Existência de soluções fortes T -periódicas para um sistema magneto-elástico e para um sistema de ferrofluidos.

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1 Universiae Feeral e Santa Catarina Curso e Pós-Grauação em Matemática Pura e Aplicaa Existência e soluções fortes T -perióicas para um sistema magneto-elástico e para um sistema e ferrofluios. Maria Nile Fernanes Barreto Freerico Orientaor: Prof. Dr. Jáuber Cavalcante e Oliveira Florianópolis Julho e 18

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3 Universiae Feeral e Santa Catarina Curso e Pós-Grauação em Matemática Pura e Aplicaa Existência e soluções fortes T -perióicas para um sistema magneto-elástico e para um sistema e ferrofluios. Tese submetio(a) ao Programa e Pós-Grauação em Matemática Pura e Aplicaa a Universiae Feeral e Santa Catarina para a obtenção o Grau e Doutor em Matemática Pura e Aplicaa, com área e concentração em Análise. Orientaor: Prof. Dr. Jáuber Cavalcante e Oliveira Maria Nile Fernanes Barreto Freerico Florianópolis Julho e 18

4 Ficha e ientificação a obra elaboraa pelo autor, através o Programa e Geração Automática a Biblioteca Universitária a UFSC. Fernanes Barreto Freerico, Maria Nile Existência e soluções fortes T-perióicas para um sistema magneto-elástico e para um sistema e ferrofluios : Existência e soluções fortes T perióicas / Maria Nile Fernanes Barreto Freerico ; orientaor, Jaúber Cavalcante De Oliveira, p. Tese (outorao) - Universiae Feeral e Santa Catarina, Centro e Ciências Físicas e Matemáticas, Programa e Pós-Grauação em Matemática Pura e Aplicaa, Florianópolis, 18. Inclui referências. 1. Matemática Pura e Aplicaa.. Existência e soluções fortes T-perióicas para um sistema magneto elástico e para um sistema e ferrofluios. I. Cavalcante De Oliveira, Jaúber. II. Universiae Feeral e Santa Catarina. Programa e Pós-Grauação em Matemática Pura e Aplicaa. III. Título.

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7 Agraecimentos Agraeço à minha família que e perto ou longe sempre estão presente, ajuano e incentivano em toos os momentos. Os sacrifícios que fizeram, vosso carinho, conselhos, paciência e confiança me eram força para continuar. Aail, apesar e tenra iae, quano percebia que tive um ia ifícil, lá estava ele se esforçano para me fazer sorrir. Quanto amor! Agraeço ao meu orientaor professor Jáuber, pela oportuniae e entrar no muno a investigação. Tenho muita gratião por toa paciência, eicação e conselhos. Agraeço ao professor Ruy pela amizae e too apoio á minha família. Agraeço aos professores que contribuiram para a minha formação acaêmica e me ajuaram a esclarecer as úvias nas horas e angústias. Agraeço aos meus colegas que sempre estiveram isponível na hora e iscutir os conteúos, trocano ieias e também na hora e escontração. Agraeço à CAPES pelo apoio financeiro. 5

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9 Resumo Este trabalho está iviio em uas partes. Na primeira parte estabelecemos a existência e soluções fortes T -perióicas no tempo (períoo T ) para um sistema magneto-elástico. O nosso principal resultao é para o caso em que o sistema tem issipação mecânica linear e acoplamentos não lineares, que inclui uma força externa T -perióica. Provamos também a estabiliae conicional assintótica as soluções perióicas obtias com a energia total as perturbações ecaino para zero no tempo e forma exponencial. Consieramos também o sistema no caso em que a issipação mecânica é não-linear, com a não-lineariae o tipo ρ(u t) = u t p u t e acoplamentos lineares. Com hipóteses aequaas sobre ρ, provamos a existência e a uniciae e soluções fortes T -perióicas no tempo para p [3, 4]. Na seguna parte este trabalho, provamos a existência e soluções T -perióicas fracas (em imensão 3) e fortes (imensão ) para as equações iferenciais parciais o moelo para ferrofluios e Rosensweig, sob ação e uma função T -perióica nas equações para o campo magnético. Palavras-Chave: soluções fortes, soluções perióicas, sistema magnetoelástico, magneto-elasticiae, ferrofluios, fluios magnéticos, moelo e Rosensweig. 7

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11 Abstract This work is ivie in two parts. In the first part, we establish the existence of strong time-perioic (perio T ) solutions of a magnetoelastic system. Our main result is obtaine in the case where the equations are nonlinearly couple an the mechanical issipation is linear, an a T - perioic external force is applie to the boy. We also prove asymptotic conitional stability of thesolutions obtaine, with the total energy of the pertubations ecaying exponentially to zero in time. We consiere also the system in the case where the mechanical issipation is nonlinear, of the type ρ(u t) = u t p u t, but the coupling terms are linear. Uner suitable hypotheses on ρ, we prove the existence an uniqueness of strong time-perioic solutions (perio T ) when p [3, 4]. In the secon part of the work, we prove the existence of T -perioic solutions weak (in imention 3) e strong (in imention ) for the partial ifferential equations that escribe the moel for magnetic fluis of Rosensweig. In this moel, the T -perioic forcing appears in the magneto-static equations. Keywors: strong solutions, time-perioic solutions magnetoelastic system, magnetoelasticity, ferrofluis, magnetic fluis, Rosensweig s moel. 9

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13 Sumário Introução 1 1 Definições e Preliminares Espaços Funcionais Resultaos Preliminares Sistema Magneto-Elástico com Dissipação linear e Acoplamentos Não Lineares 15.1 Introução Domínio biimensional Existência Estabiliae Domínio triimensional Existência Estabiliae Sistema Magneto-Elástico com Dissipação Não Linear e Acoplamentos Lineares Existência e Uniciae Existência e Soluções T -Perióicas para o Sistema Ferrofluios Introução Existência Soluções fracas T -perióicas

14 4.. Soluções fortes T -perióicas (=) Problemas em Aberto 11 1

15 Notações Neste trabalho usamos as seguintes notações: x = (x 1, x, x 3) e y = (y 1, y, y 3) são pontos no espaço R 3 ;. é a norma Eucliiana em R 3 ; O prouto interno e x e y é ao por x.y = O prouto vetorial e x e y é o ao pelo vetor 3 x iy i; i=1 x y = (x y 3 x 3y, x 3y 1 x 1y 3, x 1y x y 1); é um omínino limitao e R 3 ; L () é o espaço as funções u : R, mensuráveis em e tais que u(x) x < + ; ( 1 u L () = u(x) x) ; Se u, v L () então, (u, v) = u.v, é o prouto interno em L (); Se u X espaço e Banach e L X ual o espaço X então, L, u inica o valor e L em u; (L ()) 3 = L () L () L () e u (L ()) 3 = ( 3 i=1 u i L ()) 1 ; H m () é o espaço e Sobolev as funções u : R tais que u e D α u estão em L () no sentio istribucional para too α m, em 3 que α = (α 1, α, α 3) N e α = α i; i=1 13

16 1 u H m () = α u α 1 x1 α x α L 3 () ; x3 α m (H m ()) 3 = H m () H m () H m () e u (H m ()) 3 = ( 3 i=1 u i H m ()) 1 ; C([, T ]; X) é o espaço as funções contínuas e [, T ] em X; D() = C () é o espaço as funções infinitamente iferenciáveis e com suporte compacto em ; D () é o espaço as istribuições sobre ; H m () é o fecho o espaço C () na norma H m (); H m () é o espçao ual e H m (); C m T (X) é o espaço as funções u : R X m-vezes continuamente iferenciáveis tal que u(t) = u(t + T ), t R; L (, T ; X) é o espaço as funções f : (, T ) X tal que ( 1 T f X t) < ; u = u t = u é a erivaa e u em relação a t; t Se u = (u 1, u, u 3 ) então, u t = (u 1 t, u t, u 3 t ); u = gra u = ( u, u, u ) é o graiente a função u; x 1 x x 3 3 u i Se u = (u 1, u, u 3) então, iv u = é o ivergente a função u; x i i=1 3 u u = é o laplaciano a função u e u = ( u 1, u, u 3); x i i=1 Se h = (h 1, h, h 3) (D ()) 3 então, rot h = ( ) h3 h, h1 h3, h h1 x x 3 x 3 x 1 x 1 x é o operaor iferencial linear rotacional o vetor h; C é a constante positiva, que poerá assumir valores iferentes em lugares iferentes; c p, c it, c im são constantes e Poincaré, interpolação e imersão respectivamente. 14

