Sílvia Helen Ferreira dos Santos DE UM SISTEMA DO TIPO EULER-BERNOULLI COM DE FRONTEIRA VISCOELÁSTICAS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS Sílvia Helen Ferreira os Santos SOLUÇÃO GLOBAL E ESTABILIZAÇÃO DA ENERGIA DE UM SISTEMA DO TIPO EULER-BERNOULLI COM ACOPLAMENTO NÃO LINEAR E CONDIÇÕES DE FRONTEIRA VISCOELÁSTICAS Orientaor: Prof. Dr. Mauro e Lima Santos Belém-PA 6

2 Sílvia Helen Ferreira os Santos SOLUÇÃO GLOBAL E ESTABILIZAÇÃO DA ENERGIA DE UM SISTEMA DO TIPO EULER-BERNOULLI COM ACOPLAMENTO NÃO LINEAR E CONDIÇÕES DE FRONTEIRA VISCOELÁSTICAS Dissertação apresentaa ao corpo ocente o Programa e Pós-Grauação em Matemática e Estatística - UFPA, como requisito final para a obtenção o grau e Mestre em Matemática. Área e Concentração: Equações Diferenciais Parciais Orientaor: Prof. Dr. Mauro e Lima Santos Belém-PA 6

3 Sílvia Helen Ferreira os Santos Estabilização a energia e um sistema o tipo Euler-Bernoulli com acoplamento não linear e conições e fronteira viscoélasticas Esta Dissertação foi julgaa e aprovaa pelo Corpo Docente o Programa e Pós-Grauação em Matemática e Estatística a Universiae Feeral o Pará, como requisito para obtenção o grau e Mestre em Matemática. Belém, e Setembro e 6 Banca Examinaora Prof. Dr. Mauro e Lima Santos Universiae Feeral o Pará, UFPA Orientaor Prof. Dr. Fari Ammar Khoja Université e Franche-Comté Examinaor Prof. Dr. João os Santos Protázio Universiae Feeral o Pará, UFPA Examinaor

4 Aos meus pais e irmãos.

5 Agraecimentos Agraeço inicialmente a Deus Too Poeroso, fonte e toa a sabeoria, que me conceeu a via e força para chegar ao final este trabalho; Agraeço também infinitamente aos meus pais, pelo encorajamento e apoio; Aos meus irmãos, pela alegria com a minha vitória; Ao meu orientaor, Mauro e Lima Santos, pela orientação, isponibiliae e atenção ispensaos na elaboração este trabalho; Aos professores o programa e Pós-grauação em Matemática e Estatística, em especial ao Prof. Jorge Ferreira; Aos meus colegas e curso, que ao longo esta jornaa me acompanharam e me ajuaram a cumprir conjuntamente este trajeto e ificulaes e lutas, em especial: Sebastião, Alessanro, Paula, Linomar, Reiville, Antenor, Helena, Luiz, Renato e Aubeir; Agraeço à Telma secretária o mestrao pelo carinho e paciência que sempre eicou; À toos aqueles que mesmo inconscientes o papel que cumpriam, tornaram esta travessia mais amena.

6 Viver é um esafio, mas os esafios nos levam a escobrir coisas que nunca havíamos percebio sobre nós mesmos. São eles que exercitam nosso mecanismo e nos inuzem a ultrapassar os limites habituais.

7 RESUMO Neste trabalho provamos o ecaimento exponencial e polinomial e soluções regulares associaas ao sistema o tipo Euler-Bernoulli com acoplamento não linear e conições e fronteira o tipo memória u tt + u + f(u v) = em (, ), v tt + v f(u v) = em (, ), u = v = u ν = v ν = em Σ, u v u ν + g (t s) u ν (s)s = em Σ, g (t s) v ν (s)s = em Σ, g 3 (t s) u(s)s = em Σ, v ν + g 4 (t s) v(s)s = em Σ, (u(, x), v(, x)) = (u (x), v (x)) em, (u t (, x), v t (, x)) = (u (x), v (x)) em. com convenientes hipoteses sobre as funções escalares f e g i. Mostramos que tal issipação é bastante forte para prouzir taxa uniforme e ecaimento. Além isso, o acoplamento é não linear que apresenta algumas ificulaes técnicas, tornano o problema interessante. Estabelecemos, também, existência e uniae e soluções.

8 Abstract In this wor we prove the exponential an polynomial ecays, as time goes to infinity, of regular solutions for a nonlinear couple system of Euler-Bernoulli type with bounary memory conitions u tt + u + f(u v) = em (, ), v tt + v f(u v) = em (, ), u = v = u ν = v ν = em Σ, u v u ν + g (t s) u ν (s)s = em Σ, g (t s) v ν (s)s = em Σ, g 3 (t s) u(s)s = em Σ, v ν + g 4 (t s) v(s)s = em Σ, (u(, x), v(, x)) = (u (x), v (x)) em, (u t (, x), v t (, x)) = (u (x), v (x)) em. uner suitable hypothesis on the scalar functions f an g i. We show that such issipation is strong enough to prouce uniform rate of ecay. Besies, the couple is nonlinear which brings up some aitional ifficulties, which maes the problem interesting. We establish existence an uniqueness of regular solutions.

9 SUMÁRIO RESUMO Abstract vii viii Introução Preliminares 5. Teoria as Distribuições Escalares Espaços as Funções Testes Convergência em C () Distribuições Escalares Convergência e Derivaa Distribucional Espaços e Sobolev O espaço H m () Equações e Volterra Equação Resolvente Outros Resultaos Importantes Existência, Uniciae e Regulariae e Soluções 3 Comportamento Assintótico Decaimento Exponencial Decaimento Polinomial BIBLIOGRAFIA 54

10 Introução Neste trabalho iscutimos a existência e uniciae e soluções fracas e fortes bem como o ecaimento exponencial e polinomial a energia associaa ao sistema e equações o tipo Euler- Bernoulli com acoplamento não linear e conições e fronteira o tipo memória ao por u tt + u + f(u v) = em (, ), () v tt + v f(u v) = em (, ), () u = v = u ν = v ν = em Σ, (3) u v u ν + v ν + g (t s) u ν (s)s = em Σ, (4) g (t s) v ν (s)s = em Σ, (5) g 3 (t s) u(s)s = em Σ, (6) g 4 (t s) v(s)s = em Σ, (7) (u(, x), v(, x)) = (u (x), v (x)) em, (8) (u t (, x), v t (, x)) = (u (x), v (x)) em. (9) Aqui enota um omínio limitao o R n, n, com fronteira = Γ suave tal que Γ = Γ Γ, Γ Γ =, Γ,Γ ambas com meias positiva e Σ i = Γ i (, )(i =, ). As equações (4)- (7) são as não local conições e fronteira responsáveis pelo efeito memória. Aqui u e v representam o eslocamento transversal a placa. As funções relaxamento g i C (, ), i =,..., 4, são funções positivas e não ecrescentes. Denotaremos por ν o vetor unitário normal exterior a Γ. A função f C (R) satifaz f(s)s s R. () Aicionalmente, supomos que f é superlinear, isto é

11 3 f(s)s ( + δ)f (s), F (z) = z f(s)s, s R, () para algum δ >, com a seguinte conição e crescimento f(x) f(y) C( + x ρ + y ρ ) x y, x, y R, () para algum C > e ρ tal que (n-)ρ n. Notemos que pela conição (.3) a solução o sistema (.) (.9) pertence ao espaço W := {w H () : w = w ν = em Γ }. Das imersões e Sobolev e o teorema o traço existem γ i (i =,, 3) pequenas constantes positivas satisfazeno u L () γ u L (), u L () γ u L () e u L (Γ ) γ 3 u L (), u W. RESULTADOS ANTERIORES ASSOCIADOS AO SISTEMA ()-(9) A equação e Euler-Bernoulli foi estuaa por iferentes autores. Toos eles consieram essencialmente ois mecanismos issipativos (ou combinação eles): a)a issipação e atrito, obtia pela introução e um termo e fricção que poe agir sobre too o omínio, na fronteira (ou parte a fronteira) ou em alguma vizinhança localizaa a fronteira; b)a issipação viscoelástica aa pelo efeito memória como em [, 6]. A issipação e atrito é o mecanismo issipativo mais usual. Ele age sobre too o omínio ou em na fronteira ( ou parte a fronteira) ou em alguma parte estratégica o omínio (amping localizao). Foi provao por [, 6, 8,, 8] que a energia e primeira orem ecai exponencialmente para zero quano o tempo vai para infinito. Finalmente, o feito memória sobre o tensor e tensão prouz um mecanismo issipativo satisfatório que epene a função relaxamento (veja [, 6]). Eles provaram que a energia ecai uniformemente exponecialmente ou algebricamente com a mesma taxa e ecaimento como a

