EQUAÇÕES DE ONDA DO TIPO KIRCHHOFF COM AMORTECIMENTO

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1 Universiae Feeral o Paraná Setor e Ciências Exatas Pós-Grauação em Matemática Aplicaa EQUAÇÕES DE ONDA DO TIPO KIRCHHOFF COM AMORTECIMENTO Rosileie e Oliveira Lopes CURITIBA-PR 8

2 EQUAÇÕES DE ONDA DE KIRCHHOFF COM AMORTECIMENTO Por Rosileie e Oliveira Lopes Orientação: Prof. Higiio Portillo Oqueno Dissertação apresentaa como requisito parcial à obtenção o grau e Mestre em Matemática Aplicaa, Programa e Pós-Grauação em Matemática Aplicaa, Setor e Ciências E- xatas, Universiae Feeral o Paraná. CURITIBA-PR 8

3 Aos meus pais por me arem amor e igniae, por serem amigos, perseverantes, batalhaores e exemplos e honestiae e humilae. Aos meus irmãos pela amizae e também como um sinal o amor e carinho que nos une. i

4 Agraecimentos Agraeço à Deus pela via e por conceer-me força e coragem. À minha família pelo apoio, compreensão e carinho. Ao meu orientaor Dr. Higiio Portillo Oqueno pela paciência, atenção e orientação precisa. Aos professores o Departamento e Matemática a Universiae Feeral o Paraná e à Coorenação o curso e Pós-Grauação em Matemática Aplicaa pela colaboração ireta ou inireta neste trabalho. E a toos que, e alguma forma, contribuíram para a realização este trabalho. ii

5 Sumário Resumo Abstract iv v 1 Funamentos Algumas esigualaes e espaços e Hilbert Espaços L p Distribuições Espaços e Sobolev Equação e Kirchhoff com Dissipação Friccional 18.1 Existência e Uniciae Comportamento Assintótico Equação e Kirchhoff com Dissipação Interna o Tipo Kelvin-Voigt Existência e Uniciae Comportamento Assintótico Referências Bibliográficas 55 iii

6 Resumo Neste trabalho, estuamos a existência e uniciae e soluções para as seguintes equações e ona não linear n-imensional o tipo Kirchhoff: Equação com issipação friccional u tt M( u ) u + δu t =. Equação com amortecimento interno o tipo Kelvin-Voigt u tt M( u ) u δ u t =. Ambas com conições e fronteira e Dirichlet. Estuamos também o ecaimento exponencial e energia associao à esses problemas e mostramos explicitamente a taxa e ecaimento. Aqui δ >, Ω é um subconjunto aberto e limitao e R n, com fronteira suave Ω = Γ, one a função M C 1 [, [ é tal que M(s) α + βs para too s, com α, β >. Palavras-chave: Equação e ona o tipo Kirchoff; issipação friccional; amortecimento o tipo Kelvin-Voigt; ecaimento exponencial e energia. iv

7 Abstract In this work we are going to stuy the existence an uniqueness of the solution governe by the n-imensional nonlinear following wave of equation Kirchhoff type: Equation with frictional issipation u tt M( u ) u + δu t =. Equation with internal material amping of Kelvin-Voigt type u tt M( u ) u δ u t =. Both of them of Dirichlet bounary conition. Besies also we stuy the exponential energy ecay of the problem an we explicit forms for the ecay. Here δ >, Ω is a boune, connecte set in R n, having a smooth bounary Ω = Γ, one M C 1 [, [ is such that M(s) α + βs for all s, with α, β >. Key wors: wave of equation Kirchhoff type; frictional amping; Kelvin-Voigt amping type; Exponential ecay of energy. v

8 Introução Consiere Ω um aberto limitao e R n com fronteira suave Ω enotaa por Γ. Nosso objetivo aqui é estuar a existência e uniciae e solução global, para a equação e ona com amortecimento friccional u tt M( u ) u + δu t = e para a equação e ona com amortecimento interno o material o tipo Kelvin-Voigt u tt M( u ) u δ u t =, one o parâmetro δ > inica o coeficiente e issipação friccional e o coeficiente e amortecimento interno o material o tipo Kelvin-Voigt, respectivamente. Além isso, vamos estabelecer o ecaimento exponencial a energia E(t) = 1 ( ) u t + ˆM( u ), associaa à equação, ou seja, veremos que a energia converge uniformente para zero, quanto t, com relação aos aos iniciais para os quais E() <. Suporemos que M é uma função contínua e com erivaa contínua em [, [ tal que M(s) α + βs para too s, one α e β são constantes positivas. O sub-ínice t representa a erivaa em relação ao tempo, o operaor Laplaciano n-imensional nas variáveis espaciais. As equações integro-iferenciais acima, fisicamente, moelam as vibrações e menbranas cuja estrutura elástica é não linear. Com u(x, t) representamos o eslocamento transversal no instante t, em um ponto a membrana one a abscissa é x na configuração e repouso. A velociae em que o ponto x se esloca verticalmente é u(x,t), que rep- t resentamos por u t (x, t) e seno a membrana fixa nos extremos, temos que u(x, t) = em Ω. Para simplificar a notação estamos usano u(x, t) = u. A classe mais comum para a supressão e vibrações e estruturas elásticas é a o tipo vi

9 friccional, que absorve vibração e energia. Por outro lao, o mecanismo e amortecimento interno está sempre presente, porém poe ser muito pequeno, este é o caso o amortecimento interno e Kelvin-Voigt. As conições e fronteira consieraas aqui são conições o tipo Dirichlet. O estuo anaĺıtico na área e estabilização e sistemas istribuios geralmente está conectao com aplicações para o controle e vibrações e vários elementos estruturais. O estuo o ecaimento exponencial esses ois problemas, consierano M( u ) = α + β u, foi feito em [1], a existência, uniciae e o ecaimento exponencial e energia para um problema não homogêneo com amortecimento interno, é estuao em [13]. Também, em [14] se estua a uniciae, existência e estabiliae para a equação u tt + δu t + M(A 1 u)au = one A é um operaor autoajunto e L (Ω). Nosso trabalho éstá baseao nos artigos [14], [13] e [1] e está organizao o seguinte moo: No capítulo 1, apresentamos alguns conceitos e resultaos como espaços L p, teoria as istribuições, espaços e Sobolev, entre outros, que serão utilizaos nos próximos capítulos. No capítulo mostraremos a existência, através o métoo e Faeo-Galerkin, a uniciae e ecaimento exponencial e soluções para a equação com issipação friccional. Já no capítulo 3, mostraremos a existência, também usano o métoo e Faeo-Galerkin, a uniciae, e o ecaimento exponencial e soluções para a equação com amortecimento interno o material o tipo Kelvin-Voigt. vii

10 Capítulo 1 Funamentos Apresentaremos aqui alguns resultaos já conhecios e espaços L p, espaços e Sobolev, e teoria as istribuições, os quais serão funamentais para as emonstrações os nossos resultaos. Provaremos alguns estes resultaos e apenas inicaremos one se encontra a emonstração os emais. Omitiremos alguns conceitos básicos e análise funcional, como espaços métricos, espaços normaos, sequências e Cauchy, entre outros. 1.1 Algumas esigualaes e espaços e Hilbert A seguir, veremos algumas as esigualaes que serão usaas urante o trabalho e lembraremos um pouco sobre espaços e Hilbert. Proposição 1.1 (Desigualae e Young) Sejam p, p 1 expoentes conjugaos, ou seja, = 1. Então para quaisquer números reais positivos a e b, temos que: p p ab 1 p ap + 1 p bp Prova: Se a = ou b =, naa a provar. Suponhamos que a e b, então temos: ab = e lna e lnb = e 1 p lnap.e 1 p lnb p = e 1 p lnap + 1 p lnb p. 1

11 1.1 Algumas esigualaes e espaços e Hilbert Por ser, a função f(x) = e x, uma função convexa, temos que ab 1 p ap + 1 p b p. Proposição 1. (Desigualae e Cauchy-Schwarz) Seja V um espaço com prouto interno, e sejam x, y V. Então, (x, y) x. y Demonstração: Para too α R, temos que: (αx + y, αx + y), isto é, α (x, x) + α(x, y) + (y, y), Consiere o lao esquero como uma função quarática em orem e α, ele tem sinal sempre, então o iscriminante é sempre e assim, obtemos que: 4(x, y) 4(x, x)(y, y), ou seja, logo, (x, y) (x, x)(y, y), < x, y > x y. Lema 1 (Desigualae e Gronwall) Sejam ω, α e f funções reais contínuas, tais que, para too t t, f e ω(t) α(t) + t t f(s)ω(s)s,

