FAMAT em Revista

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1 FAMAT e Revisa Revisa Cienífica Elerônica da Faculdade de Maeáica - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG f e-ail: revisa@faa.ufu.br Núero 07 - Seebro de 006 Coiê Ediorial: Márcio José Hora Danas - Faa/UFU Valdair Bonfi - Faa/UFU Marcos Anônio da Câara - Faa/UFU Flaviano Bahia Paulinelli Vieira - Pea - Faa/UFU Weyder Orlando Brandão Junior - Pea - Faa/UFU Maria Luiza Maes - Daa - Faa/UFU

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3 Ediorial. O Coiê Ediorial da FAMAT e Revisa, co uia saisfação, ve disponibilizar à counidade acadêica o seu séio núero. A FAMAT e Revisa é a revisa elerônica da counidade acadêica da Faculdade de Maeáica da Universidade Federal de Uberlândia MG. A sua finalidade é proover a circulação de idéias, esiular o esudo da Maeáica e desperar a curiosidade inelecual dos esudanes e de odos aqueles que se ineressa pelo esudo de Maeáica. Gosaríaos de exernar nosso conenaeno co a aceiação de nossa revisa; a quanidade de arigos copleos de iniciação cienífica ve se anendo expressiva desde a erceira edição, o que oaos coo índice de nossos esforços, e prol do esudo de aeáica e de aneros ua revisa volada para os rabalhos de graduação, esão logrando cero êxio. E relação ao coneúdo do séio núero da revisa, fora conepladas as aividades desenvolvidas no prieiro seesre de 006 e pare do degundo seesre de 006. Abaixo, apresenaos de odo sucino, as diversas conribuições e aérias que copõe cada seção. E Arigos Copleos de Iniciação Cienífica, conaos co dez rabalhos uio ineressanes, odos desenvolvidos e projeos de Iniciação Cienífica orienados por professores da FAMAT. Se dúvida, a leiura dos esos irá enriquecer a foração de esudanes de aeáica. Na Seção Probleas e Soluções, apresenaos as resoluções de quaro probleas proposos no núero anerior. Alé disso, quaro novos desafiadores probleas são proposos nese núero. Na Seção Evenos, disponibilizaos aos nossos leiores ua lisa dos evenos ligados à aeáica a sere realizados no segundo seesre de 006. Daos paricular ênfase à realização da Seana da Maeáica que será realizada de à 5 de dezebro. Na Seção Reflexões sobre o Curso de Maeáica, eos u arigo do Coordenador do Curso de Maeáica, Prof. Valdair Bonfi, sobre o Processo Ensino- Aprendizage e sua relação co a já iplanada refora curricular. Creos que será uio insruivo para os nossos leiores. Na Seção E Sala de Aula eos u arigo do Prof. Luiz Albero Saloão e da aluna Mariana Raos Reis iniulado O Papel da Maeáica na Ópica. Ese arigo e enre seus objeivos o de desacar o papel da aeáica e alguns ponos do desenvolvieno da ciência. Tabé eos u arigo do Prof Eugênio Anônio de Paula e da aluna Laís Bássae Rodrigues sobre a Meodologia de Resolução de Probleas no Ensino da Maeáica. Na Seção Iniciação Cienífica e Núeros razeos ua descrição dos auais projeos de Iniciação Cienífica e de Ensino da FAMAT UFU desenvolvido por alunos do Curso de Licenciaura e Bacharelado e Maeáica.

4 Na Seção E o eu Fuuro Profissional, apresenaos ua enrevisa co o Prof. Cícero Fernandes de Carvalho, Coordenador do Curso de Mesrado e Maeáica da FAMAT. A Pós-Graduação se iniciará e janeiro do próxio ano e esperaos que al enrevisa esclareça uias das pergunas que e sido feias sobre o Mesrado. Na Seção Merece Regisro, desacaos as aividades e os faos que erecera desaque na FAMAT no período de abril a seebro de 006. Finalene, esperaos que os nossos leiores aprecie os rabalhos aqui publicados e lebraos que críicas e sugesões produivas são sepre be-vindas. Coiê Ediorial

5 Índice de Seções Seção : Trabalhos Copleos de Iniciação Cienífica 7 Seção : Probleas e Soluções 33 Seção 3: Evenos 39 Seção 4: Reflexões sobre o Curso de Maeáica 43 Seção 5: E Sala de Aula 53 Seção 6: Iniciação Cienífica e Núeros 87 Seção 7: E o eu Fuuro Profissional? 95 Seção 8: Merece Regisro 30

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7 FAMAT e Revisa Núero 07 - Seebro de Revisa Cienífica Elerônica da Faculdade de Maeáica - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG Trabalhos Copleos de Iniciação Cienífica PBIIC-FAPEMIG-UFU - Prograa de Bolsas Insiucionais de Iniciação Cienífica da Fundação de Aparo à Pesquisa do Esado de Minas Gerais PETMAT-UFU - Prograa de Educação Tuorial da Faculdade de Maeáica PIBIC-CNPq-UFU - Prograa Insiucional de Bolsas de Iniciação Cienífica do Conselho Nacional de Desenvolvieno Cienífico e Tecnológico PROMAT-UFU - Prograa Insiucional de Iniciação Cienífica e Monioria da Faculdade de Maeáica

8 Coiê Ediorial da Seção Trabalhos Copleos de Iniciação Cienífica do Núero 07 da FAMAT EM REVISTA: Márcio José Hora Danas (coordenador da seção) Valdair Bonfi Marcos Anônio da Câara Flaviano Bahia Paulinelli Vieira

9 Insruções para subissão de Trabalhos A Seção de Trabalhos de Iniciação Cienífica visa divulgar rabalhos que eseja associados a projeos cadasrados na(o) PBIIC-FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq / PROMAT ou IM-AGIMB e orienados por docenes da FAMAT. Trabalhos copleos e nível de iniciação cienífica dos prograas acia lisados subeidos para publicação na Revisa Elerônica Faa e Revisa esarão sujeios a apreciação pelo Coiê Ediorial responsável por essa seção de arigos e, se for o caso, por consulores ad hoc ligados à área ou subárea do rabalho. Caso se faça necessário, sugesões para o aperfeiçoaeno do rabalho serão dirigidas aos ineressados pelo Coiê Ediorial. Alé da redação clara e concisa que odo rabalho subeido à boa qualidade deve possuir, pede-se eviar o esilo árido e exreaene écnico caracerísico de alguas publicações aeáicas, não perdendo de visa que o público-alvo ao qual se desina a revisa é consiuído por alunos de graduação. Os rabalhos subeidos aé o final de u seesre leivo serão publicados na edição da revisa lançada no início do seesre leivo subseqüene. Quano às noras écnicas para subissão dos rabalhos: ) Forao do arquivo: PDF ) Taalho da Folha: A4 3) Margens:,5 c (porano, área ipressa: 6 c x 4,7 c) 4) Taanho de fone (lera): ponos (exceo íulos, subíulos, noas de rodapé, ec, que fica subeidos ao bo senso) 5) Espaçaeno enre linhas: Siples 6) Orienador(es), ipo de prograa e orgão de foeno (se houver) deve consar no rabalho. Envio: Por e-ail: revisa@faa.ufu.br

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11 Índice de Trabalhos Avaliação do Desepenho dos Graduandos de Engenharia Quíica nos Dois Prieiros Anos do Curso na UFU 3 Ródney Silva Abreu e Rogério de Melo Cosa Pino Propriedades das Soluções de Ua Classe de Siseas de Equações Diferenciais Ordinárias 8 Marcelo Lopes da Silva e Valdair Bonfi Prograação Linear e o Problea do Sisea de Transpore Coleivo de Uberlândia 34 Laís Bássae Rodrigues e Marcos Anônio da Câara U Texo sobre Curvas Paraerizadas no Plano 90 Laís Bássae Rodrigues e Edson Agusini Ua Caracerização dos Núeros Perfeios Pares 34 Karla Barbosade Freias, Sela Zuerle Soares e Cícero Carvalho Uso De Seivariograa Escalanado Para Coparar A Disribuição Espaço-Teporal Da Precipiação Anual No Esado De Minas Gerais 40 Herber Rezende De Siqueira, Joaqui Ferreira Vieira Neo, Ednaldo Carvalho Guiarães e Marcelo Tavares O Penagraa 5 Giselle Moraes Resende Pereira e Marcos Anônio da Câara Códigos Correores de Erros 60 Flaviano Bahia Paulinelli Vieira e Marcos Anônio da Câara Ua Análise Da Esabilidade Do Sisea Mecânico Pêndulo Duplo Planar 9 Carlos Henrique Tognon e Márcio José Hora Danas Esudos e Alguas Aplicações do Cálculo Avançado Alessandra Ribeiro da Silva e Lúcia Resende Pereira Bonfi

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13 Avaliação do desepenho dos graduandos de Engenharia Quíica nos dois prieiros anos do curso na UFU Ródney Silva Abreu Rogério de Melo Cosa Pino RESUMO Aravés de parâeros esaísicos, procurou-se idenificar se as reprovações e as evasões no Curso de Engenharia Quíica da UFU esava relacionadas co as Direrizes Curriculares do MEC ou co a Grade Curricular/FEQUI. Co esse odelo de análise descriiva, os índices de abandono do respecivo curso fora quanificados e as disciplinas que concenra alas axas de repeência fora deecadas. Dessa fora, observou-se que ocorre grande variação nos percenuais de reprovação enre as diversas disciplinas. Alé disso, cabe enfaizar o alo índice de reprovados por ausência nas aulas inisradas. Palavras-chave: Parâeros esaísicos; Analise descriiva; Taxas de repeência; Coneúdos curriculares.. INTRODUÇÃO Visando aner a qualidade dos cursos de graduação e objeivando apriorar o seu projeo pedagógico, é indispensável fazer u levanaeno siseáico e dealhado da sua realidade. Desse odo, orna-se necessário analisar os dados referenes à graduação de fora lógica e coerene a fi de se ober ua avaliação de coneúdos curriculares e dessa fora possibiliar subsraos para responder várias indagações: Qual a siuação aual do curso? Quais são os anos que concenrara as aiores axas de repeência? Qual a axa de desisência ou abandono do respecivo curso e onde ela auena? Quais são os faores relacionados a eses probleas? O sisea de avaliação dos cursos de graduação da UFU apresena deerinadas caracerísicas: para cada disciplina são disribuídos 00(ce) ponos, e núeros ineiros. Para ser aprovado, o aluno deve alcançar o ínio de 60 (sessena) ponos na soa das noas e 75% (seena e cinco por ceno) de freqüência às aulas e ouras aividades curriculares dadas. O plano de avaliação é pare inegrane do Plano de Ensino e deve ser apresenado pelo professor ao Colegiado de Curso, para aprovação, após a discussão co sua ura, aé 30 (rina) dias após o início do seesre ou ano leivo. À criério do Colegiado do Curso, nos cursos de regie anual, os alunos reprovados que aingire o ínio de 40 (quarena) ponos de aproveiaeno e 75% de freqüência poderão presar exaes de ª época, após 30(rina) dias do érino do ano leivo, desde que esse ipo de avaliação eseja previso, inclusive quano ao núero de reprovações, nas noras do curso. E hipóese algua, as aulas e ouras aividades curriculares inisradas poderão Bolsisa FAPEMIG\UFU; Acadêico do Curso de Engenharia Elérica da Universidade Federal de Uberlândia. Orienador; Professor da Faculdade de Maeáica da Universidade Federal de Uberlândia.

14 ser inferiores à carga horária da disciplina aprovada no CONGRAD (GUIA ACADEMICO 005). O Sisea de avaliação do Curso de Engenharia Quíica da UFU segue o regie anual de arícula por disciplina.. OBJETIVOS O principal objeivo do presene rabalho foi quanificar os índices de reprovação nas disciplinas relacionadas à Faculdade de Engenharia Quíica da Universidade Federal de Uberlândia (FEQUI-UFU). Alé do ais, procurou-se idenificar as possíveis falhas curriculares e apresenar sugesões plausíveis da probleáica reprovação. A pesquisa e caráer quaniaivo e não busca siplesene descrever o objeo, as desenvolver ua análise que conribua para ua leiura críica e fundaenada sobre o desepenho dos alunos. 3. MATERIAL E MÉTODOS A pesquisa foi realizada co dados coleados na Universidade Federal de Uberlândia (UFU), fornecidos pela DICOA Divisão de Conrole Acadêico e pelo DIRAC Divisão de Regisro e Acopanhaeno Acadêico referenes à reprovação, aprovação e evasão dos alunos no período copreendido enre 000 e 004. Fora uilizados os dados relacionados ao núero e percenual de alunos aprovados, dispensados, que rancara, e reprovados (ano por noa, fala, ou co RM). Para a análise dos dados foi uilizada a Análise de Coneúdo, que segue basicaene rês pólos cronológicos esabelecidos por BARDIN (977):. Pré-análise;. Exploração do aerial; 3. Traaeno dos resulados, inferência e inerpreação. As disciplinas avaliadas fora: FÍSICA GERAL 0; CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 0; GEOMETRIA ANÁLITICA E ALGEBRA LINEAR; QUÍMICA GERAL E INORGÂNICA; DESENHO TÉCNICO; INTRODUÇÂO Á ENGENHARIA QUÍMICA; CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 0; FÍSICA GERAL 0; PROCESSAMENTO DE DADOS; PROCESSOS QUÍMICOS INDUSTRIAIS; QUÍMICA ORGÂNICA; e FISICO-QUÍMICA. Eses dados obidos ê o oal de alunos ariculados e cada disciplina independene do período e que ingressou na insiuição. Foi realizada a esaísica descriiva dos dados (Cosa Neo, 00). Alé dos dados quaniaivos apresenados e gráficos, fora uilizadas edidas de endência cenral (edidas de posição), coo édia e ediana, e abé edidas de dispersão, coo apliude, variância, desvio padrão e coeficiene de variação coo osradas a seguir (VIEIRA, 988): MEDIA ARITMÉTICA n x i ˆ = x n i

15 VARIÂNCIA V(x) = DESVIO PADRÃO SQD N N N ( xi i x ) 5. RESULTADOS E DISCUSSÃO Minisrada no prieiro ano de graduação, observou-se que a disciplina FÍSICA GERAL 0 (EQQ0) e reduzido a porcenage de alunos reprovados desde 00, exceuando o desprezível aueno porcenual de reprovados de 000 para 00 (Figura 0). Alé disso, é explícia a queda brusca de reprovação por freqüência e 004 (Figura 0). Verifica-se que as reprovações por freqüência era expressivas aé 003, sendo que e 004 essas reprovações fora quase que exclusivaene por noa. REPROVADOS 6.0 % DE REPROVADOS TURMA Figura 0 Percenage de reprovados e FÍSICA GERAL 0. PORCENTAGEM 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% TIPO DE REPROVAÇÃO TURMA NOTA RM FREQÜÊNCIA Figura 0 Tipo de reprovação e FISICA GERAL 0: por ausência nas aulas; co requisio ínio, ou seja, enre 45% e 60% de aproveiaeno; e por noa, ou seja, enos de 45 % de aproveiaeno.

16 A disciplina CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 0 (EQQ 0) alcançou os aiores índices de reprovação das disciplinas fornecidas no prieiro ano (Figura 03), obendo na édia dos anos copreendidos enre 000 e 004 o nível de 37,5%. Cabe ainda desacar os alos índices de reprovação dessa disciplina (Figura 04). Verifica-se alo índice de reprovação por freqüência e abé por noa (Figura 04). REPROVAÇÃO % DE REPROVADOS TURMA Figura 03 Percenage de reprovados e CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 0. TIPO DE REPROVAÇÃO PORCENTAGEM 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% TURMA NOTA RM FREQÜÊNCIA Figura 04 Tipo de reprovação e CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 0: por ausência nas aulas; co requisio ínio, ou seja, enre 45% e 60% de aproveiaeno; e por noa, ou seja, enos de 45 % de aproveiaeno. A disciplina GEOMETRIA ANALÍTICA E ALGEBRA LINEAR (EQQ03), que é realizada concoianeene, eve u progressivo aueno de reprovações aé 003, aingindo paaares acia de 0% durane dois anos consecuivos (Figura 05). E relação ao ipo de reprovação, verifica-se ala reprovação por noa, principalene e 00, e por freqüência (Figura 06). Observa-se que essa disciplina segue o eso padrão das

17 reprovações da disciplina CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 0, ou seja, apresena alos índices de reprovações. Observa-se abé ua ala desisência dos alunos, pois a porcenage de reprovações por freqüência é ala. REPROVAÇÃO 5 % DE REPROVADOS TURMA Figura 05 Percenage de reprovados e GEOMETRIA ANALÍTICA E ALGEBRA LINEAR. 00% 90% 80% TIPO DE REPROVAÇÃO PORCENTAGEM 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% TURMA NOTA RM FREQÜÊNCIA Figura 06 Tipo de reprovação e GEOMETRIA ANALÍTICA E ALGEBRA LINEAR: por ausência nas aulas; co requisio ínio, ou seja, enre 45% e 60% de aproveiaeno; e por noa, ou seja, enos de 45 % de aproveiaeno. A disciplina QUÍMICA GERAL E INORGÂNICA deonsrou níveis varianes na porcenage de alunos reprovados (Figura 07). Observa-se abé, que a reprovação por noa reduziu de 000 a 004 (Figura 08). Aqui cabe ressalar, que o núero de alunos na ura decresceu significaneene, exceuando-se o aueno e 004 (dados não osrados). Esse fao deve ser levado e consideração, porque co uras enores, o rendieno ano do aluno quano do professor é be aior.

18 35 REPROVAÇÃO % DE REPROVADOS TURMA Figura 07 Percenage de reprovados e QUÍMICA GERAL E INORGÂNICA. TIPO DE REPROVAÇÃO PORCENTAGEM 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% TURMA NOTA RM FREQÜÊNCIA Figura 08 Tipo de reprovação e QUÍMICA GERAL E INORGÂNICA: por ausência nas aulas; co requisio ínio, ou seja, enre 45% e 60% de aproveiaeno; e por noa, ou seja, enos de 45 % de aproveiaeno. A axa de reprovação dos alunos e DESENHO TÉCNICO (EQQ05) variou enre 6,7% (003) e,3% (00) coo observado na Figura 09, e verifica-se que as reprovações ocorre principalene devido desisência dos alunos (Figura 0) e que, ignorando-se a ura de 004, não ocorreu reprovações co requisio ínio (RM).

19 REPROVAÇÃO 4 % DE REPROVADOS TURMA Figura 09 Percenage de reprovados e DESENHO TÉCNICO. 00% TIPO DE REPROVAÇÃO 90% 80% PORCENTAGEM 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% TURMA NOTA RM FREQÜÊNCIA Figura 0 Tipo de reprovação e DESENHO TÉCNICO: por ausência nas aulas; co requisio ínio, ou seja, enre 45% e 60% de aproveiaeno; e por noa, ou seja, enos de 45 % de aproveiaeno. Ainda no prieiro ano de graduação, a disciplina de INTRODUÇÃO À ENGENHARIA QUÍMICA conseguiu as enores axas de reprovação, desacando o ano de 000 e que nenhu aluno foi reprovado (98,7 % de aprovação e,3% de dispensa) e abé o paaar de 98,7% de aprovação no ano de 00 (Figura ). Observa-se abé que a aioria das reprovações foi por fala (Figura ).

20 REPROVAÇÃO % DE REPROVAÇÃO TURMA Figura Percenage de reprovados e INTRODUÇÃO À ENGENHARIA QUÍMICA. 00% TIPO DE REPROVAÇÃO PORCENTAGEM 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% TURMA NOTA RM FREQÜÊNCIA Figura Tipo de reprovação e INTRODUÇÃO À ENGENHARIA QUÍMICA: por ausência nas aulas; co requisio ínio, ou seja, enre 45% e 60% de aproveiaeno; e por noa, ou seja, enos de 45 % de aproveiaeno. De aneira geral, observa-se que no prieiro ano de graduação, os alunos apresenara aior dificuldade nas disciplinas da área de aeáica, onde ocorrera os aiores níveis de reprovação. Observa-se abé, que na disciplina específica do curso, Considerando-se as disciplinas do segundo ano de graduação, a disciplina de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 0 (EQQ 07), alcançou paaares elevados de reprovação, e édia 3,5% (Figura 3) e as reprovações, desde 00, são ajoriariaene devido à fala de freqüência dos alunos (Figura 4). Esse coporaeno foi seelhane ao

21 das disciplinas da aeáica no prieiro ano de curso. No caso do CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 0, realene a desisência dos alunos é ala e deve ser acopanhada co ais aenção no senido de idenificar o porquê dese coporaeno. REPROVAÇÃO 45 % DE REPROVADOS TURMA Figura 3 Percenage de reprovados e CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 0. 00% TIPO DE REPROVAÇÃO 90% 80% PORCENTAGEM 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% TURMA NOTA RM FREQÜÊNCIA Figura 4 Tipo de reprovação e CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 0: por ausência nas aulas; co requisio ínio, ou seja, enre 45% e 60% de aproveiaeno; e por noa, ou seja, enos de 45 % de aproveiaeno. E FÍSICA GERAL 0 (EQQ08) observou-se ua variação nas porcenagens de reprovações, sendo que e 003 esse índice foi de aproxiadaene 5% (Figura 5). A aioria das reprovações se deve à fala de presença dos alunos nas aulas, exceuando o ano de 000. Enfaiza-se a ura de 00 e que odas as reprovações se relacionara co a freqüência dos graduandos (Figura 6). E relação à FÍSICA GERAL 0, oferecida no

22 prieiro ano de graduação, o coporaeno das reprovações e FÍSICA GERAL 0 foi seelhane, enreano, a porcenage de alunos reprovados por freqüência é aior nesa úlia. 30 REPROVAÇÃO % DE REPROVADOS TURMA Figura 5 Percenage de reprovados e FÍSICA GERAL 0. PORCENTAGEM 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% TIPO DE REPROVAÇÃO TURMA NOTA RM FREQÜÊNCIA Figura 6 Tipo de reprovação e FÍSICA GERAL 0: por ausência nas aulas; co requisio ínio, ou seja, enre 45% e 60% de aproveiaeno; e por noa, ou seja, enos de 45 % de aproveiaeno. Ao analisar a disciplina PROCESSAMENTO DE DADOS (EQQ09) noa-se que a édia das reprovações enre os anos de 000 e 004 foi de 0,56% e que as reprovações abé se relaciona principalene a freqüência dos alunos, a exceção da ura de 00 (Figuras 7 e 8).

23 REPROVAÇÃO 30 % DE REPROVADOS TURMA Figura 7 Percenage de reprovados e PROCESSAMENTO DE DADOS. 00% TIPO DE REPROVAÇÃO 90% 80% PORCENTAGEM 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% TURMA NOTA RM FREQÜÊNCIA Figura 8 Tipo de reprovação e PROCESSAMENTO DE DADOS: por ausência nas aulas; co requisio ínio, ou seja, enre 45% e 60% de aproveiaeno; e por noa, ou seja, enos de 45 % de aproveiaeno. Na disciplina de PROCESSOS QUÍMICOS INDUSTRIAIS (EQQ99), as reprovações variara de 0,8% (000) a 3,9% (004), levando a inferir que ocorre u aueno no núero de reprovações (Figura 9). Quano ao ipo de reprovação, a exceção de 00, predoina a desisência dos graduandos e, desprezando a ura de 004, ocorreu u declínio de reprovações devido à insuficiência de noas (alunos reprovados se RM), coo exibido na Figura 0.

24 35 REPROVAÇÃO 30 % DE REPROVADOS TURMA Figura 9 Percenage de reprovados e PROCESSOS QUÍMICOS INDUSTRIAIS. 00% TIPO DE REPROVÇÃO 90% 80% PORCENTAGEM 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% TURMA NOTA RM FREQÜÊNCIA Figura 0 Tipo de reprovação e PROCESSOS QUÍMICOS INDUSTRIAIS: por ausência nas aulas; co requisio ínio, ou seja, enre 45% e 60% de aproveiaeno; e por noa, ou seja, enos de 45 % de aproveiaeno. Indubiavelene, a disciplina QUÍMICA ORGÄNICA (EQQ ), a qual apresena uras co grande núero alunos, abé deonsrou as ais elevadas axas de reprovações das disciplinas do segundo ano de graduação, sendo o enor porcenual alcançado e 00 co vine e nove por ceno (9%) de alunos reprovados, sendo que fora aingidos índices de aé 64,7% de reprovados (Figura ). E relação ao ipo de reprovação, e 000 e 00 a aioria foi por noa, sendo que houve ua redução e 00 e 003, volando a auenar e 004 (Figura ). Deve-se levar e consideração que a presença de uras grandes é u fao relevane no desepenho dos alunos.

25 REPROVAÇÃO % DE REPROVADOS TURMA Figura Percenage de reprovados e QUÍMICA ORGÂNICA. 00% TIPO DE REPROVAÇÃO 90% PORCENTAGEM 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% TURMA NOTA RM FREQÜÊNCIA Figura Tipo de reprovação e QUÍMICA ORGÂNICA: por ausência nas aulas; co requisio ínio, ou seja, enre 45% e 60% de aproveiaeno; e por noa, ou seja, enos de 45 % de aproveiaeno. Ao analisar a disciplina FÍSICO-QUÍMICA (EQQ) é evidene o abrupo aueno no percenual de reprovados nos anos de 003 e 004 (Figura 3). Para essa disciplina, o oal de alunos por ura diinuiu enre 000 e 003, as auenou no úlio ano analisado (dados não osrados). No ano de 000, odas as reprovações fora por noa, ocorrendo u aueno nas reprovações por freqüência nos anos de 00 e 00, volando a auenar as reprovações por noa nos anos seguines (Figura 4).

26 REPROVAÇÃO 30 % DE REPROVADOS TURMA Figura 3 Percenage de reprovados e FÍSICO-QUÍMICA. PORCENTAGEM 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% TIPO DE REPROVAÇÃO TURMA NOTA RM FREQÜÊNCIA Figura 4 Tipo de reprovação e FÍSICO-QUÍMICA: por ausência nas aulas; co requisio ínio, ou seja, enre 45% e 60% de aproveiaeno; e por noa, ou seja, enos de 45 % de aproveiaeno. 5. CONCLUSÕES Tano no prieiro quano no segundo ano de graduação da Faculdade Engenharia Quíica na Universidade Federal de Uberlândia (UFU), observa-se que o principal ipo de reprovação é devido à freqüência dos alunos. Alé disso, no prieiro ano de graduação as aiores axas de reprovação são para as disciplinas de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 0 e GEOMETRIA ANALÍTICA E ALGEBRA LINEAR e no segundo ano de graduação pode-se concluir que as reprovações concenra-se nas disciplinas QUÍMICA ORGÂNICA e CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 0.

27 6. AGRADECIMENTOS Ao PBIIC - FAPEMIG\UFU pela Bolsa de Iniciação Cienífica concedida aravés do processo nº. A-008/006. À DICOA Divisão de Conrole Acadêico e pelo DIRAC Divisão de Regisro e Acopanhaeno Acadêico. 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COSTA NETO, P.L.O, 00. ESTATÍSTICA. Edgard Blücher, São Paulo. 64p. GUIA ACADÊMICO, 005. Pró-Reioria de Graduação, Universidade Federal de Uberlândia, 30p. BARDIN, Laurence. Análise de coneúdo. Lisboa, 70ª Edição, 977. VIEIRA, SÔNIA. Inrodução a bioesaísica. Ediora Capus. 5ª Edição, 988. LEVINE, D.M.; BERENSON, M.L.; STEPHAN, DAVID. Aplicações. Ediora LTC, ª Edição, 000. Esaísica: Teoria e

28 Propriedades das Soluções de Ua Classe de Siseas de Equações Diferenciais Ordinárias. Marcelo Lopes da Silva* e Valdair Bonfi Faculdade de Maeáica FAMAT Universidade Federal de Uberlândia UFU , Uberlândia MG Seebro 006 Resuo U resulado clássico da eoria das equações diferenciais ordinárias diz que se o n capo veorial f : D R n R é Lipschiziano, enão o Problea de Valor Inicial x( ) f ( x( )) ( P ) x(0) x0 possui ua única solução. Ouras quesões abordadas pela eoria clássica, coo a esabilidade das soluções de x ( ) f ( x( )), abé são provadas co hipóeses adicionais sobre f, coo por exeplo resrições sobre a localização dos auovalores de f (x0 ) no plano coplexo. Condições dese ipo obviaene exige, no ínio, a diferenciabilidade da aplicação f. O objeivo dese rabalho é invesigar quesões seelhanes às invesigadas na eoria clássica no caso e que o capo veorial f não é Lipschiziano e ne diferenciável. Vereos que as condições iposas sobre f não exige sequer a sua coninuidade. Alguns Resulados da Teoria Clássica: Definição : C 0 al que f : D R n R n é dia ser Lipschiziana quando exise consane f ( x) f ( y) C. x y, x, y D. Obs.: Na definição acia, denoa ua nora qualquer e R n. n n Teorea : Se f : D R R é Lipschiziana enão, para cada x 0 D fixado, o problea (P) adie ua única solução. Precisaene, exise ua única curva diferenciável n x : I 0 R R definida nu inervalo axial I 0 ( co 0 I 0 ) saisfazendo : i ) x( ) D, I ; ii ) x ( ) f ( x( )), I. 0 0 Ua prova do Teorea acia pode ser enconrada, por exeplo, e [].

29 Observe que, se f ( x 0 ) 0, enão a curva consane x( ) x0 é solução de (P). Ela é chaada solução de equilíbrio ( ou solução esacionária ) de (P). Definição : Ua solução de equilíbrio x( ) x0 de (P) é dia ser esável quando, para cada 0 dado, exisir 0 saisfazendo a seguine propriedade: se y 0 x 0, enão y( ) x 0 para odo 0 e I 0, sendo y() a única solução saisfazendo y( 0) y. 0 Vejaos o que é possível fazer quando assuios que o capo de veores n n f : D R R não é Lipschiiziano, as saisfaz à seguine condição: Condição : f ( x) f ( y), x y 0, x, y D, onde, denoa o produo n escalar usual e R. Noe que quando n=, qualquer função f : D R R não-crescene saisfaz al condição, incluindo funções desconínuas e co derivadas iliiadas, coo no exeplo abaixo: y = f(x) x Teorea : Se x () e y() são cainhos diferenciáveis que saisfaze x( ) f ( x( )) x(0) x0 y( ) f ( y( )) e, e se f saisfaz à condição, enão: y(0) y0 x ) y( ) x y, 0. ( ) ( 0 0

30 y() x() x 0 y 0 Deonsração do Teorea : d d x( ) y( ) d d x( ) y( ), x( ) y( ) x ( ) y( ), x( ) y( ) f ( x( )) f ( y( )), x( ) y( ) 0, qualquer que seja 0. Logo, a função x( ) y( ) é não-crescene. Daí, para odo 0 ereos x( ) y( ) x(0) y(0) x y, de onde segue o resulado. Corolário : (Unicidade de Solução) Se n f : D R n R saisfaz à condição, enão o problea de valor inicial (P) e no áxio ua solução. De fao, se x () e y () são soluções de (P) e x( 0) x0 y0 y(0), enão a desigualdade () provada acia nos diz que 0 0 ou seja, x ) y( ) x x 0, 0, ( 0 0 x ( ) y( ), 0. Corolário : Toda solução de equilíbrio x( ) x0 de (P) é esável. De fao, dado 0 basa oar na definição de esabilidade. Definição 3: Ua solução de equilíbrio x( ) x0 de (P) é dia ser assinoicaene esável quando é esável e, para oda condição inicial y 0 suficieneene próxia de, eos que li y( ) x, sendo y() a única solução de (P) al que y(0) y. x0 0 0 Considerareos agora ouro ipo de condição sobre o capo veorial f. Condição : 0 al que f ( x) f ( y), x y x y, x, y D.

