ (m) 2 L 2 + Dψ (m) 2 L 2 + β µ ϕ(m) 2 L 2. Inegrando a expressão acima em [, [, usando o fao de que k é foremene posiiva definida, o Lema (1.5.4) e o Lema de Gronwall concluímos que: Daí 1 d 2 d + β η µ γ 2 () ( ψ (m) 2 L + a(, ψ (m), ψ (m) ) + β ) 2 µ ϕ(m) 2 L d E (m) 1 () + C 1 Dϕ (m) (y) 2 dyd 2.2 Esimaiva a Priori II β µγ 2 C( γ + γ )E (m) 1 ()d. 1 (k Dϕ (m) (y))dϕ (m) (y)dyd ( k Dϕ (m) 2 + Dϕ (m) (y) 2 )dyd M, m N e [, T ]. (2.22) Derivando as equações (2.19) e (2.2) em, muliplicando-as por g im () e β µ h im (), respecivamene e somando seus produos, eremos: 1 d 2 d ψ(m) + 1 d 2 d ( γ +2 γ +a 3 (Dψ (m) 2 L a(, ψ(m), ψ (m) ) 2 (Dψ (m) ( γ γ ) (Dψ (m), Dψ (m) )dy γ 2 ) 1 d 2 d, ψ (m) 1 1 a 1 (y, )Dψ (m) Dψ (m) dy 2 γ ( (1 γ 2 )2γ ) (Dψ (m), Dψ (m) )dy γ 3 γ (Dψ(m), ψ (m) ) + a 2 (Dψ (m), ψ (m) ) γ γ (Dψ(m), ψ (m) ) + γ γ γ 2, ψ (m) ) βγ 2 (Dϕ (m), ψ (m) ) + β 1 d µ 2 β µ γ 2 D 2 ϕ (m) ()k()ϕ (m) β µ ηγ 3 γ (D 2 ϕ (m), ϕ (m) + β ( ) γ 2 (Dϕ (m), ϕ (m) ) + β µ γ µ d ϕ(m) 2 L 2 β µ 2γ β µ γ 2 k()d 2 ϕ (m) ()ϕ (m) β 1 µ γ 2 ) + β µ ηγ 2 (D 2 ϕ (m), ϕ (m) ) β 1 µ (a 2Dϕ (m), ϕ (m) γ γ (Dϕ(m) ) (Dψ(m), ψ (m) ) k Dϕ (m) Dϕ (m) dy k D 2 ϕ (m), ϕ (m) ) ϕ (m) dy ) βγ 2 (Dψ (m), ϕ (m) ) β γ γ 2 (Dψ(m), ϕ (m) β 2γ γ 3 (Dψ(m), ϕ (m) ) + β µ (bdψ(m), ϕ (m) ) β γ γ 2 (D2 ψ (m), ϕ (m) ) + β 2γ γ 3 (D2 ψ (m), ϕ (m) + β µ (bd2 ψ (m), ϕ (m) ) =. ) )

33 2.2 Esimaiva a Priori II 26 Usando procedimeno similar ao da primeira esimaiva, obemos: d d ( ψ(m) 2 L 2 + a(, ψ (m), ψ (m) ) + β µ ϕ(m) 2 L ) + η 2 γ 2 () C( γ W 1,2(E (m) 1 () + E (m) 2 ())) + 2 γ () γ 3 () γ 2 () 1 k Dϕ (m) Dϕ (m) dy γ 2 () Dϕ (m) 2 dy k Dϕ (m) Dϕ (m) dy (2.23) Dϕ (m) ()Dϕ (m) dy + 2γ () γ 3 () 1 Dϕ (m) Dϕ (m) dy, onde E (m) 1 () = ψ (m) 2 L 2 + Dψ (m) 2 L 2 + β µ ϕ(m) 2 L 2. E (m) 2 () = ψ (m) 2 L + Dψ (m) 2 2 L + β 2 µ ϕ(m) 2 L. 2 Usando o fao de k ser foremene posiiva definida e a desigualdade de Young, obemos; d d E(m) 2 () + 1 γ 2 () + (2γ ()) 2 ηγ 4 () 1 1 k Dϕ (m) Dϕ (m) dy + η 2γ 2 () k Dϕ (m) 2 dy + 4 ηγ 2 () 1 1 Dϕ (m) 2 dy C( γ W 1,2(E (m) 1 () + E (m) 2 ())) Dϕ (m) () 2 dy + (γ ()) 2 ηγ 4 () 1 Dϕ (m) 2 dy. (2.24) Fazendo + nas equações (2.19) e (2.2) muliplicando o resulado por g im () e h im (), respecivamene, e somando em i = 1,..., m obemos: ψ (m) () 2 L + ϕ (m) 2 () 2 L M 2 1, m N; [, T ]. (2.25) Inegrando a inequação (2.24) em, considerando a primeira esimaiva, o Lema de Gronwall e (2.25), obemos: E (m) 2 ()+ 1 k Dϕ (m) Dϕ (m) dyds+ 1 Dϕ (m) 2 dyds M 2, m N; [, T ]. (2.26) Das limiações acima, segue que: ψ (m) ψ fraco esrela em L (, T ; H 1 (, 1)), ϕ (m) ϕ fraco esrela em L (, T ; L 2 (, 1)),

