Limites de Escala em Modelos de Armadilhas

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1 Universidade Federal da Paraíba Cenro de Ciências Exaas e da Naureza Programa de Pós-Graduação em Maemáica Mesrado em Maemáica Limies de Escala em Modelos de Armadilhas Lucas Araújo Sanos João Pessoa - PB Dezembro de 2015

2 Universidade Federal da Paraíba Cenro de Ciências Exaas e da Naureza Programa de Pós-Graduação em Maemáica Mesrado em Maemáica Limies de Escala em Modelos de Armadilhas por Lucas Araújo Sanos sob a orienação do Prof. Dr. Alexandre de Busamane Simas Disseração apresenada ao Corpo Docene do Programa de Pós-Graduação em Maemáica da Universidade Federal da Paraíba como requisio parcial para a obenção do íulo de Mesre em Maemáica. João Pessoa - PB Dezembro de 2015

3 S237l Sanos, Lucas Araújo. Limies de escala em modelos de armadilhas / Lucas Araújo Sanos.- João Pessoa, f. Orienador: Alexandre de Busamane Simas Disseração (Mesrado) - UFPB/CCEN 1. Maemáica. 2. Modelos de armadilhas. 3. Limie de escala. 4. Leis esáveis. 5. Processos de Lévy. UFPB/BC CDU: 51(043)

4 Limies de Escala em Modelos de Armadilhas por Lucas Araújo Sanos 1 Disseração apresenada ao Corpo Docene do Programa de Pós-Graduação em Maemáica da Universidade Federal da Paraíba como requisio parcial para a obenção do íulo de Mesre em Maemáica. Área de Concenração: Análise Aprovada em 11 de Dezembro de Banca Examinadora: Prof. Dr. Alexandre de Busamane Simas UFPB (Orienador) Prof. Dr. Wagner Barreo de Souza UFMG (Examinador Exerno) Profa. Dra. Evelina Shamarova UFPB (Examinador Inerno) 1 O auor foi bolsisa PICME da Capes durane a elaboração desa disseração.

5 À minha família

6 Agradecimenos Agradeço, primeiramene, a Deus, meu Pai, a quem confio minha exisência. Que odos os fruos de minha vida honrem e glorifiquem o nome dele. À minha família, pelo apoio em odas as minhas realizações. Aos professores do Deparameno de Maemáica da UFPB, em especial aos professores Carlos Bocker, pelo acompanhameno durane a graduação, e Alexandre Simas pelo acompanhameno e orienação no mesrado. Aos meus amigos que me acompanharam nesa jornada. À odos que direa ou indireamene fizeram pare da minha formação, o meu muio obrigado.

7 Resumo Seja X = {X 0, X 0 = 0} um passeio aleaório de média zero β-esável sobre Z com axas de salos não homogêneas {τ 1 i, i Z}, com β (1, 2] e {τ i : i Z} uma família de variáveis aleaórias independenes com disribuição marginal comum na bacia de aração de uma lei α-esável com α (0, 2]. Nese rabalho, obemos resulados sobre o comporameno a longo prazo dese processo obendo seu limie de escala. Para isso, faremos previamene um esudo sobre probabilidade em espaços méricos, mais especificamene sobre o espaço D das funções conínuas à direia com limie à esquerda. Também iremos expor alguns resulados que raam de leis esáveis que esão relacionadas direamene ao problema supraciado. Palavras-chave: Modelos de armadilhas, Limie de escala, Leis esáveis, Processos de Lévy.

8 Absrac Le X = {X 0, X 0 = 0} be a mean zero β-sable random walk on Z wih inhomogeneous jump raes {τ 1 i, i Z}, wih β (1, 2] and {τ i : i Z} is a family of independen random walk variables wih common marginal disribuion in he basis of aracion of an α-sable law wih α (0, 2]. In his paper we derive resuls abou he long ime behavior of his process, we obain he scaling limi. To his end, firs we will approach probabiliy on meric spaces, specifically rea he D space of he funcions ha are righ-coninuous and have lef-hand limis. We will also expose some resuls dealing wih sable laws ha are direcly relaed o he above problem. Keywords: Trap models, Scaling limi, Sable laws, Lévy processes.

9 Sumário Inrodução 1 1 Princípios de invariância Probabilidades em espaços méricos Convergência fraca em espaços méricos Tighness Propriedades da convergência fraca Alguns Casos Especiais Convergência em Disribuição Convergência em Probabilidade Teorema de Prohorov O espaço D Convergência fraca e ighness em D Leis Esáveis e Processos de Lévy Leis Esáveis Disribuições Infiniamene Divisíveis Processos de Lévy Propriedade Fore de Markov Modelo de Armadilha Hipóeses e processo relógio O acoplameno para o caso α (0, 1) Limie de escala A Resulados Básicos 62 A.1 Conceios Básicos em Probabilidade A.1.1 Independência A.1.2 Teorema de Coninuidade de Lévy A.1.3 Lei dos Grandes Números ix

10 Referências Bibliográficas 66 x

11 Noações A seguir, lisamos algumas noações uilizadas nese rabalho. [] denoa a pare ineira do número real, iso é, [] é o maior número ineiro que não ulrapassa ; f 1 (x) f 2 (x) significa que lim x f 1 (x) f 2 (x) = 1; id denoa a aplicação idenidade; X d = Y significa que os elemenos aleaórios X e Y possuem a mesma disribuição; X Y denoa convergência fraca das disribuições correspondenes aos elemenos aleaórios X e Y ; A função sgn : R R é definida da seguine forma: sgn(x) = 1, se x > 0, sgn(x) = 1, se x < 0, e sgn(x) = 0, se x = 0; I A denoa a função indicadora do conjuno A. I A (x) = 1, se x A e I A (x) = 0, se x / A; denoa o final de uma demonsração. xi

12 Inrodução Nese rabalho, com base no arigo [1] de W. Barreo-Souza e L.R.G. Fones, esudamos o limie de escala de um modelo de armadilha. Grosseiramene falando, um modelo de armadilha é um passeio aleaório a empo conínuo sobre algum grafo regular com axas de ransição aleaórias dadas em ermos geralmene de variáveis aleaórias foremene aadas, o ambiene aleaório. Os casos mais esudados na lieraura maemáica envolve um passeio aleaório esqueleo que é independene do ambiene aleaório, e o inverso das axas de salos dado por variáveis aleaórias i.i.d foremene aadas, visas nese caso como armadilhas profundas. Neses casos, o modelo de armadilha é, porano, um passeio aleaório discreo com uma mudança de empo. Esamos ineressados num modelo de armadilha em Z, e iremos supor que o passeio esqueleo é de média zero, β-esável, com β (1, 2]. No caso em que α (0, 1), o limie de escala é um processo β-esável com uma mudança de empo pelo inverso de ouro processo, envolvendo o empo local do processo β-esável e um processo α- esável independene subordinado; o processo resulane pode ser chamado de processo quase-esável. Anes de abordarmos o limie de escala em nosso modelo de armadilha, feio no erceiro capíulo, inroduzimos emas auxiliares que por si êm uma grande relevância na eoria de probabilidade. No primeiro capíulo explicamos um pouco da eoria das probabilidades em espaços méricos. Nosso principal ineresse é esudar a convergência fraca de disribuições, que são medidas de probabilidade, e para isso desenvolvemos vários criérios para sua ocorrência. Ouro ema imporane nese conexo é a compacidade, caracerizado, via Teorema de Prohorov, sob ceras hipóeses, por uma propriedade denominada ighness. A compacidade, em cero senido, é imporane para assegurar que, dada uma sequência de disribuições que converge fracamene para um deerminado limie, al limie seja de fao a disribuição de algum elemeno aleaório. Ainda no primeiro capíulo, raamos mais especificamene de convergência fraca e ighness no espaço mérico D das funções conínuas à direia com limie à esquerda munido da opologia de Skorohod. No segundo capíulo apresenamos um eorema cenral do limie para leis esáveis 1