31 Co essa condição é possível provar o próxio resulado. Teorea 3: Se são cainhos diferenciáveis que saisfaze () x e ) y( 0 (0) )) ( ( ) ( x x x f x e, e se saisfaz à condição, enão: 0 (0) )) ( ( ) ( y y y f y f 0, ) ( ) ( 0 0 y x e y x. ( 3 ) Deonsração do Teorea 3: ) ( ) ( y x d d ) ( ) ( ), ( ) ( y x y x d d ) ( ) ( ), ( ) ( y x y x ) ( ) ( )), ( ( )) ( ( y x y f x f D y x y x,,. Assi, 0, 0 ) ( ) ( ) ( ) ( y x y x d d, e uliplicando abos os ebros por obeos e 0, 0 ) ( ) ( ) ( ) (. y x e y x d d e, ou ainda 0, 0 ) ( ) (. y x e d d. Logo, inegrando de 0 a chegaos e 0, 0 (0) (0) ) ( ) (. y x y x e, ou seja, 0, ) ( ) ( 0 0 y x e y x, confore afirado. Exeplos de órbias ípicas de siseas que saisfaze à condição :

32 x 0 x() y 0 y() y 0 x 0 Corolário 3: Se f saisfaz à condição, enão oda solução de equilíbrio é assinoicaene esável. De fao, pois se 0 y( ) x( ) x 0 0 é solução de equilíbrio, enão a desigualdade (3) diz que 0 0 x e x y, de onde segue a esabilidade assinóica de. Corolário 4: Siseas que saisfaze à condição não possue ais do que ua solução esacionária. Nese caso, devido ao Teorea 3, se ua al solução exisir ela será araora global ( iso é, odas as ouras soluções y() enderão a x0 quando ). De fao, se x0 e y0 são soluções esacionárias de (P), enão da desigualdade 3 segue que x 0 x0 y0 e x0 y0, 0, ou seja, ( e ). x0 y0 0, 0, de onde segue que x0 y 0. Ua jusificaiva ais prosaica para o Corolário 4 é a seguine:

33 Se exisisse soluções esacionárias disinas x0 e y0 de (P) enão, pelo Teorea 3, a solução x( ) x0 eria que se aproxiar da solução y( ) y0, o que é u absurdo, pois x () e y( ), sendo esacionárias, não sae do lugar. Conclusões Finais: Os resulados provados nese rabalho baseara-se na exisência a priori das soluções. Ou seja, provaos propriedades qualiaivas das soluções, eso se saber se elas de fao exise. Enreano, assuindo que o capo veorial n n f : D R R saisfaz a condição e abé a condição I ( I - f ) = R n, onde I ( I - f ) denoa a iage da aplicação I - f, é possível esabelecer u resulado de exisência de solução fraca de (P). Nese caso, a exisência da derivada x() da solução fraca é garanida apenas para u conjuno de valores de que e edida nula. Iso pode ser feio aé eso e ceros casos e que o espaço R n é subsiuído por u espaço E de diensão infinia, e cujo caso a eoria se presa a esabelecer exisência de soluções fracas para equações diferenciais parciais de evolução, confore se pode ver e []. Enreano, iso dá u pouco ais de rabalho, as esá sendo objeo de esudo nu prograa de iniciação cienífica no âbio do PROMAT. Os resulados fuuros deses esudos serão reporados nesa revisa nua próxia oporunidade. Bibliografia: [] Espaços Méricos. Lia, Elon Lages. Segunda Edição. IMPA CNPq - RJ. ISBN: [] Operaeurs Maxiaux Monoones e Sei-Groupes de Conracions dans lês Espaces de Hilber. Brezis, Hai R. Norh-Holland, Elsevier, 983.

34 Prograação Linear e o Problea do Sisea de Transpore Coleivo de Uberlândia Laís Bássae Rodrigues Marcos Anônio da Câara Faculdade de Maeáica - Faa Universidade Federal de Uberlândia - Ufu - MG Seebro de 006 Inrodução Os probleas de prograação linear refere-se à disribuição eficiene de recursos liiados enre aividades copeiivas, co a finalidade de aender a u deerinado objeivo, por exeplo, axiização de lucros ou iniização de cusos. Traando-se de prograação linear, esse objeivo será expresso por ua função linear a qual chaareos de função objeivo. Z = c x + c x c n x n É claro que é necessário dizer quais as aividades que consoe cada recurso e e que proporção é feio esse consuo. Essas inforações serão dadas por equações ou inequações lineares que resringe cada recurso. Ao conjuno dessas equações ou inequações chaareos de resrições do odelo. Geralene exise inúeras aneiras de disribuir os escassos recursos enre as aividades, basando para isso que essas disribuições seja coerenes co as resrições do problea. Enreano, deseja-se que alé de saisfazer as resrições, ua dessas disribuições alcance o objeivo desejado, ou seja, que axiize o lucro ou iniize o cuso. A essa solução daos o noe de solução óia. Ua vez obido o odelo linear, a prograação linear se encarrega de achar a solução óia. Os resulados de prograação linear coeçara a ser organizados no final do século passado e início dese século, a parir de rabalhos de aeáicos coo H. Minkowski, A. Haar, H. Weyl. A parir dos anos 40 iveos u rápido desenvolvieno dessa área, principalene no que se refere ao desenvolvieno de algorios que periira prograar e resolver probleas aplicados envolvendo uias variáveis. Orienanda Prograa de Educação Tuorial do Curso de Maeáica PETMAT. E-ail: laisbassae@hoail.co Professor orienador. E-ail: caara@ufu.br

35 A grande difusão da prograação linear nos úlios anos deve-se ao fao de que, ebora ela rae de u problea específico, ela é ua écnica siples e uios probleas do coidiano pode ser forulados segundo esa linguage. Modelos de Prograação Linear Os Probleas de Prograação Linear (PPL) são probleas do ipo Maxiizar Z = c x + c x c n x n a x + a x a n x n b a x + a x a n x n b. e a x + a x a n x n b co x j 0, j=,..., n Miniizar Z = c x + c x c n x n s/a a x + a x a n x n b a x + a x a n x n b. a x + a x a n x n b co x j 0, j=,..., n onde, odos os a ij,b j e c j são consanes reais. Ou ainda, e noação aricial MaxZ = n j= c jx j Ax b x 0 e MinZ = n j= c jx j Ax b x 0 onde A é a ariz n dos coeficienes a ij (i =,..., ; j =,..., n), b é a ariz dos b j (j =,..., ) ex é a ariz n das variáveis. Nu problea ípico de prograação linear eos: i) u núero finio de variáveis x i ; ii) u núero finio de resrições do ipo desigualdades (lineares), a que as variáveis deve saisfazer; iii) procura-se axiizar ou iniizar ua cera função real do ipo linear nas variáveis x i, a chaada função objeivo do problea. Vejaos alguns exeplos de probleas de prograação linear:

36 . Problea da Análise de Aividades Ese odelo pode ser associado a ua epresa que e recursos disponíveis para a realização de n aividades. Suponha-se que as aividades represene a fabricação de produos. Ese problea consise e achar x,x,..., x n que axiize a função linear (função objeivo): Max Z = n j= c jx j n j= a ijx j b i (i =,..., ) x j 0(j =,..., n) onde, b i : quanidade do recurso i disponível para as n aividades (b i 0). x j :nível de produção da aividade j. Os x j (j =,..., n)são as incógnias do problea. c j : lucro uniário do produo j. a ij : quanidade do recurso i consuida na produção de ua unidade do produo j. Verifica-se, enão, que a função objeivo a ser axiizada represena o lucro oal da epresa nessas n aividades. Exeplo. (Escolha da Produção) Ua deerinada epresa esá ineressada e axiizar o lucro ensal proveniene de quaro de seus produos, designados por I,II,III e IV. Para fabricar esses quaro produos, ela uiliza dois ipos de áquinas (M e M) e dois ipos de ão-de-obra (M0 e M0) que e as seguines disponibilidades: Máquinas Tepo Disponível M 80 M 0 Mão-de-obra Tepo Disponível M0 0 M0 60 Os epos esão arcados e áquina-hora/ês e hoe-hora/ês. O seor écnico da epresa fornece os seguines quadros de produividade: a) Núero de áquina-hora para produzir ua unidade de cada produo: I II III IV M M 6 8 Enão, para se produzir ua unidade do produo I consoe-se 5 áquinas-hora da áquina M e áquinas-hora da áquina M. O produo III não necessia da áquina M e consoe 8 horas da áquina M para cada ua de suas unidades produzidas. b) Núero de hoens-hora para produzir ua unidade de cada produo: I II III IV M0 4 8 M

37 Precisa-se enão de hoens-hora da ão-de-obra M0 e de 7 hoens-hora da ãode-obra M0 para fabricar ua unidade do produo I. O seor coercial da epresa fornece as seguines inforações: Produos Poencial de Vendas Lucro uniário I 70 0,00 II 60 8,00 III 40 9,00 IV 0 7,00 O lucro uniário e reais por unidade e o poencial de vendas e unidades por ês. Deseja-se saber a produção ensal dos produos I, II, III e IV para que o lucro ensal da epresa, proveniene desses quaro produos, seja áxio. Forule u odelo de prograação linear que expresse o objeivo e as resrições dessa epresa. Seja x j (j =,, 3, 4) as produções ensais dos produos I, II, III e IV, respecivaene. O odelo, enão, será:. Problea da Diea ax Z =0x +8x +9x 3 +7x 4 x 70 x 60 x 3 40 x sujeio à 4 0 5x + 4x + 8x 3 + 9x 4 80 x + 6x +8x 4 0 x + 4x + x 3 + 8x 4 0 7x + 3x 3 +7x 4 60 x j 0 (j =,, 3, 4) Ese odelo pode ser associado a ua pessoa que deseja iniizar o cuso da sua diea diária. As aividades represena os consuos dos alienos que poderão enrar na diea, e os recursos são as viainas que não pode deixar de ser supriidas pela diea. O problea consise e achar x,x,..., x n que iniize a função objeivo: Min Z = n j= c jx j n j= a ijx j b i (i =,..., ) x j 0(j =,..., n) onde, x j : quanidade do alieno j na diea. Os x j são incógnias do problea. c j : cuso uniário do alieno j. b i : quanidade ínia da viaina i que deve ser obida dos n alienos. a ij : quanidade da viaina i fornecida por ua unidade do alieno j. Verifica-se, enão, que a função objeivo a ser iniizada represena o cuso oal da diea a ser realizada co os n alienos.

38 Exeplo. Ua deerinada pessoa é forçada pelo seu édico a fazer ua diea alienar que forneça, diariaene, pelo enos as seguines quanidades de viainas A, B,CeD: Viainas Quanidade Mínia Diária (g) A 80 B 70 C 00 D 60 A diea deverá incluir leie, arroz, feijão e carne, que coné os seguines iligraas de viainas e cada ua de suas unidades de edida: Leie (l) Arroz (kg) Feijão (kg) Carne (kg) A B C D Assi, u liro de leie coné 0 g de viaina A, 8 g de viaina B, 5 g de viaina C e 0 g de viaina D. Os cusos uniários desses alienos são o seguines: Leie,00R$/l Arroz,0R$/kg Feijão,00R$/kg Carne 5,00R$/kg Deseja-se saber o consuo diário de cada u desses alienos de al aneira qua a diea saisfaça as prescrições édicas e seja a de enor cuso possível. Seja x j (j =,, 3, 4) as quanidades de leie, arroz, feijão e carne, edidas nas unidades acia, que deverão enrar diariaene na ciada diea. O odelo, enão, será: in Z = x +, x +x 3 +5x 4 0x +5x +9x 3 +0x x sujeio à +7x +6x 3 +6x x +3x +4x 3 +7x x +x +3x 3 +9x 4 60 x j 0 (j =,, 3, 4).3 Problea de Transpore O odelo dos ranspores visa iniizar o cuso oal do ranspore necessário para abasecer n cenros consuidores (desinos), a parir de cenros fornecedores (origens). Pode ser assi esqueaizado:

39 O problea consise e achar os valores de x ij (i =,..., e j =,..., n) que iniize o cuso oal do ranspore: Min Z = i= n j= c ijx ij n j= x ij = a i (i =,..., ) i= x ij = b j (j =,..., n) x ij 0 onde, c ij : cuso uniário de ranspore da orige i para o desino j. a i : quanidade disponível na orige i. b j : quanidade requerida no desino j. x ij : quanidade a ser ransporada da orige i para o desino j. São as incógnias do problea. Esse ipo de problea será o nosso objeo de esudo..4 Problea da designação O problea da designação é u caso paricular do problea dos ranspores, e que = n, a i = para i =,..., n e b j = para j =,..., n, isso significa que: a) o núero de origens é igual ao núero de desinos; b) cada orige deve ser designada para exaaene u desino; c) cada desino deve ser designado para exaaene ua orige. O objeivo é deerinar coo odas as n designações deve ser realizadas para iniizar o cuso oal. O odelo oa, enão, o seguine aspeco: in Z = n i= n j= c ijx ij n j= x ij = (j =,..., n) n i= x ij = (i =,..., n) x ij 0

40 Ese odelo e o noe de problea de designação porque a sua solução óia vai indicar qual a orige i que foi designada para abasecer o desino j. As resrições são equivalenes à: x ij = se a orige i for designada para o desino j, x ij = 0 caso conrário. Exeplo.3 Ua copanhia de ranspores possui 3 cainhões disponíveis localizados nas cidades A, BeC.Necessia-se de u cainhão nas cidades, e 3. Qual a designação dos cainhões que iniize a quiloerage percorrida por odos os cainhões, dado as quiloeragens enre as cidades abaixo? 3 A B C 8 5 Assi, o problea odelado aeaicaene fica: in Z =0x A +5x A +6x A3 +5x B +3x B +46x B3 +8x C +5x C +x C3 x A + x A + x A3 = x B + x B + x B3 = x sujeio à C + x C + x C3 = x A + x B + x C = x A + x B + x C = x A3 + x B3 + x C3 = x ij 0(i = A, B, C e j =,, 3) 3 Alguas Definições Definição 3. O conjuno S = {X AX B (AX B) ;X 0} é chaado região facível (o conjuno das soluções possíveis). Definição 3. U pono que perença a S é chaado solução facível. Definição 3.3 Seja Q (X) =CX. U pono X S al que Q (X ) = ax ou in {CX : X S} é chaado solução óia e o valor Q (X ) de valor óio. Observe que: i) Q (X) =CX é sepre linear e X. ii) Podeos er ua solução óia, infinias ou nenhua. iii) U problea de axiização (iniização) é dio iliiado se sup {CX : X S} =+ (inf {CX : X S} = ).

41 4 Fora padrão No desenvolvieno do algorio siplex que deerina a solução de u PPL é fundaenal reduzir-lo à fora padrão, definida a seguir: Min CX AX = B B 0 (resrições do PPL) X 0 (condição de não negaividade) Para reduzir u PPL qualquer à fora padrão eos os seguines éodos: i) Ocorrência de desigualdades Para colocar o problea na fora padrão basa acrescenar ou subrair variáveis de folgas aiores ou iguais a zero. É necessário colocar ua variável de folga diferene para cada linha. ii) Variáveis livres Basa escrever cada variável livre (iso é, que não possui resrições de sinal) coo diferença de duas variáveis não-negaivas. iii) A função objeivo é de axiização Basa subsiuir ax{q (X)} por in{ Q (X)}. De fao, sendo M o conjuno de soluções facíveis do PPL e sendo ax Q (X) =Q (X ), eos que Q (X ) Q (X), X M. Daí, Q (X ) Q (X), X M. Desse odo, in{ Q (X)} = Q (X ). Porano, ax{q (X)} = Q (X )= in{ Q (X)}. Exeplo 4. Reduzir o seguine odelo à fora padrão. ax Q (X) =x x +x 3 x 4 +3x 5 x x +3x 3 x + x 4 x 5 0 x 3 x 4 + x 5 7 x x + x 3 = x 0,x 0,x 4 0,x 5 0 Esse problea ficará reduzido à fora padrão da seguine fora: 5 Méodo Geoérico in Q ( X) =x + x (x 3 x 3 )+x 4 +3x 5 x x +3(x 3 x 3 ) x 6 = x + x 4 x 5 + x 7 =0 (x 3 x 3 )+x 4 + x 5 + x 8 =7 x x + x 3 = x,x, x 3, x 3, x 4, x 5,x 6,x 7,x 8 0 Probleas de prograação linear que envolve duas variáveis (às vezes rês) pode ser resolvidos graficaene, poré ese éodo é ipraicável e espaços de diensão aior.

42 Considere o exeplo: Ua áquina produz dois ipos A e B de frascos de vidro, as não siulaneaene. Ao produzir u ipo A ela gasa 0, horas, e ao produzir u ipo B gasa 0,4 horas. Sabendo que a áquina pode rabalhar no áxio 6 horas por dia e que o fabricane e u lucro de u.c.p. co u frasco ipo A e 3 u.c.p. co u frasco ipo B, quanos frascos deve ser produzidos para que o lucro seja áxio? MaxZ =x +3y 0, x +0, 4y 6 x 0 y 0 O polígono e azul claro represena a região facível dada pelas resrições do problea. Sabeos, por conhecienos de cálculo diferencial, que ocorre u aueno no valor da função no esa direção do gradiene Z =(, 3) (represenado na figura pelo veor azul), as reas racejadas e preo são as reas perpendiculares ao gradiene. Assi, o aior valor que a função assuirá será novérice (80, 0), ou seja, o produor oberá aior lucro quando produzir 80 frascos do ipo A e nenhu do ipo B. U procedieno resuido para resolução gráfica de u PPL no plano é: i) enconrar a região de viabilidade S; ii) raçar o veor gradiene de Z; iii) raçar as perpendiculares ao veor gradiene; iv) O pono ais disane na direção oposa ao veor gradiene e que inercepa pelo enos u pono de S é a solução óia, no caso da iniização; v) O pono ais disane na direção do veor gradiene e que inercepa pelo enos u pono de S é a solução óia, no caso de axiização. 5. Esquea de Soluções Gráficas e Probleas co variáveis Considerando a região forada pelas resrições do problea de prograação linear co duas variáveis ereos os seguines ipos de soluções:

43 - Ua solução óia - Todos os ponos de u segeno são soluções óias, e dão o eso valor para a função objeivo 3- Solução iliiada 4- Sei-rea conendo odos os ponos de solução óia

44 5- Não há solução, o conjuno de resrições é vazio 6 Conjunos Convexos Vaos exainar o significado do conjuno de resrições. Definição 6. Seja A e B dois ponos do R n. O segeno de exreos A e B éo conjuno AB de ponos n, dado por: AB = {( ) A + B; 0 } Definição 6. U subconjuno S do n é chaado convexo se para quaisquer dois ponos A e B de S o segenno AB esá ineiraene conido e S. Teorea 6. U sei-espaço fechado é convexo. Deonração: Mosreos isso no caso de (o caso geral é feio usando o eso argueno). No caso, u sei-espaço fechado é consiuído por ponos (x, y), que saisfaze ua expressão do ipo ax + by + c 0. Precisaos osrar que se oaros dois ponos quaisquer do sei-espaço, o segeno que une esses ponos esá conido no sei-espaço. Seja A =(x 0,y 0 )eb =(x,y ) dois ponos quaisquer do sei-espaço, e

45 seja P u pono qualquer de AB. Exise, enão,, co 0, al que P = ( )(x 0,y 0 )+ (x,y )=(x 0 ( )+ x,y 0 ( )+ y ). Teos que verificar que: a [( )x 0 + (x,y )] + b [y 0 ( )+ y ]+c 0( ) que é a condição para P esar no sei-espaço. Mas, ( ) ax 0 + ax +by 0 ( )+ y b+c c+ c =( )[ax 0 + by 0 + c]+ [ax + by + c]. Observe que ax 0 +by 0 +c 0, pois A esá no sei-espaço, analogaene, ax + bx + c 0, pois B abé esá no sei-espaço. Observe ainda que, coo 0 enão 0e 0. Logo, ( )[ax 0 + by 0 + c] 0e [ax + bx + c] 0. Porano, a relação ( ) esá saisfeia e, coo P esá no sei-espaço e é u pono qualquer de AB enão, AB esá ineiraene conido no sei-espaço e, assi, ese é convexo. Teorea 6. A inersecção de conjunos convexos é u conjuno convexo. Deonsração: Seja S e S dois conjunos convexos. Precisaos osrar que se A e B são dois ponos quaisquer de S S enão AB S S. Mas se A, B S S enão A, B S e coo S é convexo enão AB S. Analogaene,AB S. Porano, AB S S. Logo, S S é convexo. Definição 6.3 Ua região poliedral convexa fechada e quanidade finia de sei-espaços fechados do n. n é ua inersecção de ua Devido aos dois eoreas aneriores, ua região poliedral convexa é u conjuno convexo. Definição 6.4 Dada ua região poliedral convexa fechada do n (deerinada por u sisea de inequações lineares), os vérices dessa região são os ponos da região que saisfaze u dos possíveis siseas de n equações lineares independenes, obidas subsiuindo desigualdades por igualdades. Teorea 6.3 Se u conjuno convexo X, fechado e esriaene liiado, possui u núero finio de ponos exreos, qualquer pono perencene ao conjuno poderá ser escrio coo u cobinação convexa dos ponos exreos, iso é, X é o conjuno de odas as cobinações convexas de seus ponos exreos. Exeplo 6. Suponhaos que desejaos escrever qualquer pono w do inerior de u riângulo coo ua cobinação convexa de seus vérices x,x,x 3, iso é, w = μ i x i, μ i =. A siuação esá ilusrada na figura abaixo. Prieiraene raceos ua linha parindo de x e passando por w. Esa inercepará o lado oposo do riângulo e v. Enão, w = λ x +( λ ) v, 0 λ. Enreano, v = λ x +( λ ) x 3. Logo, w = λ x +( λ ) λ x +( λ )( λ ) x 3. Façaos μ = ( λ ) λ, μ = λ, μ 3 = ( λ )( λ ). Éóbvio que μ i 0 e μ + μ + μ 3 =. A expressão procurada é w = μ i x i.

46 7 O Méodo Siplex Oéodo gráfico apresenado na seção anerior é uilizado apenas para probleas de duas ou rês variáveis. Para probleas co ais variáveis inroduzireos u novo éodo, o Méodo Siplex. A resolução geoérica e a inrodução de variáveis de folga sugere alguns faos sobre u problea de prograação linear: () A região de viabilidade S e a propriedade de convexidade, iso é, o segeno que une duas soluções viáveis perence a S. (S não coné buracos e sua froneira não e denes ) () As froneiras de S quando se enconra fora ponos exreos (vérices) e os ponos exreos corresponde a anular convenieneene as variáveis do problea (seja elas originais ou de folga). (3) Quando o valor óio é finio enão a solução óia é assuida e pelo enos u dos ponos exreos. Os ponos exreos do conjuno solução S desepenha u papel cenral nos algorios que desenvolvereos para a resolução de probleas de prograação linear. Faz-se necessário, porano, ober criérios copuacionais para a idenificação dos esos Definição 7. Ua coleção de variáveis (x j,x j,x j3,..., x j ) ébásica ou base para o problea in CX; AX = B, quando os veores coluna P j,p j,..., P j da ariz A são linearene independenes. Definição 7. Aribuindo o valor 0 às deais n variáveis obeos de AX = B valores únicos para as variáveis básicas, deerinando assi u veor X R n denoinado solução básica do problea. Definição 7.3 Se alé disso x jk 0, k, dizeos raar-se de ua solução básica viável. Definição 7.4 Para o caso e que algua das variáveis básicas for nula dizeos que a solução básica é degenerada. Geoericaene, isso ocorre quando eos u vérice deerinado pela inercessão de ais de duas reas. O Méodo Siplex, para ser iniciado, necessia conhecer ua solução facível básica, ou seja, u dos vérices da região facível.

47 O Méodo verifica se essa solução é óia. Se for, o processo esá encerrado. Se não for, é porque u dos ouros vérices fornece para a função objeivo u valor elhor que o aual. O Méodo faz enão a udança para o vérice adjacene que elhora o valor da função objeivo. E enão, udo o que foi feio para o vérice anerior é feio para o novo vérice. O processo finaliza quando, esando e u dos vérices, odos os vérices adjacenes a ele não fornecere elhor valor para a função objeivo. Algebricaene, u pono exreo adjacene é ua solução copaível básica incluindo odas as variáveis básicas aneriores, co excessão de apenas ua delas. Achar, porano, a próxia solução copaível básica (pono exreo adjacene) exige a escolha de ua variável básica para deixar a base aual, o que a orna não-básica, e a escolha de ua variável não-básica para enrar na base e sua subsiuição. Resuindo: ) Achar ua solução copaível básica inicial; ) Verificar se al solução é óia. Se for, enão o processo esá encerrado. Caso conrário, siga para o passo 3. 3) Deerinar a variável não-básica que deve enrar na base. 4) Deerinar a variável básica que sai da base. 5) Achar a nova solução copaível básica e volar ao passo. 8 Teoreas Fundaenais Teorea 8. O conjuno de odas as soluções copaíveis do odelo de prograação linear é convexo. Deonsração: Esse eorea decorre direo dos eoreas 0 e. Teorea 8. Ua solução copaível básica corresponde a u vérice do conjuno de soluções copaíveis C. Deonsração: Considere o conjuno convexo C forado por Ax = b e x 0. Considere a solução copaível básica co n enradas x =(x,x,..., x, 0,..., 0) co odos os x i 0. Suponha, por absurdo, que x não seja u vérice de C. Enão x pode ser obido coo cobinação convexa de ouros dois ponos disinos y e z de C : x = αy +( α) z e 0 α.( ) Coo y e z perence a C as relações Ay = b, y 0,Az = b e z 0são válidas. Se x for u vérice de C enão não exise y e z al que a relação ( ) seja saisfeia. A relação ( ) colocada e eros das cordenadas de cada u dos rês veores, fornece as seguines relações:

48 x = αy +( α) z. x = αy +( α) z 0=αy + +( α) z +. 0=αy n +( α) z n Vaos analisar as úlias (n ) equações do sisea considerando as relações 0 α,y 0ez 0: o caso) 0 < α <. Daí, coo α > 0,y + 0, ( α) > 0,z + 0e0= αy + +( α) z + enão y i = z i = 0 para i = +,..., n. Nesse caso eríaos x = y = z pois as rês soluções apresena ua coincidência nas variáveis não-básicas. Consequeneene, os valores das variáveis básicas serão os esos para as rês soluções. o caso) α =0. Daí, z i = 0 para i = +,..., n. Nesse caso eríaos x = z pelas esas razões. 3 o caso) α =. Daí, y i = 0 para i = +,..., n. Nesse caso eríaos x = y pelas esas razões. Porano, não exise soluções copaíveis y e z, disinas de x que saisfaça ( ). Logo, x éuvérice de C. Teorea 8.3 Se a função objeivo possui u áxio (ínio) finio, enão pelo enos u vérice C é solução óia. Deonsração: Seja C o conjuno forado por AX = b e x 0. Seja Z (X) a função objeivo que oa o valor áxio M no pono X 0, enão pode-se afirar que Z (X 0 ) Z (X), X C. Seja x,..., x p vérices de C. Teos que provar que Z (X 0 )=Z(X i ) para algu i =,,..., p. Suponha que x 0 não seja u desses vérices. Enão, ele pode ser obido pela cobinação linear convexa ( x 0 = p α i x i sendo α i 0e p p ) α i =, por definição. Assi, Z (x 0 )=Z α i x i = i= i= i= = Z (α x α p x p )=α Z (x ) α p Z (x p )=M. Considere agora o vérice x M definido por Z (x M ) = ax Z (x i ). Dessa fora, Z (x 0 ) α Z (x M ) α p Z (x M ), ou seja, Z (x 0 ) Z (x M ) p α i, ou ainda, Z (x 0 ) Z (x M ). Mas ínhaos, Z (x 0 ) Z (x), x C. Enão é necessário que Z (x 0 )=M = Z (x M )e fica provado que x 0 éuvérice de C. Dada ua solução básica X o S quereos esabelecer ua roina para ober oura solução x elhor que a anerior, iso é, al que Q (X ) <Q(X o ), quando isso for possível. A idéia é colocar o problea de prograação linear nua fora básica relaiva à base de x o e proceder ua udança de base. i=

49 Vaos supor por siplicidade que X o =(x,..., x, 0,..., 0) e que o problea não possui soluções básicas (facíveis) degeneradas. Definição 8. Dizeos que o problea de PL esá na fora básica, relaivo à base (x,..., x ), se ele esá reduzido à fora in (γ + x γ n x n β) A X = b X 0 [ ] b onde, A = I D (n ) e b =. b in (CX α) Proposição 8. U PPL AX = b e que os veores P,..., P são l.i. pode X 0 ser reforulado na fora básica relaivo a (x,..., x ). [ ] Deonsração: Considereos A = A A (n ). Coo P,..., P são l.i. enão [ A é inverível. Muliplicando ] AX = b por A, ereos que A X = b onde A = I A A (n ) e b = A b. Escrevendo x,..., x e função das variáveis x +,..., x n a parir de ( ) abaixo e subsiuindo e cx, ereos o seguine PPL: in (γ + x γ n x n β) x α+x α n x n = b x α + x αnx n = b.. (*) x + α+x αnx n = b x,x,..., x n 0 Obs: Colocar u problea na fora básica e relação a u deerinado conjuno de variáveis é ransforar os coeficienes da função objeivo que lhe corresponde e zero, e ransforar a subariz que lhes corresponde na ariz idenidade. Teorea 8.4 Se e ( ) iveros γ +,..., γ n 0, a solução básica obida é oiizane. Deonsração: Seja X o =(x o,x o,..., x o n) a solução básica de ( ). Nesse caso, x o + = x o + =... = x o n =0. Consequeneene, Q (X o )= β. Se X =(x,..., x n ) for oura solução do problea deveos er x i 0, i=,..., n edaí Q (X) =γ + x γ n x n β β = Q (X o ). Porano, Q (X o )é o enor valor para Q (X) na região de viabilidade S.