34 2.2 Esimaiva a Priori II 27 ψ (m) ψ fraco esrela em L (, T ; L 2 (, 1) H 1 (, 1)), ϕ (m) ϕ fraco esrela em L (, T ; L 2 (, 1)), ψ (m) ψ fraco esrela em L (, T ; L 2 (, 1)), ϕ (m) ϕ fraco em L 2 (, T ; H 1 (, 1)), k ϕ (m) χ fraco em L 2 (, T ; L 2 (, 1)), Dϕ (m) Dϕ fraco esrela em L (, T ; L 2 (, 1)). Como k Dϕ (m) é limiada em L 2 (, T ; L 2 (, 1)), k Dϕ (m) é limiada L 2 (, T ; L 2 (, 1)), ϕ (m) ϕ fraco em L 2 (, T ; H 1 (, 1)), ϕ (m) ϕ fraco em L 2 (, T ; H 1 (, 1)), ϕ (m) ϕ fore em L 2 (, T ; L 2 (, 1)). Das hipóeses de k segue-se que k ϕ (m) k ϕ fore em L 2 (, T ; L 2 (, 1)). Usando disribuições concluímos que χ = k ϕ. Das convergências acima podemos passar o limie com m em (2.19) e (2.2). O limie de (ψ, ϕ) saisfaz ψ L (, ; H 1(, 1) H2 (, 1)), ψ L (, ; H 1 (, 1)), ψ L (, ; L 2 (, 1)), ϕ L (, ; L 2 (, 1)) L 2 (, ; H 1(, 1) H2 (, 1)), k ϕ L 2 (, ; L 2 (, 1)), ϕ L (, ; L 2 (, 1)) L 2 (, ; H 1 (, 1)) (2.27) e ober (2.9)-(2.1). Usando regularidade elípica, concluímos que ψ L (, T ; H 1(, 1) H2 (, 1)), os dados iniciais seguem imediaamene a parir das convergências obidas e a unicidade é obida usando o Méodo da Energia, conforme Lions[19].

35 2.2 Esimaiva a Priori II 28 Teorema Seja T >, I, < < T, e I os inervalos ], γ()[ e ], γ()[, respecivamene. Se u, θ H 1 (I ) H 2 (I ), u 1 H 1 (I ) e as hipóeses do Teorema (2..2) são válidas, enão exise uma única solução regular (u, θ) do sisema (2.1)-(2.2) na classe (2.28). Demonsração: Seja (ψ, ϕ) a solução obida pelo eorema (2..2) e (u, θ) definidos por u = ψ τ, θ = ϕ τ (ver (2.8) para τ), enão por (2.27) u e θ perencem a classe u L (, ; H 1(I ) H 2 (I )), u L (, ; L 2 (I )), θ L (, ; L 2 (I )) L 2 (, ; H 1(I ) H 2 (I )), θ L (, ; L 2 (I )) L 2 (, ; H 1(I )) u L (, ; H 1 (I )), (2.28) e das equações (2.9)-(2.1) emos que (u, θ) saisfaz o sisema de equações (2.1)-(2.2) em L 2 (, ; L 2 (I )). Seja (u 1, θ 1 ), (u 2, θ 2 ) as soluções para (2.1)-(2.2), e (ψ 1, ϕ 1 ), (ψ 2, ϕ 2 ) as funções obidas aravés do difeomorfismo τ dado por (2.8). Enão (ψ 1, ϕ 1 ),(ψ 2, ϕ 2 ) são as soluções para o sisema (2.9)-(2.1). A unicidade resula do Teorema (2..2). Temos (ψ 1, ϕ 1 ) = (ψ 2, ϕ 2 ), u 1 = u 2 e θ 1 = θ 2.

36 Capíulo 3 Decaimeno Exponencial Nese capíulo emos o esudo do decaimeno exponencial da solução do problema (2.1)-(2.2) e (2.4)-(2.5) quando. Para esudarmos o comporameno assinóico da solução com, consideramos a seguine ransformação. v(x, ) = u(x, )e α, ϕ(x, ) = θ(x, )e α. com as condições abaixo: v (x, ) = u (x, )e α + αu(x, )e α, v (x, ) = u (x, )e α + αu (x, )e α + αu (x, )e α + α 2 u(x, )e α v (x, ) = u (x, )e α + 2αu (x, )e α + α 2 u(x, )e α v (x, ) = u (x, )e α + 2αu (x, )e α + α 2 u(x, )e α + α 2 u(x, )e α α 2 u(x, )e α v (x, ) = u (x, )e α + 2αu (x, )e α + 2α 2 u(x, )e α α 2 u(x, )e α v (x, ) = u (x, )e α + 2α(u (x, )e α + αu(x, )e α ) α 2 u(x, )e α v (x, ) = u (x, )e α + 2αv (x, ) α 2 v(x, ), ϕ (x, ) = θ (x, )e α + αθ(x, )e α, ϕ x (x, ) = θ x (x, )e α, v x (x, ) = u x (x, )e α, v xx (x, ) = u xx (x, )e α. Definindo k() = e α k() k ϕ xx = e α (k θ xx ).

