Hipersuperfícies de Rotação Auto-redutoras no Espaço Euclidiano

Transcrição

1 Universidade de Brasília Insiuo de Ciências Eaas Deparameno de Maemáica Disseração de Mesrado em Maemáica Hipersuperfícies de Roação Auo-reduoras no Espaço Euclidiano por Javier Rubén Sabino Norabuena Orienadora: Prof a. Dr a. Kei Tenenbla Brasília-DF 2014

2 Universidade de Brasília Insiuo de Ciências Eaas Deparameno de Maemáica Hipersuperfícies de Roação Auo-reduoras no Espaço Euclidiano por Javier Rubén Sabino Norabuena Disseração apresenada ao Corpo Docene do Programa de Pós- Graduação em Maemáica - UnB, como requisio parcial para obenção do grau de MESTRE EM MATEMÁTICA Brasília, 15 de maio de 2014 Comissão eaminadora: Prof a.dr a. Kei Tenenbla - MAT/UNB (Orienadora) Prof. Dr. Carlos Maber Carrión Riveros - MAT/UNB Prof. Dr. Romildo da Silva Pina - MAT/UFG * o auor foi bolsisa do CNPq durane a elaboração desa disseração. 2

3 Agradecimenos - De uma forma muio especial, a Deus, que em sido um óimo pai e em me concedido grandes oporunidades. Se cheguei aé aqui, isso devo a Ele. - À minha mãe, Carmela Norabuena Toledo, e a meu pai, Amancio Sabino Escolásico, pela educação, pelo fore incenivo e por odos os preciosos conselhos. -As minhas irmãs: Jusina Sabino, María Sabino e Yuli Sabino, e aos meus irmãos: Edgar Sabino e Oliver Sabino, pelo incenivo, palavras de ânimo durane a graduação e o mesrado e por se preocuparem ano comigo nesse período. Também agradeço aos meus cunhados-amigos Feliciano Cacha e Máimo Villareal pelas palavras de encorajameno. - À minha orienadora Kei Tenenbla, por sua enorme paciência em responder minhas inúmeras pergunas, por sua dedicação a ese rabalho e pela eperiência que pude adquirir com seus ensinamenos. - Aos professores Romildo da Silva Pina e Carlos Maber Carrión Riveros, por erem aceio paricipar da banca eaminadora dese rabalho. - Aos meus professores de graduação: Jesús Ezpinola, Miguel Yglesias e Vladimir Rodriguez pelo encorajameno no esudo da maemáica. - Aos meus amigos de maemáica: Mayer Solorzano, Robero Vila e Josimar Ramirez pelas discussões e sugesões no desenvolvimeno dese rabalho. Aos meus amigos, de esudo e lazer, Jaime Rojas, Jamer Insupe, Jhoel Sandoval, Pedro Sanchez e Sonia Torre. - Aos amigos e crisãos: Julian Lázaro, Mac Jamanca, Karina Huera, Rosa Leon, Samuel Miranda, Dorcas Silverio, José Oliveira, Oo Auguso, Flávio Junker, Naália Junker, Magno Silva, Sérgio Gonzaga e Sabryna Dos Sanos, por suas orações, pelo carinho e apoio moral. - Ao CNPq, pelo apoio nanceiro.

4 Resumo Baseado em um arigo de Sephen J. Kleene e Niels M. M ller, apresenamos um esudo sobre a eisência de uma família a um parâmero de hipersuperfícies Σ n R n+1 auo-reduoras, geradas pela roação de curvas planas. Σ n é assinóica a um cone, suave, não-compaca e de curvaura média posiiva. A prova envolve análise de uma equação diferencial ordinária elípica de segunda ordem quase-linear com derivada cúbica.

5 Absrac Based on a paper of Sephen J. Kleene and Niels M. M ller, we sudy he eisence of a 1-parameer family of non-compac smooh self-shrinker hypersurfaces Σ n R n+1, generaed by he roaion of plane curves. Σ n has posiive mean curvaure and i is asympoic o a cone. The proof involves he analysis of a cubic-derivaive quasi-linear ellipic secondorder ordinary dierenial equaion.

6 Sumário Inrodução 1 1 Preliminares Hipersuperfície paramerizada regular A aplicação de Gauss Curvauras Hipersuperfícies de roação Teorema do pono o de Banach Um lema sobre equações diferenciais ordinárias Fluo de Curvaura Média e Hipersuperfície Auo-reduora Fluo de curvaura média Eemplos do uo de curvaura média Hipersuperfície auo-reduora Hipersuperfícies de Roação Auo-reduoras A equação auo-reduora para hipersuperfícies de roação Uma idenidade inegral para curvas Aplicação do eorema do pono o de Banach Prova do eorema principal Referências bibliográcas 55

7 Inrodução O esudo de hipersuperfícies auo-reduoras ou auo-encolhidas ("selfshrinkers") nasceu a parir do esudo do uo de curvaura média, que foi esudado pela primeira vez por Brakke em [7], no coneo de eoria de medida geomérica sobre o movimeno de uma superfície pelo uo de curvaura média. O esudo do uo de curvaura média, a parir da perspeciva de equações diferenciais parciais, começou com o arigo de Huisken [3] sobre o uo de hipersuperfícies conveas. Um dos problemas mais imporanes no uo de curvaura média é enender as possíveis singularidades que o uo aravessa. Singularidades são ineviáveis, quando o uo conrai qualquer hipersuperfície mergulhada fechada no espaço Euclidiano, levando evenualmene a einção da hipersuperfície que esá evoluindo. Um pono de parida fundamenal para a análise de singularidades é a fórmula de monoonicidade de Huisken [4], porque a monoonicidade implica que o uo é assinoicamene auo-similar pero de uma singularidade dada e assim, é modelado por equações auo-reduoras do uo. Mais adiane, Huisken em [5] fez uma análise do comporameno local e global de hipersuperfícies em movimeno pelo uo de curvaura média. No arigo [4], Huisken mosrou que a única hipersuperfície roacionalmene simérica com curvaura média posiiva, obida pela roação do gráco de uma função sobre um eio de roação é o cilindro. Enquano, Ilmanem, em [14], armou a eisência de uma família de hipersuperfícies de roação auo-reduoras que são assinóicas a um cone. É assim 1

8 que Kleene e M ller, em [13], mosraram a eisência de uma família de hipersuperfícies de roação auo-reduoras assinóicas a um cone, com curvaura média posiiva, inerpolando enre o plano e o cilindro redondo orogonal ao plano. Uma pare do rabalho desenvolvido por Kleene e M ller em [13], mosra o seguine: Em R n+1, n 2, eise uma família a um parâmero de hipersuperfícies de roação Σ n auo-reduoras, suaves, não-compacas, assinóicas a um cone e de curvaura média posiiva. Nosso objeivo principal nese rabalho é a demonsração dese resulado, para o qual, vamos dividir nosso rabalho em rês capíulos: No primeiro capíulo, apresenaremos alguns faos relevanes que logo usaremos nos capíulos seguines. Nas Seções 1.1, 1.2, 1.3 e 1.4 inroduzimos o conceio de hipersuperfície paramerizada regular, a aplicação de Gauss, curvauras (de Gauss-Kronecker e média) e hipersuperfícies de roação no espaço Euclidiano R n+1 respecivamene. Na Seção 1.5, denimos o conceio de aplicação de conração e incluímos o Teorema do pono o de Banach. Finalmene na Seção 1.6, enunciamos e provamos um lema sobre equações diferenciais ordinárias que logo será aplicado na Seção 3.2. No Capíulo 2, apresenamos o esudo do uo de curvaura média e de hipersuperfícies auo-reduoras. Na Seção 2.1, denimos o conceio do uo de curvaura média além de enunciar uma equação chamada de equação do uo de curvaura média. Na Seção 2.2, vamos indicar alguns eemplos de soluções da equação do uo de curvaura média, e na Seção 2.3, denimos o conceio de hipersuperfície auo-reduora, a parir da qual oberemos uma equação denominada, a equação auo-reduora para hipersuperfícies, a qual é uma ferramena imporane no desenvolvimeno dese rabalho. Finalmene no Capíulo 3, na Seção 3.1, resringindo o esudo a hipersuperfícies de roação enconramos uma equação denominada equação auo-reduora para hipersuperfícies de roação gerada por uma curva 2

