CONTROLABILIDADE EXATA NA FRONTEIRA DE UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL DE SEGUNDA. Gilson Tumelero

Transcrição

1 CONTROLABILIDADE EXATA NA FRONTEIRA DE UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL DE SEGUNDA Gilson Tumelero Cenro de Ciências Exaas Universidade Esadual de Maringá Programa de Pós-Graduação em Maemáica (Mesrado) Orienador: Juan Amadeo Soriano Palomino Maringá - Pr 26

2 Conrolabilidade Exaa Na Froneira De Uma Equação Inegro-Diferencial De Segunda Ordem Gilson Tumelero Tese submeida ao corpo docene do Programa de Pós-Graduação em Maemáica da Universidade Esadual de Maringá - UEM-Pr, como pare dos requisios necessários à obenção do grau de Mesre. Aprovada por: Prof. Juan Amadeo Soriano Palomino - UEM... (Orienador) Prof. Valéria Neves Domingos Cavalcani - UEM... Prof. Silvano Dias Bezerra de Menezes - UFPA... Maringá Março, 26 ii

3 iii A memória de meu pai.

4 Agradecimenos Primeiramene agradecer a Deus, pela oporunidade e pela força para a realização dese rabalho. Ao professor Dr. Juan Amadeo Soriano Palomino, pela orienação e por comparilhar conosco a sabedoria de um verdadeiro mesre. Aos professores do Deparameno de Maemáica da UEM, que colaboraram em minha formação acadêmica. A Capes, pelo apoio financeiro. A odos os meus amigos, que junos comparilhamos alegrias e riseza. De forma especial aos amigos da urma anerior pelo apoio e incenivo nas horas difíceis. Aos professores e amigos Sanos Richard Wieller Sangüino Bejarano, Chrisian José Quinana Pinedo e Fredy Maglório Sobrado Suárez, pelos incenivos e pelos valiosos conselhos. A minha família, que sempre me apoiou e encorajou a realizar esa arefa. De modo especial ao meu Pai e minha Mãe pelo exemplo de vida e reidão de caráer. A Marieli, companheira muio especial e de odas as horas. Também a seus pais e sua irmã pela forma carinhosa e respeiosa com que nos raam. iv

5 Resumo Nese rabalho esudamos a conrolabilidade exaa e local na froneira para uma equação Inegro-Diferencial de segunda ordem. O resulado é obido pelo méodo HUM (Hilber Uniquess Mehod), o qual foi inroduzido por Lions. v

6 Absrac In his work we sudy he boundary exac and local conrollabiliy for a secondorder inegro-diferenial equaion. The resul is obained using he HUM mehod (Hilber Uniquess Mehod), which was inroduced by Lions. vi

7 Sumário Inrodução 1 1 Preliminares Disribuições e Espaços Funcionais Noção de Derivada Fraca Os Espaços L p (Ω) Espaços de Sobolev Espaços Funcionais à Valores Veoriais Funções Escalarmene Conínuas Teoria de Traço Resulados Auxiliares Exisência e Unicidade de Solução Para Uma Equação Inegro- Diferencial de Segunda Ordem Com Condições de Froneira Solução Fore e Solução Fraca Esimaivas a Priori Solução por Transposição A Desigualdade Inversa e a Conrolabildade Exaa De Uma Equação Inegro-Diferencial De Segunda Ordem 47 vii

8 3.1 A Desigualdade Inversa A Conrolabilidade Exaa Bibliografia 69 viii

9 Inrodução São muios os campos da ciência e ecnologia onde se aplica a eoria de conrole. Em alguns casos é possível resolver o problema, mediane a avanços ecnológicos que permiam a implemenação de conroles mais eficienes. Ese é o caso, por exemplo, do conrole molecular mediane a ecnologia laser. No enano, esa e muias ouras aplicações necessiam de avanços eóricos. A seguir mencionaremos alguns exemplos e os problemas eóricos que eles envolvem. Grandes esruuras espaciais: É freqüene escuar que o desprendimeno de algum objeo de uma anena ou elescópio no espaço, ocasiona problemas écnicos, causando algumas falhas ou aé mesmo inuilizando compleamene a esruura. Esas esruuras se caracerizam por coner componenes flexíveis de grande amanho, uma conexão numerosa de componenes e o acoplameno de componenes rígidas e flexíveis. O problema de esabilizar esas esruuras de modo que se manenham orienadas na direção adequada, sem deformar-se em excesso, é complexo. Apesar dos imporanes avanços obidos na segunda meade do século XX no conrole ano de sisemas de dimensão finia ou infinia, o desenvolvimeno de écnicas de conrole e robusez para esas esruuras é um problema imporane e que necessia em paricular de significanes avanços maemáicos. Robóica: É uma das áreas da ecnologia que apresena os desafios mais esimulanes para os próximos anos. Por exemplo, é de fundamenal imporância elaborar méodos eficienes para o desenvolvimeno de visão arificial. Mas a eoria de conrole esá bem no cenro dese campo. 1

10 O desenvolvimeno da robóica depende fundamenalmene da eficiência e robusez dos algorimos compuacionais para o conrole dos robôs. Não é difícil imaginar a complexidade do processo de conrole que faz com que um robô caminhe de maneira esável, ou que faça com que ele consiga pegar objeos com suas mãos. Sisemas energéicos e redes informáicas: Já é evidene que o planea apresena uma endência irreversível a globalização. Iso aconece em muios segmenos: o ráfego aéreo, os sisemas de geração e disribuição de energia, as redes de informáica. Iso faz com que muias vezes enha-se que omar decisões em âmbios mais concreos (geograficamene falando, por exemplo), com poucas informações do que ocorre em ouras, mas endo consciência de que eses podem influenciar. Daí a necessidade de criar méodos écnicos de conrole para grandes sisemas inegrados. Conrole de Combusão: Traa-se de um ema relevane na indúsria aeronáuica e aeroespacial em que se faz imprescindível o conrole das insabilidades da combusão, a qual vem acompanhada de perurbações acúsicas consideráveis. No que foi feio deu-se ênfase aos aspecos do desenho, modificando a geomeria do sisema para inerferir na ineração combusão-acúsico, incorporando elemenos dissipaivos. O conrole aivo da combusão mediane a mecanismos érmicos e acúsicos, é um ema que enconra-se praicamene inexplorado. Conrole de fluidos: A ineração enre o conrole e a dinâmica de fluidos, nese momeno é muio inensa. Traa-se de um problema relevane na aeronáuica uma vez que a dinâmica esruural do avião (suas asas, por exemplo) esá ligada ao fluxo de ar a sua vola. É cero ambém que nos aviões convencionais, se pode ignorar ese acoplameno. É muio provável que os aviões do fuuro enham que incorporar mecanismos de conrole para eviar o aparecimeno de urbulências em vola das asas. De um pono de visa maemáico esá quase udo por fazer, ano no que diz respeio à modelagem quano ao conrole e aos aspecos compuacionais. Conrole de Plasma: A obenção de reações de fusão conroladas é um dos 2

11 maiores desafios para resolver os problemas energéicos do planea. Na aualidade, uma das vias mais promissoras é a das Tokomaks : Máquinas em que se confina o plasma mediane a mecanismos eleromagnéicos. O problema fundamenal é maner o plasma, de ala densidade, a uma emperaura muia e- levada e na configuração desejada durane inervalos de empo prolongados apesar de suas insabilidades. Iso se dá aravés de sensores, mediane aos quais se obém informações necessárias para efeuar rocas rápidas e preciosas das correnes que compensarão as perurbações do plasma. Todavia há muio a fazer nese erreno do pono de visa maemáico. Exisem ambém problemas de idenificação imporanes nas Tokomaks, o que dificula as medições. Traa-se, pois de um campo que apresena grandes desafios para a eoria maemáica dos conroles e os problemas inversos. Também poderíamos ciar aplicações como na Invesigação biomédica, hidrologia, Exração de Recursos naurais, ec. Esas aplicações jusificam a necessidade e moivam os esudos sobre a eoria da conrole. Com esas moivações discuimos nese rabalho a conrolabilidade do problema para uma equação inegro-diferencial de segunda ordem da seguine forma: u (x, ) a() u(x, ) + b()u (x, ) + c()u(x, ) Q(, σ)u(x, σ)dσ = em Ω (, T ). (1) u = g sobre Ω (, T ). (2) u(x, ) =, u (x, ) = em Ω, (3) onde Ω é um abero e limiado do R n, com froneira bem regular. A quesão da conrolabilidade exaa é posa como segue. Dado um par de funções {u, u 1 } definidas em Ω, exise um conrole limiado g que pode levar a solução de 3

