Universidade Federal de Santa Catarina

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1 Universidade Federal de Sana Caarina Curso de Pós-Graduação em Maemáica e Compuação Cieníca Propriedades Assinóicas do Sisema Termoelásico com Dissipação Não Linear Localizada Darlyn Waler Huamán Vargas Orienador: Prof. Dr. Ruy Coimbra Charão Florianópolis Fevereiro de

2 Universidade Federal de Sana Caarina Curso de Pós-Graduação em Maemáica e Compuação Cieníca Propriedades Assinóicas do Sisema Termoelásico com Dissipação Não Linear Localizada Disseração apresenada ao Curso de Pós- Graduação em Maemáica e Compuação Ciení- ca, do Cenro de Ciências Físicas e Maemáicas da Universidade Federal de Sana Caarina, para a obenção do grau de Mesre em Maemáica, com Área de Concenração em Equações Diferenciais Parciais. Darlyn Waler Huamán Vargas Florianópolis Fevereiro de 2011

3 Propriedades Assinóicas do Sisema Termoelásico com Dissipação Não Linear Localizada por Darlyn Waler Huamán Vargas 1 Esa Disseração foi julgada para a obenção do Tíulo de Mesre, Área de Concenração em Equações Diferenciais Parciais, e aprovada em sua forma nal pelo Curso de Pós-Graduação em Maemáica e Compuação Cieníca. Comissão Examinadora: Prof. Dr. Ruy Exel Filho - Coordenador Prof. Dr. Ruy Coimbra Charão (Orienador-UFSC) Prof. Dr. Cleverson Robero da Luz (Co-orienador-UFSC) Prof. Dr. Gusavo Perla Menzala (LNCC-CNPq e UFRJ) Prof. Dr. Luciano Bedin (UFSC) Florianópolis, Fevereiro de Bolsisa da CAPES ii

4 E não sede conformados com ese mundo, mas sede ransformados pela renovação do vosso enendimeno, para que experimeneis qual seja a boa, agradável, e perfeia vonade de Deus(Rm 12-2). iii

5 Agradecimenos Agradeço ao Senhor Jesus, pois 'O SENHOR é a minha força e o meu escudo; nele conou o meu coração, e fui socorrido; assim o meu coração sala de prazer, e com o meu cano o louvarei'. Agradeço aos meus pais Carlos Waler Huamán Arana e María Esher Vargas Vásquez por oda assisência e apoio que me deram durane a graduação e o mesrado. De forma jusa e com o muio prazer, divido com eles o íulo que esa monograa me confere. Agradeço ao meu professor, orienador e amigo Ruy Coimbra Charão, que, em odo o empo, demonsrou acrediar em minha capacidade. Enormes e boas são suas inuências em minha formação acadêmica e pessoal. Também agradeço a odos os professores da Pós-Graduação pela conribuição na minha formação e, em especial, ao Professor Fermin S. V. Bazán por seu apoio e amizade. Agradeço a odos os amigos e colegas que z enquano esudei na UFSC. Eles são fundamenais em minha vida. Por m, agradeço ao CAPES por eses dois anos de apoio nanceiro. iv

6 Resumo Nese rabalho esudamos a exisência e unicidade de soluções globais fores para o sisema ermoelásico em um domínio limiado,conexo, de classe C 2 em R n, sob efeios de uma dissipação mecânica não linear e localizada em uma vizinhança de pare da froneira do domínio. São obidas axas algébricas explícias de decaimeno da energia associada à solução de al sisema. Quando a dissipação mecânica em um comporameno `quase linear', o decaimeno é exponencial. A exisência e unicidade de soluções são obidas aravés do méodo de Faedo-Galerkin. Para as esimaivas da energia, usamos o Méodo de Nakao, ceras idenidades da energia e muliplicadores localizados. v

7 Absrac We sudy he exisence and uniqueness of global srong soluions of a hermo-elasic sysem in a bounded, conneced domain R n of class C 2, under he presence of nonlinear mechanism of dissipaion localized in a neighborhood of par of he boundary. We obain explici algebraic decay raes of he oal energy associaed wih he soluion of he sysem. When he dissipaion has a `almos linear' behavior, he decay rae is exponenial. The exisence and uniqueness of soluions are obained hrough he mehod of Faedo-Galerkin. For he energy esimaes, we use a Nakao's Mehod, some energy ideniies and some localized mulipliers. vi

8 Sumário Noações 1 Inrodução 4 1 Preliminares Denições e Resulados Conhecidos Espaço de Hilber Topologias Fraca e Fraca Noção de convergência em C 0 () Disribuições Noção de convergência em D () Espaços L p () Espaços de Sobolev Norma em W m,p () O Espaço W m,p 0 () O espaço W m,q () Os espaços H s (R n ), s R Os espaços H s (), s R Os espaços H s (Γ), s R Teorema da Divergência e fórmulas de Green.. 37 vii

9 Espaços L p (I, X) e Disribuições Veoriais Exisência e unicidade de uma equação ordinária auônoma Exisência e Unicidade Hipóeses adicionais Teorema de exisência e unicidade Prova de exisência e unicidade Unicidade Exisência Comporameno Assinóico Inrodução Hipóeses adicionais Muliplicador auxiliar Lemas auxiliares Referências 123 viii

10 Noações Usamos as seguines noações nese rabalho: N : conjuno dos números naurais e posiivos; R : conjuno dos números reais; X e H : espaços de Banach e Hilber respeivamene. X n para n N : espaço de Banach real X X, equipado }{{} n vezes com as operações usuais e com a norma dada por u X n = ( n u i 2 X i=1 ) 1 2 se u = (u 1,, u n ) X n, [v 1, v 2,, v n ] : espaço veorial gerado pelo conjuno {v 1, v 2,, v n }; : abero do R n ; Γ : froneira de ; η(x) : normal uniária exerior à x Γ, se al veor exisir; I : inervalo do R; B(x, ε) : bola abera cenrada em x e com raio ε; B[x, ε] : bola fechada cenrada em x e com raio ε; C () : espaço das funções reais, denidas em e inniamene diferenciáveis; 1

11 D() : espaço das funções reais, denidas em, com supore compaco e inniamene diferenciáveis; D() : conjuno das funções D(R n ) resrias à ; D(Γ) : conjuno das funções D() resrias à Γ; S(R n ) : espaço das funções C (R n ) e que são rapidamene decrescenes no innio; D () : espaço veorial das disribuições sobre D(); S (R n )( : espaço veorial das disribuições emperadas; u u =, u ) u,, : gradiene, no senido disribuicional, x 1 x 2 x n para u D (); n u i div u = : divergene, no senido disribuicional, para x i i=1 u = (u 1, u 2,, u n ) D () n ; n 2 u u = x 2 : Laplaciano, no senido disribuicional, para i=1 i u D (); u = ( u 1, u 2,, u n ) : disribuicional, u = (u 1, u 2,, u n ) D () n ; M n m (R) para n, m N : Laplaciano veorial, no senido espaço das marizes de dimensão n m, com enradas reais e o produo inerno dado por n m A.B = a ij b ij se A = (a ij ), B = (b ij ) M n m (R); i=1 j=1 n n n x : A = x j a 1j, x j a 2j,, x j a nj j=1 j=1 j=1 para x = (x 1, x 2,, x n ) R n e A = (a ij ) n i,j=1 M n n(r); X Y : exise uma aplicação linear, conínua e injeora de X em Y ; ω : ω e ω é compaco; 2