9 plana. A parir desa equação obemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem quasi-linear com derivada cúbica, de modo que o rabalho resane do Capíulo 3 esá baseado na análise desa equação diferencial ordinária. Na Seção 3.2, obemos uma idenidade inegral para soluções desa equação diferencial ordinária. Na Seção 3.3 aplicamos o eorema do pono o de Banach para deerminar a eisência e unicidade de soluções da equação diferencial ordinária. Além disso, provamos que ais soluções são assinóicas a um raio o a parir da origem. Finalmene na Seção 3.4 mosramos o resulado principal sobre a eisência da família a um parâmero de hipersuperfícies de roação auo-reduoras Σ n no espaço Euclidiano R n+1, cumprindo assim o objeivo dese rabalho. 3

10 Capíulo 1 Preliminares Vamos dividir ese capíulo de preliminares em cinco seções. Nas primeiras quaro seções inroduziremos o conceio de hipersuperfície paramerizada regular no espaço Euclidiano R n+1, n 2, a aplicação de Gauss, curvauras (de Gauss-Kronecker e média) e hipersuperfície de roação. Na Seção 1.5 incluímos o Teorema do pono o de Banach e na Seção 1.6 provamos um lema sobre equações diferenciais ordinárias que será úil no Capíulo 3. Assumimos que o leior eseja familiarizado com os cursos de Geomeria Diferencial, Equações Diferenciais Ordinárias, Análise no R n e Análise funcional. Para ese capíulo as principais referências são [10], [1], [16], [6] e [9]. Nas Seções 1.1 e 1.2, os conceios iniciais como aplicações diferenciáveis enre conjunos, espaço angene e veor uniário normal são uilizados sem maiores eplicações (ver do Carmo [10] e Kühnel [16]) Hipersuperfície paramerizada regular O esudo de curvas e superfícies regulares em R 3, assim como a geomeria da aplicação de Gauss (ver do Carmo [10]) pode ser esendido para dimensões superiores. O objeo geomérico que generaliza a noção de uma superfície bidimensional para dimensões maiores é chamado de hipersuperfície. Nós subsiuímos o domínio do parâmero bidimensional por um n dimensional e o espaço Euclidiano ambiene ridimensional por um (n + 1) dimensional. Com esa noção de hipersuperfície, em 4

11 seguida denimos o que é uma hipersuperfície paramerizada regular. Denição 1.1. (Imersão) Seja U R n um conjuno abero no espaço Euclidiano R n. Uma aplicação diferenciável f : U R n+1 chama-se uma imersão quando, para cada pono u U, a derivada df u : R n R n+1 é uma ransformação linear injeiva. Denição 1.2. (Hipersuperfície paramerizada regular) Uma aplicação f : U R n+1 é chamada uma hipersuperfície paramerizada regular, se U R n é abero e f é uma imersão. Para u = (u 1,..., u n ) U é associado o pono f(u) de n+1 coordenadas f(u) = (f 1 (u),..., f n+1 (u)). Denição 1.3. (Hiperplano angene) Sejam U R n abero e f : U R n+1 uma hipersuperfície paramerizada regular, enão o hiperplano angene de f em u U denoado por T u f, é denido como a imagem do espaço angene T u U de U no pono u pela aplicação df u, i.e. T u f = df u (T u U) A aplicação de Gauss A parir desa seção denoaremos por Σ à hipersuperfície paramerizaada regular n dimensional f : U R n+1, onde U é um conjuno abero em R n, i.e. Σ = f(u). Denição 1.4. Sejam V U um conjuno abero em U e N : V R n+1 uma aplicação diferenciável que associa a cada q V um veor uniário N(q) normal a T q Σ, enão, dizemos que N é um campo diferenciável de veores normais uniários em V. Denição 1.5. (Orienação) Uma hipersuperfície regular Σ é orienável se ela admie um campo diferenciável de veores normais uniários N : Σ R n+1 denido em oda a hipersuperfície; a escolha de um al campo N é chamada uma orienação de Σ. Denição 1.6. (A aplicação de Gauss) Seja Σ R n+1 uma hipersuperfície regular com uma orienação N e seja S n a esfera uniária em R n+1 cenrado na origem. A aplicação diferenciável N : Σ S n R n+1, que para cada pono p Σ associa o veor uniário normal N(p) a Σ em p, é chamada a aplicação de Gauss da hipersuperfície Σ. 5

12 A diferencial da aplicação de Gauss dn p de N em p Σ é uma aplicação linear de T p Σ em T N(p) S 2. Como T p Σ e T N(p) S 2 são os mesmos espaços veoriais, dn p pode ser olhada como uma aplicação linear em T p Σ, iso é, dn p : T p Σ T p Σ Curvauras Denimos a curvaura de Gauss-Kronecker e a curvaura média da hipersuperfície Σ R n+1 da seguine maneira: Denição 1.7. (Curvaura de Gauss-Kronecker e média) Seja p um pono de Σ e seja dn p : T p Σ T p Σ a diferencial da aplicação de Gauss. Enão, o deerminane de dn p é chamada a curvaura de Gauss-Kronecker K de Σ em p e o negaivo do raço da dn p é chamada a curvaura média H de Σ em p Hipersuperfícies de roação Nesa seção, vamos deerminar a diferencial da aplicação de Gauss e a curvaura média de uma hipersuperfície de roação gerada por uma curva no espaço euclidiano R n+1. Sejam C uma curva do plano 1, n+1, onde n 2, conida no semiespaço 1 > 0 e O 1 o eio de roação de C. Seja n+1 = ϕ(v), 1 = ψ(v), a < v < b, ϕ(v) > 0, uma paramerização para C. Girando esa curva em orno do eio O 1 obemos uma hipersuperfície n dimensional Σ, chamada hipersuperfície de roação em R n+1. Agora, consideremos u 1,..., u n 1 como os ângulos de roação da curva C em orno do eio O 1. Sejam {η 1,..., η n+1 } a base oronormal canônica de R n+1 e S n 1 a esfera uniária no espaço R n gerado por {η 1,..., η n }. 6

13 Podemos er uma paramerização de S n 1 R n dada por Y 1 = cosu 1, Y 2 = senu 1 cosu 2,. Y n 1 = senu 1... senu n 2 cosu n 1, Y n = senu 1... senu n 2 senu n 1. (1.1) Daqui resula que (u 1,..., u n 1, v) = (ϕ(v)y 1, ϕ(v)y 2,..., ϕ(v)y n, ψ(v)), é a paramerização da hipersuperfície roacional Σ, onde Y i = Y i (u 1,..., u n 1 ) são dadas por (1.1). Consideremos Y (u 1,..., u n 1 ) = (Y 1 (u 1,..., u n 1 ),..., Y n (u 1,..., u n 1 ), 0), (1.2) o veor posição da esfera S n 1 R n. Enão, podemos escrever a paramerização de Σ como (u 1,..., u n 1, v) = ϕ(v)y (u 1,..., u n 1 ) + ψ(v)η n+1, (1.3) onde η n+1 = (0, 0, 0,..., 0, 1) é o eio de roação. Derivando emos os campos de veores de coordenadas orogonais em Σ ui = ϕ(v)y ui, i = 1, 2,..., (n 1), (1.4) v = ϕ (v)y + ψ (v)η n+1. A aplicação de Gauss da hipersuperfície de roação em a forma N = ay + bη n+1, a, b R. (1.5) Agora vamos deerminar os valores de a e b que saisfazem N, ui = 0, i = 1,..., (n 1), N, v = 0. (1.6) Como Y, Y = 1, derivando em relação a u i, obemos Y, Y ui = 0. Daí, segue de (1.2) e (1.4) que a primeira equação em (1.6) é rivialmene 7