37 3 Para mosrar o decaimeno exponencial, usaremos o fao de que o Kernel (núcleo) de k decai exponencialmene, ou seja, k() ce b. Para α suficienemene pequeno, < α < ɛ (ver (3.21) para ɛ), dessa forma, segue k() ce ξ, onde ξ = b α >, assim, fazendo as devidas mundanças de variáveis, usando o par (v, ϕ) sobre o sisema (2.1) e (2.2). De (2.1) emos: v 2αv + α 2 v v xx + βϕ x =, e de (2.2) emos: v v xx + βϕ x = 2αv α 2 v. ϕ αθe α (k θ xx )e α ηϕ xx e α + µv x µαv x =, ϕ αθe α k ϕ xx ηϕ xx + µv x µαv x = ϕ αϕ k ϕ xx ηϕ xx + µv x µαv x = ϕ k ϕ xx ηϕ xx + µv x = αϕ + µαv x = Segue que o par (v, ϕ) saisfaz: v v xx + βϕ x = R, (3.1) ϕ k ϕ xx ηϕ xx + µv x = S. (3.2) onde R e S são dados por: R = 2αv α 2 v, S = αv + µαv x. onde v e ϕ saisfazendo as condições de froneira e de valor inicial do sisema (2.1)- (2.2) e (2.4)-(2.5). Definimos a energia associada a (3.1)-(3.2); ε() = 1 ( v 2 + v x 2 + β 2 I µ ϕ 2 )dx.

38 31 Mosrar o decaimeno exponencial do acoplameno (u, θ) é o mesmo que mosrar que ε() é limiada. Agora definindo que a função γ saisfaz as seguines condições: max < γ () ɛ, max < γ () ɛ, (3.3) onde ε é um número posiivo deerminado convenienimene no decorrer do rabalho (ver (3.21)). Teorema Sejam T >, I, < < T, e I os inervalos ], γ()[ e ], γ()[, respecivamene. Se u, θ H 1(I ) H 2 (I ), u 1 H 1(I ), as hipóeses do Teorema 2.1 e (3.3) são válidas, enão emos que E() Ce ς, onde C e ς são consanes posiivas. Demonsração: Consideremos o produo inerno em L 2 (I ) de (3.1)-(3.2) por (v +γ ()v x ) e ϕ, respecivamene. Primeiramene, vejamos o produo de (3.1) por (v + γ ()v x ): v v v γ ()v x v xx v v xx γ ()v x + βϕ x v + βϕ x γ ()v x = Rv + Rγ ()v x. Inegrando a igualdade acima no inervalo I, sejam as inegrais uma a uma: 1. 1 d I 2 d v 2 = 1 2 d d I v v (γ()) v () v γ v x γ ()v v x dx = d I d γ () v v x dx γ ()v (γ())v x (γ()) γ () v v x dx I I γ 2 v (γ()) 2 γ 2 v () v xx v v xx v dx = d (v x v )dx + 1 I dx I 2 d v x 2 dx 1 d I 2 v x(γ()) v x() 2.

39 32 4. v xx γ v x γ ()v xx v x dx = γ () I 1 I 2 d dx v x 2 dx = γ 2 v x(γ()) 2 + γ 2 v x() β I v ϕ x dx. 6. βγ I ϕ x v x dx. Vejamos o produo de (3.2) por ϕ e β µ : β µ ϕ ϕ β µ ( k ϕ xx )ϕ β µ ηϕ xxϕ + βv x ϕ = β µ αϕ2 + βαϕv x. Inrando a igualdade acima em x no inervalo I, eremos: 7. β µ ϕ ϕ = β µ 8. β µ ( k ϕ xx )ϕ I ϕ ϕdx = β µ 1 d I 2 d ϕ 2 dx = β µ 1 d 2 d β ( k ϕ xx )ϕdx = β k ϕx ϕ x dx. µ I µ I 9. β µ ηϕ xxϕ = β µ η I ϕ xx ϕdx = β µ η I ϕ x 2 dx. 1. βv x ϕ β Somando-se as idenidades, emos: 1 I ϕ 2 dx β µ 2 ϕ(γ()) 2 + β µ 2 ϕ() 2. v x ϕdx = β[(ϕ.v ) I v ϕ x dx] = β I v ϕ x dx. I 1 1 d v 2 dx 1 2 d I 2 v (γ()) 2 + d d γ () v v x dx I γ ()v (γ())v x (γ()) γ () v v x dx I γ 2 v (γ()) 2 v x (γ())v (γ()) + 1 d v x 2 dx 2 d I v x(γ()) v x() 2 + γ 2 v x(γ()) 2 + γ 2 v x() 2 +β v ϕ x dx + βγ () ϕ x v x dx + β 1 d ϕ 2 dx I I µ 2 dx I + β k ϕx ϕ x dx + β µ I µ η ϕ x 2 dx β v ϕ x dx I I = Rv dx + β Sϕdx + γ () Rv x dx. I µ I I

