UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA A EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA SEMILINEAR COM EXPOENTE CRÍTICO DE SOBOLEV

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1 UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA A EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA SEMILINEAR COM EXPOENTE CRÍTICO DE SOBOLEV Alex Jenaro Becker, Mestrando, Bolsista CAPES/FAPERGS do PPGMAT - UFSM Márcio Luís Miotto, Doutor, Departamento de Matemática - UFSM RESUMO Neste trabalho serão apresentadas condições necessárias e suficientes para a existência de uma solução não trivial para um problema de Dirichlet semilinear com expoente crítico de Sobolev num domínio limitado de R N, onde N 4. Apesar do problema ser considerado em um domínio limitado, pelo fato de se tratar de um caso crítico, não se garante a existência de imersão compacta, nisso que se justifica a relevância deste trabalho. Ressalta-se que para a obtenção de tais resultados far-se-á uso de ferramentas da teoria dos métodos variacionais como o Teorema do Passo da Montanha e algumas estimativas estabelecidas no espaço de Sobolev H0(). 1 Em um momento inicial será exposto o problema, bem como alguns resultados preliminares que se fazem necessários para a justificativa de tal. Após, serão demonstrados os resultados propostos que garantem a existência de uma solução não trivial para o problema. Palavras-chave: Métodos variacionais, condição de Dirichlet, problemas elíticos, expoente crítico de Sobolev. 1. INTRODUÇÃO Estabeleceremos uma condição necessária e suficiente sobre o parâmetro real λ, para que o seguinte problema { u + λu = u u, em, (P λ ) u 0, em H0(), 1 onde é um domínio limitado em R N, com N 4, o operador u = div( u) e é o valor N, admita ao menos uma solução não trivial. O expoente N e a condição de fornteira

2 caracterizam (P λ ) como um problema de Dirichlet semilinear com não linearidade crítica de Sobolev. Por solução do problema (P λ ), consideramos uma função u H 1 0(), no qual satisfaz u ϕ dx + λ uϕ dx = u uϕ dx, para qualquer ϕ Cc (). Para tanto, se considerarmos o funcional I λ : H0() 1 R dado por u I λ (u) = + λ u u dx pode-se justificar que os pontos críticos deste funcional são soluções do problema (P λ ). Ainda mostra-se que I λ é um funcional de classe C (H 1 0(), R), com derivada no sentido de Fréchet. Desse modo, ressaltamos que a solução para o problema (P λ ) será obtida a partir de um ponto crítico do funcional I λ. Nesse trabalho consideramos λ 1 (), ou simplesmente λ 1, o primeiro autovalor associado ao operador u. Segue pela Desigualdade de Poincaré que λ 1 () é um valor positivo. Tais afirmações podem ser encontradas em Willem (1995) e Willem (1996). Por L (), consideramos as funções definidas em nos quais sejam quadrado integráveis no sentido da integral de Lebesgue, ou seja, u = u dx R. Já H 1 () = {u L (); u L ()} e caso λ > λ 1, H 1 0() como o fecho das funções C c () em H 1 () com respeito a norma u = u + λ u. Observação 1.1 Pode-se mostrar que H 1 0() munido com a norma. é um espaço de Hilbert. Enunciaremos neste momento os resultados que garantem a condição necessária e suficiente para a existência de uma solução não trivial para o problema (P λ ). Teorema 1.1 Seja um domínio limitado em R N, com N 4. Se λ 1 () < λ < 0, então o problema (P λ ) admite uma solução não trivial. Para justificar este, faremos uso do Teorema do Passo da Montanha, dentre outros resultados complementares que serão enunciados posteriormente. Observação 1. O Teorema 1.1 é também válido para o caso em que N = 3. Para a justificativa deste caso, indicamos como referência o trabalho de Brézis e Niremberg (1983). A seguir enunciamos um outro resultado que será investigado neste trabalho. Teorema 1. Se o problema (P λ ) possui uma solução não trivial, então temos que λ > λ 1 ().