14 saisfeia, e da segunda equação emos aϕ (v) + bψ (v) = 0. Além disso, noe que a 2 + b 2 = 1. Logo emos o seguine sisema de equações aϕ (v) + bψ (v) = 0, a 2 + b 2 = 1. Desenvolvendo o sisema (1.7) obemos a = ψ (v) ξ, b = ± ϕ (v) ξ, (1.7) onde ξ = (ψ ) 2 + (ϕ ) 2, para os quais o sisema (1.6) é saisfeio. Logo, subsiuindo a e b na equação (1.5), emos N = ψ (v) ξ Y ± ϕ (v) ξ η n+1. Porano, a aplicação de Gauss aponando para o eerior da hipersuperfície de roação, é dada por N = 1 ξ (ϕ η n+1 ψ Y ). (1.8) Agora vamos deerminar a diferencial da aplicação de Gauss. Usando os valores de ui e v obidos em (1.4), para i = 1,..., (n 1), obemos E ij = ui, uj = 0, i j, E ii = ui, ui = ϕ 2 Y ui, Y ui = ϕ 2 Y, Y ui u i, F iv = ui, v = 0, (1.9) F vi = v, ui = 0, G vv = v, v = (ϕ ) 2 + (ψ ) 2 = ξ. Usando o sisema (1.6) e a equação (1.8) em-se que e ij = N ui, uj = N, uj u i = 0, i j, e ii = N ui, ui = N, ui u i = ψ ϕ ξ Y, Y ui u i, f iv = ui, N v = N, ui v = 0, (1.10) f vi = N v, ui = N, vui = 0, g vv = N v, v = N, vv = 1 ξ (ϕ ψ ψ ϕ ). 8

15 Noe que N ui e N v perencem a T p Σ, logo podemos escrever N u1 = a 11 u1 + a 21 u2 + + a (n 1)1 un 1 + a v1 v, N u2 = a 12 u1 + a 22 u2 + + a (n 1)2 un 1 + a v2 v,. N un 1 = a 1(n 1) u1 + a 2(n 1) u2 + + a (n 1)(n 1) un 1 + a v(n 1) v, N v = a 1v u1 + a 2v u2 + + a (n 1)v un 1 + a vv v, iso é, dn u 1 u 2. u n 1 v = a 11 a a 1(n 1) a 1v a 21 a a 2(n 1) a 2v..... a (n 1)1 a (n 1)2... a (n 1)(n 1) a (n 1)v a v1 a v2... a v(n 1) a vv u 1 u 2. u n 1 v. Iso mosra que, na base { u1,..., un 1, v }, dn é dada pela mariz (a ij ), i, j = 1, 2,..., n 1, v. Logo, as relações (1.10) podem ser epressas em forma maricial por ( ) ( eii I n 1 f iv Eii I n 1 F iv = (a ij ) f vi g vv onde I n 1 é a aplicação idenidade, e F vi G vv ) ( ) ( eii I n 1 0 Eii I n 1 0 (a ij ) = 0 g vv 0 G vv ( ) ( ) eii I n 1 0 E 1 ii I n 1 0 = 0 g vv 0 G 1 vv e ii I n 1 0 = E ii g vv. 0 G vv ) 1 Assim, a diferencial da aplicação de Gauss é dada por ψ dn = ϕ ξ I n 1 0 ψ ϕ ϕ ψ 0 ξ, (1.11) ξ 9

16 onde ξ = (ψ ) 2 + (ϕ ) 2. A diferencial dn de N é denominada aplicação de Weingaren. Pela Denição 1.7 sabemos que a curvaura média de uma hipersuperfície é igual a menos o raço da diferencial da aplicação de Gauss. Enão usando o resulado (1.11), emos que { n 1 ( H = ψ ) } ϕ + ψ ϕ ϕ ψ ξ ξ, ξ i=1 onde ξ = (ψ) 2 + (ϕ) 2, ou equivalenemene, H = (n 1) ψ ϕ ξ + ϕ ψ ψ ϕ ξ, (1.12) ξ é a curvaura média da hipersuperfície de roação Σ em R n Teorema do pono o de Banach Em Análise, o Teorema do pono o de Banach foi enunciado e provado por Sefan Banach em 1922 e é ambém conhecido como o princípio de conração. Esse eorema pode ser uilizado para provar a eisência e unicidade para soluções de equações de diversos ipos. Um eemplo ípico do seu uso é no cálculo por aproimações sucessivas de raízes de funções. Denição 1.8. (Aplicação de conração) Uma aplicação T : Y Y de um espaço mérico Y sobre Y é denominada uma aplicação de conração se, e somene se, eise um 0 < τ < 1 al que para quaisquer u, v Y, vale T (u) T (v) τ u v. Denição 1.9. (Pono o) Um pono o de uma aplicação T : Y Y é um pono u Y al que T (u) = u. Denição (Espaços méricos compleos) Um espaço mérico Y é denominado compleo se, e somene se, cada sequência convergene u n, converge a um pono em Y. Caso conrário, Y é dio incompleo. Eemplos de espaços méricos compleos são o conjuno de números reais R e o conjuno de números compleos C. O conjuno de números 10

17 racionais Q é um espaço mérico incompleo. O próimo eorema arma que as aplicações de conração são conínuas. Teorema Se T é uma aplicação de conração sobre Y, enão T é conínua. Prova. Suponha que u n é uma sequência al que lim u n = u, enão n lim T (u n) = T (u), pois T (u n ) T (u) u n u. n Teorema (Teorema do pono o de Banach) Seja Y um espaço mérico compleo e seja T : Y Y uma aplicação de conração com consane de conração τ (0, 1). Enão T em um único pono o u Y. Ou seja, eise um, e somene um, pono u Y, al que T (u) = u. Além disso, se v Y é escolhido arbirariamene, enão a ieração {u n } n=0, dada por u 0 = v, u n = T (u n 1 ), n 1, em a propriedade de que lim n u n = u. Prova. Seja v Y um pono arbirário de Y e considere a sequência {u n } n=0, dada por u 0 = v, u n = T (u n 1 ), n 1. Vamos provar que {u n } n=0 é uma sequência de Cauchy em Y. Para m < n vamos usar a desigualdade riangular e noar que u m u n u m u m+1 + u m+1 u m u n 1 u n. Como T é uma aplicação de conração, emos que u p u p+1 = T (u p 1 ) T (u p ) τ u p 1 u p, para odo ineiro p 1. Usando esa desigualdade repeidamene, obemos u p u p+1 τ p u 0 u 1 ; 11

18 porano, i.e., u m u n ( τ m + τ m τ n 1) u 0 u 1, u m u n τ m 1 τ u 0 u 1, sempre que m n. A parir disso, deduzimos que {u n } n=0 é uma sequência de Cauchy em Y. Como Y é compleo, esa sequência em um limie, iso é, u Y. Por ouro lado, como T é conínua, segue-se que u = lim n u n = lim n T (u n 1 ) = T ( lim n u n 1 ) = T (u), e, assim, u é um pono o de T. Se u e v são ambos ponos os de T, obemos u v = T (u) T (v) τ u v. Como τ < 1, devemos er que u = v. Lema Seja Φ σ : Y Y uma família suave a um parâmero σ > 0 de aplicações de conração num subconjuno abero o Y de um espaço de Banach X. Enão os ponos os σ de Φ σ são funções suaves do parâmero σ. Prova. Seja σ o, e sejam σ e σ+h ponos os para Φ σ e Φ σ+h respecivamene. Enão, como Φ σ e Φ σ+h são aplicações de conração, emos que σ+h σ = Φ σ+h ( σ+h ) Φ σ ( σ ) Φ σ+h ( σ+h ) Φ σ ( σ+h ) + Φ σ ( σ+h ) Φ σ ( σ ) = Φ σ+h( σ+h ) Φ σ ( σ+h ) h + Φ σ ( σ+h ) Φ σ ( σ ) h Φ σ σ (σ, σ+h) h + τ σ+h σ + O(h), onde τ (0, 1) e O(h) é al que lim h 0 O(h) h = 0. 12

