ONDAS ELÁSTICAS E ELECTROMAGNÉTICAS EM DOMÍNIOS EXTERIORES : PROPRIEDADES ASSINTÓTICAS

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1 ONDAS ELÁSTICAS E ELECTROMAGNÉTICAS EM DOMÍNIOS EXTERIORES : PROPRIEDADES ASSINTÓTICAS por MARCIO VIOLANTE FERREIRA IM-UFRJ 5

2 ONDAS ELÁSTICAS E ELECTROMAGNÉTICAS EM DOMÍNIOS EXTERIORES: PROPRIEDADES ASSINTÓTICAS Marcio Violante Ferreira Tese submetia ao Corpo Docente o Instituto e Matemática a Universiae Feeral o Rio e Janeiro - UFRJ, como parte os requisitos necessários à obtenção o grau e Doutor em Ciências. Área e Concentração: Matemática. Aprovaa por: Prof. Gustavo Perla Menzala - UFRJ Presiente Prof. Jaime E. Muñoz Rivera - UFRJ Prof. Jose Felipe Linares Ramirez - IMPA Prof. Ruy Coimbra Charão - UFSC Prof. Aemir Fernano Pazoto - UFRJ Prof. Boris Kapitonov - LNCC Suplente Rio e Janeiro 5 i

3 FICHA CATALOGRÁFICA Ferreira, Marcio Violante. Onas elásticas e electromagnéticas em omínios exteriores: Proprieaes assintóticas/ Marcio Violante Ferreira - - Rio e Janeiro: UFRJ/IM, 5. viii, 3f.; 9cm. Orientaor: Gustavo Perla Menzala Tese Doutorao CI - UFRJ. Instituto e Matemática, 5. Estabilização e um Moelo Semilinear e Onas Elásticas num Domínio Exterior.. Equações e Maxwell em Domínios Exteriores. 3. Decaimento Uniforme as Soluções e Moelos Elasto-Electromagnéticos em omínios Exteriores. I. Perla Menzala, Gustavo. II. Universiae feeral o Rio e Janeiro, Instituto e Matemática. III. Título. ii

4 A maior áiva conceia a um homem é a paterniae. Deico este trabalho ao meu filho Felipe Ferreira. iii

5 Agraecimentos À Deus, pela existência, uniciae e por ter iluminao este longo caminho que percorri. Ao professor Gustavo Perla Menzala, pela orientação precisa, sempre paciente e pelos ensinamentos que muito contribuiram para meu aperfeiçoamento profissional. Aos professores o IM-UFRJ que e alguma forma contribuíram para a realização este trabalho, em especial aos professores Jaime Rivera e Aemir Pazoto. Às professoras e amigas Eleni Bisognin e Vanile Bisognin, eternas orientaoras, sempre acompanhano, mesmo que e longe, minha caminhaa profissional e a amiga Celene Buriol que compartilhou as ificulaes esta trajetória. Aos iversos amigos que fiz neste períoo e quatro anos: os e estuo, os a pescaria, o futebol e companheiros a arquibancaa e São Januário quintal a minha casa. A toos meus parentes e irmãos. A minha esposa Leonice e meu filho Felipe, os mais prejuicaos com essa minha aventura, agraeço pelo carinho e por terem ceio grane parte o tempo a qual mereciam minha atenção para que eu puesse concluir este trabalho. Aos meus pais, Gabriel e Zulmira, simplesmente por TUDO. Finalmente, gostaria também e registrar o apoio recebio pelo CNPQ e pelo Centro Universitário Franciscano. iv

6 RESUMO Consieramos alguns moelos hiperbólicos no exterior e um obstáculo compacto o R 3, tais como um moelo semilinear em elasticiae e um sistema semilinear elasto/electromagnético. Mostramos, em caa caso, a existência e uniciae e soluções globais fortes. O principal resultao é com relação às proprieaes assintóticas as soluções. Usamos resultaos recentes evios a R. Ikehata, que provou resultaos relacionaos com equações e onas escalares. Neste caso Ikehata assumiu ou que os aos iniciais tivessem suporte compacto ou conições especiais no infinito. Em algumas situações em nosso trabalho tais hipóteses não são necessárias. v

7 ABSTRACT We consier some hyperbolic moels outsie a compact obstacle in 3- like a semilinear moel in elasticity an a semilinear electromagnetic/elastic system. We show in each case the existence an uniqueness of global strong solutions. The main result concerns the asymptotic properties of the solutions. We use recent results ue to R.Ikehata who prove relate results for scalar wave equations. In that case Ikehata require either initial ata with compact support or special conitions at infinity. In some situations in our work such assumptions are not require. vi