12 W m,p 0 () : fecho de D() em W m,p (); H m () : noação alernaiva para W m,2 (); H m 0 () : noação alernaiva para W m,2 0 (); H m loc () : espaço das classes das funções u reais, mensuráveis, denidas em e ais que u H m (ω), w e w abero; H m () : F : S (R n ) S (R n ) : H s (R n ) para s R : dual opológico de H m 0 (); ransformada de Fourier; espaço das disribuições emperadas ais que J s F(u) L 2 (R n ), para J s (x) = (1 + x 2 ) s 2, com a norma dada por u Hs (R n ) = J s F(u) L2 (R n ); L 2 (Γ) : espaço das classes das funções u reais, mensuráveis, denidas em Γ e ais que u L 2 (Γ) <, para u L2 (Γ) = ( Γ ) 1 u(x) 2 2 dγ ; C e C n para n N : consanes reais e posiivas. 3

13 Inrodução Nese rabalho consideramos um sisema de evolução de equações diferenciais parciais com valores iniciais e de froneira, cujo modelo esá associado ao movimeno de um sólido elásico, isorópico, homogêneo, limiado e com froneira suave sob a ação de efeios érmicos. A seguine semilinearização do modelo é considerada (veja [36], pg. 47): u L(u) + θ + ρ(x, u ) = 0 em (0, ), (1) θ + θ + div u = 0 em (0, ), (2) u(0, x) = u 0 (x), u (0, x) = u 1 (x), θ(0, x) = θ 0 (x) em, (3) u = 0, θ = 0 em (0, ) Γ, (4) L(u) = a 2 u + (b 2 a 2 ) div u. onde u = u(x, ) = (u 1 (x, ),, u n (x, )) é o veor deslocameno e θ = θ(x, ) é o valor real de diferença de emperaura denidos em (0, ), com domínio limiado em R n, n 2; o laplaciano de u é dado por 4

14 u = ( u 1 (x, ),, u n (x, )), divu é o divergene de u e θ é o gradiene, θ. A função veorial ρ é uma ermo dissipaivo, localizado numa vizinhança de pare da froneira de. Os coecienes a e b esão relacionados com os coecienes de Lamé na Teoria de elasicidade e b 2 > a 2 > 0. Ese rabalho esá organizado da seguine forma: no capíulo 1 ciamos resulados auxiliares imporanes, denimos os espaços funcionais e demonsramos algumas propriedades relevanes deses espaços. capíulo 2 provamos a exisência e unicidade de soluções globais fores para o sisema de evolução apresenado. O capíulo 3 é dedicado ao esudo das axas de decaimeno para as soluções obidas no capíulo anerior. A prova de exisência e unicidade, diferene do rabalho [25] que uiliza eoria de semigrupos, é feia via o méodo de Faedo-Galerkin como em [33]. Incluimos ambém a prova da exisência dos espaços de aproximação de Galerkin para os espaços de soluções. Para as axas de decaimeno, seguimos as ideias dadas em [7]. A energia associada ao sisema ermoelásico (1-2), a qual é a soma das energias elásica (que envolve a variavel deslocameno u) e érmica (que envolve a variavel de emperaura θ), é dada pela seguine fórmula: E() = 1 2 { u () 2 + a 2 u() 2 + (b 2 a 2 ) div u() 2 + θ() 2 } dx, que é uma função decrescene no empo, mais precisamene, de() d = θ(x, ) 2 dx ρ(x, u ) u dx 0, 0. No sisema ermoelásico esudado em [30], o sisema de Lamé esá acoplado com uma equação escalar do calor sem o ermo dissipaivo No 5

15 ρ(x, ). Assim, a dissipação é dada somene pelo gradiene da emperaura (ρ 0). Desde que, nesse caso; em geral, não exise decaimeno uniforme da energia associada ao acoplameno ermoelásico [30], é naural indagar que ipo de dissipação deve ser incluída no modelo ermoélasico para produzir boas axas de decaimeno da energia associada. Nese rabalho, seguindo [3] e [7], inserimos uma dissipação exra dada por ρ para obermos ais axas. Vamos mosrar a esabilização uniforme da energia oal para o sisema (1) - (4) com axas algébricas, onde o ermo dissipaivo ρ (x, u ) é foremene não linear e aplicado somene numa vizinhança sobre pare da froneira. Nossos resulados generalizam ouros obidos aneriormene para o sisema linear ermoelásico. Quando o ermo não linear dissipaivo ρ (x, s) compora-se linearmene para pequenos valores de s e em dimensão dois, obemos uma axa de decaimeno exponencial para a energia oal do sisema. Se n 3 e ρ (x, s) compora-se linearmene para odo s, enão a axa de decaimeno ambém é exponencial. Para demonsrar eses resulados usamos idéias de [34], [29] e [43] e obemos algumas idenidades de energia associadas com muliplicadores localizados a m de consruir desigualdades de diferenças especiais para a energia associada. As principais esimaivas nese rabalho são obidas aravés do Teorema de o Lema de Nakao. Quano ao rabalho sobre esabilização do sisema ermoelásico Dafermos [10] invesigou a exisência, unicidade, regularidade e esabilidade (sem axas) da solução para o sisema linear em dimensão um. Racke [51] considerou as equações de ermoelasicas não linear para o caso ridimensional como um problema de Cauchy e provou a exisência global de soluções sucienemene suaves para dados iniciais sucienemene pequenos e suaves. Foi necessário assumir que ceros ermos não lineares são quasilineares e sem linearidade cúbica. 6

16 Pereira-Perla Menzala [48] provaram que a energia oal do sisema ermoelásico linear num meio isorópico, não homogêneo (limiado, n-dimensional), com um ermo dissipaivo linear aplicado em odo o domínio, decai para zero em uma axa exponencial. Rivera [60] poseriormene provou que a energia do sisema ermoelásico em dimen cão um decai para zero com axas exponenciais. Além disso, Henry-Lopes- Perisinoo [21] mosraram usando análise especral, que as rês pares da energia do sisema decaem exponencialmene para zero no caso unidimensional, mas al decaimeno não ocorre em dimensões maiores. Racke ([52]) uilizou o méodo da energia para provar o decaimeno exponencial para zero do deslocameno e a emperaura para equações ridimensionais de ermoelasicidade linear em domínios limiados para meios heerogêneos e anisorópicos, assumindo uma força de amorecimeno linear. Racke-Shibaa-Zheng [53] consideraram sisemas ermoelásicos não lineares para o caso de dimensão como um problema de valor inicial e de froneira com condições de ipo Dirichle, para provar que se os dados iniciais são fechado para o equilíbrio, enão o problema admie uma única solução global suave. Eles provaram que quando o empo ende ao innio, a solução é exponencialmene esável. Eles ambém usaram écnicas baseadas no rabalho de Rivera [60] para melhorar os resulados aneriores de Racke-Shibaa [54], que foram baseados em análise especral, para ober axas de decaimeno de soluções de equações não lineares de ermoelasicidade em dimensão um. Rivera-Barreo [58] melhoraram o resulado de exisência e unicidade global no empo com decaimeno exponencial da energia obida por Racke-Shibaa-Zheng [53], assumindo hipóeses suavemene mais gerais nos dados iniciais. Rivera [56] considerou equações de ermoelasicidade heerogêneas lineares de dimensão um com domínio limiado e diversas condições de 7