12 1.1 Algumas esigualaes e espaços e Hilbert 3 então ω(t) α(t) + t t f(s)α(s)e t s f(τ)τ s, em particular, se α(t) = C, one C é uma constante, temos que: ( t ) ω(t) C exp f(s)s. t Demonstração: t Seja g(t) = f(s)ω(s)s, então (g(t)) = f(t)ω(t) e, a hipótese e f e t t ω(t) α(t), temos Logo, (g(t)) = f(t)ω(t) f(t)α(t) + f(t)g(t). t t [g(t)e A(t) ] f(t)α(t)e A(t), one (A(t)) = f(t). Então, integrano e a t, temos: t e a hipótese, segue que g(t)e A(t) t ω(t) α(t) + e A(t) t t f(s)α(s)e A(s) s, t f(s)α(s)e A(s) s, o que implica o resultao. No caso que α(t) = C constante, basta utilizar ( t ) f(s) exp f(τ)τ = s ( t ) exp f(τ)τ. s s Aqui lembramos a efinição e algumas proprieaes e um espaço e Hilbert. Definição 1.1 (Espaços e Hilbert) Um espaço e Hilbert, é um espaço vetorial H otao e um prouto escalar (u, v) e que é completo para a norma u H := (u, u) 1.

13 1.1 Algumas esigualaes e espaços e Hilbert 4 Um exemplo funamental e espaço e Hilbert é o espaço L que será efinio no próximo capítulo com o prouto escalar ao por: (u, v) := u(x)v(x)x. Ω Como se poe ver em [], too espaço e Hilbert separável amite uma base Hilbertiana, ou seja, se H é um espaço e Hilbert separável, então existe uma sequência (e n ) e elementos e H, tais que: e n H = 1 para too n, (e n, e m ) = para too m, com m n, seno que o espaço vetorial gerao por (e n ) é enso em H. Teorema 1 (Teorema e Representação e Riesz para espaços e Hilbert) Seja H um espaço e Hilbert. Daa φ H, existe um único f H tal que: < φ, v >= (f, v) para too v H, Além isso, f H = φ H. Demonstração: Ver [] página 81. Teorema (Desigualae e Bessel) Seja X um espaço com prouto interno e (e j ) j=1 uma sequência ortonormal em X. Então para too x X, (x, e j ) x. j=1 Esta esigualae é chamaa esigualae e Bessel e os proutos internos (x, e j ) são chamaos coeficientes e Fourier e x relativamente a (e j ) j=1. Prova: Consiere y n = ( ) 1 n j=1 (x, e j)e j, então, y n H = j=1 (x, e j). Logo, pela esigualae e Cauchy-Schwarz, temos que: (y n, x) x. y n e assim, ou seja, (x, e j ) x X.( (x, e j ) ) 1, j=1 j=1 (x, e j ) x. j=1

14 1. Espaços L p 5 Teorema 3 Existe uma base Hilbertiana (e j ) j 1 e L (Ω) e existe uma sequência (λ j ) j 1 e números reais tal que e j H(Ω) 1 C (Ω), e j = λ j e j em Ω Diz-se que os (λ j ) são os valores próprios e (com conição e Dirichlet) e que as (e j ) são funções próprias associaas. Demonstração: Ver [] página Espaços L p Nesta seção, Ω enota um subconjunto aberto e R n otao a meia e Lebesgue. Usaremos termos a teoria a meia, como função integrável, função mensurável, igualae e esigualae em quase too ponto e conjuntos e meia nula. Definição 1. Seja p R, com 1 p < ; efinimos L p (Ω) := {u : Ω R; u é mensurável e Ω u(x) p < }, com a norma aa por ( ) 1 p. p = u(x) x Ω e, para p =, efinimos L (Ω) = {u : Ω R; tal que u é mensurável e existe uma constante C tal que u(x) C para quase too ponto em Ω}, com a norma aa por u = inf {C; u(x) C q.t.p. em Ω}, ou seja, u := sup ess u(x) = inf{c; u(x) C q.t.p em Ω}. x Ω Teorema 4 Os espaços L p (Ω), com 1 p são espaços e Banach. Demonstração: Veja [] página 57. Observação: Dizemos que uas funções em L 1 (Ω) são iênticas, se elas são iguais em quase too ponto.

15 1. Espaços L p 6 Teorema 5 (Teorema e Fubini) Suponhamos que u L 1 (Ω 1 Ω ), então para quase too x Ω 1, temos que: F (x, y) L 1 y(ω ) e F (x, y)y L 1 x(ω 1 ) e, para Ω quase too y Ω, temos que: F (x, y) L 1 x(ω 1 ) e F (x, y)y L 1 y(ω ). Além Ω 1 isso, verifica-se que: ( ) ( ) F (x, y)y x = F (x, y)x y = F (x, y)xy Ω Ω 1 Ω 1 Ω Ω 1 Ω Demonstração: Ver [4], página 38. Teorema 6 (Desigualae e Höler) Sejam u L p (Ω) e v L p (Ω), com 1 p e 1 p + 1 p = 1. Então uv L 1 (Ω) e Demonstração: Ω uv x u p v p. (1.1) Se p = 1, temos que p =, então basta observar que u(x)v(x) x v u(x) x. Ω Para p > 1, a esigualae e Young temos que αβ αp p + βp p, α, β, Ω logo supono que u L p (Ω) e v L p (Ω), com u p e v p α = u(x) e β = v(x) na esigualae e Young, chegamos à u p v p e tomano integrano em Ω, temos u(x)v(x) u p v p 1 u p v p Ω u(x) p p u p p + v(x) p p v p p u(x)v(x) x 1 p + 1 p = 1. Segue que uv é integrável e vale (1.1).

16 1.3 Distribuições 7 Teorema 7 (Teorema e Representação e Riesz para espaços L p ) Sejam 1 < p < e φ L p. Então, existe u L p único tal que < φ, f >= uf f L p (Ω). Além isso se verifica u L p = u (L p ) Demonstração: Ver [], página Distribuições Imersão Sejam V e H espaços e Hilbert com normas. V e. H respectivamente. Suponha que V H. Seja aina, τ : V H a injeção canônica e V em H, que a caa vetor v V faz corresponer τv como um elemento e H. Diz-se que o operaor linear τ é o operaor e imersão τ e V em H. Diz-se que a imersão τ : V H e contínua, quano existe um K > tal que: v H K v V. Diz-se que a imersão τ : V H é compacta, quano a imagem os conjuntos limitaos e V, por τ, são conjuntos relativamente compactos e H, isto é, conjuntos cujo o fecho é compacto em H. Espaço e funções testes Seja α = (α 1, α,..., α n ) N n, enotemos por D α = α α 1 x 1 α x... αn x n, one α = α 1 + α α n o operaor e erivação e orem α.

17 1.3 Distribuições 8 Se u é uma função mensurável sobre Ω e (ω i ) i I é a familia e toos subconjuntos abertos e Ω, tal que u = q.t.p em caa ω i, temos que u = q.t.p. em ω = i I ω i, e o suporte e u (suppu) é efinio como o subconjunto fechao suppu = Ω \ ω. Se u for uma função contínua, então: suppu = {x Ω; u(x) }. Dizemos que uma função u tem suporte compacto em Ω, se existir K Ω compacto tal que suppu K. Representa-se por C c (Ω) o espaço vetorial as funções reais efinias em Ω, com suporte compacto e erivaas parciais e toas as orens. Em C c (Ω) consiera-se a seguinte noção e convergência: Uma seqüência e funções (ϕ n ) n N converge para zero em C c (Ω) quano: (i) Toas as ϕ n possuem suportes contios em um compacto fixo K e Ω; (ii) A seqüência (ϕ n ) n N converge para zero uniformemente em K, juntamente com suas erivaas e toas as orens. Seja ϕ C c (Ω). Dizemos que (ϕ n ) n N converge para ϕ em C c (Ω) se (ϕ n ϕ) n N converge para zero como efinio acima. Denotamos por D(Ω) o espaço C c (Ω), munio esta noção e convergência. Chamamos D(Ω) e espaço as funções testes. Exemplo 1.1 A função ρ : R n R efinia por: ( ) exp 1 se x < 1 1 x ρ(x) = se x 1 pertence a D(R n ), e supp u = {x R n ; x 1}. Teorema 8 O espaço C c (Ω) é enso em L p (Ω) para 1 p <.