17 Introução Neste trabalho estuamos questões e existência e soluções perióicas no tempo para o sistema magneto-elástico e sistema e ferrofluios. Na primeira parte centramos a nossa atenção na investigação a existência e estabiliae e soluções fortes perióicas no tempo para o sistema magnetoelástico e na seguna parte o trabalho, investigamos a existência e soluções T -perióicas para o sistema ferrofluios. O sistema magneto-elástico é um sistema e equações iferenciais parciais acoplao entre uma equação hiperbólica e uma equação parabólica, que moela a interação entre um corpo elástico e um campo magnético externo, H e. Se um corpo colocao num campo magnético inicial forte for movio por uma força externa, além e campo e tensão inuz também um campo magnético entro o corpo ao por H e + h(x, t) que tem influência sobre o corpo por meio e forças e Lorentz que aparecem nas equações o meio. Consieramos um corpo elástico não ferromagnético, conutor, homogêneo e isotrópico em um omínio R 3 limitao, simplesmente conexo e com fronteira e classe C. O campo magnético, H e, é constante e a força externa f(x, t) é perióica no tempo, e períoo T (número positivo fixo). Os campos e eslocamento e magnético são representaos por u(x, t) e h(x, t) respectivamente. O moelo escrito acima ( [9], [7], [6]) é representao pelo seguinte sistema e equações iferenciais parciais (sistema magneto-elástico): u t u µ u (β + µ) iv u + ρ( t ) = µ(rot h) (h + He) + f, (..1) 1

18 h u + ν1 rot rot h = rot[ (h + He)], (..) t t iv h =, (..3) em Q T = (, T ), em que u é a erivaa parcial e u(t, x) em relação a t t (tempo), e u t = t ( u ). As constantes positivas e Lamé a teoria e t elasticiae são β e µ, ν 1 = 1 σµ em que σ > representa a conutiviae o material, µ é um número positivo representano a permeabiliae magnética e ρ( u ) representa a issipação mecânica que atua no corpo t elástico. As conições e perioiciae e e fronteira associaas a esse sistema, são respectivamente, u(, x) = u(t, x), t u(, x) = u(t, x), t h(, x) = h(t, x), x, (..4) u =, h.n =, rot h n = em Σ T = (, T ), (..5) em que n = n(x) inica o vetor normal unitário exterior em x = (x 1, x, x 3). Revisaremos aqui, os trabalhos a literatura que tratam questões e existência e soluções T -perióicas no tempo para EDP s hiperbólicas. Os estuos sobre a existência e soluções T -perióicas no tempo para EDP s hiperbólicas, remontam a 1956, quano G. Proi, estuou a existência e soluções generalizaas π-perióicas e em que u t u u + g(x, t, ) = f(x, t, u), t R n é um omínio limitao; f L ( [, π]) é uma função π-perióica; u =, g(x, t, p) é uma função mensurável e (x, t) [, π] para caa p e m g(x, t, p) g(x, t, p1) p p 1 M, p p 1,

19 g(x, t, ) = e g tem efeito issipativo. Proi investigou também o caso u t u u + g(x, t, ) = f(x, t, u, ux), t u =, com hipóteses aicionais sobre f. Mais tare, em 1959, J. Serrin [65] estuou a existência e soluções perióicas as equações e Navier-Stokes. Seguiram-se muitos outros trabalhos tais como [73], [6], [59], [37] e [43]. Além os trabalhos sobre a existência e soluções T -perióicas no tempo, mencionamos as seguintes contribuições sobre a teoria matemática a magnetoelasticiae: [16], [57], [58], [18], [36] e [11]. No que segue, faremos um pequeno resumo a importância e a aplicação e problemas perióicos ( [56] e [7]): Soluções perióicas é um aspecto importante as equações iferenciais, visto que movimentos perióicos acontecem com frequência na natureza e poem ser moelaos por sistema e equações iferenciais. O movimento os corpos celestes, a vibração as onas e muanças climáticas nas quatro estações são exemplos e movimentos perióicos. Fenômenos físicos e naturais ocorrem nos problemas mecânicos e e engenharias one há oscilações (pênulo, molas,...) ou movimentos nas trajetórias fechaas (planetas, elétrons,...) e as soluções e interesse para as equações que escrevem esses movimentos são exatamente as perióicas. Portanto, é e grane importância garantir se existem soluções perióicas para tais sistemas. Pesquisas acerca e soluções perióicas vêm se esenvolveno e têm ampla aplicação em muitos campos como ciências sociais, meicina, sistemas biológicos, moelos epiêmicos, entre outros. De moo a exemplificar, para explorar o impacto e fatores ambientais na biologia, a suposição e perioiciae e parâmetros escreve mais fielmente o muno real evio à existência e muitos fatores perióicos tais como efeitos sazonais o tempo, suprimentos e comia, hábitos e acasalamento e colheita. Um outro exemplo as soluções perióicas, é a sua aplicação no estuo o número e habitantes e uma ciae que contraim uma oença contagiosa e essa oença possui a característica e não imunizar quem a contraiu (por exemplo, um resfriao). 3

20 Provar a existência e soluções fortes T -perióicas para o sistema magnetoelástico com acoplamentos não lineares usano a formulação puramente perióica apresenta ificulaes consieráveis evio à falta e estimativas a priori. Quano os acoplamentos são lineares temos uma certa analogia entre o sistema magneto-elástico e o sistema termo-elástico [19]. Peremos essa analogia quano os termos e acoplamentos são não lineares. Na primeira equação o termo e acoplamento é rot h (h + H e) que é como o termo (u. u) as equações e Navier-Stokes. No entanto, como comentao em etalhes em [51] (ver também [5]), técnicas usaas para o problema perióico no tempo para as equações e Navier-Stokes falham para o sistema magneto-elástico evio ao acoplamento entre as equações. Nosso Teorema sobre a existência e solução forte perióica no tempo abora a formulação puramente perióica no tempo e melhora o Teorema e existência corresponente em [54]. Quano consieramos o sistema magneto-elástico com acoplamentos lineares, como foi observao em trabalhos anteriores como Menzala-Zuazua ( [49]), a equação o campo magnético comporta como a equação o calor e neste caso temos a estimativa a priori. Esse sistema foi bastante estuao no passao porém, não o ponto e vista e obtenção e soluções perióicas. Também neste trabalho, estuamos questões e existência e soluções fracas e fortes perióicas no tempo o moelo ferrofluios e Rosensweig. Os fluios magnéticos, ou ferrofluios, são fluios conteno nano-partículas em grane quantiae (1 3 partículas por metro cúbico, caa partícula com 3 a 15 nanometros e iâmetro). Ferrofluios tem sio empregaos em várias aplicações como em selos e eixos rotativos nos iscos rígios e computaores, na manufatura e semi-conutores, em selos e pressão para compressores, etc. Eles são também usaos no resfriamento e bobinas e speakers, para aministrar rogas em certas partes o corpo, como marcaor e fluxo sanguíneo em meias circulatórias não-invasivas, etc. O resultao novo, para o moelo ferrofluios e Rosensweig, é o fato e obtermos a existência e soluções fortes T -perióicas em R. Para obter a existência e soluções T -perióicas no tempo, usamos o métoo e Faeo-Galerkin e o Teorema e ponto fixo e Brouwer. Descrevemos em seguia a estrutura o nosso trabalho. A primeira 4

