Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Pós-Graduação em Matemática Mestrado em Matemática

Transcrição

1 Universidade Federal da Paraíba Cenro de Ciências Exaas e da Naureza Pós-Graduação em Maemáica Mesrado em Maemáica Soluções Radiais Posiivas para Problemas Elípicos Envolvendo Crescimeno Críico José Francisco Alves de Oliveira João Pessoa - PB Abril/009

2

3 Universidade Federal da Paraíba Cenro de Ciências Exaas e da Naureza Pós-Graduação em Maemáica Mesrado em Maemáica José Francisco Alves de Oliveira Soluções Radiais Posiivas para Problemas Elípicos Envolvendo Crescimeno Críico Disseração apresenada ao Corpo Docene do Programa de Pós-Graduação em Maemáica - CCEN - UFPB, como requisio parcial para obenção do íulo de Mesre em Maemáica. Orienador: João Marcos Bezerra do Ó João Pessoa - PB Abril/009

4

5 Agradecimenos - Ao Professor João Marcos Bezerra do Ó que, com sabedoria e dedicação, guiou-me no caminho correo para o desenvolvimeno desse rabalho; paricipando aivamene com sábias idéias. - Aos professores de graduação e pós-graduação, que acrediando em meu rabalho, incenivaram-me e pariciparam do meu desenvolvimeno, auxiliando-me sempre. Especialmene, aos professores Uberlandio Baisa Severo, Newon Luis Sanos, Everaldo Souo de Medeiros e Marcondes Rodrigues Clark, que sempre apoiaram e incenivaram meus esudos. - Aos colegas de curso e amigos, pela roca de experiências e convivência harmoniosa. Em especial ao amigo Manassés que, com aenção, acompanhou o desenrolar desse rabalho. - A minha família, pelo incenivo e apoio. - Ao CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimeno Cienífico e Tecnológico, pelo apoio financeiro que propiciou-me odo um aprendizado sisemáico, culminando para ese rabalho.

6 Dedicaória A odos que conribuiram de forma direa ou indirea para o desenvolvimeno desse rabalho.

7 Resumo Nese rabalho apresenamos resulados de exisência, não exisência e unicidade de soluções radiais posiivas para equações elípicas semilineares em subdomínios do plano euclidiano. As não linearidades que consideramos envolvem crescimeno críico do ipo Trudinger-Moser. Uilizamos uma écnica conhecida como shooing mehod inroduzida em 905 por Severini []. Um méodo ieraivo que permie deerminar a solução de um problema de conorno por meio da análise de soluções aproximadas de uma família de problemas de valor inicial geradas por ese. Por seu caráer ieraivo, o shooing mehod em sido uilizado com eficiência em maemáica aplicada, como por exemplo, maemáica compuacional, onde formula-se algorímos específicos para execuar ais ierações. Aqui, denro de um enfoque absrao, uilizaremos écnicas analíicas de coninuidade para analisar se deerminada ieração converge para uma solução do problema de conorno em esudo. vii

8 Absrac In his work we presen resuls of exisence, non-exisence and uniqueness of radial posiive soluions for ellipic semilinear equaions in subdomains of euclidean plane. We consider nonlineariies involving criical growh he ype Trudinger-Moser. The echnique used is shooing mehod inroduced in 905 by Severini []. This is a ieraive mehod which permis deermine he soluion of a conour problem by analysis of approximaed soluions of a family of iniial value problems generaed by himself. For is ieracive caracer, he shooing mehod i has been used effecively in applied mahemaics, for exemple in he compuaional mahemaical, where specific algorihms are used o perform such ineracions. Here in an absrac approach hrough analyic echniques of coninuiy we examined wheher an ieraion converges o a soluion of he conour problem under sudy. viii

9 Sumário Noações Inrodução x xii Ground Saes e Problema de Dirichle para u = fu em R. Comenários e Hipóeses Gerais Transformações e Shooing Mehod Soluções assinoicamene consanes de uma equação não linear Esimaivas para o problema de Dirichle e Ground Saes O gráfico de y quando γ é grande Exisência de Soluções Radiais para Equações Elípicas com Crescimeno Críico em R 35. Crescimeno Críico e Solubilidade Transformações e Shooing Mehod Esimaivas Soluções no disco e Ground Saes Unicidade de Soluções Posiivas para Equações Elípicas com Crescimeno Exponencial Crescimeno e Unicidade de Soluções A Inversão de Akinson- Peleier e o Shooing Mehod Relações de Crescimeno Unicidade A Resulados Complemenares 76 A. Resulados de Equações Diferenciais A. Resulados de Análise Funcional Referências Bibliográficas 80 ix

10 Noações Noações Gerais B r 0 bola abera de cenro 0 e raio r, q..p. λ quase oda pare, primeiro auovalor de em H 0Ω, norma euclidiana u u =, u u,..., x x x N gradiene de u, N u u = laplaciano de u, x i= i u ν = νu = u ν derivada normal exerior, Ω R N abero, Ω froneira de Ω, lim sup f limie superior da função f quando a, a lim inf a f limie inferior da função f quando a, indica final de demonsração. Espaços de Funções L p Ω = { u mensurável sobre Ω e Ω u p dx < }, p <, L Ω = {u mensurável sobre Ω e exise C al que ux C q..p. sobre Ω}, R + = [0, + semi-eixo real não negaivo, C k Ω funções k vezes coninuamene diferenciáveis sobre Ω, k N, x

11 Noações C Ω = k 0 C k Ω C c Ω funções conínuas com supore compaco em Ω, C k c Ω = C k Ω C c Ω C c Ω = C Ω C c Ω CΩ funções conínuas sobre Ω W,p Ω = u Lp Ω p, Ω g, g,..., g N L p Ω ais que u ϕ dx = g i ϕ dx, ϕ Cc Ω, i =,..., n x i Ω, W,p 0 Ω o compleameno de C c Ω na norma de W,p Ω, p <, H 0Ω espaço W, 0 Ω, u L p Ω = u p /p Ω f = og quando s s 0 f = Og quando s s 0 f = og quando s + f = Og quando s + norma do espaço de Lebesgue L p Ω, se dado ɛ > 0, exise δ > 0 al que fs ɛ gs quando s s 0 < δ, se exisem consanes C 0 e δ > 0 ais que fs C gs quando s s 0 < δ. se dado ɛ > 0, exise R > 0 al que s > R implica fs ɛ gs, se exisem consanes C 0 e R > 0 ais que fs C gs quando s > R. xi

12 Inrodução P Nese rabalho, esudamos uma classe de problemas elípicos da forma u = fu em R, ux 0 quando x no qual a não linearidade f : R + R é uma função localmene lipschiziana e com sinal indeerminado, iso é, f pode evenualmene assumir valores negaivos e posiivos. As não linearidades que consideramos aqui aigem os crescimenos críico, polinomial e exponencial. Uilizando uma écnica conhecida como shooing mehod, o qual consise em resolver um problema de conorno aráves da análise de uma família de problemas de valores iniciais; provaremos exisência, não exisência e unicidade de soluções radiais em uma bola B 0. Além disso, esaremos ineressandos ainda em soluções definidas em odo R ; ais soluções são denominadas ground saes, um ermo preveniene do conexo físico que deu origem ao problema acima e ambém serviu como moivação para o esudo do mesmo. Organizamos o rabalho da seguine forma: Capíulo : Nesa pare do rabalho, esudamos o problema P para uma não linearidade geral f com o objeivo de provar a exisência de soluções definidas em odo R. O principal resulado para ground saes esudado não é formulado em ermos de condições de crescimeno de f; mas, por meio de uma desigualdade envolvendo a função dada pela expressão e o limie inferior de f hu = gu ug u inf {fu; u > 0} = M y 0 g u e gu gy 0 onde gu = ln fu, para fu > 0. Com hipóeses apropriadas sobre f, esudamos um criério para exisência de ground saes o qual esá relacionado a vacuidade de um conjuno apropriado. Uilizando esse criério associado ao shooing mehod esabelecemos exisência de soluções para uma larga classe de não linearidades f. Capíulo : Aqui, por meio do shooing mehod, nos dedicamos ao esudo resulados de exisência, não exisência e unicidade de soluções radiais em uma bola B 0 do problema P para não linearidades com crescimeno críico. Mais especificamene, rabalhamos com o problema, u = hue αu em Ω R u = 0 sobre Ω, xii,