18 1.3 Distribuições 9 Demonstração: Veja [] página 71. Definição 1.3 (Distribuição) Uma istribuição sobre Ω, é uma forma linear T sobre D(Ω) que é contínua no sentio a convergência efinia em D(Ω), isto é, uma função T : D(Ω) R (i) T (αϕ + βψ) = αt (ϕ) + βt (ψ), α, β R e ϕ, ψ D(Ω); (ii) Se (ϕ n ) n N converge para ϕ em D(Ω) então (T (ϕ n )) n N converge para T (ϕ). Representamos por T, ϕ a istribuição T em ϕ, e por D (Ω) o espaço vetorial as istribuições sobre Ω. Dizemos que (T n ) n N converge para T em D (Ω), quano a seqüência ( T n, ϕ ) n N converge para T, ϕ em R para toa ϕ D(Ω). A notação L p loc (Ω) será usaa para esignar o espaço vetorial L p loc (Ω) = {f : Ω R; f Lp (K) K compacto K Ω}. Poe-se comprovar sem ificulaes que L p (Ω) L 1 loc (Ω), para too p 1. Exemplo 1. Se u L 1 loc (Ω), então a forma linear T u efinia em D(Ω) por Tu, ϕ = u(x)ϕ(x) x, ϕ D(Ω), é uma istribuição. Ω Prova: Como caa ϕ possui suporte compacto em Ω, esta integral existe, logo T u está bem efinia. Além isso, T u é univocamente eterminaa por u. Como T é aa por uma integral, é linear, logo para provar que é uma istribuição basta emonstrar que é contínua. T u, ϕ Ω u(x) ϕ(x) x (max ϕ(x) ) u(x) x, x K K isto é, T u, ϕ C(max ϕ(x) ). (1.) x K

19 1.3 Distribuições 1 Logo se (ϕ n ) n N converge para ϕ em D(Ω), para too δ > existe um compacto fixo K Ω e n N, tal que se n > n = max x K ϕ(x) ϕ n(x) < δ. Tomano δ = ε C, a relação (1.) temos que ao ε >, se n > n T u, ϕ T u, ϕ n C(max x K ϕ n(x) ϕ(x) ) < C ε C = ε. Lema (Du Bois Raymon) Se u L 1 loc (Ω), então T u =, se e somente se u = q.t.p. em Ω. Demonstração: Veja [9] página 1. Exemplo 1.3 Seja x Ω, então a forma linear δ x efinia por δx, ϕ = ϕ(x ), ϕ D(Ω), é chamaa e istribuição e Dirac concentraa em x. A istribuição δ x não é efinia por uma função u L 1 loc (Ω). De fato, seja u L1 loc (Ω), suponha que u(x)ϕ(x) x = ϕ(x ) = δ x, ϕ, ϕ D(Ω), Ω logo se ϕ D(Ω) temos que ϕ(x) = x x ϕ(x) D(Ω), então u(x) x x ϕ(x) x = u(x) ϕ(x) x = ϕ(x ) = ϕ D(Ω), Ω Ω e pelo Lema e Du Bois Raymon, u(x) x x = q.t.p. em Ω, o que implica que u(x) = q.t.p. em Ω, isto é, δ x =, contraição. Definição 1.4 (Derivaa e uma Distribuição) Consiere T D (Ω) e α N n. A erivaa e T e orem α é a istribuição representaa por D α T, efinia em D(Ω) por D α T, ϕ = ( 1) α T, D α ϕ, ϕ D(Ω).

20 1.4 Espaços e Sobolev 11 Exemplo 1.4 (Função Heavisie) A função efinia a seguinte forma: u(x) = 1 se x > e u(x) = se x <, é chamaa e função Heavisie. Ela pertence a L 1 loc (R), mas sua erivaa no sentito as istribuições é u, ϕ = u, ϕ = ϕ (x)x = ϕ() = δ, ϕ, logo u = δ não pertence a L 1 loc (R). Este fato motiva a efinição os espaços e Sobolev, uma classe e espaços e Banach muito importante no estuo que segue este trabalho. 1.4 Espaços e Sobolev Nesta seção introuzimos os espaços e Sobolev, e algumas proprieaes que serão usaas posteriormente. Como visto na seção anterior, se u L p (Ω), 1 p, então u possui erivaa e toas as orens no sentio as itribuições, porém sua erivaa também chamaa e erivaa fraca, não é em geral uma istribuição efinia por uma função e L p (Ω). Definição 1.5 Seja 1 p. Definimos o espaço e Sobolev W 1,p (Ω) por: W 1,p (Ω) = {u L p (Ω); v 1, v,..., v n L p (Ω); tal que u ϕ x = v i ϕ x, ϕ D(Ω) i = 1,,..., n}. x i Ω Notação: u x i = v i, i = 1,,..., n. Ω Com a norma aa por u W 1,p = u p + n u x i, p i=1 ou a norma equivalente ( u W 1,p = u p p + n ) p 1/p u x i. i=1 p

21 1.4 Espaços e Sobolev 1 Para p =, temos que { u W 1, = max u, u x 1, u x,..., u x n }. ou, u W 1, = u + n u x. i=1 Proposição 1.3 O espaço W 1,p, para 1 p com as normas acima efinias é um espaço e Banach. Demonstração: Veja [] página 11. No caso em que u W 1,p (Ω), temos v i = u x i e u = Denotamos com H 1 (Ω) = W 1, (Ω). ( u, u,..., u ). x 1 x x n O espaço H 1 (Ω) é um espaço e Hilbert com o seguinte prouto interno (u, v) H 1 = (u, v) + n i=1 ( u, v ). x i x i Definição 1.6 (O espaço W 1,p (Ω)) Seja 1 p < ; efinimos Denotamos com H 1 (Ω) = W 1, (Ω). W 1,p (Ω) := C c (Ω) em W 1,p (Ω). Teorema 9 Suponha Ω e classe C 1, tal que u W 1,p (Ω) C(Ω), com 1 p <, então são equivalentes as seguintes afirmações: (i) u = sobre Ω; (ii) u W 1,p (Ω). Os elementos e W 1,p (Ω), são as funções e W 1,p (Ω) que se anulam na fronteira e Ω.

22 1.4 Espaços e Sobolev 13 Demonstração: Veja [] página 17. Teorema 1 Seja Ω e classe C 1. Se u L p (Ω) com 1 < p <. Então as seguintes proprieaes são equivalentes: (i) u W 1,p (Ω); (ii) Existe uma constante C, tal que u ϕ x x i C ϕ p ϕ D(Ω), i = 1,..., n ; Ω (iii) A função u(x) = neste caso u x i = u x i. Demonstração: Veja [] página 153. u(x) se x Ω se x R n \ Ω, pertence a W 1,p (R n ) e Como conseqüência este teorema, temos um resultao muito importante, que será utilizao com freqüência neste trabalho. Corolário 1.1 (Desigualae e Poincaré) Seja Ω aberto e limitao em R n. Então existe uma constante C (epeneno somente e Ω e p) tal que Prova: Ver [], página 134. u p C u p u W 1,p (Ω) (1 p < ). A expressão u p é uma norma equivalente à norma u W 1,p. Em H 1 (Ω), efinimos o seguinte prouto interno (u, v) H 1 := Ω u v x que inuz a norma u L equivalente à norma u H 1. Traço e funções e W 1,p (Ω) Uma função típica u em W 1,p (Ω) em geral, não é contínua, e além isso, está efinia somente em Ω e por isso, é necessário fazer uma efinição precisa o que se entene

23 1.4 Espaços e Sobolev 14 por restrição e u à fronteira e Ω. Visto que a fronteira e Ω tem meia e Lebesgue n-imensional nula, não existe um métoo ireto para que possamos ar uma expressão a restrição e u à fronteira e Ω. Este problema é resolvio pela noção e operaor traço. Teorema 11 (Teorema o traço) Sejam Ω um conjunto limitao Ω e classe C 1 e 1 p <. Então, existe um operaor linear limitao T : W 1,p (Ω) L p (Ω) tal que T u = u Ω, se W 1,p (Ω) C( Ω) e T u L p ( Ω) C u W 1,p (Ω) para caa u W 1,p (Ω), com a constante C epeneno somente e p e e Ω. Demonstração: Ver [3], página 58. Teorema 1 (Fórmula e Green) Se u H (Ω) e w H 1 (Ω) Então, w ux = u wx w u ν Γ Ver [9], página 15. Ω Ω Γ Os Espaços W m,p (Ω). Seja m inteiro e 1 p. Definimos por recorrência os espaços e Sobolev W m,p (Ω) = { u W m 1,p u (Ω); W m 1,p (Ω) i = 1,,..., n } x i = { u L p (Ω); α N n com α m, v α L p (Ω), tal que ud α ϕ x = ( 1) α v α ϕ x, ϕ D(Ω) }. Ω Denotamos por v α = D α u. O espaço W m,p (Ω), munio a norma u W m,p = α m Ω u W m, = α m Ω D α u(x) p x 1 p se 1 p <, ou sup ess D α u(x), se p = x Ω