21 parte constituía pelos capítulos 1, e 3 é eicaa ao sistema magnetoelástico e a seguna parte constituía pelo capítulo 4 é eicaa ao sistema ferrofluios. No capítulo 1, introuzimos alguns espaços funcionais básicos, a formulação fraca o problema e apresentamos alguns resultaos preliminares importantes usaos neste trabalho. No capítulo, consieramos o sistema magneto-elástico com issipação linear e acoplamentos não lineares. Impono que a força f seja pequena, obtivemos a existência e solução T -perióica forte no omínio biimensional, via Teorema o ponto fixo e Banach. Neste mesmo capítulo, assumino certas hipóteses sobre a issipação, obtivemos o nosso principal resultao: a existência e solução T -perióica forte no omínio triimensional. A estabiliae e soluções foi obtia neste capítulo. Estabelecemos a existência e soluções T -Perióicas fortes para o sistema magneto-elástico com issipação não linear e acoplamentos lineares no capítulo 3. Para alcançar o nosso objetivo, utilizamos o Teorema o ponto fixo e Leray-Schauer. Também neste capítulo obtivemos a uniciae e soluções T -perióicas no tempo. Por último, no capítulo 4, estabelecemos a existência e soluções T -perióicas fracas e fortes para o sistema e ferrofluios. 5

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23 Capítulo 1 Definições e Preliminares 1.1 Espaços Funcionais Consieramos um omínio e R 3 com e classe C. D() := C () e D() := C () são espaços e funções testes com suporte compacto em e espaços e funções testes com suporte compacto em R 3 restrito a, respectivamente. L () é o espaço e Lebesgue e funções quaraos integráveis com prouto interno (.,.) e a norma. = (.,.) 1/. Usamos a notação usual os espaços e Sobolev: W s,p (), W s,p (), s, H s () := W s, (), H s () := W s, (). A norma em W s,p () será enotao por. s,p. H s () representa o espaço ual e H s (). A seguir, consieramos alguns espaços básicos para o estuo o sistema magneto-elástico e enunciaremos as principais proprieaes ( [3]). L σ() = {h L () 3 : iv h =, h.n = }, H 1 σ() 3 = {h H 1 () : iv h =, h.n = }, H(iv, ) := {v L () 3 : iv v L ()}, 7

24 H(rot, ) := {v L () 3 : rot v L () 3 }, H (iv, ) := D() H(iv,), H (rot, ) := D() H(rot,). O conjunto H(iv, ) é um espaço e Hilbert com a norma v H(iv,):= v L + iv v e D() é enso nesse espaço. O conjunto H(rot, ) é um espaço e Hilbert com a norma v H(rot,):= v L + rot v e D() é enso nesse espaço. L σ() é um espaço e Hilbert com a norma usual e o prouto interno em L. Enquanto que H s σ(), s, é um espaço e Hilbert com o prouto interno e H s (), enotao por (.,.) s, e Hσ s () inica o ual e Hσ(). s Em particular, Hσ(), 1 é também um espaço e Hilbert com o prouto interno ((h, h)) := (rot h, rot h) e a norma inuzia esse prouto interno (que é equivalente à norma usual em H 1 ). Além esses espaços, para os resultaos preliminares a fórmula e Green (com rot), precisamos o seguinte espaço: U 1() = {w (L σ() 3 H () 3 ) : rot w H (rot, )} munio com a norma w U1 = { w H(rot,) + rot rot w } 1. Sabemos, o conhecio Teorema para as funções traços γ n e γ τ nos espaços H(iv, ) e H(rot, ) respectivamente, que a aplicação γ n : D() 3 H 1 ( ) v v.η prolonga-se, por continuiae e ensiae e D() 3 em H(iv, ), a uma única aplicação linear e contínua, enotaa novamente por γ n, e H(iv, ) em H 1 ( ). De forma análoga, temos que a aplicação γ τ : D() 3 H 1 ( ) 3 v v η prolonga-se, por continuiae e ensiae e D() 3 em H(rot, ), a uma 8

25 única aplicação linear e contínua, enotaa novamente por γ τ, e H(rot, ) em H 1 ( ) 3. Mais proprieaes essas funções traços poem ser encontaros em [3], p Resultaos Preliminares Nesta secção apresentamos alguns resultaos que serão úteis para os nossos objetivos. Começamos com o seguinte Lema: Lema 1.1. ( [69], p.465) Seja R 3 um omínio aberto, limitao e simplesmente conexo com fronteira e classe C. Então, existe uma constante real positiva c p tal que u Hσ(), 1 u c p rot u. Os ois Lemas seguintes poem ser encontraos em [3], p.6-7. Lema 1.. Seja R 3 um omínio aberto, limitao e simplesmente conexo com a fronteira e classe C. Então, para too v H(iv, ) e u H 1 (), Lema 1.3. Seja R 3 v. u x = u. iv v x + γ nv, u. um omínio aberto, limitao e simplesmente conexo com a fronteira e classe C. Então, para too v H(rot, ) e ϕ H 1 (), v. rot ϕ x rot v.ϕ x = γ τ v, ϕ. Corolário 1.1. Seja R 3 um conjunto aberto, limitao e simplesmente conexo com fronteira e classe C. Para too w U 1 e ϕ H 1 (), rot w. rot ϕx = (rot rot w).ϕx. Teorema 1.1. ( [8], p.358) Seja R 3 aberto, limitao e com fronteira 9

26 e classe C. Então, o conjunto X = {u L () 3 ; iv u L (), rot u L () 3 e u.η = } é um espaço e Hilbert com o seguinte prouto interno u, v X = u, v L () 3 + iv u, iv v L () + rot u, rot v L () 3. Além isso, X é algebricamente e topologicamente igual a H 1 () 3. Lema 1.4. Sejam R 3 aberto, limitao e µ e λ são constantes reais tais que λ + µ > e µ >. Então, µ v. ux + (λ + µ) (iv v)(iv u)x é um prouto interno equivalente ao usual em H 1 ()3. Teorema 1.. (Teorema e regulariae elíptica, [33], p.69) Sejam R 3 aberto, limitao, conexo, com fronteira e classe C e f L σ(). Se u H 1 σ() é solução fraca o seguinte sistema magnético: rot rot u = f em iv u = em u.η = em rot u = em, então u H () 3 e existe uma constante real e positiva c, inepenente e f e u tal que u, c f. Teorema 1.3. (Teorema e regulariae elíptica, [46], p.18) Sejam R 3 aberto, limitao, conexo, com fronteira e classe C, f L () 3, µ e λ são constantes reais tais que λ + µ > e µ >. Se u H 1 () 3 é solução fraca o seguinte sistema elástico: u µ u (λ + µ) iv u = f em 1

27 u = em, isto é, então (u, v) + (u, v) H 1 () 3 = (f, v), v H1 () 3, u H () 3 e existe uma constante real e positiva c, inepenente e f e u tal que u, c f. Corolário 1.. Sejam R 3 aberto, limitao, conexo, com fronteira e classe C, f L () 3, µ e λ são constantes reais tais que λ + µ > e µ >. Se u H 1 () 3 é solução fraca o seguinte sistema elástico: µ u (λ + µ) iv u = f em u = em, isto é, então (u, v) H 1 () 3 = (f, v), v H1 () 3, u H () 3 e existe uma constante real e positiva c, inepenente e f e u tal que u, c f. Teorema 1.4. (Teorema e imersão, [4], p.19) Seja um conjunto aberto e Lipschitz. Então temos: Se sp < N, então W s,p () L q () para qualquer q Se sp = N, então W s,p () L q () para qualquer q. Se sp > N, então temos: [s N p ],s N p [s N p ] Se s N p / N, então W s,p () Cb (). Np N sp. Se s N p N, então W s,p () C s N p 1,λ b () para qualquer λ < 1. 11