17 froneira e provou que a solução (u, θ) em algumas derivadas parciais com decaimeno exponencial para zero na norma L 2. Rivera [57] invesigou as equações de ermoelasicidade homogêneas isorópicas e lineares com condições de froneira de ipo Dirichle homogêneas num domínio n-dimensional geral. O auor mosra que a pare do roacional livre ( ) do deslocameno e a diferença érmica decai algumas vezes exponencialmene para zero. Também provou que a pare da divergência livre ( ) do deslocameno conserva a sua energia, o que implica que, se a pare divergência livre dos dados iniciais não é zero, enão a energia oal não decai uniformemene para zero. Jiang, Rivera e Racke [23] provaram o decaimeno exponencial para a solução do sisema isorópico linear de ermoelasicidade com froneira em duas e rês dimensões. Lebeau-Zuazua [30] esudaram o sisema linear de ermoelasicidade em domínio suave e limiado em duas e rês dimensões. Eles analisaram se a energia decai exponencialmene para zero. Eles ambém provam que quando o domínio é convexo, a axa de decaimeno nunca é uniforme. Liu-Zuazua [31] conseguiram esabelecer fórmulas explícias para a axa de decaimeno da energia de um corpo no campo da ermoelasicidade linear quando alguma pare da froneira do corpo é furado e sobre o reso não exise algum argumeno de velocidade não linear. Para isso, uilizaram a eoria de semigrupos, méodos e écnicas de muliplicadores de Lyapunov. Qin-Rivera [50] esabeleceram a exisência e unicidade global e esabilidade exponencial de soluções para equações de ermoelasicidade não linear em dimensão um com relaxameno do núcleo e sujeias a condições de froneira de ipo Dirichle para o deslocameno e condições de froneira de ipo Neumann para a diferença de emperaura. Irmscher-Racke [22] obiveram axas de decaimeno fores explícias para soluções do sisema de ermoelasicidade 8

18 em dimensão um. Eles ambém consideraram ouros modelos físicos em ermoelasicidade e comparou os resulados de ambos os modelos no que diz respeio ao comporameno assinóico das soluções. Nese rabalho obemos os mesmos resulados de [25] mas usando um ouro méodo, o qual foi usado no rabalho [7]. Com esse méodo não é preciso usar a propiedade da coninuação única. Uma das vanagens que se obém com isso é que as consanes obidas nas axas de decaimeno podem ser calculadas expliciamene. No capíulo 3 obemos as axas de decaimeno da energia associada à solução. No caso em que a dissipação ρ é não linear, se em decaimeno polinomial do ipo (1 + ) γ, com γ dado expliciamene em função do `crescimeno' polinomial do ermo dissipaivo ρ e, se ρ é `quase linear', se em decaimeno exponencial. 9

19 Capíulo 1 Preliminares 1.1 Denições e Resulados Conhecidos Espaço de Hilber Denição Um produo inerno num espaço veorial X sobre R, é uma aplicação de valor real (, ) : X X R que saisfaz as seguines propriedades: 1. (x, x) 0, x X, (x, x) = 0 x = 0; 2. (x, y) = (y, x), x, y X; 3. (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z), x, y, z X, α, β R. O par (X, (, )) é chamado de espaço produo inerno. Denição Uma norma sobre um espaço veorial X é uma função, represenada por, 10

20 : X R + x x De modo que 1. x = 0 x = 0; 2. αx = α x, α R e x X; 3. x + y x + y, x, y X. O par (X, ) é chamado espaço normado. Dado um produo inerno, pode-se denir a norma X, denoado nesa seção por, denida como segue x = (x, x) 1 2, x X. (1.1) Teorema (Cauchy-Schwarz [28], pg. 136) Num espaço produo inerno X a seguine desigualdade é verdadeira (x, y) x y, x, y X. (1.2) a igualdade é obida se y = αx ou y = 0. Lema ([28], pg. 138) Se (X, (, )) é um espaço produo inerno enão, para cada componene xa, as funções: são lineares e conínuas. X R X R x (x, y) y (x, y) 11

21 Lema ([28], pg. 72) Sejam {x 1,, x n } um conjuno de veores linearmene independenes de um espaço normado X, enão exise um número c > 0 al que para qualquer escolha de escalares α 1,, α n emos α 1 x α n x n c ( α α n ). (1.3) Denição Sejam X um espaço veorial e f : X R. Dizemos que f é um funcional linear se: 1. f(x + y) = f(x) + f(y), x, y X 2. f(αx) = αf(x), α R e x X. E dizemos que f é uma funcional linear limiada se 3. sup x 1 f(x) < + é chamada funcional linear limiada. Denição Seja X um espaço normado, o conjuno X = {f : X R; f é linear e limiado} é chamado de dual opológico de X. Denição Seja (X, (, )) um espaço produo inerno e sejam x, y X. Diz-se que x, y são orogonais se (x, y) = 0. Denição Um espaço normado (X, ) é chamado espaço de Banach se e somene se X é compleo, iso é oda sequência de Cauchy é convergene para algum elemeno de X. Teorema ([28], pg. 118) Seja (X, ) um espaço normado, enão (X, X ), sempre é um espaço de Banach, com a norma: f X f(x) = sup x X x. x 0 12

22 Denição Um espaço produo inerno (H, (, )) é chamado espaço de Hilber se e somene se H é compleo respeio à norma dada em (1.1). Proposição ([28], pg. 175) Seja H um espaço de Hilber enão e u, v H. Se (x, u) = (x, v), x H enão u = v. Teorema (Represenação de Riesz [5], pg. 81) Dado uma ϕ H, exise um único f H al que ϕ, ν = (f, ν), ν H. E ainda f H = ϕ H. Observação O eorema anerior mosra que oda aplicação linear e conínua sobre H, pode ser represenada por meio do produo escalar, iso é, a aplicação H H ϕ f (1.4) é uma isomorsmo isomérico, que permie idenicar H e H. Denição Seja H um espaço de Hilber real. Um funcional B : H H R é chamado uma forma bilinear se B(x, ) é linear para cada x H e B(, y) é linear para cada y H. B é chamado de limiado 13

23 (conínuo) se exise uma consane K al que B(x, y) K x y, x, y H. B é chamado coercivo se exise uma consane δ > 0 al que B(x, x) δ x 2, x H. Teorema (Lax-Milgram [5], pg. 84) Sejam H um espaço de Hilber, B : H H R (u, v) B(u, v) uma forma bilinear, conínua e coerciva e f H. Enão, exise um único u H al que B(u, v) = f(v), v H. (1.5) Denição Seja (E n ) n N uma sucessão de subespaços fechados de um espaço de Hilber H. Dizemos que H é soma Hilberiana dos E n e escrevemos H = E n se: n 1. Os E n são dois a dois orogonais, iso é, (u, v) = 0, u E m e v E n al que m n; 2. O subespaço gerado pelos E n é denso em H. Teorema ([5], pg. 85) Sejam H = n E n e P En v a projeção do elemeno v H sobre E n. Se u H e u n = P En u, enão: 1. u = u n, iso é, u = lim n=1 k n=1 k u n ; 14

24 2. u 2 = u n 2 ( igualdade de Bessel-Parseval ). n=1 Reciprocamene, dada uma sucessão (u n ) de H, com u n E n, n, e u n 2 < ; enão a série n=1 u n é converge em H e u = u n n=1 verica u n = P En u. Denição Uma sequência (w ν ) de veores de H é chamada base Hilberiana se: 1 se ν = µ 1. (w ν, w µ ) = δ ν µ = 0 se ν µ. 2. As combinações lineares nias dos w ν são densas em H. Resula do Teorema que se (w ν ) ν N é uma base Hilberiana de H, enão para odo u H em-se: u = (u, w ν )w ν e u 2 = (u, w ν ) 2. ν=1 Teorema ([5], pg. 86) Todo espaço de Hilber separável admie uma base Hilberiana. ν=1 n= Topologias Fraca e Fraca- Denição Seja X um espaço normado, dizemos que a sequência x n X converge fraco para x X se f, x n f, x, f X. Denoa-se x n x. Teorema ([5], pg. 35) Seja X um espaço normado e x n X, 1. Se x n x enão x n x; 2. Se x n x e f n f enão f n, x n f, x. 15