24 1.4 Espaços e Sobolev 15 é um espaço e Banach. Quano p = temos o espaço e Hilbert H m (Ω). Imersões e Sobolev. Estamos interessaos aqui na imersão os espaços e Sobolev W m,p (Ω). Temos três casos a consierar, mp < n, mp > n, e mp = n. Verifica-se então que W m,p (Ω) está imerso continuamente em L q (Ω), para um q especial, visto a seguir. Teorema 13 Seja m 1 e 1 p <. Verifica-se: Se mp < n, então W m,p (R n ) L q (R n ) para p q q one 1 q = 1 p m n ; Se mp = n, então W m,p (R n ) L q (R n ) q [p, [ ; Se mp > n, então W m,p (R n ) L (R n ). com imersões contínuas. Demonstração: Ver []. No caso em que Ω é um aberto e classe C 1, com fronteira Ω limitaa tem-se: Corolário 1. Sejam 1 p e Ω R n. Então Se 1 p < n, então W 1,p (Ω) L q (Ω) para p q q one 1 q = 1 p 1 n ; Se p = n, então W 1,p (Ω) L q (Ω) q [p, ) ; Se p > n, então W 1,p (Ω) L (Ω). com imersões contínuas. Demonstração: Ver []. Observação: Usaremos a notação Y X para esignar que o espaço Y está imerso continuamente em X. A seguir teremos outros espaços e Sobolev consistino e aplicações contínuas sobre espaços e Banach.

25 1.4 Espaços e Sobolev 16 Definição 1.7 Seja X um espaço e Banach real com norma. X. O espaço L p (, T ; X), com 1 p, consiste e toas as funções mensuráveis u : [, T ] X, com a norma aa por para 1 p < e ( u L p (,T,X) = ω(t) p X ) 1 p < u L (,T,X) = sup ess u(t) X < t T para p =. Em ambos os casos, L p (, T ; X) é um espaço e Banach. Quano p = e X é um espaço e Hilbert, então L (, T ; X) é um espaço e Hilbert, com o prouto escalar: (u, v) L (,T ;X) = (u(s), v(s)) X s Definição 1.8 Denotamos por C([, T ]; X) o espaço as funções contínuas u : [, T ] X com a norma: u C([,T ];X) := max t T u(t) X < Definição 1.9 (Distribuição Vetorial) Uma istribuição vetorial sobre (, T ), com valores em X, é uma aplicação linear contínua sobre D(, T ) com valores em X. Denotamos o espaço as istribuições vetoriais com L(D(, T ), X). Exemplo 1.5 Semelhante ao Exemplo 1., aa v L p (, T ; X), a aplicação efinia por Tv, ϕ = v(s)ϕ(s) s, ϕ D(, T ), é uma istribução vetorial. Analogamente a Definição 1.4, aa S L(D(, T ), X) efinimos sua erivaa e oren n por n S t n, ϕ = ( 1) n S, n ϕ t n, ϕ D(, T ),

26 1.4 Espaços e Sobolev 17 seno n S t n também uma istribuição vetorial. Dizemos que S i S em L(D(, T ), X) quano: Si, ϕ S, ϕ, ϕ D(, T ). Definição 1.1 Seja ω L p (, T, X). Se existe ψ L p (, T, X) tal que ω(t)ϕ (t)t = ψ(t)ϕ(t)t ϕ D(, T ). Então temos a erivaa fraca ω = ψ (erivaa no sentio as istribuições vetoriais) e efinimos o espaço e Sobolev W 1,p (, T, X), as funções ω L p (, T, X) tal que ω L p (, T, X), munio a seguinte norma ( ω W 1,p (,T ;X) := ω(t) p X + ω (t) p X t ) 1 p se 1 p <, ω W 1, (,T ;X) := sup ess( ω(t) X + ω (t) X ) se p =. 1 t T Teorema 14 Seja u W 1,p (, T ; X) para 1 p. Então u C([, T ]; X), sup u(t) X C u(t) W 1,p (,T ;X) one a constante C epene somente e T. t T Demonstração: Veja [3] página 86.

27 Capítulo Equação e Kirchhoff com Dissipação Friccional O objetivo este capítulo é mostrar que existe uma única função u = u(x, t), que seja solução o problema e equação e ona não linear o tipo Kirchhoff com amortecimento, governaa pela equação: u tt (x, t) M( u(x, t) ) u(x, t) + δu t (x, t) = em Ω [, [; (.1) satisfazeno as conições e fronteira e as conições iniciais u(x, t) = em Γ [, [; (.) u(x, ) = u o (x), u t (x, ) = u 1 (x) em Ω, (.3) em um omínio Ω, subconjunto aberto e limitao e R n, com fronteira suave Ω enotaa por Γ, δ um número real positivo e M(s) é uma função contínua em [, [, tal que M(s) α + βs com α, β >, para too s, enota o operaor e Laplace ao por = m i=1, t é a variável e tempo, u x e u 1 são funções aas. i Além a existência e uniciae, estuaremos também a estabilização exponencial o problema (.1)-(.3). Em outras palavras, explicitaremos formas o ecaimento exponencial e energia a solução este problema, por um métoo ireto. 18

28 .1 Existência e Uniciae 19 Quano não houver confusão usaremos a notação u(t), ou simplesmente u no lugar e u(x, t). Para simplificar a leitura o texto, algumas vezes enotaremos com o mesmo símbolo C significano em momentos iferentes, constantes iferentes as quais não epenem a solução a equação. E enotaremos com C δ constantes iferentes em momentos iferentes, porém epeneno o parâmetro δ..1 Existência e Uniciae Nesta seção, estuamos a existência e uniciae e solução para o problema (.1) (.3) e iniciaremos nosso estuo provano a existência. Para introuzir formalmente o conceito e solução fraca o problema (.1) (.3), multiplicamos a equação (.1) por w H 1 (Ω) e integramos em Ω para obtermos (u tt, w) M( u )( u, w) + δ(u t, w) =, one (, ) inica o prouto interno em L (Ω). Usano a fórmula e Green e as conições e fronteira, obtemos: (u tt, w) + M( u )( u, w) + δ(u t, w) =. (.4) Esta formulação variacional nos permite efinir uma solução fraca para o problema (.1) (.3). Definição.1 (Soluções fracas) Daas u H 1 (Ω), u 1 L (Ω), uma solução fraca para o problema (.1) (.3), é uma função u : Ω [, [ R, nos espaços u L (, T ; H 1 (Ω)); u t L (, T ; L (Ω)); u tt L (, T ; H 1 (Ω)); (.5) satisfazeno a equação (u t t, w) + M( u )( u, w) + δ(u m t, w) = w H(Ω) 1 (.6) no sentio e D (, T ); e as conições iniciais u(x, ) = u o (x), u t (x, ) = u 1 (x) em Ω. (.7)

29 .1 Existência e Uniciae Definição. (Soluções fortes) Daas u H(Ω) 1 H (Ω), u 1 H(Ω) 1 e [ ] B u1 + u < δ, β α então uma solução forte para o problema (.1) (.3), é uma função u : Ω [, [ R, nos espaços u L (, T ; H 1 (Ω) H (Ω)); u t L (, T ; H 1 (Ω)); u tt L (, T ; L (Ω)); (.8) satisfazeno a equação e as conições iniciais u tt M( u ) u + δu t = em Ω [, [; (.9) u(x, ) = u o (x), u t (x, ) = u 1 (x) em Ω. (.1) A seguir enunciaremos um teorema que garante a existência e solução o sistema (.1) (.3). Teorema 15 Se u H 1 (Ω), u 1 L (Ω), então existe uma função u = u(x, t), solução fraca para o problema (.1) (.3). Além isso, se u H(Ω) 1 H (Ω), u 1 H(Ω) 1 e [ ] B u1 + u < δ, (.11) β α então esta solução é forte. Aqui B é efinio por (.14) Demonstração: Na emonstração será usao o métoo e Faeo-Galerkin, que consiste em aproximar o problema o teorema 15 por problemas análogos em imensão finita. Para fixar iéias, introuziremos algumas notações que serão usaas urante a prova o teorema. Denotemos por ˆM(σ) uma primitiva e M(σ) aa por: ˆM(σ) = σ M(s)s (.1)