28 Desigualaes e interpolação: 1. ( [1], p.139) Seja um omínio e R n satisfazeno a conição o cone. Então, as seguintes afirmações são válias: i) n = ii) n = 3 u L () c u 1 H () u 1 L (), u H (), u L 6 () c u 3 H 1 () u 1 3 L (), u H1 (), u L 4 () c u 1 H 1 () u 1 L (), u H1 (), u L 3 () c u 1 3 H 1 () u 3 L (), u H1 (). u L () c u 3 4 H () u 1 4 L (), u H (), u L 6 () c u H 1 (), u H 1 (), u L 5 () c u 9 1 H 1 () u 1 1 L (), u H1 (), u L 4 () c u 3 4 H 1 () u 1 4 L (), u H1 (), u L 3 () c u 1 H 1 () u 1 L (), u H1 ().. Em geral, temos o seguinte Teorema ( [14], p.173): Seja um omínio Lipschitz e R n com fronteira compacta. Seja p [1, + ], p = np n p e q [p, p ]. Então, existe uma constante C > tal que u L q C u 1+ n q n n p L p u p n q, u W 1,p (). W 1,p O seguinte Lema ( [51]), que é evio a Prouse [6], será útil para o nosso problema. Lema 1.5. Sejam g 1, g : R R funções contínuas e T -perióicas e G : R R uma função T -perióica tal que G C 1 (R) e verifica as seguintes esigualaes: e T G(s)s c, G (t) g1(t) + g(t)g(t), t R, t 1

29 one c é uma constante positiva. Então, sup t [,T ] G(t) c T + T sup t [,T ] g 1(t) + c sup t [,T ] g (t). Consieremos também o seguinte resultao e EDO ( [15], p.68): Definição 1.1. Um sistema x = A(t)x com A(t+T ) = A(t) para qualquer t e algum T > é enominao não-crítico relativo a T se x = A(t)x não tem solução perióica e períoo T não trivial. Proposição 1.1. Sejam A : R R n n, p : R R n com A e p contínuos em R e perióicos e períoo T. Seja x = A(t)x não-crítico relativo a T. Então, x = A(t)x + p(t) tem uma única solução perióica e períoo T. No capítulo 3 iremos precisar o Teorema o ponto fixo e Leray- Schauer: Teorema 1.5. ( [74], p.45) Suponha que: i) o operaor T : X X é compacto, em que X é um espaço e Banach; ii) (estimativa a priori) existe um r > tal que se x = tt (x), < t < 1 então x r. Então, a equação x = T (x) tem solução. Usaremos também o seguinte Lema ( [5], p.18) na passagem ao limite a prova o teorema.3 Lema 1.6. Seja um omínio aberto e limitao em R 3 e classe C. Seja s 1, s, e s 3 1, tal que a) s 1 + s + s 3 3, se si 3, i = 1,, 3, ou b) s 1 + s + s 3 > 3, se si = 3, para algum i=1,,3. Então, existe uma constante c 1 = c 1(s 1, s, s 3, ) tal que u h. rot b x c 1 u H s 1 h H s rot b H s 3, u, h, b C (). 13

30 No capítulo aplicaremos a seguinte versão o Teorema o ponto fixo e Banach: Teorema 1.6. ( [3], p.59) Sejam X um espaço e Banach e X um conjunto fechao e X. Assume que T é uma contração em X e T aplica X nele mesmo. Então, existe um único y em X tal que T y = y. 14

31 Capítulo Sistema Magneto-Elástico com Dissipação linear e Acoplamentos Não Lineares.1 Introução Nesta seção vamos erivar as equações o sistema magneto-elástico u µ u (β + µ) iv u = µ(rot h) (h + He) + f, t h u + ν1 rot rot h = rot[ (h + He)], t t iv h =, 15

32 em Q T, com as seguintes conições e perioiciae e e fronteira respectivamente, u(, x) = u(t, x), t u(, x) = u(t, x), t h(, x) = h(t, x), x, u =, h.n =, rot h n = em Σ T = (, T ). Lembramos que essas equações iferenciais parciais moelam o movimento e um corpo sólio colocao num campo magnético e influenciao por forças externas. É importante salientar que a relação entre os campos elétricos e magnéticos e suas variações em função o tempo e a posição o espaço são aas pelas equações e Maxwell e pelas leis constitutivas. As equações e Maxwell são aas em uniae e sistema internacional: Lei e Ampére que expressa como corrente elétrica prouz campo magnético; Lei e Faraay que expressa como variações e campo magnético prouzem campos elétricos; Lei e Gauss que expressa como cargas elétricas prouzem campos elétricos e Conservação e fluxo magnético, isto é, too o fluxo magnético que entra em um volume é igual ao que sai o volume. Lei e Ampère: Lei e Faraay: rot H = ɛ E t + J f ; rot E = µ H t ; Lei e Gauss: ɛ iv E = ρ f ; Conservação e fluxo magnético: µ ivh =, em que E é o campo elétrico, H campo magnético, J f corrente livre, ρ f ensiae e carga livre, µ a constante e permeabiliae o meio e ɛ a constante e permissiviae o material. Na presença e matéria (corpo) no espaço, temos mais ois campos básicos no eletromagnetismo: a inução magnética ou ensiae o fluxo magnético, B, e a inução elétrica, D. A inução magnética se relaciona com o campo magnético através a permeabiliae o meio, µ, e reflete a capaciae e inuzir fluxo magnético em um eterminao meio. A inução elétrica se relaciona com o campo elétrico e está associaa à permissiviae, ɛ, o material. Essas relações 16

33 chamaas constitutivas são aas por µ H = B; (.1.1) ɛ E = D. (.1.) No caso o ar, a permeabiliae relativa é µ = 1, Henry/metro e a permissiviae é ɛ = 8, Fara/metro. Como às vezes é necessário conhecer a ensiae a corrente, J, temos uma outra relação constitutiva conhecia como moelo e Ohm: J f = σ(e + u B), (.1.3) em que u é o vetor eslocamento no sólio eformao. Essa lei efine a capaciae e um meio e conuzir mais ou menos a corrente e está associaa à sua conutiviae elétrica, σ. Assumimos que a ensiae e cargas elétricas livres e a inução elétrica são nulas, isto é, ρ f = e D =. Então, as equações e Maxwell são reuzias às seguintes equações rot H = J f (Lei e Ampère); (.1.4) rot E = B t (Lei e Faraay); (.1.5) iv B = (Lei e Gauss). (.1.6) Assumino também as hipóteses a teoria a elasticiae linear e incluino a força e corpo eletro-magnética J f B temos a seguinte equação o movimento one ρ M operaor e Lamé. ρ M u t + Lu J f B =, (.1.7) é a ensiae o material e L = µ () (λ + µ) iv() é o As equações o sistema magneto-elástico são obtias e (.1.1)-(.1.7) como se seguem: A equação para o eslocamento u é obtio e (.1.1), (.1.4) e (.1.7): u ρ M + Lu µ rot H H =. t 17

34 A equação para H é obtio tomano o rot e (.1.4) e usano (.1.3): rot rot H = rot J f = σ(rot E + rot(u B)). Usano (.1.5) e (.1.1) nessa equação obtemos rot rot H = σ( B t + rot(u (µ H))). Usano e novo (.1.1) obtemos a equação para o campo magnético µ σ H t + rot rot H = µσ rot(u H). Finalmente, iv H = segue e (.1.6) e (.1.1). Assim, temos as equações o sistema magneto-elástico: u ρ M µ u (λ + µ) iv u µ(rot H) H = t H t + 1 µ rot rot H = σ rot(u H) iv H =. Revisão bibliográfica Revisamos vários trabalhos na literatura relacionaos a questões e boa-colocação e o comportamento assintótico e soluções para este sistema e equações iferenciais parciais com acoplamentos não lineares. Botsenyuk [1] provou a existência e soluções fracas para o problema e valor inicial para esse sistema (sem issipação mecânica), em omínio limitao. Neste trabalho ele não provou a uniciae. Em [13], Botsenyuk também provou a existência e uniciae e solução global forte para o problema e valor inicial, assumino aos iniciais (e forçante) suficientemente pequenos. Quano consieramos o sistema linearizao sem issipação mecânica, Anreou-Dassios [5], investigaram o problema e Cauchy corresponente em R 3. Assumino algumas hipóteses e regulariae sobre os aos iniciais, eles transformaram as equações governantes usano Fourier e usaram a teoria a perturbação para provar que a solução o sistema ecai para zero a uma taxa polinomial quano t. Mais tare, Menzala-Zuazua [49], 18