19 Porano, os ponos os σ são pelo menos funções conínuas de Lipschiz de σ. Para mosrar a diferenciabilidade, volamos a escrever σ+h σ = Φ σ+h ( σ+h ) Φ σ ( σ ) = (Φ σ+h ( σ+h ) Φ σ ( σ+h )) + (Φ σ ( σ+h ) Φ σ ( σ )). Pelo desenvolvimeno em serie de Taylor emos que Daí, Φ σ ( σ+h ) Φ σ ( σ ) = Φ σ σ ( σ+h σ ) + O( σ+h σ 2 ). σ+h σ = Φ σ σ ( σ+h σ ) + O( σ+h σ 2 )+ + Φ σ+h ( σ+h ) Φ σ ( σ+h ). Reorganizando os ermos, vemos que ( I Φ ) σ O( σ+h σ ) ( σ+h σ ) = Φ σ+h ( σ+h ) Φ σ ( σ+h ). σ Dividindo por h e considerando o limie quando h 0, obemos ( d σ dσ = I Φ ) 1 σ Φ σ σ σ (σ, σ+h). (1.13) Noe que o operador A = I Φ σ σ conração emos D Φ < 1. é inversível. De fao, como Φ σ é uma Noe-se que a fórmula para a derivada (1.13) implica que os ponos os σ dependem suavemene no parâmero σ, uma vez que o lado direio da epressão pode ser diferenciada em σ, já que as aplicações Φ σ são diferenciáveis Um lema sobre equações diferenciais ordinárias O seguine resulado é um lema sobre equações diferenciais ordinárias lineares não homogêneas de segunda ordem. 13

20 Lema Seja g : (d, a) R + uma função denida no inervalo abero (d, a), onde a > d 0. Para r (d, a) consideremos a seguine equação diferencial ordinária linear não homogênea de segunda ordem g (r) A(r) r 2 g (r) + A(r) 1 g(r) = L(r)A(r), (1.14) 2 onde A(r) e L(r) são funções diferenciáveis, enão para consanes arbirarias c 1 e c 2 a solução geral da equação (1.14) é a e a z s 2 A(z)dz a { 1 a g(r) = c 1 r+c 2 r ds+r s 2 2 Prova. r r sl(s)a(s)e s } z 2 A(z)dz ds d. (1.15) Para resolver a equação linear não homogênea (1.14), vamos primeiro deerminar uma solução homogênea g H (r) e oura paricular g P (r) para nalmene ober a solução geral (1.15) dada por g(r) = g H (r) + g P (r). (1.16) Consideremos a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem g (r) A(r) r 2 g (r) + A(r) 1 g(r) = 0, (1.17) 2 observamos que uma solução não rivial é g 1 (r) = r. Pelo méodo de d'alamber podemos enconrar uma segunda solução g 2 = g 2 (r) aravés da muliplicação da solução conhecida g 1 = g 1 (r) por uma função incógnia v = v(r) que será a solução de uma equação que aparecerá quando subsiuirmos g 2 = g 2 (r) na equação diferencial ordinária linear dada, i.e. g 2 (r) = g 1 (r)v(r) = rv(r). Subsiuindo g 2 em (1.17), obêm-se v(r) = a r e a s z 2 A(z)dz Daí, emos que um par de soluções da equação linear homogênea (1.17) são a e a z s 2 A(z)dz g 1 (r) = r e g 2 (r) = r ds. (1.18) r s 2 Observamos que as soluções em (1.18) são linearmene independenes, pois, o seu Wronskiano g 1 () W (r) = W (g 1 (r), g 2 (r)) = g 1() 14 s 2 g 2 () g 2() ds. = e a r z 2 A(z)dz,

21 é diferene de 0 para algum r (d, a). Assim, como g 1 (r) e g 2 (r) são linearmene independenes, para consanes arbirarias c 1 e c 2, a solução geral da equação homogênea (1.17) é: a e a z s 2 A(z)dz g H (r) = c 1 r + c 2 r ds. (1.19) r s 2 O méodo de variação de parâmeros diz-nos que uma solução paricular g P (r) da equação não homogênea (1.14) pode ser obida a parir de g H (r), subsiuindo as consanes c 1 e c 2 como funções da variável independene r, ou seja, g P (r) = c 1 (r)g 1 (r) + c 2 (r)g 2 (r). (1.20) Para deerminar as duas funções incógnias c 1 (r) e c 2 (r) necessia-se de duas condições: a primeira condição a eigir será Diferenciando em-se c 1g 1 + c 2g 2 = 0. (1.21) g P = c 1 g 1 + c 2 g 2 g P = c 1 g 1 + c 2 g 2 + c 1g 1 + c 2g 2. Subsiuindo em (1.14) e usando a noação l(r) = L(r)A(r), a qual é uma função conínua em (d, a), obêm-se que Resolvendo o sisema (1.21) e (1.22), er-se-á c 1 (r) = a r c 1g 1 + c 2g 2 = l(r). (1.22) g 2 ()l() W () d e c 2(r) = a r g 1 ()l() W () d. Logo, subsiuindo c 1 (r), c 2 (r), g 1 (r) e g 2 (r) em (1.13), emos g P (r) = r = r a r { v()l() d + rv(r) W () a [ ( v() l() W () r a r l() W () d )] d + [ v() a sl(s) W (s) ds Aplicando inegração por pares nesa úlima igualdade, obemos a {[ a ] } sl(s) g P (r) = r v () d. (1.23) W (s)ds r 15 ] a r }.

22 Porano, subsiuindo l(s) = L(s)A(s), W (s) = e a s v () = e a z 2 A(z)ds, z 2 A(z)dz 2, na equação (1.23), a solução paricular da equação não homogênea (1.14) é: a { 1 a } g P (r) = r sl(s)a(s)e s z r 2 2 A(z)dz ds d. (1.24) Finalmene, subsiuindo os resulados obidos em (1.19) e (1.24) na equação (1.16), obemos a solução geral (1.15) da equação linear não homogênea (1.14). 16

23 Capíulo 2 Fluo de Curvaura Média e Hipersuperfície Auo-reduora Na primeira seção dese capíulo deniremos o conceio de uo de curvaura média, e inroduziremos uma equação chamada de equação do uo de curvaura média. Na Seção 2.2 vamos indicar alguns eemplos de soluções da equação de uo de curvaura média, denre as quais oberemos soluções auo-reduoras as quais represenam uma classe especial de soluções que não mudam de forma sobre o uo de curvaura média. Finalmene na Seção 2.3, vamos denir o conceio de hipersuperfícies auo-reduoras e como consequência vamos ober uma equação denominada equação auo-reduora para hipersuperfícies, que é uma equação muio imporane no desenvolvimeno dese rabalho. Nese capíulo as principais referências são [15], [8] e [4] Fluo de curvaura média A seguir, baseado no livro de Ecker [8], vamos eplicar de forma dealhada o que é o uo de curvaura média, que represena o processo de evolução sob o qual uma hipersuperfície deforma-se na direção de seu veor curvaura média. Denição 2.1. Sejam Σ n R n+1, n 2, uma hipersuperfície n dimensional, e F : Σ n I R n+1 uma família de mergulhos suaves. Dizemos que 17

24 F é uma solução do uo de curvaura média se F (p, ) = H(F (p, )), (2.1) para p Σ n e I, I R é um inervalo abero, onde H(F (p, )) = HN é o veor curvaura média de Σ curvaura média e N é um campo normal uniário. = F (Σ n, ) no pono F (p, ), H é a A equação (2.1) é chamada a equação do uo de curvaura média. Observação 2.2. Considere uma família de mergulhos suaves F = F (, ) : Σ n R n+1, com Σ = F (Σ n ). Denindo = F (p, ), a equação do uo de curvaura média (2.1) é inerpreada como para p Σ n e I. Em visa da idenidade = H(), (2.2) onde Σ Σ = H, o operador de Laplace-Belrami em Σ, a equação (2.1) pode ambém ser escria na forma que se assemelha formalmene à equação do calor. = Σ, (2.3) Consideremos hipersuperfícies mergulhadas Σ em R n+1 saisfazendo ( ) = H(), onde denoa uma projeção sobre o espaço normal de Σ, enão esa equação é equivalene a (2.1) por difeomorsmos angenciais a Σ. De fao, seja F = F (, ) : Σ n R n+1 com Σ = F (Σ n ) uma família de mergulhos saisfazendo a equação ( F ) (q, ) = H( F (q, )), 18