13 que é válido aé mesmo se ivermos média infinia. Além disso, inroduzimos os processos de Lévy, a principal classe de processos de nosso ineresse, e expomos algumas de suas principais propriedades como a propriedade de Markov e a propriedade fore de Markov. Por fim, o apêndice é dedicado aos resulados mais elemenares em probabilidade que decidimos, afim de ober uma leiura mais direa e objeiva, não deixá-los no exo. 2

14 Capíulo 1 Princípios de invariância 1.1 Probabilidades em espaços méricos Nesa seção faremos uma breve revisão dos principais resulados que raam de probabilidade em espaços méricos. Para um aprofundameno nesa eoria veja [2] Convergência fraca em espaços méricos Seja S um espaço mérico. Iremos esudar medidas de probabilidade sobre uma classe S de borelianos em S. Aqui S é a σ-álgebra gerada pelos conjunos aberos a menor σ-álgebra conendo os conjunos aberos e a medida de probabilidade P em S é não-negaiva, conável adiiva com P (S) = 1. Definição 1.1. Se as medidas de probabilidade P n e P saisfazem f dp n f dp S S para oda função real f em S limiada e conínua, dizemos que P n converge fracamene para P e escrevemos P n P. Denoaremos por C(S) a classe de ais funções f. Teorema 1.1. Toda medida de probabilidade sobre (S, S) é regular, iso é, se A S e ε > 0, enão exise um conjuno fechado F e um conjuno abero G ais que F A G e P (G F ) < ε O eorema acima implica que uma medida P (S, S) é deerminada pelos valores de P (B) para os conjunos fechados B. De fao, sejam A S e Q (S, S) al que P (B) = Q(B) para odo conjuno fechado B. Dados A S e ε posiivo, podemos ober um conjuno fechado F e um conjuno abero G de forma que F A G, 3

15 1. Princípios de invariância P (G F ) < ε e Q(G F ) < ε. Observe que P (A) P (G) = P (G F ) + P (F ) = P (G F ) + Q(F ) ε + Q(A). Como ε é arbirário, segue que P (A) Q(A) e similarmene Q(A) P (A), porano, P (A) = Q(A) Teorema 1.2. Se F é fechado e ε é posiivo, exise uma função f em C(S) al que f(x) = 1, se x F, f(x) = 0, se d(x, F ) ε, e 0 f(x) 1, para ouro caso. Aqui d(x, F ) represena a disância de x ao conjuno F, iso é, d(x, F ) = inf y F d(x, y). A função f pode se obida de forma que seja uniformemene conínua. Teorema 1.3. Duas medidas de probabilidades P e Q em (S, S) coincidem se f dp = f dq (1.1) para oda f C(S). Demonsração. Seja F um conjuno fechado. Considere a função real ϕ dada por Defina, para cada ineiro posiivo u, 1 se 0, ϕ() = 1 se 0 1, 0 se 1. ϕ u () = ϕ(u) (1.2) e f u (x) = ϕ u (d(x, F )). Enão {f u } é uma sequência não-crescene de elemenos de C(S) convergindo ponualmene para a função indicadora I F do conjuno F. Pelo eorema da convergência dominada, P (F ) = lim u fu dp e Q(F ) = lim u fu dq, assim, se (1.1) vale para oda f C(S), P (F ) = Q(F ). Como P e Q coincidem nos conjunos fechados, segue do eorema 1.1 que P = Q Tighness Definição 1.2. Uma medida de probabilidade P em (S, S) é igh se para cada ε posiivo exise um conjuno compaco K al que P (K) > 1 ε. 4

16 1. Princípios de invariância Pelo eorema 1.1, P é igh se, e somene se, P (A) é, para odo A S, o supremo de P (K) sobre os conjunos compacos K A. Teorema 1.4. Se S é separável e compleo, enão oda medida de probabilidade em (S, S) é igh. 1.2 Propriedades da convergência fraca Observe que, como as inegrais f dp deerminam P compleamene (Teorema 1.3), a sequência {P n } não pode convergir fracamene para dois limies disinos ao mesmo empo. Observe ambém que a convergência fraca depende somene da opologia de S, e não da mérica específica que a gera: Duas méricas que geram a mesma opologia dão origem à mesmas classes de S e C(S), porano, à mesma noção de convergência fraca. Teorema Poremaneau O eorema a seguir nos dá condições equivalenes para a convergência fraca. Definição 1.3. Um conjuno A S cuja froneira A saisfaz P ( A) = 0 é dio um conjuno P -conínuo. Teorema 1.5. Sejam P n, P medidas de probabilidade em (S, S). As seguines condições são equivalenes: (i) P n P (ii) lim n f dpn = f dp, para oda função f limiada e uniformemene conínua. (iii) lim sup n P n (F ) P (F ), para odo fechado F. (iv) lim inf n P n (G) P (G), para odo abero G. (v) lim n P n (A) = P (A), para odo conjuno A P -conínuo. Ouro Criério As vezes é conveniene provar convergência fraca mosrando que P n (A) P (A) para alguma classe especial de conjunos A. Teorema 1.6. Seja U uma subclasse de S al que (i) U é fechado sob inerseções finias e (ii) cada conjuno abero em S é uma união finia ou conável dos elemenos de U. Se P n (A) P (A) para odo A U, enão, P n P. 5

17 1. Princípios de invariância Demonsração. Seja A i U para i = 1,..., m. Por hipóese, as inerseções de ais elemenos ambém esão em U. Pela fórmula de inclusão-exclusão, P n ( m i=1 A i) = i P n(a i ) ij P n(a i A j ) + ijk P n(a i A j A k ) i P (A i) ij P (A i A j ) + ijk P (A i A j A k ) = P ( m i=1 A i). Se G é abero, enão G = i A i para alguma sequência {A i } de elemenos de U. Dado ε > 0, escolha m al que P ( i m A i ) > P (G) ε. Pela relação que acabamos de provar, P (G) ε < P ( i m A i ) = lim n P n ( i m A i ) lim inf n P n (G). Como ε é arbirário, vale o iem (iv) do eorema anerior. Denoamos a bola abera de raio ε em orno de x por S(x, ε). Corolário 1.7. Seja U uma classe de conjunos al que (i) U é fechado sob inerseções finias e (ii) para cada x S e odo ε posiivo exise um A U com x in(a) A S(x, ε). Se S é separável e P n (A) P (A) para odo A U, enão P n P. Demonsração. A condição (ii) implica que, para cada pono x de um conjuno abero G, x in(a) A G para algum A U. Como S é separável, exise em U uma sequência {A i } al que G i in(a i ) e A i G, que implica que G = i A i. Porano, U saisfaz as hipóeses do eorema 1.6. Iremos ver mais uma condição para a convergência fraca. Uma sequência {x n } de números reais converge para um limie x se, e somene se, oda subsequência {x n } possui uma subsequência {x n } que converge para x. Para ese fao é fácil deduzir um análogo para convergência fraca. Teorema 1.8. P n P se, e somene se, oda subsequência {P n } coném uma subsequência {P n } al que {P n } P. 1.3 Alguns Casos Especiais O Espaço Euclideano Seja R k o espaço k-dimensional, o qual sempre consideraremos munido da mérica d(x, y) = x y = [ k i=1 (x i y i ) 2 ] 1/2. Iremos relembrar a relação enre a convergência fraca de medidas de probabilidade e a noção usual de convergência para as funções de disribuição correspondenes. Considere as medidas de probabilidade P n, P e suas respecivas funções de disribuição F n e F, para n = 1, 2,.... Enão, P n P se, 6