25 Denição Sejam X um espaço normado e f n, f X, dizemos que sequência f n X converge fraco- para f X se f n, x f, x, x X. Denoe-se f n f. Teorema ([5], pg. 40) Sejam X espaço normado e f n X 1. Se f n f enão f n f; 2. Se f n f enão f n f; 3. Se f n f e xn x enão f n, x n f, x ; 4. Se f n f e {fn } n N limiada enão f é limiada e f lim inf f n X. Teorema ([5], pg. 42) Seja X um espaço de Banach. Enão, o conjuno B X = {f X ; f X 1} é compaca na opologia fraco-. Corolário ([5], pg. 50) Seja X um espaço de Banach separável e f n X é uma sequência limiada em X. Enão exise uma subsequência {f nk } k N e f em X ais que f nk f. Denição Sejam u uma função numérica denida num abero R n, u mensurável, e (K i ) i I a família de odos os subconjunos aberos K i de ais que u = 0 quase sempre em K i. Considere o subconjuno abero K = i I K i. Enão u = 0, q.s. em K. 16

26 Como consequência, dena-se o supore de u, que será denoado por supp (u), como sendo o subconjuno fechado de supp (u) = \ K. Denição Represenamos por C0 () o conjuno das funções u : R n R, cujas derivadas parciais de odas as ordens são conínuas e cujo supore é um conjuno compaco de. Os elemenos de C0 () são chamados de funções eses. Nauralmene, C0 () é um espaço veorial sobre R com as operações usuais de soma de funções e muliplicação de função por escalar Noção de convergência em C 0 () Denição Sejam {ϕ k } k N C 0 (). Dizemos que ϕ k ϕ se: uma sequência em C 0 () e ϕ 1. K, K compaco, al que supp(ϕ k ) K, para odo k N; 2. Para cada α N n, D α ϕ k (x) D α ϕ(x) uniformemene em. Denição O espaço veorial C0 () com a noção de convergência denida acima é denoado por D() e é chamado de espaço das funções eses. Lema ([19], pg. 25 e 31) Seja R n, abero, limiado, conexo e com froneira Lipschiz conínua. Enão, exise uma sequência ( i ) i N crescene de subconjunos de R n aberos, conexos e com froneira Lipschiz conínua ais que i, i N e = i N i. 17

27 Além disso, se for simplesmene conexo, enão cada conjuno n é simplesmene conexo. Proposição ([32], pg. 313) Seja R n abero, limiado e com froneira de classe C 2. Dado p Γ, exisem um conjuno abero e limiado V p R n, com p V p, e uma função f C 2 (V p ) que saisfazem as seguines condições: 1. Γ V p = f 1 (0); 2. f(x) 0, x V p ; 3. η(x) = f(x) f(x), x Γ V p. Proposição (Parição C da Unidade [27], pg. 5) Seja a coleção de aberos ( i ) i=1 em R n. Enão, exise uma coleção de funções (ψ i ) i=1 C (R n ) que saisfazem as seguines condições: 1. 0 ψ i (x) 1, x R n, 1 i ; 2. supp (ψ i ) j, 1 i para algum j = j(i); 3. {supp (ψ i )} i N é localmene nio; 4. ψ i (x) = 1, x i. i=1 i=1 Usando a Proposição anerior, emos o seguine Corolário: Corolário ([27], pg. 5) Sejam ω e aberos do R n ais que w. Enão, exise ψ C 0 (R n ) que saisfaz as seguines condições: 1. 0 ψ(x) 1, x R n ; 2. ψ 1 sobre ω; 3. ψ 0 sobre R n /. 18

28 Lema (Nakao [44], pg. 266) Considere Φ : [0, ) [0, ). Enão, valem as seguines armações: 1. Se exisem consanes reais e posiivas T e C ais que sup Φ(s) C (Φ() Φ( + T )), 0, s +T enão exisem consanes reais e posiivas C 1 e γ ais que Φ() C 1 e γ, 0; 2. Se exisem consanes reais e posiivas T, C e 0 < k < 1 ais que sup Φ(s) 1 k C (Φ() Φ( + T )), 0, s +T enão exise uma consane real e posiiva C 1 al que Φ() C 1 Φ(0) (1 + ) k k 1, Disribuições Denição Uma disribuição sobre é um funcional linear denido em D() e conínuo em relação a noção de convergência denida em D(). O conjuno de odas as disribuições sobre é denoado por D () = {T : D() R, T é linear e conínuo}. Observações 1. D () é um espaço veorial sobre R. 2. T, ϕ é o valor de T D () para cada ϕ D(). 19

29 1.1.5 Noção de convergência em D () Denição Dizemos que T k T em D () se T k, ϕ T, ϕ, ϕ D(). Observação A convergência em D () é a convergência fraco Espaços L p () Daqui em diane a mensurabilidade e a inegrabilidade sobre o conjuno R n são no senido de Lebesgue e denoaremos por µ esa medida de Lebesgue. Denição Sejam um conjuno mensurável e 1 p. Imdicamos por L p () o conjuno das (classes de) funções mensuráveis u : R ais que u L p () < onde: Observações: ( ) 1 u(x) p p dx se 1 p < ; u L p () = supess x u(x) se p =. 1. As funções. L p () : L p () R +, 1 p, são normas. 2. L p () n, n N e 1 p, é o espaço das funções veoriais u : R n, u(x) = (u 1 (x),, u n (x)) ais que u i L p () para cada 1 i n. Ese espaço munido da norma u Lp () n ( n = ) 1 u i 2 2 L p (). (1.6) i=1 20

30 é um espaço de Banach. Noe que esa denição pode ser generalizada para qualquer espaço de Banach. 3. L 2 () n é um espaço de Hilber com o produo inerno n u, v = u i, v i al que u, u = u 2 L 2 () n, (1.7) i=1 onde u i, v i = u i (x)v i (x)dx. 4. Se 1 p < +, enão D() L p (), D() = L p (). (1.8) Denição Sejam um cojuno mensuravel e 1 p. Indicamos por L p loc (), o conjuno das funções u : R mensuráveis e ais que a função uχ K L p (), K, onde χ K é a função caracerísica de K. Observações 1. Se u L 1 loc () consideremos o funcional T = T u : D() R denido por T, ϕ = T u, ϕ = u(x)ϕ(x)dx. É fácil vericar que T dene uma disribuição sobre. 2. Seja f L 1 loc () sempre podemos denir sua derivada disribucional da f, iso é D i f ϕdx = f D i ϕdx, ϕ D(). (1.9) 21

31 Teorema ([5], pg. 61) Seja u L 1 loc (). Enão T u = 0 se e somene se u = 0 quase sempre em. A aplicação L 1 loc() D (), u T u é linear, conínua e, debido ao Teorema , é injeiva (Ver [66], pg. 8). Em decorrência disso é comum idenicaramos a disribuição T u com a função u L 1 loc (). Nesse senido em-se que L1 loc () D (). Logo pela inclusão imediaa, L p () L 1 loc (), emos que oda função de L p () dene uma disribuição sobre, iso é L p () D (), 1 p. (1.10) Denição Sejam T D () e α N n. A derivada de ordem α de T, denoada por D α T, é denida por D α T, ϕ = ( 1) α T, D α ϕ, ϕ D(). Com esa denição em-se que se u C k () enão D α T u = T Dα u, para odo α k, onde D α u indica a derivada clássica de u. E, se T D (), enão D α T D (), para odo α N n. Proposição ([15], pg. 622) Sejam 1 < p, q <, com ε > 0 e 1 p + 1 q = 1 Enão, exise uma consane real posiiva C = C(p, q, ε) al que a b ɛa p + C b q, a, b 0. 22