8 Conteúo Notações Introução 3 Estabilização e um Moelo Semilinear e Onas Elásticas num Domínio Exterior 7. O Problema Linear O Problema. é bem posto Comportamento Assintótico O Problema Semilinear Consierações sobre o Problema Não Homogêneo Existência e solução Local Existência Global e Decaimento a Solução Equações e Maxwell em Domínios Exteriores 58. O Problema.-.5 é bem posto Comportamento Assintótico Conição Aicional Que Garante o Decaimento Para o Campo Magnético Decaimento Uniforme as Soluções e Moelos Elasto-Electromagnéticos em Domínios Exteriores O Problema é bem posto Comportamento Assintótico Aplicação ao Problema Semilinear vii

9 3.3. Existência e solução Local Existência Global e Comportamento Assintótico Referências 9 viii

10 Notações one x = x, x, x 3 ponto o espaço R 3 norma eucliiana em R 3 x y = x i y i prouto interno em R 3 i= A B representa o prouto vetorial os vetores A, B R 3 L p 3 = L p L p L p, p p p u p = u i p L p = u i x p x, p <, u = u, u, u 3 u = i= u i L = i= u = u u = W m,p = i= i= i= x u i x x { f L p ; α = α, α,..., α n, α = α m sup ess u i x, u = u, u, u 3 x α f x α x α...x αn n n i= α i f W m,p = α f x α x α...x α n n p L p W m,p 3 = W m,p W m,p W m,p H m 3 = W m, 3 } L p α m, no sentio as istribuições, p

11 C [, T ], X C [,, X espaço as funções contínuas e [, T ] em X espaço as funções contínuas e [, em X em D = C espaço as funções infinitamente iferenciáveis e e suporte compacto X Y f t = f t significa que X é continuamente imerso em Y u t = u t, u t, u 3 t se u = u, u, u 3 u u =, u, u3 se u = u, u, u 3 f = f x, f x, f x 3 iv u = = u i, u = u, u, u 3 i= x i= i graiente a função f operaor e Laplace u = u, u, u 3, u = u, u, u 3 B R x = {x R 3 : x x R} bola fechaa e centro x e raio R em R 3 C representará uma constante positiva que poerá assumir valores iferentes em lugares iferentes

12 Introução Situações matemáticas e grane interesse poem surgir quano consieramos fenômenos físicos aconteceno no exterior e um obstáculo rígio, o que chamamos e problemas em omínios exteriores. Dese a propagação e onas planas, propagação e onas elásticas que representem as eformações e um corpo elástico até situações mais complexas, como a ação recíproca entre as eformações e um corpo elástico e a variação no campo electromagnético, poem ser estuaos quano o fenômeno acontece no exterior e um obstáculo totalmente rígio. O ponto central e estuo neste trabalho é a investigação o comportamento assintótico as soluções e três problemas hiperbólicos, e grane apelo físico, em omínios exteriores. O primeiro, é um sistema semilinear e onas elásticas, com issipação interna, que tem a seguinte forma: u tt u A ij + u t = f u t, que moela pequenas vibrações e um corpo elástico ocupano uma certa região o espaço, exterior a um obstáculo. Aqui a variável u = u, u, u 3 R 3 representa a eformação o corpo num certo instante e tempo, A ij são matrizes 3 3 que contém, em suas entraas, as componentes cartesianas o tensor elástico, f é uma função não-linear, satisfazeno certas hipóteses e crescimento, u t = u t, u t, u 3 t é a erivaa em relação ao tempo o vetor u e u tt = u tt, u tt, u 3 tt é a erivaa e seguna orem. O seguno problema tratao é o conhecio sistema formao pelas equações e Maxwell, E t + σe H =, H t + E =, que moela a propagação e onas electromagnéticas. Aqui, E = E, E, E 3 e H = 3