18 1. Princípios de invariância e somene se, F n (x) F (x) para odo pono de coninuidade x de F. Em ouras palavras, os conjunos {y : y x} formam uma classe deerminane de convergência. O Espaço R Os resulados obidos para R k são ransferidos em odos os aspecos essenciais para o espaço R das sequências x = (x 1, x 2,...) de números reais munido da opologia produo. Essa opologia possui como vizinhanças básicas de um pono x os conjunos da forma N k,ε (x) = {y : x i y i < ε, i = 1,..., k} (1.3) com ε > 0 e k = 1, 2,.... Com esa opologia, R é um espaço mérico compleo e separável. Seja π k a projeção naural de R para R k, definida por π k (x) = (x 1,..., x k ). Um conjuno finio dimensional, ou cilindro, é, por definição, um conjuno da forma π 1 k (H) com k 1 e H R k. Como cada π k é conínuo e, porano, mensurável, os conjunos finio-dimensionais perencem à σ-álgebra R de borelianos em R. Seja F a classe dos conjunos finio-dimensionais. Como cada conjuno em (1.3) perence à F e R é separável, F gera R. Como F é uma álgebra, segue que F é uma classe deerminane. Para k e x fixos, os conjunos em (1.3), para diferenes valores de ε, possuem froneiras disjunas (ε < δ implica N k,ε in(n k,δ )). Aplicando o corolário 1.7 do eorema 1.6 para a classe U de conjunos P -conínuos em F, vemos que F é uma classe deerminane de convergência. Assim P n P se, e somene se P n (A) P (A) ocorre para odos os conjunos A finio-dimensionais P -conínuos. O Espaço C Em C = C[0, 1], o espaço das funções conínuas em [0, 1] com a mérica uniforme d(x, y) = sup x() y(), a siuação difere de R. Para os ponos 1,..., k em [0, 1], seja π 1 k a função que leva o pono x de C ao pono (x( 1 ),..., x( k )) de R k. Os conjunos finio-dimensionais são agora definidos como conjunos da forma π 1 1 k (H) com H R k. Como π 1 k é conínuo, eses conjunos perencem à classe C de borelianos em C. Por ouro lado, a bola fechada {y : d(x, y) ε} é o limie dos conjunos finio-dimensionais {y : x(i/n) y(i/n) ε, i = 1,..., n}; como C é separável, cada conjuno abero é uma união conável de bolas aberas e, porano, de bolas fechadas, assim os conjunos finio-dimensionais geram C. Como eles formam uma álgebra, os conjunos finio-dimensionais são uma classe deerminane. 7

19 1. Princípios de invariância 1.4 Convergência em Disribuição A eoria da convergência fraca pode ser parafraseada como a eoria da convergência em disribuição. Quando esabelecemos a erminologia da úlima eoria, que não envolve novas ideias, muios resulados assumem uma forma compaca e ornam-se mais claros. Elemenos Aleaórios Definição 1.4. Seja X uma função de um espaço de probabilidade (Ω, B, P) num espaço mérico S. Se X é mensurável, o chamaremos de elemeno aleaório de S. Se S = R, chamamos X de variável aleaória; se S = R k, chamamos X de veor aleaório; se S = C, chamamos X de função aleaória. A disribuição de X é a medida de probabilidade P = PX 1 sobre (S, S): P (A) = P(X 1 A) = P{ω : X(ω) A} = P{X A}, A S. (1.4) No caso S = R k, emos ambém a função de disribuição associada à X, definida por F (x) = P {y : y x} = P {X x}, x R k. Noe que P é uma medida de probabilidade sobre um espaço arbirário, enquano P é definido sempre sobre um espaço mérico. Por várias razões, a disribuição P coném odas as informações relevanes sobre o elemeno aleaório X. Se h é uma função mensurável de R em S, enão, pela fórmula de mudança de variável (eorema A.8), h(x)dp = hdp. Cada medida de probabilidade num espaço mérico é a disribuição de algum elemeno aleaório sobre algum espaço de probabilidade: Dado P em (S, S), se considerarmos (Ω, B, P) = (S, S, P ), com X sendo a idenidade, X(ω) = ω, ω Ω = S, enão X é um elemeno aleaório sobre Ω com valores em S e possui P como disribuição. Embora a classe de disribuição coincida com a classe de medidas de probabilidade sobre espaços méricos, geralmene chamamos uma medida sobre um espaço mérico de disribuição apenas quando ela é de fao a disribuição de algum elemeno aleaório em discussão. 8

20 1. Princípios de invariância Convergência em Disribuição Definição 1.5. Dizemos que uma sequência {X n } de elemenos aleaórios converge em disribuição para o elemeno aleaório X, e escrevemos X n D X, se as disribuições P n de X n converge fracamene para a disribuição P de X: P n P. É claro que para er senido, o conradomínio S e sua opologia são os mesmos para odos os elemenos aleaórios X, X 1, X 2,.... Como f(x)p (dx) = f(x)dp, pela S Ω fórmula de mudança de variável, e analogamene para fdp n, emos X D n X se, e somene se, E{f(X n )} E{f(X)} para oda f C(S) Convergência em Probabilidade Muios conceios padrões e resulados para convergência em disribuição de variáveis aleaórias se generalizam para elemenos aleaórios. Definição 1.6. Se, para um elemeno a S, P{d(X n, a) ε} 0 para cada ε posiivo, dizemos que X n converge em probabilidade para a e escrevemos X n P a. Se a é considerado como um elemeno aleaório consane, enão, X n D a. Alernaivamene, X n somene se, X n P a se, e P a se, e somene se, a disribuição de X n converge fracamene para a medida de probabilidade que aribui massa um ao pono a. Se X n e Y n possuem o mesmo domínio, faz senido falar da disância d(x n, Y n ) a função com valor d(x n (ω), Y n (ω)) em ω. Se S é separável, d(x n, Y n ) é uma variável aleaória. No eorema a seguir, assumimos que, para cada n, X n e Y n possuem o mesmo domínio e S é separável. Teorema 1.9. Se X n D X e d(x n, Y n ) Demonsração. Se F ε = {x : d(x, F ) ε}, enão P 0, enão Y n D X. P{Y n F } P{d(X n, Y n ) ε} + P{X n F ε }. 9

21 1. Princípios de invariância Como F ε é fechado a hipóese implica lim sup n P{Y n F } lim sup P{X n F ε } P{X F ε }. n Se F é fechado, enão F ε F quando ε 0 e o resulado segue do eorema Teorema de Prohorov Compacidade Relaiva Definição 1.7. Seja Π uma família de medidas de probabilidade em (S, S). Dizemos que Π é relaivamene compaca se oda sequência de elemenos de Π coném uma subsequência fracamene convergene, iso é, se para oda sequência {P n } em Π, exise uma subsequência {P n } e uma medida de probabilidade Q (definida em (S, S), mas não necessariamene um elemeno de Π) al que P n Q. Uma família Π de medidas de probabilidade sobre um espaço mérico S é dia igh se para cada ε posiivo exise um conjuno compaco K al que P (K) > 1 ε, para odo P Π. Teorema Se Π é igh, enão Π é relaivamene compaco. Teorema Suponha que S é separável e compleo. Se Π é relaivamene compaco, enão Π é igh. Nos referimos aos dois eoremas acima conjunamene como o Teorema de Prohorov. Observação 1.1. A compacidade relaiva é imporane, denre ouros moivos, para assegurar que o limie fraco Q de uma sequência de disribuições seja, de fao, uma disribuição, no senido que não ocorre Q(S) < 1. Vejamos um exemplo em (R, R). Seja a + b + c = 1 e F n (x) = ai (x n) + bi (x n) + cg(x). Onde G é uma função de disribuição. Assim, F n (x) F (x) = b + cg(x), lim F (x) = b e x lim F (x) = b + c = 1 a. x + Ou seja, um quanidade de massa a esá escapando para + e uma quanidade de massa b para. Iso não ocorre, se a sequência F n é igh. De fao, suponha que para odo ε > 0, exise M ε al que lim sup n 1 F n (M ε ) + F n ( M ε ) ε e que F n (x) F (x) para odo x pono de coninuidade de F. Sejam r < M ε e s > M ε ponos de coninuidade 10