13 Inrodução onde h é um ermo de menor ordem com respeio a e αu, mais precisamene hr lim = 0. r e αr Procuramos deerminar a linha de divisão para a solubilidade e respecivamene a não solubilidade do problema com relação ao crescimeno assinóico do ermo de menor ordem h. Veremos que o crescimeno que garane a al solubilidade é o crescimeno críico de h. Mais precisamene, mosraremos que omando Ω = B 0 exisirá uma consane K 0 > 0 al que se hr = K r, para r > r, com K < K 0 e h saisfaz condições adequadas em orno do zero enão o problema acima não em solução radial. Observamos que por [7] qualquer solução posiiva de P sobre B 0 é necessariamene radial, iso implica que não exise solução posiiva sobre esas hipóeses. No Capíulo 3, nos dedicamos ao esudo de um resulado de unicidade de soluções posiivas de P no qual f em crescimeno exponencial. Mais especificamene, raamos do problema u = λue uθ em B u > 0 em B u = 0 sobre B. No qual B R represena o disco uniário cenrado na origem, λ > 0 e < θ. A écnica uilizada aqui segue o espírio daquela uilizada nos capíulos e, ou seja, uilizaremos ainda o shooing mehod. Finalmene, no Apêndice A, apresenamos alguns resulados clássicos que foram uilizados ao longo do rabalho. xiii

14 Capíulo Ground Saes e Problema de Dirichle para u = fu em R Nese capíulo, objeivamos enconrar soluções posiivas para o problema P u = fu em R, ux 0 quando x no qual fu é uma função posiiva para u grande, mas não necessariamene para odo u > 0. Tais soluções são muias vezes denominadas ground saes, um ermo proveniene do conexo físico que deu origem ao problema acima. Para cumprir nosso objeivo, usaremos o shooing mehod o qual permie enconrar soluções para um problema de conorno aravés da redução dese a um problema de valor inicial conveniene. A principal dificuldade enconrada é mosrar que se u0 for escolhido suficienemene grande enão a solução radial associada em um zero, iso é, que o problema de Dirichle em solução em alguma bola finia.. Comenários e Hipóeses Gerais A solubilidade do problema de Dirichle u = fu em R N, onde fu é posiiva para u grande, ou alvez para odo u > 0, esá exremamene relacionada com esimaivas do crescimeno de fu quando u. Aqui, os casos N 3 e N = são impressionanemene diferenes. Para o caso N 3, uma condição enconrada, veja por exemplo [], é dada por fu = Ou p para u, com < p < N + N. A condição fu = Ou p significa que exisem consanes C 0 e R > 0 ais que Para N =, emos, por exemplo veja [0], fu u p C para u > R. ln fu = ou quando u.

15 Comenários e Hipóeses Gerais CAPÍTULO iso é, ln fu 0 quando u +. u Tem sido de muio ineresse o esudo de casos para N 3 envolvendo o expoene críico N+. O caso paricular, em que N fu = u q + u N+ N, q < N + N. foi esudado em [0] e em [3], endo em foco o shooing mehod, que se mosrou eficiene. Esabeleceremos agora hipóeses gerais sobre f que serão exigidas durane o capíulo. H A função f é localmene lipschiziana sobre [0,. H f0 = 0 e exise um número ζ > 0 al que F u := u 0 fsds < 0 para 0 < u < ζ, F ζ = 0 e ainda fu > 0 para u ζ. Veja figura. abaixo. H 3 Exise um número y 0 0 al que fu > 0 para u y 0 e a função gu := ln fu, u y 0 saisfaz g C [y 0,, g u > 0 e g u 0. Figura.: Possível configuração para f. Esaremos sempre supondo, ao longo do capíulo, que f saisfaz H e H 3. Quando nos referirmos a exisência de ground saes suporemos ambém H. Nese caso, y 0 deverá ser necessariamene um número posiivo; pois senão, H e H 3 enrariam em conradição.

16 Comenários e Hipóeses Gerais CAPÍTULO O principal resulado que esudamos sobre a exisência de ground saes será formulado em ermos de uma desigualdade envolvendo a função h : [y 0, R dada pela expressão e da coa inferior de f hu = gu ug u y 0 g u e gu gy 0. inf {fu; u > 0} = M.. Noe que, por H, M é não negaivo. Mas precisamene, para garanir a exisência de ground saes, suporemos a exisência de um valor γ > max {y 0, ζ} que saisfaça a condição hγ > ln M +..3 Aqui, no caso em que M = 0, a condição.3 obviamene não faz senido. Nese caso, rabalhamos com valores ln x para x > 0 suficienemene pequeno. Uma vez que lim x 0 + ln x = e, para cada γ > 0, hγ é um número fixo, a condição.3 é saisfeia para x > 0 suficienemene pequeno.. Transformações e Shooing Mehod Esamos ineressados em provar a exisência de soluções numa bola, B R 0, para o problema P. Devido ao Teorema Apêndice A ais soluções são necessariamene radiais, iso é, soluções com a propriedade ux = vr, para alguma função v : [0, R] [0, ; onde r = rx é a norma euclidiana. Por conveniência, para uma solução u radial, denoaremos ux = ur. Para uma função radial u duas vezes coninuamene diferenciável vale u = u rr + u r r. Dessa forma, depois de nos resringirmos a soluções radiais, reduzimos o problema P ao seguine u rr + u r r + fu = 0, em 0, u 0 = 0, u = 0,.4 onde esamos denoando u = lim ur. Aqui, podemos rocar a singularidade em r r = 0 por uma em = por meio da inversão de Akinson e Peleier, iso é, a ransformação = ln r, y = ur..5 Usando esa ransformação, emos e diferenciando novamene u r = y r u rr = 4y r + y r. 3

17 Transformações e Shooing Mehod CAPÍTULO Logo, combinando as equações aneriores podemos escrever u rr + u r r = 4y r. Uma vez que e = r, usando.4, emos a equação 4 Sendo assim, rocamos o problema P pelo seguine y + e fy = 0..6 P y + e fy = 0 em R, y > 0 em R, sup{y} < em R, lim y = 0. Iso, obviamene, não causa mudança na naureza do problema, mas insere ese denro da eoria clássica da equação generalizada de Emden-Fowler [5] e de seus argumenos. Como consequência, se exisem 0 real e uma solução y de P ais que y y 0 para 0 enão lim y exise. Além disso, ese limie é obrigaoriamene nulo. Denoamos y = 0. Para jusificar esa afirmação noemos que, por.6 e H 3, emos y < 0 para y y 0. Porano, y é uma função côncava e y é monóona decrescene para 0. Logo, lim y exise. Para ese ocorre uma das quaro opções: um número posiivo, zero, um número negaivo ou. Esas duas úlimas podem ser excluídas porque y > 0 e côncava para 0. A primeira opção ambém já que y é limiada. Oura observação é a seguine: sendo y monóona decrescene para 0 e lim y = 0 devemos er y > 0 nese inervalo. Em paricular, y deve ser monóona crescene para 0, porano, ambém exise lim y = γ. Denoaremos ese úlimo limie por y = γ. Noe que γ é finio uma vez que y é monóona e limiada para 0. Por ouro lado, dado γ 0, exise única solução y, γ, do seguine problema P γ y + e fy = 0, y > 0, y = γ e y = 0 definida em um inervalo I. A seguir daremos um resulado que jusifica a afirmação acima. 4