50 Teorea 8.5 Se algu γ j co j = +,..., n for negaivo e ( ), ua das alernaivas ocorre: i) se o veor coluna P j 0, o problea é iliiado; ii) se P j > 0, podeos udar de base elhorando a solução, se a solução básica de ( ) for não degenerada. Deonsração: Seja X o =(x o,x o,..., x o n) ua solução básica de ( ). Suponha γ + < 0. { b Teos que = x o P x o P P + = α+p α+p.para odo θ, ereos b = ( ) x o θα+ P ( ) x o θα+ P + θp +. Logo, se θ 0ex o i θαi+ 0, enão X θ = ( x o θa +,..., x o θa +,θ,0,...0 ) é ua solução viável (que pode não ser básica) para o problea ( ), co valor Q (X θ )= γ + θ β. i) se αi+ 0, i=,..., (ou seja, P + 0),x o i θαi+ 0. Nesse caso, X θ é facível θ e coo γ + < 0, li θ + Q (X) = e o problea é iliiado. ii) suponhaos agora que x o i > 0(X o não degenerada) e que não eos odos os eleenos a i+ negaivos (P + > 0). Logo, x o i θαi+ 0 se, e soene se, θ xo i { } αi+ x o onde αi+ > 0. Toando enão θ o = in i i ; αi+ > 0 ereos θ o = xo k = b k α k+ α i+, para algu k. Coo x k θ o αk+ =0, a solução correspondene é α k+ X θ0 = ( x o θ o α+,..., x o k θ oαk +, 0,xo k+ θ oαk++,..., xo θ o α+,θ o, 0,..., 0 ). Teos enão ua solução { viável cujo valor } para a função objeivo é γ + θ o β< β x o (liiado, pois θ o = in i i ; αi+ > 0,θé liiado). Fala provar que essa α i+ solução ébásica. Deveos osrar que P,..., P k,p k+,..., P,P + são l.i. Se fosse l.d., eríaos: P + = λ P λ k P k + λ k+ P k λ P co valores λ i be deerinados para i =,..., pois, P,..., P k,p k+,..., P são l.i.. Mas, sabeos que P + = α+p +...αk+ P k+...+α+p. Logo, αk+ =0. Daí, coo xo k θ oαk+ = 0enão x o k =0. Absurdo, pois supoos que ínhaos ua solução x o não degenerada. Porano, P,..., P k,p k+,..., P,P + são l.i. e x θo é solução básica viável. 9 Tableau Siplex Considereos o exeplo: U fabricane de óveis fabrica apenas cadeiras e esas. Ele e lucro de R$ 45,00 e cada cadeira vendida e de R$ 80,00 e cada esa vendida. Supõe-se que, devido à fore deanda desses iens consegue-se vender oda a produção da fábrica. Mas, a produção da fira é liiada e dois aspecos: ) Cada cadeira produzida uiliza 5 unidades de jacarandá. Da esa fora, cada esa de jacarandá produzida uiliza 0 unidades da adeira. Dispoos de 400 jacarandás. ) Cada cadeira gasa 0 hoens-hora e cada esa gasa 5 hoens-hora. Dispoos de 450 hoens-hora. O objeivo é descobrir qual a quanidade óia de cadeiras e esas para que se obenha o aior lucro possível.

51 Modelando o problea: x : quanidade de cadeiras x : quanidade de esas Max Z =45x +80x 5x +0x 400 0x +5x 450 x,x 0 Graficaene: Inserindo as variáveis de folga e reescrevendo o problea: in( 45x +80x 0x 3 0x 4 ) 5x +0x + x 3 +0x 4 = 400 0x +5x +0x 3 + x 4 = 450 x,x,x 3,x 4 0 Oéodo siplex sepre coeça co ua base viável inicial. Nesse caso, coo odas as resrições são do ipo eos ua base óbvia que é a idenidade, referene às colunas das variáveis de folga. [ ] 0 Porano, B = ; x 0 B =[x 3,x 4 ] = [400, 450] e x = x =0. E o ableau siplex associado à base inicial é T ableau : x x x 3 x 4 Z Valor aual da função objeivo x b x b O ableu siplex acia consise de:

52 ) 6 colunas: A prieira coné inforações sobre a base aual (observa-se a função objeivo Z e as variáveis x 3 e x 4 que são a base inicial). As colunas, 3, 4e5coné inforações sobre as variáveis. A úlia coluna coné na a linha o valor aual da função objeivo e nas duas úlias linhas, os valores auais das variáveis básicas. ) 3 linhas: A prieira refere-se a função objeivo e as duas úlias refere-se às resrições do problea. Para verificaros se o ableau expressa ua solução básica viável basa verificar se os valores das variáveis básicas são 0. E, para saberos se a solução éóia ou não, basa verificar se exise algua variável não básica que enrando na base elhore o valor da função objeivo. No nosso exeplo, o aleau nos diz que se enraros co x na base ereos u acréscio de 45x no valor da função objeivo e se enraros co x ereos u acréscio de 80x. Coo o objeivo é axiizar a função enão enrareos co x na base. Deveos auenar x ao áxio considerando as resrições de ão-de-obra e aériapria. Para a resrição de aéria-pria eos: =0= Indica que pode ser processadas 0 unidades de x se que x 3 orne-se negaivo. Para a resrição de ão-de-obra eos: =30= Indica que pode ser processadas 30 unidades de x se que x 4 orne-se negaivo. Deveos enão fabricar 0 unidades de x pois se fabricaros ais de 0 unidades a resrição de aéria-pria será violada. Ao fabricaros 0 unidades de x a variável x 3 orna-se 0. Porano, a variável x deve enrar na base e a variável x 3 deve sair. Agora, deve ser feias as odificações necessárias no ableau. Deveos realizar operações de al aneira que o eleeno que se enconra na inersecção da coluna da variável que enra na base co a linha da variável que sai da base se orne e os deais eleenos da coluna seja ransforados e zero. Tal procedieno chaa-se pivoeaeno. Porano, T ableau : x x x 3 x 4 Z x /4 /0 0 0 x 4 5/4 0 3/4 50 que corresponde [ ] à seguine base: 0 0 B = ( 5 a coluna: coluna original de x ; a coluna: coluna original de x 4 ); x B =[x,x 4 ] = [0, 50] e eos a seguine solução básica viável (0, 0, 0, 50). Novaene deveos observar se o valor da função objeivo éóio: Se enraros co x na base ereos u acréscio de 5x no valor da função objeivo. Ao passo que se enraros co x 3 na base ereos u decréscio de 4x no valor da função.

53 Sairá da base a variável que zerar prieiro. Quando x auena x diinui e /4, porano, podeos auenar x aé o valor de 0 /4 = 80. Quando x auena x 4 diinui 5/4, porano, podeos auenar x aé o valor de 50 5/4 =4. Assi, x 4 zera prieiro. Após efeuado o pivoeaeno o ableau fica: T ableau 3: x x x 3 x 4 Z x 0 /5 5 4 x 0 3/5 4/5 4 Essa é a solução óia? Si, pois ao enaros enrar co as variáveis x 3 ou x 4 na base o valor [ da função ] objeivo decresce. Assi, a base óia é 0 5 B = ; e a solução óia é x 5 0 = (4, 4, 0, 0). E o valor óio da função é Z = 00. Observeos no gráfico da região viável o cainho feio pelo éodo siplex aé alcançar o pono óio x. Tableau Solução Ponos correspondenes no gráfico (inicial) x =(0, 0, 400, 450) A x =(0, 0, 0, 50) B 3 x = (4, 4, 0, 0) C A abela acia serve siplesene para verificaros que o éodo siplex cainha de vérice (=solução básica viável) e vérice aé alcançar o pono óio. 9. Casos especiais Alguns casos pode ocorrer nos odelos de prograação linear, são eles: Epae na Enrada Quando houver epae na escolha da variável que enra na base, deve-se oar a decisão arbirariaene. A única iplicação envolvida é que pode-se escolher u cainho ais longo ou ais curo para chegar à solução óia. Epae na Saída - Degeneração O epae na escolha da variável que sai da base ocorre porque duas ou ais variáveis básicas se anula ao eso epo. Sepre que houver epae na saída ua das variáveis que peranecer na base se anulará. Quando isso aconece diz-se que a solução copaível básica é degenerada. Coo no caso anerior a decisão de que sai da base deve ser oada arbirariaene. Aqui abé escolheos enre u cainho ais longo ou ais curo pra se chegar a solução óia. Enreano, u dos aiores probleas da degeneração é o de, evenualene, se enrar e circuios (ciclos) inerináveis à procura da solução óia. Exise u éodo de escolha de que enra na base que evia a ocorrência desses ciclos, as não há regisros de casos reais e que haja ocorrido esses ciclos (já havia exeplos paológicos de ciclos e 95). A aior pare dos códigos de prograação linear siplesene ignora a possibilidade da ocorrência desses ciclos.

54 9. Méodo de duas fases Oéodo siplex pare de ua solução copaível básica e aé agora supuseos que era possível obê-la co facilidade. Iso sóé verdade para probleas uio siples. Ua aneira uio elegane de conornar essa dificuldade é o chaado éodo de duas fases, que fornece ua solução copaível básica para o problea ou indica que não e solução. Esa caracerísica orna o éodo de duas fases basane araene, pois seria ipraicável garanir, a priori, a coerência das equações. Aidéia é a seguine: Prieiro esabeleça as equações de aneira usual, uilizando as variáveis de folga, e, para cada resrição do ipo 0 ou = associe ua variável arificial x j. Oéodo das duas fases coeça co a fase, que é a iniização da soa das variáveis arificiais, sujeia a resrições Ax + x a = b, x 0ex a 0. Se o problea original Ax = b, x 0, e solução viável, enão o valor óio para a função objeivo da fase ende a zero, pois odas as variáveis arificiais acopladas ao problea original ende a zero, ou seja, elas deixa a base. Após eliinaros as colunas perencenes às variáveis arificiais não-básicas, coeçaos a fase que é resolver o problea original co a base facível enconrada na fase. Considereos o seguine exeplo: Graficaene: MinZ =3x +x x + x 5 x + x 7 x,x 0 3.jpg Colocando as variáveis de folga:

55 Colocando as variáveis arificiais: MinZ =3x +x x + x x 3 =5 x + x x 4 =7 x,x,x 3,x 4 0 MinW = x 5 + x 6 x + x x 3 + x 5 =5 x + x x 4 + x 6 =7 x,x,x 3,x 4,x 5,x 6 0 Aplicando o éodo das duas fases. Na prieira fase enconrareos ua base enre as variáveis básicas e não-básicas: x x x 3 x 4 x 5 x 6 W x x Coo x 5 e x 6 esão na base, as enradas correspondenes a ais variáveis na função objeivo W deve ser 0 : x x x 3 x 4 x 5 x 6 W x x Coo quereos iniizar W enão x deve enrar na base pois fornece u cuso enor elhorando o valor da função objeivo e x 6 deve sair já que zera prieiro. x x x 3 x 4 x 5 x 6 W 0 / / 0 3/ 3/ x 5 0 / / / 3/ x / 0 / 0 / 7/ Coo houve epae para a enrada na base enre x e x 4 e a escolha é arbirária, opareos por colocar x 4 na base e irareos x 5. x x x 3 x 4 x 5 x 6 W x x Aqui erina a fase pois nenhu variável que enrar na base iniizará o valor da função objeivo. O valor x enconrado foi (5, 0, 0, 3, 0, 0) e valor oiizado para a função

56 W é zero. Coo não há variáveis arificiais na base enão a solução óia do problea original só envolve variáveis do problea original, porano as variáveis arificiais pode ser excluídas a parir daqui e a fase coeça: coloca-se a função original Z no lugar da W e resolveos o problea original co a base enconrada na fase. x x x 3 x 4 Z x x 0 5 Coo x esá na base sua enrada na função objeivo deve ser zero: x x x 3 x 4 Z x x 0 5 Coo a inenção é iniizar Z deveos colocar x na base pois oferece u cuso enor e reirar x 4, pois zera prieiro. x x x 3 x 4 Z 0 0 x 0 3 x 0 Assi, coo nenhua variável ao enrar na base fornece u decréscio no valor da função objeivo enão já eos u valor óio, fornecido pela solução óia x = (, 3, 0, 0). O valor óio é Z =. 0 O Problea de Transpore O odelo do ranspore visa iniizar o cuso oal do ranpore necessário para abasecer n cenros consuidores (desinos) a parir de cenros fornecedores (origens). As quanidades disponíveis e cada orige são: a,a,..., a. As quanidades requeridas e cada desino são: b,b,..., b n. O cuso uniário de ranspore enre a orige i e o desino j é c ij. Sendo x ij a quanidade a ser ransporada da orige i ao desino j o odelo oa o seguine aspeco: MinZ = i=j= n x ij = a i (i =,,..., ) j= x ij = b j (j =,,..., n) i= n c ij x ij () x ij 0(i =,..., )(j =,..., n) Observeos que, ao soaros as resrições de ofera obeos:

57 n x ij = i=j= E, ao soaros as n resrições de deanda: a i i= n x ij = n j=i= b j j= Assi, a i = n i= b j j= indicando que o odelo exige ua igualdade enre a ofera e a deanda oais. Desenvolvereos o algorio do ranspore, e para isso vaos represenar o odelo () da seguine aneira: n Of era x x x n a x x x n a x x x n a Deanda b b b n () Necessiareos abé de u ouro quadro envolvendo os cusos: n Of era c c c n a c c c n a c c c n a Deanda b b b n (3) Observeos que as linhas dos dois quadros dize respeio às origens, enquano as colunas dize respeio aos desinos. Ao quadro () dá-se o noe de quadro de soluções e ao (3) de quadro de cusos. Já sabeos que ua solução inicial deverá ser ua solução copaível básica do sisea forado pelas resrições do odelo (). Exeplos de Modelo de Transpore Ofera Igual Deanda Ua fira fabrica u deerinado produo e quaro cidades A, B, C e D; o produo desina-se a rês cenros de consuo, e 3. Sabe-se que: a) As cidades A, B, C e D dispõe respecivaene de 30, 0, 50 e 0 unidades do produo. b) Os cenros de consuo, e 3 necessia respecivaene de 0, 40 e 50 unidades. c) Cusos uniários de ranspore e reais:

58 de A para : de A para : de A para 3 : 3 de B para : 0 de B para : não exise esrada de B para 3 : 8 de C para : 3 de C para : 4 de C para 3 : de D para : 5 de D para : de D para 3 : Pede-se forular o odelo de ranspore para se deerinar o prograa que orna ínio o cuso oal de ranspore enre as quaro cidades e os rês cenros consuidores. Seja x ij (i = A, B, C, D e j =,, 3) a quanidade a ser ransporada da cidade i para o cenro consuidor j. Deseja-se que x B seja nulo pois não há esrada de B para. Para forçar essa condição no odelo basa fazer cuso de B para u núero M ão grande quano se queira. O odelo de ranspore correspondene será: in Z = x A +x A +3x A3 +0x B + Mx B +8x B3 +3x C +4x C +x C3 +5x D +x D + x D3 x A + x A + x A3 =30 x B + x B + x B3 =0 x C + x C + x C3 =50 x A x D + x D + x D3 =0 +x B +x C +x D =0 x A +x B +x C +x D =40 x A3 +x B3 +x C3 +x D3 =50 e x ij 0 para i = A, B, C, D e j =,, 3. Noe-se que nese exeplo a ofera oal (0 unidades do produo) é igual à sua deanda oal (0 unidades do produo). Ofera Maior que Deanda Suponha-se que ua fira enha de abasecer duas cidades (, ) co produo esocado e dois arazéns (A, B). As quanidades disponíveis e cada arazé são: Arazé A :30 Arazé B :0 Ofera oal : 50 unidades As quanidades requeridas e cada cidade são: Cidade : 0 Cidade : 30 Deanda oal : 40 unidades

59 Os cusos uniários de ranspore aparece no quadro abaixo e reais: A, 0, 5 B, 0, 5 Deseja-se ober u odelo de ranspore que forneça u prograa para ornar ínio o cuso oal de ranspore enre os arazéns e as cidades. Anes de se forular o odelo convé ressalar que a ofera oal é aior que a deanda oal, indicando que será necessário se fazer esocage do produo. Para equilibrar a ofera co a deanda, pode-se criar ua cidade ficícia (3) co deanda igual a 0 unidades (diferença enre ofera oal e deanda oal). Seja x ij (i = A, B e j =,, 3) a quanidade a ser ransporada do arazé i para a cidade j. As quanidades x A3 e x B3 deve ficar esocadas nos arazéns A e B, pois não exise a cidade 3. Os cusos e A para 3 (C A3 )edeb para 3 (C B3 ) represena os cusos uniários de esocage e cada arazé. Coo o odelo clássico de ranspore não leva e consideração o problea da esocage, far-se-á: C A3 = C B3 =0. O odelo enão será: sujeio à in Z = x A +, 5x A +x B +, 5x B x A + x A + x A3 =30 x B + x B + x B3 =0 x A +x B =0 x A +x B =30 x A3 +x B3 =0 e x ij 0 para i = A, B e j =,, 3. Ofera Menor que Deanda Suponha-se o eso problea do íe anerior e que a quanidade disponível no arazé A fosse diinuida para 0 unidades. Ter-se-ia, enão, ua ofera igual a 30 unidades e ua deanda igual a 40 unidades. Para se equilibrar o odelo pode-se iaginar u arazé ficício (C) co disponibilidade de 0 unidades (diferença enre a deanda oal e a ofera oal). Seja x ij (i = A, B, C e j =, ) a quanidade a ser ransporada do arazé i para a cidade j. As quanidades x C e x C não deverão chegar nas cidades e, pois não exise o arazé C. Os cusos C C e C C represena as ulas uniárias por não se saisfazer as deandas e e. O odelo clássico de ranspore considera esses valores iguais a zero. O odelo seria: sujeio à in Z = x A +, 5x A +x B +, 5x B x A + x A =0 x B + x B =0 x C + x C =0 x A +x B +x C =0 x A +x B +x C =30 e x ij 0 para i = A, B, C e j =,.

60 0. Obenção da Solução Inicial Sabeos que ua solução inicial deverá ser ua solução viável básica do sisea forado pelas resrições do odelo. Esa solução será u pono exreo do conjuno das soluções copaíveis daquele odelo. Precisaos saber quanas equações do sisea do odelo são independenes. Provareos enão o seguine eorea: Teorea 0. Qualquer equação do sisea forado pelas resrições do odelo () pode ser obida por ua cobinação linear das deais, e exise exaaene +n equações independenes naquele sisea. Deonsração: Teos Reescrevendo as resrições: MinZ = n c ij x ij i=j= n x ij = a i (i =,..., ) j= x ij = b j (j =,..., n) i= x x n = a x x n = a.... x x n = a x + x x = b + x x = b.... x n + + x n x n = b n e noação aricial A = n n... 0 ais siples A = n I n I n... I n (+n) (n) (+n) (n) e de fora

61 As linhas de A se divide nauralene e dois conjunos: As prieiras linhas provenienes das resrições de orige que chaareos de linhas de orige e as úlias n linhas provenienes das resrições de desino que chaareos de linhas de desino. Observe que, adicionando-se as prieiras linhas de A se obé n e, adicionando-se as úlias n linhas de A, abé se obé n. Assi, a soa das prieiras linhas de A enos a soa das n úlias linhas de A, produz u veor nulo. Consequeneene, o poso de A é enor que + n. Na verdade, o poso de A é + n, coo osrareos pelo cálculo de u deerinane de orde + n ea que não se anula. Considere a ariz D forada de A, oando-se as colunas n, n,..., n,,..., n e as linhas,..., + n (oiireos a úlia linha). Enão, D = n = n (n ) (n ) Já que D é ua ariz quadrada de orde + n, o poso de A é + n. Denoeos as linhas de orige de A por s i, =,...,, e as linhas de desino de A por d j,j =,..., n. Enão, a relação que expressa a dependência linear enre as linhas de A pode ser escria coo s i n d j = 0 (4) i= j= É iporane noar que o coeficiene de qualquer veor-linha ou é + ou é. Iso significa que qualquer linha de A pode ser expressa coo ua cobinação linear das + n linhas resanes. E ouras palavras, podeos supriir qualquer linha de A, e a ariz ( + n ) (n) resulane erá poso + n. Iso segue do fao de saberos que pelo enos u conjuno de + n linhas é linearene independene, e que por (4) a linha resane pode subsiuir qualquer linha do conjuno e abé será linearene independene. O que acabaos de provar é equivalene a dizer que apenas +n das resrições de () são independenes. Alé disso, podeos reover qualquer resrição, e as + n resrições resanes serão independenes. A conseqüência desse eorea é que a base será forada por ( + n ) variáveis básicas e não por ( + n) variáveis, coo era de se esperar. 0. Idenificação de Solução Copaível Básica Ua solução do odelo de ranspores precisa saisfazer as seguines condições para ser copaível básica: a) Ser copaível, iso é, saisfazer odas as resrições do odelo. b) Coner ( + n ) variáveis básicas.

62 c) Não forar, no quadro de soluções, circuio fechado co as suas variáveis básicas pois, caso conrário a solução copaível enconrada poderá ser obida por ua cobinação convexa de ouras duas soluções copaíveis quaisquer do problea. A Regra do Noroese e o Processo do Cuso Mínio, são dois processos de obenção de solução inicial para o odelo de ranspores. Verificareos que abos fornece soluções copaíveis básicas, pois saisfaze as rês condições aneriores. Regra do Noroese O processo será aplicado no quadro de soluções segundo os seguines passos: ) Coece pela célula superior esquerda. ) Coloque nessa célula a aior quanidade periida pela ofera e deanda correspondenes. 3) Aualize os valores da ofera e da deanda que fora odificadas no passo. 4) Siga para a célula da direia se houver algua ofera resane e vole ao passo. Caso conrário, siga para a célula inferior e vole ao passo. O processo esará concluído quando a célula inferior direia do quadro de soluções for alcançada. Noe que na Regra do Noroese a solução inicial é obida se levar e consideração os cusos dos ranspores (c ij ), iso é, depende exclusivaene das oferas das origens e das deandas dos desinos. Processo do Cuso Mínio Ese processo fornece ua solução inicial que depende não soene dos valores das oferas e das deandas, coo abé dos cusos dos ranspores, visando, ober-se ua solução inicial ais próxia da óia do que aquela fornecida pela Regra do Noroese. Os seguines passos deve ser seguidos nos quadros de soluções e de cusos: ) Localize no quadro de cusos o enor cuso c ij que não enha ofera ou deanda nula. ) Coloque na célula correspondene do quadro de soluções a aior quanidade periida pela ofera e deanda correspondenes. 3) Aualize os valores da ofera e da deanda que fora odificados pelo passo e vole ao passo. O processo coninua aé que seja esgoadas as oferas de odas as origens e supridas as deandas de odos os desinos. Coo achar a solução óia Na obenção da solução óia do odelo de ranspores serão seguidos os esos passos do éodo siplex. Obenção da Função Objeivo e função das variáveis não-básicas Seja o odelo de ranspores:

63 Z n c ij x ij =0 i=j= n x ij = a (i =,..., ) j= x ij = b j (j =,..., n) i= x ij 0(i =,..., )(j =,..., n) É necessário eliinar as variáveis básicas da função objeivo e, para isso, deve-se soar a ela úliplos das resrições do odelo. Muliplicareos u i (i =,..., ) nas resrições de ofera e v j (j =,..., n) nas resrições de deanda e soareos à função objeivo. Z n c ij x ij + n u i xij + n v j x ij = u i a i + n b j v j, ou ainda, i=j= i= j= j= i= i= j= Z = n x ij (c ij u i v j )+ u i a i + n b j v j. i=j= i= j= Coo quereos que as +n variáveis básicas seja eliinadas da função objeivo enão, conhecida ua solução copaível básica, deve-se er: c ij u i v j =0 Os úliplos u i e v j, nu oal de + n incógnias, serão deerinados aravés das + n equações c ij u i v j =0, ua para cada variável básica. Coo se raa de u sisea de + n equações a + n incógnias, podeos resolvê-lo arbirando u valor qualquer (zero, por exeplo) para ua das incógnias e deerinando o valor das deais. Enconrando os valores x ij podeos ober a função objeivo soene e função das variáveis não-básicas e coninuar o processo do éodo siplex. Os casos especiais aqui são os esos enconrados no éodo siplex, e são resolvidos de fora análoga. Exeplo. Considereos o seguine quadro de cusos de u odelo de ranspores: (c ij ) 3 4 Ofera Deanda Vaos ober ua solução inicial pelo Processo do Cuso Mínio, as anes é necessário cerificar que a soa das oferas ( = 7) é igual à soa das deandas ( =7). Agora, podeos seguir os passos do processo: O enor cuso do quadro do exeplo que não e ofera ou deanda nula é a enrada (, 4). Colocareos nessa enrada 4 unidades que é a aior quanidade periida pelas ofera e deanda correspondenes. O novo valor para a deanda do desino 4 é zero (eliinando o desino 4 do quadro de cusos) e da ofera da orige é6.

64 O enor cuso do quadro agora é a enrada (, ). A aior quanidade periida para esa enrada é 6. Assi, eliinareos a orige do quadro. Aualizando: O enor cuso é a enrada (, 3). Colocareos 9 nessa enrada e aualizareos a deanda e a ofera correspondenes: Agora, odificareos a enrada (3, 3) aribuindo à ela unidade Modificareos a enrada (3, ) : E, finalene: (x ij ) Obeos, assi, ua solução inicial pelo Processo do Cuso Mínio. Procurareos agora a solução óia: fareos c ij u i v j = 0 para cada ua das + n variáveis básicas:

65 x 3 :6 u v 3 =0 x : u v =0 x 4 : u v 4 =0 x 3 : u 3 v =0 x 3 : u 3 v =0 x 33 :8 u 3 v 3 =0 Fazendo, por exeplo, u =0: v 3 =6;u 3 =;v = 0; v =9;u = 7; v 4 =8. Calculando, 3 u i a i =0.9+( 7).0+.8 = 54 i= 4 v j b j = = 5 j= Variáveis não-básicas: coeficiene na função objeivo x : c u v =0 0 9= x : c u v =7 0 0 = 3 x 4 : c 4 u v 4 =5 0 8= 3 x : c u v =8 ( 7) 0 = 5 x 3 : c 3 u v 3 =9 ( 7) 6=0 x 34 : c 34 u 3 v 4 =4 8= 6 Tereos, usando Z = 3 i=j= 4 x ij (c ij u i v j )+ 3 u i a i + 4 v j b j que Z = x 3x +5x +0x 3 3x 4 6x Observeos que a solução não é óia pois, coo quereos iniizar Z se enraros co as variáveis x,x 4 ou x 34 o valor da função objeivo decresce. Podeos fazer o que fizeos aé agora uilizando o quadro de cusos: i= j= Noeos que os valores das variáveis básicas fora represenados por u pono ( ), sibolizando os seus valores nulos. Obida a função objeivo verificaos que a solução não é óia pois exise alguns coeficienes negaivos para as variáveis não-básicas.

66 A variável que deve enrar na base é x 34 pois apresena o enor coeficiene negaivo. Sabeos, pelo éodo siplex, que deve sair da base a variável que se anular prieiro. Isso deve ser feio no quadro de soluções da seguine aneira: a) Iaginar que a variável x 34 enrará na base co o aior valor θ 0 possível. b) Soar e subrair θ aos valores de ceras variáveis básicas de al odo a se fechar u circuio que garana a copaibilidade da nova solução. No quadro anerior, ao se soar θ na célula (3, 4) precisou-se subraí-lo na célula (3, ), soá-lo na célula (, ) e, finalene, subraí-lo na célula (, 4). O circuio fechado forado pelos θ é sepre único. c) Deerinar o aior valor periido a θ (denoinado θ ax ), iso é, o valor de θ que gera a variável básica que se anula ais rapidaene. Do quadro anerior e-se: x =6+θ x 4 =4 θ 0 θ 4 x 3 = θ 0 θ enão, θ ax =ex 3 é a variável que sai da base pois se anula prieiro. As deais variáveis não se alera. Assi, o novo quadro de soluções será: Para verificar se essa solução éóia eos que calcular os u i e v i e reiniciar o processo: Coo alguns dos c ij u i v j calculados são negaivos a solução não éóia. Logo, deveos enrar co a variável x na base pois essa variável apresena o enor coeficiene negaivo. Fazendo o circuio fechado coo indicado na figura abaixo, ê-se:

67 x 3 =9 θ 0 θ 9 x 3 =6 θ 0 θ 6 x 33 =+θ 0 Logo, θ ax = 6 e os novos quadros serão: Observaos que essa solução é óia pois os coeficienes das variáveis não básicas não iniiza ais a função objeivo pois são odas posiivas, dessa fora ereos a solução óia: x =6;x 3 =3;x =7;x 4 =3;x 33 =7;x 34 = e odas variáveis não-básicas iguais a zero. Teos ainda: 3 u i a i = =33 i= 4 v j b j = = 04 j= A nova função objeivo orna-se enão: Z =37+7x +3x 4 +x +4x 3 +6x 3 +3x 3 e, porano, o valor ínio de Z é Z = 37. Inequações nas resrições de u problea de ranspore () iveros u problea de ranspore da seguine fora: Se ao invés do problea

68 in Z = i,j c ij x ij n x ij i= j= i= n n x ij = i= j= j= a i b j x ij 0 para odos i, j Por ua razão que se ornará breveene clara, usaos aqui n aoinvés de n. As prieiras resrições conê agora u sinal ao invés de igualdade. Fisicaene, iso siplesene significa que ais unidades pode esar disponíveis nas origens do que são requeridas nos desinos. As inequações pode ser converidas para igualdades pela adição de variáveis de folga. Esas variáveis de folga serão escrias coo x in,i=,...,. Enão as resrições se orna n x ij + x in = i= j= i= i= n n x ij = i= j= j= a i b j Isolando x in ereos: x in = i= n a i b j = b n i= j= Aqui eos o ineressane e inuiivaene óbvio resulado de que a folga oal, iso é, a soa das variáveis de folga, peranece consane e é a diferença, denoada por b n, enre as disponibilidades de orige e os consuos de desino. Para consruiros o quadro siplesene adicionaos ua coluna a ais, iso é, u desino adicional para a folga. Inuiivaene, esa aproxiação é esperada já que as unidades não ransporadas pode ser consideradas coo ransporadas por si só, a cusos nulos. Confore usual, o cuso c in associado à variável de folga x in é zero. Considere agora o seguine problea:

69 ax Z = i,j c ij x ij i= i= n x ij = j= n x ij j= i= n j= a i b j x ij 0 para odos i, j Inroduza as variáveis de folga x j,j =,..., n e noe que n x j = j= n b j j= i= a i = a 0 As resrições pode porano ser converidas no conjuno de equações i= i= n x ij j= n x ij = j= i= n x j = a j= n x j = j= Aqui ua nova dificuldade surge porque os coeficienes das variáveis de folga são ao invés de. Novaene, é fácil osrar que odos os enores da ariz dos coeficienes ê os valores ±, 0. Oéodo copuacional é exaaene o eso de anes, exceo que usaos z j = u v j para calcular z j c j. Para resolver ese problea, adicionaos ais ua linha a u quadro, iso é, ua orige adicional conendo o negaivo do excesso oal. n j= a i b j Degeneração Ua solução facível para u problea de ranspore é degenerado se enos que + n dos x ij fore posiivos. A degeneração pode ser enconrada no processo de deerinação da solução básica facível inicial ou e algua ieração subsequene. Do pono de visa práico, a degeneração não causa qualquer dificuldade, da esa fora que não causou qualquer dificuldade real no éodo siplex. O Problea no Sisea de Transpore Coleivo e Uberlândia

70 As garagens A, de Auo Aviação Triângulo (Aviril) e T, de Transcol, fornece ônibus para linhas específicas de ranspore coleivo, que esão represenadas nas linhas das abelas a seguir. Para percorrer a linha, o ônibus percorre ua quiloerage ociosa que chaareos de quiloerage ora. O nosso objeivo é enar iniizar essa quiloerage ora e, co isso, o cuso, esabelecendo que os ônibus pode sair de qualquer ua das garagens para percorrer qualquer ua das linhas. Para isso coleaos dados de 0 linhas enre roncais e alienadoras na Secrearia de Trânsio e Transpore da Prefeiura Municipal de Uberlândia, referenes à deanda, à froa e sobre a quiloerage ora das linhas que sae originalene das respecivas garagens. Nos noes dados às linhas as leras AeTaparece denoinando se essas linhas são roncais (que liga os cinco erinais de Uberlândia) ou alienadoras (que chega aos erinais). Os dados que não ínhaos sobre quiloerage ora nós coleaos no sie O cuso que nos foi fornecido pela Secrearia de Trânsio e Transpore foi de 0,9 R$/k. Para que os cálculos seja ais siples oareos o cuso de R$,00 por quilôero percorrido. Analisaos os dados separados por dias úeis, sábados, doingos e feriados.. Dias Úeis Aúlia linha da abela se refere à deanda de ônibus por linha e a úlia coluna se refere à ofera de ônibus por garage. O quadro de cuso fica da seguine fora: Pela Regra do Noroese, a solução inicial será: Uilizando o quadro de cusos, obeos:

71 Observaos que essa não é a solução óia pois exise coeficienes negaivos nas variáveis não-básicas. Assi, que deve enrar na base é a variável x A7. Vejaos que deve sair: O aior valor será θ =.Coo a variável x A8 se anula prieiro ela deve sair da base. Calculando novaene u s e v s no quadro de cusos: Verificaos que essa ainda não é a solução óia e que deve enrar na base éa variável x T (aqui a escolha de que enra na base é aleaória pois há u epae na enrada). Dependendo da escolha o núero de ierações aé a solução óia pode ser odificado. Vejaos que deve sair: O valor de θ será θ = e coo a variável x T 7 se anula prieiro ela deve sair da base. Coninuando o processo:

72 Observe que a enrada x A ainda iniiza o cuso e por isso deve enrar na base. E assi, coo θ =0, a variável x T deve sair da base. Verificaos que essa ainda não é a solução óia, já que a enrada x A3 iniiza o cuso. Assi, θ = 4 e que sai da base é x A. A enrada x T 6 ainda iniiza o cuso, logo: Fazendo θ = 6 que sai da base é x A6 (a escolha aqui abé é aleaória já que houve epae na saída). Essa escolha não alera a solução óia as, possivelene alera-se o núero de ierações.