25 para q Σ n (Aqui denoa a projeção sobre o espaço normal de F (Σ n )). Seja φ = φ(, ) uma família de difeomorsmos de Σ n saisfazendo ( φ ) ( D q F (φ(p, ), ) (p, ) F ), = (φ(p, ), )) (2.4) onde o epoene denoa a projeção sobre o espaço angene de F (Σ n ). A eisência local de uma al família é garanida pelas suposições sobre F. Se denimos enão Σ = F (Σ n ) = F (Σ n ). F (p) = F (p, ) = F (φ(p, ), ) = F (φ (p), ) (2.5) Derivando a equação (2.5) em relação a, obemos ( ) F (p, ) = D F φ q (φ(p, ), ) (p, ) + F (φ(p, ), ), onde q = φ(p, ). Logo, usando o resulado obido em (2.4) emos que ( F (p, ) = F ) (φ(p, ), ) + F ( = F ) (φ(p, ), ) = H( F (φ(p, ), )). Assim, pela equação (2.5) concluímos que F (p, ) = H(F (p, )). (φ(p, ), ) Na seguine seção apresenamos alguns eemplos do uo de curvaura média Eemplos do uo de curvaura média A seguir, vamos eemplicar soluções da equação do uo de curvaura média (2.1). Eemplo 2.3. (Hipersuperfícies mínimas) 19

26 Seja F 0 : Σ n R n+1 um mergulho al que F 0 (Σ n ) é uma hipersuperfície mínima. Seja Σ = F = F 0 : Σ n R n+1, I R, uma deformação rivial de F 0. Enão, Σ é uma solução da equação (2.1), pois, como a sua curvaura média H = 0, emos que Σ saisfaz a equação do uo de curvaura média. Eemplo 2.4. (Esferas) Seja (Σ ) I uma família de n esferas concênricas em R n+1, i.e., Σ = B n+1 r(), onde r() é o raio de Σ. Como os movimenos rígidos de R n+1 maném invariane a curvaura média de hipersuperfícies, sem perda de generalidade podemos considerar as esferas cenradas na origem. Seja () = r()n, o veor posição de Σ, onde N é um campo normal uniário. Como a curvaura média de Σ é dada por H() = n r(), segue que a equação (2.1) se reduz a uma equação diferencial ordinária para a função de raio r() dada por ou, equivalenemene r () = n r(), r()dr = nd. Inegrando ambos os membros desa igualdade de 0 a, obemos r() 2 r(0) 2 = 2n. Se eigimos r(0) = ρ, iso é, Σ 0 = B ρ enão r() = ρ 2 2n, de modo que esa solução de (2.1) eise para (, ρ 2 /2n). Noe que quando = 0 emos à superfície inicial Σ 0 de raio ρ, e quando ende para ρ 2 /2n emos o limie da superfície nal que é simplesmene um pono. Ese processo de evolução para a esfera, quando varia, é chamado esfera reduora. 20

27 Eemplo 2.5. (Cilindros) Se Σ é um cilindro esférico, i.e., Σ = B n+1 k r() R k, para 0 k n (iso inclui o eemplo anerior, quando k = 0), enão a equação (2.1) reduz-se a ou seja (n k) r () =, r() r()dr = (n k)d. Logo inegrando ambos os membros da igualdade de 0 a, emos r() 2 r(0) 2 = 2(n k), de modo que, com r(0) = ρ obém-se r() = ρ 2 2(n k), e a solução eise para (, ρ 2 /2(n k)). Com a variação de, emos que quando = 0, Σ 0 é o cilindro sobre uma esfera de raio ρ, e quando ende para ρ 2 /2(n k) a hipersuperfície Σ ende para R k. Ese processo de evolução é chamado cilindro reduor. Eemplo 2.6. (Soluções homoéicas) O eemplo mais simples de uma solução homoéica de (2.1) é dada pelas esferas reduoras discuidas no Eemplo 2.4. Para ρ = 1, esas saisfazem Σ = 1 2nΣ 0, para odo (, 1/2n). Mais geralmene podemos considerar soluções de (2.1) da forma Σ = λ()σ 1, (2.6) onde 1 é o e λ() é posiivo para variando em um inervalo deerminado. Σ descreve soluções de (2.1) que evoluem por homoeia sobre a origem em R n+1. Podemos considerar F (q, ) = λ() F (q, 1 ), (2.7) 21

28 i.e. uma família de mergulhos F = F (, ) : Σ n R n+1 com Σ = F (Σ n ) saisfazendo a equação de evolução ( F ) (q, ) = H( F (q, )), (2.8) para q Σ n, onde é a projeção sobre o espaço normal de Σ. Na Observação 2.2, vimos que eisem difeomorsmos angenciais φ de Σ n com F (q, ) = F (φ 1 (q), ), para q Σ n (ver (2.5)), onde os mergulhos F = F (, ) : Σ n R n+1 saisfazem a equação do uo de curvaura média para p Σ n. F (p, ) = H(F (p, )), Porano, a menos de difeomorsmos angenciais, a evolução radial ou homoéica da hipersuperfície Σ (descrio por F ) é equivalene a sua evolução normal ao longo do veor curvaura média (descrio por F ). No caso das esferas reduoras (Eemplo 2.4) as duas evoluções coincidem mas no caso da evolução dos cilindros reduores essa evolução é disina da evolução radial ou homoéica. Derivando a equação (2.7) em relação a, obemos F (q, ) = λ () F (q, 1 ), logo subsiuindo esa equação em (2.8) e usando a equação (2.7), emos λ () F (q, 1 ) = H( F (q, )) = H(λ() F (q, 1 )). Observamos que se uma imersão F em curvaura média H, enão a imersão homoéica λ F em curvaura média 1 H. Porano, da úlima λ equação, deduzimos λ () F (q, 1 ) = 1 λ() H( F (q, 1 )), (2.9) 22

29 para q Σ n. Daí, conclui-se que λ()λ () F (q, 1 ) é independene de e inroduzimos a noação α d d λ2 () = 2λ()λ (), independene de. Inegrando de 1 aé, vamos porano ober, supondo λ( 1 ) = 1, que λ() = 1 + α( 1 ), (2.10) para odo saisfazendo 1 + α( 1 ) > 0. Combinando (2.7) e (2.9) e denindo = F (q, ), emos que H() = α 2λ 2 (), (2.11) para Σ e para saisfazendo 1 + α( 1 ) > 0. Iso descreve soluções homoéicas epandindo a parir da origem 0 para α > 0 e soluções homoéicas que conraem para α < 0. Vamos nos concenrar em α < 0. Se considerarmos λ( 0 ) = 0 para algum 0 > 1, i.e., eigindo que a hipersuperfície desapareça no empo 0, enão α = 1/( 0 1 ) e assim por (2.11), iso implica que para Σ. λ() = ( 0 )/( 0 1 ), (2.12) H() = 2( 0 ), (2.13) No esudo dos limies das soluções homoéicas do uo de curvaura média (chamados "eplosões") considera-se principalmene 0 = 0 e 1 = 1. Nese caso, segue-se de (2.6), (2.12) e (2.13) que Σ = Σ 1, (2.14) e para Σ e < 0. H() = 2, (2.15) 23

30 Tomando 1 = 0 1, da equação (2.6) e (2.12), emos que Σ = 0 Σ 0 1. Logo, a conração de soluções homoéicas para 0 R n+1 no empo 0 são descrias por Σ 0 = 0 (Σ ), e saisfaz para Σ e < 0. H() = ( 0) 2( 0 ), (2.16) Eemplo 2.7. (Soluções que são grácos de funções) Vamos considerar uma solução do uo de curvaura média onde a superfície Σ é dada pelo gráco de u(, ) : R n R, I. Em paricular, vamos assumir que a úlima coordenada dos mergulhos F = F (, ), para Σ, pode ser epressa como uma função das primeiras n coordenadas, iso é, ou, equivalenemene, F n+1 (p, ) = u( F (p, ), ), F (p, ) = ( F (p, ), u( F (p, ), )). Denindo = ( 1,..., n ) = F (p, ) R n e abreviando o gradiene D u por Du, emos que ( F = F ) F, Du + u. (2.17) O campo veorial normal uniário eerior à superfície Σ, obida pelo gráco de u, é dado por N = ( Du, 1) 1 + Du 2, e a curvaura média por ( ) Du H = div. 1 + Du 2 24