18 Transformações e Shooing Mehod CAPÍTULO Teorema Suponha que f saisfaz a hipóese H. Enão para qualquer γ > 0 exise única solução y = y, γ do problema P γ definida em um inervalo máximo ω,. Além disso, para cada ω,, y, γ e y, γ dependem coninuamene de γ. Demonsração: Fixado γ > 0 arbirário, consideremos o inervalo [0, γ + ɛ] para algum ɛ > 0. Uma vez que [0, γ + ɛ] é compaco e, por H, f localmene lipschiziana sobre [0, emos f lipschiziana sobre [0, γ + ɛ]. Lembre-se que uma função localmene lipschiziana definida num compaco é ambém lipschiziana nese compaco. Sejam K a consane de Lipschiz de f resria a [0, γ + ɛ] e b = sup y [0,γ+ɛ] fy. Inegrando por pares, um cálculo direo fornece s e s ds = e. Assim, podemos usar o rápido decaimeno de e e garanir a exisência de uma valor, suficienemene grande, al que k := K s e s ds < e b s e s ds ɛ..7 Fixemos o inervalo I =,. Agora uma função y : I [0, γ + ɛ] é solução de P γ se, e somene se, y é conínua, uniformemene limiada e saisfaz a equação inegral y = γ s fyse s ds..8 De fao, se uma al função y : I [0, γ + ɛ] saisfaz a equação inegral acima, usando que f limiada, iso é, b fy b emos b e, porano, s e s ds lim Assim, por.8, emos claramene s fyse s ds b s fyse s ds = 0. y = lim y = γ. Além disso, diferenciando em.8, chegamos a equação y = fyse s ds, s e s ds..9 porano, mais uma vez, usando que f é limiada para odo y [0, γ + ɛ] emos Diferenciando novamene emos ainda lim y = y = 0. y + e fy = 0. 5

19 Transformações e Shooing Mehod CAPÍTULO Reciprocamene se y : I [0, γ + ɛ] é solução de P γ, inegrando duas vezes e usando as condições iniciais chegaremos à equação.8. Porano, para enconrar uma solução local de P γ basar resolver a equação inegral acima em algum inervalo, digamos I. Considere X o espaço das funções conínuas e uniformemene limiadas definidas sobre I assumindo valores em [0, γ + ɛ], com a mérica da convergência uniforme, iso é, Seja T : X X al que dy, z = sup y z. I T y = γ s fyse s ds. É claro que T y é conínua para odo y X. Além disso, afirmamos que De fao, como γ > 0 e 0 T y γ + ɛ I, y X. lim s fyse s ds = 0 aumenando, se necessário, segue-se de.8 que T y 0 para odo I. Para concluir a segunda desigualdade, noe que por.7 e pela primeira desigualdade em.9, para odo I, vale T y = γ s fyse s ds γ + b Porano, T esá bem definida e dados y, z X emos T y T z K K s e s ds γ + ɛ. s e s fzs fys ds = kdy, z, s e s zs ys ds s e s sup I zs ys ds onde a consane k é dada por.7. Segue das desigualdades acima que dt y, T z kdy, z com 0 k <, iso é, T é uma conração. Pelo Teorema do Pono Fixo de Banach, exise única y X al que T y = y, ou seja, y saisfaz.8. Com a garania de exisência de solução para I, fixamos τ I, para cada γ > 0 e y = y, γ solução de P γ sobre I, fazemos yτ, γ = α γ e y τ, γ = β γ. Com essa reformulação emos um novo problema v + e fv = 0, v > 0 vτ = α γ, v τ = β γ..0 6

20 Transformações e Shooing Mehod CAPÍTULO Devido a Picard, Teorema 3 do Apêndice A, para cada γ fixado, o problema de valor inicial.0 possui única solução, v = v, γ, definida em algum inervalo J conendo τ. Além disso, pelo Teorema 4 do Apêndice A, a única solução v = v, γ pode ser esendida a um inervalo máximo de definição ω, ω + ; pelo que provamos aneriormene emos ω + = + e, por unicidade, v, γ = y, γ sobre I =,. Em paricular, lim v, γ = γ e assim qualquer solução de.0 é ambém uma solução de P γ em seu inervalo máximo de definição. Por essa razão, denoaremos y, γ a única solução, para γ fixado, de.0 definida em ω,. Finalmene, pelos Teoremas 6 e 7 do Apêndice A aplicados a.0 y, γ e y, γ dependem coninuamene de γ para cada ω,. Na discussão que se segue esamos supondo a hipóese H. Para cada γ 0,, seja ω γ = T γ o menor valor para o qual a solução de P γ ainda esá definida, iso é, T γ, é o inervalo máximo de definição de y, γ para o qual a mesma ainda é posiiva. Noe que, pelo Teorema 6 Apêndice A, se T γ é o primeiro zero de y, γ parindo de, ese depende coninuamene de γ. Além disso, em odo caso; pelo Teorema 5 do Apêndice A, emos as seguines possibilidades para T γ: i T γ = e y, γ é posiiva sobre R. ii T γ > e ocorre yt γ, γ = 0 e y T γ, γ > 0 ou possivelmene, lim sup y, γ =. T γ Noe que y T γ, γ > 0 no caso ii advém da dependência única da solução em respeio aos dados iniciais viso que, sendo f0 = 0, a função y 0 é solução da equação y + e fy = 0. Vale ressalar que não ocorre y T γ, γ < 0, pois T γ é o primeiro zero de y, γ. A seguir uilizaremos a hipóese H para garanir que a segunda possibilidade em ii não ocorre pelo menos para γ > ζ. Para isso, definimos a função E dada pela expressão E, γ = y, γ e + F y, γ. onde F u = u 0 fsds e y, γ é solução de P γ definida sobre T γ,. Noe que E depende coninuamene de γ. Para γ fixado; derivando E, γ com respeio a variável e usando a equação em P γ, obemos E, γ = y, γ/e 0 porano, E é não decrescene na variável. Viso que, pelo Teorema, 0 y, γ γ+ɛ para grande; podemos definir B = sup y [0,γ+ɛ] fy. Com esa noação emos y, γ fys, γ e s ds Be 7

21 Transformações e Shooing Mehod CAPÍTULO donde y, γ/e ende a zero quando. Porano, usando a definição de E e a coninuidade de F emos lim E, γ = F γ. Logo, como E é não decrescene, segue-se que E, γ F γ e, em paricular, emos F y, γ F γ para T γ < < ou para T γ < se T γ >. Agora esamos pronos para excluir a segunda possibilidade em ii. De fao; suponha, por conradição, que al possibilidade ocorra. Enão para cada γ > ζ e suficienemene próximo de T γ emos y, γ > γ > ζ e, porano, viso que, por H, F u é crescene para u > ζ emos F y, γ > F γ o que conraria F y, γ F γ esabelecida aneriormene. A Figura abaixo represena um possível comporameno da solução y, γ para γ > ζ e T γ finio. Noe que, como excluimos a segunda possibilidade em ii, a solução y, γ para γ > ζ passa necessariamene a assumir valores negaivos para < T γ, iso é, T γ é o primeiro zero, parindo de +, da solução y, γ. Sendo assim, como já observamos aneriormene, emos ainda que T γ é uma função conínua de γ. Figura.: y, γ com γ > ζ e T γ finio. Volamos nossa aenção para o comporameno das possíveis soluções de P γ, y, γ, definida em uma vizinhança de,, A, iso é, para suficienemene pequeno. Nesse senido, emos o seguie resulado: Proposição Suponha que f saisfaz as hipóeses H e H. Seja y = y, γ solução de P γ. Se y é monóona em, A e lim y, γ = δ com δ [0, enão y, γ i. lim = 0, e ii. Se E é definido como em. e F como em H vale lim E, γ = F δ, iii. fδ = 0 e emos δ [0, ζ. Demonsração: i. Para γ fixado, E é monóona em logo E, γ F γ para > T γ. Assim, segue de. que 0 y, γ e F γ F y, γ. 8