3 3 Ressaltamos que neste trabalho, apresentamos alguns dos resultados parcias de um estudo desenvolvido pelo acadêmico no Programa de Pós-Graduação em Matemática (PPGMAT) da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM). Neste primeiro momento foram tratados, dentre outros temas, o desenvolvimento das técnicas de métodos variacionais na resolução de problemas elíticos com linearidades críticas e subcríticas. Tal estudo se faz relevante, pois como o acadêmico encontra-se no primeiro ano do mestrado, pretende-se contribuir para a sua formação fornecendo-lhe ferramentas para a elaboração da dissertação e algum artigo nesta área.. MATERIAIS E MÉTODOS Neste momento estabeleceremos alguns conceitos preliminares que serão importantes para a justificativa dos resultados propostos. Tais afirmações que serão citadas agora, podem ser encontradas em Willem (1996). Consideremos o conjunto D 1, () = {u L (R N ); u L ()}, munido com a norma u D 1, = ( u dx ) 1. Temos que a imersão { D} 1, () L () é contínua, onde u S = inf u D 1, ()\{0} u a constante ótima de tal imersão. Decorre da desigualdade de Sobolev que a constante S é positiva. A principal técnica variacional empregada neste trabalho será o Teorema do Passo da Montanha que enunciaremos a seguir e cuja demonstração pode ser encontrada em Willem (1996), ou ainda em Rabinowitz(1984). Teorema.1 Seja X um espaço de Hilbert, ϕ C (X, R), e X e r > o de modo que e X > r e b = Então, para cada ε > 0, existe u X tal que a) c ε ϕ(u) c + ε, b) ϕ (u) X < ε, onde inf ϕ(u) > ϕ(0) ϕ(e). u X =r c = inf γ Γ max t [0,1] ϕ(γ(t)) e Γ = {γ C([0, 1], X); γ(0) = 0, γ(1) = e}. Através do Teorema do Passo da Montanha garantimos a existência de uma sequência (u n ) H 1 0(), de modo que I λ (u n ) c e I λ(u n ) 0, quando n, onde c é o valor dado pelo Teorema. Denominamos (u n ) de uma sequência (P S) c para o funcional I λ.

4 4 Agora enunciaremos alguns resultados técnicos necessários para justicar o Teorema 1.1 e o Teorema 1.. Inicialmente consideremos a estimativa conhecida por Desigualdade de Hölder, que será relevante para garantir que certos funcionais estarão bem definidos. A justificativa deste resultado pode ser encontrado em Evans (010). Lema.1 Suponhamos que p, q [0, ) e 1 p + 1 q = 1.Então, se u Lp () e v L q (), temos que uv dx u p v q. O seguinte resultado imprescíndivel pode ser encontrado em Willem (1996). Lema. Sob as hipóteses do Teorema.1, temos que existe v H 1 0()/{0} nãonegativa de modo que v v < S. (1996). O próximo resultado é devido à Brézis e Lieb e pode ser encontrado em Willem Lema.3 Sejam R N um aberto e s (0, ) quaisquer. Suponhamos que (g n ) L s (), onde g n g qtp em e existe C > 0 tal que g n s C, para todo n IN. Então lim g n g s s = lim g n s s g s s O seguinte resultado foi provado por Kavian (1993). Lema.4 Sejam R N um conjunto aberto e (g n ) uma sequência limitada em L s (), para algum 1 < s <, tal que g n g qtp em. Então g L s () e g n g fracamente em L s (). Motivados pelo trabalho de Boccardo e Murat (199), temos o seguinte resultado a respeito da convergência pontual do gradiente. Lema.5 Consideremos p [, N) e (u n ) H0() 1 uma sequência (P S) c para o funcional I λ, tal que u n u fracamente em H0(). 1 Então a menos de subsequência, u n (x) u(x), quando n, qtp x R N. O próximo resultado pode ser encontrado em Brézis (1983). Lema.6 Sejam E um espaço de Banach, (u n ) uma sequência em E, u E e f : E R um funcional contínuo. Se u n u fracamente em E, então f(u n ) f(u) fortemente em E dual de E.