73 Ainda não é a solução óia pois ainda há alguas enradas negaivas que iniiza o cuso. A enrada x T 3 sai da base quando θ =0. A solução ainda não éóia por isso enrareos co x A4 na base. E co θ = 5 que sai da base é a enrada x T 4. A enrada x A6 ainda iniiza o cuso.

74 E fazendo θ = 5 que sai da base é x T 6. A enrada x A8 iniiza o cuso. E co θ = 3 que sai da base é x T 8. A enrada x A9 ainda é negaiva. Fazendo θ = a enrada x A3 sai da base.

75 A enrada x T 7 iniiza o cuso. Co θ = que sai da base é a enrada x T 9. E enão: Observaos que esse quadro nos dá a solução óia pois não há ais enradas negaivas nas variáveis não-básicas. O quadro óio será: E a nova disribuição de linhas ficará:

76 Co essa nova disribuição cuso que inicialene era de R$974, 8 passaria para R$599, 4, e a econoia seria enão de R$375, 4 ao dia.. Sábados O quadro de cusos fica: Pela Regra do Noroese a solução inicial será:

77 Uilizando o quadro de cusos: Observe que essa solução não éóia pois hávárias variáveis negaivas que iniiza o cuso. A variável x T 6 deve enrar na base. Vejaos que deve sair: Fazendo θ =4, a variável x A6 zera prieiro e por isso deve sair da base: Observe que não éóio. Colocareos a enrada x T na base: Co θ = que sai da base é a variável x T :

78 Agora que vai enrar na base é a variável x A7 : Co θ = que sai da base é x T 7 : A variável x A3 deve enrar na base: Co θ = 4 a variável x A deixa a base: A variável x T 3 deve enrar na base:

79 Co θ = que deve sair da base é x T 3 : A variável x A4 enra na base: Co θ = 4 que sai da base é x T 4 : Que enra é x A6 : Co θ = que sai é x A3 :

80 Que enra é x T 7 : Co θ = escolheos x A7 para sair da base: A variável x T 8 deve enrar na base: Co θ = 0 que sai da base é x T 6 : Que deve enrar é x A8 :

81 E co θ = 3 escolheos x A8 para sair da base: A variável x T 9 enra na base: Co θ = 0 a variável x T 8 deixa a base: A variável x A9 enra na base: Co θ = escolheos x T 9 para sair da base:

82 Esse quadro represena a solução óia que será: Observe que a enrada x T 9 esá na base as co valor 0.O quadro de disribuições será: Co essa nova disribuição cuso que inicialene era de R$385 passaria para R$5, 4, e a econoia seria enão de R$69, 6 ao dia.

83 .3 Doingos e Feriados O quadro de cusos fica: Pela Regra do Noroese a solução inicial será: Uilizando o quadro de cusos: Observe que essa não é a solução óia, deve enrar na base a variável x A7 : Co θ = podeos escolher a enrada x para sair da base:

84 A variável x T 7 deve enrar na base: Co θ = 0 a variável x T 7 sai da base: A variável x A deve enrar na base: Co θ = a variável x A7 deixa a base: Que deve enrar na base é x T 6 : Co θ = 3 a variável x A6 deixa a base:

85 A variável x T enra na base: Co θ =,x T deixa a base: A variável x A3 enra na base: Co θ = 5 escolheos a enrada x T 3 para sair da base: A variável x A4 enra na base:

86 Co θ = 0 que sai é x A : A variável x T 3 enra na base: Co θ =3,x T 4 deixa a base: A variável x A6 enra na base: Co θ = 3 escolheos x T 6 para sair da base:

87 A variável x A8 enra na base: Co θ = 0 a variável x A3 deixa a base: Esse quadro represena a solução óia que será: O quadro de disribuição ficará:

88 Co essa nova disribuição cuso que inicialene era de R$00, 8 passaria para R$800, 6, e a econoia seria enão de R$0, ao dia. 3 Conclusão Que paga pela quiloerage ora é o passageiro que paga passage inegral, já que na cidade de Uberlândia os esudanes paga sessena porceno da passage e deficienes e idosos e a grauidade da passage. Enreano, o lucro é disribuido para as epresas de acordo co a deanda das linhas e porano não seria econoicaene viável essas odificações. Porano, esses resulados serão encainhados ao responsável pela Secrearia Municipal de Trânsio e Transpore da Prefeiura Municipal de Uberlândia e propor essas udanças. Referências [] Maculan Filho, Nelson; Pereira, Mário Veiga Ferraz, Prograação Linear. São Paulo: Alas, 980.

89 [] Hadley, G., Prograação Linear. Rio de Janeiro: Ediora Guanabara Dois S. A., 98. [3] Bodrini, J. L.; Cosa, S. I. R.; Figueiredo, V. L. & Wezler, H. G. Álgebra Linear. 3a. ed. São Paulo: Ediora Harbra, 980. [4] Puccini, Abelardo de Lia, Inrodução à Prograação Linear. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cieníficos Ediora S. A., 978. [5] Bregalda, Paulo Fábio, Inrodução à Prograação Linear. Rio de Janeiro: Capus, 98.

90 U Texo Sobre Curvas Paraerizadas no Plano Laís Bássae Rodrigues Edson Agusini Faculdade de Maeáica - Faa Universidade Federal de Uberlândia - Ufu - MG Seebro de 006 Resuo Ese rabalho é u exo sobre curvas paraerizadas planas, assuno geralene abordado no início de cursos de Geoeria Diferencial de graduação. O Teorea Fundaenal das Curvas é deonsrado. Palavras-chave: Geoeria Diferencial, Curvas Paraerizadas Planas, Mudança de Parâeros, Reparaerização, Curvaura, Evolua, Involua, Teorea Fundaenal das Curvas Planas. Curvas Planas Definição: Ua curva paraerizada do plano é ua aplicação α :]a, b[ R sendo ]a, b[ u inervalo abero da rea: sendo: α : ]a, b[ R α () =(x (),y()), x : ]a, b[ R x () e y : ]a, b[ R y (). Dizeos que α é conínua se as funções x e y fore conínuas. Exeplo : A aplicação: α : ]0, π[ R α () = (sen, cos ) é ua curva paraerizada do plano (circunferência enos u pono). laisbassae@hoail.co Orienanda do Prograa de Educação Tuorial da Faculdade de Maeáica (PeMa) de jan/06 a dez/06. agusini@ufu.br Professor orienador.

91 y 0 As funções coponenes: (-,0) = (3 /) x (0,-) = ( ) (,0) = ( /) x : ]0, π[ R x () = sen são conínuas. Logo, α é conínua. e y : ]0, π[ R y () = cos Observações: (i) A circunferência (enos u pono) esboçada acia éoraço de α, ou seja, é a iage de α: Traço (α) = I (α) ={α () R ]a, b[} R. (ii) O gráfico de α é o conjuno: G α = {(, α ()) R 3 ]a, b[} R 3 que, obviaene, é diferene do raço de α. (iv) Sepre que for conveniene ireos esender o doínio de u curva paraerizada do plano para u conjuno abero de R. Exeplo : A aplicação: α : R { ( R ), α () = ;se 0 (0, 0) ; se =0 é ua curva paraerizada do plano (hipérbole ais u pono). y x As funções coponenes: x : R { R se 0 x () = 0se =0 y : R { R se 0 0se =0

92 equivale a: Logo, α é desconínua. x : R R que é conínua x () = y : R { R se 0 que é desconínua 0se =0. Definição: Ua curva paraerizada do plano: α : ]a, b[ R α () =(x (),y()) é diferenciável de classe C k ; k se cada ua das funções x e y for diferenciável de classe C k. Analogaene, α é de classe C 0 se x e y fore conínuas. Finalene, α éde classe C se x e y fore de classe C. Exeplo 3: Considereos a curva: α : R R α () =(, ) y x Teos: Enreano: De fao: desa fora: y() y(0) li 0 0 y() y(0) li x : R R x () = y : R R y () = é de classe C. não é de classe C. y : R { R se 0 = se <0 = li 0 = = li = 0 + li 0, y () y (0) 0 = y (0). Logo, y não é derivável e =0, ou seja, y não é de classe C (as é de classe C 0 ). Conclusão: α não é de classe C e, porano, não é de classe C. No enano, α éde classe C 0. Exeplo 4: Considereos: β : R { R ( β () =, )se 0 (, )se<0.

93 Teos Traço (β) = Traço (α) (do exeplo acia) e: x : R { R x () = se 0 se <0 e y : R R y () =. (y é C ). Mas x é derivável e =0: x() x(0) li x() x(0) li 0 0 = li 0 + = li 0 = li =0 0 + = li =0 0 + x () x (0) li 0 0 = x (0) = 0. Assi: x : R { R se 0 x () = se <0 é conínua. Logo, x é de classe C e, porano, β é de classe C. Observeos que x não é de classe C pois x () x (0) li = e li 0 x () x (0) 0 =. Conclusão: Olhar o raço da curva não perie irar conclusões quano a sua classe de diferenciabilidade. Exeplo 5: (generalização do exeplo anerior) A curva: γ : R { R ( γ () =, )se 0 (, )se<0 ; N é al que Traço (γ) =Traço (α) eγ é de classe C. Observação: Se esivésseos rabalhando co raços que fosse gráficos de funções f : R R, eríaos que a presença de u bico iplicaria e não diferenciabilidade. y y Diferenciável G f x G f Não diferenciável x Veor Tangene Seja α :]a, b[ R ua curva paraerizada de classe C. Do Cálculo Diferencial sabeos que α ( 0 )=(x ( 0 ),y ( 0 )) é o veor angene a α e = 0.

94 a 0 b ( 0 ) ( 0 ) y x Definiçao: Ua curva paraerizada α :]a, b[ R é dia regular se: (i) α é de classe C (que, doravane, chaareos de diferenciável); (ii) α () (0, 0), ]a, b[. Exeplos: ) Considereos a circunferência: α : ]0, π[ R α () = (sen, cos ). Teos que α é C e α () = (cos, sen ) (0, 0), ]0, π[. Logo, α é regular. ) Considereos: β : R { R ( β () =, )se 0 (, )se<0. Vios que β é de classe C as não é de classe C. Alé disso, β (0)=(0, 0). Logo, β não é regular. 3) Considereos a espiral logaríica: γ : R R γ () =(e cos, e sen ) =e (cos, sen ). y ( ) ( /) (0) (- /) (3 /) ( ) x Teos: } x () =e cos y () =e são C = γ é diferenciável. sen Alé disso, γ () =(e cos e sen, e sen + e cos ). Assi: { e γ 0 cos ( 0 )=(0, 0) 0 e 0 sen 0 =0 e 0 sen 0 + e 0 cos 0 =0 { { cos 0 sen 0 =0 cos sen 0 + cos 0 =0 0 = sen 0 cos 0 = sen 0

95 ou seja, sen 0 = cos 0 =0, que é ua conradição. Por conseguine, γ () (0, 0), R. Logo, γ é regular. 4) Considereos a rariz: α : ]0,π[ R α () = ( sen, cos +ln ( )) an. y / 0 ( /) = (,0) x rariz Observeos que ]0,π[ ] 0, π [. Coo sen ; cos ; an ;ln( an ) τ esão definidas para ]0,π[esão C, da Análise sabeos que coposa de funções C é C. Logo, α é C. ( ( Alé disso, α () = cos, sen + an sec Assi: { α ( 0 )=(0, 0) ) cos 0 =0 sen 0 + sen 0 =0 { cos 0 =0 cos 0 = Logo, α ( ) π =(0, 0), ou seja, α não é regular. Observeos que excluindo-se = π,αseria regular. ) = ( cos, sen + sen ). { cos 0 =0 sen 0 = { cos 0 =0 cos 0 =0 0 = π ; ( ]0,π[). 3 Rea Tangene Seja α :]a, b[ R ua curva regular. A rea angene a α e 0 ]a, b[ é a rea que passa por α ( 0 ) e e a direção do veor α ( 0 ). Sua equação veorial é dada por r (s) =α ( 0 )+sα ( 0 ); s R. b y ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) r a x Exeplo: Seja: α : R R α () =(a + r cos, b + r sen ),

96 sendo a, b R e r R +. Teos que o raço de α é ua circunferência co cenro (a, b) e raio r: { { x () =a + r cos (x () a) = r = cos y () =b + r sen (y () b) = r sen = (x () a) +(y () b) = r = (x a) +(y b) = r ( x e y não depende de ). y (0) b r (0) (0) a x Para = 0 eos α (0) = (a + r, b) eα (0) = (0,r). Rea angene: g (s) =α (0) + sα (0) = (a + r, b)+s (0,r) ou seja: Equação caresiana: x = a + r. Exercício: Considere a rariz: g (s) =(a + r, b + sr); s R. α : ]0,π[ R α () = ( sen, cos +ln ( )) an. Mosre que o coprieno do segeno de rea angene copreendido enre α () eo eixo y independene de e sepre possui coprieno igual a. Observação: Ua curva paraerizada no plano pode ser definida e u inervalo fechado [a, b] R e, nese caso, α :[a, b] R é ua curva paraerizada diferenciável se exisir δ>0eβ :]a δ, b + δ[ R diferenciável al que β [a,b] = α. b+ y a- a b x Exeplo: A curva: é diferenciável, pois δ = π al que: é diferenciável e β [0,π] = α. α : [0, π] R α () = (cos, sen ) β : ] π, 3π[ R β () = (cos, sen )

97 4 Coprieno de Arco Seja α : I R R ua curva regular, sendo I u inervalo de R. Definição: O coprieno de arco da curva α enre os ponos 0 e e I é dado por: l = 0 α () d. Do Cálculo Diferencial e Inegral sabeos que l é o liie dos coprienos de ua seqüência de poligonais que ende ao raço de α. y ( ) poligonal de coprieno P n ( 0 ) x Exeplos: ) Seja: α : [0, π] R α () =(a + r cos, b + r sen ) O coprieno de α é: l = π 0 α () d = π ) Seja a espiral logaríiica: 0 ( r sen, r cos ) d = π α : ], 0] R α () =e (cos, sen ). 0 ; a, b R e r>0. π r sen + r cos d = rd =πr. 0 Teos l = li 0 a a 0 = li a a 0 = li a a 0 = li a a = li a =. α () d ( e (cos sen ),e (sen + cos ) ) d e (cos sen ) + e (sen + cos ) d e d ( e 0 e a) Observeos que α (0) = (, 0).

98 y 0, 0 x Coprieno finio! Definição: Seja α : I R R ua curva regular e 0 I. A função: S : [ 0, + [ I R S () = é chaada função coprieno de arco da curva α e 0. 0 α (s) ds Definição: Dizeos que ua curva regular α esá paraerizada por coprieno de arco se α () = para I R. Nese caso, S () = 0. y Coprieno x Coprieno - 0 No exeplo () anerior, α () =(a + r cos, b + r sen ) e eos α paraerizada por coprieno de arco (p.c.a.) quando r = pois, nesse caso, α () =. No exeplo () anerior, α () =(e cos, e sen ) não esá p.c.a. pois α () = e que é diferene de se ln. Definição: Seja α : ]a, b[ R curva regular e ]c, d[ R. Ua udança de parâeros para α é ua aplicação ψ :]c, d[ ]a, b[ bijeora de classe C al que ψ (s) 0, s ]c, d[. A coposa α = α ψ :]c, d[ R é chaada reparaerização de α. Exeplo: A curva: é curva regular e: é C e ψ (s) = 0, s ]0,π[. α : ]0, π[ R α () = (cos, sen ) ψ : ]0,π[ ]0, π[ s ψ (s) =s

99 Porano, ψ é ua udança de parâeros para α e: α = α ψ : ]0,π[ R s α (s) =α (ψ (s)) = α (s) = (cos s, sen s) é ua reparaerização de α. y 0 x 0 Noeos que os raços de α e α coincide. De fao: seja α () Traço (α) = ]0, π[ al que α () = (cos, sen ). Seja s ]0,π[ al que =s. Logo, α () = (cos s, sen s) = α () Traço ( α). Assi, Traço (α) Traço ( α). Analogaene, Traço ( α) Traço (α). Conclusão: Traço ( α) = Traço (α). Proposição: Seja α :]a, b[ R ua curva paraerizada diferenciável e seja ψ : ]c, d[ ]a, b[ ua udança de parâeros. Se ψ é diferenciável, enão α = α ψ é diferenciável. Alé disso, se α for regular e ψ (s) 0, s ]c, d[, enão α é regular. Deonsração: A diferenciabilidade de α segue do fao de que coposa de aplicações C é C. Quano a segunda pare: α (s) =(α ψ) (s) =α (ψ (s)) ψ (s). Mas α () 0, ]a, b[ eψ (s) 0, s ]c, d[. Logo, α (s) 0, s ]c, d[, ou seja, α é regular. Exeplos: ) Seja os segenos: α : ]0, + [ R α () =(, 3) e β : ] 3, + [ R s β (s) =(s +3, 3s +9). A curva β é ua reparaerização de α. De fao: quereos osrar que ψ :] 3, + [ ]0, + [ bijeora, de classe C, ψ (s) 0, s ] 3, + [, al que β = α ψ. Mas: β (s) =α ψ (s) (s +3, 3s +9)=(ψ (s), 3ψ (s)) { ψ (s) =s +3 ψ (s) =s +3. 3ψ (s) =3s +9 Teos ψ :] 3, + [ ]0, + [ bijeora, C e ψ (s) = 0; s ] 3, + [, ou seja, ψ é ua udança de parâeros para α e, porano, β é ua reparaerização de α. ) Considereos: α : ]0, + [ R α () =( cos (ln ),sen (ln )).

100 A curva α é regular pois, considerando a udança de parâeros: eos que: ψ : R R + s ψ (s) =e s α = α ψ : R R s α (s) =(e s cos s, e s sen s) é reparaerização de α. Mas já vios que α é ua espiral logaríica e, porano, regular. 3) Seja α : ]0, π[ R α () = (cos, sen ) As curvas α e β possue o eso raço. De fao: Considereos: ψ : ]0, π[ ]0, π[ s ψ (s) = s +π. e β : ]0, π[ R s β (s) = (cos s, sen s). Teos que ψ é bijeora, C e ψ (s) = 0; s ]0, π[. Mas α ψ (s) = (cos ( s +π), sen ( s +π)) = (cos ( s), sen ( s)) = (cos s, sen s) =β (s). Logo, β é ua reparaerização para α, ou seja, α e β possue eso raço. Proposição: Seja α :]a, b[ R regular. Enão, exise ua udança de parâeros ψ :]c, d[ ]a, b[ (bijeora, C,ψ (s) 0, s ]c, d[) para α, al que α = α ψ saisfaz: i) α (s) =; s ]c, d[; s ii) α (u) du = s s 0 ; s 0,s ]c, d[; s 0 <s. s 0 Deonsração: Seja 0 ]a, b[. Considere a função coprieno de arco: S () = α (u) du; ]a, b[. 0 (Logo, S :]a, b[ R). Teos que S () = α () (Teorea Fundaenal do Cálculo). Coo α é regular, eos α de classe C e α () 0; ]a, b[. Logo, S é de classe C e S () > 0, ]a, b[, ou seja, S é conínua e crescene e ]a, b[. Logo, sua iage é u inervalo abero: S (]a, b[) = ]c, d[ e, porano, S :]a, b[ ]c, d[ é bijeora, C e S () 0. Assi, S :]c, d[ ]a, b[. O Teorea da Função Inversa garane que S é C. Teos (S ) (s) = S (S (s)) 0; s ]c, d[. Logo, ψ = S é ua udança de parâeros para α. Para α = α ψ :]c, d[ R eos: α (s) = (α ψ) (s) = α (ψ (s)) ψ (s) = α (ψ (s)). ψ (s) = α (ψ (s)) S (ψ (s)) = α (ψ (s)) =, s ]c, d[. α (ψ (s))

101 e: s s 0 α (u) du = s s 0 du = s s 0 ; s 0,s ]c, d[; s 0 <s. Definição: A coposa α da proposição acia é chaada de reparaerização de α por coprieno de arco. Exeplos: ) Reparaerizeos a circunferência: α : [0, π] R α () =(a + r cos, b + r sen ),r>0, r, por coprieno de arco. Prieiraene, observeos que [0, π] ]0 ε, π + ε[,ε>0. Teos α () =( r sen, r cos ) = α () = r, ou seja, α não esá paraerizada por coprieno de arco. Seja 0 [0, π]. Logo: Assi: S () = 0 α (u) du = 0 rdu = r ( 0 ). S : [0, π] J S () =r ( 0 ) = ψ = S : J [0, π] s ψ (s) =. Logo: Dese odo: ψ (s) = s = S () =r ( 0 )= = s r + 0 = ψ (s) = s r + 0. ψ : [ r 0,r(π 0 )] [0, π] s ψ (s) = s + r 0 é ua udança de parâeros para α e α = α ψ, ou seja: α : [ r 0,r(π 0 )] R s α (s) = ( a + r cos ( s + ( r 0),b+ r sen s + )) r 0 é ua reparaerização por coprieno de arco para α. ) Reparaerizeos e espiral logaríica: por coprieno de arco. Teos α () = e e S () = α : R R α () =(e cos, e sen ) 0 α (u) du = 0 e u du = ( e e 0 ).

102 Logo, I (S) = ] e 0, + [ e: ] S : R e 0, + [ S () = (e e 0 ). Seja: Logo: ψ = S : ] e 0, + [ R s ψ (s) =. ψ (s) = = s = S () = ( e e ) ( ) 0 s = =ln + e 0. Assi: ψ : ] e 0, + [ R ( ) s s ψ (s) =ln + e 0 é udança de parâeros para α. Seja α = α ψ. Logo: α : ] e 0, + [ ( )( ( ( R )) ( ( ))) s s α (s) = + e 0 s cos ln + e 0 s, sen ln + e 0 é ua reparaerização por coprieno de arco para α. 3) Reparaerizeos a ciclóide: α : ]0, π[ R α () =( sen, cos ) por coprieno de arco. Teos α () = ( cos, sen ) = ( cos ) + (sen ) = cos, ou seja, α não esá paraerizada por coprieno de arco. Seja 0 ]0, π[. Teos: S () = 0 α (u) du = Mas: { ( ) ( ) = cos u + sen u cos u = cos ( ) ( u sen u 0 cos udu. ( ) u = cos u = sen Logo: ( u ) ( S () = sen du = cos u ) ( =4 cos cos ). Assi, S (]0, π[) = ] 4 ( cos 0 ), 4 ( cos 0 + )[. Seja: ). ψ = S : ] 4 ( cos 0 ), 4 ( cos 0 + )[ ]0, π[ s ψ (s) =. Logo: ψ (s) = = s = S () =4 ( cos 0 cos ) ( = =. arccos 4 cos 0 s ), 4

103 ou seja, ψ : ] ( 4 cos 0 ), 4 ( cos 0 + )[ ]0, π[ s ψ (s) = arccos ( ) 4 cos 0 s 4 é ua udança de parâeros para α. Finalene, α = α ψ : ] 4. ( cos 0 ), 4 ( cos 0 + )[ R al que: ( ( α (s) = arccos cos 0 cos ( arccos ) s 4 ( cos 0 s 4 ( sen ))) arccos ( cos 0 s )), 4 é ua reparaerização de α por coprieno de arco. Para 0 = π eos α :] 4, 4[ R e o raço de α ou α é dado na figura abaixo. y x 5 Orienação de ua Curva Seja α :]a, b[ R ua curva paraerizada. A orienação da curva α é o senido de percurso da curva quando varia de a aé b. Considerando α regular, o veor angene α () indica o senido da orienação da curva pois α α ( 0 + h) α ( 0 ) ( 0 ) = li h 0. h y Para h 0; 0 h h 0 h 0 x Seja ψ :]c, d[ ]a, b[ ua udança de parâeros para α (ψ bijeora, C e ψ (s) 0 para s ]c, d[). Toe a reparaerização α = α ψ de α. Enão, se ψ (s) > 0, αe α possue esa orienação pois α (s) =α (ψ (s)) ψ (s). Se ψ (s) < 0, αe α possue orienações oposas. No prieiro caso, dizeos que a udança de parâeros ψ preserva orienação e no segundo caso, que ψ invere orienação. Observação: Ua curva paraerizada ser regular iplica que seu raço não possui quinas, devido ao fao da curva ser C. No enano, ua curva se quinas pode ser

104 não regular. Mais ainda, duas curvas paraerizadas pode er eso raço e ua ser regular e oura não. Exeplo: α : R R α () =( 3, 3 ) não é regular e: é regular. β : R R β () =(, ) 6 Fora Local das Curvas Regulares Seja F :]a, b[ R ua função de classe C. Seja: α : ]a, b[ R α () =(, F ()) ua curva paraerizada. Coo F é C, eos que α é C e α () =(,F ()) (0, 0), ]a, b[, ou seja, α é regular. Teos Traço (α) = I (α) ={α () ]a, b[} = {(, F ()) ]a, b[} = Gráfico (F ). Teorea: Seja α :]a, b[ R ua curva regular e 0 ]a, b[. Enão exise δ>0e ψ :]c, d[ ] 0 δ, 0 + δ[ ua udança de parâeros para α ]0 δ, 0 +δ[ al que α = α ψ saisfaz: α (s) =(s, F (s)) ; s ]c, d[ ou: sendo F :]c, d[ R ua funçao C α (s) =(F (s),s); s ]c, d[, ( 0 - ) y ( 0 ) ( 0 + ) x d c ~ Localene o raço de é o gráfico de F. Deonsração: Coo α é regular e 0 ]a, b[, eos α ( 0 )=(x ( 0 ),y ( 0 )) (0, 0). Suponhaos que x ( 0 ) 0. Coo α é C eos que as funções coponenes são C. Logo, pelo Teorea da Função Inversa, a função coponene x é inversível nua vizinhança de 0, ou seja, δ >0 al que x = x ]0 δ, 0 +δ[ é inversível.

105 Seja: x : x (] 0 δ, 0 + δ[) ] 0 δ, 0 + δ[ a inversa de x. Tabé pelo Teora da Função Inversa eos que x é C. Toeos ]c, d[ =x (] 0 δ, 0 + δ[) e ψ = x. Logo, ψ :]c, d[ ] 0 δ, 0 + δ[ é bijeora, C e ψ (s) 0, ] 0 δ, 0 + δ[. Assi, ψ é ua udança de parâeros para α ]0 δ, 0 +δ[. Seja α = α ψ. Teos: α (s) =(α ψ)(s) =(x (ψ (s)),y(ψ(s))) = ((x ψ)(s), (y ψ)(s)) =(s, y ψ (s)), s ]c, d[. Seja F = y ψ. Logo, F é C, pois y e ψ são C. Assi, α (s) =(s, F (s)), s ]c, d[ e F é C. Se ivésseos iposo y ( 0 ) 0 eríaos α (s) =(F (s),s), s ]c, d[. Observações: ) A fora local das curvas regulares jusifica o fao do raço de ua curva regular não possuir quinas (localene a curva é gráfico de função diferenciável). ) Ua curva paraerizada pode ser regular por pares, ou seja, α :]a, b[ R não é regular, as exise,..., n ]a, b[ ais que α ( i )não exise ou α ( i )= 0;i =,..., n; e α () 0, i ; i =,,..., n. Os ponos,..., n ais que α ( i )= 0;i =,..., n; são chaados de singularidades da curva α. Se i for singularidade de α para qualquer reparaerização de α, dizeos que i é ua singularidade essencial de α. As singularidades essenciais de α fora quinas no raço de α. 3) Dizeos que ua curva paraerizada α é siples se α :]a, b[ R for injeora, iso é, se 0 = α ( 0 ) α ( ). Se α não for siples, dizeos que α e auo-inersecção. b y ( 0)= ( ) ( )= ( 3) 3 a 0 não é injeora x Exeplos: ) Considereos a ciclóide: α : R R α () =( sen, cos )

106 disso: A curva α é regular por pares. De fao: eos que α é C pois x () = sen e y () = cos são C. Alé α () =( cos, sen ) =(0, 0) { cos =0 sen =0 =kπ; k Z. Logo, α (kπ) =(0, 0) ; k Z e α () (0, 0), kπ; k Z. y = k ; k são as singularidades de. 4 x ) Acúbica: α : R R α () =(, 3 ) é regular por pares. De fao: α é C e α () =(, 3 )=(0, 0) =0. Logo, para >0ou<0 α é regular. y x 3) Considereos a curva paraerizada: α : [0, π[ R α () = (( cos ) cos, ( cos ) sen ). A curva α é C pois as coponenes o são. Alé disso, α () =(( sen ) cos + ( cos ) ( sen ), ( sen ) sen + ( cos ) cos ) =( sen + sen, cos cos ) { sen = sen =(0, 0). cos = cos Assi, = 4 (sen + cos ) = =4, ua conradição. Logo, α () (0, 0), R. Conclusão: α é regular. A curva α possui auo-inersecções: { ( cos 0 ) cos α ( 0 )=α( ) 0 = ( cos ) cos. ( cos 0 ) sen 0 = ( cos ) sen

107 Assi, se odos os ebros fosse diferenes de zero: an 0 = an 0 = + kπ, ( π + kπ). E [0, π] : 0 = π. Subsiuindo na a equação: ( cos ( π) ) cos ( π) = ( cos ) cos = ( cos ) ( cos ) = cos cos = cos + cos = cos cos = cos =0= = π + kπ que não serve nesse caso (an 0 = an ). Logo, deveos procurar 0 e que anula algu faor do sisea acia: cos 0 =0= cos 0 = = 0 = π 3 ou 0 = 5π 3 cos =0= = π 3 ou = 5π 3 cos 0 =0= 0 = π ou 0 = 3π cos =0= = π ou = 3π sen 0 =0= 0 =0ou 0 = π sen =0= =0ou = π Tesando as soluções-candidaas, enconraos 0 = π 3 e = 5π coo solução, ou ( 3 π ) ( ) 5π seja, α = α =(0, 0) éoúnico pono de auo-inersecção da curva α. 3 3 O raço de α é u cardióide: y x 7 Fórula de Frene e Curvaura Seja α :]a, b[ R ua curva regular paraerizada por coprieno de arco. Seja: T (s) =α (s) =(x (s),y (s)) veor angene à curva α e s. Coo α (s) = eos T (s) =. Considereos N (s) =( y (s),x (s)).