22 1. Princípios de invariância de F. Como F n (r) F (r) e F n (s) F (s), emos 1 F (s) F (r) = lim n 1 F n (s) F n (r) O úlimo resulado implica que lim sup n 1 F n (M ε ) + F n ( M ε ) ε. lim sup 1 F (x) + F ( x) ɛ. x Como ε é arbirário, F é uma função de disribuição. Funções Caracerísicas Se P é uma medida de probabilidade sobre (R k, R k ), sua função caracerísica p é definida como p() = e i x P (dx), R k, onde x = k u=1 ux u denoa o produo inerno. Seja Q uma segunda medida de probabilidade sobre (R k, R k ), e seja q sua função caracerísica. Provaremos o eorema de unicidade: Teorema Se p() = q() para odo, enão P = Q. Demonsração. Para cada, e i x é, como uma função de x, um elemeno de C(R k ) (ou sua pare real e sua pare imaginária são). Assim, no caso de R k, o eorema de unicidade refina o eorema 1.3, que afirma que P é deermindo pelos valores de fdp para f C(S). Não iremos provar a unicidade obendo uma formula de inversão explícia, usaremos o eorema de aproximação de Weiersrass. Sabemos que os reângulos (a, b] formam um classe deerminane; e como al reângulo é uma união crescene de reângulos fechados, é suficiene checar que P e Q coincidem para os conjunos A = [a 1, b 1 ] [a k, b k ]. Pelo argumeno do eorema 1.3, iso segue se, pra cada inegral, fdp = fdq (1.5) quando f for da forma f(x 1,..., x k ) = f 1 (x 1 ) f k (x k ) com f j (s) = ϕ u (d(s, [a j, b j ])), onde d denoa a disância linear e ϕ u é definida como em (1.2). 11

23 1. Princípios de invariância Fixado u. Dado ε, escolha r suficienemene grande al que f j se anula fora do inervalo [ r, r] e, ao mesmo empo, se I r denoa o cubo {x : x m r, m = 1,..., k}, enão P (Ir C ) < ε e Q(Ir C ) < ε. Como f j ( r) = f j (r), f j (s) podem, pelo eorema de Weiersraiss, serem uniformemene aproximados em [ r, r] por uma soma rigonomérica finia l α le ilπs/r de período 2r. Muliplicando em conjuno esas somas para diferenes valores de j, vemos que f pode ser uniformemene aproximada em I r por uma soma rigonomérica finia g(x) = γ l e i(l) x (1.6) l de período 2r em cada variável. Escolha (1.6) de forma que f(x) g(x) < ε para x I r. Como f é limiada por um, g é limiada por 1 + ε em I r e, porano, por periodicidade, em odo R k. Assim, f g é limiado por ε em I r e por 2+ε globalmene. Assumindo 0 < ε < 1, emos f g dp ε + (2 + ε)p (Ir C ) < 4ε. De modo similar, f g dq < 4ε, assim fdp fdq < gdp gdq + 8ε. Mas gdp = gdq é uma consequência imediaa de p = q e de (1.6), e como ε é arbirário, (1.5) é saisfeia. Disposiivo de Cramer-Wold Por meio do disposiivo a seguir, devido a Cramer e Wold, problemas envolvendo veores aleaórios em R k podem ser reduzids a problemas envolvendo apenas variáveis aleaórias em R. Suponha que os veores aleaórios X n = (X n1,..., X nk ) e X = (X 1,..., X k ) k-dimensionais saisfazem k j X nj j=1 D k j X j para cada pono = ( 1,..., k ) de R k. Enão as funções caracerísicas p n (s) = E{exp(is k j=1 jx nj )} dessas variáveis aleaórias converge para p(s) = E{exp(is k j=1 jx j )} para cada real s. Tomando s = 1, obemos j=1 E{e i Xn } E{e i X }. Como foi arbirário, X n caracerísicas. D X segue do eorema de coninuidade para funções 12

24 1. Princípios de invariância 1.6 O espaço D Seja D = D[0, 1] o espaço das funções x em [0, 1] que são conínuas à direia e possuem limie à esquerda: (i) Para 0 < 1, x( + ) = lim s x(s) exise e x( + ) = x(). (ii) Para 0 < 1, x( ) = lim s x(s) exise. Dizemos que a função x possui uma desconinuidade do primeiro ipo em se x( ) e x( + ) exisem mas são diferenes e x() esá enre x( ) e x( + ). Toda desconinuidade de um elemeno de D são do primeiro ipo. É claro que C é um subconjuno de D. Definição 1.8. O módulo de coninuidade de um elemeno x de C é definido por w x (δ) = w(x, δ) = sup x(s) x(), 0 < δ 1. (1.7) s <δ Para x D e T 0 [0, 1], ponha w x (T 0 ) = sup{ x(s) x() : s, T 0 }. (1.8) Assim, o módulo de coninuidade de x, definido por (1.7), pode ser expresso como w x (δ) = sup w x [, + δ]. (1.9) Uma função coninua sobre [0, 1] é uniformemene conínua. O próximo lema nos dá a ideia correspondene de uniformidade para elemenos de D. Lema Para cada x em D e cada ε posiivo, exisem ponos 0, 1,..., r ais que 0 = 0 < 1 < < r = 1 (1.10) e w x [ i 1, i ) < ε, i = 1, 2,..., r. (1.11) Demonsração. Seja τ o supremo dos em [0, 1] para os quais [0, ) pode ser decomposo em finios subinervalos [ i 1, i ) saisfazendo (1.11). Como x(0) = x(0 + ), emos τ > 0; como x(τ ) exise, [0, τ) pode enão se decompor; τ < 1 não ocorre pois x(τ) = x(τ + ) nese caso. Iremos precisar de um módulo que desempenhe em D o mesmo papel que o módulo de coninuidade desempenha em C. Para 0 < δ < 1, ponha 13

25 1. Princípios de invariância w x(δ) = inf { i } max 0<i r w x[ i 1, i ), (1.12) onde o ínfimo se esende sobre os conjunos finios { i }, saisfazendo { 0 = 0 < 1 <... < r = 1 i i 1 > δ, i = 1, 2,..., r. (1.13) O lema 1.13 é equivalene a afirmação que para odo x em D. lim δ 0 w x(δ) = 0 (1.14) A opologia de Skorohod Duas funções x e y esão próximas, na opologia usada por C, se o gráfico de x() pode ser ransporado para o gráfico de y() por uma pequena perubação uniforme das ordenadas, com as abscissas manidas fixas. Em D, iremos permiir uma pequena deformação uniforme da escala do empo. Fisicamene, iso equivale a admiir que não conseguimos medir o empo com uma precisão maior do que podemos posicionar. A opologia a seguir, idealizada por Skorohod, incorpora esa ideia. Seja Λ a classe de aplicações esriamene crescene e conínuas de [0, 1] em [0, 1]. Se λ Λ, enão λ(0) = 0 e λ(1) = 1. Para x e y em D, defina d(x, y) como o ínfimo de odos os números posiivos ε para os quais exise um λ em Λ al que e sup λ ε (1.15) sup x() y(λ) ε. (1.16) Pode-se mosrar que d é de fao uma mérica, à sua opologia associada denominamos opologia de Skorohod. A disância uniforme enre x e y pode ser definida como o ínfimo dos números posiivos para os quais sup x() y() ε. O λ em (1.15) e (1.16) represena a pequena deformação uniforme da escala do empo mencionado acima. Iremos inroduzir em D uma oura mérica d 0 - uma mérica equivalene à d, mas sob a qual D é compleo. A compleude facilia a caracerização de compacidade. A ideia de definir d 0 é requerer que o empo de deformação λ, que inervém na definição de d, eseja próximo da função idenidade num cero senido que a princípio 14