13 H, H, H 3 representam os campos elétrico e magnético, respectivamente, σ é a conutiviae elétrica o meio que supomos positiva e E3 E = E, E E 3, E E é o operaor rotacional. Tal sistema x x 3 x 3 x x x também apresenta uma issipação, aa pelo termo σe. O terceiro é um sistema que moela efeitos elasto-electromagnéticos, ou seja, a ação recíproca entre as eformações o corpo e a variação no campo electromagnético. Tal sistema é composto por um sistema e onas elásticas acoplaas com as equações e Maxwell, u tt 3 u A ij + u t + α E = f u t, E t + σe H α u t =, H t + E =, ive = ivh =. As variáveis u, E e H representam a eformação o corpo, o campo elétrico e o campo E i magnético, respectivamente. Aqui ive = é o ivergente e E, α é uma constante x i= i e acoplamento e f uma função não-linear como no problema. Toos os problemas citaos acima são consieraos num omínio exterior o R 3. Problemas em omínios exteriores tem sio alvo e pesquisa e iversos autores, os quais poe-se citar importantes contribuições como os trabalhos e Morawetz [7] e [8], nos quais é consieraa a equação e onas, sem issipação, no exterior e um obstáculo o espaço R 3 e é mostrao que a energia local a solução ecai, no tempo, na orem e t. Mais precisamente, conclui-se que o ecaimento é exponencial, como conseqüência o Princípio e Huygens. Neste caso é importante ressaltar que o obstáculo consierao eve ser estrelao e os aos iniciais evem ter suporte compacto. Posteriormente, Kapitonov [3] e Dassios [6] estuaram o sistema linear e onas elásticas sem issipação, num omínio exterior o R n. Os resultaos, neste caso, são similares aos obtios para a equação e onas, isto é, a energia local ecai na orem e t, e, se a imensão n é ímpar, o ecaimento é exponencial, como conseqüência o Princípio e Huygens. Aqui as hipóteses e que os aos iniciais tenham suporte compacto e o obstáculo seja estrelao também foram consieraas. Outros trabalhos, nesta ireção, são os e Kapitonov [4], que consierou as equações e 4 3

14 Maxwell com conições e fronteira e Silver-Muller num omínio exterior, Charão [4], que estuou o moelo e Onas Elásticas em too o R 3 e Nakao [9], que consierou a equação semilinear e onas, com issipação localizaa, num omínio exterior. A hipótese e que os aos iniciais tenham suporte compacto foi usaa em toos os trabalhos citaos acima. Na verae, nos métoos aplicaos nestes trabalhos, é inispensável que a solução tenha velociae finita e propagação. No caso em que se consiera a equação e onas com issipação linear interna num omínio limitao, é conhecio o fato e que a energia global e a norma L a solução ecaem exponencialmente. Isto é facilmente emonstrao utilizano-se o métoo a energia combinao com a esigualae e Poincaré. Há uma sensível iferença entre este caso e aqueles no qual se consiera a equação e onas em too o R n ou mesmo num omínio exterior, ou seja, nestes, a energia ecai apenas polinomialmente e nenhuma informação sobre o ecaimento a norma L a solução é obtia. Para mais etalhes veja [8]. Em [9], [35] e [3], Ikehata propôs um métoo para o estuo o comportamento a solução a equação e onas escalar issipativa num omínio exterior e os resultaos estão relacionaos com o ecaimento a energia total e também com o ecaimento a norma L a solução. No caso e um omínio exterior tem-se uma ificulae aicional que é a não valiae a esigualae e Poincaré. Os resultaos obtios são aplicaos também nas equações e onas semilineares, com aos iniciais pequenos. Basicamente o autor consierou a hipótese e que os aos iniciais têm suporte compacto e utiliza o fato que a solução tem velociae finita e propagação, mas nenhuma hipótese é feita sobre a geometria o omínio. Outros casos, one a hipótese sobre a compaciae o suporte os aos iniciais poe ser substituía por outra conição, também foram estuaos aplicano o mesmo métoo, o que poe ser visto em [4], [5] e []. Esses resultaos são o ponto e partia o nosso trabalho. Fazemos uma aplicação o métoo proposto por Ikehata aos problemas, e 3. Sobre os moelos, e 3, em omínios limitaos, há um consierável número e trabalhos, os quais poemos citar: Perla Menzala e Kapitonov [3] e [33], Lagnese et al [], Yin [36] e [37] e a bibliografia inicaa nos mesmos. Nosso trabalho é organizao em três capítulos, o seguinte moo: No Capítulo, mostramos o ecaimento a solução o Sistema Linear e Onas Elásticas e a subseqüente aplicação ao 5

15 problema semilinear. Neste capítulo, é essencial a hipótese e que os aos iniciais tenham suporte compacto, mas nenhuma hipótese sobre a geometria o omínio é necessária. No Capitulo, consieramos as Equações e Maxwell com issipação e estuamos o comportamento assintótico a solução. Além isso, mostramos o ecaimento o Campo Magnético para uma classe específica e aos iniciais. Nos resultaos obtios, não é necessária a hipótese que os aos iniciais tenham suporte compacto. No Capítulo 3, consieramos um sistema acoplao e equações que moelam efeitos Elasto-electromagnéticos. Obtivemos inicialmente resultaos e comportamento assintótico a solução no caso linear e, após, aplicamos os resultaos obtios a um problema semilinear. Aqui também, nenhuma hipótese sobre a geometria o omínio é necessária e nem que os aos iniciais tenham suporte compacto.