32 Lema (Desigualdade de Hölder [59], pg. 18) Seja R n abero. Considere um conjuno de números reais e posiivos (p i ) m i=1 m 1 al que 1 < p i <, 1 i m e = 1. Se escolhermos p i=1 i m u i L pi (), 1 i m, enão u i L 1 () e i=1 m m u i L u i L p i (). i=1 1 () i=1 Lema ([16], pg. 186) Se µ() < e 0 < p < q <, enão L q () L p () e u L p () µ() 1 p 1 q u Lq (). Lema ([33], pg. 12) Sejam R n abero e limiado e uma sequência (u m ) m N em L q (), 1 < q <. al que ˆ u m u q.s. em ; ˆ u m L q () C, m N, com C consane real, posiiva e independene de m, enão u m u em L q () Espaços de Sobolev Nesa seção vamos esudar algumas das propriedades imporanes de uma classe de espaços funcionais, conhecido como espaços de Sobolev, o que irá proporcionar o ambiene adequado para o esudo funcional das equações diferenciais parciais das seções seguines Denição Sejam m N e 1 p. Indicaremos por W m,p () o conjuno de odas as funções u de L p () ais que para odo 23

33 α m, D α u perence a L p (), sendo D α u a derivada disribucional de ordem α e α N n de u. W m,p () é chamado de espaço de Sobolev de ordem m relaivo ao espaço L p (). Enão W m,p () = {u L p (); D α u L p (), α m} Norma em W m,p () Para cada u W m,p () em-se que u m,p = ( α m α m dene uma norma sobre W m,p (). Observações: D α u p L p () ) 1 p se 1 p < ; D α u L () se p = 1. (W m,p (),. m,p ) é um espaço de Banach. 2. Seja u W m,p (), enão u Lp ( u m,p, iso é, W m,p () L p (). (1.11) 3. Quando p = 2, o espaço de Sobolev W m,2 () no = H m () é um espaço de Hilber com produo inerno dado por (u, v) = D α u, D α v. α m 24

34 4. De forma análoga para u, v H 1 () n dene-se u, v = u, u = n u i, v i. i=1 n i=1 al que u i 2 L 2 () n. (1.12) 5. Sejam u H 2 () n, n N e θ H 1 (), enão θ L2 () n θ H 1 () (1.13) u L2 () n u H 2 () n (1.14) div u L 2 () n u H 2 () n (1.15) 6. Dado u W 1,p () n e 1 p, usando (1.6) e (1.12) emos u 2 L p () n = n n i=1 j=1 u i x j 2 L p () (1.16) Lema (Gagliardo-Nirenberg [43], pg. 406) Sejam R n, 1 r < p, 1 q p e 0 k m. enão, u k,p C u θ m,q u 1 θ L r () para u W m,q () L r (). onde C é uma consane posiiva e θ = ( k n + 1 r 1 ) ( m p n + 1 r 1 ) 1 q desde que 0 < θ 1 ( 0 < θ < 1 se p = e mq = n ). 25

35 1.1.9 O Espaço W m,p 0 () Denição Denimos o espaço W m,p 0 () como sendo o fecho de C 0 () em W m,p (). Observações: 1. W m,p 0 () é um subespaço fechado de W m,p (). 2. Se W m,p 0 () = W m,p (), enão µ(r n \) = Vale W m,p 0 (R n ) = W m,p (R n ). 4. Quando p = 2, escreve-se H m 0 () em lugar de W m,p 0 (). Proposição ([27], pg. 61) Seja R n abero e limiado. Se u H 1 () C() e u(x) = 0, x Γ, enão u H 1 0 (). Proposição ([41], pg. 25) Sejam e ω aberos do R n que ω e 1 p. Enão, a aplicação ais. : W 1,p 0 (ω) W 1,p 0 () u ũ dada por u(x) se x ω; ũ(x) = 0 se x \ω, esá bem denida e é conínua. Além disso, vale a seguine idenidade: ũ x i = u x i, u W 1,p 0 (ω), com 1 i n. (1.17) 26

36 Proposição (Desigualdade de Poincaré [5], pg. 134) Se R n é um conjuno abero, limiado ao menos numa direção, e 1 p <. Enão exise uma consane real e posiiva C = C(, p) al que 1,p u 1,p C u L p () n, u W0 (). Proposição (Desigualdade de Sobolev [66], pg. 46) Seja um conjuno R n abero e conexo com µ() <. Enão W 1,p 0 () L np n p () se p < n W 1,p 0 () C 0 () se p > n Além disso, exise uma consane C = C(n, p), al que u W 1,p 0 (), u L np n p () C Du L p () se p < n sup u Cµ() 1 n 1 p Du Lp () se p > n Usando (1.13) e a Proposição (1.1.50) obemos o seguine Lema: Lema A função 0 : H 1 0 () R + u u 0 = u L 2 () n Dene uma norma em H 1 0 () que é equivalene a H 1 0 (). Além disso, H 1 0 () com o seguine produo inerno (u, v) 0 = u, v, que induz a norma 0, é um espaço de Hilber. 27

37 O Lema anerior induz a seguine Proposição: Proposição A função 0 : H0 1 () n R + ( n ) 1 u = (u 1,, u n ) u 0 = u i 2 2 L 2 () n Dene uma norma em H0 1 () n que é equivalene a H 1 0 () n. Além i=1 disso, H 1 0 () n com o seguine produo inerno ((u, v)) 0 = n (u i, v i ), (1.18) i=1 que induz a norma 0, é um espaço de Hilber. Observação 1. Usando (1.8), se n N obemos H m 0 () n L 2 () n, H m 0 ()nl2 () n = L 2 () n (1.19) 2. Pela fórmula (1.12) emos u, u = u 2 0. (1.20) 3. Sejam u H 1 0 () n e n N, usando (1.20) obemos div u 2 L 2 () u 2 0. (1.21) 28

38 4. Usando (1.12) obemos u, v = Lema Seja R n n n i=1 j=1 um conjuno abero limiado e a, b consanes reais ais que b 2 > a 2 > 0. Enão, ui, v i. (1.22) x j x j ((u, v)) 1 = a 2 u, v + (b 2 a 2 ) div u, div v é um produo inerno equivalene ao usual em H 1 0 () n (1.18). denido em Prova Seja u 2 1 = ((u, u)) 1, enão usando (1.21) e (1.20) emos u 1 b u 0. Por ouro lado, segue da hipóese b 2 > a 2 > 0 que u 1 a u 0. Teorema Seja R n abero, limiado, conexo e com froneira de classe C 2. Enão, exise um conjuno {w j } j N H 1 0 () n H 2 () n (1.23) que é um base Hilberiana de H 1 0 () n H 2 () n, H 1 0 () n e L 2 () n. Além disso, w i, w j L 2 () n = δ i,j, i, j N. (1.24) 29

39 Se saisfaz as hipóeses do Teorema , denimos os seguines conjunos: V m = [v 1, v 2,, v m ], W m = [w 1, w 2,, w m ] m N. (1.25) Os espaços {V m } m N e {W m } m N saisfazem as seguines propriedades: 1. dim V m, dim W m <, m N; 2. Dados u H0 1 () n (ou H0 1 () n H 2 () n ) e θ L 2 () n exisem sequências (u n ) n N e (v n ) n N ais que saisfazem as seguines condições: ˆ u n V n, θ n W n, n N; ˆ ˆ u n n u em H 1 0 () n (ou H 1 0 () n H 2 () n ); θ n n θ em L 2 () n. Os espaços com as propriedades 1 e 2 acima são chamados de espaços de aproximação de Galerkin O espaço W m,q () Denição Suponha 1 p < e q > 1 al que 1 p + 1 q = 1. Represena-se por W m,q () o dual opológico de W m,p 0 (). O dual opológico de H m 0 () represena-se por H m 0 (). Denição (Operador de Prolongameno) Sejam n, m N, 1 p e abero do R n. Se P : W m,p () W m,p (R n ) é um operador linear conínuo, al que, P u = u q.s. em, para cada u W m,p (). Enão é chamado de operador de m-prolongameno relaivo a e p. 30