40 onde 1 d ( v 2 + v x 2 + β 2 d I µ ϕ 2 )dx + β k ϕx ϕ x dx + β µ I µ η ϕ x 2 dx + γ () v x () 2 I γ () v v x dx + βγ () ϕ x v x dx + d I I dx γ () v v x dx γ () 2 v (γ())v x (γ()) I v x (γ())v (γ()) γ v (γ()) 2 + γ v x (γ()) 2 = Rv dx + β Sϕdx + γ () Rv x dx. I µ I I 1 d 2 d L 1() + β k ϕx ϕ x dx + β µ I µ I η ϕ x 2 dx + γ 2 () v x() 2 γ () v v x dx + I βγ () ϕ x v x dx γ ()v (γ())[v (γ()) + γ ()v x (γ())] γ ()v x (γ())[v (γ()) + γ ()v x (γ())] I 33 = Rv dx + β Sϕdx + γ () Rv x dx. (3.4) I µ I I L 1 () = ε() + 2γ I v v x dx. Vejamos que: γ βγ v v x dx γ I 2 I ϕ x v x dx ηβ 2µ ( ) v 2 dx + v x 2 dx, I I ϕ x I 2 dx + µβ γ 2 2η I v x 2 dx, Rv dx 5 v 2 dx + ɛc p v x 2 dx, I 2 I 2 I β Sϕdx ηβ ϕ x 2 dx + 2ɛC2 p β v x 2 dx, µ I 4µ I µη I γ I Rv x dx γ v 2 dx + (C p + 1) γ v x 2 dx. I I Usando a condição (3.3), segue que γ v v x ɛ ( ) v 2 dx + v x 2 dx, I 2 I I βγ ϕ x v x dx ηβ ϕ x 2 dx + µβɛ v x 2 dx, I 2µ I 2η I Rv dx 5 v 2 1 dx + ɛc p v x 2 dx, I 2 I 2 I γ I Rv x dx ɛ v 2 dx + (C p + 1)ɛ v x 2 dx. I I

41 34 Em virude da seguine relação v x (γ())γ () + v (γ()) = (3.5) Usando a condição de Dirichle, conforme (1.4), em (3.4), segue que Daí d d L 1() + β k ϕx ϕ x dx + ηβ ϕ x 2 dx µ I 2µ I +γ v x () 2 ɛ v 2 dx + ɛ v x 2 dx 2 I 2 I + ηβ ϕ x 2 dx + µβɛ v x 2 dx + 5 v 2 dx + ɛ 2µ I 2η I 2 I 2 c v x 2 dx I ηβ ϕ x 2 dx + 2ɛc2 β v x 2 dx + ɛ v 2 dx + cɛ v x 2 dx. 4µ I µη I I I d d L 1() + β k ϕx ϕ x dx + ηβ ϕ x 2 dx + γ v x () 2 µ I 2µ I ( ) 4ɛ v x 2 3 dx + ɛ I 2 + µβ 2η + 3C p 2 + 2C2 pβ v x 2 dx. (3.6) µη I Agora, definimos a função posiiva ω C 1 (], 1[) al que ω < em ], 1[, max y 1 ω (y) = k < (3.7) Definimos ξ : I = [γ(), ] [, 1], x I y = x γ() (3.8) e q(x) = (ω o ξ)(x) = ω(xγ 1 ()) = ω(y). (3.9) Enão q C 1 (I ) e com base na segunda condição de (2.14), obemos:

42 35 q(x) = ω(xγ 1 ()) q C 1 (I ) = ω(xγ 1 ()) sup q C 1 (I ) = sup ω(xγ 1 ω ()) ω + x γ() x γ() ess inf γ () = ω C 1 (I )(1 + γ 1 ) = M <. Logo, Alem disso, de (3.7) segue que q C 1 (I ) (1 + γ 1 ) ω C 1 ([,1]) = M <. (3.1) q x = ( γ() )ω γ 2 = ω () γ() <, min ( q x ) = x I k γ() k r, r = γ L (, ). (3.11) Consideremos o Produo inerno em L 2 (I ) da equação (3.1) por qv x, vem que qv x v + qv x v xx βqv x ϕ x = qv x R. Inegrando a igualdade acima em x, vejamos o cálculo das inegrais uma a uma: d I d qv xv dx = q v x v dx + qv x v dx + qv x v dx I I I d qv x v dx = I I d qv xv dx + q v x v dx + qv x v dx I I = q v x v dx 1 q x v 2 dx + 1 d I 2 I 2 I dx q v 2 dx d d qv xv dx + q(γ())v x (γ())v (γ()). I d I dx qv xv x dx = q x v x 2 dx + 2qv x v xx dx. I I d 2 qv x v xx dx = I I dx qv xv x dx + q x v x 2 dx. I qv x v xx dx = 1 q x v x 2 dx + 1 d I 2 I 2 I dx q v x 2 dx = 1 q x v x 2 dx I 2 q(γ()) v x(γ()) q() v x() 2.

43 36 Muliplicando os componenes acima por 2, vem que: 2 q v x v dx q x v 2 dx + d q v 2 dx 2 d qv x v dx + 2q(γ())v x (γ())v (γ()) I I dx I d I q x v x 2 dx + q(γ()) v x (γ()) 2 q() v x () 2 2β qv x ϕ x dx = 2 qv x Rdx. I I I ] d d L 2() + q(γ()) [ v x (γ()) 2 + 2v x (γ ())v (γ()) + v (γ()) 2 q() v x () 2 q x v 2 dx q x v x 2 dx = 2β qv x ϕ x dx 2 q v v x dx 2 Rqv x dx, (3.12) I I I I I onde Desde que L 2 () = 2 qv x v dx. I [ v x (γ()) 2 + 2γ v x (γ())v (γ()) + v (γ()) 2 ] = (1 γ 2 ) v x (γ()) 2 + [ v (γ()) + γ ()v x (γ()) ] 2, Sabendo que v (γ())+γ ()v x (γ() =, pois se raa do pono de froneira e (ver (3.9)), segue q() = (ω o ξ)() = ω >, q(γ()) = ω(1). Daí d d L 2() + ω(1)(1 γ 2 ) v x (γ()) 2 ω v x () 2 q x v 2 dx + q x v x 2 dx I I = 2β qv x v x dx 2 q v v x dx 2 Rqv x dx. (3.13) I I I Com base em (3.1), emos: 2β qϕ x v x dx k v x I 2τ I 2 dx + 2τβ2 M 2 ϕ x 2 dx. (3.14) k I