12 4 função relaxamento, isto é, quano a função relaxamento ecai exponencialmente, a energia corresponente também ecai exponencialmente. Por outro lao, quano a função relaxamento ecai polinomialmente então a energia corresponente também ecai polinomialmente e com a mesma taxa. Objetivo principal este trabalho é completar os resultaos anteriores, isto é, mostrar que o efeito memória, prouzio pelas funções relaxamento agino sobre uma parte a fronteira prouz taxa uniforme e ecaimento exponencial ou polinomial. As notações usaas neste trabalho são parões e seguem as encontraas no livro e J. L. Lions []. Este trabalho foi organizao o seguinte moo: no Capítulo são enunciaos alguns teoremas e compaciae e algumas esigualaes que serão funamentais para o esenvolvimento o trabalho. Alguns esses resultaos serão emonstraos e outros sua emonstração será omitia porém inicaa a bibliografia aequaa. No capítulo, estabeleceremos a existência, uniciae e regulariae e soluções fortes para o problema () (9). Para isso usaremos o métoo as aproximações e Galerin, seguino as iéias introuzias por J. L. Lions []. Finalmente no capítulo 3, estuaremos a estabiliae as soluções fortes para o sistema () (9). Mais precisamente, mostraremos que a issipação aa pelo efeito memória é forte o suficiente para prouzir ecaimento uniforme exponencial ou polinomial, ese que as funçoes relaxamento,, 3, 4 também ecaiam exponencialmente ou polinomialmente. Usaremos a técnica os multiplicaores introuzia por Komorni [6] e Lions [] juntamente com alguns lemas técnicos e algumas iéias técnicas.

13 Capítulo Preliminares Neste capítulo apresentaremos alguns resultaos básicos os quais serão utilizaos nos capítulos posteriores. Teoria as Distribuições Escalares.. Espaços as Funções Testes Sejam R n um aberto limitao e ϕ : R, uma função contínua. Denominamos suporte e ϕ, ao fecho, em, o conjunto os pontos x pertencentes a one ϕ não se anula. Denotamos o suporte e ϕ por supp (ϕ). Simbolicamente, temos que supp (ϕ) = {x ; ϕ (x) } em. Usano a efinição concluímos que o supp (ϕ) é o menor fechao fora o qual ϕ se anula e valem as seguintes relações. supp (ϕ + ψ) supp (ϕ) supp (ψ). supp (ϕψ) supp (ϕ) supp (ψ) 3. supp (λϕ) = λ supp (ϕ), λ R {}. Neste capítulo, aremos um estaque especial às funções ϕ : R, com suporte compacto contio em que, sejam infinitamente iferenciáveis. Com esse objetivo efinimos o espaço C (), como seno o espaço vetorial as funções inefiniamente iferenciáveis com suporte compacto contio em. Os elementos e C () são enominaos funções testes em.

14 .. Convergência em C () 6 Observação... Por um multi-ínice, entenemos, uma n-upla α = (α,..., α n ) e números inteiros não negativos. Denotamos por α = α + + α n a orem o multi-ínice e por D α o operaor erivação parcial, e orem α, D α = α α x... α. n x n Para α = (,..., ), temos por efinição D ϕ = ϕ... Convergência em C () Dizemos que uma sucessão (ϕ n ) n N e funções em C () converge para ϕ em C forem satisfeitas as seguintes conições: () quano ( i ) Existe um conjunto compacto K tal que supp (ϕ) K e supp(ϕ n ) K, n N. ( ii ) D α ϕ n D α ϕ uniformemente em K para too multi-ínice α. O espaço vetorial C (), junto com a noção e convergência efinia acima é um espaço vetorial topológico que enotamos por D(), e é enominao espaços as funções testes. Denota-se por L p (), p <, o espaço as funções reais u : R, mensuráveis e tais que u p são Lebesgue integráveis em. O espaço L p (), é um espaço e Banach com a norma u p L p () = u p x. Quano p =, L () enota o espaço e Banach e toas as funções reais essencialmente limitaas com norma u = sup ess u(x) x Quano p =, L () é um espaço e Hilbert com prouto interno (u, v) = u(x)v(x)x, e norma inuzia u = u(x) x.

15 ..3 Distribuições Escalares 7 Observação... Seno limitao, obtemos D() L p (), para too p, tal que p <, com imersão contínua e ensa. De fato, ao ϕ D(), temos que ϕ (x) p x sup ϕ (x) p µ () <. x Isto prova a inclusão algébrica. Para a continuiae, suponhamos que ϕ n Mostraremos que ϕ n (x) ϕ (x) p x. ϕ em D(). Notemos que, ϕ n (x) ϕ (x) p x = K ϕ n (x) ϕ (x) p x. Logo pelo Teorema a Convergência Dominaa e Lebesgue, lim n ϕ n (x) ϕ (x) p x = lim n = K K ϕ n (x) ϕ (x) p x lim ϕ n (x) ϕ (x) p x =. n Poemos aina mostrar que a imersão anterior é ensa. Para isso ver [7]..3 Distribuições Escalares Com o intuito e generalizar o conceito e funções sobre, introuz-se o conceito e istribuições escalares. Denominamos istribuição escalar sobre a toa forma linear e contínua sobre D(), isto é, uma função T : D() R que satisfaz as seguintes conições ( i ) T (αϕ + βψ) = αt (ϕ) + βt (ψ), ϕ, ψ D (), α, β R. ( ii ) T é contínua, isto é, se (ϕ ν ) ν N converge para ϕ, em D (), então T (ϕ ν ) T (ϕ) em R. O valor a istribuição T na função teste ϕ, é enotao por T, ϕ.

16 ..3 Distribuições Escalares 8 A sucessão (T ν ) ν N, converge para T, quano a sucessão ( T ν, ϕ ) ν N converge para T, ϕ em R para toa ϕ D(). O espaço as istribuições sobre, com esta noção e convergência será enotao por D (). As istribuiçoes que aparecem com mais freqüência são aquelas efinias a partir e funções localmente integráveis. Definição.... Temos que uma função u : R é localmente integrável em, quano u é integrável á Lebesgue em too compacto K. O espaço as funções localmente integráveis é enotao por L loc (). Em símbolo temos u L loc () K u(x) x < para too compacto K. A istribuição T u assim efinia é ita geraa pela função localmente integrável u e, usano o Lema Du Bois Raymon, temos que T u é univocamente eterminaa por u, no seguinte sentio: T u = T v se, e somente se, u = v quase sempre em. Neste sentio ientificamos u com a istribuição T u e o espaço L loc () as funções localmente integráveis poe ser visto como parte o espaço as istribuições D (). Lema.. (Du Bois Raymon). Seja u L loc (). Então T u = se, e somente se, u = quase sempre em. Demonstração: ver [7] Vale ressaltar que existem istribuições não efinias por funções visto no exemplo a seguir. e L loc (), como poe ser Com essa noção e convergência, D () passa a ser um espaço vetorial topológico e temos a seguinte caeia e injeções contínuas e ensas D () L P () L loc () D (), p <.

17 ..4 Convergência e Derivaa Distribucional 9..4 Convergência e Derivaa Distribucional Com o objetivo e estuar os espaços e Sobolev, introuzimos o conceito e erivaa istribucional. A motivação o conceito e erivaa fraca e, posteriormente, o conceito e erivaa istribucional, ao por Sobolev, se eve a fórmula e integração por partes o Cálculo, seno este conceito generalizao para istribuições quaisquer em D (), por L.Schwartz, Veja []. Seja T uma istribuição sobre e α um multi-ínece. A erivaa no sentio as istribuições e orem α e T é efinia como seno o funcional linear D α T : D () R, tal que D α T, ϕ = ( ) α T, D α ϕ, ϕ D (). Segue a efinição acima que caa istribuição T sobre possui erivaas e toas as orens. Assim as funções e L loc () possuem erivaas e toas as orens no sentio as istribuições. Observe que a aplicação D α : D () D () é linear e contínua no sentio a convergência efinia em D (). Isto significa que lim T v = T em D () então v lim v Dα T v = D α T em D (). Observação..3. Outro resultao interessante a ser mercionao é que a erivaa e uma função L loc (), não é, em geral, uma função L loc (), como mostra o exemplo a seguir. Exemplo... Seja u a função e Heavisie, isto é, u é efinia em R e tem a seguinte forma { se x > u(x) = se x <, assumino qualquer valor em x =. Esta função u pertence a L loc () mas sua erivaa u = δ não pertence a L loc (). Como δ / L loc (), basta verificar que u = δ.