12 (1) - (3) para o esado final u(x, T ) = u (x), u (x, T ) = u 1 (x) em Ω? (4) O propósio dese rabalho é responder de forma afirmaiva a presene quesão sem nenhuma condição sobre a memória do núcleo Q(, σ); (ver eorema 2.1 abaixo.) Primeiramene recordemos alguns resulados imporanes provenienes de problemas análogos. O problema da conrolabilidade para a equação de uma placa com uma memória foi primeiro resolvido por Leugering [13]. Seu principal insrumeno foi a análise harmônica sob hipóese de que o espaço domínio é um reângulo e que a memória do núcleo é uma forma de convolução. Para uma equação similar em um domínio geral, Lagnese e Lions [1] provaram a conrolabilidade por um méodo diferene. Seu argumeno é válido para uma memória do núcleo envolvendo um ipo de convolução, mas sob as hipóeses de que o amanho do núcleo é suficienemene pequeno. Lasiecka [11] ambém obeve um resulado similar por um méodo do operador direo com a memória do núcleo mais geral, que depende de ambas variáveis, de empo e de espaço. A hipóese em comum é que o amanho de Q(, σ) em (1) é suficienemene pequeno. Agora assumimos que a memória do núcleo é independene das variáveis do espaço em conrase com [11]. Por virude desa hipóese, podemos empregar um argumeno diferene, baseado em um ipo novo da propriedade de coninuação única, a qual é provada por adapação da idéia de Bardos, Lebeau e Rauch [1]. Ese rabalho é uma exposição didáica de [8] e é apresenado como segue: No capíulo 1, consideraremos alguns resulados que nos servem como base para o desenvolvimeno do rabalho; 4

13 No capíulo 2, verificaremos a exisência e unicidade da solução por ransposição de uma equação inegro-diferencial de segunda ordem com condições de froneira. Mas para iso precisaremos fazer um esudo sobre o problema homogêneo associado a esa equação; No capíulo 3, demonsraremos a desigualdade inversa para uma equação inegro-diferencial de segunda ordem com condições de froneira a qual será usada para provarmos a conrolabilidade exaa para um sisema equivalene ao problema original. Também faremos a conrolabilidade para ese sisema equivalene e, conseqüenemene, oberemos o resulado para o problema original. Para aingir ese objeivo usaremos o méodo HUM (Hilber Uniqueness Mehod). 5

14 Capíulo 1 Preliminares Nese capíulo, enumeraremos alguns resulados que serão usados no desenvolvimeno do nosso rabalho. Por serem resulados familiares, colocaremos apenas os seus enunciados, deixando a cargo do leior ineressado a busca de suas demonrações. 1.1 Disribuições e Espaços Funcionais Noção de Derivada Fraca No esudo de problemas descrios pelas equações diferenciais parciais cujos dados iniciais não são regulares o suficiene para possuirem derivada no senido clássico, faz-se necessária a inrodução de um novo conceio de derivada. Para enendermos al conceio necessiamos de algumas definições: 1 o ) Espaço das funções eses Dados α = (α 1, α 2,..., α n ) N n e x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, represenaremos por D α o operador derivação de ordem α definido por D α = α x 1 α 1 x2 α 2... xn α n, onde α = n α i. Se α = (,,..., ), defini-se D α u = u. i=1 6

15 Seja Ω um abero do R n. Denoaremos por C (Ω) o conjuno das funções ϕ : Ω K (onde K = R ou K = C) que são infiniamene diferenciáveis em Ω e que em supore compaco, onde supore ϕ é o fecho do conjuno {x Ω; ϕ(x) } em Ω, ou seja, supp (ϕ) = {x Ω; ϕ(x) } Ω. Dizemos que uma seqüência {ϕ ν } C (Ω) converge para zero, e denoamos ϕ ν, se, e somene se, exise um subconjuno compaco K de Ω, al que: i) supp (ϕ ν ) K, ν N; ii) D α ϕ ν uniformemene sobre K, α N n. Dizemos que uma seqüência {ϕ ν } C (Ω) converge para ϕ C (Ω) quando a seqüência {ϕ ν ϕ} converge para zero no senido acima definido. O espaço C (Ω), munido desa noção de convergência, é denominado espaço das funções eses, e denoado por D(Ω). 2 o ) Disribuição sobre um abero Ω R n Definimos como disribuição sobre Ω a oda forma linear e conínua em D(Ω). O conjuno de odas as disribuições sobre Ω é um espaço veorial, o qual represena-se por D (Ω), chamado espaço das disribuições sobre Ω, munido da seguine noção de convergência: Seja (T ν ) uma sucessão em D (Ω) e T D (Ω). Diremos que T ν T em D (Ω) se a seqüência numérica { T ν, ϕ } converge para T, ϕ em R, ϕ D(Ω). 3 o ) Denoaremos por L 1 loc (Ω) o espaço das (classes de) funções u : Ω K ais que u é inegrável no senido de Lebesgue sobre cada compaco K de Ω. De posse desas definições esamos apos a enender ese novo conceio de derivada. S. Sobolev inroduziu, em meados de 1936, uma noção global de derivada a qual denominou-se derivada fraca, cuja consrução dar-se-á a seguir: Sejam u, v definidas num abero limiado Ω do R n, cuja froneira Γ é regular. Suponhamos que u e v possuam derivadas parciais conínuas em Ω = Ω Γ. Se u 7

16 ou v se anula sobre Γ, obemos do lema de Gauss que u v dx = v u dx. x k x k Ω A expressão anerior moivou a derivada fraca dada por Sobolev: Uma função u L 1 loc (Ω) é derivável no senido fraco em Ω, quando exise uma função Ω v L 1 loc (Ω) al que para oda ϕ D(Ω). Ω u(x) ϕ(x) dx = v(x)ϕ(x)dx, x k Ω Embora, al conceio de derivada er sido um marco na evolução do conceio de solução de uma equação diferencial, ela apresena uma grave imperfeição no fao que nem oda função de L 1 loc (Ω) possui derivada nese senido. No inuio de sanar ese ipo de problema, Lauren Schwarz, em meados de 1945, inroduziu a noção de derivada no senido das disribuições, a qual generaliza a noção de derivada formulada por Sobolev, como segue: Seja T uma disribuição sobre Ω e α N n. a derivada de ordem α de T, no senido das disribuições, é definida por: D α T, ϕ = ( 1) α T, D α ϕ ; ϕ D(Ω). Verifica-se que D α T é ainda uma disribuição e que o operador D α : D (Ω) D (Ω), al que a cada T associa-se D α T, é linear e conínuo Os Espaços L p (Ω) Seja Ω um abero do R n. Represenaremos por L p (Ω), 1 p +, o espaço veorial das (classes de) funções definidas em Ω com valores em K ais que u p é inegrável no senido de Lebesgue em Ω. Teorema 1.1 (Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue) - Seja (u ν ) ν N uma seqüência de funções inegráveis num abero Ω R n, convergene quase 8

17 sempre para uma função u. Se exisir uma função u L 1 (Ω) al que u ν u quase sempre, ν N enão u é inegrável e em-se Demonsração: Ver [19]. e O espaço L p (Ω) munido da norma é um espaço de Banach. Ω u = lim u ν. ν Ω ( u L p (Ω) = u(x) p dx Ω ) 1 p, para 1 p < + u L = sup ess u(x), para p = +, x Ω No caso p = 2, L 2 (Ω) é um espaço de Hilber. Proposição 1.2 (Desigualdade de Young) - Sejam 1 < p, q < al que 1 p + 1 = 1 e a, b >. Enão q ab ap p + bq q. Demonsração: Ver [3]. Proposição 1.3 (Desigualdade de Minkowski) - Sejam 1 p e f, g em L p (Ω), enão f + g L p (Ω) f L p (Ω) + g L p (Ω). Demonsração: Ver [19]. Proposição 1.4 (Desigualdade de Hölder) - Sejam u L p (Ω) e v L q (Ω) com 1 p e 1 p + 1 q = 1. Enão uv L1 (Ω) e emos a desigualdade uv u L p (Ω) v L q (Ω). Ω 9

18 Demonsração: Ver [3]. Segue como corolário da proposição aneiror o seguine resulado: Corolário 1.5 (Desigualdade de Hölder generalizada) - Sejam f 1, f 2,..., f k funções, ais que f i L p i (Ω), p i 1, 1 i k, onde p 1 p 2 p k 1 p 1. Enão o produo f = f 1f 2... f k L p (Ω) e = 1 p e f L p (Ω) f 1 L p 1 (Ω) f 2 L p 2 (Ω)... f k L p k (Ω). Proposição 1.6 (Desigualdade de Inerpolação) - Se u L p (Ω) L q (Ω) com 1 p q enão u L r (Ω) para odo p r q e se em a desigualdade onde θ 1 verifica 1 r = θ p + 1 θ. q Demonsração: Ver [21]. u L r (Ω) u θ L p (Ω) u 1 θ L q (Ω) Além dos resulados acima, emos que: i) L p (Ω) é reflexivo para odo 1 < p < + ; ii) L p (Ω) é separável para odo 1 p < + ; iii) D(Ω) em imersão conínua e densa em L p (Ω) para odo 1 p < + ; iv) Se Ω é limiado se 1 p 1 < p 2 + enão L p 2 (Ω) L p 1 (Ω), onde denoa que a idenidade é uma injeção conínua; v) Se (f n ) é uma seqüência em L p (Ω) e f L p (Ω) são ais que f n f L p (Ω) enão exise uma subseqüência (f nk ) al que f nk (x) f(x) quase sempre em Ω. 1