22 Transformações e Shooing Mehod CAPÍTULO Ainda, por coninuidade, lim F y, γ = F δ. Logo, exise o limie y, γ lim. e Ese claramene deve ser número não negaivo. Suponha que ese limie é posiivo, iso é, Nese caso, emos y, γ lim = v > 0. e lim E, γ = v + F δ e assim E s, γds exise. Conudo, a derivada de E com respeio a é dada por E, γ = y, γ e emos que E, γ é aproximadamene v para suficienemene e pequeno, o qual não é inegrável em uma vizinhança de. Assim, concluimos que v = 0. ii. Segue-se imediaamene do iem i. De fao, usando a definição de E dada em. e omando limie obemos y, γ lim E, γ = lim + F δ = F δ. e iii. Suponha, por conradição, que fδ 0. Uma vez que fδ = lim fy, γ, por coninuidade, emos fy, γ 0 para suficienemene pequeno. Viso que, por H emos f0 = 0 segue-se que y, γ 0 para. Porano, y é assinoicamene consane quando ; assim, usando.8 e.9, vemos que a inegral indefinida s e s ds exise o que é uma conradição. Logo, fδ = 0. Para concluir o iem iii observe que pela hipóese H emos fu > 0 para u ζ e, viso que fδ = 0, devemos er δ [0, ζ. Considere o subconjuno de R definido por S = {γ ζ, ; T γ > }. Noe que S é um conjuno abero em R, pois T γ depende coninuamene de γ. Se S é não vazio defina γ 0 = inf S. O próximo resulado garane que y, γ 0, solução de P γ0, é ambém uma solução para P. 9

23 Transformações e Shooing Mehod CAPÍTULO Teorema Seja f nas hipóeses H e H. Suponha que o conjuno S = {γ ζ, ; T γ > } é não vazio. Enão o problema P em uma solução al que lim y inf S. Demonsração: Necessiamos do seguine lema preliminar. Lema. Suponha f e S como no Teorema e E definido como em.. Enão se γ S emos E, γ > 0 e y, γ > 0 sobre [T γ,. Viso que f0 = 0 emos que y 0 é solução da equação y + fye = 0, logo usando a unicidade em relação aos dados iniciais da solução de P γ emos necessariamene y T γ, γ > 0. Dessa forma, ET γ, γ = y T γ, γ e T γ > 0 e, sendo E não decrescene emos E, γ > 0 para odo [T γ,. Para concluir que y, γ > 0 sobre [T γ, noe que y, γ > 0 para y, γ > ζ, pois y, γ = fys, γe s ds e, pela hipóese H, fu > 0 para u ζ. Sendo assim, se exise 0 > T γ al que y 0, γ = 0 emos necessariamene y 0, γ [0, ζ e, porano, pela hipóese H, E 0, γ = F y 0, γ 0 conrariando a posiividade de E esabelecida aneriormene. Concluimos assim que y, γ > 0 para [T γ,. Tendo esabelecido ese lema preliminar, afirmamos que se γ 0 = inf S emos ainda γ 0 > ζ. Noe que γ 0 esá bem definido, pois esamos supondo S não vazio e ese úlimo é limiado inferiormene por ζ. Para concluir que γ 0 > ζ vamos provar que exise uma vizinhança de ζ que não inerseca S. Nese caso, eremos obrigaoriamene γ 0 > ζ, pois caso conrário, γ 0 não seria a maior das coas inferiores de S. Como, por H, fζ > 0 emos y, ζ não consane. De fao, uma vez que lim fy, ζ = fζ > 0 emos fy, ζ 0 para suficienemene grande e, assim y, ζ = fy, ζe 0 para grande. Uma vez que lim E, ζ = F ζ = 0 e E é não decrescene emos E, ζ 0 para T ζ,. Porano, por coninuidade, exisem ɛ > 0 e τɛ > 0 ais que E, γ < 0 desde que γ ζ < ɛ e < τɛ. Assim, pelo Lema., emos que γ / S para γ ζ < ɛ concluindo a afirmação. Lembrando que S é um subconjuno abero de R emos que γ 0 / S. Seja γ n, com γ n S para odo n naural, uma sequência que realiza o ínfimo, iso é, γ n γ 0 quando n. Pelo Lema. emos y, γ n > 0 e E, γ n > 0 para odo R, porano, usando a coninuidade de E, γ e y, γ com respeio a γ e fazendo n obemos y, γ 0 0 e E, γ 0 0 para R. Assim, y, γ 0 é monóona não decrescene e limiada, pois como vimos, lim sup T γ0 y, γ 0 = não ocorre e T γ 0 = viso que γ 0 / S. Porano, quando a solução y, γ 0 ende monóona e decrescene para um valor δ o qual pela Proposição, iem ii, perence ao inervalo [0, ζ. Afirmamos que δ = 0. Com efeio. Supondo δ > 0, por H, emos F δ < 0 e 0

24 Transformações e Shooing Mehod CAPÍTULO usando novamene a Proposição, iem ii, emos lim E, γ 0 = F δ < 0 o que conraria E, γ 0 0. Assim, lim y, γ 0 = 0. Além disso, sendo y, γ 0 monóona não decrescene e lim y, γ 0 = γ 0, emos ainda y, γ 0 inf S. Porano, y, γ 0 é uma solução do problema P. De acordo com o Teorema, devemos mosrar que o problema P γ em solução para algum γ ζ,, com T γ finio, para assegurar a exisência de uma solução de ground saes. O méodo que uilizamos para a solução de P é baseado em considerar γ = y como parâmero e verificar a exisência de T γ, primeiro zero quando decresce do infinio..3 Soluções assinoicamene consanes de uma equação não linear Nesa seção, iremos esabelecer algumas esimaivas referenes as soluções do seguine problema: P 3 y + e gy = 0, y y 0, y = γ, y = 0 onde y 0 0, γ y 0, e g saisfaz as hipóeses A g C [y 0, γ], A g > 0 e g 0 sobre [y 0, γ]. Aqui, consideramos gu = ln fu como em H 3 ; o comporameno de gu para u > γ será descarado por fala de relevância. Esa fala de relevância pode ser explicada pelo fao de que as soluções de P 3 são monóonas crescenes e côncavas, logo y [y 0, γ] para [T 0,, onde T 0 é definido abaixo. De acordo com o Teorema, P 3 em única solução para suficienemene grande, e além disso, se a solução y = y, γ é coninuada para rás, iso é, decrescendo, esa irá necessariamene aingir o valor y 0 para algum ; o qual denoaremos por T 0 := T 0 γ e escreveremos y T 0 para a inclinação de y em al pono. Necessiaremos foremene de esimaivas de T 0 e y T 0 para verificar se y aingirá o valor zero para algum T γ T 0 γ. Nesse senido, esabelecemos a

25 Soluções assinoicamene consanes de uma equação não linear CAPÍTULO Proposição Suponha que y, γ é uma solução do problema P 3. Enão, para T 0 < em-se gy, γ gγ ln + g γ egγ e ainda y, γ γ g γ ln + g γ egγ. Demonsração: Por conveniência, escreveremos y ou y em vez de y, γ para γ fixado. Observemos inicialmene que para γ fixado, T 0 e y solução do problema P 3 emos y > 0 e y < 0, donde y e y são monóonas crescene e decrescene respecivamene. Lembrando que y = 0 e inegrando direamene a equação do problema, obemos y = e gys s ds. Usando as monoicidades de y e gy segue-se que y < γ leva a seguine desigualdade gy < gγ. Logo e gy < e gγ ; e inegrando sobre, obemos y < e gγ. Por ouro lado, como g y e y são esriamene posiivos segue que g y y e gy < e gy. Inegrando novamene sobre, obemos e gy < y. Dessa forma, verificamos as desigualdades e gy < y < e gγ.. Depois de aplicar logarímo podemos escrever gy < ln y gy gγ < ln y gγ + < 0, logo [ ln y gγ + ] = 0. lim Muliplicando a equação y = e gy por { gy} obemos a igualdade y g yy y + e gy g yy e gy = 0. Esa úlima permie concluir direamene que, definindo E = y y g y e gy, < gγ e assim emos E = y 3 g y 0.