18 . Espaços e Sobolev De fato < u, ϕ >= < u, ϕ >= ϕ (x)x = ϕ (x)x = ϕ() =< δ, ϕ >, ϕ D (). Tal fato, motivará a efinição e uma classe significativa e espaços e Banach e funções, conhecios sob a enominação e Espaços e Sobolev. Observação..4. Se u C (R n ), para caa α, então a noção e erivaa no sentio clássico coincie com a noção erivaa no sentio as istribuições, isto é D α T u = T D α u, α. É uma conseqüência simples a fórmula e integração e Gauss.. Espaços e Sobolev Apresentaremos nesta seção uma classe e espaços funamentais para o estuo as Equações Diferenciais Parciais. Esta classe é conhecia como espaços e Sobolev... O espaço H m () Seja um aberto o R n com fronteira Γ regular. Foi observao na seção anterior que se u L p (), u possui erivaas e toas as orens no sentio as istribuições. Observamos que D α u, em geral, não é uma istribuição efinia por uma função e L p (). Estamos interessaos em espaços e istribuições u L p () cujas erivaas istribucionais permaneçam em L p (). Tais espaços são enominaos Espaços e Sobolev. Daos um inteiro m > e p, o espaço e Sobolev e orem m sobre, é o espaço vetorial enotao por W m,p (), constituío as funções u L p () para as quais D α u L p (), para too multi-ínice α, com α m. Em símbolo temos W m,p () = {u L p () : D α u L p (), α, com α m}. O espaço W m,p () será munio a norma u W m,p () = D α u p L p () α m /p, p <.

19 .. O espaço H m () e se p = u W m, () = α m D α u L (). Em ambos os casos W m,p () é um espaço e Banach. O espaço W m,p () é um espaço reflexivo se < p < e separável se p <. No caso particular em que p =, o espaço W m, () é um espaço e Hilbert, seno enotao por H m (), isto é, H m () = { u L () ; D α u L (), α, com α m }. O Traço em H () Foi emonstrao em [7] que as funções e H m () poem ser aproximaas na norma e H m (), por função e D ( ), one D ( ) é o conjunto {ϕ ; ϕ D (R n )} que se poe efinir a restrição à fronteira Γ e. Daa ϕ H (), consieremos uma seqüência (ϕ ν ) ν N em D ( ) com ϕ ν ϕ em H (). Definimos o operaor γ : H () L (Γ) por γ (ϕ) = lim ϕ Γ, seno este limite consierao na norma e L (Γ). O operaor γ, enominao operaor traço, que é contínuo, linear cujo o núcleo é H (). De forma mais simples, escrevemos ϕ Γ em vez e γ ϕ. Assim, poemos caracterizar, o espaço H () por H () = { ϕ H () ; ϕ Γ = }. A generalização o operaor e traço para os espaços H m () ocorre e forma natural e, no caso m =, temos { } H () = ϕ H ϕ () ; ϕ Γ =, ν Γ =. O ual topológico o espaço W m,p () representamos por W m,q () se p < com p + q =. Se ϕ W m,q (), então ϕ D() D (). Quano p =, W m, () será enotao por H m (), cujo ual é H m (). O teorema seguinte caracteriza o espaço W m,p ().

20 .3 Equações e Volterra Teorema... Seja T D (). Então, T W m,p () se, e somente se, existem g α L q () tais que T = D α g α. α m Demonstração: ver [] Proposição.. (Caracterização e H ()). Se T for uma forma linear contínua sobre H (), então existem n + funções u, u,..., u n e L (), tais que Demonstração: ver [] T = u + n i= u i x i. De posse estes ois resultaos concluímos que se u H (), então u H (), seno o operaor : H () H (), linear, contínuo e isométrico. Lema.. (Desigualae e Poincaré). Seja R n um aberto limitao em alguma ireção. Se u H (), então existe uma constante C > tal que Demonstração. Veja []..3 Equações e Volterra u L () C u L (). Nesta seção será feita uma introução à teoria as equações integrais e Volterra. Definição.3.. Uma equação integral e Volterra linear e primeira orem é toa equação a forma f(t) = g(t) + seno g(t) e (t, s) funções aas. (t, s)f(s)s, (.) Teorema.3.. Seja (t, s) uma função contínua em s t T, T > e g(t) uma função contínua em t T. Então existe uma única função contínua f : [, T ] R satisfazeno, f(t) = g(t) + (t, s)f(s)s.

21 .3 Equações e Volterra 3 Demonstração: Existência A prova é baseaa nas aproximações sucessivas e Picar. Para isto, seja a seguinte sequência e funções Seno {f, f, f,..., f n,...}. f (t) = g(t), f (t) = g(t) +. = f n (t) = g(t) + com n =,,... Desta forma f n (t) = g(t) + f n (t) = g(t) + Portanto f n (t) f n (t) =. (t, s)g(s)s, (t, s)f n (s)s, (t, s)f n (s)s, (t, s)f n (s)s. (t, s)[f n (s) f n (s)]s. Definino a sequência ϕ n (t) = f n (t) f n (t) com ϕ (t) = g(t) temos ϕ n (t) = (t, s)ϕ n (s)s. Logo f n (t) = Sejam G, K constantes positivas tais que n ϕ i (t). i= g(t) G t T, (s, t) K s t T. Mostraremos que ϕ n (t) G(Kt)n n! t T, n =,,....

22 .3 Equações e Volterra 4 A emonstração será feita por inução. Para n = temos ϕ (t) = g(t) G = G(Kt).! Suponha que a proprieae seja vália para n = l. Resta mostrar que é vália para n = l +. Por hipótese, temos Para n = l +, obtemos ϕ l (t) G(Kt)l. l! Assim O que conclui a emonstração. ϕ l+ (t) = Portanto, vale a seguinte esigualae (t, s)ϕ l (s)s (t, s) ϕ l (s) s K G(Ks)l s l! GKl+ l! s l s. ϕ l+ (t) G(Kt)l+. (l + )! n G(Kt) i n= i! G(KT ) n n! n= = Ge KT. Desta forma, pelo teste M e Weirstrass, a série ϕ n (t) é absoluta e uniformemente convergente. Denotano f(t) = n= ϕ n (t), concluímos que f é contínua. De fato, seja t [, T ]. Então n= lim f(t) = lim t t t t ϕ n (t) = n= lim (ϕ n (t)) = t t n= ϕ n (t ) = f(t ). o que mostra a continuiae e f. A função f é solução a equação integral e Volterra aa em (.). Com efeito, m ϕ n (t) = n= n= ( m ) (t, s) ϕ n (s) s. n=

23 .3 Equações e Volterra 5 Fazeno m e usano a convergência uniforme, obtemos ou isto é, Uniciae lim m n= m ϕ n (t) = f(t) g(t) = f(t) = g(t) + (t, s) lim m (ϕ n (s)) s, (t, s)f(s)s, (t, s)f(s)s. Suponha que existam funções f, f contínuas satisfazeno (.). Portanto f (t) f (t) = Pela continuiae e f e f, existe C > tal que (t, s)(f (s) f (s)s. (.) f (t) f (t) C t T. Logo, substituino em (.) vem f (t) f (t) KCt, t T. Repetino esse processo n-vezes em (.), obtemos C(Kt) n Fazeno n vem que lim n n! f (t) f (t) C(Kt)n, t T. n! =. Assim, concluímos que f (t) = f (t).