40 Quando al operador P exise diz-se que em a propriedade do m- prolongameno Os espaços H s (R n ), s R Denição Uma função u, denida em R n é dia ser rapidamene decrescene no innio se é inniamene diferenciável e p k (u) = sup sup (1 + x 2 ) k (D α u)(x) <, k N. x R n α k Denoamos por S(R n ) o espaço das funções rapidamene decrescenes no innio. Considere o espaço veorial S(R n ), no qual denimos a seguine noção de convergência: uma sucessão {u ν } ν N de funções de S(R n ) converge para zero, quando para odo k N a sucessão {p k (u ν )} ν N converge para zero em R. A sucessão {u ν } ν N converge para u em S(R n ) se {p k (u ν u)} ν N converge para zero em R para odo k N. As formas lineares denidas em S(R n ), conínuas no senido da convêrgencia denida em S(R n ) são denominadas disribuições emperadas. O espaço veorial de odas as disribuições emperadas com a convergência ponual de sucessões será represenado por S (R n ). Denição Se u S(R n ) ou u L 1 (R n ), enão denoamos por Fu a ransformada de Fourier de u dada por Fu(x) = ( ) n 1 2 e i(x.y) u(y)dy. 2π Rn Denição Seja u L 2 (R n ), u ν = uχ Bν(0) onde χ Bν(0) é a função caracerísica da bola de raio ν e cenro na origem, e Fu ν, ν N, 31

41 as funções Fu ν (x) = ( ) n 1 2 e i(x.y) u ν (y)dy 2π y ν para odo x R n. Mosra-se que Fu ν L 2 (R n ) e que {Fu ν } ν N é uma sucessão de Cauchy no espaço de Hilber L 2 (R n ). O limie em L 2 (R n ) da sucessão {Fu ν } ν N denoado por Fu. Teorema ([27], pg. 42) Para oda função u L 2 (R n ) em-se que u L 2 (R n ) = Fu L 2 (R n ). Teorema ([27], pg. 52) O espaço H m (R n ), m N coincide com o conjuno {u S (R n ); J m Fu L 2 (R n )} onde J m é a função dada por J m (x) = (1 + x 2 ) m 2, x R n. Além disso, a função m : H m (R n ) R + denida por u m = J m Fu L 2 (R n ) é uma norma equivalene à norma de Sobolev. Denição Para s R +, indicaremos por H s (R n ) o conjuno {u S (R n ); J s Fu L 2 (R n )} onde J s (x) = (1 + x 2 ) s 2, x R n. Teorema ([17], pg. 192) H s (R n ) é um espaço de Hilber com o produo inerno dado por: (u, v) H s (R n ) = (J s Fu, J s Fv) L 2 (R n ). 32

42 Os espaços H s (), s R Denição Um abero do R n é dio ser bem regular se a froneira de é uma variedade C de dimensão n 1 e esando localmene de um mesmo lado da froneira. Observação: Se R > 0, o inerior de um círculo de raio R em R 2 é um exemplo de abero bem regular. Já o inerior de um quadrado de lado R em R 2 é um conjuno abero, mas, não um abero bem regular. Denição Sejam s 0 e um conjuno abero limiado bem regular. O espaço de Sobolev H s () é denido por H s () = {u = v ; v H s (R n )} onde v indica a resrição de v ao abero. Para cada u H s () em-se que u Hs () = inf{ v Hs (R n ); v H s (R n ) e v = u} dene uma norma em H s (). Observações: 1. Se s r 0, H s () H r () onde H 0 () = L 2 (). (1.26) 2. H s (), s > 0, é um espaço de Hilber. 3. H s () coincide com o espaço usual de Sobolev H m (), denido aneriormene, se s = m N e se Γ for regular. Tal resulado é provado usando a eoria do prolongameno. 33

43 4. H s 0() é denido como sendo o fecho de C 0 () em H s (). Além disso, H s 0(R n ) = H s (R n ). 5. H s () é denido como sendo o dual de H s 0(), s > Os espaços H s (Γ), s R Seja um abero limiado bem regular do R n. Denição Seja o fecho de em R n. Denoaremos por D() o seguine conjuno: D() = {ϕ ; ϕ D(R n )}. Observação: Se s 0., D() é denso em H s (). (1.27) Denição Denoaremos por D(Γ) o seguine conjuno: D(Γ) = {u : Γ R; u C (Γ) e em supore compaco em Γ} onde Γ denoa a froneira de. Seja u : R. Enão γ 0 u = u Γ esá bem denida como uma função de Γ em R. Com iso em-se que se u D() enão γ 0 u D(Γ). Denição Um sisema de caras locais para é uma família (ϕ j, U j ) i J al que J é um um sisema de indices e U j é um abero limiado e, 1) para odo j J : ϕ : U j Q. 34

44 onde Q = {(x 1,, x n ) R n ; 0 < x i < 1, i = 1,, n 1 e 1 < x n < 1} é um difeomorsmo de classe C al que ˆ ϕ j (U j ) = Q + = {(x 1,, x n ) R n ; 0 < x i < 1, i = 1,, n}; ˆ ϕ j (U j Γ) = Γ 0 = {(x 1,, x n ) R n ; 0 < x i < 1, i = 1,, n 1 e x n = 0}; ˆ ϕ j ( (U j )) = Q +, j J. 2) U = U j ; j J 3) Se U j U k e se W j = ϕ j (U j U k ) e W k = ϕ k (U j U k ) enão ϕ k (ϕ 1 j ) : W j W k e ϕ j (ϕ 1 k ) : W k W j são de classe C. Sejam (ψ 1, U 1 ),, (ψ N, U N ) um sisema de caras locais e σ 1,, σ N N funções eses do R n ais que σ i (x) = 1, x Γ e supp (σ i ) U i, i=1 dada uma função w : Γ R, será consruído as funções w j : R n 1 R, j = 1,, N denidas por: w j (x ) = (σ j w)(ψ 1 j (x, 0)), se x 0 = (0, 1) n 1 ; 0 se x R n 1 \ 0. Denição Denoaremos por H s (Γ) o conjuno das funções w : Γ R al que w j H s (R n 1 ), j = 1,, N, onde w j são denidas acima. H s (Γ) = {w : Γ K; w j H s (R n 1 ), j = 1,, N}. 35

45 Observações: 1. Para u, v H s (Γ), a função N (u, v) Hs (Γ) = (u j, v j ) Hs (R n 1 ) j=1 dene um produo inerno sobre H s (Γ). 2. H s (Γ) é um espaço de Hilber. 3. Seja s R D(Γ) é denso em H s (Γ). (1.28) Teorema ([27], pg. 101) A aplicação γ 0 : D() H 1 2 (Γ) denida por γ 0 u = u Γ, é conínua na opologia de H 1 (Γ), iso é, exise uma consane posiiva C al que γ 0 u H 1 2 (Γ) C u H1 (). Como D() é denso em H s (), segue do eorema acima que exise uma aplicação, que coninuaremos denoando por γ 0 de H 1 () em H 1 2 (Γ) linear e conínua que exende Γ 0, iso é, al que γ 0 u = u Γ para oda u D(). Esa aplicação γ 0 : H 1 () H 1 2 (Γ) é chamada de função raço e seu valor em um dado u H 1 () é chamado o raço de u sobre Γ. 36