5 5 A seguir justificaremos um resultado necessário para obtenção do Teorema 1.1. Lema.7 Se o funcional I λ satisfaz as hipóteses do Teorema.1, então qualquer sequência (u n ) H0() 1 tal que I λ (u n ) c, com c < c = S N N e I λ(u n ) 0, admite uma subsequência convergente em H0(). 1 Demonstração Mostraremos inicialmente que (u n ) é limitada em H0(). 1 De fato, suponhamos por contradição que u n. Observando que, para cada n N temos I λ(u n ), u n I λ(u n ) u n (.1) e pelo fato de que I λ (u n) 0, quando n, temos que existe n o N tal que para todo n > n o d u n I λ (u n ) 1 I λ(u n ), u n = 1 N u n. (.) Como supomos que u n, existe n 1 N, com n 1 > n 0 de tal modo que para cada n > n 1 temos u n > N(1 + k) + 1, o que contradiz a desigualdade (.). Portanto, (u n ) é limitada em H 1 0(). de modo que Agora, mostraremos que c < S N N 0 < max I λ(tv) = max t 0 t 0 Considerando a função m(t) = = c. De fato, temos que ( t u t u ). (.3) ( ) N t v v t v, pode-se obter t 1 = v N max m(t) = m(t 1) = 1 ( ) N v. (.4) t 0 N v Dessa forma, pelo Lema., pelas relações (.3) e (.4), segue que 0 < max I λ(tv) = m(t 1 ) t 0 = 1 ( v N v < 1 N S N = c Assim, c max t [0,1] I λ(tt o v) < c. Resta mostrarmos então, que (u n ) admite subsequência convergente em H 1 0(). Sendo (u n ) limitada, podemos assumir que u n u ) N

6 6 fracamente em H 1 0(). Mostraremos que, a menos de subsequência, u n u fortemente em H 1 0(). Tomando z n = u n u, é suficiente mostrar que (z n ) admite subsequência que converge fortemente a 0 em H 1 0(). Afirmamos que [ ] lim z n z n dx = 0. (.5) De fato, como z n 0 fracamente em H0(), 1 temos, pelo Lema.3, que lim u n lim u n = lim z n + u, dx = lim z n dx + Pelo fato de que I λ (u n), ϕ 0, para cada ϕ Cc (), mostraremos que [ ] lim u n ϕ dx + λ u n ϕ dx u 1 n ϕ dx = u ϕ dx + λ uϕ dx u 1 ϕ dx. u dx. (.6) (.7) Ressaltamos que, I λ (u), u = 0. Para garantir tal fato, mostraremos que I λ (u), ϕ = 0, para toda ϕ Cc () e como Cc () é denso em H0() 1 obtemos assim, o resultado desejado. Fixado ϕ Cc () qualquer. Como (u n ) é uma sequência (P S) c para I λ tal que u n u fracamente em H0() 1, temos pelo Lema.5 que u n u qtp em. Agora, uma vez que ( u n ) L () é limitada, pelo Lema.4 segue que u L () e u n u fracamente em L (), isto é, ( u n u) 0 fracamente em L (). Definamos F ϕ : L () R por F ϕ (v) = v ϕ dx. Note que F ϕ está bem definida, pois C c () (L ()) = L () e pela desigualdade de Hölder decorre que F ϕ (v) = v ϕ dx v ϕ dx v ϕ <. Como F ϕ é um funcional contínuo, pelo Lema.6 lim F ϕ (u n u) = F ϕ (0) = 0. Logo lim ( u n u) ϕ dx = 0. Também pela convergência fraca de (u n ) à u em H0(), 1 decorre que u n u qtp em. Assim, como (u n ) L () é limitada, pelo Lema.4 u L () e u n u fracamente em L (), isto é, (u n u) 0 fracamente em L (). Definamos G ϕ : L () R por G ϕ (v) = vϕ dx. Note que T ϕ está bem definida, pois Cc () (L ()) = L () e pela desigualdade de Hölder decorre que G ϕ (v) = vϕ dx vϕ dx v ϕ <. Como G ϕ é um funcional contínuo, pelo Lema.6 lim G ϕ (u n u) = G ϕ (0) = 0.