31 Como (2.1) implica usando (2.17) em ( F (p, ), ), H(F (p, )) = F (p, ).N(F (p, )), 1 u 1 + Du 2 = div ( ) Du. 1 + Du 2 Porano a função u saisfaz a equação diferencial parcial parabólica u = ( ) Du 1 + Du 2 div. (2.18) 1 + Du 2 Noe-se que na obenção de (2.18) usamos somene que a componene normal da velocidade é igual ao veor curvaura média. acabamos de mosrar que a família de mergulhos dadas por F (q, ) = (q, u(q, )), Na verdade, para uma solução u de (2.18), saisfaz ( F ) (q, ) = H( F (q, )). (2.19) Na Observação 2.2, vimos que (2.19) é equivalene a (2.1) por difeomor- smos angenciais φ saisfazendo ( ) ( φ D q F = F ). Observamos que eses difeomorsmos são dados por φ(, ) = F (, ) : R n R n De fao, como F (p, ) = ( F (p, ), u( F (p, ), )) e observando a equação (2.5) noamos que ano F (p, ) como φ(p, ) são as mesmas projeções de F sobre o espaço euclideano R n, em cada pono p R n. Para n = 1, a equação (2.18) se reduz para u = u yy 1 + (u y ) 2 = (arcgu y) y, 25

32 onde u = u(y, ), y R e o índice y denoa as derivadas parciais. Uma solução eplícia de (2.18) é dada por u(y, ) = log cos y +, y ( π/2, π/2). Para n qualquer, soluções pariculares de (2.18) da forma u(, ) = u 0 () +, R n são chamadas soluções de ranslação de (2.1). Como u = 1, nese caso, a função u 0 deve saisfazer a equação diferencial parcial elípica, que segue de (2.18) ( ) Du 1 + Du0 2 0 div = 1. (2.20) 1 + Du0 2 A seguir denimos o que é uma hipersuperfície auo-reduora Hipersuperfície auo-reduora As hipersuperfícies auo-reduoras são uma classe imporane de soluções para o uo de curvaura média. Eles não só esão encolhendo homoeicamene sobre o uo de curvaura média, o objeivo delas ambém é descrever uma possível eplosão de Tipo I (ver [4]) em uma singularidade dada do uo de curvaura média, ou seja, eles proporcionam modelos de singularidade do uo. Em seguida, usando os resulados obidos em (2.14) e (2.15) do eemplo de soluções homoéicas do uo de curvaura média, denimos o que é uma hipersuperfície auo-reduora. Denição 2.8. Dizemos que uma solução F : Σ n (, 0) R n+1 da equação do uo de curvaura média (2.1) é uma hipersuperfície auoreduora se, Σ = F (Σ n, ) saisfaz Σ = Σ 1, (2.21) onde (, 0) e Σ é homoéica a Σ 1. 26

33 Denindo = F (p, ), e considerando = 1 na equação (2.15) a solução = F (p) = F (p, 1) saisfaz a equação H() = 1 2. (2.22) onde é a projeção de em N p Σ 1. Mas, sabemos que H() = HN. (2.23) Enão, igualando as equações (2.22) e (2.23), emos que HN = 1 2. Muliplicando pelo veor normal uniário N ambos os lados desa igualdade, obemos H = 1 2, N() 1 2, N(), }{{} 0 ou equivalenemene,, N H =, (2.24) 2 a qual é uma equação diferencial parcial elípica não-linear (quase-linear) denominada, a equação auo-reduora para o uo de curvaura média. A equação (2.24) nós diz que quando a hipersuperfície Σ, homoéica a Σ 1, evolui pelo veor curvaura média, produz a mesma velocidade normal que a componene normal de /2. Ou seja, a hipersuperfície é auo-reduora por homoeia via Σ = Σ 1 em direção ao pono 0 R n+1 após empo de duração. Proposição 2.9. Seja Σ n R n+1, n 2, uma hipersuperfície de roação n-dimensional gerada pelo gráco de uma curva plana u : R R +. Se Σ n em curvaura média H não-negaiva e saisfaz a equação auoreduora H =, enão Σ n é um cilindro., N 2 A prova desa Proposição podemos enconrar em [4] (Proposição 5.4). 27

34 Capíulo 3 Hipersuperfícies de Roação Auo-reduoras Nese capíulo, vamos enunciar e provar um eorema obido por Kleene e M ller em [13] sobre hipersuperfícies de roação auo-reduoras, cujo enunciado é o seguine: Teorema 3.1. Eise uma família a um parâmero de hipersuperfícies de roação Σ n em R n+1, n 2, auo-reduoras, suaves, não compacas, assinóicas a um cone e de curvaura média posiiva. Para a demonsração dese eorema, vamos dividir ese capíulo em quaro seções. Na Seção 3.1 vamos deerminar uma equação auo-reduora para hipersuperfícies de roação gerado por uma curva suave, a parir da qual oberemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem quasi-linear com derivada cúbica. Na Seção 3.2, oberemos uma idenidade inegral para soluções desa equação diferencial ordinária, a parir da qual oberemos resulados essenciais que logo serão aplicados na demosração do Teorema 3.1. Na Seção 3.3, aplicaremos o eorema do pono o de Banach para deerminar a eisência e unicidade de soluções desa equação diferencial ordinária. Além disso, vamos mosrar que ais soluções são assinóicas a um raio o a parir da origem, que ao girar, vão gerar uma hipersuperfície de roação auo-reduora com curvaura média posiiva. Finalmene na Seção 3.4, mosramos o Teorema

35 3.1 - A equação auo-reduora para hipersuperfícies de roação Nesa seção vamos deerminar uma equação, chamada de auo-reduora, para uma hipersuperfície de roação gerada por uma curva suave plana. Como consequência desa equação enconramos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem quasi-linear com derivada cúbica, de modo que odo o rabalho resane nese capíulo é baseado na análise desa equação diferencial ordinária. Seja u : I R + uma função de classe C 2 (I) denida num inervalo I R. Seja (, u()) uma curva gerada pelo gráco de u conida no plano 1, n+1, onde n 2 e 1 > 0. Girando esa curva em orno do eio O 1, obemos uma hipersuperfície de roação n dimensional Σ R n+1, possivelmene com froneira Σ. Considerando a eoria de hipersuperfícies de roação desenvolvida na Seção 1.4, subsiuímos as funções ϕ e ψ por u() R + e I respecivamene, nas equações (1.3) e (1.8). Porano, emos que uma paramerização para a hipersuperfície de roação Σ é dada por e o campo normal uniário em Σ é N = = uy + η n+1, (3.1) (u ) 2 (u η n+1 Y ), (3.2) onde η n+1 = (0, 0, 0,..., 0, 1) é o eio de roação, e Y = (Y 1,..., Y n, 0) é uma paramerização de S n 1 R n (ver (1.1)). Assim, subsiuindo (3.1) e (3.2) na equação (2.24), emos que, N H = 2 = 1 u() u (). (3.3) 2 (1 + (u ()) 2 ) 1/2 Esa equação é denominada, equação auo-reduora para uma hipersuperfície de roação Σ, gerada pela curva (, u()), fora da froneira Σ. 29

36 Agora, subsiuindo os valores de ϕ = u e ψ = na equação (1.12), emos que H(u()) = n 1 u()(1 + (u ()) 2 ) u (). (3.4) 1/2 (1 + (u ()) 2 ) 3/2 Porano, junando as equações (3.3) e (3.4) obemos a seguine equação diferencial ordinária [ u u () u() () = 2 + n 1 ] (1 + (u ()) 2), (3.5) u() que é uma equação elípica de segunda ordem quasi-linear com derivada cúbica do ipo u p(, u ())u + p(, u ())u = g(u(), u ()), (3.6) para funções p e g denidas apropriadamene Uma idenidade inegral para curvas Nesa seção, deerminamos uma idenidade inegral para soluções da equação diferencial ordinária (3.5). Para começar nós precisaremos do seguine Lema, que observa as condições sucienes onde as soluções deiam de eisir. Lema 3.2. Seja 0 (0, ) e u : ( 0, ) R + a solução do problema de valor inicial u = u( 0 ) = σ 0, u ( 0 ) σ, [ 2 u + n 1 u ] (1 + (u ) 2 ), u 2 (3.7) denida no inervalo abero maimal ( 0, ), onde σ > 0, enão u () u() > 0 e <. Se u( 0 ) ( ) σπ, enão < n Prova. Denindo Ψ() := u () u(), (3.8) noamos que as condições iniciais são equivalenes a Ψ( 0 ) := 0 u ( 0 ) u( 0 ) 0. 30