46 Teorema ([27], pg. 102) Seja um conjuno abero limiado bem regular do R n. A função raço γ 0 : H 1 () H 1 2 (Γ) é sobrejeiva e Ker(γ 0 ) = H 1 0 (). Observação: Quando dizemos que u H 1 0 () anula na froneira de, iso é, que u = 0 sobre Γ, na verdade signica que γ 0 u = 0 sobre Γ. Teorema ([59], pg. 153) Exise uma aplicação linear e conínua: γ : H m () Π m 1 j=0 Hm j 1 2 (Γ) al que é sobrejeora e Ker(γ) = H m 0 e conínua, mais: e γ possui inversa à direia linear γu = (γ 0 u, γ 1 u,, γ m 1 u) ( = u, u ) ν,, m u ν m, u D() (1.29) onde x (γ j u)(x) = u Γ (x) Teorema da Divergência e fórmulas de Green Teorema ([62], pg. 170) Sejam R n abero, limiado e com froneira regular (de classe C 1 ) e F [C 1 ()] n. Enão, vale a seguine idenidade de Gauss: div F dx = F Γ η dγ. (1.30) Γ 37

47 A parir dese eorema obém-se a seguines fórmulas Γ (f F ) Γ ηdγ = f F dx + f div F dx F [C 1 ()] n ; f C 1 () u ( u)vdx = u vdx + Γ η vdγ u C2 (); v C 1 () ( u)vdx = u vdx + ( u η v u v η )dγ u, v C2 (). Γ Claro que esas fórmulas são válidas para u, v, f D() e F [D()] n, com conjuno abero limiado bem regular. Enão as fórmulas podem ser reescrever da seguine forma Γ γ 0 (f F ) ηdγ = f F dx + f div F dx ( u)vdx = u vdx + (γ 1 u)(γ 0 v)dγ Γ ( u)vdx = u vdx + {(γ 1 u)(γ 0 v) (γ 0 u)(γ 1 v)}dγ A aplicação Γ γ : D() H 3 2 (Γ) H 1 2 (Γ) u (γ 0 u, γ 1 u) é linear e conínua e por (1.27) se exende a H 2 (). Logo γ 0 u, γ 0 v, γ 1 u, γ 1 v L 2 (Γ) e γ 0 (f F ) [L 2 (Γ)] n. Assim u, v H 2 (), f H 1 () e F [H 1 ()] n emos a seguines expressões γ 0 (f F ), η L2 (Γ) = f, F + div F, f u, v = u, v + γ 1 u, γ 0 v L 2 (Γ) u, v = u, v + γ 1 u, γ 0 v L 2 (Γ) γ 0 u, γ 1 v L 2 (Γ). 38

48 Usando o Teorema obemos o seguine resulado imporane Proposição (Fórmulas de Green [27], pg. 102) f F dx + f div F dx = 0 f H0 1 (); F [H0 1 ()] n, (1.31) ( u)vdx = u vdx u H 2 (); v H0 1 (), (1.32) ( u)vdx = u vdx u, v H 2 () H0 1 (). (1.33) Corolário Seja R n um conjuno abero, limiado e com froneira de classe C 2. Se u H 1 () e w W 1, (), enão u w H 1 () e vale a seguine regra do produo: (u w) x i = u w x i + w u x i. i {1,, n} (1.34) Além disso, se u H 1 0 (), enão u w H 1 0 (). Teorema ([27], pg. 84) Sejam abero limiado do R n e m N. Enão H m+1 0 () esá imerso compacamene em H m 0 (), m R n. Além disso, se for abero, limiado e com a propriedade do m-prolongameno enão a imersão de H m+1 () em H m () é compaca. Teorema ([15], pg. 317) Sejam R n um conjuno abero, limiado, conexo e com froneira de classe C 2, f L 2 (). Se u H 1 0 () é solução fraca do seguine sisema: u = f em (1.35) u Γ = 0 em Γ, (1.36) iso é, u, v = f, v, v H 1 0 (), (1.37) 39

49 enão u H 2 () (1.38) e exise uma consane real e posiiva C, independene de f e u, al que u H 2 () C ( f L 2 () + u L 2 ()). e se u H 1 0 () é a única solução fraca emos u H2 () C f L2 (). (1.39) Teorema ([37], pg. 128) Sejam R n um conjuno abero, limiado, conexo e com froneira de classe C 2, f L 2 () n e a e b consanes reais com b 2 > a 2 > 0. Se u H0 1 () n é solução fraca do seguine sisema elásico: u a 2 u (b 2 a 2 ) div u = f em (1.40) u Γ = 0 em Γ, (1.41) iso é, enão u, v + ((u, v)) 1 = f, v, v H 1 0 () n, (1.42) u H 2 () n (1.43) e exise uma consane real e posiiva C, independene de f e u, al que u H 2 () n C f L 2 () n. (1.44) 40

50 Corolário ([37], pg. 128) Sejam R n um conjuno abero, limiado, conexo e com froneira de classe C 2, f L 2 () n e a e b consanes reais com b 2 > a 2 > 0. Se u H0 1 () n é solução fraca do sisema elásico: a 2 u (b 2 a 2 ) div u = f em (1.45) u Γ = 0 em Γ (1.46) iso é, ((u, v)) 0 = f, v, v H 1 0 () n, (1.47) enão u H 2 () n e exise uma consane real e posiiva C, independene de f e u, al que u H2 () n C f L 2 () n. (1.48) Espaços L p (I, X) e Disribuições Veoriais Nesa seção apresenamos alguns resulados sobre a inegral de funções veoriais denidas no inervalo I = (0, T ), 0 < T <, omando valores num espaço de Banach X. Denição φ : I X, é dia simples se exiserem α 1,, α m escalares e I 1,, I m, subconjunos mensuráveis de I com I i I j =, i j, I = m k=1i k, ais que φ() = Σ m k=1α k χ k (). (1.49) 41

51 Onde χ k, é a função caracerísica do conjuno I k = { I : φ() = α k }. Denição Dizemos que uma função u : I X é foremene mensurável se exisirem um subconjuno N I, de medida de Lebesgue nula, e uma sequência (u n ) n N de funções simples ais que u() = lim n u n(), I\N. Noamos que se u : I X é uma função foremene mensurável, enão a função u( ) X : I R é Lebesgue mensurável. Teorema ([38], pg. V-8) Sejam X um espaço de Banach separável. Enão, uma função u : I X é foremene mensurável se, e somene se, f X, a função f(u) : I R é Lebesgue mensurável. Denição Se φ : I X, é simples com represenação (1.49), enão a inegral de Bochner de φ, é denida por I φ(s)ds = m α k I k. (1.50) Denição Dizemos que uma função u : I X foremene mensurável é inegrável no senido de Bochner se exise uma sequência k=1 (u n ) n N : I X de funções simples al que lim u n () u() X d = 0. n I Nese caso, denimos a inegral de Bochner de u I u() d = lim u n () d. n I 42

52 Teorema ([38], pg. V-8) Seja u : I X uma função foremene mensurável, enão u é inegrável no senido de Bochner (u L 1 (I, X)) se e somene se a função u( ) X : I R esá em L 1 (I). Lema ([38], pg. V-8) Sejam X, Y espaços de Banach e A : X Y um operador linear limiado. Se u : I X esá em L 1 (I, X), enão A, u() d = A, u() d. I I Corolário ([38], pg. V-9) Sejam H um espaço de Hilber. Se u : I H é inegrável no senido de Bochner, enão x, u() d = x, u() H d, x H. I H I Teorema ([38], pg. V-10) L 1 (I, X) é um espaço de Banach com a norma denida por u L 1 (I,X) = u() d. Denição Designamos por L p (I, X), 1 p o espaço veorial das (classes de) funções veoriais u : I X foremene mensuráveis e ais que a função numérica u() X esá em L p (I). Teorema ([38], pg. V-10) L p (I, X), 1 p, munido da norma dada por ( ) 1 u() p X u Lp (I,X) = d p se 1 p < I supess I u() X se p = é um espaço de Banach. I 43