26 Soluções assinoicamene consanes de uma equação não linear CAPÍTULO Noemos ainda que lim E = 0 e, porano inegrando E sobre, concluimos que E = y s 3 g ysds 0. Dessa forma, 0 E = y y g y egy y = y g y + y = y y y y = y [g γ g y]. y s 3 g ysds y sg ysds Onde usamos na segunda desiguldade acima que y é uma função decrescene. As desigualdades acima permiem concluir que e porano, por inegração, obemos [ 0 s gys + ln y s 0 y g y + y y y [g γ g y] ] [ ] ysg γ gys.3 ou equivalenemene, [ 0 lim ] gy+ln y [ ] gy+ln y [ ] γg γ gγ yg γ+gy. Agora lembrando que lim [ln y gγ + ] = 0 emos lim [ ] gy + ln y Sendo assim,.3 é equivalene a Donde segue que [ = lim ln y gγ + + gγ ] gy [ ] = lim ln y gγ + + lim [gγ ] gy = lim [gγ ] gy = gγ. 0 [gγ + gy] ln y [γg γ gγ yg γ + gy]. 3

27 Soluções assinoicamene consanes de uma equação não linear CAPÍTULO e [gγ + gy] ln y 0.4 gγ ln y [γ y] g γ..5 A esimaiva.4 pode ser escria como y e gy e gγ..6 Além do mais, sendo g y > 0 e g y 0 emos 0 < g y g γ, o que fornece junamene com.6 a desigualdade y g ye gy g γe gγ da qual obemos, depois de inegrar sobre, ] [e gy e gγ g γe gγ ou ainda Muliplicando por e gγ obemos e gy e gγ + g γ e gγ. e [gγ gy] + g γ egγ e aplicando logarímo obemos a desigualdade [gγ gy] ln + g γ egγ. Desa úlima segue-se facilmene a primeira desigualdade da Proposição. Finalmene, escrevendo.5 como e gγ y e [γ y]g γ.7 e novamene inegrando sobre, chegamos a + g γ egγ e [γ y] g γ. Analogamene, aplicando logarímo podemos verificar que esa úlima desigualdade equivale à segunda da Proposição. Corolário. Suponha que y, γ é uma solução do problema P 3. Enão, para T 0 < em-se [gγ + gy] + ln g γ ln e [gy gγ]. 4

28 Soluções assinoicamene consanes de uma equação não linear CAPÍTULO Demonsração: Esa desigualdade segue da primeira dada pela Proposição, depois de isolado o valor de. De fao, emos gy gγ ln + g γ egγ. Assim, logo, aplicando exponencial, obemos Agora, usando logarímo podemos escrever o que equivale a ou seja, como desejado. [gγ gy] ln + g γ egγ e [gγ gy] g γ egγ. ln e [gγ gy] ln g γ + gγ ln e [gy gγ] + [gγ gy] ln g γ + gγ, [gγ + gy] + ln g γ ln e gy gγ Corolário. Suponha que y, γ é uma solução do problema P 3. Enão, para T 0 < em-se gγ g γγ y > gγ g γγ y + ln g γ + ln g γ. ln e g γy γ Demonsração: Em analogia ao corolário anerior, esas desigualdades seguem da segunda dada pela Proposição, depois de isolado o valor de. De fao, emos y γ g γ ln + g γ egγ, porano g γγ y ln + g γ egγ. Usando a aplicação exponencial emos a desigualdade e g γγ y g γ egγ 5

29 Soluções assinoicamene consanes de uma equação não linear CAPÍTULO da qual, aplicando logarímo, obemos direamene o que equivale a g γγ y ln e g γγ y ln g γ + gγ + ln e g γy γ ln g γ + gγ, ou seja, gγ g γγ y + ln g γ ln e g γy γ. A segunda desigualdade do corolário segue desa úlima depois de observar que ln x < 0 para 0 < x <. Corolário.3 Suponha que y, γ é uma solução do problema P 3. Enão, para T 0 < em-se y g y <.8 g ye gy <.9 y e [gγ+gy].0 y e gγ [γ y]g γ. Demonsração: Definindo, como na Proposição, E = y y g y e gy emos, analogamene E = y 3 g y. Como lim E = 0, inegrando E sobre, leva a E = Dessa forma, sendo E 0, podemos escrever ou ainda y s 3 g ysds 0. y y g y e gy > 0 y > y g y. Sendo y > 0, emos imediaamene.8. Agora reescrevemos E como E = g y y + g y g y egy 6

30 Soluções assinoicamene consanes de uma equação não linear CAPÍTULO e usando que E 0 e g y > 0 vemos que a úlima parcela acima deve ser posiiva, ou seja, g y egy > 0 o que equivale a.9. A desigualdade.0 é obida imediaamene de.6 depois de muliplicar esa por e gy e, analogamene muliplicando.7 por e [γ y]g γ obemos.. Observemos que a coa superior para y em.0 esá enre as coas esabelecidas em.. De fao, sendo gy é uma função crescene emos o que fornece gy < gy + gγ < gγ e gy < e gy+gγ < e gγ. Analogamene, é fácil verificar que a coa dada em. esá enre as esabelecidas em. quando y esá próximo de γ. Coninuaremos esabelecendo esimaivas para y, T 0. Buscaremos uma boa coa inferior para y ; noe que a coa dada em. em a desvanagem de envolver ambos y e agravado pela fala de uma boa coa superior para em ermos de y ou, de uma inferior para y em ermos de. Para resolver esse impasse provaremos o Corolário.4 Suponha que y, γ é uma solução do problema P 3. Enão, para T 0, em-se y = e gγ + g γ. g γ + g γ egγ Demonsração: Como vimos aneriormene y = e gys s ds. Porano, usando a esimaiva para gy dada pela Proposição, podemos escrever y Agora, fazendo a subsiuição r = s gγ emos y = = = = e gγ ln+ g γ e gγ s s ds. gγ e r+ln+ g γ e r dr e r + g γ gγ e r dr g γ + g γ e r gγ g γ + g γ egγ e gγ + g γ 7