44 37 Além disso, q = xγ γγ ω y = γ γ yω y = γ yq x. De (3.1) e (3.3), segue: ( ) 2 q v v x dx I ɛm v x 2 dx + I v 2 dx I, (3.15) 2 Rqv x dx I 2αM v 2 dx + α(2m + C p M) I v x 2 dx. I (3.16) Subsiuindo (3.14), (3.15), (3.16) na equação (3.13), sabendo que < α < ɛ e considerando (3.11), obemos: ( ) d k d L 2() + ω(1)(1 γ 2 ()) v x (γ()) 2 ω v x () 2 + τ 3ɛM v 2 dx + I ( ) k + τ ɛm 2ɛM + 2ɛC pm v x I 2 dx 2τβ2 M 2 ϕ x 2 dx. (3.17) k I De (3.1) e (3.3), emos a seguine inequação: 2 I ( ) δγ q v x v dx δ 2 fixando ɛ ], 1 2 [ e escolhendo v 2 dx + 2 (δɛ 2 + M 2 ) v x 2 dx, I δ I δ > δ(ɛ ) = M 2 1 2ɛ 2, (3.18) Temos que, para odo ɛ ], ɛ [, ) δl 1 () + L 2 () = δ (ɛ + 2γ v v x dx I 2 I qv x v dx, δl 1 () + L 2 () = δɛ + δ2γ I v v x dx 2 qv x v dx, I δl 1 () + L 2 () = δɛ + 2 (δγ q)v v x dx, I δl 1 () + L 2 () δ v 2 dx + δβ ϕ 2 dx + ( (1 2ɛ 2 )δ 2M 2 δ ) v x 2 dx, 2 I 2µ I I δl 1 () + L 2 () C ( I ( v 2 + v x 2 + ϕ 2 )dx ), (3.19)

45 38 onde C é uma consane posiiva dependene de µ, β, τ, M e ɛ. Agora, muliplicando (3.6) por δ e somando com (3.17), emos: d d δl 1() + δβ k ϕx ϕ x dx + δηβ ϕ x µ I 2µ I 2 dx + δ γ 2 v x() 2 4ɛδ v 2 dx + δɛ ( 3 I 2 + µβ 2η + 3C p 2 + 2C pβ ) v x 2 dx µη I d d L 2() + ω(1)(1 γ 2 ) v x (γ()) 2 ω v x () 2 ( ) ( ) k k + τ 3ɛM v 2 dx + I 2τ ɛ(3m + 2C pm v x I 2 dx 2τβ2 M 2 ϕ x 2 dx, k I fazendo as derivadas simplificações, obemos; d d {δl 1() + L 2 ()} + δβ ( δηβ k ϕx ϕ x dx + µ I 2µ 2τβ2 M 2 ) ϕ x 2 dx k I ) ( ) +ω(1)(1 γ 2 ()) v x (γ()) 2 + (δ γ k 2 ω v x () 2 + ɛ(4δ + 3M) v 2 dx + τ I ( ( ( k 3 + 2τ ɛ δ 2 + µβ 2η + 3C p 2 + 2C )) ) pβ + 3M + 2C p M v x 2 dx. (3.2) µη I Escolhendo, ɛ = min ( ɛ, k τ(4δ + 3M), δ = max (δ(ɛ ), 4τβµM 2, 2ω ), ηk γ 1 ( ( k 3 2τ δ 2 + µβ 2η + 3Cp 2 + 2Cpβ µη ) ) + 3M + 2C p M ), (3.21) e usando o Lema (1.5.4) em (3.2), vem que: ( ) d d L() + C ( v 2 + v x 2 + ϕ x 2 )dx, (3.22) I onde De (3.21), obemos: L() = δl 1 () + L 2 (). (3.23) d L(). d

46 39 Inegrando de a T a relação acima, obemos T d L() d, L(T) L(), L(T) L(). Repeindo a inegração acima de a nt com n IN, concluimos que nt d L(), d L(nT) L(). (3.24) De (3.19), segue que exisem consanes posiivas, enão definimos, C e C 1 saisfazendo C e 2α E() ε() < L() < L(). (3.25) Para odo >, podemos escrever = nt + r, onde r < T, e E() é uma função decrescene, enão de (3.25) e (3.24), segue que exise uma consane posiiva C al que: E() E(nT) 1 C e 2α L(nT) Ce 2αnT E(). Quando 2nT, emos Segue porano o resulado requerido. E() Ce 2α E().