35 provaram que a energia o sistema com acoplamento linear ecai a zero sob a hipótese e que a única issipação que atua no sistema é a issipação natural representaa pelo termo ν 1 rot rot h. A emonstração não prouziu uma taxa e ecaimento para a energia este sistema. Rivera e Racke [61] usaram o métoo e energia para obter a taxa e ecaimento polinomial a energia total para o problema e Cauchy para o sistema magneto-termo-elástico com acoplamento linear, assumino a hipótese e que R 3 [ ] (1 + η )A m E 1(, η)η < +, η em que E 1 é a energia no espaço a transformaa e Fourier e A = A(η) = η ( 1 η ). η Em [6], Rivera e Santos provaram, para omínios especiais, que a energia total esse sistema ecai a zero com uma taxa polinomial quano t +, assumino aos iniciais suficientemente regulares. Charão, Oliveira e Menzala [19] provaram que a energia total esse sistema tene a zero quano t + quano a issipação não-linear ρ(x, u t(t, x)) é efetiva sobre uma pequena sub-região o omínio. Eles obtiveram uma taxa e ecaimento polinomial para a energia total o sistema: E(t) CE()(1 + t) γ 1, em que γ 1 epene a hipótese assumio sobre o comportamento a issipação não linear. Em [47], Luz e Oliveira consieraram o comportamento assintótico e soluções para o problema e Cauchy em R 3 para o sistema magneto-termo-elástico com issipação mecânica linear e termos e acoplamento linear. Usano métoos e energia para as equações a transformaa e Fourier, iviino a energia no espaço transformao em partes e baixa frequência e alta frequência, sob algumas hipóteses sobre os aos iniciais e e certas estimativas chaves, a seguinte estimativa para a energia e orem α, efinio por E α(t) = 1 ξ α { û t(t) + µ ξ û(t) R 3 + (λ + µ) ξ û(t) + ĥ(t) + ˆθ(t) } ξ 19

36 foi obtio na forma: E α(t) C β {M(u, u 1, h, θ ) + E α()} t 1/β. Este resultao, por sua vez, implica que a energia total o sistema ecai a uma taxa polinomial e também implica taxas e ecaimento para a norma L e u(t, x). Investigações sobre soluções perióicas no tempo para o sistema magneto-elástico escrito anteriormente teve início recente. Mohebbi e Oliveira [51] e Mohebbi [5] estabeleceram a existência e soluções fracas perióicas no tempo (com o mesmo períoo T que a força T -perióica aa) para o sistema magneto-elástico com acoplamentos não lineares e issipação mecânica não linear ρ(u t(t, x)). Oliveira [54] provou a existência e soluções T -perióicas fortes para esse sistema magneto-elástico com acoplamentos não lineares e uma força externa T -perióica aa e issipação mecânica linear. A prova é baseaa no problema e valor inicial e no mapa e Poincaré, assumino que a energia no tempo t = e certas normas a força externa são suficientemente suaves. A estabiliae assintótica conicional e soluções perióicas no tempo também é provaa nesse artigo. Estes ois últimos trabalhos estacaos na literatura constituiram uma as principais motivações para a nossa pesquisa. Provar a existência e soluções fortes T -perióicas para o sistema magnetoelástico com acoplamentos não lineares usano a formulação puramente perióica apresenta ificulaes consieráveis evio à falta e estimativas a priori. Quano os acoplamentos são lineares temos uma certa analogia entre o sistema magneto-elástico e o sistema termo-elástico [19]. Peremos essa analogia quano os termos e acoplamentos são não lineares. Na primeira equação o termo e acoplamento é rot h (h + H e) que é como o termo (u. u) as equações e Navier-Stokes. No entanto, como comentao em etalhes em [51] (ver também [5]), técnicas usaas para o problema perióico no tempo para as equações e Navier-Stokes falham para o sistema magneto-elástico evio ao acoplamento entre as equações. Nosso Teorema sobre a existência e solução forte perióica no tempo abora a formulação puramente perióica no tempo e melhora o Teorema e existência corresponente em [54].

37 . Domínio biimensional..1 Existência A prova a existência e soluções as equações é feita através o métoo e aproximação e Faeo-Galerkin, que consiste em aproximar o problema inicial por sistemas aproximaos equivalentes, porém em imensão finita. O fato o nosso problema ser puramente perióico, ificultou a obtenção e estimativas a priori, e isso nos fez com que procurássemos soluções em espaços pequenos. Usaremos argumentos e compaciae e monotoniciae para extrair subsequências convergentes. Passano o limite nessas subsequências obtemos a solução o problema original. Agora, introuziremos a formulação fraca para o problema (..1)- (..5), com issipação linear ρ(u ) = αu. Começamos consierano as seguintes hipóteses: (H ) R 3 é um omínio limitao simplesmente conexo com fronteira e classe C. (H 1) f C([, T ]; L ()) com f() = f(t ). A seguir efiniremos ois operaores úteis. Para qualquer u H 1 () fixo, efinimos o operaor linear limitao (conhecio como operaor e Lamé) L : H 1 () H 1 () e a sua forma bilinear associaa Lu, v = a I(u, v) := µ( u, v) + β + µ)(iv u, iv v), v H 1 (). Para qualquer h Hσ() 1 efinimos o operaor linear limitao L : Hσ() 1 Hσ 1 () e a sua forma bilinear associaa Lh, b = a II(h, b) := ν 1(rot h, rot b), b H 1 σ(). O operaor L amite uma sequência infinita e autofunções enotaas por φ j, associaas a autovalores ( [33]). Eles formam a base o espaço λ 1 j H 1 σ() e são soluções o seguinte problema: rot rot φ j = 1 λ j φ j, 1

38 iv φ j =, φ j.η =, rot φ j.η =. Note que a I(u, v) e a II(h, b) efinem prouto interno em H 1 () e H 1 σ() respectivamente, com as suas normas associaas equivalentes às normas em H 1 () e H 1 σ(). Definimos mais ois operaores lineares limitaos como se seguem: Dao (h, b) (H 1 σ() H 1 σ ()) efinimos B I : H 1 σ() H 1 σ () H 1 () por B I(h, b)(v) = e ao (u, h) (L () H 1 σ()) efinimos B II : L () Hσ() 1 H 3 σ () por B II(u, h)(b) = rot h (b + H e).v x, v H 1 (), u (b + H e). rot b x, b H 3 σ (). Usamos para enotar erivaa (orinária ou parcial) em relação ao tempo t, isto é, u = u t. Definição.1. Como em [5], é natural efinir a solução T -perióica fraca a seguinte forma: Dizemos que (u, h) é uma solução T -perióica fraca e (..1)-(..5) se 1. u L (, T ; W 1, ()) com u L (, T ; L ()),. h L (, T ; L σ()) L (, T ; H 1 σ()), 3. u e h satisfazem: i) T T (u, ϕ) η s + = T a I(u, ϕ) ηs + B I(h, h) (ϕ)ηs + T ϕ H 1 (), η D T T (f, ϕ) ηs, (α.u, ϕ) ηs