19 Proposição 1.7 (Teorema da Represenação de Riesz) - Sejam 1 < p < +, ϕ (L p (Ω)) com 1 q + 1 p = 1. Enão exise uma única u Lq (Ω), al que ϕ, v = u(x)v(x)dx, v L p (Ω) e u L q (Ω) = ϕ. (L p (Ω)) Ω Demonsração: Ver [3]. Quando p =, emos: Proposição 1.8 Seja ϕ (L 1 (Ω)), enão exise uma única u L (Ω) al que ϕ, v = u(x)v(x)dx, v L 1 (Ω) e u L (Ω) = ϕ. (L 1 (Ω)) Demonsração: Ver [3]. Ω Denoaremos por L p loc (Ω), 1 p < + o espaço das (classes de) funções u : Ω K ais que u p é inegrável no senido de Lebesgue sobre cada compaco K de Ω munido da seguine noção de convergência: Uma sucessão u ν converge para u L p loc (Ω) se para cada compaco K de Ω em-se: ( ) 1 p K (u ν u) = u ν (x) u(x) p p dx. K Proposição 1.9 (Lema de Du Bois Raymond) - Seja u L 1 loc (Ω), enão T u = se, e somene se, u = quase sempre em Ω. Onde T u é a disribuição definida por T u, ϕ = u(x)ϕ(x)dx, ϕ D(Ω). Ω Demonsração: Ver [2]. Desa proposição em-se que T u fica univocamene deerminada por u L 1 loc (Ω), iso é, se u, v L 1 loc (Ω), enão T u = T v se, e somene se, u = v quase sempre em Ω. Proposição 1.1 Seja (u ν ) ν N L p loc (Ω), 1 p < +, al que u ν u em L p loc (Ω), enão u ν u em D (Ω). Demonsração: Ver [2]. 11

20 1.1.3 Espaços de Sobolev Seja Ω um abero do R n, 1 p + e m N. Se u L p (Ω) sabemos que u possui derivadas de odas as ordens no senido das disribuições, mas não é verdade, em geral, que D α u seja uma disribuição definida por uma função de L p (Ω). Quando D α u é definida por uma função de L p (Ω) defini-se um novo espaço denominado espaço de Sobolev. Represena-se por W m,p (Ω) o espaço veorial de odas as funções u L p (Ω), ais que para odo α m, D α u perence à L p (Ω), sendo D α u a derivada no senido das disribuições. e O espaço W m,p (Ω) munido da norma é um espaço de Banach. u m,p = α m u m, = α m Ω D α u p dx 1 p, para 1 p <, sup ess D α u(x), para p = x Ω Represena-se W m,2 (Ω) = H m (Ω) devido a sua esruura hilberiana, ou seja, os espaços H m (Ω) são espaços de Hilber. É sabido que C (Ω) é denso em L p (Ω), mas não é verdade que C (Ω) é denso em W m,p (Ω) para m 1. Moivado por esa razão define-se o espaço W m,p (Ω) como sendo o fecho de C (Ω) em W m,p (Ω), iso é, C (Ω) W m,p (Ω) = W m,p (Ω). Observação: Quando Ω é um abero limiado em alguma direção x i de R n e 1 p < consideramos W m,p (Ω) munido da norma u = que é equivalene a norma u m,p. α =m Ω 12 D α u(x) p dx 1 p

21 Suponha que 1 p < e 1 < q al que 1 p + 1 = 1. Represena-se por q W m,q (Ω) o dual opológico de W m,p (Ω). O dual opológico de H m (Ω) denoa-se por H m (Ω). Prosseguindo nas definições dos espaços quais rabalharemos vamos caracerizar os espaços H s (Ω), s R, para isso consideremos S = {ϕ C (R n ); lim p(x)d α ϕ(x) =, para odo polinômio p de n variáveis reais e α N n } o x espaço das funções rapidamene descrescene no infinio, S o dual opológico de S e para cada função u L 1 (R n ) a ransformada de Fourier de u definida por onde (x, y) = n x j y j. j=1 Definimos, para odo s R H s (R n ) = û(x) = (2π) n 2 R n e i(x,y) u(y)dy, { } u S ; (1 + x 2 ) s 2 û L 2 (R n ). Além disso, se s emos que H s (R n ) = (H s (R n )) e H s (R n ) L 2 (R n ) H s (R n ). Seja Ω um abero bem regular do R n, ou o semi-espaço R n +. Consideremos a aplicação: r Ω : L 2 (R n ) L 2 (Ω) u u Ω que leva u na sua resrição a Ω. Assim, para s emos que H s (Ω) = {v Ω ; v H s (R n )} e H s (Ω) = (H s (Ω)) onde H s (Ω) = D(Ω) Hs (Ω). Teorema 1.11 (Imersão de Sobolev) - Seja Ω um abero do R n, enão H m (Ω) C k (Ω), se m > n 2 + k. 13

22 Demonsração: Ver [18]. Teorema 1.12 Assuma que Ω é abero limiado bem regular do R n. Seja s R. Enão para cada ε > a injeção H s (Ω) H s ε (Ω) é compaca. Demonsração: Ver [16]. Proposição 1.13 Sejam Ω um conjuno abero do R n, de classe C m, com froneira limiada e m um ineiro al que m 1; e 1 p <. Enão emos as segines imersões conínuas: se 1 p m n > enão W m,p (Ω) L q (Ω), onde 1 q = 1 p m n, se 1 p m n = enão W m,p (Ω) L q (Ω), q [p, + [, se 1 p m n < enão W m,p (Ω) L (Ω). Demonsração: Ver [5]. Teorema 1.14 (Teorema de Rellich Kondrachov) - Seja Ω um subconjuno abero limiado do R n, Ω de classe C 1 e 1 p. Enão se p < n enão W 1,p (Ω) c L q (Ω), q [1, p ], onde 1 p = 1 p 1 n, se p = n enão W 1,p (Ω) c se p = n enão W 1,p (Ω) c L q (Ω), q [1, + [, C(Ω). Demonsração: Ver [5]. Noação: c indica imersão compaca. 14

23 1.1.4 Espaços Funcionais à Valores Veoriais Seja X um espaço de Banach. Denoaremos por D(, T ; X) o espaço localmene convexo das funções veoriais ϕ : (, T ) X indefinidamene diferenciáveis com supore compaco em (, T ). Diremos que ϕ ν ϕ em D(, T ; X) se: i) K compaco de (, T ) al que supp (ϕ ν ) e supp (ϕ) esão conidos em K, ν; ii) Para cada k N, ϕ (k) ν () ϕ (k) () em X uniformemene em (, T ). O espaço das aplicações lineares e conínuas de D(, T ) = D(, T ; R) em X será denoado por D (, T ; X), iso é, S D (, T ; X) se S : D(, T ) X é linear e se θ µ θ em D(, T ) enão S, θ µ S, θ em X. Diremos que S ν S em D (, T ; X) se S ν, θ S, θ em X, θ D(, T ). O espaço D (, T ; X) equipado com a convergência acima é denominado espaço das disribuições veoriais de (, T ) com valores em X. Prova-se que o conjuno {θξ, θ D(Ω), ξ X} é oal em D(, T ; X). Denoaremos por L p (, T ; X) o espaço de Banach (das classes) de funções veoriais u : (, T ) X foremene mensuráveis em (, T ), (, T ) doado da medida de Lebesgue, ais que T u() p Xd <. Quando p = 2 e X um espaço de Hilber enão L 2 (, T ; X) é um espaço de Hilber munido com o produo inerno (u, v) = T (u(), v()) X d. Represenaremos por W k,p (, T ; X), 1 p o espaço de Banach W k,p (, T ; X) = {u L p (, T ; X)/u (j) L p (, T ; X), j k} (u (j) derivada j-ésima no senido das disribuições veoriais). Com norma ( k u W k,p (,T ;X) = j= u (j) p L p (,T ;X)) 1/p, 15

24 ou a norma equivalene, k u (j) p L p (,T ;X). j= Quando p = 2 e X é um espaço de Hilber o espaço W k,2 (, T ; X) é denoado por H k (, T ; X), que é um espaço de Hilber com produo inerno k (u, v) H k (,T ;X) = (u (j), v (j) ) L 2 (,T ;X) e norma ( k 1/2 u H k (,T ;X) = u (j) 2 L 2 (,T ;X)). j= j= Quando k =, H k (, T ; X) idenifica-se ao L 2 (, T ; X). Por H k (, T ; X) represenaremos o fecho em H k (, T ; X) de D(, T ; X). Demonsrase que o espaço H k (, T ; X) é o espaço de Hilber, H k (, T ; X) = {u H k (, T ; X); u (j) () = u (j) (T ) =, j k 1}. O dual opológico de H k (, T ; X) será represenado por H k (, T ; X). Assim, idenificando L 2 (, T ; X) com o seu dual (L 2 (, T ; X)), via eorema de Riesz, obemos enão D(, T ; X) H(, 1 T ; X) L 2 (, T ; X) H 1 (, T ; X) D (, T ; X) onde H 1 (, T ; X) = ( H 1 (, T ; X) ). Proposição 1.15 Seja u L 2 (, T ; X). Enão exise um único f H 1 (, T ; X) que verifica f, θξ = ( u, θ ξ) X, θ D(, T ), ξ X. Demonsração: Ver [22]. Baseado na proposição anerior, idenificamos f com u. Em razão diso, diremos que se u L 2 (, T ; X) enão u H 1 (, T ; X). 16

