EXISTÊNCIA, UNICIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP S NÃO LINEAR COM ACOPLAMENTO NA PARTE NÃO LINEAR

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1 EXISTÊNCIA, UNICIDADE E DECAIMENTO EXPONENCIAL PARA UM SISTEMA DE EDP S NÃO LINEAR COM ACOPLAMENTO NA PARTE NÃO LINEAR Anonio a C. Goes Universiae Feeral o Pará Capus Belé, PA E-ail: oinhocg@ig.co.br Ducival C. Pereira Universiae Feeral o Pará Capus Belé, PA e Faculae Ieal Rua os Munurucuis, 36. Belé, PA E-ail: ucival@oi.br Mauro L. os Sanos Universiae Feeral o Pará Capus Belé, PA E-ail: ls@ufpa.co.br Nese rabalho vaos esuar exisência, uniciae e coporaeno assinóico e solução fraca global e u problea iso e evolução. A exisência será provaa via éoo e Faeo-Galerkin e o eorea e copaciae e Aubin-Lions. A uniciae, será osraa e fora sanar e, para o coporaeno assinóico usareos o éoo a energia. Inroução O objeivo ese rabalho é esuar a exisência e uniciae e solução fraca global, be coo o ecaieno exponencial para o sisea não linear e equações iferenciais parciais co acoplaeno na pare não linear: u a(( l v)) Δ u= f( u) eq= (, T) v a(( l u)) Δ v = f( v) eq = (, T) ( P) u = v = sobre Σ= (, T) ux (,) = u( x) e vx (,) = v ( x) e Aqui enoa u abero liiao n o IR, co froneira = Γ suave. Para caa real fixo, poré arbirário T >, Q enoa o cilinro Q = (, T) froneira laeral Σ =Γ (, T ). Hipóeses co Consierareos as hipóeses: H ) :,, fi IR IR i =, são Lipschizianas, ou seja, exise consanes γ >, i =,, ais que: i f () s f () γ s, s, IR e f () =. i i i i H A aplicação a: IR IRé conínua, ) co < α a, para oo IR, γ seno α > ; γ = ax { γ, γ}, one λ λ é o prieiro auo-valor associao ao operaor Δ. H ) l: L IR, 3 é ua fora linear e conínua, iso é, g L ( ) al que: lu = l( u) = gxuxx, u L( ). g H ) 4 O operaor a é lipschiz-conínuo, co consane A, iso é: a () a () A,, IR.

2 3 Exisência e Solução Fraca Global Teorea 3. Toano as hipóeses H H 3 e ( u, v) L ( ) L, enão exise u par e funções ( uv, ) ais que: i)( u, v) L (, T; H ) C(, T; L ) ; ii)( u, v ) L (, T; H ( ) ; iii) u() = u e v() = v; iv) ( u, h) + a( l( v)) ( u, h) = ( f( u), h); v) ( v, h) + a( l( u)) ( v, h) = ( f( v), h). Para oa h, h H( ) no senio e D(, T). Deonsração: Consiereos { j } w coo j IN seno u conjuno oronoral copleo e forao por auo-veores o operaor e λ a corresponene H Δ { j } j IN sequência e auo-valores, e ouras palavras{ w j } é ua base Hilberiana j IN e H. Para caa =,,3,..., vaos consierar o conjuno V = [ w, w,..., w] coo seno o subespaço gerao por w, w,..., w. O problea aproxiao (PA), associao a (P) consise e enconrar ua solução sob a fora: u (), v () = j() wj( x), φj() wj( x) V V, j= j= seno os coeficienes (), φ () e C classe, eerinaos e oo a saisfazer (PA): j j ( u, h) a( l( v) )( Δu, h) = ( f u h) ( )( Δ ) = ( f u h) { } { }, (3.) ( PA) ( v, h ) a l( u ) u, h, (3.) u v u v e L (), () =,,, para oo h h V e j =,...,. Aqui, u, v são aproxiações e e v perencenes a L, poeos u aproxia-las por cobinações lineares finias os w j, ou seja, exise α, β IR( j =,..., ) ais que: j j u = α w u, fore e v j j j= = β jwj v j=, fore e L L Logo e-se u () = u e v () = v. E coo exise u única cobinação linear os veores a base V, segue que j() = α j e φ () = β j j ( j =,..., ). Fazeno alguns cálculos, ransforaos o sisea (PA) no sisea equivalene PA abaixo: () λ a l( v ) () = ( f( u), wj) ( f( u), wj) j j j ( PA) φj() λja l( u) φj() = { } { } u v u v e L (), () =,, O que equivale à fora aricial: ( ) λ a l v = λ ( ) a l v