24 .4 Equação Resolvente 6.4 Equação Resolvente Vimos pelo teorema anterior que aa g C[, T ] existe uma única f C[, T ], tal que f(t) (t, s)f(s)s = g(t) Desta forma, poemos consierar o seguinte operaor K : C[, T ] C[, T ] f K[f] = f(t) O operaor K é linear e bijetivo. De fato, K é linear. K[f + λf ] = f (t) + λf (t) + = f (t) + λf (t) + = f (t) + = K[f ] + λk[f ] (t, s)(f (s) + λf (s))s (t, s)f (s)s + λ (t, s)f (s)s + λ(f (t) + (t, s)f(s)s. (t, s)f (s))s (t, s)f (s)s) K é bijetivo. A sobrejetiviae segue o fato que, aa g C[, T ], pelo teorema e existência e uniciae, existe uma única f C[, T ] tal que K[f] = g. Concluimos a injetiviae e maneira análoga, pois K[f] = poe ser, interpretaa como a equação K[f] = g seno, g e pelo teorema e existência e uniciae existe uma única f C[, T ] que satisfaz essa equação, a saber f(x) =. A função (t, s) é chamaa núcleo o operaor e Volterra. Notemos que, como foi efinio ϕ (t) = (t, s)ϕ (s)s, vem que ϕ (t) = = = = (t, s)ϕ (s)s (t, s) τ τ s (s, τ)g(τ)τs (t, s)(s, τ)g(τ)τs (t, s)(s, τ)sg(τ)τ,

25 .4 Equação Resolvente 7 pois o integrano é contínuo em τ s t. Assim seno Inutivamente ϕ (t) = (t, τ) = ϕ n (t) = seno (t, s) = (t, s), n (t, s) = temos seno r n (t, s) = s τ (t, τ)g(τ)τ, (t, s)(s, τ)s. n (t, s)g(s)s n, (t, τ) n (τ, s)τ para n. Como f n (t) = n i= ϕ i(t) f n (t) = r n (t, s)g(s)s, i= n i (t, s). Usano a continuiae a função temos, (t, s) K analogamente poemos mostrar que n (t, s) Kn (t s) n. (n )! Daí segue que a série r(t, s) = n (t, s) é absoluta e, portanto, uniformemente convergente. A n= função r(t, s) é chamaa o núcleo resolvente e (t, s). Teorema.4.. Se (t, s) e g(t) são contínuas, então a única solução contínua e (.) é aa por f(t) = g(t) + Demonstração: Das relações anteriores r(t, s)g(s)s = r(t, s)g(s)s. i (t, s)g(s)s. Como a série converge uniformemente poe-se permutar a orem a soma com integração, i= obteno ou seja, r(t, s)g(s)s = i= f(t) = g(t) + i (t, s)g(s)s = ϕ i (t) = f(t) g(t), i= r(t, s)g(s)s.

26 .5 Outros Resultaos Importantes 8 Observação.4.. O teorema anterior mostra que o operaor inverso K tem a forma e uma equação integral e Volterra, ou seja K : C[, T ] C[, T ].5 Outros Resultaos Importantes g K [g] = g(t) + r(t, s)g(s)s. A seguir enunciaremos mais alguns resultaos que serão utilizaos posteriormente. Sejam D R n+ e f : D R n. Dizemos que f satisfaz as conições e Carathéoory sobre D se f (t, x) é mensurável em t, para caa x fixo; f (t, x) é contínua em x, para caa t fixo; Para caa compacto K em D, existe uma função real integrável m K (t), para too (t, x) D. m K (t) tal que f (t, x) Consieremos o retângulo R = { (t, x) R n+ ; t t a, x x b }, com a, b >. Teorema.5. (Carathéoory). Seja f : R R n satisfazeno as conições e Carathéoory sobre R. Então, sobre algum intervalo t t β (β > ), existe uma solução o problema e valor inicial Demonstração: ver [] { X = f (t, X) X (t ) = X. Definição.5. (Convergência Fraca). Sejam E um espaço e Banach e (u ν ) ν N uma seqüência e E. Temos que u ν u fracamente se, e somente se, ϕ, u ν ϕ, u, u E. Definição.5. (Convergência Fraca Estrela). Sejam E um espaço e Banach, ϕ E e (ϕ ν ) ν N uma seqüência e E. Temos que ϕ ν ϕ fraco se, somente se, ϕ ν, u ϕ, u, u E.

27 .5 Outros Resultaos Importantes 9 Lema.5.. Seja f uma função real positiva e classe C. Se existem constantes positivas c, c e γ tais que então Demonstração: Definino temos que Tomano γ = min{c, γ.}, Obtemos Segue que Logo Integrano e a t, obtemos f (t) c f(t) + c e γt, f(t) ce γ t. F (t) = f(t) + c γ e γt F (t) = f (t) c e γt c f(t) c e γt. γ F (t) c f(t) + c e γt. F (t) F () e γ t F (t) γ F (t). F (t) F (t) γ. = F (t) F ()e γ t. Como F () = f() + c γ e f(t) F (t) f(t) ce γt, com c = f() + c γ. Lema.5.. Seja f uma função real positiva e classe C satisfazeno f (t) [f()] + p + ( + t) p+, com p > e, >. Então, existe uma constante >, tal que f(t) pf() + ( + t) p.

28 .5 Outros Resultaos Importantes Demonstração: Tomamos h(t) = p(+t) p g (t) = f (t) { Seja a = min, ( p )+ p e g(t) = f(t) + g(t). Nestas conições temos { ( + t) p+ [f(t)] + p + {[f(t)] + p + ( p )+ p p }. Assim, p [h(t)] + p } ( + t) p+ }. } g (t) a {[f(t)] + p + [h(t)] + p. Como existe uma constante positiva a, tal que } [f(t) + h(t)] + p a {[f(t)] + p + [h(t)] + p, concluímos Integrano e a t, temos { em que a = min p, a a g (t) a [g(t)] + p, g (t) a [g(t)] + p p p g() } g(t) { p + a a [g()] p t a a. pp [pf() + ] a p ( + t)p, } [g()] p. Tomano = a ( p a ) p, segue o resultao Lema.5.3 (Lema e Gronwall). Sejam ϕ, ψ : [a, b] R funções contínuas e não-negativas, α. Se ϕ (t) α + a ϕ (s) ψ (s) s, então, [ ] ϕ (t) α exp ψ (s) s, t [a, b]. a Em particular, ψ (t) é limitaa e se α =, então ϕ. Demonstração. Veja [].

29 Capítulo Existência, Uniciae e Regulariae e Soluções Neste capítulo estabeleceremos existência e uniciae para as soluções o sistema ()-(9), bem como provaremos que a solução é regular ese que os aos iniciais também sejam regulares. Para melhor análise introuziremos os operaores binários (g ϕ)(t) = (g ϕ)(t) = g(t s)ϕ(s)s, g(t s) ϕ(t) ϕ(s) s one enota a convolução. Uma importante relação entre esses ois operaores é ao pelo seguinte Lema. Lema..4. Sejam f, ϕ C ([, [; R). Então f(t s)ϕ(s)sϕ t = f(t) ϕ(t) + f ϕ [ f ϕ ( t Demonstração: Diferenciano o termo (f ϕ)(t), temos t (f ϕ)(t) = (f ϕ)(t) + t f(t s)ϕ(s)sϕ t f(s)s) ϕ ]. f(t s)s ϕ(t) Como t f(t s)s ϕ(t) = t f(s)s ϕ(t) f(t) ϕ(t)

30 segue que f(t s)ϕ(s)sϕ t = f(t) ϕ(t) + f ϕ [ f ϕ ( t f(s)s) ϕ ]. Para obtenção a solução forte o sistema ()-(9) vamos substituir as conições e fronteira (4)-(7) por conições e fronteiras equivalentes. Derivano as equações (4)-(7), em relação ao tempo temos u ν (t) = g () u t(t) g () v ν (t) = g () v t(t) u(t) = u t g 3 () ν v(t) = v t g 4 () ν g () g (t s) u ν (s)s, g (t s) v ν (s)s, g 3(t s) u ν (s)s, g 4(t s) v ν (s)s, Aplicano o operaor inverso e Volterra, obtemos u ν (t) = g () {u t + u t (t)}, v ν = g () {v t + v t (t)}, u = g 3 () { u t ν + 3 u t ν (t)}, v = g 4 () { v t ν + 4 v t ν (t)}.

31 3 Notemos que, u t (t) = 3 u t ν (t) = Analogamente, temos que one o núcleo resolvente satisfaz (t s)u t (s)s, = (t s)u(s) t t (s)u(s)s = ()u(t) (t)u + 3 (t s) u t ν (s)s, = 3 (t s) u t ν (s) t = 3 () u ν (t) 3(t) u ν + v t (t) = ()v(t) (t)v + (t s)u(s)s 3(s) u t ν (s)s 4 v t ν (t) = 4() v ν (t) 4(t) v ν + 3(t s) u t ν (s)s. (t s)v(s)s 4(t s) v t ν (s)s i + g i () g i i = g i () g i, i =,, 3, 4. Denontano por η i =, i =,, 3, 4 e usano as ientiaes acima, obtemos g i () u ν = η {u t + ()u (t)u + u} (.) v ν = η {v t + ()v (t)v + v} (.) u = η 3 { u t ν 3() u ν + 3(t) u ν 3 u ν } (.3) v = η 4 { v t ν 4() v ν + 4(t) v ν 4 v ν } (.4) Reciprocamente, tomano u(x, ) = v(x, ) = u v (x, ) = ν ν (x, ) = em Γ, segue que as ientiaes (.)-(.4) acima implicam em (4)-(7). Como estamos interessaos nas funções relaxamento o tipo exponencial ou polinomial, e as ientiaes (.)-(.4) envolvem os núcleos resolutivos, seria interessante saber se os núcleos i, tem as mesmas proprieaes. Essa questão