26 1. Princípios de invariância parece mais rigoroso que (1.15); nominalmene, requeremos que a inclinação (λ λs)/ s de cada corda eseja pero de um ou, o que é a mesma coisa e analiicamene mais coveniene, que seu logarimo eseja pero de zero. Se λ é uma função não decrescene em [0, 1] com λ(0) = 0 e λ(1) = 1, defina λ = sup s log λ λs s (1.17) Se λ é finio, enão as inclinações das cordas de λ são limiadas longe de zero e no infinio, assim, λ é conínuo e esriamene crescene e, porano, é um elemeno de Λ. Embora λ possa ser infinio aé mesmo se λ perence a Λ, ais elemenos de Λ não enram na definição a seguir. Definimos d 0 (x, y) como o ínfimo de odos os números posiivos para os quais Λ coném algum λ com e λ ε (1.18) sup x() y(λ) ε (1.19) Lema Se d(x, y) < δ 2, onde 0 < δ < 1/4, enão d 0 (x, y) 4δ + w x(δ). Demonsração. Escolha ponos i saisfazendo (1.13) e w x [ i 1, i ) < w x(δ) + δ, i = 1, 2,..., r. (1.20) Agora escolha um µ de Λ al que e sup x() y(µ) = sup x(µ 1 ) y() < δ 2 (1.21) sup µ < δ 2. (1.22) Queremos definir um λ em Λ que ficará próximo de µ mas não erá, como µ pode er, cordas com inclinação muio longe de um. Tome λ coincidindo com µ nos ponos i e linear enre eles. Como a composição µ 1 λ deixa fixos os i e é crescene, e µ 1 λ sempre esão no mesmo subinervalo [ i 1, i ). Por (1.20)e (1.21), porano: x() y(λ) x() x(µ 1 λ) + x(µ 1 λ) y(λ) < w x(δ) + δ + δ 2 < 4δ + w x(δ). Agora é suficiene provar que λ 4δ. Como λ coincide com µ em i, segue de (1.22) 15

27 1. Princípios de invariância e da desigualdade i i 1 > δ que (λ i λ i 1 ) < 2δ 2 < 2δ( i i 1 ). Pela caracerísica poligonal de λ, segue que (λ λs) ( s) 2δ s é saisfeio para odo s e. Porano, log(1 2δ) log como δ < 1/4, segue que λ 4λ. ( ) λ λs (1 + 2δ); s Teorema As méricas d e d 0 são equivalenes Demonsração. Vamos denoar a bola abera de cenro x e raio ε com a mérica d e d 0 por S d (x, ε) e S d0 (x, ε), respecivamene. Se d 0 (x, y) < ε, (1.18) e (1.19) são saisfeias para algum λ Λ. Se ε < 1/4, enão, como λ(0) = 0, log(1 2ε) < ε log λ ε < log(1 + 2ε). Assim, emos λ 2ε. Porano, d(x, y) 2d 0 (x, y) se d 0 (x, y) < 1/4. Iso mosra que denro de uma bola arbirária S d (x, ε) podemos enconrar uma bola S d0 (x, δ). O lema 1.14 implica que, se δ < 1/4, 4δ + w x(δ) < ε, (1.23) enão S d (x, δ 2 ) S d0 (x, ε). Dados x e ε, podemos, por (1.14), enconrar um δ saisfazendo (1.23). Denro de uma bola na mérica d 0 podemos enconrar enão uma bola da mérica d com o mesmo cenro. Porano d e d 0 são méricas equivalenes. Teorema O espaço D é compleo na mérica d 0. Demonsração. É suficiene mosrar que cada sequência de Cauchy coném uma subsequência convergene. Se {x k } é uma sequência de Cauchy, ela coném uma subsequência {y n } = {x kn } al que d 0 (y n, y n+1 ) < 1/2 n. (1.24) Iremos provar que {y n } é convergene. Por (1.24), Λ coném µ n al que 16

28 1. Princípios de invariância e sup y n () y n+1 (µ n ) < 1/2 n (1.25) µ n < 1/2 n. (1.26) Iso implica, para m 1, sup µ n+m+1 µ n+m µ n+1 µ n µ n+m µ n+1 µ n = = sup µ n+m+1 s s 1/2 n+m. s (Aqui, µ n+m µ n+1 µ n denoa composições ieradas.) Para n fixado, as funções µ n+m µ n+1 µ n (1.27) são, porano, uniformemene de Cauchy quando m. uniformemene para um limie Assim, (1.27) converge λ n = lim m µ n+m µ n+1 µ n. (1.28) A função λ n deve ser conínua e não-decrescene e deve saisfazer λ n (0) = 0, λ n (1) = 1. Se provarmos que λ n é finio, segue que λ n é esriamene crescene e, porano, um elemeno de Λ. Observe que para λ 1, λ 2 Λ, emos λ 1 λ 2 λ 1 + λ 2, diso segue que log µ n+m µ n+1 µ µ n+m µ n+1 µ n s s µ n+m µ n+1 µ n µ n µ n+1 µ n+m 1/2 n 1. Fazendo m no primeiro membro desa desigualdade, obemos λ n 1/2 n 1, em paricular, λ n é finio e λ n Λ. Por (1.28), λ n = λ n+1 µ n. Porano, por (1.25), sup y n (λ 1 n ) y n+1 (λ 1 n+1) = sup y n (s) y n+1 (µ n s) < 1/2 n. Em consequência, as funções y n (λ 1 n ), que são elemenos de D, são uniformemene de Cauchy e, porano, converge uniformemene para uma função limie x(). É fácil mosrar que x deve ambém ser um elemeno de D. Como sup y n (λ 1 ) x() 0 s 17

29 1. Princípios de invariância e λ n 0, emos d 0 (y n, x) 0, que complea a prova. Caracerização de compacidade Considere o módulo w (δ) dado por w (δ) = sup min{ x() x( 1 ), x( 2 ) x() }, (1.29) onde o supremo se esende sobre os números 1, e 2, que saisfaz 1 2, 2 1 < δ. (1.30) Dado δ e ε, decomponha [0, 1) em subinervalos [s i 1, s i ) al que s i s i 1 > δ e w x [s i 1, s i ) < w x(δ)+ε. Se (1.30)é saisfeia, enão, 1 e 2 esão no mesmo subinervalo [s i 1, s i ), nese caso x() x( 1 ) < w x(δ) + ε e x( 2 ) x() < w x(δ) + ε, ou enão eles esão em inervalos adjacenes [s i 1, s i ) e [s i, s i+1 ), nese caso, x() x( 1 ) < w x(δ)+ε para 1 < s i e x( 2 ) x() < w x(δ) + ε para s i 2. Porano, w x(δ) w x(δ) (1.31) É possível formular uma condição de compacidade em ermos de w x(δ) e do comporameno de x pero de 0 e de 1. Teorema Um conjuno A possui o fecho compaco na opologia de Skorohod se, e somene se, e sup x A sup x() < (1.32) lim δ 0 sup x A w x(δ) = 0, lim δ 0 sup x A w x [0, δ) = 0, lim δ 0 sup x A w x [1 δ, 1) = 0 (1.33) Demonsração. Pelo eorema 1.16, é suficiene mosrar que (1.33) é equivalene a lim sup δ 0 x A w (δ) = 0 (1.34) Noe que (1.34) implica (1.33) por (1.31) e da definição de w (δ). Iremos provar a recíproca. Dado um ε posiivo, escolha um δ posiivo al que, para odo x A, 18