31 Soluções assinoicamene consanes de uma equação não linear CAPÍTULO como desejado. Observamos que a coa inferior esabelecida pelo corolário acima exibe o que parece ser o comporameno verdadeiro em alguns casos, em que a coa inferior é exponencialmene pequena para grande, e ende a para pequeno, com zona de ransição g γ cenrado em T c = g γ + ln g γ. Para uma discussão mais dealhada a respeio do gráfico de y, a ser realizada numa seção poserior, necessiamos ainda de uma coa superior para y, válida num senido assinóico adequado quando decresce aravés da zona de ransição ao redor de T c, ou seja, de T c possivelmenene grande. Pensando nisso, fixaremos inicialmene seguine noação que será úil na formulação do próximo corolário da Proposição. Considere { } I = ξ R; gγ ln + g γ egγ gξ gγ. Noe que na definição de I exendemos o alcance para ξ baseado na coa inferior para gy dada pela Proposição. Corolário.5 Suponha que y, γ é uma solução do problema P 3. Enão, para T 0, em-se y L g γ + g γ egγ onde { L = e g γ ln + g γ e gγ sup I g ξ Demonsração: De fao, pela fórmula de Taylor com reso de Lagrange, exise ξ y, γ al que gy = gγ + g γy γ + g! ξy γ. Usando a Proposição emos y γ g γ ln } + g γ egγ. Logo, usando ainda que g > 0 e g 0, podemos escrever gy gγ ln + g γ egγ + g ξ g γ ln + g γ egγ. Lembrando agora que y = e gys s ds, emos pela desigualdade anerior, que. y e = L g γ gγ ln+ e e gγ s + g ξ g γ ln + g γ e gγ s ds { } g γ ln + g γ e gγ sup I g ξ e gγ ln+ g γ e gγ s ds. e gγ ln+ g γ e gγ s ds 8

32 Soluções assinoicamene consanes de uma equação não linear CAPÍTULO Noe que usamos acima ambém o fao de que G = ln + g γ egγ é decrescene para γ fixado; e porano, Gs G para s. Fazendo a subsiuição s gγ = r podemos escrever ainda y L = L gγ = L g γ = L g γ gγ o que represena a coa superior desejada. e r ln+ g γ e r dr + g γ e r e r dr + g γ e r + g γ egγ gγ 9

33 Esimaivas para o problema de Dirichle e Ground Saes CAPÍTULO.4 Esimaivas para o problema de Dirichle e Ground Saes Para o problema de Dirichle padrão P 4 u = fu em B R, u > 0 em B R, u = 0 sobre B R, onde B R = {x R ; x < R}. A exisência de T γ finio é equivalene a exisência uma solução radial ur do problema de Dirichle P 4 com a seguine propriedade T γ u0 = γ e R = Rγ := e.. Para confirmar isso usaremos.5. De fao, depois de nos resringirmos a soluções radiais numa bola B R, podemos reescrever P 4 como u rr + u r + fu = 0, em 0, R, r u > 0 u 0 = 0, ur = 0. Ese úlimo, usando a inversão de Akinson e Peleier.5, equivale ao seguine problema y + fye = 0 em ln R,, y > 0 em ln R,, y ln R = 0, y = 0. Por ouro lado, emos obviamene de.5, r = e e, porano, r 0 quando. Sendo assim, se exise T γ finio emos uma solução radial u de P 4 na bola B R, onde R é definido como em.. E ainda, fazendo uso mais uma vez de.5, vemos que a solução u saisfaz u0 = lim ur = lim y = γ. O principal resulado dese capíulo referene ao problema de Dirichle P 4 é o seguine: Teorema 3 Exisência de T γ. Sejam y, γ solução do problema P γ, h como em. e M como em.. Suponhamos que f saisfaz H e H 3. Se exise γ > 0 al que hγ > ln M +, enão T γ exise e T γ > hγ + ln g γ. Além disso, se M = 0 em., o ermo pode ser omiido. 0

34 Esimaivas para o problema de Dirichle e Ground Saes CAPÍTULO Demonsração: Vejamos inicialmene o caso paricular em que y 0 = 0 na hipóese H 3. Nese caso, T γ é obviamene igual a T 0 γ e sua exisência é porano assegurada. Além disso, a condição.3 é desnecessária. Noe ainda que esa é saisfeia formalmene para M = 0, pois esamos considerando ln M = ln x para x > 0 suficienemene pequeno nese caso. Veja comenário no final da seção.. Pelo Corolário., com y = 0, emos T γ gγ γg γ + ln g γ ln e γg γ. Fazendo y 0 = 0 na definição de h em. e desprezando o úlimo ermo na desigualdade acima, podemos escrever T γ hγ + ln g γ > hγ + ln g γ. Iso complea a prova para o caso em que y 0 = 0. Assim, procedemos a argumenação para o caso em que y 0 > 0 e fu M para 0 u y 0..3 para alguma consane M 0. Noe que al consane exise, pois f é conínua no compaco [0, y 0 ]. Para auxiliar a prova do Teorema 3 esabeleceremos dois lemas preliminares. Inuiivamene é claro que se T 0 e y T 0 são devidamene grandes, enão, quando decresce de T 0 enconrará um pono T al que yt = 0. Ese pensameno, ligeiramene modificado, é incorporado no próximo lema. Lema 3. Nas hipóeses do Teorema 3, seja y, γ solução do problema P γ. Suponhamos que M > 0 em.3 e que para algum s T 0 vale Enão, T γ >. De fao, segue da equação diferencial e da condição.3 que Inegrando podemos escrever s ys y s + ln y s > ln M +. y + e fy = 0 y Me, para s. y s y M s e v dv = Me v s = Me s e.

35 Esimaivas para o problema de Dirichle e Ground Saes CAPÍTULO Mulipliclando por obemos Inegrando novamene, chegamos a ys y Em suma, obemos a desigualdade y y s Me + Me s y s Me. s y s Me v dv = s y s + Me s e s y s Me. ys y s y s Me, para s..4 Sendo esa úlima válida em qualquer inervalo [T, s] no qual y 0. Além disso, segue desa que se exisir < s al que s y s Me > ys.5 enão T γ > e, mais ainda, eremos < T γ < T 0. De fao, pela desigualdade.4 a exisência de um al acarrearia em ys < s y s Me ys y donde segue que y < 0. Sendo assim, eremos y < 0 < yt 0 e, pelo Teorema do Valor Inermediário, exisirá T γ, com < T γ < T 0 al que yt γ = 0. Do argumeno anerior, para complear a prova do Lema 3. basa garanir a exisência de < s saisfazendo.5. Para enconrar, usaremos algumas écnicas elemenares de cálculo. Primeiro, definimos a função, para s fixado, ψ = s y s Me para < s. Observe que uma boa escolha para é dado pelo pono de máximo de ψ, já que esamos querendo ψ > ys. Ora, ψ = y s + Me logo ψ = 0 se, e somene se, = ln M ln y s. Como ψ = Me < 0 para odo < s, emos ln M ln y s como pono de máximo global de ψ desde que ese seja menor que s, iso é, esse pono deve perencer, obviamene, ao domínio de ψ. De sore, usando a hipóese do Lema 3., emos ln M ln y s < s + ys < s, y s logo emos o pono de máximo para ψ. Finalmene, vejamos que omando = ln M ln y s emos a condição.5 saisfeia. De fao, subsiuindo ese valor de em.5 obemos direamene ou, equivalenemene, s ln M + ln y s y s y s > ys s ys y s + ln y s > ln M + o que represena a hipóese do Lema 3.. O próximo lema fornece uma coa inferior para T γ.