16 Capítulo Estabilização e um Moelo Semilinear e Onas Elásticas num Domínio Exterior Seja O R 3 um conjunto aberto e limitao, com fronteira Γ regular. No omínio exterior = R 3 \ O consieramos o seguinte problema: u tt 3 u A ij + u t = f u t, em, ux, = u x, u t x, = u x, em u =, em Γ,. Supõe-se, sem pera e generaliae, que a origem pertence a O.. O sistema. moela pequenas eformações e um corpo elástico ocupano a região. O vetor u x, t = u x, t, u x, t, u 3 x, t representa a eformação o corpo no ponto x = x, x, x 3 e no instante t >. A ij são matrizes 3 3 aas por A ij = [ ] C ij kh one se l = k com δ lk = se l k C ij kh = δ inδ ik a ikjh + δ ik δ jn a ihjk e a ikjh são as componentes cartesianas o tensor elástico que 3 3 7

17 estamos supono constantes com as proprieaes e simetria a ijkh = a jikh = a khij. Vamos supor, em too trabalho, que existe uma constante C > tal que A ij v j v i C v i, v i R 3, i =, e 3.. i= Observe que a simetria e a ijkh segue que A ij = A ji. No caso mais simples, se consieramos um meio isotrópico, as constantes a ijkh são aas por a ijkh = λδ ij δ kh + µ δ ik δ jh + δ ih δ jk, one λ e µ são as constantes e Lamé. Assim, no caso isotrópico, u A ij = µ u + λ + µ ivu, e a conição. é satisfeita com C = µ >. De fato, neste caso, tem-se que A ij v j v i = λ + µ vi i + µ one v i = v i, v i, v 3 i R 3, i =, e 3. i= v j i µ i= v i, A função f : R 3 R 3, que aparece em., satisfaz as seguintes hipóteses: Hipóteses A: f = f, f, f 3 é uma função e classe C e existem constantes positivas C j, j =, e 3, tais que i f ξ C ξ p, ξ R 3 3 ii f ξ C ξ p, ξ R 3, one f ξ = f i ξ i= iii f i ξ C 3 ξ p, ξ R 3, e p é tal que 7 3 < p 3. 8

18 Um exemplo clássico e função f satisfazeno as conições acima é ao por f : R 3 R 3, f ξ = ξ ξ. Outro exemplo, bem mais geral, é a função f : R 3 R 3 efinia por f ξ = θ ξ ξ p ξ, one 7 < p 3 e θ : 3 R3 R é uma função teste: exp / x, se x < θ x =, se x. O objetivo principal este capítulo é obter estimativas e ecaimento para a solução u e. na norma L 3 e para a energia total E t, one E t = { } u t u + A ij u x,.3 consierano, para isso, as hipóteses A e assumino que os aos iniciais u e u são pequenos num sentio apropriao. Inicialmente estuamos proprieaes e ecaimento a solução o problema linear associao a... O Problema Linear Consieramos nesta seção o problema linear associao a.: u u tt A ij + u t =, em, ux, = u x, u t x, = u x, em u =, em Γ,..4 Lembramos que se u = u, u, u 3 L p 3, p <, então u p = i= u i p L p 9 p < +.

19 Se u = u, u, u 3 L 3 então u = u i < +. L Quano p =, escreveremos apenas u. i=.. O Problema. é bem posto Consieremos o espaço e Hilbert com o prouto interno { u, v, w, z X = X = H 3 L 3 e seja A : D A X X o operaor linear efinio por } u A ij w + u w x + v zx, u, v, w, z X, D A = H H 3 H 3 e A u, v = v, Lu u v, u, v D A,.5 one Lu = u A ij. Fazeno-se v = u t, segue que o problema.4 é equivalente a U = A + B U t U = U,.6 one U = u, v, U = u, u, B é o operaor linear e limitao em X, ao por B u, v =, u, u, v X.7 e D A + B = D A. Observação. Por conveniência na iscussão a seguir, foi somao e subtraío o termo u na equação.4 para reescrevê-la na forma.6.