30 .1 Existência e Uniciae 1 Definimos a energia associaa ao sistema (.1) (.3) por: E(t) = 1 ( ) u t + ˆM( u ), (.13) e sejam B = max{ M (s) ; s s } (.14) e B 1 = max{m(s); s s }, one s = E() α. (.15) O espaço H 1 (Ω) é um espaço e Hilbert separável, logo, ele possui uma base e Hilbert enumerável, ou seja, existe uma seqüencia e funções (w j ), w j H 1 (Ω) para too j, satisfazeno: Para caa m, o conjunto e vetores {w 1, w,..., w m } é linearmente inepenente; As combinações lineares finitas os w j são ensas em H 1 (Ω). Em particular, consieraremos o conjunto e autofunções {w 1, w,..., w m,...} o operaor, pois, sabe-se que este conjunto forma uma base o espaço H 1 (Ω) nas conições acima escritas. Problema Aproximao Seja V m o subespaço e H(Ω) 1 gerao pelas primeiras m autofunções {w 1, w,..., w m } o operaor com autovalores associaos (λ j ) para o autovetor (w j ). O problema aproximao consiste em encontrar uma função u m (t) = m g jm (t)w j V m, j=1 para t [, T m [, satisfazeno: (u m tt, w) + M( u m )( u m, w) + δ(u m t, w) =, w V m ; (.16)

31 .1 Existência e Uniciae u m (x, ) = u m (x), one u m (x) = m j=1 ( u, w j ) w j w j (x); (.17) u m t (x, ) = u m 1 (x), one u m 1 (x) = m j=1 (u 1, w j ) w w j j (x). (.18) De (.17) e (.18), obtemos que u m (x) u (x) em H(Ω) 1 e u m 1 (x) u 1 (x) em L (Ω). A existência e solução para o sistema aproximao (.16) (.18), que é na verae um sistema e equações iferenciais orinárias, poe ser encontraa em [8], one se garante além a existência, a uniciae e solução num intervalo maximal [, T m [. A seguir, obteremos estimativas a priori para as soluções aproximaas u m (x, t), que nos permitirão extener estas soluções para too t e obteremos subseqüências cujo limite é caniato a ser solução o sistema (.1) (.3). Primeira Estimativa Como o problema aproximao (.16) (.18) é válio para too w V m, tomamos m w = u m t, pois, u m t = g jm(t)w j V m. Temos: j=1 (u m tt, u m t ) + M( u m )( u m, u m t ) + δ(u m t, u m t ) =. Como (u m tt, u m t ) = 1 t um t e ( u m, u m t ) = 1 t ( um ), temos: 1 t um t + M( u m ) 1 t ( um ) + δ u m t =. Lembrano que ˆM é uma primitiva e M, temos: 1 t um t + 1 t ˆM( u m ) + δ u m t =. Dessa forma chegamos às seguintes conições [ 1 ( u m t t + ˆM( u m ) )] +δ u m t =.

32 .1 Existência e Uniciae 3 Seja E m (t) = 1 ( u m t + ˆM( u m ) ), substituino na equação anterior, temos: t Em (t) + δ u m t =. Integrano e a t em ambos os laos, one t [, T m [, temos: E m (t) + δ t u m t s E m (). Pela esigualae e Bessel, E m () E(), logo E m (t) + δ t u m t s E m () E() para too t [, T m [. Esta limitação nos permite concluir que T m =. Para isso, usamos a teoria o Potencial introuzia por Sattinger e Payne em [1] e [11], one a E m (t) satisfaz uma as uas proprieaes: T m = + ou T m < e lim t Tm E m (t) = +. A notação t T m significa, quano t tene a T m pela esquera. Obtemos então, a primeira estimativa a priori E m (t) + δ u m t E() para too t [, T ], T. (.19) Seguna Estimativa Esta estimativa será feita para provar a existência e solução forte o problema j=1 (.1) (.3). Aqui suporemos que u H(Ω) 1 H (Ω), u 1 H(Ω))e 1 [ ] B u1 + u < δ. (.) β α n n Temos que u m t = g jm (t)( w j ) = g jm (t)(λ j w j ) V m, one λ j é o autovalor o operaor associao a w j. Então, na equação aproximaa (.16), tomamos w = u m t e temos que: (u m tt, u m t ) + M( u m )( u m, ( u m t )) + δ(u m t, u m t ) =. j=1

33 .1 Existência e Uniciae 4 Usano a fórmula e Green e as conições e fronteira, temos ( u m tt, u m t ) + M( u m )( u m, u m t ) + δ( u m t, u m t ) =. Como ( u m tt, u m t ) = 1 t ( um t ) e ( u m, u m t ) = 1 t ( um ), segue que 1 t um t + M( u m ) 1 t um + δ u m t = e, por outro lao, [ ] M( u m t ) u m = 1 um t M( um ) + 1 M( um ) t um, substituino na equação anterior, obtemos [ ] 1 u m t + M( u m t ) u m +δ u m t = 1 um t M( um ). Definamos z m (t) = um t M( u m ) + um. (.1) Logo, na equação anterior, temos: ( ) M( u m t )(z m (t)) +δ u m t = u m t (M( um )) Agora, erivano M( u m )(z m (t)) em relação a t, temos: ( ) M( u m t )z m (t) = M( u m ) t zm (t) + z m (t) t M( um ). Assim, as uas equações anteriores, temos a igualae M( u m ) t zm (t) + z m (t) t (M( um )) = + u m t (M( um )) ou seja, δ u m t, M( u m ) t zm (t) = z m (t) t (M( um )) + u m t (M( um )) δ u m t.

34 .1 Existência e Uniciae 5 Pela efinição (.1), obtemos M( u m ) ( ) u t (zm (t)) = δ u m t m t M( u m ) t (M( um )). Seja Então, na equação anterior, temos γ m (t) = t (M( um )). (.) M( u m ) t (zm (t)) ( δ + γ m u m t (t)) M( u m ). (.3) A seguir faremos uma estimativa para γ m (t). Antes, obsevamos que [ ] ( u m ) 1 α + β u m 1 β Agora, erivano M( u m ) em relação a t, temos [ M( u m ) t (M( um )) = M ( u m )( u m, u m t ). Logo, por (.14) e pela esigualae e Cauchy-Schwarz, temos: t (M( um )) B(( um ) 1 ( u m t ) 1 Usano (.4), temos [ ] t (M( um )) M( u m B 1 ) ( u m β t ) 1. Pela efinição (.1), temos t (M( um )) [ ] M( u m 1 B ) (z m (t)m( u m β )) 1. 1 Multiplicano por obtemos que M( u m ) Agora vamos provar que β ] 1. (.4) γ m (t) B [ z m (t)] 1. (.5) β δ + γ m (t) < para too t. (.6)

35 .1 Existência e Uniciae 6 De fato, para t =, e (.1), por (.17) e (.18) temos que [ z m () B β ] 1 = B [ u m t () M( u m () ) + um () β ] 1 B β [ u m 1 α + u m ] 1 Pela esigualae e Bessel e por (.), temos que: [ z m () B β ] 1 B β [ u1 α + u ] 1 < δ (.7) Logo, e (.5), segue que: [ ] z γ m m 1 () () B < δ. (.8) β Suponhamos que (.6) não é vália para too t. Então, e (.8) e a continuiae e γ m (t), temos que existe t > tal que: γ m (t) δ para too t < t, γ m (t ) = δ. (.9) De (.3) e (.9), resulta que: z m (t ) z m () = De (.5) e (.8), obtemos que: t [ ] z γ m (t m 1 () ) B < δ, β t (zm (s))s. (.3) o que é uma contraição com (.9) e, portanto, (.6) é veraeira. Então, e (.3), (.6) e (.7), temos que Ou seja, ( ) δ z m (t) z m () β, B ( ) u m t (t) 1 δ M( u m (t) ) + um (t) ) β. (.31) B