25 Proposição 1.16 A aplicação u L 2 (, T ; X) u H 1 (, T ; X) onde X é um espaço de Hilber, é linear e conínua. Demonsração: Ver [22] Funções Escalarmene Conínuas Seja X um espaço de Banach. Definimos o espaço das funções escalarmene conínuas (ou fracamene conínuas) como o conjuno das funções f L (, T ; X) ais que a aplicação f(), x é conínua sobre [, T ], x X, onde X é dual de X. Denoaremos al espaço por C s (, T ; X). Diso segue que Cs 1 (, T ; X) = {u C s (, T ; X); u C s (, T ; X)}, onde u é a derivada de u no senido das disribuições. Da mesma forma emos que C 2 s (, T ; X) = {u C s (, T ; X); u C s (, T ; X)}. Observação: Se u L (, T ; X) e u C([, T ]; X) enão u C s (, T ; X). Lema 1.17 Sejam X e Y dois espaços de Banach, X Y e X um espaço reflexivo. Enão L (, T ; X) C s (, T ; Y ) = C s (, T ; X). Demonsração: Ver [17]. 1.2 Teoria de Traço Consideremos Ω = R n + ou Ω um abero limiado bem regular do R n com froneira Γ. Por D(Γ) represena-se o espaço veorial das funções reais w definidas em Γ, possuindo derivadas parciais conínuas de odas as ordens. Dada uma função u definida em Ω, represena-se γ u a resrição de u a Γ. 17

26 Proposição 1.18 Exise uma consane posiiva C al que para oda u D(Ω). γ u H 1 2 Γ C u H 1 (Ω) Demonsração: Ver [21]. Considerando D(Ω) com a opologia induzida por H 1 (Ω), segue pela proposição 1.18 que a aplicação γ : D(Ω) H 1 2 (Γ) é conínua. Sendo D(Ω) denso em H 1 (Ω), esa aplicação se prolonga por coninuidade a uma aplicação linear e conínua, ainda represenada por γ, al que a qual denomina-se função raço. γ : H 1 (Ω) H 1 2 (Γ), Teorema 1.19 A função raço aplica H 1 (Ω) sobre H 1 2 (Γ)e o núcleo de γ é o espaço H 1 (Ω). Demonsração: Ver [21]. Consideremos, agora, Ω uma abero limiado do R n com froneira Γ bem regular, e seja ν a normal uniária exerior em Γ. Para odo j = 1,..., m 1 e u D(Ω), seja γ j u = j u j Γ a derivada normal de ordem j de u e γ u u Γ. Da densidade do espaço (D(Γ)) m no espaço de Hilber H m 1 2 (Γ) H m 3 2 (Γ)... H 1 2 (Γ) emos o seguine resulado: Teorema 1.2 Exise uma única aplicação linear e conínua γ do espaço H m (Ω) sobre o espaço Π m 1 j= Hm j 1 2 (Γ) com núcleo γ 1 () = H m (Ω), verificando a seguine condição γu = (γ u, γ 1 u,..., γ m 1 u), u D(Ω). Tal aplicação admie uma inversa à direia linear e conínua. 18

27 Demonsração: Ver [21]. Além desses resulados, considerando os espaços de Hilber H (Ω) = {u L 2 (Ω); u L 2 (Ω)} e H 1 (Ω) = {u H 1 (Ω); u L 2 (Ω)} munidos dos produos inernos (u, v) = (u, v) L 2 (Ω) + ( u, v) L 2 (Ω); u, v H (Ω) e (u, v) = (u, v) H 1 (Ω) + ( u, v) L 2 (Ω); u, v H 1 (Ω), respecivamene, emos os seguines resulados: Proposição 1.21 A aplicação linear γ : D(Ω) H 1 2 (Γ) H 3 2 (Γ) definida por u γu = (γ u, γ 1 u) se esende por coninuidade a uma única aplicação linear e conínua γ : H (Ω) H 1 2 (Γ) H 3 2 (Γ) u γu = (γ u, γ 1 u). Além disso, a aplicação γ acima coincide com a aplicação raço de ordem dois. Demonsração: Ver [6]. Proposição 1.22 A aplicação linear γ 1 : D(Ω) H 1 2 (Γ) definida por u γ 1 u = u Γ se esende por coninuidade a uma única aplicação linear e conínua γ 1 : H 1 (Ω) H 1 2 (Γ). Demonsração: Ver [6]. 1.3 Resulados Auxiliares Assumindo que X B Y, espaços de Banach al que a imersão de X em B seja compaca, emos: Corolário 1.23 Seja F limiado em L p (, T ; X), onde 1 p < e F = { f f em L p (, T ; B). : f F } é limiado em L1 (, T ; Y ). Enão F é relaivamene compaco 19

28 Seja F limiado em L (, T ; X) e F F é relaivamene compaco em C(, T ; B). limiada em L r (, T ; Y ) onde r > 1. Enão Demonsração: Ver [27] Lema 1.24 Seja m L 1 (, T ; R) al que m quase sempre em (, T ) e b consane real. Suponhamos h L (, T ); h sobre (, T ) verificando a desigualdade para odo ], T [. Enão: Demonsração: Ver [4]. 1 2 h2 () 2b h() 2b + 2 m(s)g(s)ds m(s)ds. Proposição 1.25 Seja (f n ) n N uma seqüência em E, enão verifica-se: i) f n f em E se, e somene se, f n, x f, x, x E; ii) Se f n f em E, enão f n f em E ; iii) Se f n f em E, enão f n f em E. Demonsração: Ver [3]. Lema 1.26 Seja E um espaço de Banach reflexivo e seja (x n ) n N uma seqüência limiada em E, enão exise uma subseqüência (x nk ) k N e x E, al que x n x em E. Demonsração: Ver [3]. 2

29 Lema 1.27 Seja E um espaço de Banach separável e seja (f n ) n N uma seqüência limiada em E, enão, exise uma subseqüência (f nk ) k N e f E, al que f n f em E. Demonsração: Ver [3]. Proposição 1.28 Se u m u em L (, T ; L 2 (Ω)), enão u m u em L 2 (, T ; L 2 (Ω)). Demonsração: Ver [3]. Lema 1.29 (Lax-Milgram) Seja a(u, v) uma forma bilinear, conínua e coerciva. Enão para odo ϕ H, exise um único u H al que a(u, v) = ϕ, v v H. Demonsração: Ver [3]. Teorema 1.3 (Riez) Seja E um espaço veorial normado al que B E é compaca (B E = {x E; x E 1}). Enão E em dimensão finia. Demonsração: Ver [3]. Lema 1.31 (Lema de Gronwall) - Sejam f L (, T ) e z L 1 (, T ), ais que z() >, f() e c uma consane. Se f() c + z(s)f(s)ds, [, T ], enão emos f() ce z(s)ds, [, T ]. Demonsração: Ver [18]. 21

30 Proposição 1.32 (Aubin-Lions) - Sejam B, B, B 1 rês espaços de Banach ais que B c B B 1, onde B, B 1 são reflexivos. Definamos { W = v; v L p (, T ; B ), v = dv } d Lp 1 (, T ; B 1 ), onde 1 < p, p 1 <. Munido da norma v L p (,T ;B ) + v L p 1 (,T ;B1 ), W é um espaço de Banach. Enão, a imersão de W em L p (, T ; B) é compaca. Demonsração: Ver [12]. Proposição 1.33 (Lions) - Seja (u ν ) uma sucessão de funções perencenes a L q (Ω (, T )) e 1 < q <. Se i) u ν u quase sempre em Ω (, T ); ii) u ν L q (Ω (,T )) c, ν N, enão, u ν u fraco em L q (Ω (, T )). Demonsração: Ver [12]. Proposição 1.34 (Fórmula de Green) - Seja Ω um abero limiado bem regular do R n. Se u, v H 1 (Ω), enão para 1 i n emos que Ω u v u dx = vdx + (γ u)(γ v)ν i dγ, x i Ω x i Γ onde ν = (ν 1, ν 2,..., ν n ) e ν denoa o veor normal uniário exerior a Γ. Se u H 2 (Ω) e v H 1 (Ω), emos que Demonsração: Ver [6]. Ω u vdx = uvdx + v u Ω Γ dγ. 22

31 Lema 1.35 Sejam V e H espaços de Banach, al que V H. Se u L 1 (, T ; V ) e u L 1 (, T ; H), enão u C([, T ]; H). Demonsração: Ver [25]. Consideremos o seguine problema de froneira com valor inicial. v v = h em Ω (, T ) (1.1) v = sobre Ω (, T ) (1.2) v() = v v () = v 1 em Ω. (1.3) Os seguines faos são conhecidos: Lema 1.36 Para {v, v 1 } H 1 (Ω) L 2 (Ω) e h L 1 (, T ; L 2 (Ω)) exise uma única solução v de (1.1)-(1.3) em C([, T ]; H 1 (Ω)) C 1 ([, T ]; L 2 (Ω)). Além disso emos que v C([,T ];H 1 (Ω)) + v C([,T ];L 2 (Ω)) + T Ω ( ) 2 v dxd M( v 2 H 1 (Ω) + v 1 2 L 2 (Ω) + h 2 L 1 (,T ;L 2 (Ω)) ) (1.4) onde denoa a derivada normal exerior sobre a Ω e M é uma consane posiiva independene de v, v 1 e h. Demonsração: Ver [15] Lema 1.37 Seja h = e seja T maior que o diâmero de Ω. Enão, para {v, v 1 } H 1 (Ω) L 2 (Ω), emos T Ω ( ) 2 v dxd M( v 2 H 1(Ω) + v 1 2 L 2 (Ω) ) (1.5) para uma consane M posiiva e independene de v e v 1. Demonsração: Ver [15] 23