47 Capíulo 4 Análise Numérica Da Solução Nese capíulo oberemos a solução numérica do problema (2.1)-(2.2) aplicando o méodo dos elemenos finios em combinação com o méodo das diferenças finias. 4.1 Aproximação Por Elemenos Finios É mais simples aplicar o méodo dos elemenos finios no problema equivalene (2.9),(2.1), (2.11), (2.12), ou seja, no domínio cilíndrico, do que no problema em domínio não-cilíndrico (2.1) e (2.2). Vamos considerar a seguine forma variacional do problema apresenado em (2.19), (2.2) e (2.21) (ψ (m), w) + a(, ψ (m), w) + (a 2 Dψ (m), w) + (a 3 Dψ (m), w) + βγ 1 (Dϕ (m), w) = (4.1) (ϕ (m), w) γ 2 (k D 2 ϕ (m), w) ηγ 2 (D 2 ϕ (m), w) (a 2Dϕ (m), w) +µγ 1 (Dψ (m), w) (b 2 Dψ (m), w) =, w V m (4.2) Aproximação Via Galerkin Conderando as funções ψ (m), ϕ (m) V m definido por: ψ (m) = ϕ (m) = m g im ()w i (y) (4.3) i=1 m h im ()w i (y) (4.4) i=1 Subsiuindo (4.3) e (4.4) nas equações (4.1) e (4.2), escolhendo w = φ j (y), eremos:

48 4.1.1 Aproximação Via Galerkin 41 1 g im () φ j (y)φ i (y) dy + 1 γ 2 g im() Dφ j (y)dφ i (y) dy 2 γ γ y g im() ( ) 2γ 1 ( ) γ γ y g im() 1 φ j (y)dφ i (y) dy γ y g im Dφ i (y)φ j (y) dy 1 + βγ 1 h im Dφ j (y)φ i (y) dy = 1 1 h im () φ j (y)φ i (y) dy + γ 2 k h im () Dφ j (y)dφ i (y) dy + ηγ 2 h im () ( ) γ 1 1 γ y h im φ j (y)dφ i (y) dy + µγ 1 g im() φ j (y)dφ i (y) dy ( ) µγ 1 + γ 2 y g im Dφ j (y)dφ i (y) dy = 1 1 Dφ j (y)φ i (y) dy 1 Dφ j (y)dφ i (y) dy Daí, Ag + (B 1 + B 2 + E)g + Cg + βγ 1 F h = (4.5) Ah + G(k γ 2 h) + ηγ 2 Gh Ch + µγ 1 F g Jg = onde A = 1 φ j φ i dy E = γ γ 1 yφ jφ i dy B 1 = 1 γ 2 1 B 2 = (γ ) 2 γ 2 J = µ γ γ 2 1 φ jφ idy C = 2 γ γ 1 y 2 φ jφ idy F = yφ jφ idy G = φ jφ i dy φ jφ idy yφ jφ i dy Discreizando o domínio Q = [, 1] em sub-domínios Q i = (y i, y i+1 ) chamados elemenos finios da forma (Q = i Q i), e escolhendo o ipo de função para represenar os (Q i ), a parir disso, as marizes do sisema (4.5) são obidas, as funções convenienemene usadas são

49 4.1.1 Aproximação Via Galerkin 42 φ i (y) = y y i 1 y [y i 1, y i ] y i+1 y y [y i, y i+1 ] y / [y i 1, y i+1 ] onde consideramos a malha uniforme, = i = y i+1 y i (i = 1, 2,..., M) com = y < y 1 < < y M = 1. Para cada mariz ridiagonal A, B 1, B 2, C, E, F ej são calculados os seguines elemenos: Tomando φ A = 1 ɛ h = y i+1 y h e φ B = ɛ h = y y i h Sabendo que: A = 1 a AA = a AB = a BB = h φ j φ i dy.daí h h ( ɛ h ) 2 dɛ = h 3, ɛ ( 1 ɛ ) dɛ = h h h 6, ( 1 ɛ ) 2 h dɛ == h 3. Logo, a ii = a AA + a BB = 2h 3, assim a ii = 2 3, a i,i+1 = a i+1,i = 6. De B 1 = 1 b 1AA = 1 γ 2 1 γ 2 1 b 1AB = 1 γ 2 h b 1BB = 1 γ 2 1 φ jφ idy. Daí, ( ) 1 2 dɛ = 1 h γ 2 h, ( 1 1 ) dɛ = 1 h h γ 2 h, ( 1 ) 2 dɛ = 1 h γ 2 h. Daí, b 1ii = b 1AA + b 1BB = 2 γ 2 h, assim b 1ii = 2 γ 2 b 1i,i+1 = b 1i+1,i = 1 γ 2.

50 4.1.1 Aproximação Via Galerkin 43 De B 2 = γ 2 b 2AA = γ 2 γ 2 h γ 2 1 (ɛ + y A ) 2 ( 1 h y 2 φ jφ idy. Daí, ) 2 dɛ = γ 2 γ 2 1 3h (h2 + 3y A h + 3y 2 A), b 2BB = 1 h ( ) 1 2 γ 2 (ɛ + y A ) 2 dɛ = γ 2 h γ 2 3h (h2 + 3y A h + 3yA), 2 b 2AB = b 2BA = γ 2 γ 2 h (ɛ + y A ) 2 ( 1 h b 2ii = γ 2 γ ( 2 + 3y A + 3y 2 A ), ) 2 dɛ = γ 2 γ 2 1 3h (h2 + 3y A h + 3y 2 A). Assim, b 2i,i+1 = b 2i+1,i = γ 2 γ ( 2 + 3y A + 3y 2 A ). De C = 2 γ γ c AA = 2γ γ h c BB = 2γ γ c AB = 2γ γ c BA = 2γ γ 1 (ɛ + y A ) h h h yφ jφ i dy. Daí, ( ) 1 ( ɛ ) dɛ = γ h h 3γ (2h + 3y A), ( (ɛ + y A ) 1 h (ɛ + y A ) ) ( 1 ɛ ) ( dɛ = 2γ h h γ 6 + y ) A, 2 ( ) 1 ( 1 ɛ ) dɛ = γ h h 3γ (h + 3y A), ( (ɛ + y A ) 1 ) ( ɛ ) dɛ = γ h h 3γ (2h + 3y A). Dessa forma, c ii = γ 3γ, c i,i+1 = γ 3γ ( + 3y i), c i,i+1 = γ 3γ (2 + 3y i). De φ A = y i y h, φ B = y y i 1 h e E = γ γ E AA = γ γ yi y i 1 y ( 1 h ) ( yi y h 1 ) dy = γ 6γ (3y i 2h), yφ jφ i dy. Daí,