7 7 Logo lim (u n u)ϕ dx = 0. Resta mostrar que lim u 1 n ϕ dx = u 1 ϕ dx. De fato, uma vez que (u 1 n ) L 1 () é limitada, segue que u 1 n u 1 qtp em. Desse modo, pelo Lema.4 segue que u 1 L 1 () e u 1 n u 1 fracamente em L 1 (), isto é, (u 1 n u 1 ) 0 fracamente em L 1 (). Definamos H ϕ : L 1 () R por Hϕ (v) = v 1 ϕ dx. Note que H ϕ está bem definida, pois C c () (L 1 ()) = L () e pela desigualdade de Hölder decorre que H ϕ (v) = v 1 ϕ dx v 1 ϕ dx v ϕ <. 1 Como H ϕ é um funcional contínuo, pelo Lema.6. lim H ϕ (u 1 n u 1 ) = H ϕ (0) = 0. Logo lim (u 1 n u 1 )ϕ dx = 0. Então por (u n ) ser uma sequência (P S) c para o funcional I λ, segue pelas relações acima estabelecidas que para toda ϕ C c () vale a relação (.7), isto é, I λ(u), ϕ = 0. Agora como lim I λ(u n ), u n = 0 e I λ (u), u = 0, segue de (.6) que [ ] 0 = lim u n dx o que mostra (.5). u n [ = lim lim u + z n [ = lim I λ(u), u + z n [ ] = lim z n z n dx, Como o funcional I λ é contínuo e c < 1 N S N u dx ] z n dx ] z n dx = c, temos que existem ε > 0 e n 0 N, tais que para todo n n 0, temos 1 N S N ε > Iλ (u n ) = I λ (u + z n ). (.8) Dessa forma, por (.5), decorre que

8 8 I λ (u + z n ) = I λ (u) + lim = I λ (u) + lim = 1 N u + lim [ 1 z n 1 [ 1 z n 1 ] z n [ ] 1 N z n ] z n dx (.9) 1 N lim z n. Logo, pelas relações (.8) e (.9) a menos de subsequência, para n suficientemente grande obtemos que Afirmamos que z n < S N. (.10) lim z n = 0. (.11) Suponhamos por contradição, que a menos de subsequência, exista δ > 0 de modo que z n > δ. Pela definição de S, { de (.5) } e (.10) obtemos S N zn N lim inf = lim inf z n z n < S N N, o que é uma contradição com (.11). Portanto, z n 0 quando n, donde resulta que u n u fortemente em H 1 0(). Dessa forma, temos que (u n ) admite subsequência convergente em H 1 0(). Nesta etapa, realizaremos a priori a justificativa do Teorema 1.1 que é a condição necessária para a obtenção de ao menos uma solução não trivial para o problema (P λ ). Para tal, utilizaremos o Teorema.1, bem como os Lemas auxiliares enunciados anteriormente. Mostraremos inicialmente que o funcional I λ satisfaz as condições do Teorema.1. Observe que, para cada u H 1 0() fixo, temos pela definição de S que I λ (u) = = u u u u u u dx + λ dx u dx u S u S