20 Lema. A é um operaor maximal issipativo. Demonstração: Observemos inicialmente que, ao u, v D A, A u, v, u, v X = v, Lu u v, u, v X = { } v = A ij u + v u x + Lu vx u vx x j { v = A ij u } u + A ij v x v x = x j x i u = A ij v x v x. Usano o Teorema a Divergência, e o fato que v H 3, obtemos que o que mostra que A é issipativo. u, v D A tal que ou seja, A u, v, u, v X = v x, v x = Mostremos agora que, para too g, g X, existe I A u, v = g, g, u v = g v Lu + u = g. Substituino v = u g na seguna equação, o sistema acima iz que 3u Lu = g + g L 3..8 Afim e emonstrar a existência e solução a equação acima, consieremos a forma bilinear a u, ϕ : H 3 H 3 R, efinia por a u, ϕ = e a forma linear F : H 3 R, aa por F, ϕ = u A ij ϕ x + 3 u ϕx, u, v H 3 g + g ϕx, ϕ H 3.

21 Temos que: i a u, ϕ c u H 3 ϕ H 3, u, v H 3 ii a u, u c u H 3, u H 3 iii F, ϕ g + g ϕ c ϕ H 3, ϕ H 3, ou seja, a, é contínua e coerciva e F é contínua. Segue, o Teorema e Lax-Milgram, que existe única u H 3 tal que ou seja, a u, ϕ = F, ϕ, ϕ H 3, u A ij ϕ x + 3 u ϕx = g + g ϕx, ϕ H 3, mostrano que a equação.8 tem uma única solução fraca. Regulariae elíptica Veja [] mostra que.8 possui solução u H H 3. Por outro lao, v = u g H 3, mostrano que u, v é solução e I A u, v = g, g, concluino, assim, que A é maximal. Teorema. Dao U = u, u X, o problema.4 possui única solução u tal que u C [, ; H 3 C [, ; L 3. Se U = u, u H H 3 H 3, então existe única solução u tal que u C [, ; H H 3 C [, ; H 3 C [, ; L 3. Finalmente, se U = u, u D A + B, então existe única solução u, u t tal que u, u t C [, ; D A + B C [, ; D A + B C [, ; X. Demonstração: Sabemos que A é um operaor linear ensamente efinio e, pelo Lema., maximal issipativo. Segue, o Teorema e Lumer-Phillips, que A é geraor infinitesimal e um Semigrupo {T t} t e contrações. Como B é um operaor linear e limitao em X,

22 então A + B com omínio D A é geraor infinitesimal e um Semigrupo {S t} t e classe C. Assim, se U X, o problema.4 possui única solução U = u, u t tal que U C [, ; X. Se U D A + B = D A, então existe uma única solução U na classe U C [, ; D A + B C [, ; X, e, finalmente, se U D A + B = D A, então existe uma única solução U na classe U C [, ; D A + B C [, ; D A + B C [, ; X. Observação. Note que se U = u, v D A + B = D A, então v H H 3, u H H 3 e Lu H 3. Consequentemente u, v H 3 H 3 H H 3. Observação.3 Salientamos aqui que {T t} t é o semigrupo e contrações gerao pelo operaor A e {S t} t é o semigrupo e classe C gerao pelo operaor A + B. No restante o capítulo estes fatos serão usaos repetias vezes... Comportamento Assintótico O principal resultao esta seção é enunciao a seguir. Teorema. Tem-se que: i Se u, u X e u + u <, então existe uma constante C > tal que a solução u, u t C [, ; X e.4 satisfaz u, t CI + t, t,.9 e E t CI + t, t,. one E t é ao por.3 e I é ao por I = u H 3 + u + u + u.. 3

23 ii Se u, u D A + B e Lu <, então existe uma constante C > tal que a solução u, u t C [, ; D A + B C [, ; X e.4 satisfaz E t CI + t, t. e one e I é ao por Lu, t C I + I + t, t, E t = { u tt + A ij u t u t I = u H 3 + Lu + Lu..3 } x iiise u, u D A + B e Lu <, então existe constante C > tal que a solução u, u t C [, ; D A + B C [, ; D A + B C [, ; X e.4 satisfaz E t CI + t, t,.4 e one e Lu t, t C I + I + t, t, E t = { u ttt + A ij u tt u tt I = Lu H 3 + u H 3 + Lu + Lu..5 } x Na emonstração o teorema anterior utilizamos alguns lemas técnicos, que serão aos a seguir. Lema. Tem-se que E t t = u t x..6 Demonstração: Derivano E t, ao por.3, substituino u tt no sistema.4 e usano o Teorema a Divergência segue o resultao. 4