108 Logo: T (s),n(s) = x (s) y (s)+x (s) y (s) =0, ou seja, N (s) et (s) são veores orogonais. Teos abé N (s) = para s ]a, b[. Logo, {T (s),n(s)} é ua base oronoral de R. Vaos considerar T (s) en (s) baseados e α (s): a s b {T (s),n(s)} α(s) é chaado referencial óvel da curva α ou referencial de Frene-Serre. Exeplo: y N(s) ( s) α : ]0, π[ R s α (s) = (cos s, sen s) é paraerizada por coprieno de arco. Teos: T (s) =α (s) =( sen s, cos s) en (s) =( cos s, sen s): T(s) x T y N 0 N 5 N 3 x T 5 T 3 Observeos que: são aplicações C. Curvaura T : ]0, π[ R s T (s) e N : ]0, π[ R s N (s) Seja {g,g } base oronoral do R. Observeos que qualquer veor v do R pode ser escrio coo v = v, g g + v, g g. De fao: v = a g + a g. Logo, v, g = a e v, g = a e o resulado segue. Seja: α : ]a, b[ R s α (s) paraerizada por coprieno de arco. Os veores T (s) =α (s) et (s) =α (s) são orogonais.

109 De fao: eos T (s) =. Mas: T (s),t (s) T (s) = cos 0 == T (s),t (s) == T (s),t (s) =0. Mas: T (s),t (s) = (x (s),y (s)), (x (s),y (s)) = ((x (s)) +(y (s)) ) =x (s) x (s)+y (s) y (s) = (x (s),y (s)), (x (s),y (s)) = T (s),t (s). Logo: T (s),t (s) =0= T (s),t (s) =0, ou seja, α (s) eα (s) são veores orogonais. Baseados nesses resulados e lebrando que {T (s),n(s)} é oronoral eos: T (s) = T (s),t (s) T (s)+ T (s),n(s) N (s) = T (s) = T (s),n(s) N (s). Onúero k (s) = T (s),n(s) é chaado curvaura de α e s e a equação T (s) =k (s).n (s) é chaada a equação de Frene. Observeos que T (s) en (s) são paralelos e que T (s) = k (s) pois N (s) =, ou seja, k (s) = α (s). a s 0 b y s 0 s 0 s 0 s 0 s 0 h s 0 h s 0 h s 0 h s 0 x De odo análogo ao que foi desenvolvido acia: N (s) = N (s),t (s) T (s)+ N (s),n(s) N (s) = N (s) = N (s),t (s) T (s).

110 Mas: N (s),t (s) = ( y (s),x (s)), (x (s),y (s)) = x (s) y (s)+x (s) y (s) = (x (s),y (s)), (y (s), x (s)) = T (s), N (s) = T (s),n(s) = k (s). Logo: N (s) = k (s).t (s) que é chaada a equação de Frene. Observação: geoericaene, a curvaura indica a velocidade co que o veor angene uda de direção. Exeplo: ( ) Seja α (s) = r cos s r,rsen s ) ; s R e r consane posiiva. r Teos α (s) = ( sen s, cos s r r) = α (s) =, ou seja, α esá paraerizada por coprieno de arco. Curvaura: k (s) = T (s),n(s) = ( cos s )( cos s ) ( sen s )( sen s ) = r r r r r r r, ou seja, a curvaura da circunferência α de raio r acia é consane e igual a r. ) Seja α (s) =(a + bs, c + ds); s R; b e d consanes ais que b + d =. Teos α (s) =(b, d) = (b, d) = b + d =, ou seja, α esá paraerizada por coprieno de arco. Curvaura: k (s) = (0, 0), ( d, b) =0, ou seja, a curvaura da rea α acia é nula. 8 Curvaura de ua Curva α co Paraerização Regular Qualquer Seja α :]a, b[ R ua curva regular. Exise α :]c, d[ R reparaerização de α por coprieno de arco: a c b S =S - s d y s Ns Ts x Teos: { α ψ = α = α ψ (s) = α (s) α S = α = α S (s) =α (s) α () =(x (),y()) T () =(x = (),y ()) = α () T () =(x (),y ()) = α () N () =( y (),x ()).

111 Ide para α (s) =( x (s), ỹ (s)). Gosaríaos que o conceio de curvaura, a enos de sinal, não dependesse da paraerização adoada. Assi, ireos definir a curvaura k () eα () coo sendo a esa curvaura k (s) e α (s); s = S () ; ou seja, k () = k (s). Ua observação: a orienação da curva regular α e a orienação da curva paraerizada por coprieno de arco α pode ser considerada a esa. Se oaros ua reparaerização de α que ude sua orienação, enão o sinal da curvaura uda. Nese caso, para udar a orienação de α basa considerar β (r) =α (b + a r); r ]a, b[. Vaos colocar k (s) e função de. Teos: T (s) =α () = α (s) S () = T (s) S () = ) T () =( T (s).s () S ()+ T (s) S (). Logo: Assi: T (s) = T () T (s).s () S (). k (s) = T (s), Ñ (s) T () = T (s) S () S (), Ñ (s) T () T (s) S = S (), Ñ (s) () S (), Ñ (s) T () = S (), N () S () T (s), S () S () Ñ (s) = T (),N() S () 3. Mas, S () = α () = T (). Logo: k (s) = T (),N() T () 3, ou seja, k () = T (),N() T () 3 é a expressão para a curvaura de ua curva regular α. Observeos que se α já esivesse paraerizada por coprieno de arco eríaos T () = e recaios na expressão que já havíaos obido. Observações: se α :]a, b[ R é ua curva regular, eos: T () = T () T ()

112 e: N () = N () N () são uniários e orogonais. Chaareos { T (), N () } de referencial de Frene da curva α. α() Exeplos: ) Considereos a espiral logaríica α () =(e cos, e sen ); R. Teos k () = T (),N() T () 3. Mas: T () =α () = ( e (cos sen ),e (sen + cos ) ), T () =α () = ( e (cos sen )+e ( sen cos ),e (sen + cos )+e (cos sen ) ) = ( e sen, e cos ), N () =( y (),x ()) = ( e (sen + cos ),e (cos sen ) ), T () = Logo: (e ) ( cos sen cos + sen ) +(e ) ( sen + sen cos + cos k () = ( e sen, e cos ), ( e (sen + cos ),e (cos sen )) ( e ) 3 = k () = e (sen + sen cos )+e (cos cos sen ) e 3 = e e 3 = e > 0, ) = e { ( ) (k () + ) Observeos que k é ua funçao decrescene e ( + ) (k () 0) não exise ponos onde a curvaura éáxia ou ínia.. Porano, ) Considereos a parábola y = x +x +. Façaos x = e y = + +. Assi: α () =(, + +); R; é C e α () =(, +) (0, 0), R, ou seja, α é regular. Teos k () = T (),N() T () 3 e: T () =α () =(, +) T () =α () =(0, ) N () =( y (),x ()) = ( +, ). Logo: k () = (0, ), ( +, ) ( +( +) ) 3 = ( ) 3.

113 Observeos que k () > 0. Deerinando ponos de áxio ou ínio: k () = 3(8+8) ( ) 5 =0 =. Coo k () 0 quando + ou, eos que = é pono de curvaura áxia e k ( ) = é a curvaura áxia pois: ( +) 0= + + 0= = = ( ) 3 3 = = , ou seja: 0 <k(). Não há ponos de curvaura ínia. y Curvaura Máxia - 0 x 9 Rea Noral a ua Curva Seja α :]a, b[ R ua curva regular. Considere os veores T () = α () α () e sendo α () =(x (),y()). Seja s 0 ]a, b[. A rea de equação veorial N () = ( y (),x ()), α () G (s) =α (s 0 )+sα (s 0 ); s R é a rea angene a α e s 0 ( ou G (s) =α (s0 )+st (s 0 ) ). A rea de equação veorial é a rea noral a α e s 0. L (s) =α (s 0 )+sn (s 0 ); s R

114 a y Ns 0 b (s 0 ) s 0 Ts 0 L G x 0 Esudo do Sinal de Curvaura - Convexidade Local Seja α :]a, b[ R ua curva regular C. Seja s 0 ]a, b[. Vaos considerar a rea angene a α e s 0 que denoareos por G s0. Teos que G s0 divide o plano e dois sei-planos fechados: y G s0 s 0 Sei-plano x Sei-plano Definição: Dizeos que α é convexa e s 0 se δ >0 al que α (]s 0 δ, s 0 + δ[) esá conido e dois sei-planos fechados deerinados pela rea angene G s0 : Convexa e s 0 y Ts 0 s 0 G s0 y G s0 Ts 0 s 0 Não convexa e s 0 x x Suponhaos α :]a, b[ R paraerizada pelo coprieno de arco. Logo, T (s 0 )= α (s 0 ). Vaos considerar a equação da rea angene a α e s 0 coo G s0 (s) =α (s 0 )+ (s s 0 ) T (s 0 ). Teos k (s 0 ) N (s 0 )=T (s 0 ). Suponhando k (s 0 ) 0 eos T (s 0 )=α (s 0 ) 0. Expandindo α e Série de Taylor e orno de s = s 0 eos: α (s) =α (s 0 )+(s s 0 ) α (s 0 )+ (s s 0) α (s 0 )+R(s), sendo R ua função veorial al que li s s 0 R (s) (s s 0 ) = 0.

115 Logo: α (s) =G s0 (s)+ (s s 0) α (s 0 )+R(s) = α (s) G s0 = (s s 0) α (s 0 )+R(s), ou seja, α (s) G s0 (s) é u veor que apona para o eso sei-plano (deerinado por G s0 ) que apona α (s 0 ), para valores de s próxios de s 0. Ese sei-plano coné α (s). y G s0 G (s) s 0 (s) - G (s) s 0 (s 0 ) (s) (s0) pois k( s0) 0 x Proposição: Seja α :]a, b[ R ua curva regular paraerizada por coprieno de arco co k (s 0 ) 0. i) k (s 0 ) > 0 a curva α é convexa e s 0 no senido de N (s 0 ); ii) k (s 0 ) < 0 a curva α pe convexa e s 0 no senido de N (s 0 ). Deonsração: (das condições suficienes) Vios que para s suficieneene próxio de s 0,α (s 0 ) apona para o sei-plano (deerinado por G s0 ) que coné α (s), iso é, δ > 0 al que α (s) esá no seiplano aponado por α (s 0 ), s ]s 0 δ, s 0 + δ[. Isso significa que α (]s 0 δ, s 0 + δ[) esá conido e u dos sei-planos fechados deerinados por G s0. Porano, α é convexa e s 0. Mosreos (i) = ) Seja a a equação de Frene: T (s 0 )=α (s 0 )=k (s 0 ) N (s 0 ). Se k (s 0 ) > 0, enão α (s 0 )en (s 0 )ê eso senido. Logo, α (s) esá no seiplano aponado por N (s 0 ) para s ]s 0 δ, s 0 + δ[. Porano, α é convexa no senido de N (s 0 ). (s ) 0 G s0 (s - ) 0 N(s ) 0 (s + ) (s 0 ) 0 Mosreos (ii) = ) Se k (s 0 ) < 0, enão α (s 0 )en (s 0 )ê senidos oposos. Coo α (s) esá no seiplano aponado por α (s 0 ), eos que α (s) esá no sei-plano aponado por N (s 0 ), para s ]s 0 δ, s 0 + δ[. Porano, α pe convexa no senido de N (s 0 ).

116 N(s ) 0 G s0 (s ) 0 (s - ) 0 -N(s ) 0 (s + ) (s 0 ) 0 Observação: Ese resulado abé é válido para curvas regulares não paraerizadas por coprieno de arco. Exeplo: Esudeos a convexidade local da curva cossenóide α () =(, cos ); ]0, π[. Teos α () =(, sen ); α () = + sen, ou seja α não esá paraerizada por coprieno de arco. Teos: α () =(0, cos ); N () = (sen, ) ; N () = (sen, ) + sen. Logo: k () = α (),N() α () 3 = cos ( + sen ) 3. Porano: k () =0 cos =0 = π ou = 3π ; k () > 0 cos <0 π <<3π ; k () < 0 cos >0 0 << π ou 3π <<π. Logo: ] π (a) para, 3π [ a curva é convexa no senido de N () ( ou N () ) ; ] (b) para 0, π [ ] [ 3π, π a curva é convexa no senido de N () ( ou N () ).

117 = y N N 7 0 N 3 7 x G G 3 Observeos que nos ponos = π e = 3π ( π ) ( ) 3π,α = α = 0 (ebora ( π ) ( ) 3π N =(, ) e N =(, )). Neses casos, e ua vizinhança de π ou 3π, a curva α possui ponos nos dois seiplanos deerinados pelas angenes, ou seja, α não é convexa nesses dois ponos. Raio de Curvaura - Círculo Osculador Seja α :]a, b[ R curva regular paraerizada por coprieno de arco co curvaura k (s) 0, s ]a, b[. Onúero real posiivo ρ (s) = é chaado de raio de k (s) curvaura de α e s. Considereos a equação da rea noral a α e s 0 : H s0 (r) =α (s 0 )+rn (s 0 ). Suponhaos que k (s 0 ) > 0 e oeos o pono C (s 0 )=H s0 (ρ (s 0 )) na rea H s0, ou seja: C (s 0 )=α (s 0 )+ρ (s 0 ) N (s 0 )= C (s 0 )=α (s 0 )+ k (s 0 ) N (s 0). y d(c(s 0), ( s0)) = ( s0) H s0 N(s 0 ) C(s 0 ) (s ) 0 x k(s)>0 0 Suponhaos que k (s 0 ) < 0 e oeos o pono C (s 0 )=H s0 ( ρ (s 0 )) na rea H s0, ou seja: C (s 0 )=α (s 0 ) ρ (s 0 ) N (s 0 )= C (s 0 )=α (s 0 ) k (s 0 ) N (s 0).

118 y d(c(s 0), ( s0)) = ( s0) N(s ) 0 (s ) 0 H s0 C(s ) 0 x k(s)<0 0 O pono C (s 0 )=α(s 0 )+ k (s 0 ) N (s 0)é chaado de cenro de curvaura de α e s 0. Ocírculo de cenro e C (s 0 ) e raio ρ (s 0 )é chaado de círculo osculador à curva α e s 0. y y N C N C x x Observeos que o círculo osculador esá sepre na região convexa que a curva deerina. Observeos abé que quano aior a curvaura (e ódulo), enor o círculo osculador. N N N A curva forada por odos os cenros de curvaura é chaada de evolua de α eé dada por: E (s) =α (s)+ N (s); s ]a, b[. k (s) Proposição: Seja α :]a, b[ R ua curva regular paraerizada por coprieno de arco co k (s) 0.Considere E :]a, b[ R a evolua de α. Enão: a) E é de classe C. b) Se k (s) 0, s ]a, b[, enão E é regular. c) Na hipóese de b), as reas angenes a E são as reas norais a α. Deonsração: a) Teos que: α (s) =(x (s),y(s)) ; N (s) =( y (s),x (s)) ; k (s) = α (s),n(s) são aplicações C pois x (s) ey (s) são C. Logo, E (s) =α (s)+ k (s) N (s) é C.

119 b) Teos: E (s) =α (s) k (s) k (s) N (s) (s)+n k (s) = T (s) k (s) k (s) N (s) k (s) k (s) T (s) (s) = k k (s) N (s). Coo k (s) 0 eos E (s) 0, ou seja, E é regular. c) A rea angene a E e s é dada por: G s (r) =E (s)+re (s) =α (s)+ k (s) N (s) r k (s) k (s) que é rea noral a α e s. ( N (s) =α (s)+ k (s) r k (s) k (s) ) N (s), G s3 (s ) G s G s E E(s ) E(s ) E(s ) 3 (s ) (s ) 3 Exeplos: ) Considereos a circunferência α (s) = (cos s, sen s); s [0, π]. Teos α paraerizada por coprieno de arco e E (s) =α (s)+ k (s) N (s). Mas: k (s) = T (s),n(s) = ( cos s, sen s), ( cos s, sen s) =. Logo: E (s) = (cos s, sen s)+ ( cos s, sen s) =(0, 0), ou seja, a evolua de ua circunferência é u pono (seu cenro). ) Considereos a espiral logaríica α () =(e cos, e sen ); R. Vios que a curvaura de α é k () = ( e ) e independe de α esar paraerizada por coprieno de arco ou não. Para oberos a equação da evolua, é preciso que o veor noral seja uniário (assi o raio de curvaura é o raio do círculo osculador). Assi: N () = ( e (sen + cos ),e (cos sen ) ) N () = e. Logo: E () =α ()+ N () k () N () = ( e cos, e sen ) + e ( e (sen + cos ),e (cos sen )) e = E () = ( e sen, e cos ) ou seja, a evolua de ua espiral logariica é abé ua espiral logaríica.

120 y E x Definição: O ângulo enre duas curvas regulares que se inerseca é definido coo sendo o ângulo enre os veores angenes às curvas no pono de inersecção. (s ) = (s ) 0 0 (s ) 0 (s ) 0 Assi, dada ua curva regular α, podeos (re)definir: Evolua de α: É a curva cujas reas angenes são orogonais à α. E(s) s) H s E Involua de α: É ua curva que é orogonal a odas as angenes à α. I I I 3 G s s) Observação: Se E é evolua de α, enão α é ua involua de E. A equação da involua Seja G s a rea angene a α e s. Logo, I (s) G s e, porano, para algua função real λ. Mas: I (s) =α (s)+λ (s) T (s) I (s),t (s) =0 e I (s) =α (s)+λ (s) T (s)+λ (s) T (s).

121 Logo: I (s) = ( + λ (s)) T (s)+λ (s) T (s) e, porano: 0= I (s),t (s) = ( + λ (s) T (s)+λ(s) T (s)),t (s) =(+λ (s)) T (s),t (s) + λ (s) T (s),t (s) = 0=+λ (s) = λ (s) = = λ (s) = s + c; c R consane. Conclusão: I (s) =α (s)+(c s) T (s); s ]a, b[ ec R consane. I G s s) s) = T(s) I(s) paraerizada por coprieno de arco I (s) Para cada c R eos ua involua de α; variando c e R, obeos ua faília de involuas de α. Exeplo: Considereos a circunferência α (s) = (cos s, sen s); s [0, π]. Fazendo c =0, eos I (s) =α (s)+(0 s) T (s),s [0, π]. (α esá paraerizada por coprieno de arco). Alé disso, T (s) =α (s) =( sen s, cos s). Logo: I (s) = (cos s, sen s) s (sen s, cos s) I (s) = (cos s + s sen s, sen s s cos s) y x I Exercício: Seja α :]a, b[ R ua curva regular e considere S () a função coprieno de arco para α.

122 a) Mosre que a faília de involuas é dada por: I () =α ()+(c S()) T () ; ]a, b[ ec R consane. T () Resolução: Teos: Assi: I () =α ()+λ () α (). 0= I (),α () = 0= α ()+λ () α ()+λ() α (),α () = 0= α (),α () + λ () α (),α () + λ () α (),α () = 0 = ( + λ ()) α () + λ () α (),α (). Mas: S () = α () = α (),α () = S () = α (),α () α (),α () = α (),α () = α () S () = α (),α () = S () S (). Assi: ( + λ ()) α () + λ () α (),α () =0= ( + λ ()) (S ()) + λ () S ().S () =0= ( + λ ()) S ()+λ() S () =0= S ()+λ () S ()+λ() S () =0= S ()+(λ() S ()) =0= (S ()+λ() S ()) =0= S ()+λ() S () =c = λ () = c S (). S () Logo, I () =α ()+ c S () α () α () = I () =α ()+ c S () T (). T () b) E que condições I é ua curva regular? Resolução:

123 I não será regular quando I () =0, ou seja: ( α ()+(c S()) T () ) =0= T () ( ) ( ) T () T () α ()+( S ()) +(c S ()) =0. T () T () Mas α () =T () es () = α () = T (). Logo: ( ) ( T () T () T () ( T () ) +(c S ()) T () T () ( ) T () (c S ()) =0 T () ) =0= c S () =0ou S () =c ou T () T () ( ) T () =0= T () = k; k consane. Mas se S () =c, enão = α () = S T () () =0, ua conradição. Logo, = k, ou T () seja, I não será regular quando T () for consane. Conclusão: I será regular quando T () T () depender de, ou seja, quando I não for ua rea. T () Duas Transforações Iporanes Definição: Seja v R. A aplicação T : R R definida por: é chaada ranslação por v. T (x, y) =(x, y)+v A aplicação T é diferenciável de classe C ; v =(v,v )et (x, y) =(x, y) +(v,v )= (x + v,y+ v ). Definição: Seja θ R. A aplicação L : R R definida por: é chaada roação por u ângulo α. L (x, y) =(x cos θ y sen θ, x sen θ + y cos θ) Se u =(x, y) =( u cos ϕ, u sen ϕ), enão: L (u) =( L (u) cos (ϕ + θ), L (u) sen (ϕ + θ)) =( u (cos ϕ cos θ sen ϕ sen θ), u (sen ϕ cos θ + sen θ cos ϕ)) =(xcos θ y sen θ, x sen θ + y cos θ)

124 y L(u) y u = (x,y) x x Observações: ) L é ua ransforação linear e coo L (u) = u,lé ua isoeria. [ ] cos θ sen θ ) Se B = {(, 0), (0, )} é base canônica de R, enão [L] B = é chaada sen θ cos θ ariz de roação e [L] B [u] =[L (u)]. 3) L é diferenciável de classe C. 4) Se L é linear, dl (w) =L (w). Exercício: Seja α ua curva regular paraerizada por coprieno de arco. Considere as curvas T α e L α. Mosre que: a) T α e L α são curvas regulares paraerizada por coprieno de arco. Resolução: Teos: T (α (x, y)) = (α (x, y)+v) = α (x, y) =, pois α esá paraerizada por coprieno de arco. Analogaene: L (α (x (),y())) = ((x () cos θ y () sen θ, x () sen θ + y () cos θ)) = (x () cos θ y () sen θ, x () sen θ + y () cos θ) = (x () cos θ y () sen θ) +(x () sen θ + y () cos θ) = x () + y () = α (x, y) = y v T x y v u L x b) As curvauras de T α e L α são iguais à curvaura de α. Resolução:

125 A curvaura de α é: k α () = T α (),N α () = (x (),y ()), ( y (),x ()). Façaos: T α () =β () =(x ()+v,y()+v ). Assi, a curvaura de β será: k β () = T β (),N β (), sendo: e: Logo: T β () =β () =(x (),y ()) = T β () =(x (),y ()) N β () =( y (),x ()). k β () = (x (),y ()), ( y (),x ()) = k α (). Façaos L α () =γ () =(x () cos θ y () sen θ, x () sen θ + y () cos θ). Assi, a curvaura de γ será k γ = T γ (),N γ (), sendo T γ () =γ () =(x () cos θ y () sen θ, x () sen θ + y () cos θ) = T γ () =γ () =(x () cos θ y () sen θ, x () sen θ + y () cos θ) e: N γ () =( x () sen θ y () cos θ, x () cos θ y () sen θ). Logo: k γ () = (x () cos θ y () sen θ, x () sen θ + y () cos θ), ( x () sen θ y () cos θ, x () cos θ y () sen θ) =(x () cos θ y () sen θ)( x () sen θ y () cos θ) +(x () sen θ + y () cos θ)(x () cos θ y () sen θ) = x ()( y ()) + y () x () = (x (),y ()), ( y (),x ()) = k α (). Observação: pelo exercício acia, se α é ua curva regular paraerizada por coprieno de arco, enão L T α é ua curva regular paraerizada por coprieno de arco que e a esa curvaura de α. Lea. Considere P, Q R e u, v veores do R, u = v 0. Enão exise ua ranslação T : R R al que T (P )=Q e exise ua roação (na orige) L : R R al que L (u) =v.

126 Deonsração: Seja P =(x 0,y 0 )eq =(x,y ). Quereos definir ua ranslação: al que T (P )=Q. Seja v =(v,v ). Logo: T : R R (x, y) (x, y)+v T (x 0,y 0 )=(x,y )= (x 0 + v,y 0 + v )=(x,y )= v = x x 0 e v = y y 0. Logo, T (x, y) =(x + x x 0,y+ y y 0 )é al que T (P )=Q. Seja γ oângulo enre u =(x 0,y 0 )ev =(x,y ). Quereos definir ua roação: al que L (u) =v. Logo: y v u v L : R R (x, y) (x cos θ y sen θ, x sen θ + y cos θ) L (x 0,y 0 )=(x,y )= (x 0 cos θ y 0 sen θ, x 0 sen θ + y 0 cos θ) =(x,y )= { x0 cos θ y 0 sen θ = x. x 0 sen θ + y 0 cos θ = y Coo u 0, eos x 0 0ouy 0 0. Se perda de generalidade suponhaos que x 0 0. Logo: sen θ = y y 0 cos θ. x 0 Subsiuindo na a equação do sisea acia: y y 0 cos θ x 0 cos θ y 0 = x = x ( ) 0 x 0 + y 0 cos θ = x + y y 0 = x 0 x ) 0 cos θ = x0 x + y 0 y = ou seja, θ = γ. Logo: ( x 0 + y 0 u x cos θ = x 0x + y 0 y ( ) = uv x 0 + y0 u = L (x, y) =(x cos γ y sen γ,xsen γ + y cos γ) uv u v,

127 é al que L (u) =v. Definição: Dizeos que duas curvas regulares são congruenes se elas difere apenas por ua posição no plano, ou seja, se exise ua ranslação T e ua roação L (não necessariaene na orige) al que α = L T β. 3 Ua Oura Inerpreação Geoérica da Curvaura Seja α : ]a, b[ R ua curva regular paraerizada por coprieno de arco e θ :]a, b[ R a função definida por θ (s) =ângulo enre o veor α (s) ee =(, 0). A curvaura de α ede a variação da função θ (s), iso é, k (s) =θ (s). y (s) (s) (s) (s) e = (,0) s e x De fao: eos: α (s) = (cos (θ (s)), sen (θ (s))) = α (s) =( sen (θ (s)) θ (s), cos (θ (s)) θ (s)) = T (s) e: Logo: N (s) =( sen (θ (s)), cos (θ (s))). k (s) = T (s),n(s) = ( sen (θ (s)) θ (s), cos (θ (s)) θ (s)), ( sen (θ (s)), cos (θ (s))) = k (s) =θ (s) ( sen (θ (s)), cos (θ (s)) ) = k (s) =θ (s). Observeos que: ( s α (s) = (cos (θ (s)), sen (θ (s))) = α (s) = cos (θ ()) d + x 0, s 0 para algu s 0 ]a, b[ ex 0,y 0 R. 4 Teorea Fundaenal das Curvas Planas s s 0 sen (θ ()) d + y 0 Teorea: (a) Seja k :]a, b[ R ua função C. Enão, exise ua curva regular α paraerizada por coprieno de arco al que a curvaura de α é k. (b) Se fixaros α (s 0 )=P e α (s 0 )=v uniário, enão a curva α do ie (a) éúnica. (c) Se α e β são curvas regulares co a esa curvaura k, enão α e β são congruenes. Deonsração: ) (a) Seja: θ (s) = s s 0 k () d,

128 sendo s 0 ]a, b[. Definios α :]a, b[ R co α (s) =(x (s),y(s)) da seguine fora: x (s) =x 0 + s s 0 cos (θ ()+λ) d e y (s) =y 0 + s s 0 sen (θ ()+λ) d, sendo x 0,y 0,λ consanes. (Na inerpreação acia λ = 0 pois o referencial era e cujo ângulo é nulo co x). Coo θ é C, eos que α é C. Assi: α (s) =(x (s),y (s)) = (cos (θ ()+λ), sen (θ ()+λ) d), α () = cos (θ ()+λ) + sen (θ ()+λ) d =. Porano, α é ua curva paraerizada por coprieno de arco. Seja k α (s) = α (s),n(s) curvaura de α. Teos: α (s) =( sen (θ ()+λ) θ (s), cos (θ ()+λ) θ (s)) e Logo: N (s) =( sen (θ ()+λ), cos (θ ()+λ)). k α = α (s),n(s) = θ (s) ( sen (θ ()+λ) + cos (θ ()+λ) ) = θ (s). Mas θ (s) =k (s), pois θ (s) = s s 0 k () d. Assi, k α (s) =θ (s) =k (s), coo queríaos. (b) Seja α :]a, b[ R co curvaura k (s) e seja α (s 0 )=(x 0,y 0 )eα (s 0 )=(u 0,v 0 ). Pela a Equação de Frene eos T (s) =k (s) N (s), ou seja: { x (s) = k (s) y (s) y (s) =k (s) x. (s) Desa fora, eos u sisea de Equações Diferenciais Ordinárias: { x = k.y y = k.x linear de a orde co condições iniciais { x (s0 )=x 0 y (s 0 )=y 0 e { x (s 0 )=u 0 y (s 0 )=v 0. Pelo Teorea de Exisência e Unicidade para sisea de equações diferenciais ordinárias lineares, exise únicas funções x e y saisfazendo o sisea, ou seja, α (s) =(x (s),y(s)) éúnica. (c) Basa provar que exise T : ranslação e L : roação ais que α = L T β. Seja s 0 ]a, b[, considere os ponos P = α (s 0 )eq = β (s 0 ) e os veores u = α (s 0 )e v = β (s 0 ).