32 Capíulo 2 Exisência e Unicidade de Solução Para Uma Equação Inegro-Diferencial de Segunda Ordem Com Condições de Froneira A fim de respondermos a quesão da conrolabilidade deixada na inrodução, assumimos que a() C 2 ([, )) e a() a (2.1) para odo e para alguma consane posiiva a, b() C([, )) (2.2) c() C([, )) (2.3) Q(σ, ) C 2 ([, ) [, )). (2.4) Enão emos o seguine: Teorema 2.1 Suponha que exisa um T > T. Enão para dados {u, u 1 } L 2 (Ω) H 1 (Ω) exise um conrole g L 2 ( Ω (, T )) al que a solução de (1)-(3) saisfaz (4). 24

33 Fazendo uma mudança de variáveis com as seguines considerações: p() = (a(σ)) 1/2 dσ para (2.5) s = p() (2.6) v(x, s) = u(x, q(s)) (2.7) onde q( ) é o inverso de p( ), iso é = q(s). Observações: i) Sendo v(x, s) = u(x, q(s)) o que é equivalene a v(x, s) = u(x, ), de onde resula que u (x, ) = v ss (x, s)[p ()] 2 + v s (x, s)p (). ii) Também u(x, ) = n i=1 2 u (x, ) = x 2 i n i=1 2 v (x, s) = v(x, s) x 2 i iii) Fazendo σ = q(ξ). Enão dσ = d q(ξ)d(ξ) e lembrando que σ, con- dξ cluímos que ξ s. Agora subsiuindo em s Q(, σ)u(x, σ)dσ, obemos: Q(q(s), q(ξ)) d q(ξ)d(ξ)v(x, ξ)dξ. dξ Das observações, subsiuindo em (1) resula: v ss (x, s)[p ()] 2 + v s (x, s)p () a() v(x, s) + b()v s (x, s)p () + c()v(x, s) s Q(, q(ξ)) d q(ξ)v(x, ξ)dξ =. dξ Muliplicando-se esa por [a()] 1 e considerando (2.5) obemos: v ss (x, s) v(x, s) + [a()] 1 {p () + b()p ()}v s (x, s) + [a()] 1 c()v(x, s) s [a()] 1 Q(s, q(ξ)) d q(ξ)v(x, ξ)dξ = (2.8) dξ Das considerações (2.1) - (2.4) podemos reescrever (2.8) da seguine forma: 25

34 v ss (x, s) v(x, s) + b 1 (s)v s (x, s) + b 2 (s)v(x, s) s Q 1 (s, ξ)v(x, ξ)dξ = em Ω (, p(t )). (2.9) Com b 1 (s) C 1 ([, )), b 2 (s) C([, )) e Q 1 (s, ξ) C 2 ([, ) [, )). Consideremos Observações: s 1 w(x, s) = v(x, s)exp( 2 b 1(σ)dσ). (2.1) iv) w s (x, s) = v s (x, s)exp( s v s (x, s) = w s (x, s)(exp( s 1 b 2 1(σ)dσ) + 1b 2 1(s)w(x, s), implicando que 1 b 2 1(σ)dσ)) 1b 2 1(s)w(x, s)exp( s 1 b 2 1(σ)dσ) v) Lembrando que w ss (x, s) = s w s(x, s) e usando (iv) concluimos que v ss (x, s) = w ss (x, s)exp( s + [ 1 4 b2 1(s) 1 2 b 1(s)]w(x, s)exp( s vi) Noe que w(x, s) = v(x, s)exp( s v(x, s) = w(x, s)exp( s 1 b 2 1(σ)dσ) w s (x, s)b 1 (s)exp( s 1 b 2 1(σ)dσ) 1 b 2 1(σ)dσ). 1 b 2 1(σ)dσ). 1 b 2 1(σ)dσ), iso é, Agora subsiuindo (2.1) e os resulados obidos em (iv)-(vi) em (2.9) obemos: s 1 w ss (x, s)exp( 2 b 1(σ)dσ) w s (x, s)b 1 (s)exp( s s + [ 1 4 b2 1(s) b 1(s)]w(x, s)exp( 2 b 1(σ)dσ) s 1 s w(x, s)exp( 2 b 1(σ)dσ) + b 1 (s)[w s (x, s)exp( 1 s 2 w(x, s)exp( 1 s 2 b 1(σ)dσ)] + b 2 (s)w(x, s)exp( s Q 1 (a, ξ)w(x, ξ)exp( em Ω (, p(t )) ou equivalenemene, s 1 2 b 1(σ)dσ)dξ = 1 2 b 1(σ)dσ) 1 2 b 1(σ)dσ) 1 2 b 1(σ)dσ) 26

35 w ss (x, s) w(x, s) + { 1 4 b2 1(s) 1 2 b 1(s) + b 2 (s)}w(x, s) s Q 1 (s, ξ)w(x, ξ)exp( a qual reescrevemos como: s w ss (x, s) w(x, s) + b 3 (s)w(x, s) onde de (2.1)-(2.4) emos: ξ 1 2 b 1(σ)dσ) = em Ω (, p(t )) (2.11) s Q 2 (s, ξ)w(x, ξ)dξ = em Ω (, p(t )), b 3 (s) C([, )) (2.12) Q 2 (s, ξ) C 2 ([, ) [, )). (2.13) Diane das mudanças feias acima, passamos a analisar a solução por ransposição para o seguine problema: u (x, ) u(x, ) + α()u(x, ) Q(, σ)u(x, σ)dσ = em Ω (, T ) (2.14) u = g sobre Ω (, T ) (2.15) u(x, ) =, u (x, ) = em Ω (2.16) onde nós assumimos que: α() C([, )) (2.17) Q(, σ) C 2 ([, ) [, )). (2.18) Vamos mosrar que esa solução exise e é única. Com ese objeivo, primeiramene vamos considerar o problema homogêneo. Em seguida, provaremos que al problema em solução fore e solução fraca. Feio isso, vamos definir solução por ansposição para o problema acima. Consideremos o seguine problema homogêneo: 27

36 T φ φ + α()φ Q(σ, )φ(x, σ)dσ = f em Ω (, T ), (2.19) φ = sobre Ω (, T ), (2.2) φ(t ) = φ e φ (T ) = φ 1 em Ω, (2.21) o qual fazendo uma reversão do empo e a seguine mudança de variáveis: ψ() = φ(t ), h() = f(t ), α() = α(t ), Q(τ, ) é deerminado por Q(σ, ), omando τ = T, enão o problema acima é equivalene a: ψ ψ + α()ψ onde ψ() = ψ = φ e ψ () = ψ 1 = φ 1. Q(τ, )ψ(x, τ)dτ = h em Ω (, T ), (2.22) ψ = sobre Ω (, T ), (2.23) ψ() = ψ e ψ () = ψ 1 em Ω, (2.24) 2.1 Solução Fore e Solução Fraca Nesa seção demonsraremos a exisência e unicidade de soluções para o problema (2.22)-(2.24) com dados fores e fracos e, conseqüenemene, para o problema (2.19)- (2.21). Para isso uilizaremos o méodo de Faedo-Galerkin. Noação: No que segue denoará a derivada da função em relação variável. Temos os seguines resulados: 28

37 Teorema 2.2 (Exisência e Unicidade): Se ψ H 1 (Ω) H 2 (Ω), ψ 1 H 1 (Ω) e h C([, T ]; H 1 (Ω)) enão exise uma única ψ : Ω (, T ) R, al que: ψ L (, T ; H(Ω) 1 H 2 (Ω)) (2.25) ψ L (, T ; H(Ω)) 1 (2.26) ψ L (, T ; L 2 (Ω)) (2.27) ψ ψ + α()ψ Q(τ, )ψ(x, τ)dτ = h q.s. em Ω (, T ) (2.28) ψ = ψ() e ψ 1 = ψ (). (2.29) Demonsração: Seja (w ν ) uma base do espaço H 1 (Ω) H 2 (Ω) consiuída pelas auofunções do operador, soluções do problema de Dirichel w j = λ j w j em Ω w j = sobre Ω onde os λ j s saisfazem < λ 1 λ 2... λ j... e λ j quando j. Para cada m N denoemos por V m um subespaço gerado pelos m primeiros veores w 1, w 2,..., w m. m Definamos ψ m = g jm w j como solução do problema aproximado: j=1 (ψ m(), w j )+((ψ m (), w j ))+( α()ψ m (), w j )+ (( Q(τ, )ψ m (τ), w j ))dτ = (h(), w j ). (2.3) ψ m () = ψm ψ em H(Ω) 1 H 2 (Ω) (2.31) ψ m() = ψm 1 ψ 1 em H(Ω) 1 (2.32) A exisência de solução local de [, m ] é garanida pela eoria das equações diferenciais ordinárias. 29