53 Observações: 1. L p loc (I, X), 1 p, é dado pelas (classes de ) funções veoriais u : I X foremene mensuráveis e ais que a função numérica u() X esá em L p (J), J I, com J inevalo abero. 2. Das denições aneriores é evidene L p (I, X) L 1 loc(i, X). (1.51) 3. Noamos que se p = 2 e X = H n é um espaço de Hilber enão L 2 (I, H n ) é um espaço de Hilber com o seguine produo inerno: u, v n = I u, v H n d. (1.52) Teorema ([38], pg. V-10) Sejam X e Y dois espaços de Banach e suponhamos que X Y ; iso é, X Y com imersão conínua. Se 1 r s ; enão L s (I, X) L r (I, Y ). Teorema ([38], pg. V-11) Sejam X um espaço de Banach. Enão, valem as seguines armações. 1. Se X reexivo, 1 < p <, 1 < q <, 1 p + 1 q = 1, enão [L p (I, X)] = L q (I, X ). (1.53) 2. Se p = 1 e X é reexivo ou X é separável, enão [L 1 (I, X)] = L (I, X ) (1.54) 44

54 3. A dualidade enre eses espaços vem dada na forma inegral por u, v Lq (I,X ),L p (I,X) = T 0 u(), v() X,Xd. (1.55) 4. Se 1 < p <, 1 < r < e R n abero, enão [L p (I, L r ())] = L q (I, L s ()). (1.56) onde 1 p + 1 q = 1 e 1 s + 1 r = Sejam R n abero e limiado, 1 p. Enão L p (I, L p ()) = L p (I ). (1.57) Lema ([9], pg. 59) Sejam H um espaço de Hilber separável. Se E H é um subespaço veorial denso, E = {ψ u; ψ D(I) e u E} (1.58) é um conjuno denso em L 2 (I, H). Teorema ([33], pg. 58) Sejam 1 < p 0, p 1 <, B 0 B B 1, B 0 imerso compacamene em B, com B 0, B e B 1 espaços de Banach, B 0 e B 1, espaços reexivos. Considere W p0,p1 (I; B 0, B 1 ) = {v L p0 (I, B 0 ), v L p1 (I, B 1 )} com a norma u W := u L p 0 (I,B0) + u L p 1 (I,B1). 45

55 Enão W p0,p1 (I; B 0, B 1 ) é um espaço de Banach e esá imerso coninuamene e compacamene em L p0 (I, B) Proposição ([6], pg. A-19) Sejam E um espaço de Hilber separável. Se u W 1 (I; H), enão exise x 0 E al que u() = x 0 + u (r) dr, para quase odo I. (1.59) 0 Além disso, se u é conínua em I, enão emos o seguine limie: 1 +h lim u (r) dr = u (), I. (1.60) h 0 h Denição Denoamos por C 0 (I, X), o espaço veorial das funções ϕ : I X ais que lim s s0 ϕ(s) ϕ(s 0 ) X = 0, s 0 I e supp ϕ I. Teorema ([65], pg. 249) C 0 (I; X) munido com a norma dada por é um espaço de Banach. ϕ C(I,X) = max ϕ() supp (ϕ) Denição Denoamos por D(I, X), o espaço veorial das funções ϕ : I X ais que di ϕ d j C 0 (I, X), j N. Teorema Seja 1 p. Enão vale a inclusão D(I, X) L p (I, X). (1.61) Teorema Seja 1 p < +. L p (I, X). Enão D(I, X) é denso em 46

56 Teorema ([67], pg. 422) Sejam E um espaço de Hilber separável e 0 < T <. Enão, emos a seguine inclusão: W 1 (I, E) C(I, E). (1.62) Além disso, s, I, al que s e u, v W 1 (I; E), emos a seguine fórmula de inegração por pares: u(), v() E u(s), v(s) E = Sob as hipóeses do eorema anerior obemos: s u (r), v(r) E + u(r), v (r) E dr. (1.63) 1 2 u() 2 E 1 2 u(s) 2 E = u (r), u(r) E dr. (1.64) s Teorema (Aubin-Lions, [59], pg. 122) Sejam E um espaço de Hilber separável. Enão, a inclusão W 1 (I; E) L 2 (I, E). (1.65) Denição O espaço das ransformações lineares e conínuas de D(I) em X, ou seja, L(D(I), X) é denominado espaço das disribuições veoriais de I em X e denoado por D (I, X). Dado u L p (I, X), 1 p, denimos T u : D(I) X ϕ T 0 u()ϕ()d, (1.66) onde a inegral é no senido de Bochner em X. A aplicação T u é linear e conínua de D(I) em X e por esa razão é uma disribuição veorial. 47

57 Teorema Seja 1 p, enão L p (I, X) D (I, X). Prova Usar a denição anerior e a prova da inclusão Lema Se w L p (I, X) e enão w(s) = 0 quase sempre em I. I w(s)ϕ(s)ds = 0, ϕ D(I), Prova Usando o Teorema , w L 1 (I, X). Logo, aplicando o Lema para A X e a hipoese obemos T 0 ϕ(s)a(w(s)) ds = T = A( 0 T A(ϕ(s)w(s)) ds 0 ϕ(s)w(s)) ds = 0, ϕ D(0, T ). Como A(w(s)) A X w(s) X <, emos A(w(s)) L 1 (I). Usando o Teorema , emos A(w(s)) = 0, q.s. em I. Finalmene usando o Corolario de Hanh-Banach(Ver [5], pg. 4), w(s) = 0, q.s. em I Exisência e unicidade de uma equação ordinária auônoma Teorema ([12], pg. 146) Seja f : U R n. Uma função coninuamene diferenciável no abero U R n. Enão dados 0 R e 48

58 x 0 U quaisquer, exise uma única solução do problema de valor inicial x = f(x), (P V I) x( 0 ) = x 0 denida num inervalo abero ( 0 α, 0 + α), para cero α = α( 0, x 0 ) posiivo. Observação A solução x : ( 0 α, 0 + α) R n é de classe C 2. Denição Dizemos que I é um inervalo máximo da solução de (PVI) por x 0 se, dada qualquer solução x : J R n de (PVI) emos J I. Exisem dois moivos básicos para um inervalo máximo ser nio: ou a solução em E ende ao innio de R n ou à froneira do domínio E. Teorema ([12], pg. 149) Seja x : I(x 0 ) R n a solução máxima de (PVI), denida no inervalo máximo I(x 0 ) = (α, β). Se β (0, + ) enão, dado qualquer compaco K U, exise (0, β) al que x() U \ K. Analogamene, se α < 0 enão, dado qualquer compaco K U, exise (α, 0) al que x() U \ K. Uma consequência basane úil é a que segue Corolário ([12], pg. 149) Se f em domínio R n e se x : I R n é uma solução de (PVI) al que x() é limiado para odo I, enão I = R. 49

59 Capíulo 2 Exisência e Unicidade 2.1 Hipóeses adicionais Nesa seção, seguindo [63], impomos algumas hipóeses sobre a função ρ que são sucienes para provarmos a exisência e unicidade de soluções globais fores para o sisema ermoelásico. As hipóeses assumidas nese rabalho generalizam o caso ρ(x, s) = a(x) s p s, para 0 p < e a : [0, ) uma função conínua. função Seja R n abero e limiado. Daqui em diane consideramos uma ρ : R n R n (x, s) ρ(x, s) al que saisfaz as seguines condições: 1. ρ e ρ s i são conínuas em R n, 1 i n; 2. ρ(x, s). s 0, (x, s) R n ; 3. ξ T. ρ s (x, s). ξ 0, (x, s) Rn, ξ R n ; 50