9 9 Considerando a função g : [0, ) R dada por g(r) = r r S ( pelas desigualdades acima, pode-se obter 0 < r o < C > 0, para algum C > 0. Dessa forma, existe r o > 0 tal que b =. N S N N N inf I λ (u) > g(r o ) > 0 = I λ (0). u =r o ) N 4 de modo que g(r o ) > Por outro lado, para cada u H 1 0() \ {0}, tomando I λ (tu) = t u t u, e fazendo t, obtemos que I λ (tu). Então, considerando v dada pelo Lema., existe um número t o > 0 onde t o v > r o e I λ (t o v) < 0. Com isso, as hipóteses do Teorema.1 estão satisfeitas. Do Teorema.1, obtemos (u n ) uma sequência (P S) c e pelo Lema. segue que esta sequencia admite subsequência convergente, isto é, a menos de subsequência podemos assumir que u n u, quando n em H 1 0(). Observe que, o valor c dado pelo Teorema.1 é positivo, pois como u n u e o funcional I λ é contínuo, segue que segue que c = I λ (u) b = inf u ro I λ (u) > 0. Suponhamos por contradição que u 0. Então como lim I λ(u n ), u n = 0 e I λ(u n ), u n = u n u n, ( ) lim un u n = 0. (.1) Logo por (.1) 1 c = lim I λ (u n ) = lim N u n. (.13) Uma vez que c (0, c ), então temos que existe n N, tal que u n p c se n n. Mas por (.13) e a definição de S, obtemos que c < 1 { } N S N 1 un N lim inf = 1 { } un N lim inf = 1 lim inf N u n N N u n N N u n = c, o que é uma contradição. Portanto temos que u 0. Afirmamos que u é uma solução do problema (P λ ), pois como I λ é um funcional de classe C 1 (H0(), 1 R) e I λ (u n) 0, segue que I λ (u) = 0. Do Lema.7 decorre que, I λ (u) = c. Tomando u 0 = u, temos que u o é uma solução não trivial para o problema (P λ ), o que conclui a demonstração do Teorema 1.1. Neste momento, realizaremos a justificativa do Teorema 1., onde para tal, utilizaremos alguns conceitos envolvendo o operador u.

10 10 Seja u o H 1 0() uma solução não trivial do problema (P λ ), então u o + λu o = u o u o. Caso λ 0, como λ 1 () = λ 1 > 0, segue que λ > λ 1. Suponhamos então, que λ < 0. Consideramos e 1 a autofunção do operador associada ao autovalor λ 1 = λ 1 (), com e 1 > 0 em, isto é, e 1 = λ 1 e 1. (.14) Assim, da relação (.14), obtemos que λ u o e 1 dx = (u 1 o + u o )e 1 dx > u o e 1 dx = λ 1 u o e 1 dx. (.15) Como u o e e 1 são não negativos, segue que u o e 1 dx > 0. (.16) Desse modo, de (.15) e (.16), decorre que (λ + λ 1 ) u o e 1 dx > 0 e então λ > λ 1, o que conclui a demonstração do Teorema CONSIDERAÇÕES FINAIS A partir da utilização do Teorema do Passo da Montanha pode-se obter uma solução não trivial para o problema (P λ ). Isso torna o uso de métodos variacionais relevante na resolução de problemas de Dirichlet semilineares. O fato do problema (P λ ) possuir não-linearidade crítica, não garante que haja imersão compacta entre os espaços tratados, no entanto, através de alguns resultados complementares consegui-se contornar tal dificuldade obtendo uma subsequência convergente de outro modo. Além disso, este estudo complementou a formação do acadêmico envolvido na utilização de métodos variacionais, bem como na manipulação de estimativas e resultados no espaço de Sobolev H0(). 1

11 11 REFERÊNCIAS BOCCARDO, L.; MURAT, F. Almost everywhere convergence of the gradientes os solutions to elliptic and parabolic equations. Nonlinear Analysis, v. 19, p , 199. BRÉZIS, H. Análisis Funcional: Teoría y Aplicaciones p. 35. Madrid: Alianza Editorial, BRÉZIS, H.; NIRENBERG, L. Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents. Communications on Pure and Applied Mathemathics, v. 36, p , EVANS, L. C. Partial Diferential Equations.. ed. Berkeley: American Mathematical Society, 010. p KAVIAN, O. Introduction à la Théorie des Points Critiques et Applications aux Problèmes Elliptiques. Berlin: Springer-Verlag, p. 11. RABINOWITZ, P. H. Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations. Miami: American Mathematical Society, jan p. 7. WILLEN, M. Analyse Harmonique Réelle. Paris: Herman, p WILLEM, M; Minimax Theorems - Progress in Nonlinear Diferential Equations and Their Applications. Cambrige: Birkhäuser, p

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