38 2.1.1 Esimaivas a Priori Esimaiva I Muliplicando-se (2.3) por g jm e somando em j de 1 aé m obemos: (ψ m(), ψ m()) + ((ψ m (), ψ m())) + ( α()ψ m (), ψ m()) + (( Q(τ, )ψ m (τ), ψ m()))dτ = (h(), ψ m()) o que implica, ou seja, 1 d 2 d ψ m() d 2 d ψ m() 2 = (h(), ψ m()) ( α()ψ m (), ψ m()) (( Q(τ, )ψ m (τ), ψ m()))dτ, d d ψ m() 2 + d d ψ m() 2 = 2(h(), ψ m()) 2( α()ψ m (), ψ m()) 2 (( Q(τ, )ψ m (τ), ψ m()))dτ. (2.33) Fazendo M 1 () = Q(τ, )ψ m (τ)dτ. Temos que M 1 () = e que M 1() = M 1 () = Q(τ, )ψ m (τ) + Q(, )ψ m (). Enão d d ((M 1(), ψ m ())) = ((M 1(), ψ m ())) + ((M 1 (), ψ m())). Agora subsiuindo em (2.33) emos: d d ψ m() 2 + d d ψ m() 2 = 2(h(), ψ m()) 2( α()ψ m (), ψ m()) 2[ d d ((M 1(), ψ m ())) ((M 1(), ψ m ()))]. (2.34) 3

39 Inegrando (2.34) de a : ψ m() 2 + ψ m () 2 = ψ m() 2 + ψ m () (( ( α(s)ψ m (s), ψ m(s))ds 2(( (h(s), ψ m(s))ds s Q(τ, s)ψ m (τ)dτ, ψ m (s)))ds (( Q(s, s)ψ m (s), ψ m (s)))ds. Q(τ, )ψ m (τ)dτ, ψ m ()))) Levando-se em cona as hipóeses assumidas por α() e por Q(σ, ), o fao de H 1 (Ω) L 2 (Ω), (2.31) e (2.32), majoramos a equação acima de forma a obermos a seguine desigualdade: ψ m() ψ m() 2 2 h L 2 (,T ;L 2 (Ω)) + ψ m() 2 + ψ m () 2 onde c é uma consane posiiva. + c [ ψ m(s) 2 + ψ m (s) 2 ]ds, (2.35) Agora da hipóese sobre h, (2.31), (2.32) obemos de (2.35): ψ m() 2 + ψ m () 2 2c + 2c [ ψ m(s) 2 + ψ m (s) 2 ]ds, (2.36) de onde pelo Lema de Gronwall concluímos que exise uma consane c al que ψ m() 2 + ψ m () 2 c, [, m ], m N. (2.37) O que nos permie esender ψ m a odo inervalo [, T ]. Além disso Esimaiva II (ψ m ) é limiada em L (, T ; H 1 (Ω)) (2.38) (ψ m) é limiada em L (, T ; L 2 (Ω)). (2.39) Em (2.3) muliplicando-se por g jm e λ j e somando em j de 1 a m emos: +( α()ψ m (), ψ m()) + (ψ m(), ψ m()) + ((ψ m (), ψ m())) (( Q(τ, )ψ m (τ), ψ m()))dτ = (h(), ψ m()), 31

40 ou, equivalenemene, ((ψ m(), ψ m())) + ( ψ m (), ψ m()) + α()((ψ m (), ψ m())) + o que implica que ( Q(τ, ) ψ m (τ), ψ m())dτ = ((h(), ψ m())) (2.4) d d ψ m() 2 + d d ψ m() 2 = 2((h(), ψ m())) 2 α()((ψ m (), ψ m())) 2 ( Q(τ, ) ψ m (τ), ψ m())dτ. (2.41) Fazendo M 2 () = Q(τ, ) ψ m (τ)dτ. Observemos que M 2 () = e que, Enão M 2() = M 2 () = Q(τ, ) ψ m (τ)dτ + Q(, ) ψ m (). d d (M 2(), ψ m ()) = (M 2(), ψ m ()) + (M 2 (), ψ m()). Agora subsiuindo em (2.41) resula: d d ψ m() 2 + d d ψ m() 2 = 2((h(), ψ m())) 2 α()((ψ m (), ψ m())) a qual inegrando de a obemos: ψ m() 2 + ψ m () 2 = ψ m() 2 + ψ m () T 2 d d (M 2(), ψ m ()) + 2(M 2(), ψ m ()) α(s)((ψ m (s), ψ m(s)))ds (M 2(s), ψ m (s))ds. ((h(s), ψ m(s)))ds 2 d ds ((M 2(s), ψ m (s)))ds Agora pelas hipóeses feias em (2.17), (2.18),(2.31),(2.32) e da esimaiva I, majoramos a igualdade acima de modo a obermos a seguine desigualdade: ψ m() 2 + ψ m () 2 2c + 2c 32 [ ψ m(s) 2 + ψ m (s) 2 ]ds.

41 Logo, pelo Lema de Gronwall, concluímos que exise uma consane posiiva c al que: Porano, Esimaiva III ψ m() 2 + ψ m () 2 c [, T ]. (2.42) ψ m é limiada em L (, T ; H 1 (Ω)), (2.43) ψ m é limiada em L (, T ; L 2 (Ω)). (2.44) Agora volando a (2.3) e muliplicando-a por g jm e somando em j de 1 aé m obemos: (ψ m(), ψ m()) + ((ψ m (), ψ m())) + α()(ψ m (), ψ m()) de onde chegamos à: + (( Q(τ, )ψ m (τ), ψ m()))dτ = (h(), ψ m()), ψ m() 2 ψ m () ψ m() + α() ψ m () ψ m() + ψ m() Q(τ, ) ψ m () dτ + h() ψ m(). Mas, enão, como conseqüência de (2.17), (2.18), (2.38), (2.39), (2.43) e (2.44) obemos que exise uma consane c posiiva al que Logo ψ m() c [, T ]. (2.45) ψ m é limiada em L (, T ; L 2 (Ω)). (2.46) Assim das esimaivas feias em (2.38), (2.43) e (2.46) podemos exrair uma subseqüência (ψ µ ) µ N de (ψ m ) m N al que ψ µ ψ L (, T ; H 1 (Ω) H 2 (Ω)) (2.47) ψ µ ψ L (, T ; H 1 (Ω)) (2.48) ψ µ ψ L (, T ; L 2 (Ω)). (2.49) 33

42 Seja j N e consideremos µ N al que µ > j em (2.3) e consideremos a seqüência ψ µ como solução aproximada do problema (2.3)-(2.32). Muliplicando (2.3) por θ D(, T ) e inegrando no inervalo [, T ], resula em T (ψ µ(), w j )θ()d + T + T ((ψ µ (), w j ))θ()d + (( Q(τ, )ψ µ (τ), w j ))dτd = T T ( α()ψ µ (), w j )θ()d (h(), w j )θ()d. (2.5) Levando-se em cona as convergências obidas em (2.47)-(2.49), podemos passar o limie, quando µ em (2.5) e obendo assim T (ψ (), w j )θ()d + T + T ((ψ(), w j ))θ()d + (( Q(τ, )ψ(τ), w j ))θ()dτd = T T ( α()ψ(), w j )θ()d (h(), w j )θ()d. (2.51) De (2.51) e como (w j ) j N é um sisema compleo de H 1 (Ω) emos: T (ψ (), v)θ()d + T + T ((ψ(), v))θ()d + (( Q(τ, )ψ(τ), v))θ()dτd = para oda θ D(, T ) e para oda v H 1 (Ω). T T Da igualdade anerior e após cálculos direos emos: ψ ψ + α()ψ em L (, T ; L 2 (Ω)), provando (2.28). ( α()ψ(), v)θ()d (h(), v)θ()d, Q(τ, )ψ(τ)dτ = h() As condições iniciais (2.29) são verificadas de maneira usual e a unicidade é provada usando o méodo da energia. Assim concluímos a demonsração do eorema 2.2. A função ψ obida pelo eorema 2.2 é chamada solução fore do problema homogêneo (2.22)-(2.24). 34

43 Teorema 2.3 Sejam: ψ H 1 (Ω), ψ 1 L 2 (Ω) e h L 1 (, T ; L 2 (Ω)). (2.52) Enão exise uma única função ψ : Ω (, T ) R saisfazendo as condições: ψ C([, T ]; H 1 (Ω)) C 1 ([, T ]; L 2 (Ω)), (2.53) d d (ψ (), v) + ((ψ(), v)) + ( α()ψ(), v) + (( no senido de D (, T ) e para oda v H 1 (Ω); Q(τ, )ψ(τ)dτ, v)) = (h(), v), (2.54) ψ ψ + α()ψ Q(τ, )ψ(τ)dτ = h (2.55) em L 1 (, T ; H 1 (Ω)); 1 2 ψ () ψ() 2 = ψ() = ψ ψ () = ψ 1, (2.56) (( + (h(s), ψ (s))ds s ψ () 2 + ψ() 2 [ ψ ψ 2 + ( onde c é uma consane posiiva. (( Q(τ, )ψ(τ)dτ, ψ())) ( α(s)ψ(s), ψ (s))ds s Q(τ, s)ψ(τ)dτ, (s)))ds, (2.57) h(s)ds) 2 ]ce 4cT, [, T ] (2.58) Demonsração: Como [H 1 (Ω) H 2 (Ω)] H 1 (Ω) C([, T ]; H 1 (Ω)) é denso em H 1 (Ω) L 2 (Ω) L 1 (, T ; L 2 (Ω)), exise uma seqüência {ψ µ, ψ 1 µ, h µ } [H 1 (Ω) H 2 (Ω)] H 1 (Ω) C([, T ]; H 1 (Ω)) al que {ψ µ, ψ 1 µ, h µ } {ψ, ψ 1, h} em H 1 (Ω) L 2 (Ω) L 1 (, T ; L 2 (Ω)). (2.59) Aplicando o eorema 2.2 emos que exise uma única solução fore para cada µ N, ψ µ : Ω (, T ) R, al que: ψ µ L (, T ; H(Ω) 1 H 2 (Ω)) (2.6) 35