3 ( f( u), w) ( f ( u ), w ) ( f( u), w) (3.3) φ φ + ( ) λ alu φ φ = ( ) λalu φ φ o ( f( v), w) ( f( v), w) + (3.4) ( f( v), w) u seja, para a equação (3.3), eos: X = AX + B, one se e: ( ) λ alv X = ; A= λ ( alv ) ( f( u), w) X = ( f( u), w) e B = ( f( u), w) Observe que poeos escrever: X = AX + B= F(, X) T X() = X one X = [ α α... α] Para a equação (3.4), o resulao é análogo. Conseguios osrar que esse sisea saisfaz oas as hipóeses o eorea e Carahéoory, o que nos garane exisência e ua solução u (), v (),,, < T. { } [ ) [ ) Saisfeias as conições exigias pelo Teorea e Carahéoory, uilizareos alguns resulaos e análise funcional para eonsraros a próxia eapa (esiaivas a priori), enueraas a seguine fora: Esiaiva I (enconrar liiação para as funções { u(), v() } ) e Esiaiva II (enconrar liiação para (), u v () ), one poereos prolongar { } a solução { (), ()} u v ao inervalo [,T ] (passage ao liie), feio isso fareos aina a verificação os aos iniciais e assi passareos ao próxio capíulo. 4 Uniciae Teorea 4. (e Uniciae): O problea (P) possui ua única solução. Deonsração: Seja{ u, v},{ u, v} :[, T] L ( ), funções veoriais soluções e (P), eos enão: ( u, h ) + a ( l ( v )) u hx = f ( u ) hx ( u, h ) + a ( l ( v )) u hx = f ( u ) hx ( v, h ) + a ( l ( u )) u h x = f ( v ) h x ( v, h ) + a ( l ( u )) u h x = f ( v ) h x Vaos consierar as nuerações (4.), (4.), (4.3) e (4.4) para as equações enconraas nessa ore. Façaos (4.) (4.) e (4.3) (4.4), para ober: ( u u, h ) + a ( l ( v )) u hx alv () u hx= f( u) f( u) hx ( v v, h ) + a ( l ( u )) v h x alu () v hx= f( v) f( v) hx ou seja, ( u u, h ) + a ( l ( v )) u hx x = f ( u ) f ( u ) hx+ a( l( v )) u h (4.5) ( v v, h ) + a ( l ( u )) v h x

4 x = f ( v ) f ( v ) h x+ a( l( u )) v h (4.6) No que se segue, esareos uilizano as ieniaes: (( u u), h) + a( l( v)) ( u u) hx = ( a(( l v )) a(( l v ))) u hx+ ( f ( u ) f ( u )) hx (4.7) (( v v), h) + a( l( u)) ( v v) hx = ( a(( l u)) a(( l u)) ) v hx+ ( f( v) f( v) ) h x (4.8) Noe que a ieniae (4.7) é equivalene a equação (4.5), e a ieniae (4.8) é equivalene a (4.6). Logo, rabalhareos agora co as equações (4.7) e (4.8). Moulano (4.7) e (4.8) co h() = u() u() e h() = v() v(), usano o fao e fi Lip( γ i), para i =, e as aicionano, chegaos a seguine inequação: u u + v v + alv () ( u u) x + alu () ( v v) alv () alv () u ( u u) x + alu () alu () v ( v v) x + γ u u x + γ v v x (4.9) Apliqueos e (4.9) as hipóeses H, H3, H4 e a esigualae e Cauchy- Schwarz, aí enão ve que: u u + v v + α u u + α v v C v v u u u + C u u v v v + γ u u + v v x (4.) { } Aplicano-se a esigualae e Young e (4.) e agrupano os eros seelhanes, eos: u u + v v { u u v v } { u u v v } + α + α C u γ u u α C v γ v v α Façaos: C ϕ() = u + γ α, aí resula: C ξ () = v + γ α u u + v v ϕ() u u (4.) + ξ v v (4.) Seja μ { ϕ ξ } (, T ), enão: u u + v v { u u v v } () = sup (), (), e μ + (4.3) obeos: Inegrano (4.3) e [, ], u u + v v u () u () v () v () { } μ u u + v v x.

5 Toano, ρ () = u u + v v esigualae e Gronwall no resulao obio, ereos enão: ρ() αexp μ( s) s. Coo α = e seno ρ () liiaa, enão ρ, iso é: e aplicano a u u + v v =, (, ). Segue porano que u u + v v = ou seja:, u() = u() e v() = v(). 5 Decaieno Exponencial Teorea 5. ( Decaieno Exponencial): A solução o problea (P) ecai exponencial-ene quano, iso é, exise consanes δ > e λ > ais que: E () λe() e δ, one E() = u + v é a energia { } L L poencial associaa a (P). Deonsração: Co efeio, oeos o problea (P) copono a prieira equação co u e a seguna co v, resula e: ( ) ( u, u) a l( v) Δ u, u = f ( u), u (5.) ( v, v) a l( u) Δ v, v = f ( v), v (5.) Aicionano as uas equações (5.) e (5.), usano ieniae e prouo inerno e nora e a energia poencial associaa a (P), segue-se que: E () + a ( l ( v )) u + a ( l ( u )) v = f () u u+ f ()() v v x (5.3) { } E () α u + v + f () u u+ f ()() v v x (5.4) { } Por, eos: H { f( uu ) + f( v)( v) } x γ ( u + v L L ) Logo, finalene poeos reescrever (5.4) coo: E () α u + v + γ u + L v (5.5) L Apliqueos a esigualae e Poincaré, para assi, oberos: E () ( α C γ)( u + ) (5.6) L v L Toeos δ >, e oo que: αc γ δ > γ Dessa fora, α, one C γ γ α > ax,. C λ Assi, e (5.6), ve que: E () δ E () (5.7) Agora, usano a écnica e inegração por variáveis separáveis, no inervalo [, ] e (5.7), obeos: δ E () λe() e,, one λ =. Segue porano o resulao requerio. Referências [] BRÉZIS, H. Análisis Funcional. Teoria y Aplicaciones. Alianza Eiorial. Mari, Paris, 984. Dese que por H, < α a, enão e (5.3) obeos: [] CORRÊA, F.J.S.A, MENEZES, Silvano D.B, FERREIRA, J., On a class probles involving a nonlocal operaor, Counicaions a Applie Maheaics an Copuaions 47 (4)

6 [3] LIONS, J.L. quelques Méhoes e resoluions es Problées aux Lies Non Linéaris, Duno, Paris 969. [4] RIVERA, J.E Muñoz. Inroução à Teoria as Disribuições e Equações Diferencias Parciais. LNCC, Perópolis 4.