24 Lema.3 São válias as ientiaes: t E t + t u s x, s xs = E.7 + s u s x, s xs = + t E t + E + t E s s.8 t u A ij u xs + u x, t x = x j = t u + u x u x x u t ux + u s xs..9 Demonstração: A ientiae.7 obtem-se iretamente, por integração em [, t], a expressão.6 o Lema.. Também e.6 temos que + t E t = ou seja, one, integrano em [, t], obtem-se.8. + t u t x, + t u t x = { + t E t} + E t, t Tomano agora o prouto interno, em L 3, e.4 com u, obtemos u t ux t u A ij ux + t u x = Usano o Teorema a Divergência e a conição e fronteira.4 3 segue que A ij u u x + t u x = t u t ux + u t x. u t x. Integrano em [, t] a expressão anterior obtemos.9. Lema.4 A solução u e.4 satisfaz t + s u A ij u xs + + t one C = 3E + 7 u. 5 u x C + t u xs,

25 Demonstração: Tomano o prouto interno, em L 3, e.4 com + t u, obtemos + t u tt ux + t u A ij ux + + t u t ux =. Usano o Teorema a Divergência e a conição e fronteira em.4, segue que ou aina, t + + t + t t u + + t A ij u x + u t ux + t + t u t x+ t u x =, + t u t ux u x + t u t x+ t u A ij u x + + t u x u x =, t logo + t u A ij u x j = + t u t x + x + t u x = t u x + t u t ux. t Integrano a expressão anterior em [, t], obtemos que t = t + s + t u x u x x + + t + 4 u A ij u xs + t u x = x j + s u s xs + t u xs u t ux + u x u x x t + s u s xs + t u xs+ u x + + t u t x, 6

26 one t u + s A ij u + t xs + u x x j 4 t u x u x x + + s u s xs + t u xs+ + u x + + t u t x.. De.8 Lema.3 sabemos que t e. e. segue então que t + + s t + s u s xs E + t u A ij u + t xs + 4 Sabemos também e.7 e.9 Lema.3 que u + one, novamente por.7, obtemos ou seja, t t E s s,. u x u x u x x + E + E s s+ u xs + u x + + t E t.. t u A ij u xs + u x x j u x u x x + u t x + u x + E E t, 4 t E s s + u x 4 u s xs + u + u x u x x + u t x + E E t E E t + u + u x u x x + E t + E E t, t E s s + 4 u x E + u + u x u x x..3 7

27 De. e a esigualae.3 acima, segue que t + s + u x u x x + u A ij u + t xs + u x 4 u x u x x + E + 4E + u + t u xs + + t E t = t u xs + + t E t..4 = 3 u x u x x + 5E + u + Note agora que e, portanto, Disto, e e.4, segue que E { + t E t} = E t + + t t E t, t t + t E t E + t E s s. t u + s A ij u + t xs + u x x j 4 3 u x u x x + 7E + u + t u xs + Usano novamente.3 obtemos a esigualae anterior que t u + s A ij u + t xs + u x x j 4 4 u x u x x + 9E + 3 u + t u xs, one segue, finalmente, a conclusão a emonstração. t E s s. O lema seguinte, que á uma esigualae o tipo Hary, é funamental na sequência o trabalho. Lema.5 Para qualquer u H 3, vale a esigualae u x one C é a constante e.. x x 4 C 8 A ij u u x,

28 Demonstração: De [6] sabemos que, se u i H, u i x x x 4 j= u i x, logo i= one, lembrano., obtemos u x u i x x x 4 x x 4 C u i x, A ij u u x. Lema.6 Suponha que u, u satizfaz u + u <. Então a solução u e.4 satisfaz u x + t u xs u + 4 C u + u. Demonstração: Seja W x, t = t u x, s s. Então W é solução e W tt LW + W t = u + u, em, W x, =, W t x, = u x, em W =, em Γ,..5 Tomano o prouto interno, em L 3, e.5 com W t, e usano o Teorema a Divergência, obtemos [ W t + t e, integrano em [, t], [ W t + ] W A ij W x + W t x = u + u W x, t ] W A ij W t x + W s xs = u + u W x..6 = u + 9

29 Note porém que, pelo Lema.5, u + u W x Disto, e e.6, segue que W t x + 4 u + u W x x u + u x 4 C u + u + 4 A ij W W x + t u + 4 C u + u. W x x A ij W W x. W s xs A conclusão a emonstração segue, bastano observar que W t = u. Observação.4 Note que se u e u tem suporte compacto então, obviamente, vale que u + u <. Demonstração o Teorema.: i Dos Lemas.4 e.6 sabemos que t o que emonstra.9. então Agora, como + s u A ij u xs + + t u x CI x, i t { + t E t} = + t E t + + t E t + t E t, t + t E t E + Mas, os Lemas.4 e.6, sabemos que t t + s E s s = + s CI + t t + s E s s..7 A ij u u xs + + s u s xs, t + s u s xs