30 1. Princípios de invariância Assuma que x A, iremos mosrar que w x(δ) < ε, w x [0, δ) < ε e w x [1 δ, 1) < ε. (1.35) w 6ε, (1.36) ( 1 δ) 2 que é suficiene para provar o eorema. Vamos provar primeiro que 1 s 2, 2 1 δ (1.37) implica min{ x(s) x( 1 ), x( 2 ) x() } < 2ε. (1.38) De fao, se x(s) x( 1 ) > ε, enão, por (1.35), x() x(s) < ε e x( 2 ) x(s) < ε, assim, x( 2 ) x() < 2ε. Suponha que x possui um salo excedendo 2ε nos ponos τ 1 e τ 2. Se 0 < τ 2 τ 1 < δ, enão exise ponos 1, s,, 2 saisfazendo (1.37), 1 < τ 1 = s, e < τ 2 = 2, se 1 esá próximo suficiene de τ 1, e se esá próximo suficiene de τ 2, enão (1.38) não é saisfeio, porano [0, 1] não pode coner dois ponos cuja disância seja menor que δ em cada x que possui salo maior que 2ε. Por (1.35), nem [0, δ) ou [1 δ, 1) podem coner um pono no qual x possui um salo maior que 2ε. Desa forma, exisem ponos s i, com 0 = s 0 < s 1 < < s r = 1, ais que s i s i 1 δ e al que qualquer pono no qual x sala mais que 2ε é um dos s i. Se s j s j 1 > δ para um par de ponos adjacenes, aumene o sisema {s i } incluindo seus ponos médios. Coninuando desa forma, chegamos a um novo sisema aumenado s 0,..., s r (com um novo r) que saisfaz 1 2 δ < s i s i 1 δ, i = 1, 2,..., r. Agora, (1.36) será válido se mosrarmos que w x [s i 1, s i ) 6ε (1.39) para cada i. Suponha s i 1 1 < 2 < s i. Enão 2 1 < δ. Seja σ 1 o supremo dos σ [ 1, 2 ] para os quais sup 1 u σ x(u) x( 1 ) ε; seja σ 2 o ínfimo dos σ [ 1, 2 ] para os quais sup σ u 2 x( 2 ) x(u) 2ε. Se σ 1 < σ 2, exisem ponos s à direia de σ 1 com x(s) x( 1 ) > 2ε e exisem ponos à esquerda de σ 2 com x( 2 ) x() > 2ε, como podemos afirmar que s <, iso conradiz o fao que (1.37) implica (1.38). Assim, 19

31 1. Princípios de invariância σ 2 σ 1 e segue que x(σ 1 ) x( 1 ) 2ε e x( 2 ) x(σ 1 ) 2ε. Como 1 < σ 1 2, σ 1 (s i 1, s i ), logo o salo em σ 1 é pelo menos de 2ε. Desa forma x( 2 ) x( 1 ) 6ε. Iso esabelece (1.39), que prova (1.36) e o eorema. Conjunos finio-dimensionais Conjunos finio-dimensionais exercem em D o mesmo papel que exercem em C. Para ponos 1,..., k [0, 1], defina a projeção naural π 1 k usual: de D para R k como a π 1... k (x) = (x( 1 ),..., x( k )). (1.40) Observe que π 0 e π 1 são conínuas em odo pono. Suponha 0 < < 1. Se x n converge para x na opologia de Skorohod e x é conínuo em, enão x n () x(). Suponha por ouro lado que x é desconínuo em. Se λ n Λ é al que é linear em [0, ] e em [, 1] e saisfaz λ n = 1/n, e se pusermos x n (s) = x(λ n s), enão x n converge para x na opologia de Skorohod, mas x n () não converge para x(). Porano, se 0 < < 1, enão π é conínuo em x se, e somene se, x é conínuo em. Vamos provar que π 1 k é mensurável com respeio a σ-álgebra D dos conjunos borelianos na opologia de Skorohod. Precisamos considerar apenas um único pono (já que uma função cujo conradomínio é R k é mensurável se cada componene for mensurável), e iremos assumir que < 1 (pois π 1 é conínua). Se x n converge para x na opologia de Skorohod, enão x n (s) x(s) para os ponos de coninuidade s de x e, porano, para ponos s fora de um conjuno de medida de Lebesgue nula. Como x n é uniformemene limiada, 1 ε +ε x n (s)ds 1 ε +ε x(s)ds (n ) (1.41) para cada ε posiivo. Assim, h ε (x) = ε 1 +ε x(s)ds é conínuo na opologia de Skorohod. Por coninuidade à direia, h ε (x) π (x) para cada x quando ε 0. Porano, π (x) é mensurável. Assim, podemos, como em C, definir os conjunos finiodimensionais como conjunos da forma π 1 1 k H com k 1 e H R k. Se T 0 é um subconjuno de [0, 1], seja F T0 a classe dos conjunos π 1 1 k H, onde k é arbirário, os i são ponos arbirários de T 0 e H R k. Enão, F T0 é uma álgebra. Nese caso, F [0,1] é a classe dos conjunos finio-dimensionais. Teorema Se T 0 coném 1 e é denso em [0, 1], enão F T0 gera D. Demonsração. Como D é separável, é suficiene mosrar que cada bola abera B d0 (x, r) perence à σ-álgebra gerada por F T0. Fixe o cenro x e o raio r. Escolha em T 0 uma 20

32 1. Princípios de invariância sequência 1, 2,... que seja densa em [0, 1] com 1 = 1. Para 0 < ε < r e k 1, seja A k (ε) o conjuno dos y para os quais exise um λ Λ saisfazendo λ < r ε e max y( i) x(λ i ) < r ε. 1 i k É suficiene provar que S d0 (x, r) = ε A k (ε), (1.42) onde a união é omada sobre os ε racionais em (0, r) e provar que cada A k (ε) perence à F T0. Iremos provar a segunda afirmação primeiro. Para ε e k fixos, seja H 1 o conjuno dos ponos (x(λ 1 ),..., x(λ k )) R k, onde λ varia sobre essas funções em Λ saisfazendo λ < r ε. Seja H 2 o conjuno dos ponos (α 1,..., α k ) R k al que α i β i < r ε, i = 1,..., k, para algum (β 1,..., β k ) H 1. Enão H 2 é abero, e porano, perence a R k, e A k (ε) = π 1 1 k H 2. Logo A k (ε) F T0. É fácil ver que o lado esquerdo de (1.42) esá conido no lado direio. Compleamos a prova se mosrarmos que k=1 A k (ε) S d0 (x, r). (1.43) k=1 Se y perence à inerseção acima, escolha, para cada k, um λ k em Λ com e λ k < r ε (1.44) max y( i) x(λ k i ) < r ε. (1.45) 1 i k Pelo eorema de seleção de Helly A.5, exise uma subsequência {λ k } e uma função não-decrescene λ al que lim k λ k = λ (1.46) é saisfeio para os ponos de coninuidade de λ. Iremos mosrar que λ Λ, que λ r ε, e que sup y() x(λ) r ε. Iso implica que d 0 (x, y) < r e prova (1.43). Se s e são ponos de coninuidade disinos de λ, enão, por (1.44), 21