129 Pelo Lea acia, exise ranslações T,T : R R ais que T (Q) =0; T (0) = P e ua roação L : R R al que L (v) =u. (obs: T L é roação ou ranslação). Seja α = T L T β. Vios que as curvauras de β e α são iguais. Logo, α e α possue esa curvaura. Teos: α (s 0 )=T L T β (s 0 )=T L T (Q) =T L (0) = T (0) = P = α (s 0 ) e: Mas De fao: α (s 0 )=d (T L T ) β(s0 ) β (s 0 ). d (T L T ) β(s0 ) = dl T (β(s 0 )) = dl 0. T L T (x, y) =(u +(xcos θ y sen θ)+u cos θ v sen θ, v +(xsen θ + y cos θ)+u sen θ + v cos θ) sendo: T (x, y) =(x, y)+(u,v ); L (x, y) =(xcos θ y sen θ, x sen θ + y cos θ); T (x, y) =(x, y)+(u,v ). Logo: [ ] cos θ sen θ J T L T (x, y) = = J sen θ cos θ L (x, y). (Obs: J T L T = J T J L J T = IdJ L Id = J L ). Por fi: [ ] cos θ sen θ d (T L T ) β(s0 ) J L (β (s 0 )) = = J sen θ cos θ L (0) dl 0. Assi: [ ] cos θ sen θ α (s 0 ) [β (s sen θ cos θ 0 )] L (v) =u = α (s 0 ). Logo, α (s 0 )=α(s 0 )eα (s 0 )=α (s 0 ). Pelo ie (b) eos α = α. Fazendo T L = L e T = T eos α = L T β e, daí α e β são congruenes. 5 Receia para Deerinar Curvas de Curvaura k Seja k :]a, b[ R funções C. Para deerinar ua curva seguios os passos: s () Deerinaos θ (s) = k () d. s 0 () Definios: α : ]a, b[ R s α (s) =(x (s),y(s))

130 al que: e: x (s) = s s s 0 cos (θ ()) d y (s) = sen (θ ()) d. s 0 Para deerinar ua curva co α (s 0 )=(x 0,y 0 )eα (s 0 )=(u 0,v 0 ) fazeos: x (s) =x 0 + s s 0 cos (θ ()+λ) d e y (s) =y 0 + s s 0 sen (θ ()+λ) d e, para deerinar λ, fazeos α (s 0 ) = (cos (θ (s 0 )+λ), sen (θ (s 0 )+λ)) = (u 0,v 0 ). Exercícios: ) Deerine odas as curvas de curvaura consane. Resolução: Quereos k (s) = k (consane). s s Fazeos θ (s) = k (s) d = kd = ks ks 0. s 0 s 0 Se k 0: x (s) = y (s) = s cos (k ks 0 ) d = sen (ks ks 0) sen (0) = sen (ks ks 0) ; s 0 k k k sen (k ks 0 ) d = cos (ks ks 0) cos (0) + = cos (ks ks 0) s 0 k k k s + k. Logo, ( α (s) = k sen (ks ks 0), k ) k cos (ks ks 0), ou seja, as curvas de curvaura consane não nula k são circunferências (ou arcos de circunferência) de raio (o sinal de k deerina a orienação da curva). k Se k =0, enão θ (s) =0e x (s) = y (s) = s s 0 cos 0 d = s s 0 ; s s 0 sen 0 d. Logo, α (s) =(s s 0, 0), ou seja, as curvas de curvaura consane nula são reas (ou segenos de rea). ) Deerine a curva de α al que α () = (, ) ; α () = (, 0) que e curvaura k (s) = s ; s>0. Resolução:

131 Façaos: s θ (s) = d =ln s. Observação: α () = (, ) = s 0 = x 0 = y 0 =. Assi: x (s) =+ s cos (ln + λ) d = x (s) = cos (ln s + λ). Mas α () = (0, ) = x () = 0 e y () =. Assi: x (s) =0= cos λ =0= λ = π + hπ; h Z. Toando h = 0 eos λ = π. Logo: ou seja: s s x (s) =+ s s ( cos ln + π ) d = sen (ln ) d s = ( sen (ln ) s ) cos (ln ) s = ssen (ln )+(cos (ln )) s sen (ln ), s sen (ln ) d = ssen (ln )+(cos (ln )) s sen (ln ) = sen (ln ) d = + s (sen (ln s ) cos (ln s )). Porano: x (s) = s (sen (ln s ) cos (ln s )). Analogaene: y (s) =+ s s saisfaz y () = e y (s) =+ cos (ln ) d. Inegrando duas vezes por pares: ( sen ln + π ) d y (s) = + s (sen (ln s ) + cos (ln s )). Mas: { ( ) cos (ln s ) + sen (ln s ) = sen ln s + π 4 sen (ln s ) cos (ln s ) = cos ( ) ln s + π. 4

132 Logo: x (s) = (ln + s cos s + π 4 y (s) = (ln + s sen s + π 4 ) ; ). Fazendo u = π 4 +ln s = s = eu π 4 = s = e u π 4 (pois s>0). Toeos a reparaerização β (u) =α ψ (u) ; sendo ψ (u) =e u π 4. Logo: ( ) β (u) =(x (ψ (u)),y(ψ(u))) = + π eu 4. cos u, + π eu 4. sen u = ( β (u) =, ) π + e 4 (e u cos u, e u sen u), que é ua espiral logaríica. Observação: a curvaura k (s) = ; s>0 para α fica k (u) = s curvaura não uda co a reparaerização). e u π 4 3) Deerine as curvas regulares do plano que ê curvaura k (s) = s ; s>0. Resolução: Façaos: s θ (s) = d = s s 0. s 0 Teos α (s 0 )=(0, 0) = x 0 = y 0 =0. Façaos λ =0. Logo: s x (s) = cos ( s ) s 0 d s 0 = sen ( ) s s 0 s 0 ( sen ) s 0 d = = e π 4 para β (a eu = s sen ( s ) s 0 + cos ( s ) s 0. Analogaene: s y (s) = sen ( ) s 0 d = s 0 + s 0 sen ( s ) ( ) s 0 s cos s s0. Fazendo u = s ( ) u + s0 s 0 = s = ; u > s 0 e, oando a ( ) u + s0 reparaerização β (u) =α ψ (u) ; sendo ψ (u) = eos: ( u + s0 β (u) = sen u + cos u, s 0 + sen u u + ) s 0 cos u = β (u) = (, ) ( s0 s 0 + sen u + cos u, sen u ) s 0 cos u + (u sen u, u cos u).

133 Para s 0 =, eos ua Espiral de Arquiedes. 4 Conseqüeneene, as curvas regulares do plano co curvaura k (s) = s ; s>0são Espirais de Arquiedes. 6 Referências Bibliográficas [] Araujo, P. V. Geoeria Diferencial. Rio de Janeiro: SBM- Sociedade Brasileira de Maeáica. (Coleção Maeáica Universiária) [] Caro, M. P. do. Geoeria Diferencial de Curvas e Superfícies. Rio de Janeiro: SBM-Sociedade Brasileira de Maeáica. (Coleção Texos Universiários) [3] Tenebla, K. Inrodução à Geoeria Diferencial. Brasília: Ediora da UnB [4] www-groups.dcs.s-and.ac.uk/ hisory/. Sie de Hisória da Maeáica da Universidade de Sain Andrews-UK.

134 Ua caracerização dos núeros perfeios pares Karla Barbosa de Freias, Sela Zuerle Soares ecícero Carvalho Inrodução Os núeros perfeios era considerados quase que íicos na velha aeáica. O 6 por exeplo, era considerado síbolo do casaeno, da saúde e da beleza, devido à concordância de suas pares 3, e, que soadas resula no próprio núero. Nicôaco lisou, por vola de 00 d.c., os núeros perfeios enre e 0.000, noando que seus algarisos finais era 6 ou 8. Sano Agosinho (enre ouros, incluindo os prieiros Hebreus) considerava 6 coo sendo o verdadeiro núero perfeio Deus fez a Terra e precisaene ese núero de dias (ao invés de de ua só vez), para sibolizar a perfeição de seu rabalho. Philo Judeus, no prieiro século depois de Criso, chaou 6 o ais produivo (féril e sagrado) de odos os núeros, sendo o enor dos núeros perfeios. Co o passar dos séculos, diversos aeáicos esudara cuidadosaene esses núeros. Aé aépoca de Descares e Fera, ua enore quanidade de conhecieno sobre núeros perfeios já havia sido arazenada. Prieiros resulados sobre núeros perfeios Definição. Seja N u núero ineiro posiivo. A função σ (N) = d N d é chaada de soa dos divisores de N, onde d percorre os divisores de N, incluindo eopróprio n. Por exeplo, σ ()=+= e σ (5)=+3+5+5=4. Definição. Onúero N é dio ser perfeio se σ (N) =N. Quando σ (N) < N, dizeos que N é deficiene; quando σ (N) > N, dizeos que N é abundane. A definição dos perfeios é equivalene a dizer que a soa dos divisores próprios de N éigualan (soene não adicionaos o próprio N à soa). Ainda que ese odo possa Alunas do PET-FAMAT Orienador

135 parecer naural, a principal razão para usar a função σ é uilizar alguas propriedades especiais apresenadas a seguir. Proposição.3 Se dc (, n) =, enão σ (n) =σ () σ (n). Deonsração. Se d é u divisor de n, enão pela faoração única, podeos represenar d de aneira única coo o produo de u divisor de e u divisor de n (já queelesnão enha faores couns). Assi, odo ero de σ (n) (a soa de odos os divisores de n) ocorre exaaene ua vez na soa σ () σ (n) (oproduodeodosos divisores de e n). A recíproca é abé verdadeira: odo al produo é u divisor de n, assi as soas deverão ser as esas. Iso é suficiene para provar a proposição. Assi, σ é copleaene deerinada quando seu valor é conhecido para odos os arguenos que são poências de prios, e usareos isso para deerinar σ(n), para u núero naural N qualquer. Teorea.4 Se N = p α p α...p α k k = k p α i i i= é ua faoração de N e prios, enão: σ (N) = k i= ( +pi + p i p α i i ) = k i= p α i+ i p i. Deonsração. Os únicos divisores de p α i i +p i + p i p α i i. Relebrando a série geoerica eos são, p i, p i,..., p α i i, porano σ (p α i i )= +x + x x k = k i=0 x i = xk+ x a qual iplica que σ (p α i i σ (N) =σ )= (pαi+ i ) (p i ). Usando a proposição acia, eos ( k i= p α i i ) = k i= σ (p α i i )= ( k p α i + i ). (p i ) i= Observe que se η N enão σ (η) σ (N), as vale u resulado ainda ais fore. Lea.5 Se η N, enão σ(η) η σ(n), e a igualdade vale se e só seη = N. N

136 Deonsração. Noe que, se d N enão kd = N para algu k, enão k = N N, ou d seja, k N. Ese argueno abé é valido na recíproca, porano eos que d N se, e soene se, ( ) N d N, que iplica que σ (N) = d N d = d N N d = N d N d Se η é u divisor próprio de N, eos σ (N) N = d N d > d η d = σ (η) η. Do conrário vale a igualdade. Coo conseqüência, eos o resulado abaixo. Corolário.6 N é perfeio,se e soene se, d N ( ) d =. Deonsração. Acabaos de osrar que d N é equivalene à ( d N ) N, daí d = d N d N N d = N d N d =N = σ (N) Cancelando N provaos o corolário. 3 Ua caracerização dos núeros perfeios pares A prieira pessoa que, segundo sabeos, esudou os núeros perfeios foi o aeáico grego Euclides. Ele observou que os quaro prieiros núeros perfeios inha ua fora uio específica: 6 = ( + ) = 3 8 = ( ++ ) = = ( ) =6 3, e 88 = ( ) =64 7 Observe conudo que os núeros 90 = 3 ( )=8 5 e, 06 = 5 ( )=3 63 não aparece nessa seqüência. Coo Euclides aponou

137 poseriorene, isso aconece porque 5 = 3 5e,63=3 7são abos coposos, enquano os núeros 3,7,3,7 são odos prios. Assi, no livro IX, proposição 36 dos Eleenos, Euclides escreve: Se anos núeros quano quiseros coeçare co ua unidade(o núero ) e fore disposos e seqüência e e proporção dupla, aé que a soa de odos orne-se pria, uliplicandoseasoapeloúlio desses núeros, enão oproduoseráunúero perfeio. Observeque n = n, enão a proposição de Euclides pode ser reforulada da seguine fora. Teorea 3. (Euclides) Se n é prio, enão N = n ( n ) é perfeio. Deonsração. É claro que, os únicos prios divisores de N são n e. Jáque n é prio, eos siplesene que σ ( n )=(+( n )) = n, e assi σ (N) =σ ( n ) σ ( n ) = Porano N é perfeio. ( ) n n = n ( n ) = N A arefa de enconrar núeros perfeios, enão, esá ligada co enconrar prios da fora n. Tais núeros são conhecidos coo prios de Mersenne, devido ao onge do século dezessee Marin Mersenne, que foi colega de Descares, Fera e Pascal. Ele sabia que n era prio para n =,3,5,,3,7 e 9 e, ais brilhaneene, conjecurou que os eso valeria para os casos e que n = 3,67,7,57. Toou-se quase dois séculos para analisar esses núeros. Proposição 3. (Caaldi-Fera) Se n é prio, enãoopróprio n é prio. Deonsração. Observe prieiraene, x n = (x ) (x n x + ). Suponha que n = rs, onde r, s>. Enão n =( r ) s =( r ) ( ( r ) s r + ) desse odo ( r ) ( n ) que é prio, ua conradição. Observe que a recíproca não é verdadeira, oe por exeplo o núero = 047 = Todos os núeros perfeios pares são da fora que apareceu no eorea de Euclides? Leonard Euler, nu papel pósuo provou que de fao issoaconece. Muias deonsrações desse fao já aparecera. Mosraos a seguir duas delas. Teorea 3.3 (Euler) Se N éunúero perfeio, enão N pode ser escrio na fora N = n ( n ), onde n é prio.

138 Deonsração. A prieira deonsração édopróprio Euler. Seja N = n u núero perfeio, onde éípar; já quenão divide, ele é relaivaene prio co n,e σ (N) =σ ( n ) = σ ( n ) ( ) n σ () = σ () = ( n ) σ () N é perfeio, porano σ (N) =N =( n )= n, e coo encionado, n = ( n ) σ (). Seja s = σ (). Enão eos =( n ) ( ) s ;jáque n não divide n, enão n é obrigado a dividir s (pois é u ineiro), assi =( n ) q, para algu q = s. n Se q =,eosunúero do ipo de Euclides, enão = n es = σ () = n = ( n ) + = +. Jáqueσ () é a soa de odos os divisores de, = n é obrigaoriaene u prio,e N = n = n ( n ). Se q>, refazeos a soa dos divisores de =( n ) q. Osfaoresde inclue,q, n, e o próprio, assi s = σ () +q +( n ) + ( n ) q = (( n ) + ) (q +)= n (q +) Mas iso iplica s (n ) q n (q +) = ( ) n n ( ) q < n q + n ua ipossibilidade, pois já esabeleceos a equação σ (N) = n =( n ) s que iplica que /s =( n )/ n. Deonsração. A segunda (e ais siples) deonsração é dada por Dickson. De n =( n ) σ () observaos σ () = n n = ((n ) + ) n = + n Já queσ () e são ineiros, eos abé que d = deve ser u ineiro. ( n ) Desa fora ( n ) divide econseqüeneene o próprio d divide. Mas σ () = + = + d é a soa de odos os divisores de. Coo iso ( n ) pode aconecer? Ceraene divide, assi concluíos que d = ; se ese não for o caso, enão eos que σ () = + d +, ua conradição. Porano = n, e paricular, não possui ouros divisores posiivos alé de e ele próprio, assi n é prio.

139 Referências [] Adilson Gonçalves, Inrodução à algebra, Rio de Janeiro : IMPA, 979. [] Ivan Moron Niven, Heber S. Zuckeran, e Hugh L. Mongoery, An inroducion o he eory of nubers; 5 a edição, 99. [3] John Voigh; Perfec Nubers: An Eleenary Inroducion, disponível e hp://aga.ahs.usyd.edu.au/ voigh/noes/perfele.pdf

140 USO DE SEMIVARIOGRAMA ESCALANADO PARA COMPARAR A DISTRIBUIÇÃO ESPAÇO-TEMPORAL DA PRECIPITAÇÃO ANUAL NO ESTADO DE MINAS GERAIS HERBERT REZENDE DE SIQUEIRA ; JOAQUIM FERREIRA VIEIRA NETO 3 ; EDNALDO CARVALHO GUIMARÃES 4 ; MARCELO TAVARES 4 RESUMO A análise da variabilidade espaço-eporal de aribuos cliáicos ve recebendo desaque nos úlios epos, devido a possibilidade de se realizar esiaivas co aior precisão e abé devido a busca por conhecieno do coporaeno dessas variáveis ao longo do epo. O objeivo dese rabalho foi verificar se, no decorrer de 5 anos, o coporaeno espacial da precipiação anual no esado de Minas Gerias peraneceu o eso, alerando apenas as apliudes de variação. Fora uilizados dados de precipiação anual () de 63 esações cliaológicas disribuídas e Minas Gerais. Os dados fora cedidos pelo Insiuo Nacional de Meeorologia/5 o Disrio de Meeorologia (INMET/5 o DISME). Ajusou-se seivariograas aos dados de precipiação anual para os anos de 999, 000, 00, 00 e 003. E seguida os seivariograas fora escalonados uilizando-se coo faor de escala a variância aosral de cada ano avaliado. Os resulados osrara ocorreu a dependência espacial para odos os anos avaliados, osrando que os índices de precipiação no esados esão correlacionados enre si. Os seivariograas não apresenara o eso coporaeno para odos os anos e, porano, o escalonaeno e o uso de u odelo único de seivariograa escalonado para realizar as esiaivas de precipiação não é possível, sendo necessário a uilização de u odelo individual para cada ano. Conclui-se que não ocorre a esabilidade eporal da precipiação anual para o esado de Minas Gerais. Palavras-chave: Seivariograas escalonados, geoesaísica, precipiação. ABSTRATC ANNUAL RAINFALL IN MINAS GERAIS STATE BRAZIL: STANDARDIZED SEMIVARIOGRAM ANALYSIS The purpose of his work was o verify he eporal behaviour of he annual rainfall in Minas Gerais Sae, Brazil, using sandardized seivariogra. The daa of 63 cliaological saions of INMET - 5 o DISME (Insiuo Nacional de Meeorologia - 5 o Disrio de Meeorologia) were used in his sudy. I was used daa of 999, 000, 00, 00 and 003. Geoesaisical analysis was ade by seivariogra and sandardized seivariogra. Projeo Financiado pela FAPEMIG - Prograa de infra-esruura para jovens douores - Edial: 07/003 - Processo: EDT93/03. Acadêico do Curso de Maeáica FAMAT/UFU Bolsisa PIBIC/CNPq - Av. João Naves de Ávila, 60, Bairro Sana Mônica, Uberlândia MG, CEP: her8ber@yahoo.co.br 3 Acadêica do Curso de Maeáica FAMAT/UFU PROMAT 4 Prof. Orienador FAMAT/UFU Av. João Naves de Ávila, 60, Bairro Sana Mônica, Uberlândia MG, CEP: ecg@ufu.br

141 Geosaisical analysis showed spaial dependence bu sandardized seivariogras were no show he sae behaviour. As a conclusion, here isn eporal sabiliy for he annual rainfall in Minas Gerais saes, Brazil. Key words: spaial saisics, sandardized seivariogras, rainfall.. INTRODUÇÃO O conhecieno do coporaeno espacial e eporal de aribuos cliáicos é u faor de grande relevância, pois perie realizar planejaenos e projeos que envolva esses aribuos. O índice pluvioérico de ua deerinada região é o aribuo do clia que erece desaque, pois ele esá direaene ligado a ouras variáveis, ais coo uidade do solo e do ar, arazenaeno de água, erosão, inundação, produção agrícola, ec.. Fenôenos naurais apresena-se freqüeneene co ua cera esruuração nas variações enre vizinhos e abé ua observação realizada e u deerinado epo guarda seelhança co realizações observadas e epos fuuros, desa fora pode-se dizer que as variações não são aleaórias e, porano, apresena algu grau de dependência espacial e/ou eporal. A análise do coporaeno espacial pode ser realizada por eio de seivariograas. Auores coo Vieira e al.(99); Cardi (00); Zaboi (00) Veronese e Guiarães (00) e Silva e al (003) realizara esudos do coporaeno de aribuos cliáicos por eio de seivariograas e deonsrara que eses aribuos apresena-se, e geral, auocorrelacionados no espaço e no epo. Considerando a eodologia de esabilidade eporal por diferenças relaivas, que foi descria por Vachaud e al (985), Rocha (004) cia rabalhos que uilizara essa écnica, co ênfase e aribuos dos solos, principalene aqueles que avalia o arazenaeno e a ovienação da água no solo de água no solo. Ressala-se que ese arazenaeno e ovienação da água no solo esão associados à precipiação pluvioérica. Vieira e al (983) cia que o seivariograa escalonado pode ser uilizado abé para a coparação de coporaeno espacial de variáveis e, Guiarães (993) uilizando a arguenação de Vieira e al (983) uilizou a écnica de seivariograa escalonado para osrar que o coporaeno eporal da uidade do solo era a esa ao longo de u ano. Ese rabalho visou conribuir co o esudo sobre o coporaeno eporal da precipiação pluvioérica anual no esado de Minas Gerais, uilizando seivariograas escalanados.. MATERIAL E MÉTODOS Ese esudo foi realizado no Esado de Minas Gerais que se enconra localizado na Região Sudese do Brasil, enre os paralelos 4 o 3' e o 55' de laiude Sul e os eridianos 39 o 5' e 5 o 0' de longiude Oese. O Esado caraceriza-se por apresenar opografia irregular e, segundo a classificação de Köppen, são enconrados os seguines ipos de clia: Aw, BSw, Cwa e Cwb, significando que exise ua grande diversidade cliáica, podendo ser enconradas desde regiões co clia sei-árido aé regiões co clia ropical chuvoso co inverno seco (Minas Gerais, 990).

142 Os dados de precipiação pluvioérica oal anual, uilizados no presene esudo, são provenienes de 63 esações pluvioéricas disribuídas no Esado de Minas Gerais. Esas esações cliaológicas faze pare da rede de esações cliaológicas do Insiuo Nacional de Meeorologia (INMET), 5 o Disrio de Meeorologia (5 o DISME), cujas localizações geográficas (laiudes e longiudes) pode ser visualizadas na Figura. Os índices pluvioéricos ensais, uilizados nese esudo, fora cedidos pelo INMET/5 o DISME e correspode ao período de janeiro de 999 a dezebro de 003. Realizou-se a análise exploraória das variáveis precipiações oais anuais, confore recoenda Isaaks e Srivasava (989). Fora obidos, para cada ês, as esaísicas: édia ariéica ( X ), desvio padrão (s), coeficiene de variação (CV), coeficiene de curose (Cc) e coeficiene de assieria (Cs). Deerinou-se ainda a precipiação ínia (Min) e a precipiação áxia (Max). Figura. Localização geográfica das 63 esações cliaológicas no esado de Minas Gerais. Te-se que quando os valores de Cc e Cs ende a zero a disribuição de probabilidades que descreve o coporaeno da variável é a disribuição noral. O coeficiene Cs igual a zero indica disribuição siérica; Cs enor que zero indica disribuição assiérica à direia e o Cs aior que zero a disribuição é assiérica a esquerda. Já se Cc for igual a zero e-se a disribuição esocúrica; para Cc enor que zero a disribuição é chaada de plaicúrica e, no caso de Cc aior que zero e-se a disribuição lepocúrica. Vale ressalar que o raaeno esaísico e a análise e inerpreação de resulados esão associados ao coporaeno da variável. A análise exploraória foi feia e planilhas elerônicas e abé no prograa Gaa Design Sofware (004) e as inerpreações desses resulados fora feios de acordo co Triola (999). A análise geoesaísica, foi realizada uilizando-se o prograa Gaa Design Sofware (004), e consisiu, e ua prieira eapa da deerinação dos seivariograas das precipiações anuais. Os cálculos das seivariâncias fora feias por:. ( h) N ( h) [ Z( xi ) Z( xi N( h) i h)] sendo: (h) a seivariância para ua disância h; N(h) o núero de pares possíveis para a disância h; h a disância de separação das observações calculada e função da laiude ( o ) e

143 da longiude ( o ); e Z(x i ) e Z(x i +h) as observações da variável aleaória regionalizada na posição x i e x i +h., respecivaene. E seguida fora feios os seivariograas, que osra o coporaeno das seivariâncias ( ) e função disância (h), definindo, dessa fora, o odelo da variabilidade espacial. Os principais odelos de seivariograas ajusados aos dados experienais são descrios e Vieira (000) e Freias (000), coo: Modelo linear C h C0 0 h a a. h h C 0 C h a onde C a. h é o coeficiene angular para 0 h a. Modelo esférico 3 h h Co C * h,5 0,5 a a 3 ( ), Co C, se h a se h a Modelo exponencial h h C0 C exp 3 a Modelo gaussiano h h C 0 C exp 3 a Modelo se paaar ( h ) Co h onde: (h) é a seivariância para a disância h; C o é o efeio pepia; C o +C é o paaar; a é o alcance da dependência espacial; e são parâeros do odelo se paaar, co: 0 < <. Finalene os seivariograas fora escalonados considerando-se coo faor de escala a variância aosral dos dados. Ese procedieno eve o objeivo de padronizar os seivariograas e, de acordo co Vieira e al (983), o escalonaeno resula e

144 seivariograas co paaar de, periindo a coparação enre os epos e caso seja possível o ajuse de u único odelo para odas as condições avaliadas. 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO Na Tabela são apresenadas as esaísicas da precipiação pluvioérica oal anual () para os de 999 a 003, no esado de Minas Gerais. Tabela. Esaísicas da precipiação oal anual (), de esações cliaológicas do Esado de Minas Gerais. (INMET/ 5 o DISME). Ano Esaísicas Média 3,59 360,0 37,0 30,65 77,0 Mediana 60,60 360,65 59,40 35,70 67,90 Desvio padrão 5,95 85,0 60,5 3,78 374,85 Coef. Variação 9,07 0,96,9 8,83 3,85 Curose -0,64-0,3-0,38-0,7-0,76 Assieria -0,9 0,5-0,9-0,09-0,7 Mínio 65,70 840,60 467,40 73,0 39,0 Máxio 60,80 08,50 60,30 763,50 96,00 A Tabela revela ua esabilidade no índice de precipiação édia anual ao longo do período avaliado. A aior variabilidade foi observada para o ano de 003 co 3,85% de variação enre as observações e orno da édia. A diversidade cliáica do esado de Minas Gerais relaada e Minas Gerais (990), Pino (995) e Aleida (995) é responsável pelo coeficiene de variação relaivaene alo denro de cada ano. Os valores de édia e de ediana, próxios enre si e odos os anos avaliados, e os coeficienes de assieria e de curose próxios a zero indica endência à disribuição siérica da precipiação anual, ou seja, o uso da édia ariéica para represenar a precipiação anual é viável, assi coo a coparação esaísica de édias por eio de eses paraéricos. De acordo co Triola (999) o coporaeno dos dados, ou seja, a disribuição dos dados, é de fundaenal iporância para a seleção de esaísicas e de éodos inferenciais para a análise de ua variável. Pode-se dizer que os éodos paraéricos geralene considera disribuição pelo enos aproxiadaene siérica das observações e usa a édia ariéica coo represenane dos dados. Já os éodos não-paraéricos não necessia do conhecieno a priori da disribuição da variável analisada e, geralene, rabalha co os posos assuidos pelos valores aosrais. Na geoesaísica não há ua resrição de coporaeno dos dados para a realização da análise, enreano auores coo Guiarães (005) sugere que quando a assieria é acenuada que seja feia ua ransforação de dados ou que se uilize oura eodologia para se calcular as seivariância experienais coo o esiador de Cressie (993). Nas Figuras a 5 e-se os odelos de seivariograas ajusados para a precipiação pluvioérica anual.

145 Figura : Seivariograa da precipiação pluvioérica no ano de 999, no Esado de Minas Gerais. (INMET/5 o DISME). Figura 3: Seivariograa da precipiação pluvioérica no ano de 000, no Esado de Minas Gerais. (INMET/5 o DISME).

146 Figura 4: Seivariograa da precipiação pluvioérica no ano de 00, no Esado de Minas Gerais. (INMET/5 o DISME). Figura 5: Seivariograa da precipiação pluvioérica no ano de 00, no Esado de Minas Gerais. (INMET/5 o DISME).

147 Figura 6: Seivariograa da precipiação pluvioérica no ano de 003, no Esado de Minas Gerais. (INMET/5 o DISME). Os seivariograas osra coporaenos de variabilidade espacial diferenciado ao longo do epo, pois apesar do odelo esférico er sido ajusado para odos os casos percebe-se que os alcances (Ao) e abé que a relação enre efeio pepia (C o ) e o paaar (C o +C) são diferenes. Ese fao revela que o escalonaeno das seivariâncias não leva a adoção de u odelo único de coporaeno espacial para odos os anos, confore osra a Figura 7.. Seivariância escalonada sei999 sei000 sei00 sei00 sei003 Disância Figura 7: Seivariograa escalonado da precipiação pluvioérica nos anos de990 a 003, no Esado de Minas Gerais. (INMET/5 o DISME). Verifica-se, desa fora que a disribuição eporal da chuva no esado de Minas Gerais, não possui o eso coporaeno ao longo dos anos e, porano, as esiaivas deve ser realizadas considerando-se a variabilidade espacial e abé eporal da

148 precipiação, sendo que esa variabilidade eporal deve ser definida por ouras eodologias ou co u banco de dados co ua apliude eporal aior. Gonzaga e al (005), e esudos sobre a esabilidade eporal da precipiação e Uberlândia MG e uilizando a eodologia proposa por Vachaud e al (985), observara esabilidade eporal para a precipiação ensal. Carvalho e al (006), esudando o coporaeno espacial da precipiação édia anual no esado de Minas Gerais, ajusou o odelo de dependência espacial por eio do seivariograa e uilizou esse odelo para realizar o apeaeno da precipiação no esado. Oliveira e al. (005) abé enconrara dependência espacial para a precipiação pluvioérica no período de verão, no esado de Minas Gerais. A Figura 7 osra que o ano 00 foi o que apresenou aior diferença nas seivariâncias escalonadas e relação aos deais anos, necessiando de u esudo aprofundado sobre os aconecienos cliaológicos daquele ano, pois pode ser u ano aípico e, porano, er influenciado nos resulados. Dese odo reforça-se a necessidade de esudos co ua série hisórica aior, capaz de deecar os valores aípicos ou de revelar ciclicidade nos índices pluvioéricos. Sugere-se que novos esudos seja realizados co a finalidade de deerinar o coporaeno eporal da precipiação, uilizando-se, por exeplo, écnicas de análise de séries eporais e abé esudos sobre a presença de ou-liers no banco de dados de precipiação. 4. CONCLUSÕES ) A precipiação pluvioérica anual do Esado de Minas Gerais apresena-se auocrrelacionada no espaço. ) Esiaivas e apeaenos de precipiação pluvioérica anual deve levar e consideração o odelo de dependência espacial caracerizado pelo seivariograa. 3) Não foi possível uilizar u único odelo de seivariograa escalonado para caracerizar a disribuição espacial da precipiação pluvioérica, indicando a ausência de esabilidade eporal. 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÀFICAS ALMEIDA, R. M. B. Caracerísicas cliaológicas do regie de chuvas e Minas Gerais. Viçosa, 995, 64 p.. Disseração (Mesrado). Universidade Federal de Viçosa. CARDIM, M. Mapeaeno do coporaeno ulivariado das principais variáveis cliáicas de ineresse agrícola do esado de São Paulo. Boucau. Tese (Douorado e Agronoia) Universidade Esadual Paulisa Júlio de Mesquia Filho, Faculdade de Ciências Agronôicas Capus de Boucau, 00. 4p. CARVALHO, M. F.; GUIMARÃES, E. C. ; SOUZA JUNIOR, A. Coporaeno espacial da precipiação anual do Esado de Minas Gerais. In: REUNIÃO ANUAL DA REGIÃO BRASILEIRA DA SOCIEDADE INTERNACIONAL DE BIOMETRIA, 5, 006, Boucau. Anais...,006, CD-ROOM.

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150 VACHAUD, G.; SILANS, A. P. de; BALABANIS, P.; VAUCLIN, M. Teporal sabiliy of spaially easured soil waer probabiliy densiy funcion. Soil Science Sociey Aerica Journal.v. 49, p. 8 88, 985. VIEIRA, S. R. Geoesaísica e esudos de variabilidade espacial do solo. In: Novais, R. F.; Alvarez, V. H.; Schaffer, C. E. G. R. Tópicos e Ciência do Solo. Viçosa: Sociedade Brasileira de Ciência do Solo, Cap., p. - 54, 000. VIEIRA, S. R.; HATFIELD, J. L.; NIELSEN, D. R.; BIGGAR, J. W. Geosaisical heory and applicaion o variabiliy of soe agronoical properies. Hilgardia. Berkeley, v. 3, n. 3, p. VIEIRA, S. R.; LOMBARDI NETO, F.; BURROWS, I. T. Mapeaeno da chuva diária áxia provável para o esado de São Paulo. Revisa Brasileira de Ciência do Solo. Capinas, v. 5, n., p , 99. ZAMBOTI, J. L. Mapas pluvioéricos édios ensais no verão para o Esado do Paraná, uilizando éodos geoesaisicos. Boucau. Tese (Douorado e Agronoia) Universidade Esadual Paulisa Júlio de Mesquia Filho, Faculdade de Ciências Agronôicas Capus de Boucau, 00. 7p.