44 ψ µ L (, T ; H 1 (Ω)) (2.61) ψ µ L (, T ; L 2 (Ω)) (2.62) ψ µ ψ µ + α()ψ µ Q(τ, )ψ µ (x, τ)dτ = h µ q.s. em Ω (, T )(2.63) ψ µ = ψ µ () e ψ 1 µ = ψ µ(). (2.64) De (2.6), (2.61) e o lema 1.35 emos que ψ µ C([, T ]; H 1 (Ω)). De (2.61), (2.62) e o lema 1.35 emos que ψ µ C([, T ]; L 2 (Ω)) e, porano, ψ µ C([, T ]; H 1 (Ω)) C 1 ([, T ]; L 2 (Ω)). Muliplicando-se (2.63) por ψ µ e inegrando em Ω: µ()ψ µ()dx ψ µ()( Ω ψ Ω Ω Ω ψ µ ()ψ µ()dx α()ψ µ ()ψ µ()dx Q(τ, )ψ µ (τ)dτ)dx = Ω h µ ()ψ µ()dx o que implica (usando o eorema de Green) que: (ψ µ(), ψ µ()) + ((ψ µ (), ψ µ())) + + ( α()ψ µ (), ψ µ()) (( Q(τ, )ψ µ (τ), ψ µ()))dτ = (h µ (), ψ µ()). (2.65) Fazendo M 3 () = Q(τ, )ψ µ (τ)dτ. Temos que M 3 () = e que M 3() = M 3 () = Q(τ, )ψ µ (τ) + Q(, )ψ µ (). Enão d d ((M 3(), ψ µ ())) = ((M 3(), ψ µ ())) + ((M 3 (), ψ µ())) (2.66) e assim, subsiuindo (2.66) em (2.65) obemos: 36

45 1 d 2 d ψ µ() d 2 d ψ µ() 2 = (h µ (), ψ µ()) ( α()ψ µ (), ψ µ()) d d (( Q(τ, )ψ µ (τ)dτ, ψ µ ())) Inegrando (2.67) de a : (( + (( Q(τ, )ψ µ (τ)dτ, ψ µ ())) + (( Q(, )ψ µ (), ψ µ ())). (2.67) 1 2 ψ µ() ψ µ() 2 = 1 2 ψ µ() ψ µ() 2 + (h µ (s), ψ µ(s))ds Q(τ, )ψ µ (τ)dτ, ψ µ ())) + + (( ( α(s)ψ µ (s), ψ µ(s)) s Q(τ, s)ψ µ (τ)dτ, ψ µ (s)))ds (( Q(s, s)ψ µ (s), ψ µ (s)))ds. (2.68) Parindo de (2.68) levando em cona as hipóeses (2.17), (2.18) e uilizando a desigualdade de Hölder obemos o seguine: 1 2 ψ µ() ψ µ() 2 2{ 1 2 ψ µ() ψ µ() 2 } + 2 h µ (s) L 2 (Ω) ψ µ(s) 2 L 2 (Ω) + ψ µ(s) 2 ds Definindo + 2c { ψ µ(s) 2 L 2 (Ω) + ψ µ(s) 2 }ds. (2.69) g 2 () = ψ µ(s) 2 L 2 (Ω) + ψ µ(s) 2 b 2 = ψ µ() 2 L 2 (Ω) + ψ µ() 2 m() = h µ () + cg(). Enão pelo Lema 1.24 resula que ψ µ(s) 2 L 2 (Ω) + ψ µ(s) 2 = 2 ψ µ() 2 L 2 (Ω) + ψ µ() c T h µ (s) ds ψ µ(s) 2 L 2 (Ω) + ψ µ(s) 2 ds. (2.7) 37

46 Logo aplicando a desigualdade de Gronwall e elevando ao quadrado obemos: ψ µ(s) 2 L 2 (Ω) + ψ µ(s) 2 [ ψ 1 µ 2 L 2 (Ω) + ψ µ 2 + ( Agora, para cada σ N, emos de acordo com o eorema (2.2) que: ψ σ ψ σ + α()ψ σ h µ (s) ds) 2 ]e 4cT. (2.71) Q(τ, )ψ σ (τ)dτ = h σ q.s. em Ω (, T ) (2.72) ψ σ = ψ σ () e ψ 1 σ = ψ σ(), (2.73) porano subraindo (2.72) e (2.73) de (2.63) e (2.64), respecivamene, resula em: (ψ µ ψ σ ) ( ψ µ ψ σ ) + α()(ψ µ ψ σ ) Q(τ, )(ψ µ (τ) ψ σ (τ))dτ = (h µ h σ ) (2.74) (ψ µ () ψ σ ())() = ψ µ ψ σ (ψ µ() ψ σ())() = ψ 1 µ ψ 1 σ. (2.75) De maneira análoga a usada para obermos (2.71) para o problema (2.74)-(2.75) concluímos que: ψ µ() ψ σ() 2 L 2 (Ω) + ψ µ() ψ σ () 2 [ ψ 1 µ ψ 1 σ 2 L 2 (Ω) + ψ µ ψ σ 2 + ( h µ (s) h σ (s) ds) 2 ]e 4cT (2.76) logo omando o limie em (2.76) e considerando (2.59) deerminamos ψ al que: ψ µ ψ em C([, T ]; H 1 (Ω)) (2.77) ψ µ ψ em C([, T ]; L 2 (Ω)). (2.78) Compondo-se (2.63) com v H 1 (Ω) chegamos a: (ψ µ, v) + ((ψ µ, v)) + ( α()ψ µ, v) + (( Q(τ, )ψ µ (τ)dτ), v) = (h µ, v). (2.79) Muliplicando-se (2.79) por θ D(, T ) e inegrando de a T, T (ψ µ(), v)θ()d + + T (( + T T ((ψ µ (), v))θ()d ( α()ψ µ (), v)θ()d Q(τ, )ψ µ (τ)dτ, v))θ()d = T (h µ (), v)θ()d. 38

47 Inegrando por pares a primeira inegral acima resula que: T (ψ µ(), v)θ ()d + + T (( + T T ((ψ µ (), v))θ()d ( α()ψ µ (), v)θ()d Q(τ, )ψ µ (τ)dτ, v))θ()d = T (h µ (), v)θ()d. (2.8) Assim omando o limie em (2.8) quando µ e lembrando de (2.77), (2.78) e (2.59) concluímos, T (ψ (), v)θ ()d + + T (( + T T ((ψ(), v))θ()d ( α()ψ(), v)θ()d Q(τ, )ψ(τ)dτ, v))θ()d = T (h(), v)θ()d (2.81) na qual aplicando a definição de derivada das disribuições na primeira inegral acima obém-se: T d d (ψ (), v)θ()d + + T (( + T T ((ψ(), v))θ()d ( α()ψ(), v)θ()d Q(τ, )ψ(τ)dτ, v))θ()d = T (h(), v)θ()d. (2.82) De (2.77), (2.78) e (2.82) obemos uma função ψ : Ω (, T ) R al que: ψ C([, T ]; H 1 (Ω)) C 1 ([, T ]; L 2 (Ω)) (2.83) d d (ψ (), v) + ((ψ(), v)) + ( α()ψ(), v) +(( no senido de D (, T ) para oda v H 1 (Ω). Além disso ψ ψ + α()ψ Q(τ, )ψ(τ)dτ, v)) = (h(), v) (2.84) Q(τ, )ψ(τ)dτ = h em L 1 (, T ; H 1 (Ω)). (2.85) 39

48 Para provar (2.57) e (2.58), omamos o limie quando µ e usamos as convergências (2.77) e (2.78) em (2.68) e (2.71), respecivamene. As condições iniciais verifica-se de maneira usual e a unicidade é provada usando o méodo dado por Visik, M.I. - Ladyzenskaja, O.A. [28]. eorema 2.3. Assim fica provado o A função ψ obida pelo eorema 2.3 é chamada solução fraca do problema homogêneo (2.22)-(2.24). 2.2 Solução por Transposição Nesa seção esamos ineressados na solução por ransposição do problema (2.14)- (2.16). Iniciaremos com a definição de solução por ransposição do problema ciado e ambém verificaremos a exisência e unicidade de al solução. Definição 2.4 Dada g L 2 ( Ω (, T )) uma função u C([, T ]; L 2 (Ω)) C 1 ([, T ]; H 1 (Ω)) é chamada solução por ransposição de (2.14)-(2.16) se T para oda h C (Ω (, T )), onde e φ é solução fore de Ω T uhdxd = Ω v(x, ) = φ(x, ) + T g v dxd (2.86) Q(σ, )φ(x, σ)dσ (2.87) T φ φ + α()φ Q(σ, )φ(x, σ)dσ = h em Ω (, T ), (2.88) φ = sobre Ω (, T ), (2.89) φ(t ) =, φ (T ) = em Ω. (2.9) Observações: 4