36 Esimaivas para o problema de Dirichle e Ground Saes CAPÍTULO Lema 3. Sejam M > 0, s e y, γ como no Lema 3.. Enão T γ > s ys y s. Se M = 0 em.3, s T 0 pode ser omado arbirário e o ermo pode ser omiido. A úlima observação do Lema 3. é mais simples e a faremos primeiro. Se M = 0 em.3 emos fu não-negaiva, e pela equação diferencial y + fye = 0, obemos direamene y 0 para odo s. Porano, emos y decrescene e, pelo Teorema do Valor Médio, exise 0 T γ, s al que ys yt γ = y 0 s T γ. Usando a monoicidade de y emos y 0 > y s. Uma vez que yt γ = 0, subsiuindo y 0 por y s e isolando T γ na desigualdade obida chegamos a T γ > s ys y s o que conclui o caso em que M = 0. Procedemos assumindo que M > 0. Nosso criério.5 para a exisência de T γ pode ser reescrio como s ys y s Me y s > 0 sendo saisfeio para < s. Usamos, novamene, écnicas elemenares de cálculo para esudar crescimeno do lado esquerdo da desigualdade acima. Análogo ao Lema 3., definimos, para s fixado, φ = s ys y s Me, para R. y s Verificamos que φ = + Me e daí φ = Me < 0. Noe que φ = 0 se, y s y s e somene se, =, logo φ ainge o máximo em = ln M ln y s. Ese máximo é ainda posiivo; para ver isso analize φ em e use a hipóese do Lema 3. que obviamene esamos assumindo ambém. Além disso, emos φ < 0 para >. Logo, φ é decrescene para >. Noe que, pela hipóese do Lema 3., o que implica em s ys y s + ln y s > ln M + s ys y s > ln M ln y s. Logo se, = s ys y s, emos >. Apesar disso, afirmamos que φ é ainda posiivo. De fao, φ = Me y s > Me y s = 0. 3

37 Esimaivas para o problema de Dirichle e Ground Saes CAPÍTULO Sendo assim, o criério.5 é saisfeio para, e porano, usando o Teorema do Valor Inermediário, como no Lema 3., emos o que prova o Lema 3.. T γ > s ys y s Tendo esabelecido eses dois lemas preliminares, reornamos a prova do Teorema 3. Como já discuimos o caso y 0 = 0, volamos nossa aenção para y 0 > 0. A idéia para provar a exisência de T γ é verificar que a hipóese do Lema 3. é saisfeia para = T 0. Fazendo s = T 0, na hipóese do Lema 3., buscaremos uma esimaiva para a seguie expressão J = T 0 + ln y T 0 yt 0 y T 0..6 Temos, pelo Corolário.4 que y e gγ + g γ. Donde segue, evidenciando e gγ no lado direio e muliplicando por e, e y e gγ + g γ egγ. Porano, fazendo = T 0 e aplicando logarímo, podemos escrever T 0 + ln y T 0 gγ ln + g γ egγ T 0..7 Para esimar o ermo resane do lado direio de.6 usamos, mais uma vez, a coa inferior para y dada pelo Corolário.4 donde obemos yt 0 y T 0 yt 0 = yt 0 e T0 gγ yt 0g γ. e T 0 gγ + g γ Usando a segunda esimaiva para y dada pela Proposição podemos melhorar a desigualdade acima para yt 0 yt y 0 e T0 gγ g γ γ T 0 g γ ln + g γ egγ T 0 = yt 0 e T 0 gγ γg γ Combinando.7 e.8 obemos J gγ γg γ + ln + g γ egγ T 0..8 yt 0 e T 0 gγ..9 Finalmene, usando agora o Corolário. para = T 0, segue-se que T 0 [gγ + gy 0] + ln g γ 4 ln e [gy 0 gγ].

38 Esimaivas para o problema de Dirichle e Ground Saes CAPÍTULO O que fornece e T 0 gγ e [gγ+gy 0]+ln g γ ln e [gy 0 gγ] gγ = g γ e [gy 0 gγ] Sendo assim, subsiuindo a esimaiva acima em.9, emos J gγ γg γ = gγ γg γ yt 0g γ yt 0g γ e [gy 0 gγ]..30 e [gy 0 gγ] e [gy 0 gγ] e [gγ gy 0]. A esimaiva acima, com a noação de., equivale a J hγ. Iso complea a prova do Teorema 3 no ocane à exisência de T γ; se M = 0 al exisência é auomáica, e se M > 0 a condição hγ > ln M + assegura que J hγ > ln M + e, porano, a hipóese do Lema 3. é saisfeia com s = T 0. Para complear a prova do Teorema 3, necessiamos garanir que Pelo Lema 3., com s = T 0, emos T γ > hγ + ln g γ. T γ > T 0 yt 0..3 y T 0 Onde o ermo acima pode ser omiido se M = 0. De.8, obemos T 0 yt 0 y T 0 T 0 yt 0 e T0 gγ γg γ + ln + g γ egγ T 0. Usando a propriedade, ln ab = ln a + ln b, para a e b posiivos, emos T 0 yt 0 y T 0 gγ γg γ yt 0 e T0 gγ + ln g γ + ln + g γ et 0 gγ Assim, usando a esimaiva para e T 0 gγ dada em.30 e desprezando o úlimo ermo na desigualdade acima, podemos escrever T 0 yt 0 y T 0 gγ γg γ = gγ γg γ = hγ + ln g γ.. yt 0g γ e [gy 0 gγ] e [gy g 0 gγ] γ + ln yt 0g γ Subsiuindo esa úlima esimaiva em.3 obemos T γ > hγ + ln g γ 5 e [gγ gy0] g γ + ln

39 Esimaivas para o problema de Dirichle e Ground Saes CAPÍTULO compleando a prova do Teorema 3 O próximo resulado apresena-se como um simples arranjo do que foi discuido na demonsração do Teorema 3. No enano, seu significado é profundo e de grande imporância, de fao, ese assegura a exisência do ão procurado ground saes que configura um dos objeivos dese capíulo. Diane de sua inegável imporância, daremos a ele o saus de eorema. Teorema 4 Suponha que f saisfaz as hipóeses H, H e H 3. Se exise um valor γ > max {y 0, ζ} saisfazendo.3 enão o problema P em uma solução u em R com u γ. Demonsração: De fao, pelo Teorema para que o problema P enha uma solução em R basa que exisa γ alque T γ >, ou seja, S. Se M = 0, pelo Lema 3., emos que T γ > s ys y s e, além disso, s T 0 pode ser omado arbirário. Em paricular, omando s = T 0, emos T γ finio pela desigualdade acima. Por ouro lado, se M > 0 vimos que a hipóese hγ > ln M + acarrea em J hγ > ln M +, e porano, a hipóese do Lema 3. esá garanida com s = T 0. Logo, emos T γ > como desejado. Um criério menos preciso; porém, mais simples e práico para exisência de ground saes pode ser obido assegurando que.3 é assinoicamene saisfeia. Isso pode ser feio fazendo hu assumir valores suficienemene grandes para u grande. Assim, emos o seguine corolário do Teorema 4. Corolário.6 Suponha que f saisfaz as hipóeses H, H e H 3. Se { } lim sup gu ug u > ln M +..3 u Enão o problema P em uma solução u em R. Demonsração: Com efeio. É claro que se { } hu gu ug u é saisfeio o criério do Corolário.6 implica que a condição.3 é válida. Dessa forma, udo que emos que fazer é assegurar a desigualdade acima. Ora, sendo hu = gu ug u y 0g u ] [e gu gy 0 basa mosrar que a úlima parcela do lado direio da expressão acima é não-negaiva para u grande. Como e gu gy 0 > emos [ e gu gy 0 ] < 6

40 Esimaivas para o problema de Dirichle e Ground Saes CAPÍTULO o que obriga y 0g u ] [e gu gy 0 y 0 g u 0, para u y 0. Para enfaizar o alcance deses resulados daremos a seguir alguns exemplos. Exemplo: Se fu = e uq +u r, com 0 < r < q. Nese caso emos gu = ln fu = u q + u r e claramene g u = qu q + ru r. Sendo assim, gu ug u = u q q + u r q r. Logo, lembrando que r < q, emos que o úlimo ermo no parênese do lado direio da igualdade acima ende a zero quando u ende a +, e porano o valor de { } lim sup gu ug u u é igual a + ou conforme q > 0 ou q < 0 respecivamene. Disso, concluimos que o criério.3 do Corolário.6 é saisfeio para q < mas não para q >. O caso que gu compora-se como u quando u pode ainda ser invesigado como vemos nos exemplos seguines. Exemplo: Se fu = ue u. Nese caso gu = u + ln u, e porano, g u = u +. Sendo assim, u gu ug u = ln u. Logo o criério.3 do Corolário.6 é claramene saisfeio. Exemplo: Se fu = e u +b. Nese caso gu = u + b e obviamene g u = u. Isso fornece, gu ug u logo o criério.3 do Corolário.6 é claramene saisfeio se b > ln M +. = b Exemplo: Se fu = λue uθ, com λ > 0 e < θ. Temos gu = u θ + ln λu e, porano, g u = θu θ +. Sendo assim, u gu ug u = θ u θ + ln λu. Logo, observando que < θ implica em θ Corolário.6 é claramene saisfeio. 0, emos que o criério.3 do 7