51 4.2 Méodo Das Diferenças Finias 44 E BB = γ γ yi y i 1 y ( 1 h ) ( y yi 1 h ) dy = γ 6γ ( 3y i + h), Ou seja, a ii = 2 3 a i,i+1 = a i+1,1 = 6 a 1ii = 2 γ 2 b 1i,i+1 = b 1i+1,i = 1 γ 2 b 2ii = γ 2 γ ( y i + 3y 2 i ) b 2i,i+1 = b 2i+1,i = γ 2 γ ( y i + 3y 2 i ) C ii = γ 3γ e ii = γ 6γ c i+1,i = γ 3γ ( + 3y i) e i+1,i = γ 6γ ( + 3y i) f ii = g ii = 2 e i,i+i = γ 6γ (2 + 3y i) J ii = µ γ 6γ 2 f i+i,i = f i,i+1 = 1 2 g i+1,i = g i,i+1 = 1 j i+i,i = µ γ 6γ 2 (2 + 3y i) j i,i+1 = µ γ 6γ 2 ( + 3y i) 4.2 Méodo Das Diferenças Finias Para ober as aproximações das soluções do sisema de equações em (4.5), usando uma variane do méodo da aproximação por diferença cenrada (ver [23]). Seja n = nδ, n =, 1,..., N, iso é, a discreização em no inervalo [, T ], considerando g n = g( n ) e h n = h( n ) as aproximações de solução g() e h(), respecivamene, em n. As derivadas que esão na equação diferencial são aproximadas por equações de

52 4.2 Méodo Das Diferenças Finias 45 diferenças enre valores da solução em ponos discreos do domínio. A ferramena mais uilizada para ober essas aproximações é a série de Taylor, daí emos as seguines discreizações das derivadas de primeira e segunda ordens que aparecem na equação diferencial: g = g n+1 g n 1 2δ (4.6) g = g n+1 2g n + g n 1 δ 2 (4.7) h = h n+1 h n 1 2δ e as aproximações para g n e h n, em (4.5), são assim consideradas: (4.8) gn = α 2 g n+1 + (1 α)g n + α 2 g n 1 (4.9) h n = α 2 h n+1 + (1 α)h n + α 2 h n 1 (4.1) com α > resula a aproximação. A convolução em sua aproximação conforme (ver[24]), i k γ 2 h = K i j+1 g j /γ 2 ( j ) i = 1,..., N. (4.11) j=1 Subsiuindo (4.6),(4.7),(4.8), (4.9), (4.1) e (4.11) em (4.5), emos: Ag n+1 δ 2 enão Ag n δ 2 + Ag n 1 α δ 2 + B 1 2 g α n+1 + B 1 (1 α)g n + B 1 2 g n 1 + B 2 g n + Eg n + C g n+1 2δ C g n 1 2δ + βγ 1 F α 2 h n+1 + βγ 1 F (1 α) h n + βγ 1 F α 2 h n 1 =, A h ( n 1 α + G(k γ 2 )h n + ηγ 2 G 2δ 2 h n+1 + (1 α)h n + α ) 2 h n 1 A h n+1 2δ C h n + µγ 1 F g n+1 2δ µγ 1 F g n 1 2δ J g n =. Ā n g n+1 + B n h n+1 = C n g n + Ēng n 1 + F n h n + Ḡnh n 1 (4.12) i Ā n g n+1 + Bn h n+1 = Cn g n + Ē n g n 1 + Fn h n + Ḡ n h n 1 K i j+1 g j /γ 2 ( j ) j=1

53 4.2 Méodo Das Diferenças Finias 46 onde Ā n = A δ 2 + α 2 B δ C, Bn = βγ 1 α 2 F, C n = 2A δ 2 + (α 1)B 1 B 2 E, Ē n = A δ 2 α 2 B 1 + C 2δ, F = βγ 1 (1 α)f, Ḡ n = βγ 1 α 2 F, Ā n = µγ 1 2δ F, C n = J, F n = ηγ 2 (α 1)G 1 2 C, Bn = A 2δ + ηγ 1 α 2 G, Ē n = µγ 1 2δ F, Ḡ n = A 2δ ηγ 2 α 2 G. Para ober a solução do par {g n, h n } será primeiramene considerado n = em (4.12), assim: Ā g 1 + B h 1 = C g + Ēg 1 + F h + Ḡh 1 (4.13) Ā g 1 + B h 1 = C g + Ē g 1 + F h + Ḡ h 1 Onde os valores de {g, h } de (4.14) são deerminados a parir das soluções de {ψ(y, ), ϕ(y, )} quando =, iso é, g = ψ(y, ), h = ϕ(y, ). Para o cálculo das aproximações de {g 1, h 1 }, expandiremos ψ(y, ) e ϕ(y, ) em polinômio de Taylor de primeiro e segundo graus, respecivamene, em =. g 1 = g δg () + δ2 2 g () h 1 = h δh () (4.14) nos quais os valores de g (), g () e h () são dados por g () = ψ (y i, ) = ψ(y i ), g () = 2 ψ 2 (y i, ), h () = ϕ (y i, ) (4.15) e são calculadas a parir do problema (2.9),(2.1), (2.11), (2.12) definido no domínio