32 4 é responia pelo lema abaixo. Sejam h uma função relaxamento e seu núcleo resolvente tal que (t) h(t) = h(t). (.5) Lema..5. Seja h uma função contínua e positiva, então também é uma função contínua e positiva. Além isso:. Se existem constantes positiva c e γ com c γ, tal que então, a função satisfaz < ɛ < γ c.. Se p >,enotano por c p := sup t R + positiva com c c p < satisfazeno então, a função satisfaz h(t) c e γt, (t) c (γ ɛ) γ ɛ c e ɛt, (t) ( + t)p ( + t s) p ( + s) p s existe c, constante h(t) c ( + t) p, c c c p ( + t) p. Demonstração: A continuiae a função segue e imeiato a ientiae (.5). Suponha que não seja estritamente positiva, ou seja, existe pelo menos um t [, ) tal que (t). Fazeno t = na equação (.5), temos que () = h() >. Devio a continuiae e, existe um intervalo I = (, δ) e moo que (t) > para too t (, δ). Assim existe t = inf{t R + : (t) = } com (t) > para too t [, t ]. Se t R +, pela equação (.5) temos h(t ) = h(t )

33 5 isto é contraitório, visto que, h(t ) >. Portanto, (t) >, t R +. Seja ɛ uma constante fixa, tal que < ɛ < γ c e efinimos Multiplicano (.5) por e ɛt, obtemos Multiplicano (.6) por e ɛt, obtemos De (.7) e (.8) ɛ (t) = e ɛt (t), h ɛ (t) = e ɛt h(t) (.6) ɛ (t) = h ɛ (t) + e ɛt ( h(t)). (.7) ɛ (t) h ɛ (t) + h ɛ (t) c e t(ɛ γ). (.8) Tomano o sup em (.9) com s [, t] obtemos Notemos que, sup ɛ (t) sup h ɛ (s) + s [,t] s [,t] ɛ (t s)c e s(ɛ γ) s. (.9) c e s(ɛ γ) s = lim λ Daí, substituino (.) em (.), obtemos ou seja, Substituino (.8) em (.) c e s(ɛ γ) s sup ɛ (s). (.) s [,t] λ c e αs s (e(ɛ γ)λ = c lim λ ɛ γ ɛ γ ) c = γ ɛ. (.) sup ɛ (s) sup h ɛ (s) + c s [,t] s [,t] γ ɛ sup ɛ (s), s [,t] sup ɛ (s) (γ ɛ c ) sup h ɛ (s). (.) s [,t] γ ɛ s [,t] sup ɛ (s) c (γ ɛ) e t(ɛ γ). s [,t] γ ɛ c

34 6 Portanto, Para emonstrar a outra parte, sejam ɛ c (γ ɛ) γ ɛ c e t(ɛ γ). p (t) = ( + t) p (t) e h p (t) = ( + t) p h(t). Multiplicano a equação (.5) por ( + t) p, obtemos p (t) = h p (t) + ou seja, p (t) = h p (t) + pois, (t s)h(s)s( + t) p, p (t s)( + t s) p ( + t) p ( s) p h p (s)s, (.3) (t s) = ( + t s) p p (t) e h(s) = ( + s) p h p (s). Multiplicano, h(t) c ( + t) p por ( + t) p h p (t) c. (.4) Assim, tomano o sup em (.3), com s [, t], obtemos sup p (s) sup h p (s) + sup p (s) sup h p (s) s [,t] s [,t] s [,t] s [,t] Devio a conição para c, obtemos ( + t s) p ( + t) p ( s) p s. isto é, sup p (s) sup h p (s) + c c p s [,t] s [,t] sup s [,t] p (s), Substituino (.4) em (.5) encontramos sup p (s)( c c p ) sup h p (s). (.5) s [,t] s [,t] sup p (s) s [,t] c c c p.

35 7 Portanto, p (t) c c c p. Temos assim, que para obtenção a solução o sistema ()-(9) poemos utilizar as conições e fronteira equivalentes, pois as funções i preservam as mesmas proprieaes as g i. A energia e primeira orem o sistema ()-(9) é aa por E(t) = E(t; u; v) = + η + η ( u t + v t + u + v )x ( (t) u u)γ Γ ( (t) v v)γ Γ + η 3 ( 3 (t) u Γ ν 3 u ν )Γ + η 4 ( 4 (t) v Γ ν 4 v ν )Γ + F (u v)x. A seguir será enunciao o principal teorema esse capítulo. Teorema... Seja i C (R) tal que i, i, i ; i =,..., 4. Se ()-() são satisfeitas, (u, v ) (H 4 () W ) e (u, v ) W satisfazem as conições e compatibiliae u = η u, ν (.6) v = η v, ν (.7) u = η 3 u ν, (.8) v = η 4 v ν. (.9)

36 8 Então existe somente uma única solução (u, v) o sistema ()-(9) satisfazeno (u, v) L loc (, : W ) L loc (, : W ) (u t, v t ) L loc (, : W ) L loc (, : W ) (u tt, v tt ) L loc (, : L ()) L loc (, : L ()). Demonstração: A emonstração é baseaa no métoo as aproximações e Faeo-Galerin. Seja {w j } j N uma base e H 4 () W que é ortonormal completo em W. Seja W m o subespaço gerao pelos m primeiros vetores esta base W m = [w, w,..., w m ]. Nosso objetivo é eterminar (u m (t), v m (t)) Wm, tais que m m u m (t) = h j w j, v m (t) = p j w j, j= j= satisfazeno, u m tt (t)wx + u m (t) w(t)x +η {u m t + ()u m (t)u m + u}wγ Γ η 3 { um t Γ ν 3() um ν + 3(t) um ν 3 um ν } w ν Γ + f(u m v m )wx =, w W m, (.) vtt m (t)wx + v m (t) w(t)x +η {vt m + ()v m (t)v m + v m }wγ Γ η 4 { vm t Γ ν 4() vm ν + 4(t) vm ν 4 vm ν } w ν Γ f(u m v m )wx =, w W m. (.)

37 9 com as seguintes conições inicias (u m, v m ) = (u m (), v m ()) (u, v ) em (H 4 () W ), (u m, v m ) = (u m t (), v m t ()) (u, v ) em W W. (.) Notemos que (.)-(.) são e fato sistema e EDO S m n na variável t, satisfazeno as conições o teorema e existência e Carathéoory. Portanto, possui solução (u m (t), v m (t)) no intervalo [, t m [, t m < T. As estimativas a priori, obtias a seguir, nos permitirão prolongar a solução (u m (t), v m (t)) ao intervalo [, T ], para T >. Estimativa a priori I - Fazeno w = u m t (t) e w = v m t (t) em (.) e (.), respectivamente, temos que t u m t (t) x + t +η Γ u m t (t) Γ η u m t (t) x Γ (t)u m u m t (t)γ +η { ()u Γ m (t) + u m }u m t (t)γ u +η 3 Γ m t ν(t) Γ η 3 3 (t) um u m t Γ ν ν (t)γ +η 3 { 3 () um Γ ν (t) + 3 um ν } um t ν (t)γ + f(u m (t) v m (t))u m t (t)x =, (.3) vt m (t) x + vt m (t) x t t +η vt Γ m (t) Γ η (t)v m vt m (t)γ Γ +η { ()v Γ m (t) + v m }vt m (t)γ v +η 4 Γ m t ν(t) Γ η 4 4 (t) vm Γ ν +η 4 v m t ν (t)γ Γ { 4 () vm ν (t) + 4 vm ν } vm t ν (t)γ f(u m (t) v m (t))v m t (t)x =. (.4)

38 3 Do lema.., obtemos ( u m )u m t Γ = Γ (t) u m t (t) Γ + + Γ u m Γ Γ [ ( s ) ] t u m (s)s u m (t) Γ, (.5) Γ ( v m )vt m Γ = Γ (t) vt m (t) Γ + + Γ v m Γ Γ [ ( s ) ] t v m (s)s v m (t) Γ, (.6) Γ ( Γ 3 um ν ) um t ν Γ = u m t 3(t) Γ ν(t) Γ + u m t 3 Γ ν(t) Γ [ ( s ) t 3 um t Γ ν(t) 3(s)s u m ] t ν(t) Γ, (.7) ( Γ 4 vm ν ) vm t ν Γ = v t m 4(t) Γ ν(t) Γ + vt m 4 Γ ν(t) Γ [ ( s ) t 4 vm t ν(t) 4(s)s v m ] t ν(t) Γ. (.8) Γ Substituino as equações (.5)-(.8) em (.3) e (.4), respectivamente, e usano a hipótese (), obtemos t E(t, um (t), v m (t)) = η u m t (t) Γ η 3 um t Γ Γ ν (t) Γ η vt Γ m (t) Γ η 4 vm t Γ ν (t) Γ η (t)u Γ m u m t (t)γ + η (t)v m vt m (t)γ Γ +η 3 3 (t) um u m t Γ ν ν (t)γ + η 4 4 (t) vm vt m Γ ν ν (t)γ + η (t) u m t (t) Γ η Γ u m Γ Γ + η (t) vt m (t) Γ η Γ v m Γ Γ + η 3 3(t) um t Γ ν (t) Γ η 3 3 um Γ ν (t)γ + η 4 4(t) vm t Γ ν (t) Γ η 4 4 vm Γ ν (t)γ.