33 1. Princípios de invariância λ λs log s = lim log λ k λ k s k s r ε. (1.47) Esa relação mosra que é impossível ocorrer um salo em λ (em paricular, (1.46) vale para odo ) e iso implica que λ é esriamene crescene, logo λ Λ. A desigualdade (1.47) ambém implica que λ r ε. Por (1.45), y( 1 ) x( 1 ) < r ε. Se i > 1, enão, por (1.45), y( i ) x(λ k i ) < r ε para k i. Como λ k λ, emos que y( i ) x(λ i ) r ε ou y( i ) x((λ i ) ) r ε e, como { i } é denso, emos sup y() x(λ) r ε. Iso prova o eorema Convergência fraca e ighness em D Uma écnica muio úil em C para provar convergência fraca consise em provar convergência fraca das disribuições finio-dimensionais juno com o fao da sequência em quesão ser igh. Queremos adapar iso para D. Como D é separável e compleo sob a mérica d 0, uma família de medidas de probabilidade em (D, D) é relaivamene compaca se, e somene se, ela é igh, assim, não há dificuldade nese quesio. Por ouro lado, o fao que as projeções naurais não são conínuas raz uma cera dificuldade. Disribuições finio-dimensionais Para uma medida de probabilidade P em (D, D), seja T P o conjuno dos [0, 1] para os quais a projeção π é conínua exceo nos ponos que formam um conjuno de medida P nula. Os ponos 0 e 1 sempre esão em T P. Se 0 < < 1, enão T P se, e somene se, P (J ) = 0, onde J = {x : x() x( )} (1.48) é o conjuno dos x que são desconínuos em, para 0 < < 1, π é conínua em x se, e somene se, x é conínua em. Um elemeno de D possui no máximo uma quanidade enumerável de salos. Vamos provar o fao correspondene que P (J ) > 0 é possível para no máximo uma quanidade enumerável de ponos. Seja J (ε) o conjuno dos x que possuem em um salo x() x( ) excedendo ε. Para ε e δ fixos, pode haver no máximo um número finio de ponos para os quais P (J (ε)) δ, se esa desigualdade fosse válida para uma sequência de ponos disinos 1, 2,..., enão o conjuno lim sup n J n (ε) eria medida no mínimo δ e, porano, seria não-vazio, conradizendo o fao que para cada x o salo pode exceder ε apenas numa quanidade finia de ponos. Para um ε posiivo fixado, porano, P (J (ε)) pode exceder zero para no máximo uma quanidade enumerável de 22

34 1. Princípios de invariância ponos. Como P (J (ε)) P (J ), quando ε 0, segue o resulado. Desa forma, T P coném 0 e 1 e seu complemeno em [0, 1] é no máximo uma quanidade enumerável. Se 1,..., k esão em T P, enão π 1 k é coninua exceo num conjuno de medida P nula. Lema Seja h uma função mensurável e D h o conjuno dos ponos de desconinuidade de h. Se P n P e P (D h ) = 0, enão P n h 1 P h 1 Demonsração. Iremos mosrar que se F é uma fechado, enão, Como P n P, emos lim sup P n h 1 (F ) P h 1 (F ). n lim sup n P n (h 1 F ) lim sup P n ((h 1 F ) ) P ((h 1 F ) ). n Assim, é suficiene provar que P ((h 1 F ) ) = P (h 1 F ), que segue da hipóese P (D h ) = 0 e do fao que (h 1 F ) D h (h 1 F ). Suponha P n P, (1.49) onde P n e P são medidas de probabilidade em (D, D), pelo lema 1.19, P n π 1 1 k P π 1 1 k (1.50) vale se odos os i esão em T P. Em geral, (1.50) não segue de (1.49) se algum i esá fora de T P : Se P é uma unidade de massa na função I[0, 1/2) e P n uma unidade de massa em I[0, 1/2 + n 1 ), enão P n P vale enquano P n π 1 P π 1 1/2 não vale. Teorema Se {P n } é igh e se P n π 1 1 k enão P n P. P π 1 1 k para odos 1,..., k em T P, Demonsração. Por ighness, cada subsequência {P n } coném uma subsequência {P n } convergindo fracamene para algum limie Q. É suficiene mosrar que Q sempre coincide com P. Se 1,..., k perencem à T P T Q, emos P n π 1 1 k P π 1 1 k por hipóese e P n π 1 1 k Qπ 1 1 k, 1,..., k T P T Q. (1.51) Como T P e T Q coném [0, 1] exceo uma quanidade enumerável, o mesmo é válido para T P T Q ; em paricular, esa inerseção é densa. Como T P T Q coném 1, segue do 23

35 1. Princípios de invariância eorema 1.18 que D é gerado por conjunos finio-dimensionais com base nos ponos de T P T Q. Porano, P = Q segue de (1.51), e a prova esá complea. Teorema Uma sequência {P n } é igh se, e somene se, as seguines condições são saisfeias: (i) Para cada η posiivo, exise um a al que P n {x : sup x() > a} η, n 1. (ii) Para cada η e ε posiivos, exisem um δ, 0 < δ < 1, e um ineiro n 0 al que P n {x : w x(δ) ε} η, n n 0, (1.52) P n {x : w x [0, δ) ε} η, n n 0, (1.53) P n {x : w x [1 δ, 1) ε} η, n n 0. (1.54) Demonsração. Ver [2] p Teorema Suponha que P n π 1 1 k P π 1 1 k (1.55) para odos 1,, k em T P. Suponha ainda que P (J 1 ) = 0 e que, para cada ε e η posiivos, exise um δ, 0 < δ < 1, e um ineiro n 0 al que P n {x : w x(δ) ε} η, n n 0. (1.56) Enão P n P. Demonsração. Pelo eorema 1.20, é suficiene mosrar que {P n } é igh. Iremos primeiro verificar a condição (i) do eorema anerior. Dado um η posiivo, escolha δ e n 0 saisfazendo (1.56) com ε = 1, digamos. Por ser denso, T P coném ponos 1,..., k com 0 = 1 < < k = 1, al que i i 1 < δ. De (1.55) segue que {P n π 1 1 k } é uma sequência igh em R k e, porano, que P n {x : max 1 i k x( i) > a 0 } η, n 1, (1.57) para uma escolha apropriada de a 0. Se x( i ) a 0 i = 1,..., k, e se w x(δ) < 1, enão x() < a 0 + 1, para odo. Se a = a 0 + 1, enão por (1.57) e (1.56) (com ε = 1) 24

36 1. Princípios de invariância emos P n {x : sup x() > a} 2η para n n 0. Para uma quanidade finia de n precedendo n 0, emos cereza que esa desigualdade é válida aumenando-se a. Cada P n sendo igh. Iso esabelece a condição (i). Como para a condição (ii) do eorema anerior, devemos enconrar, dados ε e η, um δ e n 0 saisfazendo (1.53) e (1.54). Como cada x em D e conínuo à direia, emos P {x : x(δ) x(0) ε} < η (1.58) para odo δ suficienemene pequeno. Escolha em T P um δ pequeno o suficiene que saisfaça (1.58) e ambém saisfaça (1.56) para um n 0 apropriado. Como 0 e δ esão em T P, emos P n π 1 0,δ P π 1 0,δ como um caso especial de (1.55), e segue de (1.58) que P n {x : x(δ) x(0) ε} < η (1.59) para odo n suficienemene grande. Se w x(δ) < ε e x(δ) x(0) < ε, enão x(s) x(0) < 2ε, para odo s em [0, δ], e assim w x [0, δ] < 4ε. Desa forma, (1.56) e (1.59) implica P {x : w x [0, δ) 4ε} 2η. Iso mosra que (1.53) é saisfeio. Com uma mudança, o argumeno simérico funciona para (1.54). No lugar de (1.58), precisamos de P {x : x(1) x(1 δ) ε} < η, (1.60) para δ pequeno. Como um elemeno de D não precisa ser conínuo à esquerda, (1.60) não é válido em geral, já que assumimos P (J 1 ) = 0, x é conínuo à esquerda em = 1 exceo para x num conjuno de medida P nula, e (1.60) vale para odo δ suficienemene pequeno. Iso complea a prova do eorema. Elemenos aleaórios de D Iremos chamar um elemeno aleaório de D de função aleaória. Se X é uma função de (Ω, B, P) em D, enão, para cada ω, X(ω) é um elemeno de D cujo valor em denoaremos por X(, ω). Para cada, X() denoa a função real π X sobre Ω seu valor em ω é X(, ω). Assim como no espaço C, X é um elemeno aleaório de D (X 1 D B) se, e somene se, para cada, X() é uma variável aleaória (use o eorema 1.18). Uma sequência X n de elemenos aleaórios de D é por definição igh quando a sequência de suas disribuições correspondenes é igh. 25