54 4.3 Sisema Desacoplado 47 cilíndrico. Dos valores {g 1, h 1 } e usando as equações do sisema acoplado (4.12), as aproximações {g n+1, h n+1 } para n = 1, 2,..., N são obidas. 4.3 Sisema Desacoplado Para ober a solução numérica do sisema desacoplado, uiliza-se a exrapolação regressiva da primeira derivada, g ( n ) = 1 2δ (3g n 4g n 1 + g n 2 ) (4.16) Subsiuindo (4.6)-(4.1) e (4.16) no sisema de equações (4.5), segue: Ag n+1 δ 2 2g n δ 2 + Ag n 1 α δ 2 + B 1 2 g α n+1 + B 1 (1 α) g n + B 1 2 g n 1 + B 2 g n + E g n + C g n+1 2δ C g ( n 1 α 2δ + βγ 1 F 2 h n+1 + (1 α)h n + α n 1) 2 h =, A h n+1 2δ A h n 1 2δ Resulando no sisema: ( α + G(k γ 2 ) h n + ηγ 2 G 2 h n+1 + (1 α)h n + α ) 2 h n C h n ( +µγ 1 3gn F 2δ 4g n 1 + g ) n 2 J g n =. 2δ 2δ onde Ā n g n+1 = B n h n+1 + C n g n + Ēng n 1 + F n h n + Ḡnh n 1 i Ā n h n+1 = Bn g n + Cn g n 1 + Ē n g n 2 + Fn h n + Ḡ n h n 1 K i j+1 g j /γ 2 ( j ) (4.17) j=1 Ā n = A δ 2 + α 2 B δ C, Bn = βγ 1 α 2 F, C n = 2A δ 2 + (α 1)B 1 B 2 E, Ē n = A δ 2 α 2 B 1 + C 2δ, F n = βγ 1 (1 α)f, Ḡ n = βγ 1 α 2 F, Ā n = A 2δ + ηγ 2 α 2 G, Bn = 3µγ 1 2δ F + J,

55 4.4 Discreização Da Energia Do Sisema 48 C n = 2µγ 1 δ F, Ē n = µγ 1 2δ F, F n = ηγ 2 (α 1)G 1 2 C, Ḡ n = A 2δ ηγ 2 α 2 G. Noe que o sisema desacoplado (4.17) é compuacionalmene simples de ser resolvido, já o sisema acoplado (4.12) não, pois, no primeiro a cada inervalo n, os valores de h n+1 são calculados independenemene dos valores de g n Discreização Da Energia Do Sisema A energia do sisema é dada por: E() = ψ 2 L 2 + Dψ 2 L 2 + β µ ϕ 2 L 2 (4.18) A discreização de (4.11) se faz pelo méodo das diferenças finias, obendo: + E n = h 2 M ψ(i, n + 1) ψ(i, n) ψ(i + 1, n + 1) ψ(i + 1, n) ( δ δ i=1 ψ(i + 1, n + 1) ψ(i, n + 1) h 4.5 Resulados Numéricos ψ(i + 1, n) ψ(i, n) h + β µ ϕ(i, n)2 ) (4.19) Nesa seção, emos os resulados numéricos do sisema ermoelásico hiperbólico com memória. Usando os seguines valores para as consanes : µ =.161, β =.164, η =.177. Saisfazendo as hipóeses sobre a função γ() que define o empo dependendo das condições de froneira para o domínio não-cilíndrico, assim γ() = 1 e 1. Sejam as condições de froneira: ψ = = ψ =.3(y 2 y), ψ = = ψ 1 =, ϕ = = ϕ =.1(y y 2 ). onde x = γ()y é usado em odos os resulados desa seção, N = 4 e M = 1 são usados em odas as simulações. Nas figuras 1 e 2 emos as soluções aproximadas de

56 4.5 Resulados Numéricos 49 θ(x, ) e u(x, ), respecivamene, sem o ermo de memória (k θ xx ) com T = 5. Nas figuras 3 e 4 emos a solução numérica do problema com ermo de memória endo T = 2. Noe que devido ao efeio de memória, o parâmero θ(x, ) decai rapidamene. E usando T = 5 obemos as aproximações de solução apresenadas nas figuras 5 e 6. Na figura 7, emos a simulação do ermo u(x, ) considerando T = 1, noe que u(x, ) decai lenamene. Na figura 8, emos que a froneira da energia associada ao sisema, considerando T = 2 decai exponencialmene. Figura 4.1 θ(x, ) sem ermo de memória. Figura 4.2 u(x, ) sem ermo de memória.

57 4.5 Resulados Numéricos 5 Figura 4.3 θ(x, ) com ermo de memória e T=2. Figura 4.4 u(x, ) com ermo de memória e T=2. Figura 4.5 θ(x, ) com ermo de memória e T=5.

58 4.5 Resulados Numéricos 51 Figura 4.6 u(x, ) com ermo de memória e T=5. Figura 4.7 u(x, ) com ermo de memória e T= E() (s) Figura 4.8 A energia do sisema, T=2.