39 3 Usano a esigualae elementar, obtemos t E(t, um (t), v m (t)) C E(, u m (t), v m (t)) One E(, u m (t), v m (t)) é energia em t =. Integrano e a t < t m e usano a esigualae e Gronwall, obtemos E(t, u m (t), v m (t)) E(, u m (t), v m (t)) + C T E(, u m (t), v m (t)) CE(, u m (t), v m (t)) C, one C é constante positiva inepenente e m e t. Desta forma, pelo teorema e prolongamento e soluções poemos estener a solução aproximaa (u m, v m ) para too intervalo [, T ], com T >. Em particular, existe M > tal que E(t, u m (t), v m (t)) M, t [, T ] e m N. (.9) Logo: (u m, v m ) é limitaa em L loc (, ; W ) (u m t, v m t ) é limitaa em L loc (, ; L ()) ( u m, v m ) é limitaa em L loc (, ; L ()) ( um ν, vm ν ) é limitaa em L ((, ; H 3 (Γ ))

40 3 Estimativa a priori II - Primeiramente, vamos estimar u m tt () e v m tt (), em L (). Substituino w por u m tt () na equação (.), consierano t = e usano as conições e compatibiliae (.6) e (.8), obtemos u m tt () x + u m u m tt ()x + f(u m v m )u m tt ()x =. Usano esigualae elementar, obtemos u m tt () L () C u m () L () u m tt () L () + f u m v m u m tt () x. Como (u m, vm ) (u, v ) em H 4 () W H 4 () W, consierano a hipótese e crescimento para a função f e as imersões e Sobolev temos que f(u m vm ) L (). Então u m tt () L () M, m N. (.3) Similarmente, obtemos v m tt () L () M, m N. (.3) Estimativa a priori III - Agora vamos estimar os termos u m tt, v m tt, u m t e v m t, em L (). Diferenciano a equação (.) com relação ao tempo e substituino w por u m tt, obtemos u m tt (t) x + u m t (t) x t t + η ( u m t (t) t u m t )Γ Γ η 3 ( 3 um t t Γ ν 3 um t ν )Γ = f (u m v m )(u m t vt m )u m tt x η u Γ m tt Γ + η ( u m t (t) u m t )Γ η um tt Γ Γ ν Γ + η 3 ( 3 um t Γ ν 3 um t ν )Γ. (.3)

41 33 Similarmente, usano (.) em vez e (.) obtemos vtt m (t) x + vt m (t) x t t + η ( vt m (t) t v t m )Γ Γ η 4 ( 4 vm t t Γ ν 4 vm t ν )Γ = f (u m v m )(u m t vt m )vtt m x η vtt Γ m Γ + η ( v t m (t) v t m )Γ η vm tt Γ Γ ν Γ + η 4 ( 4 vm t Γ ν 4 vm t ν )Γ. (.33) Somano as equações (.3) e (.33) obtemos t E (t, u m (t), v m (t)) = f (u m v m )(u m t vt m )u m tt x η u Γ m tt Γ + η ( u m t (t) u m t )Γ η um tt Γ Γ ν Γ + η 3 ( 3 um t Γ ν 3 um t ν )Γ f (u m v m )(u m t vt m )vtt m x η vtt Γ m Γ + η ( v t m (t) v t m )Γ η vm tt Γ Γ ν Γ + η 4 ( 4 vm t Γ ν 4 vm t ν )Γ, (.34) one E (t, u m (t), v m (t)) = + η u m tt (t) x + u m t (t) x ( u m t (t) u m t )Γ Γ + η 3 ( 3 um t Γ ν 3 um t ν )Γ + vtt m (t) x + vt m (t) x + η ( vt m (t) v t m )Γ Γ + η 4 Γ ( 4 vm t ν 4 vm t ν )Γ.

42 34 Analizaremos alguns termos e (.34). Consieremos p n = e Sobolev, obtemos f (u m v m )u m t u m tt x C [ C ( + u m v m ρ ) n x [ C (+ u m v m )x Da estimativa (.9) concluímos que Similarmente, obtemos n. Da hipótese () e as imersões n ( + u m v m ρ ) u m t u m tt x ] [ ] [ n u m t p pn n x u m tt x ] ρ [ f (u m v m )u m t u m tt x C { C [ ] u m t x ] [ u m t x u m t x + [ u m tt x ] ]. ] u m tt x } u m tt x. (.35) { } f (u m v m )vt m u m tt x C u m t x + u m tt x, (.36) { } f (u m v m )u m t vtt m x C u m t x + vtt m x, (.37) { } f (u m v m )vt m vtt m x C vt m x + vtt m x. (.38) Substituino as inequações (.36)-(.38) em (.34) obtemos { } t E (t, u m (t), v m (t)) u m t x + u m tt x + vt m x + vtt m x. Integrano com relação ao tempo e aplicano a esigualae e Gronwall, concluímos que E (t, u m (t), v m (t)) C, t [, T ], m N. (.39) Segue que, (u m tt, v m tt ) é limitaa em L loc (, ; L ()) ( u m t, v m t ) é limitaa em L loc (, ; L ()) ( um t ν, vm t ν ) é limitaa em L ((, ; H 3 (Γ ))

43 35 Das estimativas (.9), (.3) e (.39) obtemos (u m, v m ) limitaa em L loc (, ; W ) (u m t, vt m ) limitaa em L loc (, ; W ) (u m tt, vtt m ) limitaa em L loc (, ; L ()) ( u m, v m ) limitaa em L loc (, ; L ()) ( u m t, vt m ) limitaa em L loc (, ; L ()) ( um ν, vm ν ) limitaa em L ((, ; H 3 (Γ )) ( um t ν, vm t ν ) limitaa em L ((, ; H 3 (Γ )) (u m t, vt m ) limitaa em L (, T ) (.4) Assim, evio às estimativas (.4), (.4) e (.4) 3 e as efinições.5. e.5., concluimos que existe uma subsequência, que será representaa por (u m, v m ), satisfazeno (u m, v m ) (u, v) em L loc (, ; W ) (u m t, vt m ) (u t, v t ) em L loc (, ; W ) (u m tt, vtt m ) (u tt, v tt ) em L loc (, ; L ()) ( u m, v m ) ( u, v) em L loc (, ; L ()) ( u m t, vt m ) ( u t, v t ) em L loc (, ; L () ( um ν, vm ν ) ( u ν, v ν ) em L ((, ; H 3 (Γ )) ( um t ν, vm t ν ) ( u t ν, v t ν ) em L ((, ; H 3 (Γ )) (u m t, vt m ) (χ, ψ) em L (, T ) (.4)

44 36 Passagem ao limite Do problema aproximao temos w W m. (u m tt, w) + ( u m, w) + η {u Γ m t + ()u m (t)u m () + u m }wγ η 3 { um t Γ ν 3() um ν + 3(t) um ν 3 um ν }wγ (f(u m v m ), w) = Multiplicano por θ D(, ) e integrano e a T encontramos T (u m tt, w)θt + η 3 T T T [ { um t Γ ν (f(u m v m ), w)θt =. Assim, (.4) e (.4) 3 T T ( u m, w)θt + η T 3() um ν + 3(t) um ν (u m, w)θt (u m tt, w)θt T T Como L (, T ; W ) L (, T ; W ). Segue que Usano o mesmo raciocínio, concluímos que Logo, pelo lema e Aubin-Lions, vem que [ {u m t Γ + ()u m (t)u m () + u m }wγ ]θt 3 um ν }wγ ]θt (u, v)θt pois, vθ L (, T ; W ), (u tt, w)θt pois, vθ L (, T ; L ()). (u m, v m ) é limitaa em L (, T, W ). (u m t, v m t ) é limitaa em L (, T, W ). (u m, v m ) (u, v) forte em L (, T ; W ), ou seja, T lim u m (t) u(t) m W t =.