151 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA Giselle Moraes Resende Pereira (PET Maeáica SESu-MEC) Marcos Anônio da Câara (Tuor do PET Maeáica) O PENTAGRAMA A Geoeria possui dois grandes esouros: u é o Teorea de Piágoras; o ouro, a divisão de u segeno e édia e exrea razão. Podeos coparar o prieiro a ua porção de ouro e o segundo a ua jóia preciosa. (Kepler57-630). INTRODUÇÃO O penagraa esá enre os principais e ais conhecidos síbolos, pois possui diversas represenações e significados, evoluindo ao longo da hisória. Passou de u síbolo crisão para a aual referência onipresene enre os neopagãos co vasa profundidade ágica. A geoeria do penagraa e suas associações eafísicas fora exploradas por Piágoras e poseriorene por seus seguidores, que o considerava u eblea de perfeição. A geoeria do penagraa ficou conhecida coo A Proporção Divina, que ao longo da are pós-helênica, pôde ser observada nos projeos de alguns eplos. O penagraa é rico e razões áureas. É a figura forada pela união das diagonais de u penágono. Esá baseado e riângulos isósceles cujos ângulos da base são o dobro do ângulo oposo a base, sendo odos os ângulos úliplos de 36 graus.. ORIGENS E DIFUSÕES Os prieiros crisãos inha o penagraa coo u síbolo das cinco chagas de Criso. Desse odo, viso coo ua represenação do isiciso religioso e do rabalho do Criador. Tabé era usado coo síbolo da coeoração anual da visia dos rês Reis Magos ao enino Jesus. Ainda, e epos edievais era usado coo auleo de proeção conra deônios. Alguns dize que o penagraa é ísico porque 5 é ísico. É u nuero prio, a soa de e 3, be coo de e 4. Criso inha 5 feridas, dize, se não conar co as infligidas pela coroa de espinhos; e disribui 5 cesos de pão por ilhares de pessoas. Mais iporane, eos 5 dedos nas ãos, 5 dedos nos pés, 5 senidos.

152 Durane o longo epo da Inquisição, a igreja ergulhou no próprio diaboliso ao qual se opunha. Nessa época, o penagraa sibolizou a cabeça de u bode ou do diabo, na fora de Baphoe, o eso que a Igreja acusou os Teplários de adorar. Assi sendo, o penagraa passou de u síbolo de segurança à represenação do al, sendo chaado de Pé da Bruxa. Assi, a perseguição da Igreja fez as religiões anigas se oculare na clandesinidade. Ao fi da era das Trevas, as sociedades secreas coeçara novaene a realizar seus esudos se o edo paranóico das punições da Igreja. O penagraa agora significa o Microcoso, síbolo do Hoe de Piágoras represenado aravés de braços e pernas aberas, parecendo esar disposo e cinco pares e fora de cruz (O Hoe Individual). A esa represenação siboliza abé o Macrocoso, o Hoe Universal, u síbolo de orde e perfeição, a Verdade Divina. Para os ebros da sociedade Piagórica o penagraa era considerado u síbolo de boa saúde. Eles chegara ao Penagraa a parir do Dodecaedro (F = ; A = 30; V = 0). Leonardo da Vinci (45-59) abé o uilizou para realizar u dos seus ais faosos esudos. Exise relações áureas na anaoia do corpo huano, por exeplo, o ubigo divide a alura do ser huano e dois segenos que esão na razão áurea; a linha dos olhos divide o coprieno da cabeça e édia e exrea razão. Leonardo da Vinci esudou exausivaene as proporções áureas do corpo huano de onde resulou o faoso desenho denoinado o Hoe Viruviano (figura ), feio por vola de 490. Ese desenho foi uilizado ais arde por Luca Pacioli na ilusração do seu livro De Divina Proporione, 509. Figura 3. O PENTAGRAMA NA GEOMETRIA A divisão áurea é conhecida desde os piagóricos de cinco séculos a.c. Ao que udo indica, essa divisão foi descobera no penágono regular, que exibe ua surpreendene profusão de segenos na razão áurea. Talvez ese enha sido o oivo que levou os piagóricos a adoare o penagraa (penágono regular esrelado) coo síbolo de sua seia (figura ).

153 Figura Coo exeplo de ocorrência da divisão áurea nu penágono regular convexo enciona que a inerseção de duas de suas diagonais divide qualquer ua delas e édia e exrea razão. Assi, na figura 3, eos: AC CB CB AB Figura 3 Dizeos que u pono C divide u segeno AB e édia e exrea razão quando: AB AC AC BC AB Seja x. AC AC BC BC Teos que x. AC AC x 5 Daí, resula que x x 0, iso é, que x, A razão x é chaada de razão áurea. Assi C é o pono que divide o segeno AB e édia e exrea razão. 4. RELAÇÕES ÁUREAS NO PENTAGRAMA O penagraa é rico e relações áureas. A seguir, deonsrareos alguas propriedades conhecidas. Considere o penagraa represenado na figura 4, e que R e r são os raios das circunferências circunscrias aos penágonos A' B' C' D' E' e PQRST, respecivaene, e o segeno PQ co coprieno igual à unidade.

154 Figura 4 As propriedades são: 4. - A' P De fao: Teos que a soa dos ângulos inernos do penágono é 540, assi cada ângulo inerno é igual a 08. Do riângulo AA' P eos que sen8 A' P A' P A' P *Obs.: sen 8 pois OA r

155 Teos que OP r. Vaos deerinar o valor de Do riângulo AOP eos: e Enão, sen54 sen54 AO 4 OP AO OP AO OP OA. OP, 4, pois, da equação 0, eos que OA' r Teos que o raio aior R é igual a OA '. Enão, quereos osrar que Por seelhança enre os riângulos A' OT e A' ST, eos que: R r. A' O A' S R A' T OT r ST R Enão, OA '. r Ua diagonal coo a diagonal QS e coprieno igual a. Traçando as diagonais do penágono obereos os riângulos QST e PXQ que são seelhanes. O ângulo ˆ PQX 7, pois PQX esa inscrio no arco PS. Logo, Q XP ˆ 7. Os segenos PQ, ST e RS são lados do penágono, porano são congruenes. Teos abé que os segenos PQ, ST e RS são congruenes ao segeno XS, pois o riângulo RXS é u riângulo isósceles. Segue que, QS XS. XS QX

156 Considerando a diagonalqs d, e sabendo que XS =, pois o riângulo SXR é isósceles e RS SX, eos: d d se, e soene se, d d d d 0 5 Logo d. Porano, QS d é o segeno áureo da diagonal do penágono. Assi, podeos concluir que odas as diagonais do penagraa inscrio na circunferência de raio r, ede X é o pono édio de inersecção das diagonais PR e QS. Enão, SX XQ QS. XS Assi, PX XR B' X XT QS XS Teos que: Assi, Enão, Porano, B' X B' Q B' T, B' P B' X B' X B' T B' X XT B' T... B' S SD', pois B ' S B' R RS Se o prolongaeno de SQ enconra A ' B' e V, enão, ua vez que VS é paralelo à A' D', B' V VA' B' Q QP B' X XT B' S SD'.

157 De fao, se prolongaros SQ aé o pono V e A ' B', observaos que VQ, A' P e A' D' são paralelos. Enão, B' V por seelhança dos riângulos B' VQ e B' QR. VA ' B' Q QP B' S, pois B ' S B' R RS,onde B ' R A' P e RS. SD' 4.7 Os coprienos dos seis segenos, B ' D', B' S, B' R, RS, RX e XZ, esão e progressão geoérica. De fao, 3 B' D, 3 pois, B' D B' R RS SD' 3 Obs.: 5 B' S, pois, B' S B' R RS B' R, pois, B ' R A' P RS =, pois é o lado do penágono. RX, SQ pois, RX. XQ XZ Coo o riângulo SXR é isósceles, eos que SX = e coo RS = QX =, eos que: XZ. *Obs.:. 4.8 O coprieno de u lado do penágono A' B' C' D' E' é. De fao, A ' B B' P B' Q QP.

158 4.9 Dobrando-se o riângulo A' PQ na linha PQ e dando raaeno siilar aos ouros riângulos correspondenes de odo que A', B', C', D'e E' se enconre e H, obeos ua pirâide de alura OH (figura 5). Figura 5 OH r De fao, eos que OH OA r o que iplica e OA. Alé disso, de 4. eos que r OA. Assi, r OH OH r Logo, OH r. Porano. r r OA. Enão, r 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Exise cero apelo eséico para ver a beleza que exise na aeáica, e essa are na aeáica é inegável. Meso que se queira enosprezar a sua iporância, ela não deixa de esar presene. A aeáica apenas e o poder de esiular eoções individualene, daí sua enor visibilidade. Poré, não há nenhua pessoa insruída que seja oalene desprovida de sensibilidade. Esperaos co esse rabalho conribuir, ainda que odesaene, para o incenivo ao esudo da geoeria e para u elhor enendieno dessa iseriosa e enigáica razão, considerada por uios coo ua ofera de Deus ao undo.

159 6. BIBLIOGRAFIA [] Hunley, H.E., A Divina Proporção U ensaio sobre a beleza na aeáica, Ediora UnB, Brasília, 985. [] Ávila, G. S. S., Reângulo áureo, divisão áurea e seqüência de Fibonacci, Revisa do Professor de Maeáica, São Paulo, v. 6, p,9-4, 985. [3] Barison, M. B., Proporção áurea, hp://

160 Códigos Correores de Erros Flaviano Bahia Paulinelli Vieira Orienando PET-Maeáica - SESu/MEC Marcos Anônio Câara Orienador TUTOR PET - Maeáica Faculdade de Maeáica - Faa Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG Uberlândia, MG E-ail: bahia flaviano@yahoo.co.br, caara@ufu.br seebro - 006

161 Suário Códigos Correores de Erros 3. O que éucódigo? MéricadeHaing Equivalência de Códigos... 6 Códigos Lineares 7. CódigosLineares Codificando Mariz Geradora de u Código CódigosDuais Decodificando Decodificandoensagensqueconenhaaisdoqueuerro Exeplo de código que conenha no áxiouerro Exeplo de decodificação co ensage que conenha ais de u erro Códigos Cíclicos 3. Inrodução IdeaisdeuAnel Códigos Cíclicos Decodificando e Códigos Cíclicos Codificando e Códigos Cíclicos Calculando o Veor Síndroe e Códigos Cíclicos Referências 3

162 Códigos Correores de Erros Muias pessoas não percebe e ne acredia, as aeáica é fundaenal para o nosso dia-a-dia. Podeos aé não esar usando aeáica direaene, as uilizaos insruenos que precisa de aeáica para seu funcionaeno. U exeplo diso é que odas as vezes que assisios elevisão, ouvios úsica, navegaos na inerne, enfi, odas as vezes que uilizaos eios digiais, nós esaos uilizando u insrueno aeáico que chaaos de código correor de erros. Os códigos correores de erros e coo função acrescenar novas inforações às ensagens que serão ransiidas, fazendo co que esas possa ser corrigidas quando ocorre erros de ransissão de dados. Nesa onografia enareos explicar o que éucódigo correor de erros, coo funciona e coo decodificar ua ensage recebida co evenuais erros. Mas, prieiraene nos ve a perguna, o que u código?. O que éucódigo? U exeplo ineressane de u código correor de erro é o idioa que uilizaos. Por exeplo, suponha o alfabeo forao por 3 leras ais o espaço. Chaareos ese alfabeo de F. Noe que F e 4 eleenos e sua aior palavra (inconsiucionalissiaene) e 7 leras. Logo podeos coplear co espaçososfinaisdaspalavrasaéqueodasaspalavrasenhaexaaene7leras. Assidefinireos ese código coo sendo u conjuno C F 7. Mas, perceba que o idioa poruguês não ébopara corrigir erros. Se a palavra cadeira for ransiida e por u erro de ransissão receberos a palavra cadeina, veos que a palavra esá errada e a palavra que ais se aproxia é cadeira. Mas, se a palavra rao for ransiida, e receberos a palavra gao, não saberiaos se ocorreu ou não erro na ransissão pois as duas palavras exise no código C. U ouro ipo de código que uiliza éoque envolve núeros co dígios verificadores, que são os uilizados nesa onografia, principalene quando oalfabeoé o corpo de Galois F. ATeoriadosCódigos foi criada pelo aeáico C. E. Shannon, do Laboraório Bell, nu rabalho publicado e 948. Durane as décadas de 50 e 60 a Teoria dos Códigos foi uio desenvolvida e a parir da década de 70 passou a ineressar aos engenheiros co a corrida espacial e a popularização dos copuadores. Hoje e dia, os códigos correores de erros são uilizados sepre que fazeos uso de eios digiais. Para ilusrar vaos uilizar u exeplo clássico. Suponha u robô que anda e u abuleiro quadriculado de odo que ao daros os coandos Lese, Oese, Nore ou Sul o robô sedeslocano abuleiro confore o coando. Podeos codificar os coando coo eleenos de {0, } {0, } da seguine aneira: Fone CódigodaFone Lese 00 Oese 0 Nore 0 Sul Quando adicionaos redundâncias nas coordenadas esaos odificado o código de fone para que se orne u código correor de erro. Veja o exeplo do robô. Fone CódigodaFone Código do Canal Lese Oese 0 00 Nore 0 00 Sul 0 Paraquecadaeleenodocódigo (palavra do código) possa ser ransiido pelo canal de ransissão será necessária ua adapação ao canal feio pelo codificador de canal. Assi, a inforação éransi- ida (onde ocorre possíveis erros) e, ao ser recebida, o decodificador de canal ransfora a ensage recebida e linguage de ransferência de dados, e ensage co as redundâncias. No processo de decodificação da fone são corrigidos os possíveis errosderansissão e a ensage codificada é ransforada novaene e sua linguage inicial para que o usuário possa enendê-la. Veja u diagraa do funcionaeno dos códigos correores de erros:

163 Inroduzireos alguns conceios aeáicos para que possaos iniciar o nosso esudo de códigos correores de erros... Mérica de Haing Iniciareos a consrução de u código definindo o alfabeo coo sendo u conjuno F co u núero finio q de eleenos. Escrevereos F = q. U código correor de erro será u subconjuno próprio C qualquer de F n, onde n éunúero naural. Definição. Se u e v são dois eleenos de F n, definireos a disância de Haing enre u e v coo sendo d (u, v) = {i : u i v i, i n, i N} observe que a disância de Haing saisfaz as rês propriedades de érica e será chaada de érica de Haing. (i) Posiividade: d (u, v) 0; (ii) Sieria:d (u, v) =d (v, u) (iii) Desigualdade Triangular: d (u, v) d (u, w)+d (w, v). Deonsração (i) Coo d(u, v) é a quanidade de eleenos de u conjuno, eos que d(u, v) 0 (ii) d (u, v) = {i : u i v i, i n, i N} = {i : v i u i, i n, i N} = d (v, u); (iii) Noe que na i-ésiacoordenadaded (u, v) acrescenaos valores 0 ou para i sendo0seu i = v i e sendoseu i v i equed (u, w)+d (w, v) acrescenará valores 0, eparaisendo que apenas acrescenará 0quandou i = v i = w i, as ocorrendo iso na i-ésiacoordenadaded (u, v) acrescenareos 0 para i. Iso iplica que sepre nas i-ésias coordenadas de i ereos valores enores para d (u, v) doquepara d (u, w)+d (w, v) e, consequeeene, ereos d (u, v) d (u, w)+d (w, v). Exeplo. Seja F = F 3 = {0,, } e considere o conjuno F 4.Teos a seguir alguns exeplos de disância de Haing d (00, 000) = d (00, 00) = d (0000, 0) = 3 d (0, 0) = 0 Definição. Seja v u eleeno de F n e r>0 u núero naural. Definireos disco de raio r e cenro v coo sendo o conjuno e esfera de raio r e cenro v coo sendo o conjuno D (v, r) ={u F n d (u, v) r} S (v, r) ={u F n d (u, v) =r}.

164 Esses conjunos são finios e denoareos por D (v, ) e S (v, ) a quanidade de eleenos de cada conjuno. Lea. Para odo v F n eodonúero naural r>0 eos que r ( ) n D (v, r) = (q ) i i onde n é o coprieno das palavras e q é a quanidade de leras que há noalfabeo. Deonsração Coo que D (v, r) = i=0 r S (v, i), basa osrar quanos eleenos há e S (v, i). Mas, veja abé i=0 que dado u veor v eos (q ) aneiras diferenes de preencher ua únicacoordenadadoveorse queesenovoveorsejaigualaoveorv. E ipondo que exaaene i coordenadas de u veor seja diferenes do veor v eos (q ) i possibilidades para esas i coordenadas e quando oaos coordenas aleaórias no veor v de coprieno n, eos ( n i) cobinações para o novo veor co disância i de v. Daí ereos que S (v, i) = ( n i ) (q ) i eassi D (v, r) = Definição.3 A disância ínia de u código C será definida por r i=0 ( n i ) (q ) i. d = {in d (u, v) :u, v C, e u v}. ( ) C Observe que, a príncipio, para calcular d é necessário calcular disâncias, e iso requer u cuso copuacional uio elevado. Vereos adiane écnicas de coo calcular d coucusocopuacional ais econôico. Definição.4 Dado u código C co disância ínia C definireos [ ] d =, onde [k] represena a pare ineira de u eleeno k. Lea. Seja C u código co disância ínia d. Se c e c C são palavras disinas, enão D (c, ) D (c,)=. Deonsração Suponhaos por absurdo que v D (c, ) D (c,). Logo d (c, c ) d (c, v)+d (c,v) + d <d Absurdo, pois a disância ínia é d eassid (c, c ) d. Teorea. Seja C u código co disância ínia d. Enão, C pode corrigir no áxio = [ ] d erros e deecar aé d erros. Deonsração Se na ransissão de ua palavra c do código ocorrere s erros co s, recebereos ua palavra r co d (c, r) =s. Daí eos que r D (c, ) e eos pelo lea. que r/ D (c,) para c c, ou seja, podeos concluir que d (c, r) éenordoqueadisância de r a qualquer oura palavra do código e assi ereos c a parir de r. Se na ransissão de ua palavra c do código ocorrere aé d erros e recebeos a palavra r, cooadisância ínia enre duas palavras do código C é d, eos que r/ C pois d (c, r) <d. Veja que quano aior for a disância ínia das palavras do código, aior o núero de erros corrigidos. Por isso, é uio iporane que saibaos o valor ou pelo enos ua coa inferior para d.

165 [ ] d Definição.5 Seja C F n u código co disância ínia d e =. Ocódigo será dio perfio se c C D (c, ) =F n. A parir de agora podeos raçar ua esraégia para deecção e correção de possíveis erros de ua palavra ransiida. Se C éucódigo co disância ínia d, eos que = [ ] d,éaquanidade áxia de erros que o código corrige. Daí quando ransiios ua palavra c ereos dois casos: (i) ser D (c, ), foi coeido ua quanidade de erros enor ou igual a e coo já vios que esa palavra éúnica, podeos subsiuir r por c; (ii) ser/ D (c, ), foi coeido ua quanidade de erros aior que o que iplica que ereos ais dois casos: () se r D (c,)coc c, subsiuireos r por c eacorreção ficará incorrea, pois a palavra ransiida foi c; () se r/ D (ć,) para c C, não podeos corrigir a palavra r. Veja que nunca eos cereza da quanidade de erros que foi coeido na ransissão, logo não sabeossecaireosnocaso(i) ou(ii) e assi não ereos cereza da correção. Mas há uaaneira de elhorar a possibilidade da correção esar correa, ua vez que quano aior o valor de d, aior a chance de cair no caso (i)... Equivalência de Códigos Definição.6 Quando definios a classe dos códigos de coprieno n sobre u alfabeo F, podeos definir abé a noção de equivalência enre esses códigos. Para definir ua equivalância enre códigos uilizareos o conceio de isoeria. Definição.7 Seja A u alfabeo e n u núero naural. Direos que ua função F : A n A n é ua isoeria de A n se ela preserva disância de Haing. Ou seja d (F (x),f (y)) = d (x, y); x, y A n. Proposição. Toda isoeria de A n é ua bijeção de A n. Deonsração Ua isoeria F é injeora, pois suponha x, y A n equef (x) =F (y).logo, d (x, y) =d (F (x),f (y)) = 0 e assi x = y.daí, F é injeora e coo oda aplicação injeora de u conjuno finio nele próprio é sobrejeora, eos que F é bijeora. Proposição. (i) Afunção idenidade de A n é ua isoeria. (ii) Se F é ua isoeria de A n,enão F é ua isoeria de A n. (iii) Se F e G são isoerias de A n,enão F G é ua isoeria de A n. Deonsração (i) Teos que a função idenidade I leva u veor x nele eso ou seja I (x) =x, logo d (I (x),i(y)) = d (x, y) edaí I é ua isoeria. (ii) Se F é ua isoeria, logo (por ua proposição) eos que exise ua função F inversa de F e d ( F (x),f (y) ) = d ( F ( F (x) ),F ( F (y) )) = d (x, y) Consequeneene, F éuaisoeria. (iii) Seja F e G isoerias e x, y A n. Teos que d (F (x),f (y)) = d (x, y) e d (G (x),g(y)) = d (x, y) e d ((F G)(x), (F G)(y)) = d (F (G (x)),f (G (y))) = d (G (x),g(y)) = d (x, y). Logo, F G é ua isoeria. Definição.8 Seja C e C dois códigos sobre A n. Direos que C é equivalene a C se exisir ua isoeria F de A n al que F (C) =C.

166 Logo, eos que a equivalência de códigos é ua relação de equivalência, ou seja, saisfaz as seguines propriedades: (i) Reflexiva: odo código é equivalene a si próprio (pela proposição. (i)) (ii) Siérica: se C é equivalene a C enão C é equivalene a C (pela proposição. (ii)) (iii) Transiiva:seC é equivalene a C e C é equivalene a C enão C é equivalene a C (pela proposição. (iii)). Códigos Lineares. Códigos Lineares Na práica, a classe dos códigos ais uilizadados é a classe dos códigos lineares. Para iniciaros os esudos dos códigos lineares, denoareos por K u corpo finio co q eleenos. Ese corpo K será o alfabeo. Assi, para cada núero naural n ereos u K-espaço veorial K n de diensão n. Definição. U código C K n será chaado código linear se for u subespaço veorial de K n. Exeplo. Ocódigo do robô éucódigo linear de alfabeo F eocódigo é subespaço de F 5.O código é iage da ransforação linear abaixo T : F F 5 (x,x ) (x,x,x,x + x,x ) Por definição, odo código linear éuespaço veorial de diensão finia. Seja k a diensão do código C esejav,v,..., v k ua de suas bases. Logo qualquer eleeno de C pode ser escrio de fora única c = λ v + λ v λ k v k. co λ,λ,..., λ k F. Observe que eos q possibilidades para cada λ i e, coo eos kλ í s, a quanidade de palavras do código C é q k,ou seja C = q k. Definição. Se x K n, define-se o peso de x coo sendo o núero ineiro ω (x) = {i : x i 0, i n, i N}. Ou seja, ω (x) =d (x, 0), onde d éaérica de Haing. Definição.3 O peso de u código linear C será definido da seguine aneira ω (C) =in{ω (x) :x C {0}}. Proposição. Seja C K n u código linear co disância ínia d.teos que (i) x, y K n,d(x, y) =ω (x y) (ii) d = ω (C). Deonsração (i) Sex, y K n, da definição de érica de Haing d (x, y) = {i : x i y i, i n, i N}, eda definição de peso ω (x y) = {i : x i y i 0, i n, i N}. Veja que d (x, y) = {i : x i y i, i n, i N} = {i : x i y i 0, i n, i N} = ω (x y). Logo, d (x, y) =ω (x y). Observe que d (x, y) =d (x y, 0). (ii) Considere u par de eleenos x, y C co x y. Definios z = x y C {0} e assipeloie(i) eosd (x, y) = ω (z) ecoox, y percorre odos eleenos de C, eos que d =in{d (x, y) :x, y C, ex y} = ω (C). Agora, para calcular a disância ínia podeos apenas calcular o peso de odos eleenos do código, exceo o nulo, e verificar ( ) qual o enor valor. Assi, para achar d, basa fazer apenas C cálculos de C peso ao invés de cálculos. Iso oiiza o cuso copuacional para achar d.vereos ainda ais adiane ouras aneiras de enconrar d. A parir de agora, a disância ínia de u código poderá ser chaadadepesodocódigo.

167 . Codificando Seja K n u espaço veorial co diensão n e C K n u código linear co base v,v,..., v k. Quereos ransiir a palavra x =(x,..., x k )docódigodafonek k de al odo que anes de ransií-la quereos codificá-la para o código C. Assi, podeos codificar x por eio de ua ransforação linear da seguine aneira: T : K k K n x =(x,..., x k ) x v + x v x k v k. Observe que, se x, y K k al que T (x) =T (y) enão, x v x k v k = y v y k v k (x y ) v (x k y k ) v k =0 Mas, coo v,..., v k é ua base de C, eos que v,..., v k são LI e assi x i y i =0 x i = y i x = y. Daí, T é injeora. Exeplo. Seja C K 7 u código sobre o corpo F co base {(, 0, 0, 0,,, 0), (0,, 0, 0, 0,, ), (0, 0,, 0,, 0, ), (0, 0, 0,,,, )} e x =(, 0,, ) ua palavra do espaço veorial K 4. Assi para codificar x basa saber T (x) : T (x) =T (, 0,, ) =(, 0, 0, 0,,, 0) + 0 (0,, 0, 0, 0,, ) + (0, 0,, 0,, 0, ) + (0, 0, 0,,,, ) =(, 0,,,, 0, 0) = c. Assi a palavra c =(, 0,,,, 0, 0) esá codificadaparaocódigo C ejá podeos ransií-la..3 Mariz Geradora de u Código Definição.4 Chaareos de parâeros do código C a erna de ineiros (n, k, d) onde n represena o coprieno das palavras do código C, k represena a diensão do código C e d represena a disância ínia de C. Definição.5 Seja B = {v,v,..., v k } ua base ordenada do código C onde v i =(v i,v i,..., v in ). Chaareos de ariz geradora do código C associada a base B, a ariz onde suas linhas são os veores da base de C, iso é: v v v n v v v n G = v k v k v kn Assi, eos ua oura aneira de represenar a codificação daspalavrasdocódigo, coo vereos abaixo: T : K k K n x =(x,..., x k ) xg ou seja, T (x) =x v + x v x k v k. Observe que T ( K k) = C. Assi podeos considerer K k ocódigo da fone e C ocódigo do canal e a ransforação T ua codificação. Alé disso, podeos ober diferenes bases para o código C aravés de ua base já exisene aravés de operações eleenares coo peruação de dois eleenos da base, uliplicação de u eleeno da base por u escalar não nulo e subsiuição de u eleeno da base por ele eso soado co u ouro eleeno uliplicado por u escalar, e co esas operações ober diferenes arizes geradoras G. Aé agora apenas obive as arizes geradoras G aravés de u código C, as veja que se oaros ua ariz G co linhas linearene independenes, podeos definir u código coo sendo a iage da ransforação linear:

168 T : K k K n x xg Exeplo.3 Ireos cosruir u código C a parir de ua ariz dada G cujas linhas são linearene independenes. Toe o corpo K = F, aariz G = e conside a ransforação anerior T : F 3 F 5 x xg A iage desa ransforação linear éocódigo desejado C. Seja x =(x,x,x 3 ) u eleeno qualquer de F 3. Assi, xg =(x + x + x 3,x + x 3,x + x 3,x + x 3,x + x 3 ) F 5.Logo, odo eleeno do código será dafora xg.por exeplo, seja x =(, 0, ) F 3. Logo xg =(+0+, 0+, +, 0+, + ) = (0,, 0,, 0) C. Iagineos agora que gosaríaos defazeroinverso,ousejadadauapalavranocódigo C gosaríaos de enconrar a sua geradora e K k. Para iso basa resolver o sisea xg = c, onde x K k,géa ariz geradora do código e c K n. Veja coo faríaos para o exeplo anerior: x + x + x 3 =0 x + x 3 = x + x 3 =0 x + x 3 = x + x 3 =0 Asolução dese sisea é x =(, 0, ). Definição.6 Dada ua ariz G geradora de u código C, direos que G esá na fora padrão quando eos G =(I k A) onde I k é a ariz idenidade de orde k e A é ua ariz qualquer k (n k). Teorea. Dado u código C, sepre exise u código C equivalene a C co ariz geradora na fora padrão. Deonsração Dada ua ariz geradora G de u código C, basa peruar colunas e ir escalonando a ariz G de odo a enconrar ua ariz G =(I k A) geradora do código C que é equivalene ao código C..4 Códigos Duais Anes de dar inícioaesaseção lebreos a definição de produo inerno de dois veores u =(u,..., u n ),v = (v,..., v n ) K n u, v = u v u n v n e que esa operação possui as propriedas usuais de produo inerno. Siérica: u, v = v, u ; Bilinear: u + λw, v = u, v + λ w, v,para qualquer λ K. Definição.7 Seja C K n u código linear. Definireos C = {v K n : v, u =0, u C}. Vereos agora que C éucódigo liner que denoinareos código dual.

169 Lea. Se C K n éucódigo linear, co ariz geradora G,enão: (i) C é u subespaço veorial de K n ; (ii) x C Gx =0. Deonsração (i) Seu, v C,λ K e x C, enão u + λv, x = u, x + λ v, x =0+λ0 =0 eassieosque(u + λv) C e porano C é subespaço veorial. (ii) Teos que as linhas de G fora ua base para o código C, e oando v,v,..., v k ua base v v de C podeos conruir G da seguine aneira, G =... Coo x C se e soene se x, v =0 v k para qualquer v C, oando x C eos que v x v,x 0 Gx v x =.... = v,x. = 0.. v k x n v k,x 0 v,x 0 Para provar a vola, considereos Gx =0,ondex K n v,x. Logo. = 0., eassi, v k,x 0 se v é u eleeno qualquer de C, logo v = α v α k v k. Daí v, x = α v α k v k,x = α v,x α k v k,x = 0 e assi, x C. Por ese lea eos que C éuespaço veorial e, consequeneene, u código linear. Proposição. Se C K n éucódigo linear de diensão k co ariz geradora G =(I k A), na fora padrão, enão eos que: (i) dic = n k (ii) A ariz geradora de C será daforah =( A I n k ). Deonsração Sabeos que x =(x,...x n ) C seesoenesegx =0 Assi, 0 0 a (k+) a (k+) a n Gx 0 0 a (k+) a (k+) a n = a (k+)k a (k+)k a nk x x.. x k = x + a (k+) x k a n x n x + a (k+) x k a n x n. x k + a (k+)k x k a nk x n a (k+) x k+... a n x n a (k+) x k+... a n x n. a (k+)k x k+... a nk x n = x x. x n = a (k+) a (k+) a n = a (k+) a (k+) a n a (k+)k a (k+)k a nk x k+ x k+ Logo, os (n k) eleenosx k+,..., x n pode ser escolhidos alearoriaene. Daí, eos que a diensão de C é n k.. x n

170 Veja abé que x i = a (k+)i x k+... a ni x n para i =...k. Logo, x C erá a seguine fora x = ( ) a (k+) x k+... a n x n,..., a (k+)k x k+... a nk x n,x k+,..., x n Assi, ua base para C será ( a(k+), a (k+)..., a (k+)k,, 0,..., 0 ) (, a(k+), a (k+),..., a (k+)k, 0,,..., 0 ),..., ( a n, a n,..., a nk, 0, 0,..., ) e diso ereos que a ariz geradora de C é a (k+) a (k+) a (k+)k 0 0 a (k+) a (k+) a (k+)k 0 0 H = a n a n a nk 0 0 = ( A ) I n k Lea. Seja C K n u código linear de diensão k e ariz geradora G. Ua ariz H de orde (n k) n, co coeficienes e K e co linhas linearenes independenes é ua ariz geradora de C se e soene se G H =0 Deonsração As linhas de H gera u subespaço veorial de K n de diensaão n k, pois exise n k linhas e odas são linearene independenes. Agora, assua h,..., h n k coo sendo as linhas de H e g,..., g k coo sendo as linhas de G. Daí G H = g g. g k g,h g,h g,h n k ( ) h h h g,h g,h g,h n k n k = g k,h g k,h g k,h n k Se H é geradora do código dual C, enão h,..., h n k C eassi g, h i = 0 para qualquer g C. Logo, G H =0. Agora, se G H =0, coo g,..., g k gera de C e h,..., h n k gera o subespaço D, oando g C e h D eos que g, d = a g α k g k,β h β n k h n k = a β g,h a k β n k g k,h n k =0econcluiosqueD = C. Corolário. Dado u código linear C, eos que ( C ) = C Deonsração Seja G e H, respecivaene, arizes geradoras de C e C. Logo, G H =0oqueiplicaque ( G H ) =0 =0 H G =0 Assi, eos que G é a ariz geradora de ( C ) ( ), e consqueneene C = C. A seguir vereos u resulado que iniiza o cuso copuacional para saber se ua palavra esá ou não e u código C. Proposição.3 Seja C u código linear e suponhaos que H seja ua ariz geradora de C. Teos enão que v C Hv =0

171 Deonsração Coo já viso e leas aneriores eos que se G é a ariz geradora de C enão x C Gx =0 ede ( C ) = C eos que v C Hv =0. Anes para verificar se ua palavra v esava ou não e u código C era preciso resolver o sisea xg = v onde x K k e G é a ariz geradora do código C. Iso requeria u cuso copuacional uio elevado, e agora épossível ober esa conclusão apenas co ua uliplicação de ua ariz por u veor. Por isso, a ariz H geradora do código dual C échaadadearizesedeparidadedec. Exeplo.4 Seja C u código sobre F co a ariz geradora G = Coo a ariz geradora G já esá na fora padrão éfácil ober ua ariz ese de paridade H. H = Agora, éfácil verificar se ua palavra esá nocódigo C.Seja v =(, 0, 0,,, ) e v =(0,, 0,, 0, ) Veja que Hv = 0 0 e H (v ) = Daí, pela proposição anerior eos que v C e v / C. A ariz ese de paridade de u código C abé carrega inforações sobre o peso d do código. Teorea. Seja H a ariz ese de paridade de u código C. TeosqueopesodeC é aior do que ou igual a s se, e soene se, quaisquer s colunas de H são linearene independene. Deonsração ( )Suponhaos, inicialene, que cada conjuno de s colunas de H é linearene independene. Seja c =(c,c,..., c n ) ua palavra não nula de C, esejah,h,..., h n as colunas de H. Coo Hc =0 eos que 0=H c = c i h i,ouseja, h h h n c h c + h c h n c n h h h n c = h c + h c h n c n. h (n k) h (n k) h (n k)n c n h (n k) c + h (n k) c h (n k)n c n h h n h =. c h n c n =0 h (n k) h (n k)n = Viso que w (c) (peso da palavra c) éonúero de coponenes não nulas de c, segue que se w (c) s eriaos ua cobinação não nula de u núero de colunas de H, co s, oqueé conradiório, pois cada conjuno de s colunas de H é linearene independene, o que ocorre abé para qualquer conjuno co enos do que s colunas de H. Logo, w (c) s e, porano, w (C) s.