39 ii) T T (h, ψ) η s + = T a II(h, ψ) ηs B II(u, h) (ψ)ηs, ψ H 3 σ () e η D T, em que D T := {ω C (R) : ω(s) = ω(s + T ), s R}. Com esta efinição atenemos a conição e perioiciae u () = u (T ) (no sentio variacional). Conforme explica Botsenyuk ( [1]), a conição e fronteira rot h n não é satisfeita pelas soluções fracas. O argumento mais etalhao poe ser encontrao em [5]. Sejam os operaores L = µ (λ + µ) iv e L = rot rot, com os omínios D(L) = H () H 1 () e D( L) = { b H () H 1 σ() : rot b n = } respectivamente. Sejam c E := H e L 4 e D T a efinição.1. Então, o seguinte teorema é válio: Teorema.1. Seja T > o períoo a função f L 1 (, T ; H 1 ()), R, omínio limitao, simplesmente conexo com fronteira e classe C. Existe λ (, 1) tal que se f L 1 (,T ;H 1 ()) λ, então, existe uma solução fraca T -perióica (u, h) o problema (..1)-(..5) que amite a seguinte regulariae aicional: u L (, T ; D(L)), u L (, T ; H 1 ()) e h L (, T ; D( L)) L (, T ; H 1 σ()). Demonstração. Usaremos o Teorema 1.6 (Banach) para provar a existência e solução T -perióica em espaço e imensão finita. Consieramos as equações usano as aproximações o Faeo-Galerkin para qualquer m inteiro positivo fixo: T T T (u m, φ j) η s + = T a I(u m, φ j) ηs + B I(h m, h m) (φ j)ηs + T T φ j H 1 (), η D T, 1 j m. (h m, φ j) η s + T a II(h m, φ j) ηs (αu m, φ j) ηs (f, φ j) ηs, 3

40 T = B II(u m, h m) ( φ j) ηs, φ j H 3 σ (), η D T, 1 j m. Também consieramos as equações na forma o operaor: u m + Lu m + α(u m) = µ rot h m (h m + H e) + f, (..1) h m + ν 1 Lhm = rot[u m (h m + H e)], (..) u m() = u m(t ), u m() = u m(t ), h m() = h m(t ), (..3) em que m m u m = c j(t)φ j, h m = c j(t) φ j, i=1 i=1 {φ k } k N é a base e autofunções e a I(φ k, ω) = λ k (φ k, ω), ω H 1 (), e { φ j} j N é a base e autofunções e a II( φ j, τ) = λ j( φ j, τ), τ H 1 σ(). Dao m N, efinimos os espaços e imensão finita S m = span{φ 1, φ,..., φ m} e S m = span{ φ 1, φ,..., φm}. Para simplificar a notação, e agora em iante, ocultamos o ínice m nas funções u e h. No que se segue, efinimos a energia e seguna orem o sistema E II(t) := 1 { L 1 u + Lu + L 1 h } e para ɛ (, 1) efinimos também uma nova função G(t) := { E II(t) + αɛ } L 1 u +ɛ(u, Lu). Note que (u, Lu) 1 α L 1 u + α L 1 u. 4

41 O que implica que ɛ (u, Lu) ɛ α L 1 u ɛα L 1 u. Para ɛ = α, temos G(t) E II(t) + α 4 L 1 u 1 4 L 1 u α 4 L 1 u 1 EII(t) t. Por outro lao, (note que L 1 u c p Poincaré), Lu, c p é a constante e G(t) E II(t) + α 4 L 1 u L 1 u + α 4 L 1 u E II(t) + c p C 1E II(t), α Lu L 1 u em que C 1 := 1 + max{ 1, c pα }. Assim, estabelecemos o seguinte Lema: Lema.1. t, 1 EII(t) G(t) C1EII(t). Para aplicar o Teorema 1.6 (ponto fixo e Banach), efinimos o espaço Z λ como se segue: Seja < λ < 1 fixo, então Z λ = { (v, b) [ C per(, T ; D(L)) Cper(, 1 T ; H 1 ()) ] [ C per(, T ; Hσ()) 1 L (, T ; D( L)) ] : v L (D(L)) λ, v L (H 1 ()) λ, b L (H 1 σ ()) λ, b L (D( L)) λ }, com a respectiva norma (v, b) Z λ:= v L (D(L)) + v L (H 1 ) + b L (H 1 σ ) + b L (D( L)), 5

42 v D(L) := Lv, b D( L) := Lb. Também efinimos uma aplicação Φ com objetivo e provar que ela tem um ponto fixo, isto é, Φ(u, h) = (u, h), (u, h) Z λ. Seja Φ a aplicação efinia a seguinte forma: Φ : Z λ Z λ, (v, b) (u, h), em que (u, h) é (u n, h n), que é a única solução o sistema linear acoplao (..4)-(..8), aa pela Proposição 1.1 tal que u n C (, T ; S n) e h n C 1 (, T ; S n). No espaço biimensional temos que H e.n = ( [11]), e portanto, o sistema simplifica-se na seguinte forma: u + Lu + α(u ) = µ rot b b + f, (..4) h + ν 1 Lh = rot[v h], (..5) iv h =, em Q T = R, (..6) u =, h.n =, rot h n =, em R, (..7) u(x, ) = u(x, T ), u (x, ) = u (x, T ), h(x, ) = h(x, T ), x, t R. (..8) Sejam c it, c im, c p e c el constantes e interpolações, imersões, Poincaré e regulariae elíptica respectivamente. Então, C é uma constante positiva que epene no máximo as constantes c it, c im, c p, c el e µ. a) Provaremos que Φ está bem efinia. Isto é, Φ leva Z λ em Z λ. Fazemos o prouto interno a equação aa em (..4) por Lu e α Lu e a equação aa em (..5) por Lh, somamos os resultaos, obteno: t G(t) + α L 1 u +ν 1 Lh + α Lu = µ (rot b b, Lu ) + (rot[v h], Lh) + µ α(rot b b, Lu) + (f, Lu ) + α (f, Lu). (..9) 6

43 Agora, estimaremos caa um os termos aplicano a imersão contínua e H 1 () em L 4 (), H 1 () em L 1 () (ver por exemplo [4]), Teorema 1. (regulariae elíptica), e a esigualae e Poincaré: µ (rot b b, Lu ) µ rot b L b L Lu L 1 C Lb Lb L 1 u C Lb L 1 u, em que Lu L 1 () C Lu H 1 () C sup Lu, ϕ ϕ H 1(), ϕ =1 C sup ( u, ϕ) + (iv u, iv ϕ) ϕ H 1(), ϕ =1 C sup (L 1 1 u, L ϕ) ϕ H 1(), ϕ =1 C sup L 1 1 u L ϕ ϕ H 1(), ϕ =1 C L 1 u. (rot[v h], Lh) v 1, h L Lh + v L 4 rot h L 4 Lh C v 1, Lh. µ (rot b b, αlu) αc rot b L 4 b L 4 Lu αc rot b 1, b 1, Lu αc Lb rot b Lu αc Lb Lu. (f, Lu ) L 1 f L 1 u. 7

44 α (f, Lu) α f Lu. Sabemos a efinição o espaço Z λ que v 1, λ. Então, substituimos as estimativas acima em (..9) e obtemos t G(t) + α L 1 u +ν1 Lh + α Lu Daí, segue que C Lb L 1 u +Cλ Lh + αc Lb Lu + L 1 u L 1 f +α f Lu. t G(t) + α L 1 u +(ν 1 Cλ) Lh + α Lu C Lb L 1 u +αc Lb Lu + ( L 1 u +Cα Lu ) f 1,, (..1) em que ν 1 Cλ é positivo pelo fato e < λ < 1. Usamos a regulariae elíptica para minorar o termo α L 1 u +(ν 1 Cλ) Lh + α Lu pela energia c IIE II(t), (c II := min{α, (ν 1 Cλ)}, que por sua vez é minoraa pela função 1 G(t), evio à relação e equivalência aa pelo Lema.1. Assim, C 1 obtemos a seguinte esigualae: cii G(t) + G(t) t C 1 C Lb G(t) + αc Lb G(t) + (1 + Cα) f 1, G(t). (..11) Assumimos que G(t), t R. Pois, se existe um t tal que G(t ) = E(t ) =, então, t ( G(t)) + cii C 1 ( G(t)) C Lb G(t) + Cα Lb G(t) + (1 + Cα) f 1, G(t). 8