45 37 Pela continuiae a imersão e H (, T ) em C[, T ], segue a igualae acima que T lim u m (t) u(t) t =, m ou seja, u m (t) u(t) forte em L (, T ). Assim, u(t) efine uma istribuição em D(, ) efinia por < u(t), θ >= T u(t)θ(t)t. Deste moo, faz sentio falar em erivaa no sentio istribucional. Decorre aí que < t um (t), θ > = < u m (t), t θ > < u(t), t θ > = < u(t), θ >, t ou seja, u m t (t) u t (t) em D (, ). Por outro lao, u m t (t) χ em L (, ) implicano que u m t (t) χ em D (, ). Da uniciae o limite segue que χ = u t (t). e analogamente, temos que ψ = v t (t). Análise o termo não linear Pelas convergências (.4) e (.4) segue o teorema e Aubin-Lions (u m, v m ) (u, v) forte em L (, T ; L ()) L (Q). Assim, existe uma subsequência e (u m, v m ) que continuaremos a representar por (u m, v m ) tal que u m u q.s em v m v q.s em u m v m u v q.s em.

46 38 Como f é contínua, temos que f(u m v m ) f(u v) q.s em R. Usano a hipótese e crescimento sobre a f e as imersões e Sobolev, obtemos que f(u m v m ) f(u v) em L (, T ; L ()). Desta forma, passano ao limite quano m tene ao infinito, concluímos que T {(u m tt, w) + ( u m, w) + η [ {u m t + ()u m (t)u m () + u m }wγ ] Γ η 3 [ { um t Γ ν 3() um ν + 3(t) um ν 3 um ν }wγ ] + (f(u m v m ), w)}θt = T {(u tt, w) + ( u, w) + η [ {u t + ()u (t)u () + u}wγ ] Γ η 3 [ { u t Γ ν 3() u ν + 3(t) u ν 3 u ν }wγ ] (f(u v), w)}θt = em L (Q). Substituino as conições e fronteira (.) e (.4) temos T u {(u tt, w) + ( u, w) + Γ ν wγ u w Γ ν Γ + (f(u v), w)}θt = w W m e θ D(, ). Como W m é enso em W H 4 (), a igualae acima é vália para too w W H 4 (). Da fórmula e Green, temos que T Voltano à equação original, segue que T Pelo lema e DuBois-Reymon, temos que Analogamente, obtemos {(u tt, w) + ( u, w) + (f(u v), w)}θt =. {u tt + ( u + f(u v)}θt = θ D(, ). u tt + u + f(u v) =. v tt + v f(u v) =.

47 39 Conições iniciais Aqui, será mostrao que (u(), v()) = (u, v ). Notemos que e (u, v) C(, T ; W ) faz sentio calcular (u(), v()) De (.4) temos que, para w W e θ C(, T ; R) com θ(t ) = e θ() = : ou seja, lim m Integrano por partes lim (um (), w) + e one m lim m T T T (u m t, w)θt (u m t, w)θt (um (), w) (u(), w) T T (u t, w)θt, (u t, w)θt =. (u m, w)θ t (u(), w) T (u m, w)θ t T T (u, w)θ t =, (u, w)θ t =. Usano (.4), segue que: (u m (), w) (u(), w). Como u m converge forte para u em W H 4 (), também converge forte em W. Consequentemente, converge fraco em W. Desta forma, (u m, w) (u, w). Da uniciae os limites segue que (u(), w) = (u, w) w W, e, portanto Analogamente, temos u() = u. v() = v.

48 4 Agora, será mostrao que (u t (), v ()) = (u, v ). De (.4) 3 temos que, para too w L (, ) e θ C(, T ; R) com θ(t ) = e θ() = T (u m tt, w)θt T Integrano por partes, e notano que u t C(, T ; W ) (u m t (), w) T (u tt, w)θt. (u m t, w)θ t (u t (), w) De (.4) e usano o mesmo raciocínio anterior, concluimos que T (u t, w)θ t. (.4) (u m t (), w) (u t (), w), w L (). Como u m t () converge forte para u em W, também converge forte em L (). Consequentemente, converge fraco em L (). Desta forma (u m t (), w) (u, w) v L (). Da uniciae os limites segue que (u t (), w) = (u, w). w L (), e portanto u t () = u. Analogamente, temos v t () = v.

49 4 Uniciae Seja u, u, v e v soluções para o sistema ()-(9) com os mesmos aos iniciais. Então φ = u u e ϕ = v v satisfazem φ tt + φ + f(u v ) f(u v ) = em (, ), ϕ tt + ϕ f(u v ) + f(u v ) = em (, ), φ = ϕ = φ ν = ϕ ν = em Σ, φ ϕ φ ν + ϕ ν + g (t s) φ ν (s)s = em Σ, g (t s) ϕ ν (s)s = em Σ, g 3 (t s) φ(s)s = em Σ, g 4 (t s) ϕ(s)s = em Σ, (φ(, x), ϕ(, x)) = (, ) em, (φ t (, x), ϕ t (, x)) = (, ) em. Multiplicano a primeira equação por φ t, integrano em e usano a fórmula e Green, segue que t φ t + φ t φ + φ t Γ ν Γ φ φ t Γ ν Γ + f(u v )φ t x f(u v )φ t x = Analogamente, multiplicano a seguna equação por ϕ t, temos que t ϕ t + ϕ t ϕ + ϕ t Γ ν Γ ϕ ϕ t Γ ν Γ f(u v )ϕ t x + f(u v )ϕ t x = Somano as equações acima, vemos que { φt + φ + ϕ t + ϕ } t { } φ + φ t Γ ν φ φ t ν + ϕ ϕ t ν ϕ ϕ t Γ ν { + [f(u v ) f(u v )](φ t ϕ t ) } x =

50 4 Como f C (R), usano as imersões e Sobolev, segue que { [f(u v ) f(u v )](φ t ϕ t ) } x C { φ t + φ + ϕ t + ϕ } (.43) Substituino (.43) e as conições fronteira, temos { φt + φ + ϕ t + ϕ } { } φ + φ t t Γ ν φ φ t ν + ϕ ϕ t ν ϕ ϕ t Γ ν C { φ t + φ + ϕ t + ϕ } Da estimativa (.9) concluimos que Integrano e à T, temos { φt + φ + ϕ t + ϕ } C { φ t + φ + ϕ t + ϕ } t { φt + φ + ϕ t + ϕ } T { C φt + φ + ϕ t + ϕ } Usano o lema e Gronwall concluimos que φ t + φ + ϕ t + ϕ = e consequentemente φ(t) = ϕ(t)=. Isto conclui a prova a uniciae.

51 Capítulo 3 Comportamento Assintótico Neste capítulo será mostrao que a solução o sistema ()-(9) ecai exponencialmente e polinomialmente quano o tempo vai ao infinito, com uma taxa e ecaimento explícita, epeneno a taxa e ecaimento os núcleos resolventes,, 3, e Decaimento Exponencial Nesta seção emonstra-se que a solução o sistema ()-(9) ecai exponencialmente quano os núcleos resolventes,, 3, e 4 ecaem exponencialmente, isto é, existem constantes positivas b, b tal que i () >, i(t) b i (t), i (t) b i(t) para i =,..., 4,. (3.) Notano que esta conição implica em i (t) i ()e b t para i =,..., 4. A seguir enunciaremos três lemas que serão funamentais para o estuo o ecaimento exponencial a solução. Lema 3... Para qualquer solução forte (u, v) o sistema ()-(9), temos t E(t) η u t Γ + η Γ (t) u Γ η 3 u t Γ Γ ν Γ + η 3 3(t) u Γ ν Γ η v t Γ + η Γ (t) v Γ Γ + η 4 4(t) v Γ ν Γ + η (t) u Γ η Γ uγ Γ + η 3 3(t) u Γ ν Γ η 3 3 u Γ ν Γ + η (t) v Γ Γ η vγ + η 4 Γ 4(t) v Γ ν Γ η 4 4 v Γ ν Γ.