37 Derivando a equação (3.8) em relação a, obemos [ Ψ() Ψ () = + n 1 ] (1 + (u ()) 2 ) > 2 u() 2 Ψ(). Logo, considerando = 0, emos que Ψ ( 0 ) > 0 2 Ψ( 0) 0. Como Ψ ( 0 ) > 0 enão para algum δ > 0 emos que Ψ () > 0 para J = ( 0, 0 +δ). Porano Ψ() é uma função crescene em J, ou seja Ψ() > Ψ( 0 ) 0, i.e. Ψ() > 0 em J. Pela denição de Ψ(), emos que para J. Porano u () > u() > 0, em J. Logo u() é crescene em J, i.e. Além disso, [ Ψ() u () = 2 em J, e porano u é crescene em J, i.e. u () u() > 0, (3.9) u() > u( 0 ) = σ 0. (3.10) + n 1 ] (1 + (u ()) 2 ) > 0, u() u () > u( 0 ) σ. Enquano Ψ() = u () u() > 0, para > 0, emos que u() é crescene e Ψ() é crescene já que Ψ () = u () > 0. Como u() é crescene, eise 1 0 al que u( 1 ). Sem perda de generalidade vamos considerar Observamos que denindo emos que Φ( 0 ) = 0u ( 0 ) 2 u( 0 ). Φ() = Ψ() 2 + n 1 u( 0 ) u( 0) n 1 u(), 0σ 2 + n 1 σ 0 σ 0 2,

38 iso é Φ( 0 ) n 1 σ 0. Armação: Φ() n 1 σ 0, para odo 0. De fao, suponhamos que Φ() n 1 σ 0 aé 0, enão d d (Φ()) = 2 u (n 1) u u = 2 2 Φ()(1 + (u ) 2 ) (n 1) u u 2 ( ) n 1 (1 + (u ) 2 ) (n 1) u 2 σ 0 u 2 ( ) 0 n 1 + ( ) n 1 (u ) 2 (n 1) u 2 σ 0 2 σ 0 u 2 = n 1 ( u + (n 1)u 1 ). 2σ 2σ 0 u 2 Como u() > u( 0 ) e Ψ() > 0 emos u () > u(). Porano, na úlima desigualdade emos d d (Φ()) n 1 ( ) u 1 + (n 1)u 2σ 2σ 0 > n 1 ( ) 1 + (n 1)u 2σ 2 1 > 0, onde na penúlima igualdade usamos o resulado obido em (3.10), i.e. u() > σ 0. Porano Φ() é crescene, i.e. Φ() > Φ( 0 ) n 1 σ 0, o que prova a Armação. Concluímos que enquano u () u() > 0, para > 0, enão as propriedades Φ() n 1, σ 0 u () σ, u(), são preservados quando 0 cresce. Usando o fao de que Φ() n 1, emos que σ 0 u () = Φ()(1 + (u ) 2 ) n 1 σ 0 (1 + (u ) 2 ), 32 (3.11)

39 para > 0. Inegrando esa desigualdade emos: [ u () an (n 1) ] 0 + arcanσ. (3.12) σ 0 u De fao, como 1 + (u ) n 1, inegrando ambos os membros da desigualdade de 0 a, 2 σ 0 obemos daí, arcanu () arcanu ( 0 ) n 1 σ 0 ( 0 ), arcanu () arcanu ( 0 ) + n 1 σ 0 ( 0 ). Agora, u ( 0 ) σ, implica que arcanu ( 0 ) arcanσ. Segue-se que e porano (3.12) se verica. arcanu () arcanσ + (n 1) 0 σ 0, Agora noe que π 2 < (n 1) 0 σ 0 + arcanσ < π 2, arcanσ π 2 < (n 1) 0 < π σ 0 2 arcanσ, σ ( 0 arcanσ + π ) < 0 < σ ( 0 π ) n 1 2 n 1 2 arcanσ, 0 σ ( 0 arcanσ + π ) < < σ ( 0 π ) n 1 2 n 1 2 arcanσ + 0. (3.13) Por ouro lado 0 < σ 0 n 1 π 2 < arcanσ < π 2, 0 < π arcanσ < π, 2 ( π ) 2 arcan σ + 0 < σ 0 n 1 π + 0 = ( ) σπ n (3.14) Enão, de (3.13) e (3.14) obém-se 0 < σ ( 0 π ) n 1 2 arcanσ + 0 < ( ) σπ n

40 ( ) σπ Assim, considerando =, emos que < e < n O corolário a seguir fornece uma inerpreação geomérica das condições iniciais do Lema 3.2. Corolário 3.3. Seja u() uma solução do problema de valor inicial (3.7) do Lema 3.2. Se Σ R n+1 é a hipersuperfície de roação, auo-reduora, gerada pela curva (, u()), enão a curvaura média H(u( 0 )) 0. Prova. Para = 0, da equação auo-reduora (3.3), emos que H(u( 0 )) = 1 u( 0 ) 0 u ( 0 ) = (u ( 0 )) 2 2 Ψ( 0 ) 1 + (u ( 0 )) 0. 2 Lema 3.4. (Idenidade Inegral). Para qualquer solução u : (d, ) R + de (3.5), i.e. de [ u u () u() () = 2 + n 1 ] (1 + (u ()) 2 ), u() onde d 0, eise um σ = σ(u) 0 al que u saisfaz a idenidade { 1 u() = s 1 + } (u (s)) 2 e s z 2 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds d + σ, 2u(s) (3.15) para (d, ). Além disso, para a [, ). u(a) σ = lim a a e u() > σ, (3.16) Prova. Suponha primeiro que u : (d, a) R + seja uma solução denida em um inervalo (d, a). Podemos considerar que a solução u resolve uma equação linear não homogênea deerminada por u ( 1 + (u ) 2) 2 u + ( 1 + (u ) 2) 1 (n 1) u = (1 + (u ) 2 ). (3.17) 2 u Segue do Lema 1.14, que a solução geral da equação (3.17) é dada por u() = c 1 + c 2 + (n 1) a a e a s 1 2 z 2 (1+(u (z)) 2 )dz s 2 { a ds s (1 + } (u (s)) 2 ) e s z 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds d, u(s) (3.18) 34

41 para consanes arbirarias c 1 e c 2. Quando = a, obemos c 1 = u(a) a e c 2 = u(a) u (a)a. Assim, subsiuindo em (3.18) os valores de c 1 e c 2, em-se que u() = u(a) a a + (u(a) u (a)a) { a + (n 1) a 1 2 e a s z 2 (1+(u (z)) 2 )dz s 2 ds s (1 + (u (s)) 2 ) e s z 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds u(s) } d. (3.19) Para complear a prova de (3.15), vamos mosrar que eise um σ 0 al que e que lim a [ (u(a) u (a)a) u(a) lim a a a e a s = σ, (3.20) z 2 (1+(u (z)) 2 )dz s 2 ds ] = 0. (3.21) Pelo Lema 3.2, se eise um inervalo onde Ψ() = u () u() 0, 0, enão o inervalo maimal onde u esá denido é nio. Assim, como no Lema 3.4 esamos considerando que o domínio de qualquer solução u : (d, ) R + ese denido em (d, ), enão podemos concluir que a quanidade Ψ() é negaiva, ou seja, u () < u(). Dese modo, u(a) é monóona decrescene em a, e porano eise um σ 0 al que a u(a) lim a a = σ. Como a negaividade de Ψ() implica que u () u() < 0, em paricular, quando = a, emos que u(a) u (a)a > 0. Assim, na equação (3.19), obemos a u() (n 1) { 1 a 2 s (1 + } (u (s)) 2 ) e s z 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds d + σ. u(s) (3.22) Por isso, segue-se que eise uma sequência {a k } aumenando ao in- nio al que u(a k ). Caso conrário, eríamos que u() < 1 para sucienemene grande, e porano u() > 1. 35