36 .1 Existência e Uniciae 7 Da estimativa (.19) e a esigualae e Bessel, temos que u m (t) < E(). Logo, α por (.15), M( u m (t) ) B 1. Então, multiplicano (.31) por M( u m (t) ) obtemos a seguna estimativa a priori: u m t (t) + u m (t) C, para too t [, [. (.3) A seguir, usaremos as estimativas a priori (.19) e (.3) para provar a existência e solução para o problema (.1) (.3). De (.19), segue que para too T, u m é limitaa em L (, T ; H(Ω)) 1 e u m t é limitaa em L (, T ; L (Ω)). Portanto, pela compaciae fraca, existem subseqüências e (u m ) e (u m t ) que enotaremos com o mesmo ínice m, tais que u m u fraco estrela em L ((, T ); H(Ω)), 1 (.33) e também, u m t v fraco estrela em L ((, T ); L (Ω)). (.34) Agora vejamos que v = u t. De fato, e (.33) e teno em conta o Teorema e Representação e Riesz, temos que ( u m, ϕ)t ( u, ϕ)t para toa ϕ L 1 (, T ; H(Ω)). 1 Como H(Ω) 1 está imerso compactamente em L (Ω), temos também que (u m, ϕ)t (u, ϕ)t. (.35) para toa ϕ L 1 (, T ; H 1 (Ω)). H 1 (Ω) e φ C c (, T ) temos Então, tomano ϕ = wφ t (t) em (.35), com w (u m (t), wφ t (t))t = (u m (t), w)φ t (t)t (u(t), w)φ t (t)t. (.36)

37 .1 Existência e Uniciae 8 Por outro lao, e (.34), temos também que (u m t (t), ϕ(t))t (v(t), ϕ(t))t. para toa ϕ L 1 (, T ; L (Ω)). Consieremos ϕ = wφ(t), w H 1 (Ω) e φ C c (, T ) temos que ϕ L 1 (, T ; L (Ω)). Então, (u m t (t), w)φ(t)t (v(t), w)φ(t)t. (.37) Tomano o limite quano m e e (.36) e (.37), concluímos que Isto é, (u(t), w)φ t (t)t = (v(t), w)φ(t)t. (u(t)φ t (t), w)t = Pelo teorema e Fubini, temos ( ) ( (u(t)ϕ t (t)t, w = (v(t)φ(t), w))t ) (v(t)ϕ(t)t, w, para toa φ L 1 (, ; H 1 (Ω)). Então, como H 1 (Ω) é enso em L (Ω), temos que (u(t)ϕ t (t)t = (v(t)ϕ(t)t. para toa φ L 1 (, ; H 1 (Ω)). Portanto, v = u t e poemos concluir que u t L (, T ; L (Ω)). A seguir, provaremos que u é uma solução fraca para o problema (.1) (.3) e começaremos provano que u é solução a equação variacional (.6). Como u m é limitaa em L (o, T ; H (Ω) H 1 (Ω)) e u m t é limitaa em L (, T ; H 1 (Ω)), então a imersão compacta H (Ω) H 1 (Ω) H 1 (Ω), temos que u m C([, T ]; H 1 (Ω)), logo, u em u m (t) u(t) em C([, T ]), e por ser M uma função e classe C 1 ([, ); R), obtemos que M( u m ) M( u ) em C([, T ]).

38 .1 Existência e Uniciae 9 Logo, poemos passar o limite no termo não linear e obtemos: M( u m )( u m, w)t E aina, a convergência (.34) nos iz que δ (u m t, w)t δ Agora, para provar que u satisfaz a equação (.6), lembremos que M( u )( u, w)t. (.38) (u t, w)t (.39) (u m tt (t), w) + M( u m (t) )( u m (t), w) + δ(u m t (t), w) =, para too w H 1 (Ω). Multiplicano por φ C c (, T ) e integrano e a T, temos (um tt (t), w)φ(t)t + M( um (t) )( u m (t), w)φ(t)t +δ (um t (t), w)φ(t)t =, w V m e φ D(, T ). Integrano por partes a primeira integral, temos que ou seja, (u m t (t), w)φ t (t)t + (u m t (t), w)φ t (t)t + M( u m (t) )( u m (t), w)φ(t)t +δ (u m t (s), w)φ(s)t =, M( u m (t) )( u m (t), w)φ(s)t = δ (u m t (t), w)φ(t)t. w V m e φ D(, T ). De (.38) e (.39), poemos tomar o limite quano m tene para o infinito, para obtermos (u t (t), w))φ t (t)t + M( u(t) )( u(t), w)φ(t)t = +δ (u t (t), w)φ(t)t. (.4)

39 .1 Existência e Uniciae 3 w V m e φ D(, T ). Seno t (u t (t), w) uma função e L (, T ), ela efine uma istribuição sobre (], T [) e logo, a equação (.4), temos que (u t (t), w(t))φ t (t)t = t (u t, w)φt, w V m t (u t, w)φt + M( u(t) )( u(t), w)φ(t)t = δ (u t (t), w)φ(t)t, e φ D(, T ). Então, [ ] t (u t, w) + M( u(t) )( u(t), w(t)) φ(t)t = δ (u t (t), w(t))φ(t)t, w V m e φ D(, T ). Seno m V m ensos em H 1 (Ω), conclui-se que a equação anterior é vália para toa w H 1 (Ω) e θ D(, T ). O que prova a equação (.6), ou seja, u satisfaz t (u t, w) + M( u(t) )( u(t), w(t)) + δ(u t (t), w(t)) =. Do fato e u m convergir fraco estrela para u em L (, T ; H 1 (Ω)) concluímos que u L ((, T ); H 1 (Ω)) e também, como u m t converge fraco estrela para u t em L (, T ; L (Ω)) segue que u t L ((, T ); L (Ω). O próximo passo é provar que u tt L (, T ; H 1 (Ω)). Sabemos que t (u t, w) M( u(t) )( u, w) + δ(u t, w) =. Multiplicano por φ D(Ω) e integrano e a T, temos ou seja, t (u t, w)φt + (u t φ t, w)t M( u(t) )( u, w)φt + δ M( u) )( uφ, w)t + δ (u t, w)φt =, (u t, w)φt =,

40 .1 Existência e Uniciae 31 logo, Daí, ( ) ( u t φ t t, w) = (M( u ) uφ δu t )φt, w. ( utt, w ) ( ) = M( u ) u δu t, w. Daí, obtemos que u tt = M( u ) u δu t. (.41) Como u L (, T ; H 1 (Ω)), u t L (, T ; H 1 (Ω)), então u L (, T ; H 1 (Ω), portanto u tt L (, T ; H 1 (Ω)). A seguir, vamos verificar que a função u satisfaz as conições iniciais. Começamos mostrano que u(x, ) = u (x). Seja φ C 1 ([, T ]; R) com φ(t ) = e φ() = 1, e w L (Ω) Como u m t fraco estrela em L (, T ; L (Ω)), temos que u t Integrano por partes, temos (u m, φw) T (u m t, φw)t (u t, φw)t. (u m, φ t w)t (u, φw) T (u, φ t w)t. Agora, como u L (, T ; H(Ω)) 1 e u t L (, T ; L (Ω)), o teorema (14) garante que u C([, T ]; L (Ω)), portanto, chegamos a (u m (), w) (u m, φ t w)t (u(), w) (u, φ t w)t. (.4) De (.46), temos que (u m ()) u forte em H(Ω), 1 logo u m () u forte em L (Ω)) e consequentemente, u m () u fraco em L (Ω)). Além isso, como (u m ) u fraco estrela em L ([, T ]; H(Ω)), 1 temos que (u m (), w) (u m, φ t w)t (u, w) (u, φ t w)t (.43)

41 .1 Existência e Uniciae 3 Da uniciaes os limites (.4) e (.43), obtemos que: (u(), w) = (u, w) e como w L (Ω) foi arbitrário, temos u(x, ) = u (x). Como queríamos. Agora, resta provar que u t (x, ) = u 1 (x). Seja φ C 1 ([, T ]; R) com φ() = 1 e φ(t ) =. Multiplicano a equação aproximaa (.16) por φ e integrano e a T, temos (u m tt, w)φt + Integrano por partes, temos M( u m )( u m, w)φt + δ (u m t, w)φt =. (u m t (), w) + (um t, φ t w)t + M( um )( u m, w)φt Tomano-se o limite quano m obtemos: (u 1, w) + (u t, φ t w)t + Por outro lao, pela equação (.41), temos: ( t (u t, φw)t + M( u )( u, w)φt + δ (M( u ) u, φw)t + δ para too w H 1 (Ω).Integrano por partes, temos: (u t, φw) T (u t, φ t w)t + para too w H 1 (Ω). Daí, (u t (), w) (u t, φ t w)t + +δ (um t, w)φt = (M( u ) u, φw)t + δ (M( u ) u, φw)t + δ (u t, w)φt =. (.44) (u t, φw) =, (u t, φw) =, para too w H 1 (Ω). Comparano as equações (.44) e (.45), temos que: e one concluimos que (u t (), w) = (u 1, w), para too w H 1 (Ω), u t () = u 1. (u t, φw) =,(.45)