49 i) A solução fore para o problema (2.88)-(2.9) é garanida pelo eorema 2.2. ii) Noe que γ 1 v = v L2 (, T ; H 1/2 ( Ω)) L 2 (, T ; L 2 ( Ω)) = L 2 ( Ω (, T )). Seja g H 2 (, T ; H 3/2 ( Ω)). Enão exise ĝ H 2 (, T ; H 2 (Ω)) al que γ ĝ = g. Agora omando z = u ĝ com ĝ fixa. Enão: z = u ĝ z = u ĝ α()z = α()u α()ĝ Q(, σ)z(x, σ)dσ = Q(, σ)u(x, σ)dσ + Noemos que γ z = γ u γ ĝ = g g = z() = u() ĝ() = z () = u () ĝ () =. Q(, σ)ĝ(x, σ)dσ. Por ouro lado, subsiuindo u = z + ĝ em (2.14) chegamos a: ou seja, z + ĝ (z + ĝ) + α()(z + ĝ) z z + α()z = ĝ + ĝ α()ĝ + Q(, σ)(z(σ) + ĝ(σ))dσ =, Q(, σ)z(σ)dσ Q(, σ)ĝ(σ)dσ em Ω (, T ), (2.91) z = sobre Ω (, T ), (2.92) z() =, z () = em Ω. (2.93) Noe que o lado direio da igualdade (2.91) é uma função de L 2 (, T ; L 2 (Ω)). Assim pelo eorema 2.3 emos que z C([, T ]; H(Ω)) 1 C 1 ([, T ]; L 2 (Ω)) 41

50 e do fao de ĝ perencer a H(, 2 T ; H 2 (Ω)) emos que ĝ C([, T ]; H 2 (Ω)) C 1 ([, T ]; H 2 (Ω)) e porano u C([, T ]; H 1 (Ω)) C 1 ([, T ]; L 2 (Ω)) C([, T ]; L 2 (Ω)) C 1 ([, T ]; H 1 (Ω)) donde γ u = γ z + γ ĝ = + g = g (2.94) u() = u () =. (2.95) Também pelo eorema 2.3 d d ((z + ĝ), w) + (((z + ĝ), w)) + (α()(z + ĝ), w) + (( no senido de D (, T ) e para oda w em H 1 (Ω) de onde resula que u u + α()u Q(σ, )(z + ĝ)(σ)dσ, w)) = (2.96) Q(, σ)u(σ) = em C([, T ]; H 1 (Ω)). (2.97) Porano u é solução fraca de (2.14)-(2.16) e é única (como z é única e fixamos ĝ enão u é única). Agora demonsraremos que u é solução por ransposição de (2.14)-(2.16) no senido da definição 2.4. De fao, seja h C (Ω (, T )) e o problema φ φ + α()φ T Q(σ, )φ(x, σ)dσ = h em Ω (, T ), (2.98) φ = sobre Ω (, T ) (2.99) φ(t ) =, φ (T ) = em Ω. (2.1) Sabemos pelo eorema 2.2 que o problema (2.98)-(2.1) em solução fore. E da sua regularidade resula que (muliplicando 2.14 por φ e inegrando em Ω (, T )): T T u(x, )h(x, ) = g(x, ) v (x, )dxd (2.11) Ω 42 Ω

51 onde v é dada por v(x, ) = φ(x, ) + T Q(σ, )φ(x, σ)dσ, provando assim que dado g H 2 (, T ; H 3/2 ( Ω)) exise uma u solução por ransposição para o problema (2.14)-(2.16) com u C([, T ]; H 1 (Ω)) C 1 ([, T ]; L 2 (Ω)). (2.12) Como consequência diso emos o seguine lema. Lema 2.5 Seja u uma solução de (2.14)-(2.16) com g H 2 (, T ; H 3/2 ( Ω)) enão, u C([,T ];L 2 (Ω)) + u C([,T ];H 1 (Ω)) M g L 2 ( Ω (,T )). (2.13) Demonsração: Fixemos < s T e seja φ uma solução para o seguine problema homogêneo: φ φ + α()φ s Q(σ, )φ(x, σ)dσ = em Ω (, T ), (2.14) φ = sobre Ω (, T ), (2.15) φ(s) = φ, φ (s) = φ 1 em Ω. (2.16) onde φ e φ 1 perencem a D(Ω) (ese problema em solução conforme o eorema (2.2)). Da equação v(x, ) = φ(x, ) + s Q(σ, )φ(x, σ)dσ podemos ober (ver [9]): φ(x, ) = v(x, ) + s R(σ, )v(x, σ)dσ (2.17) onde R(σ, ) é deerminado por Q(σ, ) e R(σ, ) C 2 ([, ) [, )). Agora de (2.17) e fazendo φ(x, ) = v(x, ) R(σ, )v(x, σ)dσ obemos: s φ (x, ) = v (x, ) + s R (σ, )v(x, σ)dσ R(, )v(x, ) φ (x, ) = v (x, ) + s R (σ, )v(x, σ)dσ 2R (, )v(x, ) R σ (, )v(x, ) R(, )v (x, ) 43

52 φ(x, ) = v(x, ) + s R(σ, )v(x, σ)dσ α()φ(x, ) = α()v(x, ) + s α()r(σ, )v(x, σ)dσ. Enão subsiuindo em (2.14) obem-se v (x, ) v(x, ) R v (x, ) + [α() 2R (, ) R σ (, )]v(x, ) + s α()r(σ, )v(x, σ)dσ s R (σ, )v(x, σ)dσ =, (2.18) v = sobre Ω (, s), (2.19) v = v(x, s) = φ(x, s) = φ v 1 = v (x, s) = φ 1 Q(s, s)φ. (2.11) Usando o méodo de Faedo-Galerkin obemos que o problema (2.18)-(2.11) em solução v na classe v C([, T ]; H 1 (Ω)) C 1 ([, T ]; L 2 (Ω)), e saisfaz v C([,s];H 1 (Ω)) + v C([,s];L 2 (Ω)) M( v H 1 (Ω) + v 1 L 2 (Ω)), (2.111) onde M é uma consane dependene de T, porém independene de v, v 1 e s (, T ]. Reescrevendo (2.18) como v (x, ) v(x, ) = h(x, ) em Ω (, s) (2.112) onde h(x, ) = R v (x, ) [α() 2R (, ) R σ (, )]v(x, ) s α()r(σ, )v(x, σ)dσ+ s R (σ, )v(x, σ)dσ. Noe que h L 1 (, T ; L 2 (Ω)). Enão do Lema 1.36 (com o inervalo [,s] ) e da desigualdade (2.111) obemos s ( ) 2 v dxd M( v 2 H 1(Ω) + v 1 2 L 2 (Ω) ) e, por (2.11), emos s Ω Ω ( ) 2 v dxd M( φ 2 H 1(Ω) + φ 1 2 L 2 (Ω) ) (2.113) 44

53 onde M é independene de φ, φ 1 e de s (, T ]. Por ouro lado, muliplicando-se (2.14) por u e inegrando em Ω (, s) obemos; s (φ 1, u(s)) φ, u (s) = g v dxd. (2.114) Enão, como g H(, 2 s; H 3/2 ( Ω)) L 2 (, s; L 2 ( Ω)), v L2 (, s; H 1/2 ( Ω)) L 2 (, s; L 2 ( Ω)), omando φ = em (2.114) e usando a desigualdade de Hölder e (2.113) resula Ω (φ 1, u(s)) M g L 2 ( Ω (,s)) φ 1 e porano u(s) L 2 (Ω) M g L 2 ( Ω (,s)) (2.115) onde M é independene de φ 1, g e para odo s T. Analogamene omando φ 1 = em (2.114) obemos: u (s) H 1 (Ω) M g L 2 ( Ω (,s)). (2.116) Agora somando (2.115) com (2.116) obemos o lema. De posse deses resulados podemos provar o seguine: Lema 2.6 Dada g L 2 ( Ω (, T )), exise uma única solução de (2.14)-(2.16) no senido da definição 2.4. Demonsração: Como g L 2 ( Ω (, T )) exise uma sequência g m em H 2 (, T ; H 3/2 ( Ω)) al que g m converge fore para g em L 2 ( Ω (, T )) (pois H 2 (, T ; H 3/2 ( Ω)) é denso em L 2 ( Ω (, T ))). Logo, g m é uma seqüência de Cauchy em L 2 ( Ω (, T )). Mas do exposo acima emos que para cada g m exise u m solução de (2.14)-(2.16), iso é, u m perence C([, T ]; H 1 (Ω)) C 1 ([, T ]; L 2 (Ω)). Porano, para cada g m e g n exisem u m e u n saisfazendo (pelo lema 2.5): u m u n C([,T ];L 2 (Ω)) + u m u n C([,T ];H 1 (Ω)) M g m g n L 2 ( Ω (,T )). (2.117) 45