30 que, e. e.3, obtem-se t Disto, e e.7, obtem-se.. + s E s s CI + E + t E s s CI. ii Seja v = u t. Derivano a equação.4 em t, vemos que v é solução e v tt Lv + v t =, em, vx, = u x, v t x, = Lu x u x, em v =, em Γ,. Aplicano o item anterior ao problema acima, segue que { } v t v + A ij v x CI + t, que é a esigualae.. De.,. e a equação.4 segue também que Lu, t C I + I + t. iii Seja agora w = v t = u tt. Então w é solução e w tt Lw + w t =, em, wx, = Lu x u x, w t x, = Lu x Lu x + u x, em w =, em Γ, Aplicano o item i ao problema acima, segue que { } w t w + A ij w x CI, que é a esigualae.4. Derivano a equação.4 e usano.-.4, segue que Lu t, t C I + I + t.. O Problema Semilinear Consieramos agora o problema.. Estuamos a existência e solução local e, após, mostramos a existência e solução global e o ecaimento a mesma. Utilizamos aqui as proprieaes e ecaimento obtias para o problema linear.

31 forma Para facilitar o tratamento e., na obtenção a solução local, vamos reescrevê-lo na u tt que, é equivalente a 3 u A ij + u t + u = f u t + u, em, ux, = u x, u t x, = u x, em u =, em Γ,. U = AU + F U t U = U,.8 one U = u, u t, U = u, u, F U =, f u t + u e A é efinio como em.5. Recoremos que A é geraor infinitesimal o semigrupo e contrações {T t} t, conforme a observação.3. Quano estivermos estuano a existência e solução global e o ecaimento usaremos a formulação U = A + B U + F U t U = U,.9 one U = u, u t, U = u, u, F U =, f u t e B é efinio como em.7. Recoremos, também, que A + B é geraor infinitesimal o semigrupo e classe C {S t} t, conforme a observação.3... Consierações sobre o Problema Não Homogêneo Damos aqui alguns resultaos sobre o problema não homogêneo u u tt A ij + u + u t = g x, t, em, ux, = u x, u t x, = u x, em u =, em Γ,..3 Note que.3 poe ser escrito na forma U = AU + G t t U = U,.3

32 one U = u, u t, U = u, u, G t =, g x, t e A como em.5. Da teoria e Semigrupos e a iscussão feita na seção. segue que: Teorema.3 [3] Daos U D A e G C [, T ] ; X C [, T ] ; D A então o problema.3 possui uma única solução U tal que U C[, T ]; D A C [, T ]; D A C [, T ]; X. Além isso, a solução poe ser expressa na forma U t = T t U + t T t s G s s, e U t t = T t AU + T t G + t T t s U tt t = T t A U + T t AG + T t G t + t G s s s T t s G s s. s Lema.7 Velociae Finita e Propagação Além as hipóteses o Teorema.3 suponha que suppu suppu B R e que g x, t = se x A t + R, com A = C A ij. Então a solução U = u x, t, u t x, t e.3 satisfaz U x, t =, se x A C t + R, one C é a constante em.. Demonstração: Sabemos, a equação.3, que { } u = u tt A ij + u + u t g x, t u t = x i { } = u t u + A ij u + u u A ij u t + u t g x, t u t, t ou seja, t e u + ivb + u t g x, t u t =,.3 3

33 one e e u x, t = B = B x, t = j= { u t + A j u u t, j= } u A ij u + u A j u u t, u A 3j u t. j= Pono F = B, e R 4, então Div F = Div B, e = ivb + t e, one Div B, e é o ivergente espaço-tempo. A ientiae.3 poe então ser escrita na forma Div B, e u + u t g x, t u t =..33 Seja x, t tal que x A C t + R, e mostremos que U x, t =. Consieremos o cone truncao K T com vértice em x, t : { K T = x, t : x x A } t t, t T < t. C Integrano sobre K T ambos os membros e.33 e usano o Teorema a Divergência obtemos que B x, t, e u x, t ηγ + K T u t x, t xt K T g x, t u t x, t xt =,.34 K T one K T é a fronteira o cone truncao K T e η é a normal unitária espaço-tempo exterior a K T, em K T. Notemos agora que B x, t, e u x, t ηγ = e u x, x+ K T x x A t C + e u x, T x + B x, t, e u x, t η l Γ, Γ l x x A t T C one, na última integral, Γ l representa a fronteira lateral o cone truncao K T, cuja normal unitária exterior é aa por η l = A x x C + A A C x x,. 4