42 .1 Existência e Uniciae 33 Portanto u satisfaz as conições iniciais. Agora, veremos que, se u H(Ω) 1 H (Ω), u 1 H(Ω) 1 e [ ] B u1 + u < δ, β α então u é uma solução forte o problema (.1) (.3). Da seguna estimativa, equação (.3), temos que, para too T : u m é limitaa em L (, T ; H 1 (Ω) H (Ω)) e u m t é limitaa em L (, T ; H 1 (Ω)). Portanto, pela compaciae fraca, existem subseqüências e (u m ) e (u m t ) que enotaremos com o mesmo ínice m, tais que: e também, u m u fraco estrela em L ((, T ); H 1 (Ω) H (Ω)) (.46) u m t u t fraco estrela em L ((, T ); H 1 (Ω)). (.47) Observe que anteriormente, já vimos que u é uma solução fraca o problema, e agora, estamos em um caso particular as soluções fracas e tuo que foi feito para essas soluções, continua válio, e segue que: u satisfaz a equação (.9), além isso, u satisfaz as conições iniciais. Resta agora, verificarmos que u tt L (, T ; L (Ω). Sabemos que u satisfaz a equação variacional t (u t, w) + M( u(t) )( u(t), w) + δ(u t (t), w) =. Multiplicano por φ C c (Ω) e integrano e a T, temos logo, Ou seja, (u tt, w)φt M( u(t) )( u, w)φt + δ (u t φ t, w)t + M( u) )( uφ, w)t + δ ( (u t, w)φt =. (u t, w)φt =. ) ( ) u t φ t t, w = M( u ) uφ δu t φ, w t.

43 .1 Existência e Uniciae 34 Daí, ( utt, w ) =( ) ( M( u ) u δu t φ, t. Logo, obtemos que u tt = M( u ) u δu t L (o, T ; L (Ω)), T. (.48) u tt L (, T ; L (Ω)). E, portanto, u é uma solução forte para a equação. A uniciae e solução é garantia pelo seguinte teorema. Teorema 16 Se u H(Ω) 1 H (Ω), u 1 H(Ω) 1 e [ ] B u1 + u < δ, β α então o problema (.1) (.3) tem uma única solução forte. Demonstração: Suponhamos que u 1 e u sejam uas soluções o problema (.1) (.3). Consieremos w(x, t) = u 1 (x, t) u (x, t). Dese que u 1 e u tenham os mesmos aos iniciais, segue que w (x) = e w 1 (x) =, para too x Ω. Então, temos que u 1 e u satisfazem respectivamente as seguintes equações: u 1 tt (M( u 1 ) u 1 + δu 1 t =. u tt (M( u ) u + δu t =. Subtraino a seguna a primeira equação, temos u 1 tt u tt M( u 1 )( u 1 u ) (M( u ) M( u 1 ) u +δ(u 1 t u t ) =. Substituino w = u 1 u, temos ( ) w tt M( u 1 ) w + δw t = M( u ) M( u 1 ) u.

44 .1 Existência e Uniciae 35 Multiplicano por w t e integrano em Ω, temos ( ) (w tt, w t ) M( u 1 )( w, w t ) + δ(w t, w t ) = M( u ) M( u 1 ) ( u, w t ). Usano a fórmula e Green e as conições e fronteira, temos que: (w tt, w t ) + M( u 1 )( w, w t ) + δ(w t, w t ) = ( ) M( u ) M( u 1 ) ( u, w t ). Como (w tt, w t ) = 1 ( w t t ) e ( w, w t ) = 1 t ( w ), segue que: 1 t ( w t ) + M( u 1 ) 1 t ( w ) + δ w t ( ) = M( u ) M( u 1 ) ( u, w t ). Na equação anterior, substituino ( ) 1 M( u 1 t ) w = M ( u 1 )( u 1, u 1 t )( w ) +M( u 1 ) 1 t ( w ), temos ( ) 1 w t + M( u 1 t ) w + δ w t ( ) = M( u ) M( u 1 ) ( u, w t ) +M ( u 1 )( u 1, u 1 t ) w. Pela esigualae e Cauchy-Sachwarz, temos que ( u 1, u 1 t ) u 1 u 1 t também que ( u, w t ) u w t. Logo, a equação anterior, segue que ( ) 1 w t t ) + M( u 1 ) w + δ w t ( ) M( u ) M( u 1 ) u w t +M ( u 1 ) u 1 u 1 t w. Por serem u 1 e u soluções fortes o problema (.1) (.3), segue a seguna estimativa, equação (.3) que u 1, u L (, T ; H (Ω) H 1 (Ω)) e u 1 t, u t L (, T ; H 1 (Ω)) para e

45 . Comportamento Assintótico 36 too T. Além isso, pelo fato e M ser uma função e classe C 1 ([, [), temos que M( u ), M( u 1 ) e M ( u 1 ) são limitaas, logo, temos que ( ) 1 w t ) + M( u 1 ) w C( w t + w ). t Como por hipótese M(s) α + βs, temos que M( u1 ) 1, logo, α ( ) 1 w t t ) + M( u 1 ) w +δ w t C( w t + 1 α M( u1 ) w ), aí, ( ( ) 1 w t t ) + (M( u 1 ) w )+δ w t C 1 w t + M( u 1 ) w. ( ) Denotano por I(t) = w t t ) + (M( u 1 ) w, pela esigualae e Gronwal, segue que: I(t) I()e C t. Como I() =, concluímos que w =, ou seja, u 1 = u. Portanto, a solução o problema (.1) (.3) é única.. Comportamento Assintótico Nesta seção, obtemos informações sobre o comportamento a energia associaa ao sistema (.1) (.3). One a energia o sistema é aa por: E(t) = 1 ( ) u t + ˆM( u ). (.49) Diferenciano E(t) com relação a t, temos que t E(t) = (u t, u tt ) + 1 M( u ) t ( u ), substituino u tt aa por (.1), obtemos t E(t) = (u t, M( u ) u δu t ) + 1 M( u ) t ( u ).

46 . Comportamento Assintótico 37 Logo, t E(t) = M( u )(u t, u) (u t, δu t ) + 1 M( u ) t ( u ). Usano a fórmula e Green e as conições e fronteira, obtemos: t E(t) = M( u )( u t, u) δ(u t, u t ) + 1 M( u ) t ( u ). Substituino ( u t, u) = 1 t ( u ), segue que: ou seja, t E(t) = 1 M( u ) t ( u ) δ u t + 1 M( u ) t ( u ), t (E(t)) = δ u t (.5) A relação acima mostra que a energia E(t) o sistema (.1) (.3) é uma função que ecresce com o tempo, evio à issipação friccional δu t e assim, E(t) E() (.51) para too t [, [, one E() = 1 ( ) u 1 + ˆM( u ) O teorema a seguir nos garante o ecaimento exponencial e energia e E(t). Teorema 17 Seja u = u(x, t) uma solução forte o sistema (.1) (.3). Então, a energia E(t) aa por (.49), satisfaz: E(t) NE()e µt, (.5) one N e µ são constantes positivas, epeneno somente o parâmetro δ. Demonstração: Para provar este teorema, usaremos o seguinte lema.

47 . Comportamento Assintótico 38 Lema 3 Para toa solução u = u(x, t) o sistema (.1) (.3), efinino o funcional e energia R(t) por: R(t) = (u, u t ) + δ u, (.53) temos (i) t (R(t)) u t K 1 K ˆM( u ), one K 1 = min{m(s); s [, K]} e K = max{m(s); s [, K]}, e além isso, R(t) satisfaz: (ii) R(t) C E(t) t, para alguma constante positiva C. Prova o lema Diferenciano R(t) em relação a t, temos t R(t) = (u, u tt) + (u t, u t ) + δ(u, u t ). Substituino u tt aa por (.1), segue que t R(t) = (u, M( u ) u δu t ) + (u t, u t ) + δ(u, u t ). Usano a fórmula e Green e as conições e fronteira, obtemos que ou seja, t R(t) = M( u )( u, u) δ(u, u t ) + (u t, u t ) + δ(u, u t ), t R(t) = M( u )( u ) + u t. Por outro lao, observe que: De (.51), segue que u K para too t e alguma constante K positiva e, como ˆM = s M(σ)σ, resulta que: ˆM(s) K K 1 M(s)s para too s [, K]. Portanto, temos que t R(t) u t K 1 K ˆM( u ).