45 Agora, integramos e t a t < t + T e obtemos ( G(t)) + t t t ( C Lb(s) +Cα Lb(s) ) G(s) s t ((1 + Cα) f(s) 1,) G(s) s. Aplicano a esigualae e Brezis, obtemos uma estimativa para G(t), t R ( G(t)) + t t t ( C Lb(s) +Cα Lb(s) ) s t ((1 + Cα) f(s) 1,) s. Voltamos à (..11) e iviimos toos os termos por G(t), segue que c II G(t) + G(t) C Lb t C 1 + Cα Lb +(1 + Cα) f 1,. (..1) Usano a T -perioiciae e G(t) e integrano (..1) e a T, obtemos o seguinte resultao c T II T G(s)s C C Lb(s) s 1 T + Cα Lb(s) s + (1 + Cα) em que foi usao que Cλ + Cαλ + (1 + Cα) T Na sequência, provaremos a seguinte Afirmação: T T f(s) 1, s f(s) 1, s, (..13) Lb(s) s λ, a efinição o espaço Z λ. ) G(t) ( (C + Cα + 1) + C1 (C + Cα + 1) λ, t T. c IIT Demonstração. Segue o Teorema e valor méio que existe um 9

46 t (, T ) tal que c II T T G(t C ) = cii G(s)s 1 C 1 (C + Cα)λ + (1 + Cα) T f(s) 1, s. Então, T G(t ) C1 c (C + IIT Cα)λ + C1 (1 + Cα) f(s) 1, s. c IIT Integramos (..1) e t a t, t t T obteno T G(t) G(t ) (C + Cα) Lb(s) s Sabemos por hipóteses que T T + (1 + Cα) T f(s) 1, s. f(s) 1, s λ e que Lb(s) s λ, a efinição o espçaço Z λ. Então, ) G(t) (C + Cα C1 (C + Cα + 1) λ, t [t, T ]. c IIT Em particular, ) G(T ) (C + Cα C1 (C + Cα + 1) λ, t [t, T ]. c IIT Voltamos a integrar (..1) esta vez, e a t, t t obteno G(t ) G() (C + Cα + 1) λ. (..14) Devio a T -perioiciae e G(t) e à equação (..14) temos que G(t) G(t ) ( ) C + 4Cα + + C1 (C + Cα + 1) λ. c IIT 3

47 Usano a relação e equivalência entre a função G(t) e a energia E II(t) (Lema.1) temos que EII(t) ( ) (C + Cα + 1) + C1 (C + Cα + 1) λ. (..15) c IIT Para completar a nossa estimativa, voltamos à equação (..1), usamos o fato e que L 1 u λ e Lu λ (obtia e (..15)), integramos e a T e usano a perioiciae obtemos α T L 1 T u (s) s + (ν 1 Cλ) + α Cλ + λ T T T Sabemos também que Lu(s) s T Lb(s) s + Cαλ f(s) 1, s + Cαλ T Lh(s) s Lb(s) s f(s) 1, s. T (ν 1 Cλ) α + α T T Lh(s) s L 1 u (s) s + (ν 1 Cλ) Lu(s) s. T Lh(s) s Então, T T (ν 1 Cλ) Lh(s) s Cλ Lb(s) s T + Cαλ Lb(s) s Usano a hipótese T T T + (1 + Cα)λ f(s) 1, s. (..16) f(s) 1, s λ e o fato e que Lb(s) s λ, a efinição o espaço Z λ, temos a seguinte 31

48 estimativa T (ν 1 Cλ) Lh(s) s (C + Cα + 1)λ 4 De (..15) e (..17) concluimos que (C + Cα + 1)λ. (..17) (u, h) Z λ ( ) (C + Cα + 1) + C1 (C + Cα + 1) + C + Cα + 1 λ. c IIT Portanto, Φ está bem efinia. b) Provaremos que Φ é uma contração, isto é, < c < 1, v := v 1 v, b := b 1 b, Φ(v 1, b 1) Φ(v, b ) Z λ c (v 1 v, b 1 b ) Z λ. Definimos u = u 1 u e h = h 1 h, em que (u 1, h 1) e (u, h ) são uas soluções o sistema (..4)-(..8). Substituimos as soluções nas respectivas equações e subtraimos os resultaos, obteno o seguinte sistema u + Lu + α(u ) = µ rot b b + µ rot b b 1, (..18) h + ν 1 Lh = rot[v h1] + rot[v h]. (..19) ao que Note que µ rot b 1 b 1 = µ rot(b + b) b 1, rot[v 1 h 1] = rot[(v + v ) h 1] Φ(v 1, b 1) Φ(v, b ) Z λ= (u 1, h 1) (u, h ) Z λ = u 1 u L (D(L)) + u 1 u L (H 1 ()) + h 1 h L (H 1 σ ()) + h 1 h L (D( L)). 3

49 A estratégia que seguiremos nessa parte é obter uma estimativa para as uas partes a energia separaamente. Inicialmente estimaremos a parte e energia relacionaa ao campo e eslocamento. Formalmente, fazemos o prouto interno a equação (..19) por Lh e obtemos 1 t L 1 h +ν 1 Lh = (rot[v h 1], Lh) + (rot[v h], Lh) C v 1, Lh 1 Lh +C v 1, Lh. Lembramos que v 1, λ. Como o termo issipativo absorve o seguno termo o seguno membro, obtemos a seguinte esigualae 1 t L 1 h +(ν 1 Cλ) Lh C v 1, Lh 1 Lh. (..) Integramos o resultao acima e a T, usano o fato e que h é T - perióico e aplicano a esigualae e Cauchy-Schwarz no lao ireito a equação, obtemos o seguinte resultao T (ν 1 Cλ) Lh(s) s ( T ) 1 C v 1, Lh ( 1 T 1(s) s Lh(s) s). (..1) Da efinição o espaço Z λ, temos que v 1, (v, b) Z λ. Também temos que Lh ( 1 T 1(s) s) λ pelo fato e h1 ser solução e (..5). ( 1 T Então, iviimos ambos os laos e (..1) por Lh(s) s) e obtemos Portanto, ( 1 T (ν 1 Cλ) Lh(s) s) Cλ (v, b) Z λ. ( T ) 1 Lh(s) Cλ s ν 1 Cλ (v, b) Z λ. (..) 33

50 A seguir, obteremos uma estimativa para a parte e energia relacionaa ao campo e eslocamento. Para isso, utilizamos novamente os multiplicaores Lu e α Lu e repetimos os cálculos similares ao a página 3. Fazemos o prouto interno a equação (..18) por Lu e α Lu, aicionamos os resultaos e obtemos a seguinte equação 1 t { L 1 u + Lu } + α 4 t L 1 u + α + α L 1 u + α Lu α (u, Lu ) t (u, Lu) = µ (rot b b, Lu ) + µ (rot b b 1, Lu ) α + µ (rot b b, Lu) + α µ (rot b b1, Lu). (..3) Seja E II(t) := 1 { L 1 u + Lu } a parte a energia e seguna orem o sistema e um funcional. G (t) := O seguinte Lema é obtio o Lema.1: {E II(t) + α 4 L 1 u + α } (u, Lu) Lema.. t, 1 E II(t) G (t) C E II(t), em que C := 1 + max{1, c pα } o Lema.1. Voltano à equação (..3), temos que t G (t) + α L 1 u + α Lu = µ (rot b b, Lu ) + µ (rot b b 1, Lu ) α + µ (rot b b, Lu) + α µ (rot b b1, Lu). (..4) Usano as mesmas proprieaes usaas nas estimativas anteriores, obtemos as seguintes estimativas: µ (rot b b, Lu ) µ b, b L L 1 u + µ rot b L 4 L 1 b L 4 L 1 u 34