42 Daí, usando a desigualdade (3.22) obemos para ais sucienemene grandes que u() (n 1) + σ. Logo, considerando a { 1 a } s(1 + (u (s)) 2 )e s z 2 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds d em-se que p(s) = s u() a z 2 (1 + (u (z)) 2 )dz, 1 2 ( 1 a R(a), ( 1 1 e p(a) ) ( 1 1 e p(a) ) d + σ ) + σ a onde R(a) = [ a ae + 1 p(a) e p(a) ] σ, a e lim R(a) = 0. a Assim, quando a ende para o innio, emos que originando a conradição. u(), Além disso, pode-se modicar a sequência a k para saisfazer u (a k ) 0. Isso pode ser obido a parir da equação (3.5) e o eorema de valor médio, usando u(a k ) na sequência original. Assim, considerando = d e a = a k na epressão (3.19), quando a k, obemos 0 < u(a k ) u (a k )a k <, de modo que ese ermo é limiado. 36

43 Noe que, como (u (z)) 2 0 para z (s, a k ), emos 1 + (u (z)) 2 1, daí z(1 + (u (z)) 2 ) z. Agora inegrando esa úlima desigualdade no domínio (s, a k ), em-se ak s ak s z(1 + (u (z)) 2 )dz ak s zdz = a k 2 z 2 (1 + (u (z)) 2 )dz a 2 k 4 + s2 4, 2 s2 2, daí pela coninuidade da função eponencial, e para s obemos Observamos que ak e a k s z 2 (1+(u (z)) 2 )dz lim a k s 2 e a k ak a 2 k e 4 2 ak e s2 4 ds = 0, e s2 4 ds. de modo que ak e a k z s 2 (1+(u (z)) 2 )dz lim ds = 0. a k s 2 Assim, a inserção da sequência a k em (3.19) conduz a (3.15). Como uma consequência imediaa da equação (3.15) podemos ver que u() > σ. Lema 3.5. Seja u : (d, ) R + como no Lema 3.4, com σ > 0. Enão para (d, ). sup u(s) σs s (, ) sup u (s) σ s (, ), (3.23) σ 3(n 1) σ 2, (3.24) Prova. Da equação (3.15) em-se que para odo d, { 1 u() σ = (n 1) s (1 + } (u (s)) 2 ) e s z 2 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds d. u(s) Dado que 0 d < s, e u(s) > 0, para odo s (d, ), emos que o lado direio da igualdade acima é sempre posiivo, pelo fao de que o inegrando são funções posiivas e os limies de inegração ambém são 37

44 posiivos. Assim, aplicando o valor absoluo a cada lado da igualdade, obemos u() σ = (n 1) = (n 1) (n 1) { s (1 + } (u (s)) 2 ) e s z 2 (1+(u ) 2 )dz ds d u(s) { s (1 + } (u (s)) 2 ) e s z 2 (1+(u ) 2 )dz ds d u(s) 1 2 { Mas como u(s) > σs, para σ > 0, segue-se que u() σ Seja Porano (n 1) σ p(s) = s 2 (1 + (u (s)) 2 ) e 1 s 2 z(1+(u ) 2 )dz ds u(s) } d. s u(s) < 1 σ. Daí { 1 } s(1 + (u (s)) 2 )e s z 2 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds d. (3.25) s z 2 (1 + (u (z)) 2 )dz. p (s) = s 2 (1 + (u (s)) 2 ), e Logo, considerando em (3.25) em-se que q() = 2 q() = lim p(s) = 0, s lim p(s) =. s s(1 + (u (s)) 2 )e s p (s)e p(s) ds = 2e p(s) z 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds, = 2 lim s e p(s) + 2e p() = 2. Assim, subsiuindo o valor de q() na desigualdade (3.25), obemos (3.26) u() σ σ 1 d =. 2 σ Porano, usando u() > σ dada pelo Lema 3.4, podemos esimar u() σ, (3.27) σ 38

45 para odo (d, ) e σ > 0. Finalmene, para esimaivas L, obemos u(s) σs = u(s) σs L = ou simplesmene o que prova (3.23). sup u(s) σs s (, ) sup u(s) σs s (, ), σ, σ Analogamene para mosrar (3.24), vamos derivar a equação (3.15) em relação a, de onde obemos { u 1 () σ = (n 1) (n 1) 2 s (1 + } (u (s)) 2 ) e s z 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds d u(s) s (1 + (u (s)) 2 ) e s z 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds. u(s) Como > 0 e cada uma das inegrais é posiiva, emos que { u 1 () σ (n 1) s (1 + } (u (s)) 2 ) e s z 2 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds d u(s) (n 1) + s (1 + (u (s)) 2 ) e s z 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds u(s) (n 1) { 1 } s(1 + (u (s)) 2 )e s z σ 3 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds d (n 1) + s(1 + (u (s)) 2 )e s z σ 2 2 (1+(u (z)) 2 )dz ds onde usamos o fao de que u(s) > σs e s. Aplicando o resulado obido em (3.26), emos que u () σ = σ (n 1) + σ 2 1 d + 3 σ 2 σ 2 = Assim, usando u() > σ, podemos esimar para odo (d, ) e σ > 0. u () σ 3(n 1) σ 2. 3(n 1) σ 2, (3.28) 39

46 Logo para esimaivas L obêm-se que u (s) σ = u (s) σ L = sup u (s) σ s (, ) 3(n 1) σ 2, ou seja, sup u (s) σ s (, ) 3(n 1) σ 2. Assim, quando σ > 0, podemos assumir sem perda de generalidade que d = 0, e subsiuir a solução u por u σ : (0, ) R +. Além disso, dado um σ > 0, pelo Lema 3.4 qualquer função u σ deve saisfazer assim como as esimaivas L em (3.23) e (3.24). u σ () > σ, (3.29) Corolário 3.6. Seja u σ : (0, ) R + uma solução não consane da equação (3.5). Enão, emos a seguine ordem de convergência: ( ) 1 (i) lim u σ() σ = O, + ( ) 1 (ii) lim + u σ() σ = O. 2 Prova. Usando os resulados obidos em (3.27) e (3.28), quando ende para +, mosra-se imediaamene os iens (i) e (ii) respecivamene Aplicação do eorema do pono o de Banach Nesa seção aplicaremos o eorema do pono o de Banach para deerminar a eisência e unicidade de soluções u σ da equação diferencial ordinária (3.5). b > 0 o espaço de Banach Para esses propósios, começamos considerando para C 1 0([b, )) = {v : [b, ) R v, v C 0 ([b, ))}, de funções coninuamene diferenciáveis v ais que lim v() = 0 e lim v () = 0, 40

47 doado com a norma C 1 uniforme v C 1 = v + Dv, onde o supremo é omado sobre [b, ). Além disso, para b, σ > 0, podemos considerar os subconjunos aberos Y σ,b := {v C 1 0([b, )) v() > 0, v () < 4(n 1) σ 2 }, (3.30) de modo que pelas esimaivas (3.23) e (3.24), para as soluções posiivas u σ de (3.5), emos que u σ σ Y σ,b. Enão, vamos mosrar que a aplicação não-linear dada por [T σ v]() = (n 1) { 1 2 T σ : Y σ,b Y σ,b, s (1 + } (v + σ) 2 ) e s z 2 (1+(v +σ) 2 )dz ds d, v(s) + σs (3.31) é uma conração, se b = b(n, σ) é escolhido sucienemene grande. Noe que se u é uma solução da equação (3.5), enão pela idenidade inegral do Lema 3.4 [ T σ u]() := [T σ v]() + σ = u(), (3.32) onde v(s) = u(s) σs, e reciprocamene. Porano, u() = v() + σ resolve a equação (3.5) se, e só se, T σ v = v. Proposição 3.7. Seja T σ : Y σ,b Y σ,b uma aplicação denida por (3.31). Enão eise b 0 = b 0 (n, σ) al que T σ é uma aplicação de conração (ver Denição 1.8) na norma. C 1 para odo b b 0. Prova. Para duas funções v 1 e v 2 perencenes ao conjuno Y σ,b podemos 41