37 1. Princípios de invariância Um criério para convergência Sejam X n e X elemenos aleaórios de D. Escreva T X para T P, onde P é a disribuição de X. Enão T X coném 0 e 1, e, se 0 < < 1, T X se, e somene se, P{X() X( )} = 0. Iremos escrever w (X, δ) no lugar de w X (δ). Lema Se γ 0 e α > 1/2, e se ( ) P{ S j S i λ, S k S j λ} 1 2α u λ 2γ l, 0 i l k m, (1.61) i<l k é saisfeio para odo λ posiivo, enão, para odo λ posiivo, P{M m λ} K γ,α λ 2 γ (u u m ) 2α, (1.62) onde K γ,α é uma consane que depende somene de γ e α. Demonsração. Ver [2] p. 98. Teorema Suponha que (X n ( 1 ),..., X n ( k )) D (X( 1 ),..., X( k )) (1.63) para odos 1,..., k em T X, que P{X(1) X(1 )} = 0, e que P{ X n () X n ( 1 ) λ, X n ( 2 ) X n () λ} 1 λ 2γ [F ( 2) F ( 1 )] 2α (1.64) para 1 2 e n 1, onde γ 0, α > 1/2, e F é uma função não decrescene e conínua em [0, 1]. Enão X D n X. Demonsração. Pelo eorema 1.22, é suficiene mosrar que para cada ε e η posiivos exise um δ posiivo al que P{w (X n, δ) ε} η (1.65) vale para odo n. Fixados τ, δ e n, e para m ineiro posiivo, considere as variáveis aleaórias Seja ( ξ i = X n τ + 1 ) ( m δ X n τ + i 1 ) m δ, i = 1, 2,..., m. (1.66) { M m = max min X n (τ + jm ) ( δ X n τ + i ) m δ, X n 26 (τ + km δ ) X n (τ + jm δ ) },

38 1. Princípios de invariância onde o máximo se esende sobre 0 i j k m. Por (1.64) e pelo lema 1.23, P{M m ε} K ε 2γ [F (τ + δ) F (τ)]2α, (1.67) onde K = K γ,α depende apenas de γ e α. Ponha w (X n, [τ, τ + δ]) = sup min{ X n () X n ( 1 ), X n ( 2 ) X n () }, (1.68) onde o supremo se esende sobre 1,, 2, saisfazendo τ 1 2 τ + δ. Como X n é uma função conínua à direia sobre [0, 1], fazendo m em (1.67), obemos P{w (X n, [τ, τ + δ]) > ε} K ε 2γ [F (τ + δ) F (τ)]2α. (1.69) Suponha agora que δ = 1/(2u) é o inverso de um ineiro posiivo, e suponha que w (X n, [2iδ, (2i + 2)δ]) ε, 0 i u 1, (1.70) e w (X n, [(2 i + 1)δ, (2 i + 3)δ]) ε, 0 i u 2. (1.71) Se 1 2 e 2 1 δ, enão 1 e 2 esão em algum dos 2 u 1 inervalos envolvidos em (1.70) e (1.71), assim, min{ X n () X n ( 1 ), X n ( 2 ) X n () } ε. Porano, (1.70) e (1.71) implica w (X n, δ) ε. Segue, agora, por (1.69) que ( P{w (X n, δ) ε} K ) +, (1.72) ε 2γ onde e são somas da forma r [F ( k ) F ( k 1 )] 2α k=1 com 0 1 r 1 e k k 1 2δ. Assim, P{w (X n, δ) ε} 2K ε 2γ [F (1) F (0)][w F (2δ)] 2α 1. (1.73) Como 2α > 1 e F é conínuo, o lado direio da desigualdade acima vai para 0 com δ e iso prova (1.65). 27

39 1. Princípios de invariância Exisência do movimeno browniano A medida de Wiener, denoada por W, é a principal medida de probabilidade sobre (C, C). Ela é caracerizada pelas seguines propriedades: (i) W {x : x(0) = 0} = 1 (ii) W π 1 segue disribuição N (0, ) (iii) O processo esocásico {x : 0 1} possui incremenos independene sob W, iso é, para odos 0 1 < 2 < < k 1, as variáveis aleaórias 2 1, 3 2,..., k k 1 são independenes. Lema Se γ 0 e α > 1, e se ( ) P{ S j S i λ} 1 α u λ γ l, 0 i j m. i<l j para odo λ posiivo, enão, para odo λ posiivo, onde K γ,α depende apenas de γ e α. Demonsração. ver [2] p. 94. P{M m λ} K γ,α λ γ (u u m ) α, (1.74) Se X n são elemenos aleaórios de S, dizemos que {X n } é igh quando {P n } é igh, onde P n é a disribuição de X n. O lema 1.25 nos direciona a uma condição de ighness para uma sequência {X n } de elemenos de C. Teorema A sequência {X n } é igh se ela saisfaz as seguines condições: (i) A sequência {X n (0)} é igh. (ii) Exisem consanes γ 0 e α > 1 e uma função F sobre [0, 1] não decrescene e conínua al que P{ X n ( 2 ) X n ( 1 ) λ} 1 λ γ F ( 2) F ( 1 ) α (1.75) para odos 1, 2, n e odo λ posiivo. 28

40 1. Princípios de invariância A condição E{ X n ( 2 ) X n ( 1 ) γ } F ( 2 ) F ( 1 ) α (1.76) implica (1.75). Demonsração. Pelo eorema 1.21 é suficiene obermos, dados ε e η, um δ(0 < δ < 1) para os quais, P{w(X n, δ) 3ε} η (1.77) para odo n, e, pelo corolário do eorema (8.3), iso será válido se δ 1 é um ineiro e j<δ 1 P { sup X n (s) X n (jδ) ε jδ s (j+1)δ } η. (1.78) Fixe n, δ e j por um momeno e, para um ineiro posiivo m, considere as variáveis aleaórias ( ξ i = X n jδ + i ) ( m δ X n jδ + i 1 ) m δ, i = 1, 2,..., m. (1.79) Por (1.75), esas variáveis aleaórias saisfazem (12.43) (ver iso) com u i = F (jδ + iδm 1 ) F (jδ + (i 1)δm 1 ). Pelo eorema 1.25, porano, { P max X n (jδ + im ) } δ X n (jδ) ε K 0 i m ε [F ((j + 1)δ) F γ (jδ)]α, (1.80) onde K = K γ,α. Como X n perence à C, fazendo m, obemos P Porano, P { { sup X n (s) X n (jδ) ε jδ s (j+1)δ sup X n (s) X n (jδ) ε jδ s (j+1)δ } } K ε γ [F ((j + 1)δ) F (jδ)]α. (1.81) K [F (1) F (0)][max F (j + 1)δ F (jδ) ]α 1 εγ j<δ 1 (1.82) se δ 1 é ineiro. Como F é conínuo e α > 1, podemos fazer esa úlima quanidade ficar pequena omando δ como sendo o inverso de um número ineiro grande, e iso complea a prova. Teorema Exise em C um elemeno aleaório com disribuição finio-dimensional µ 1 k, desde que ais disribuições sejam consisenes e desde que exisam consanes 29