41 O gráfico de y quando γ é grande CAPÍTULO.5 O gráfico de y quando γ é grande Se o valor do limie lim y = γ é suficienemene grande a solução do problema P 3 adquire uma aspeco noável. Descreveremos ese aspeco brevemene nesa seção e mosraremos como ele pode ser usado para ober melhores coas para T 0. Por simplicidade, começaremos um caso em que se pode exibir a solução; a saber, gy = ay, a > 0. Nese caso, como é de fácil verificação, a solução é dada por onde T c = gγ + ln g γ y, γ = γ a ln + a eaγ = γ + [ ] T c + ln a + a e aγ = aγ + ln a. Diso vemos claramene que y, γ { γ se > Tc, γ + a T c se < T c desde que enhamos T c não muio pequeno. Veja a Figura seguine. Temos ainda y = e aγ + a eaγ = e aγ + a assim, y = o se aγ é grande e > aγ. Por ouro lado, se aγ é grande e < aγ escrevendo y como y = a a e aγ + = a + e aγ a = + a + a e aγ donde vemos que y = a + o. a e aγ = a + a + a e aγ Porano, chuando de =, a solução começa aproximadamene como uma rea horizonal e é refleida pela curva Γ = {, u = gu} a qual, nese caso, é represenada pela rea λ =. Depois de refleida, e passado a pela zona de ransinção ao redor de T c, esa vola a ser aproximadamene uma rea cuja inclinação θ com respeio ao eixo- é al que an θ = a = λ. 8

42 O gráfico de y quando γ é grande CAPÍTULO Figura.3: Gráfico da solução y, γ. Logo, a inclinação do gráfico da solução é duas vezes a inclinação da curva Γ. Grosseiramene falando; iso ilusra o modelo geral segundo o qual os raios de incidência e reflexão em mesma inclinção da angene a Γ no pono de incidência. O caso especial em que gu = u merece algum comenário. Se o modelo de reflexão fosse esboçado, as soluções começariam horizonalmene em = e seriam odas refleidas no vérice 0, 0 da parábola λ =, em vez de refleirem odas no foco como na reflexão ópica. Na realidade, como vemos pelo Teorema 3, T γ nese caso cresce logarimamene quando γ. Os caso em que gu = u m com m > parece levar a múliplas reflexões de soluções anes de chegar ao eixo-. Agora esboçamos uma esraégia para jusificar esas observações. Por simplicidade, volamos nossa aenção para o caso em que y 0 = 0 e para casos similares a gu = u m para < m <. Especificamene, suporemos sobre g, além das hipóeses, A e A, A 3 gu ug u > 0 para odo u > 0, A 4 g C 3 [0, e exisem consanes não nulas K p ais que ug p+ u lim u g p u = K p, para p = 0,,. Onde g p denoa a p ésima derivada de g. A esraégia consie em escolher um pono T, abaixo da zona de ransinção T c = gγ + ln g γ, no qual: i y T pode ser exibido, por meio dos Corolários.4 e.5, e podemos ver que esá próximo de g γ, ii Poderemos mosrar, por meio da Proposição, que gy é suficienemene grande. 9

43 O gráfico de y quando γ é grande CAPÍTULO A segunda exigência assegurará que y é pequeno e y não muda muio para valores de abaixo de T. Juno com uma esimaiva para y em = T, esa esraégia nos permiirá ober uma esimaiva para T 0. Assim, seja T = gγ + ln g γ δγ onde δγ > 0. Suporemos ainda D lim γ δγ = D δ γ = ogγ quando γ. Começamos esimando y e gy em = T, em seguida esimamos y T e finalmene y em [T 0, T ]. No que se segue esaremos supondo g nas hipóeses A, A, A 3 e A 4. Afirmação Se y é solução do problema P 3. Enão e ambém yt = γ δγ g γ + O δ γ, γ,.33 gγ g yt = gγ δγ + O δ γ, γ..34 gγ Prova.Fazendo = T na segunda desigualdade dada pela Proposição obemos yt γ g γ ln + g γ eg γ T = γ g γ ln + e δγ = γ δγ g γ g γ ln + e δγ γ δγ g γ + g γ e δγ = γ δγ g γ + O e δγ..35 g γ Sendo esas desigualdades válidas para γ suficienemene grande. Por ouro lado, usando a primeira desigualdade dada pela Proposição em = T, obemos g yt gγ ln + e δγ = gγ δγ ln + e δγ gγ δγ e δγ = gγ δγ + Oe δγ.36 30

44 O gráfico de y quando γ é grande CAPÍTULO para γ grande. Noe que usamos na segunda desigualdade acima o fao de que ln+x x, para x 0. Por hipóese, g é uma função crescene. Logo, usando.35 junamene com a fórmula de Taylor com reso de Lagrange emos g yt g γ δγ g γ + O e δγ g γ = gγ + g γ + g cγ δγ! = gγ δγ + O δ γ gγ δγ g γ + O e δγ g γ g γ + O e δγ g γ..37 Noe que fizemos acima um fore uso da hipóese A 4. Analogamene, aplicando g em.36 obemos yt g gγ δγ + Oe δγ = γ + g γ δγ + Oe δγ = γ δγ g γ + O δ γ g γ + g g δγ + Oe δγ!..38 Observemos, como anerior, que uilizamos a hipóese A 4. Além disso, usamos aqui o fao de que g g = g γ onde γ é único pono em que g γ = g. [g γ] 3 Agora, combinado.35 e.38 emos as desigualdades γ δγ g γ + O δ γ yt γ δγ g γ g γ + O e δγ. g γ Noando que e δγ g γ é da mesma que δ γ emos.33. g γ Finalmene, combinando.36 e.37 emos as desigualdades gγ δγ + Oe δγ g yt gγ δγ + O δ γ gγ as quais fornecem.34. Afirmação Suponha que y é solução do problema P 3. Enão y T = [ + O δ γ ], γ..39 g γ + e δγ gγ 3

45 O gráfico de y quando γ é grande CAPÍTULO Prova.Fazendo = T no Corolário.4, emos y T g γ + g γ = g γ + e δγ = = e δγ g γ + e δγ g γ + e δγ egγ T Por ouro lado, usando o Corolário.5 emos analogamene onde L = e e ξ saisfaz, em virude da Afirmação, Porano, pela hipóese A 4, L = e..40 y T L.4 g γ + e δγ [ { } g γ ln+eδγ sup g ξ] γ 4δγ g γ < ξ < γ. [ O δ γ gγ ] = + O δ γ gγ Logo, combinando.40,.4 e a esimaiva acima emos y T g γ + e δγ + O δ γ g γ + e δγ gγ donde segue-se.39. Proposição 3 Se y é solução do problema P 3 enão, para T 0 T, y = [ + O ] δ γ + Oe δγ + O γe γg γ gγ g + Oγe δγ.4 γ gγ uniformemene com respeio a. Demonsração: Inegrando a equação do problema P 3 sobre, T obemos y = y T + Usando o Corolário. emos { } gy < gy g γy T. e gys s ds..43 { } gγ γg γ ln g γ 3 := ψy..44