52 3. Decaimento Exponencial 44 Demonstração. Multiplicano a equação () por u t, integrano em e usano a fórmula e Green obtemos u t x + u t x + f(u v)u t x t t = u u t Γ ν Γ u Γ ν u tγ. Usano as conições e fronteira (.) e (.3), respectivamente, obtemos u t x + u t x + f(u v)u t x t t = η {u t + ()u (t)u + Γ u}u t Γ +η 3 { u t Γ ν 3() u ν + 3(t) u ν 3 u ν } u t ν Γ. Usano o lema.. obtemos u t x + u t x + f(u v)u t x t t + η (t) u Γ η t Γ t (t) uγ Γ + η 3 3 (t) u t Γ ν Γ η 3 t 3(t) u Γ ν Γ = η u t Γ Γ + η (t) u u t Γ + η Γ (t) u Γ Γ η uγ η 3 u t u u t Γ Γ ν Γ + η 3 3 (t) Γ ν ν Γ + η 3 3(t) u Γ ν Γ η 3 3(t) u Γ ν Γ. (3.) Similarmente, usano a equação () em vez e () obtemos v t x + v t x + f(u v)v t x t t + η (t) v Γ η t Γ t (t) vγ Γ + η 4 4 (t) v t Γ ν Γ η 4 t 4(t) v Γ ν Γ = η v t Γ Γ + η (t) v v t Γ + η Γ (t) v Γ Γ η vγ η 4 v t v v t Γ Γ ν Γ + η 4 4 (t) Γ ν ν Γ + η 4 4(t) v Γ ν Γ η 4 4(t) v Γ ν Γ. (3.3)

53 3. Decaimento Exponencial 45 Somano as equações (3.) e (3.3), consierano a esigualae e Cauchy-Schwarz e a esigualae ab a + b, obtemos a conclusão o Lema. Introuzimos o seguinte funcional Φ(t) = (u t u v t v)x. O lema a seguir é e funamental importância para a construção o funcional esejao. Lema 3... Para qualquer solução forte o sistema ()-(9), temos t Φ(t) u t x + v t x u x v x ( + δ) F (u v)ux + η u t Γ η () u Γ + η (t) u Γ () Γ Γ () Γ + u L (Γ ) (s)s ( u) + C (t) u Γ Γ η 3 3 () u Γ ν Γ + η 33 (t) u 3 () Γ ν Γ + u ν t L (Γ ) 3(s)s ( 3 u ν ) + C3 (t) u Γ ν Γ + η v t Γ η () v Γ + η (t) v Γ () Γ Γ () Γ + v L (Γ ) (s)s ( u) + C (t) v Γ Γ η 4 4 () v Γ ν Γ + η 44 (t) v 4 () Γ ν Γ + v ν t L (Γ ) 4(s)s ( 4 v ν ) + C4 (t) v Γ ν Γ, para alguma constante positiva C. Demonstração. Multiplicano a equação () por u, integrano em e usano a fórmula e Green obtemos u t ux = t + u t x Γ u u t ν Γ u x u Γ ν u tγ. f(u v)ux

54 3. Decaimento Exponencial 46 Usano as conições e fronteira (.) e (.3) obtemos u t ux = u t x u x f(u v)ux t η u t uγ η () u Γ Γ Γ +η (t) u uγ η uuγ Γ Γ u t u η 3 Γ ν ν Γ η 3 3 () u Γ ν Γ u u η 3 3 (t) Γ ν ν Γ η 3 3 u u Γ ν ν Γ. Usano a esigualae e Cauchy-Schwarz e a esigualae ab a + b obtemos u t ux u t x u t x f(u v)ux t + η u t Γ η () u Γ () Γ Γ + η (t) u Γ η uuγ () Γ Γ η 3 3 () u t Γ ν Γ + η 3 u t 3 () Γ ν Γ + η 33 (t) u 3 () Γ ν Γ η 3 3 u u Γ ν ν Γ Notano que Γ + Γ (t s)u(t)sγ = ( Γ ) (s)s u Γ u L (Γ ) (t s)(u(s) u(t))u(t)sγ ( ) (s) s ( u) + (t) () u L (Γ ) e Γ + Γ 3(t s) u ν (s) u ν (t)sγ = ( ) 3(s)s + 3 (t) 3 () u ν L (Γ ) Γ u ν Γ u ν L (Γ ) ( u 3(t s) ( 3(s) s u (s) ν ) ) u ν (t) ( 3 u ν ) ν (t)sγ

55 3. Decaimento Exponencial 47 obtemos u t ux t + η () + u t L (Γ ) u t x u t x f(u v)ux u Γ + η (t) u Γ Γ () Γ u t Γ η () Γ (s)s ( u) + C (t) u Γ Γ η 3 3 () u t Γ ν Γ + η 33 (t) u 3 () Γ ν Γ + u ν L (Γ ) 3(s) s ( 3 u ν ) + C3 (t) Γ u ν Γ. (3.4) Similarmente, usano a equação () em vez e () obtemos v t vx t + η () + v t L (Γ ) v t x v t x f(u v)vx v Γ + η (t) v Γ Γ () Γ ( v) + C (t) v Γ Γ Γ v t Γ η () (s)s η 4 4 () v t Γ ν Γ + η 44 (t) 3 () + v ν L (Γ ) 4(s) s Γ v ν Γ ( 4 v ν ) + C4 (t) Γ v ν Γ. (3.5) Somano as esigualaes (3.4) e (3.5) e usano a hipótese () concluímos a emonstração o Lema. Lema Seja f uma função real positiva e classe C. Se existem constantes positivas γ, γ e c tal que f (t) γ f(t) + c e γt, Então existem constantes positivas γ e c tal que f(t) (f() + c)e γt

56 3. Decaimento Exponencial 48 Teorema 3... Consiere (u, v ) W e suponhamos que os núcleos resolventes,, 3 e 4 satisfaçam (3.). Então existem constantes α e α tal que E(t) α e α t E(), t. Demonstração. Provaremos este resultao para soluções fortes, isto é, para soluções com conições inciais (u, v ) (H 4 (, L) W ) e (u, v ) W satisfazeno as conições e compatibiliae. Nossa conclusão segue por argumentos parão e ensiae. Usano hipotése (3.) e as imersões e Sobolev no Lema 3. obtemos t E(t) η u t Γ θ u t Γ + η 4 Γ u Γ η 3 u t Γ Γ ν Γ + η 3 3(t) u Γ ν Γ η v t Γ θ v t Γ + η 4 Γ (t) v Γ Γ + η 4 4(t) v Γ ν Γ + η (t) u Γ Cη Γ uγ Γ + η 3 3(t) u Γ ν Γ Cη 3 3 u Γ ν Γ + η (t) v Γ Γ Cη vγ + η 4 Γ 4(t) v Γ ν Γ Cη 4 4 v Γ ν Γ, one θ é uma pequena constante positiva. Consiere o seguinte funcional L(t) := NE(t) + Φ(t) (3.6) com N >. Consierano N grane, as esigualaes anteriores implicam que t L(t) θ E(t) + NR (t)e(), one R(t) = (t) + (t) + 3 (t) + 4 (t). Além isso, usano a esigualae elementar e consierano N grane concluímos que Desta esigualae concluimos que N E(t) L(t) NE(t). (3.7) t L(t) θ L(t) + NR (t)e().

57 3. Decaimento Polinomial 49 Do Lema 3..3 e o ecaimento exponencial e i, segue que L(t) {L() + C}e ζt para algumas constantes positivas C e ζ. Da esigualae (3.7) segue nossa conclusão. 3. Decaimento Polinomial Nossa atenção será focaa na taxa e ecaimento uniforme quano o núcleo resolvente,, 3 e 4 ecai polinomialmente com taxa ( +t) p. Neste caso, mostraremos que a solução também ecai polinomialmente na mesma taxa. Assumiremos as seguintes hipóteses i () >, i(t) b i (t) + p, i (t) b [ i(t)] + p+ para i =,..., 4 (3.8) Seno p >, b i e b constantes positivas. Os lemas a seguir serão e funamental importância Lema 3... Seja (u, v) a solução o sistema (.)-(.9) e enotamos por (φ, φ 3 ) = (u x (L, t), u(l, t)) e (ψ, ψ 4 ) = (v x (L, t), v(l, t)). Então,para p >, < r < e t, temos ( i φ i ) +( r)(p+) ( r)(p+) i =, 3 ( i ψ i ) +( r)(p+) ( r)(p+) i =, 4 ( ( i(s) r s u L (,t;h (,L)) i(s) r s v L (,t;h (,L)) ( r)(p+) ( r)(p+) ) i + p+ φ i Γ, ) i + p+ ψ i Γ, Para r= temos ( i φ i Γ ) (p+) (p+) i =, 3 ( i ψ i Γ ) (p+) (p+) i =, 4 ( ( u(s,.) H (,) s + t u(s,.) H (,L) v(s,.) H (,) s + t v(s,.) H (,L) ) p+ ) p+ i + i + p+ φ i Γ, p+ ψ i Γ, Demonstração: Ver [8].