51 C Lb Lb L 1 u + C Lb Lb L 1 u C Lb Lb L 1 u. µ (rot b b 1, Lu ) µ b, b 1 L L 1 u + µ rot b L 4 L 1 b1 L 4 L 1 u C Lb Lb 1 L 1 u + C Lb Lb 1 L 1 u C Lb Lb 1 L 1 u. α µ (rot b b, Lu) α µ b, b H1 Lu Cα Lb Lb Lu. α µ (rot b b1, Lu) α µ b, b1 1, Lu Cα Lb Lb 1 Lu. Observe que c EII(t) α L 1 u + α Lu, c = min{1, α}. Essas estimativas juntamente com o Lema. implicam que t G (t) + c C G (t) C Lb Lb L 1 u +C Lb1 Lb L 1 u + Cα Lb Lb Lu + Cα Lb 1 Lb Lu C Lb Lb G (t) + C Lb 1 Lb G (t) + Cα Lb Lb G (t) + Cα Lb 1 Lb G (t). Portanto, G (t) + c G (t) t C 35

52 C Lb Lb +C Lb 1 Lb + Cα Lb Lb +Cα Lb 1 Lb. (..5) Na sequência, integramos (..5) e a T usano a perioiciae e obtemos c T T G (s)s C C + C + Cα + Cα T T T Lb (s) Lb(s) s Lb 1(s) Lb(s) s Lb (s) Lb(s) s Lb 1(s) Lb(s) s. (..6) Agora, aplicamos a esigualae e Cauchy-Schwartz em caa um os termos o lao ireito a equação (..6) e usamos que b 1 L (D( L)) λ, b 1 L (D( L)) λ por serem soluções e b L (D( L)) (v, b) Z λ a efinição o espaço Z λ, obteno o seguinte resultao: c T G (s)s C ( T Cλ ) 1 Lb(s) ( T ) 1 s + Cλ Lb(s) s ) 1 ( T + Cαλ ( T + Cαλ Lb(s) s ( T λ(c + Cα) λ(c + Cα) (v, b) Z λ. ) 1 Lb(s) s Do Teorema e valor méio, existe um t (, T ) tal que Então, ) 1 Lb(s) s c C T T G (t ) = c G (s)s λ(c + Cα) (v, b) C Z λ. G (t ) C c T λ(c + Cα) (v, b) Z λ. 36

53 Usano a mesma estratégia utilizaa na prova e que Φ está bem efinia, integramos (..5) e t a t, t t T obteno G (t) G (t ) λ(c + Cα) (v, b) Z λ. Portanto, Em particular, ) G (t) λ (C + Cα + C (C + Cα) (v, b) c T Z λ. ) G (T ) λ (C + Cα + C (C + Cα) (v, b) c T Z λ. (..7) Agora, voltamos à equação iferencial (..5), integramos e a t, t t obteno G (t ) G () λ(c + Cα) (v, b) Z λ. A seguinte estimativa segue a perioiciae e G (t) e (..7) ) G (t) λ (C + Cα + C (C + Cα) (v, b) c T Z λ. Aplicamos o Lema. e obtemos uma estimativa para a EII (t) em termos e (v, b) Z λ: ) E (C II (t) λ + Cα + C (C + Cα) (v, b) c T Z λ. (..8) De (..) e (..8) obtemos uma limitação uniforme para (u, h) Z λ em termos e (v, b) Z λ. Portanto, Φ(v, b) Z λ= (u, h) Z λ c (v, b) Z λ, e Φ é uma contração, < c < 1. Aplicamos o Teorema 1.6 e obtemos que, Φ(u, h) = (u, h) em que (u, h) é a única solução o sistema (..1)- (..3) com as conições e fronteiras (..5). A passagem ao limite quano m é análogo ao caso triimensional, que será feito na seção.4. 37

54 .. Estabiliae Nesta seção, estuamos a estabiliae (no sentio Lyapunov, [3]) e soluções T -perióicas fortes para o sistema magneto-elástico, cuja regulariae foi provaa na seção anterior. Isto é, estuamos a estabiliae as soluções fracas o seguinte problema: Seja (v, b) a perturbação a solução forte (u, h). Então, (v, b) satisfaz o seguinte sistema v + Lv + αv = rot h b + rot b (h + b + H e), (..9) b + ν 1 Lb = rot[u b] + rot[v (h + b + He)], (..3) iv b = (..31) e as seguintes conições iniciais v() = v, v () = v 1, b() = b. (..3) Agora, efinimos uma solução fraca o problema (..9)-(..3); Definição.. Dizemos que (v, b) é uma solução fraca e (..9)-(..3) se 1. v L (, T ; W 1, ()) com v L (, T ; L ()),. b L (, T ; L σ()) L (, T ; H 1 σ()), 3. v e b satisfazem: i) ii) T T T (v, ϕ) η s + = T (b, ψ) η s + = T a I(v, ϕ) ηs + (rot h b, ϕ)ηs + T ϕ H 1 (), η C (R) T a II(b, ψ) ηs (rot[u b], ψ) ηs + T (αv, ϕ) ηs (rot b (h + b + H e), ϕ) ηs, T ψ H 3 σ (), η C (R). (rot[v (h + b + H e)], ψ)ηs 38

55 segue: Também, efinimos a estabiliae e a estabiliae assintótica como se Definição.3. Seja X := H 1 () L () L σ(). Dizemos que uma solução perióica (u, h) é estável se ao um ɛ >, existe um δ > tal que para qualquer solução fraca (v, b) com ao inicial em uma bola B X((u(), u (), h()), δ), a solução (u(t), h(t)) pertence a bola B X((u(t), u (t), h(t)), ɛ), para caa t. Definição.4. Sejam (u, h) uma solução perióica. Dizemos que (u, h) é assintóticamente estável se (u, h) é estável e lim t { v (t) u (t) + v(t) u(t) + b(t) h(t) } =, one (v, b) é uma solução fraca qualquer. Antes e enunciar o teorema a estabiliae conicional, vamos provar o seguinte lema que iremos usar urante a prova o teorema. Lema.3. Sejam u e h soluções fortes T -perióicas no tempo o problema prouzio pelo Teorema.1. Então, t Lh(s) s c h, t. Demonstração. Reescrevemos (..) em termos e ĥ = h + He, sem o ínice m nas funções u e h. Em seguia, formalmente, fazemos o prouto interno em L (, t; L ()) por Lĥ e obtemos 1 L 1 ĥ(t) + ν 1 t 1 L 1 ĥ() + t Usano a ientiae vetorial Lĥ(s) s (rot[u (s) ĥ(s)], Lĥ(s)) s. (..33) rot( A B ) = B. A A. B + A. iv B B. iv A, 39

56 temos que (rot[u ĥ], Lĥ) = (ĥ. u, Lĥ) (u. ĥ, Lĥ) + (u. iv ĥ, Lĥ) (ĥ. iv u, Lĥ). Então, usano a imersão contínua e H 1 () em L 4 () e a efinição o espaço Z λ (a emonstração o Teorema.1), obtemos a seguinte estimativa (rot[u ĥ], Lĥ) ĥ L u Lĥ t + u 4 ĥ L L4 Lĥ + u L 4 iv ĥ L4 Lĥ + ĥ L iv u Lĥ. t (rot[u (s) ĥ(s)], Lĥ(s)) s λ Lĥ(s) s, t. Usano essa estimativa em (..33) e absorveno o termo λ obtemos o seguinte resultao 1 L 1 ĥ(t) + (ν 1 λ) Portanto, temos que t t t Lĥ (s) s 1 L 1 ĥ(). Lĥ(s) s c h, t, 1 em que c h = (ν 1 λ) L 1 ĥ(). Dao que Lĥ(s) = Lh(s), então temos o resultao esejao: t Lh (s) s c h, t. Lĥ(s) s, Provaremos agora, o seguinte resultao e estabiliae: Teorema.. (Estabiliae assintótica) 4