48 . Comportamento Assintótico 39 Temos também que, R(t) = Ω u(t)u t (t)x + δ u, e pela esigualae triangular, chegamos a R(t) u(t)u t (t)x +δ u. Usano a esigualae e Holer, obtemos: Ω ( ) 1 ( ) 1 R(t) (u(t)) x (u t (t)) δ x + Ω Ω u. Pela esigualae e Young, temos que R(t) 1 u + 1 u t + δ ( ) 1 + δ u = u + 1 u t, ou seja, R(t) C δ ( u + u t ). Por outro lao, a esigualae e Poincaré, segue que R(t) C δ ( k u + u t ). Como ˆM( u ) α u, então R(t) C δ ( ˆM( u ) + u t ) C E(t). E, portanto, o lema está provao. Agora, usano o lema anterior, vamos provar o teorema (17). Definimos o funcional e energia e Lyapunov L(t) por para ε pequeno. Então, L(t) satisfaz L(t) = E(t) + εr(t) 1 E(t) L(t) 3 E(t) (.54)

49 . Comportamento Assintótico 4 e Com efeito, usano o lema anterior, temos t (L(t)) C L(t) (.55) C E(t) R(t) C E(t) multiplicano por ε, vem C εe(t) εr(t) C εe(t). somano E(t) em ambos os laos, temos que E(t) C εe(t) εr(t) + E(t) C εe(t) + E(t), ou seja, (1 C ε)e(t) L(t) (1 + C ε)e(t). Observe que, se fixarmos ε 1 C, então e (.54) está provaa. 1 E(t) L(t) 3 E(t) (.56) Por outro lao, erivano L(t) em relação a t, temos De (.5) e o lema anterior, resulta que ou seja, t L(t) = t (E(t)) + t (εr(t)). t L(t) δ u t + ε u t K 1 K ε ˆM( u ), t L(t) (δ ε) u t ε K 1 K ˆM( u ).

50 . Comportamento Assintótico 41 Então, para < ε δ, obtemos t L(t) δ u t δk 1 K ˆM( u ) então, seja ε = min{ 1, δ }, obtemos que C e também, vale (.56). Daí, t L(t) C 1E(t) t L(t) + C 1E(t) Assim, usano novamente (.56), temos que Seja µ = C 1. Então, e obtemos que t L(t) + C 1L(t). t (eµt L(t)) L(t) L()e µt. Usano novamente (??), temos que E(t) L(t) L()e µt 3E()e µt. De one obtemos que E(t) NE()e µt one N = 3 e µ = C 1. Conclusão: Se o termo e amortecimento δu t é introuzio, e, se as conições inicias são suficientemente pequenas e suficientemente suaves, então existe uma solução forte global e a energia e primeira orem esta solução ecai exponencialmente com o tempo.

51 Capítulo 3 Equação e Kirchhoff com Dissipação Interna o Tipo Kelvin-Voigt Nesta seção, analisamos a existência e uniciae e solução para o seguinte o problema governao pela equação: u tt M( u ) u δ u t =, em Ω [, [; (3.1) com as conições e fronteira u(x, t) = em Γ [, [; (3.) e as conições iniciais u(x, ) = u o (x) u t (x, ) = u 1 (x) em Ω. (3.3) Em um omínio Ω, subconjunto aberto e limitao e R n, com fronteira suave Ω = Γ, δ >, one M(s) é uma função contínua em [, [, tal que M(s) α+βs com α, β >, M (s) para too s, enota o operaor e Laplace ao por = m i=1, t x i é a variável e tempo e u e u 1 são funções aas. 4

52 3.1 Existência e Uniciae 43 Além a existência e uniciae, estuaremos também a estabilização exponencial o problema (3.1)-(3.3). Em outras palavras, explicitaremos formas o ecaimento exponencial e energia a solução este problema, por um métoo ireto. Quano não houver confusão usaremos a notação u(t), ou simplesmente u no lugar e u(x, t). Para simplificar a leitura o texto, algumas vezes enotaremos com o mesmo símbolo C significano em momentos iferentes, constantes iferentes as quais não epenem a solução a equação. E enotaremos com C δ constantes iferentes em momentos iferentes, porém epeneno o parâmetro δ. 3.1 Existência e Uniciae A próxima etapa consiste em provar a existência e solução. Começamos, com algumas efinições. Definição 3.1 (Soluções fracas) Se u H(Ω), 1 u 1 L (Ω), então, uma solução fraca para o problema (3.1) (3.3) é uma função u : Ω ], [ R, nos espaços u L (, T ; H 1 (Ω)); u t L (, T ; L (Ω)) L (, T ; H 1 (Ω)); u tt L (, T ; H 1 (Ω)); (3.4) satisfazeno a equação (u t t, w) + M( u )( u, w) + δ( u m t, w) = w H(Ω) 1 (3.5) no sentio e D (, T ); e as conições iniciais u(x, ) = u (x), u t (x, ) = u 1 (x) em Ω. (3.6) Definição 3. (Soluções fortes) Se u H 1 (Ω) H (Ω), u 1 H 1 (Ω), então, uma solução forte para o problema (3.1) (3.3) é uma função u : Ω ], [ R, nos espaços u L (, T ; H 1 (Ω) H (Ω)); u t L (, T ; H 1 (Ω)) L (, T ; H 1 (Ω)); u tt L (, T ; L (Ω)); (3.7)

53 3.1 Existência e Uniciae 44 satisfazeno a equação e as conições iniciais u tt M( u ) u δ u m t =, em Ω ], [; (3.8) u(x, ) = u o (x) u t (x, ) = u 1 (x) em Ω. (3.9) A seguir enunciaremos um teorema que nos garante a existência e solução o problema (3.1) (3.3). Teorema 18 Se u H(Ω), 1 u 1 L (Ω), então, existe uma solução fraca u para o problema (3.1) (3.3), e além isso, se u H(Ω) 1 H (Ω), u 1 H(Ω) 1 a solução u será forte. Observação: A iferença o capítulo anterior, é que aqui não precisamos que os aos iniciais sejam pequenos. Demonstração: A emonstração será análoga ao caso a emonstração o teorema 15 o capítulo anterior, usaremos também o métoo e aproximação e Galerkin. Durante a emonstração, usaremos as seguintes notações: Denotemos por ˆM(σ) uma primitiva e M(σ) aa por: ˆM(σ) = σ Definimos a energia associaa ao sistema por: M(s)s (3.1) E(t) = 1 [ u t + ˆM( u )], (3.11) e sejam B = max{m (s); s s } (3.1) e B 1 = max{m(s); s s }, one s = E() α. (3.13)

54 3.1 Existência e Uniciae 45 Problema Aproximao Seja V m o subespaço e H 1 (Ω) gerao pelas primeiras m autofunções {w 1, w,..., w m } o operaor com autovalores associaos (λ j ) para o autovetor (w j ). O problema aproximao consiste em eterminar u m = m j=1 g jmw j V m tal que: (u m tt, w) + M( u m )( u m, w) + δ( u m t, w) =, w V m ; (3.14) u m (x, ) = u m (x) em Γ ], [, One u m (x) = m j=1 ( u, w j ) w j w j (x); (3.15) u m t (x, ) = u m 1 (x) em Γ ], [, One u m 1 (x) = m j=1 (u 1, w j ) w w j j (x). (3.16) Sabemos que u m (x) u (x) em H(Ω) 1 e u m 1 (x) u 1 (x) em L (Ω). A solução o sistema aproximao (3.14) (3.16) que é um sistema e equações iferenciais orinárias poe ser encontraa em [8] one se garante além a existência, a uniciae e solução num intervalo maximal [, T m [. Agora obteremos as estimativas a priori que nos permitirão extener a solução o problema aproximao (3.1) (3.3) para too t e obteremos subsequências cujo limite é o canitao a ser solução o sistema (3.1) (3.3). Primeira Estimativa A equação (3.14) é vália para too w V m, e temos que u m t V m, pois, u m t = m g jm(t)w j. Então, no problema aproximao, fazeno w = u m t, temos: j=1 (u m tt, u m t ) + M( u m )( u m, u m t ) + δ( u m t, u m t ) = Como (u m tt, u m t ) = 1 t ( um t ) e ( u m, u m t ) = 1 t ( um ), temos: 1 t ( um t ) + M( u m ) 1 t ( um ) + δ( u m t, u m t ) =.