34 Segue e.34 que e u x, x + e u x, T x+ t x x A t T C C + B x, t, e u x, t η l Γ + u t x, t xt Γ l K T g x, t u t x, t xt =.35 K T x x A Notemos agora que { x, t : x x A } { t t x, t : x A } t + R, C C e, em particular, { x, : x x A C t } {x, : x R}, segue, lembrano que u x,, u t x, = u, u =, se x R e g x, t = se x A C t + R, que Obtemos então e.35 que e u x, x = x x A t C x x A t T C K T g x, t u t x, t xt =. e u x, T x + B x, t, e u x, t η l Γ. Γ l.36 Sabemos, no entanto, que { } A B x, t, e u x, t η l = e u x, t + x x B x, t = C + A A C x x { } A x = i x i u e u x, t A C + A A ij u t, i= C x x x j= j 5

35 e e u x, t i= A x i x i C x x C = e u x, t A x x e u x, t C A x x j= A ij u u t = u x i x i A ij u t x i x i A ij u u t C e u x, t A x x u t x x A ij u,j= j= j e u x, t u t C A A ij u x j= j e u x, t u t u A ij u, o que mostra que o integrano sobre Γ l é não negativo. Segue e.36 que isto é, x x A t T C { u t x, T + x x A t T C e u x, T x =, } u A ij x, T u x, T + u x, T x =. Pela arbitrarieae e T, < T < t, resulta que U = u, u t, no cone { K = x, t : x x A } t t, t t. C Em particular, U x, t = u x, t, u t x, t,. A proprieae e velociae finita e propagação aa acima vale também para t, porém a emonstração é análoga. 6

36 .. Existência e solução Local Nosso objetivo aqui será mostrar que, para um espaço Y escolhio convenientemente, a aplicação Φ : Y Y Ũ = ũ U = u ṽ v possui um único ponto fixo em Y, one U é solução e com U t = U t = T t U + u t u t t t u T t s F, U = u, Ũ s s,.37 Ũ F =, f ṽ + ũ T t enota o semigrupo e contrações em X, gerao pelo operaor A e f satisfaz as Hipóteses A, aas no início o Capítulo. Recoremos que, conforme comentao no início a seção., somamos o termo u em ambos os membros a equação., o que facilitará seu tratamento. Consieremos o espaço Y f = C[, T ]; H H 3 C [, T ]; H 3 C [, T ]; L 3, que é um espaço e Banach com a norma v Yf = sup [,T ] v t H 3 + sup [,T ] v t t H 3 + sup v tt t. [,T ] Lema.8 Regulariae a não lineariae Se v Y f, então f v Y f. Demonstração: Seja v Y f. Da Hipótese A na pg 8 e a imersão H 3 L q 3, q 6, temos que f v t C v t p p C v t p. H 3.38 De f v = f v v, f v v, f 3 v v, i =, e 3, 7

37 vemos, usano a hipótese A,que f v t = f v t i v t x i= j C v t p v t x v t f i v t x i= x C v t p v t H 3 C v t p v t, i =, e 3, H 3 H 3 pois, como sabemos, v t H 3 L 3. Assim, f v t C v t p v t H 3 H 3, i =, e Por outro lao, f v = Notemos que = + f v v, f v v, f v f v v, v, f 3 v f k v = fk v, f k v, f k v x x x 3 fk v v fk, v v fk, x x x 3 f 3 v v v = v. v, + logo, f v + f v f v v, v, f v f k v v k= v k= l= f v v, f 3 v v v v, f 3 v + f k v v fk v v x l k= + v f v, + ou aina, usano a Hipótese A, f v C v v v 3 v p + C v p. 8

38 Portanto, f v t C 3 v t p v t v t L 4 x 3 i + C v t p v t, L 4 3 one usamos o fato que v t H 3 L q 3, q 6, e v t H 3 L 3. Assim, f v t C v t p, H 3 i, j =, e 3..4 De concluímos que f v C[, T ]; H H 3..4 Analisemos agora a regulariae e f v. Notemos inicialmente que t t f v = f v v t, f v v t, f 3 v v t. Usano a Hipótese A e a Desigualae e Holer, vemos que f v t t C i= f i v t v t t x v t t v t p x C v t t f i v t x i= v t p x p p = C v t p p v t t p C v t p v H 3 t t H 3, v t t p x pois, como sabemos, v, v t H 3 L q 3, q 6. Assim, f v t t C v t p v t t H 3 H 3..4 Por outro lao, f v = f v t + v t, f v f v v t, f v v t, f 3 v v t v t,, f 3 v v t p 9