172 ( ) Reciprocaene, suponhaos que w (C) s. Suponhaos abé, por absurdo, que H enha s colunas linearene dependenes, digaos h i,h i,..., h is. Logo, exisiria c i,c i,..., c is F, ne odos nulos, ais que: c i h i c is h is =0. 0= = h i h i. h i (n k) c i h is h is... h is (n k) c i s h 0+h h i c i h is c is + h n 0 h 0+h h i c i h is c is + h n 0. h (n k) 0+h (n k) h i (n k) c i h is (n k) c i s + h (n k)n 0 h h h n h h h n = h (n k) h (n k) h (n k)n 0. c i 0. c is Porano, c = ( 0,..., c i, 0,..., c is, 0,..., 0 ) C e consequeneene, w (c) s <s,oqueéu absurdo. Teorea.3 Seja H a ariz ese de paridade de u código C. TeosqueopesodeC é igual a s se, e soene se, quaisquer s colunas de H são linearene independenes e exise s colunas de H linearene dependenes. Deonsração ( )De fao, se w (C) =s, odo conjuno de s colunas de H é linearene independene (Ver eorea.). Por ouro lado, exise s colunas de H linearene dependenes, pois, caso conrário, qualque conjuno de s colunas de H seria linearene independene. Nesse caso, pelo eorea. w (C) s +. Absurdo, pois w (C) =s. ( ) Reciprocaene, suponhaos que odo conjuno de s colunas de H é linearene independene eexises colunas de H linearene dependenes. Logo, do eorea., eos que w (C) s. Mas, w (C) não pode ser aior do que s, ou seja, w (C) s +, pois do eorea. eríaos que odo conjuno co s colunas de H seria linearene independene. Absurdo, pois H e s colunas linearene dependenes. Corolário. (Coa de Singleon) Os parâeros (n, k, d) de u código C saisfaze a desigualdade d n k +. Deonsração Se H éuaarizesedeparidadedeucódigo C, elaé a ariz geradora do código dual C que e diensão n k. Logo, H poderá ernoáxio n k colunas linearene independenes. Daí, pelo eorea.3 eos que w (C) s =(n k)+. E coo sabeos que w (C) =d, eos que: d n k +

173 .5 Decodificando O processo que deeca e corrige os erros de u deerinado código é chaado de decodificação. Para iso, definireos u veor e K n al que e = r c onde r é o veor recebido e c é o veor ransiido. Exeplo.5 Dado u código C sobre o corpo Z. Suponha que rasiios a palavra (000) e recebeos a palavra (00). Nesse caso, o veor erro será: e = (00) (000) = (00000). O peso do veor erro w (e) é a quanidade de erros que houve durane a ransissão. Obs.: Seja H a ariz ese de paridade do código C, e e u veor erro. Logo, Lebre que c C iplica que Hc =0. He = H (r c) = Hr Hc = Hr Definição.8 Dado u código C co ariz ese de paridade H e u veor v K n, chaareos de síndroe de v o veor Hv. Daí, eos que o veor erro e e o veor recebido r e a esa síndroe. De fao, se h i éai-ésia coluna da ariz ese de paridade H, ee =(α,..., α n )enão, n α i h i = α i= h. h (n k) α n h n. h (n k)n = α h α n h n. α h (n k) α n h (n k)n = He = Hr Lea.3 Seja C u código linear e K n co capacidade de correção. Se r K n e c C são ais que d (c, r), enão exise u único veor e co w (e) cuja síndroe é igual àsíndroe de r eal que c = r e. Deonsração Se oaros e = r c, eos que He = Hr Hc = Hr e w (e) =w (r c) =d (r, c). Logo, e = r c saisfaz a exisência do veor. Agora, provareos a unicidade de e. Suponhaos e =(α,..., α n ) e e =(α,..., α n), doisveoresaisquee e,w(e) e w (e ) (ou seja, há noáxio enradas não nulas e cada u dos veores) e que enha síndroes iguais. Logo, He = He n n α i h i = α ih i i= i= α h α n h n α h... α nh n =0 (α α ) h +... (α n α n) h n =0 Daí, exise no áxio índices i ais que (α i α i ) 0. Logo, exise u conjuno co ou enos colunas de H que não são linearene independenes. Mas, já vios que = [ ] d, ou seja d, e vios abé que quaisquer d colunas de H são linearene independene. Daí, eos u absurdo, pois exise u conjuno co ou enos colunas de H que não são linearene independenes. Iso iplica que e = e. Daí, basa decobrir ese veor e aparirdehr, pois assi deerinareos c, ua vez que c = r e. Aprincípio vaos rabalhar resringindo o veor erro a e onde w (e), ou seja, o veor erro e odas suas enradas nulas ou apenas ua de suas enradas não nula. Se w (e) =0,e =(0, 0,..., 0) e assi, coo e = r c, eos que c = r. Ou seja, a palavra recebida não e erro.

174 Se w (e) =,e=(0, 0,..., α, 0,..., 0), equeapenasai-ésia enrada énão nula. Coo eos Hr = He =0 h +0 h αh i h n = αh i ecoooprobleaesá e saber e qual enrada de e esá oα, por Hr = αh i eos que basa analisaros as colunas de H, analisar onde esá oh i e ver qual o valor de i. Logo, sabendo o valor de i sabeos qual éoerroe. Assi, ereos que o veor ransiido será c = r e, onde r e e já conheceos. ( ) 0 0 Exeplo.6 Seja C u código co ariz geradora G = e ariz ese de 0 0 paridade H = Suponha que enviaos a palavra (00) e recebeos a palavra r = (0).Assi, Hr = ou seja, e = (0000) elogoc = r e = (0) (0000) = (00). 0 = 0 = h Co iso, podeos onar u algorio para decodificar palavras recebidas que conenha no áxio u erro. Algorío. Seja H a ariz ese de paridade do código C, al que w(c) 3 e r u veor recebido. (i) Calcule Hr (ii) Se Hr =0, aceie r coo sendo a palavra ransiida e fi. (iii) Se Hr = s 0, copare s co as colunas de H. (iv) Se exisire i e α ais que s = αh i, para α K, enão e é o veor que e na i-ésia enrada ezerosnasourasposíções. Corrija r pondo c = r e efi. (v) Se o conrá de(4) ocorrer, enão ais de u erro foi coeido. Analisareo agora o caso onde o código corrige ais de u erro, ou seja, >. Seja C K n u código correor de erros co ariz ese de paridade H, d adisância ínia de C e = [ ] d. Lebre que e = r c equee e r e a esa síndroe, ou seja, He = Hr. Alé disso se w (e) =w (r c) = d (r, c), enão e é univocaene deerinado por r. Definição.9 Se v K n, definios v + C = {v + c : c C} Chaanos o conjuno v + C de classe laeral de v segundo C. Lea.4 Os veores u,v K n e a esa síndroe se, e soene se, u v + C. Deonsração Hu = Hv H (u v) =0 u v C u v = c co c C u = v + c co c C u v + C. Os conjunos v + C e as seguines propriedades: i) v + C = v + C v v C; ii) (v + C) (v + C) v + C = v + C; iii) v K n (v + C) =K n ; iv) (v + C) = C = q k. Deonsração i) v + C = v + C v + c = v + c para c,c C v v = c c = c 3 C; ii) Teosu (v + C) (v + C) u = v + c e u = v + c, co c,c C v + c = v + c (v v )=(c c ) C v v C v + C = v + C.

175 iii) v K n (v + C) K n, pois, para odo v K n e c C K n ereos (v + c) K n. Agora, se u K n, enão u (u + c) u v K n (v + C). iv) Teos que C = (v + C) pois, para quaiquer c,c C ais que c c, eos v + c v + c. E coo C = q k (v + C) = q k. Noe que v + C = C v C e das propriedades (ii) e(iv) eosqueonúero de classes laerais segundo C é Veja alguns exeplos de classes laerais. Exeplo.7 Seja C ocódigo gerado por G = easclasseslaeraissegundoc são: q n q k = qn k. ( C = {0000, 0, 00, 0} C = {000, 00, 0, 00} C = {000,, 000, 00} C = {000, 00, 0, 00} ). Logo, C = {0000, 0, 00, 0}, Lebre que pelo Lea.4 odos os eleenos de esa classe e esa síndroe e eleenos de classes diferenes e síndroes diferenes. Definição.0 U veor v de peso ω (v) ínio nua classe laeral é chaado de eleeno líder dessa classe. Proposição.4 Seja C u código linear e K n co disancia ínia d. Se u K n é al que [ ] d ω (u) =, enão u éoúnico eleeno líder de sua classe laeral segundo C. Deonsração Suponhaos dois veores u, v K n co ω (u) e ω (v), ais que u e v seja da esa classe segundo C. Logo, u v C, edaíeos ω (u v) ω (u)+ω (v) + d Nese caso o veor (u v) e peso enor que d, ou seja d (u, v) <d,o que iplica que u v =0 u = v. Observação. Co iso, oando u eleeno v K n al que ω (v), eos que v éoúnico eleeno líder de ua e soene ua classe laeral segundo C. Teorea.4 Seja C u código co parâeros (n, k, d) e D (O, ) o disco onde O =(0, 0,..., 0). Se D (O, ) = q n k, enãoocódigo é perfeio. Deonsração Pela observação. eos que o disco D (O, )é forado apenas por eleenos que são líderes de classes e cada eleeno élíder de ua e soene ua classe. E coo D (O, ) = q n k eos que cada classe laeral segundo C e seu líder conido no D (O, ). Agora, se para u eleeno v qualquer de K n, osraos queeseeleenoesá conido e u D (c, ), onde c C, enão osraos que C é perfeio. Mas, eos pela propriedade (iii) quev (v + C). Logo, oando u coo sendo o líder da classe (v + C), eos que (u + C) =(v + C) eassi,v (u + C). Daí, v u = c C v c = u w (v c) =w (u) d (v, c). Porano v D (c, ).

176 .5. Decodificando ensagens que conenha ais do que u erro Vaos agora nos concenrar e ua écnica para correção de ensagens que enha sofrido u núero de erros enor ou igual a. Para isso ireos deerinar odos os eleenos u de K n, ais que ω (u). Noequeodosesse eleenos u são líderes de classes. Calcule odas as síndroes de u e one u abela relacionando u co suas síndroes. Considereos c a palavra enviada e r a palavra recebida. A seguir, veja o algorio de decodificação para Algorío. (i) Definaasíndroe s = Hr. (ii) Se s esá naabela,eu é o eleeno líder da sua classe deerinado por s, faça c = r u. (iii) Se s não esá naabela,enão a ensage recebida e ais do que erros. Jusificaiva: Lebrando que e = r c e coo Hr = He eos que a classe laeral onde se enconra e esá deerinadapelasíndroe de r. Se w (e) enão e éoúnico eleeno líder da classe (e + C). Pelo lea.4 e de Hr = He, eos que r (e + C) e logo (r e) C. Agora, eos que esa correção esá correa ua vez que d (r, c) =w (r c) =w (e). Enão, e éoúnico veor al que Hr = He.Porano, e = r c. e consequeneene, c = r e Exeplo (.8 Considere o código linear ) (, 4, 5) sobre o corpo F co ariz geradora G = e ariz ese de paridade H = Nese caso = [ ] [ d = 5 ] =. Observe a abela onada abaixo co odos os veores co peso e suas respecivas síndroes. Líder Síndroe Líder Síndroe

177 Suponhaos que a palavra recebida seja r = Logo, Hr = (00). Observe que não se enconra na abela, o que significa que na palavra (0000) fora coeidos ais do que erros na ransissão. Agora, considereos a palavra recebida r = (000). Logo, Hr = (0) eolíder da classe correspondene é ( ). Logo c = (000) ( ) = (0) C. A seguir veja ua aplicação de u código correor de erros..5. Exeplo de código que conenha no áxio u erro Exeplo.9 Seja C ocódigo sobre o corpo F que seja gerado pela ariz G = Consequeneene eos a ariz ese de paridade H = Teos abé que o peso dese código é 3 pois quaisquer colunas da ariz ese de paridades são linearene independene e exise 3 colunas linearene depen denes. Assi, ese código corrige no áxio erro. Dadooalfabeodalíngua poruguesa, definireos ua fone para ese da seguine aneira: Lera Fone - Lera Fone a n 000 b o 000 c p 000 d q 00 e r 00 f s 00 g h u 00 i v 00 j x 00 l z 0. Agora, para que possaos ransiir as fones de odo que o código ciado acia as corrija ireos codificar odas as fones das leras.

178 Lera Fone Codificando G a 0000 a G b 0000 b G c 0000 c G d 0000 d G e 0000 e G f 000 f G g 000 g G 000 h 000 h G i 000 i G j 000 j G l 000 l G G 0000 n 000 n G o 000 o G 0000 p 000 p G 0000 q 00 q G 0000 r 00 r G 0000 s 00 s G G u 00 u G 000 v 00 v G 00 x 00 x G z 0 z G 000 Prono! Agora já eos as palavras de odo que possaos enviar a ensage.. Exeplo.0 Uilizando o código do exeplo anerior e considerando que nas palavras abaixo ocorrera no áxio u erro, decodifique a ensage abaixo: Para decodificar a ensage uilizareos o seguine algorio: Logo, o prieiro passo para decodificar a ensage é onar a abela dos líderes de classes e suas

179 respecivas síndroes. Líder Síndroe H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) - 0. Agora já se pode uilizar o algorío para decodificar as ensagens: r 0 = Hr 0 = 00 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 0 = Assi, c 0 = r 0 e 0 = , que represena a lera 0000 = c; r = Hr = 0000 não ocorreu erro durane a ransissão e assi, c = 00000, que represena a lera 000 = l; r = 0000 Hr = 000 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e = Assi, c = r e = 000, que represena a lera 00 = u; r 3 = Hr 3 = 000 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 3 = Assi, c 3 = r 3 e 3 = que represena a lera 0000 = b; r 4 = 0000 Hr 4 = 000 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 4 = Assi, c 4 = r 4 e 4 = 00000, que represena a lera 0000 = e; r 5 = Hr 5 = 00 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 5 = Assi, c 5 = r 5 e 5 = , que represena a lera = ; r 6 = Hr 6 = 0000 não ocorreu erro durane a ransissão e assi, c 6 = , que represena a lera 0000 = a; r 7 = Hr 7 = 0000 não ocorreu erro durane a ransissão e assi, c 7 = , que represena a lera 00 = ; r 8 = 0000 Hr 8 = 0 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 8 = Assi, c 8 = r 8 e 8 = 00000, que represena a lera 000 = l; r 9 = Hr 9 = 0000 não ocorreu erro durane a ransissão e assi, c 9 = 00000, que represena a lera 0000 = e; r 0 = Hr 0 = 000 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 0 = Assi, c 0 = r 0 e 0 = , que represena a lera 00 = ; r = Hr = 00 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e = Assi, c = r e = , que represena a lera 000 = i; r = Hr = 0000 não ocorreu erro durane a ransissão e assi, c = , que represena a lera 0000 = c; r 3 = 0000 Hr 3 = 0000 não ocorreu erro durane a ransissão e assi, c 3 = 0000, que represena a lera 000 = o; r 4 = Hr 4 = 0 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 4 = Assi, c 4 = r 4 e 4 = , que represena a lera 0000 = ; r 5 = Hr 5 = 000 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 5 = Assi, c 5 = r 5 e 5 = 0000, que represena a lera 000 = ; r 6 = Hr 6 = 0 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 6 = Assi, c 6 = r 6 e 6 = , que represena a lera 000 = i; r 7 = Hr 7 = 00 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 7 = Assi, c 7 = r 7 e 7 = 00000, que represena a lera 000 = n; r 8 = 0000 Hr 8 = 000 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 8 = Assi, c 8 = r 8 e 8 = 00000, que represena a lera 0000 = e; r 9 = Hr 9 = 0000 não ocorreu erro durane a ransissão e assi, c 9 = , que represena a lera 000 = i;

180 r 0 = Hr 0 = 00 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 0 = Assi, c 0 = r 0 e 0 = 0000, que represena a lera 00 = r; r = Hr = 000 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e = Assi, c = r e = 0000, que represena a lera 000 = o. Assi a ensage recebida foi: clube aleico ineiro..5.3 Exeplo de decodificação co ensage que conenha ais de u erro Exeplo. Uilizaos o códigodoexeplo.8 e a seguine abela co os coandos e suas respecivas fones: Coando Fone Codificando Nore 00 (00) G Sul 0 (0) G 0000 Lese 0 (0) G 0000 Oese () G 0 Considerando que na ransissão da ensage ocorra no áxio erros e cada palavra, diga qual o cainhoqueorobô, que se ove confore os coandos acia, deve percorrer se ese receba os seguines coandos: Considere a abela co os líderes de classes e suas respecivas síndroes do exeplo.8 e execue o algorio para correção de ais de u erro. r 0 = Hr 0 = 0 ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 0 = Assi, c 0 = r 0 e 0 = , que represena o coando 00 = Nore; r = 000 Hr = ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e = Assi, c = r e = 0000, que represena o coando 0 = Lese; r = Hr = não ocorreu erro durane a ransissão e assi, c = , que represena o coando 00 = Nore; r 3 = 000 Hr 3 = ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 3 = Assi, c 3 = r 3 e 3 = 0, que represena o coando = Oese; r 4 = 0000 Hr 4 = ocorreu erro durane a ransissão e o erro é e 4 = Assi, c 4 = r 4 e 4 = 0000, que represena o coando 0 = Sul; r 5 = 0 Hr 5 = não ocorreu erro durane a ransissão e assi, c 5 = 0, que represena o coando = Oese; Porano a ensage recebida e, consequeeene, o rajeo do robô foi: Nore, Lese, Nore, Oese, Sul, Oese.

181 3 Códigos Cíclicos 3. Inrodução Os códigos cíclicos são os códigos ais esudados pelos seus bons algoríos de codificação e decodificação. Dado u corpo finio K eseja(x 0,..., x n )ueleenodek n, assi os códigos cíclicos são caracerizados pela seguine definição: Definição 3. U código linear C K n écódigo cíclico se saisfaz a seguine condição: (c 0,..., c n ) C (c n,c 0,..., c n ) C. Porano, dada a ransforação linear T π : C K n (c 0,..., c n,c n ) (c n,c 0,..., c n ) sabeos que quando o doínio éucódigo cíclico enão, a iage abé será oesocódigo cíclico equet π (C) =C. Vejaabé que Tπ n (c) =c. Exeplo 3. Seja u veor v K n. Logo o espaço veorial v = k 0 v + k T π (v) k n Tπ n (v) co k i K para i =0,,..., n éucódigo cíclico. Considere o corpo K = F e seja v =(,, 0) F 3. Porano, v = k 0 (,, 0) + k (0,, ) + k (, 0, ) = {(0, 0, 0), (,, 0), (0,, ), (, 0, )}. Para oiizaros o nosso rabalho nos códigos cíclicos enareos increenar a esruura de anel ao código. Ireos fazer iso da seguine aneira. Definireos R n coo sendo o anel das classes residuais e K [x] ódulo x n.ou seja R n = K [x] (xn ).

182 U eleeno de R n é da fora [f (x)] = {f (x)+g (x)(x n ) : g (x) K [x]}. Definireos a adição e a uliplicação e R n da seguine fora: [f (x)]+[f (x)] = [f (x)+f (x)] [f (x)] [f (x)] = [f (x) f (x)] e ainda, se definiros a uliplicação por u escalar λ K da seguine fora, λ [f (x)] = [λf (x)] ereos que R n éuk-espaço veorial de diensão n e co base, [x],..., [ x n ]. Deonsração De K ser u corpo eos que K [x] é u doínio co as operações definidas acia, logo eos que exise e R n a propriedade couaiva e associaiva para a adição alé do eleeno neuro e o siérico para a adição. E abé da definição de uliplicação por escalar eos as seguines propriedades: () λ (λ v)=(λ λ ) v, λ,λ K e v R n () (λ + λ ) v = λ v + λ v, λ,λ K e v R n (3) λ (u + v) =λu + λv, λ K e v, u R n (4) v = v, onde é o eleeno unidade de K e v R n Daí, eos que R n éuespaço veorial. Agora, eos que, [x],..., [ x n ] éuabaseder n pois [ α 0 +α [x] α n x n ] =[0] [ α 0 + a x α n x n ] =[0] α 0 + a x α n x n = g (x)(x n ) g (x) =0 α 0 + a x α n x n =0 o que iplica que a 0 = a =... = a n = 0 e consequeneene, [x],..., [ x n ] são LI. Eabé, [x],..., [ x n ] gera R n pois fazendo a divisão de f (x)porx n, eos que f (x) =g (x)(x n )+f (x) co f (x) =0ou f (x) n. Daí eos que [f (x)] = [ f (x)+g (x)(x n ) ] = [ f (x) ] onde f (x) n. Assi, oando f (x) =α 0 + α x α n x n eos que [f (x)] = [ f (x) ] = [ α 0 + α x α n x n ] =α 0 + α [x] α n [ x n ]. Ouro propriedade iporane de R n équer n éisoorfoak n. Para osrar iso basa definir a ransforação abaixo: υ : K n R n (a 0,a,..., a n ) [ a 0 + a x a n x n ]. Daí, podeos ransporar qualquer código C K n para R n uilizando o isoorfiro υ. Observe que e R n, alé da esruura de espaçoveorialqueinhaosek n, eos abé ua esruura de anel. Vereos adiane que quando oaos a iage de u código cíclico pela ransforação υ, esa iage será u ideal. 3. Ideais de u Anel Definição 3. Seja I u subconjuno não vazio de u anel A, I é chaado de ideal de A. Se saisfaz as seguines condições: () a, b I, a + b I () a I e c A, ca I.

183 Veja que 0 (eleeno neuro adiivo) esá eodoidealpois, a I, 0a =0 I Exeplo 3. Seja A u anel e a A. Enãooconjuno I (a) ={ca : c A} é u ideal de A, chaado ideal principal gerado por a. Proposição 3. U ideal de K [x] édaforai (f (x)) onde f (x) K [x]. Deonsração Nesa deonsração vaos considerar dois casos: ( caso) I = {0}. Nese caso basa oar f (x) = 0 e logo I = I (f (x)) ( caso) I {0}.Nese caso oeos f (x) I não nulo e co o enor grau possível. Vaos provar que I = I (f (x)). De fao, coo f (x) I enão I (f (x)) = {f (x) h (x) :h (x) K [x]} I. Agora oe qualquer g (x) I. Pelo algorio da divisão eos que exie q (x) er (x) cor (x) =0 ou (r (x)) < (f (x)), ais que g (x) =f (x) q (x) +r (x). Logo r (x) =g (x) f (x) g (x) I, oque iplica que r (x) =0, pois f (x) já foi escolhido co o enor grau possível. Assi, g (x) =f (x) q (x) I (f (x)). Logo I I (f (x)). Proposição 3. Se f (x) e g (x) são geradores de u ideal I = I (f (x)) = I (g (x)) enão f (x) e g (x) são associados. Deonsração De g (x) I (f (x)) e f (x) I (g (x)) eos f (x) =a (x) g (x) e g (x) =b (x) f (x) para alguns a (x),b(x) K [x]. Assi, se f (x) =0, enão g (x) = 0 pois I = {0}. Suponhaos f (x) 0. Logo, f (x) =a (x)(b(x) f (x)) e coo K [x] é u doínio, eos que = a (x) b (x), e porano a (x) e b (x) são inveríveis, o que iplica que f (x) eg (x) são associados. Das duas proposições acia ereos o seguine corolário. Corolário 3. Se I {0} é u ideal de K [x], enão exise u polinôio ônico f (x) de grau ínio e I al que I = I (f (x)). Definição 3.3 U anel onde odo ideal é principal é denoinado anel principal. Lebre que odo ideal de K [x] é gerado por u polinôio f (x), o que iplica que K [x] éuu anel principal. Proposição 3.3 Todo ideal I de K [x] p(x) édaforai ([f (x)]) onde f (x) é u divisor de p (x). Deonsração Seja I u ideal de K [x] p(x). Considere o ideal J = {g (x) K [x] :[g(x)] I} de K [x]. De fao J éu ideal de K [x], pois se g (x)eg (x) J enão [g (x)] e [g (x)] I, o que iplica que [g (x)]+[g (x)] I. Consequeeene [g (x)+g (x)] I e porano, g (x)+g (x) J. Agora oe g (x) J e h (x) K [x]. Logo [g (x)] I eporano[g (x) h (x)] = [g (x)] [h (x)] I,ou seja, g (x) h (x) J. Assi, fica coprovado que J é u ideal de K [x]. Noe que [0] = [p (x)] e coo [0] I eos que p (x) J. Assi, do corolário acia, seque que exise f (x) não nulo e K [x] al que J = Ĩ (f (x)). Coo p (x) J = Ĩ (f (x)), segue que f (x) divide p (x) ousejap (x) =f (x) q (x), para algu q (x) K [x]. Veja que I = {[g (x)] : g (x) J} e pois, se [a (x)] I, eos que a (x) J edaí[a (x)] {[g (x)] : g (x) J}, o que iplica que I {[g (x)] : g (x) J}. Agora, se b [x] {[g (x)] : g (x) J}, eos que b (x) J, o que iplica que [b (x)] I e consequeneene {[g (x)] : g (x) J} I. } Coo J = I (f (x)), eos que I = {[h (x)] [f (x)] : [h (x)] K [x] p(x) = I ([f (x)]).

184 3.3 Códigos Cíclicos Seja C u código linear cíclico. A parir de agora vaos nos focar na ariz geradora na ariz ese de paridade de C. Mas, anes de enconrar as arizes procuradas, relebre das ransforaçõe υ e T π visas anerioreneeconsiderec =(c 0,..., c n ) C. Noe que υ (T π (c)) = υ (c n,c 0,..., c n ) = [ c n + c 0 x c n x n ] =[x] [ c 0 + c x c n x n ] =[x] υ (c) ou seja, quando aplicaos a ransforação T π e u eleeno c de K n e depois o ransporaos para R n por eio de υ, é equivalene uliplicar por [x] o eleeno υ (c) R n. Lea 3. Seja V u subespaço veorial de R n. Enão, V é u ideal de R n se, e soene se, V é fechado pela uliplicação por [x]. Deonsração ( ) Vaos osrar que o ideal V de R n é fechado pela uliplicação por [x]. De fao, se [f (x)] V, eos que [x][f (x)] V pela definição de ideal. ( ) Agora, vaos osrar que V éuidealder n. Suponhaos que V seja fechado pela uliplicação por [x] eoe[f (x)] V e[g (x)] R n. Basa osrar que [g (x)] [f (x)] V. Da hipóese de que V é K subespaço veorial, eos que a [f (x)] V para a K. Noe abé que [xf (x)] = [x][f (x)] V eque [ x f (x) ] =[x][xf (x)] V Assi, podeos aplicar indução finia e ober que, N, [x f (x)] = [x ][f (x)] V ou seja, se V é fechado para a uliplicação por [x], enão V é fechado para a uliplicação por qualquer poência de [x]. Agora, escrevendo [g (x)] = [ a 0 + a x a n x n ],eos que [g (x)] [f (x)] = [g (x) f (x)] = [( a 0 + a x a n x n ) f (x) ] [ = a 0 [f (x)] + a [x][f (x)] a n x n ] [f (x)] [ e, porano, [g (x)] [f (x)] V pois cada ua das parcelas de a 0 [f (x)]+a [x][f (x)]+...+a ] n x n [f (x)] perence a V. Teorea 3. U subespaço C K n éucódigo cíclico se, e soene se, υ (C) é u ideal de R n. Deonsração ( ) SejaC u código cíclico e c =(c 0,..., c n ) C. Assi, da definição de código cíclico, eos que T π (c) C. Coo υ (c ) υ (C) para c C enão, (T π (c)) = [x] υ (c) υ (C). Daí, do lea 3. eos que υ (C) é u ideal de R n. ( ) Sejaυ (C) uidealder n e c =(c 0,..., c n ) C. Enão υ (c) υ (C) e[x] υ (c) υ (C), oque iplica que υ ([x] υ (c)) = (c n,c 0,..., c n ) C e consequeneene, C éucódigo cíclico. Lebre que R n = K [x] (xn ), eseucódigo C écíclico, enão υ (C) é u ideal. Da proposição (3.3) eos que υ (C) =I ([g (x)]) onde g (x) K [x] divide x n. Veja que R n não é u doínio de inegridade pois [x ] [ x n x + ] = [ x n ] =[0]. Observação 3. A parir de agora, considerareos sepre g (x) coo u divisores de x n e h (x) = x n g (x).

185 Teorea 3. Seja I = I ([g (x)]), onde g (x) divide x n egraudeg (x) é s. Teos que [g (x)], [xg (x)],..., [ x n s g (x) ] éuabasedei coo espaço veorial sobre o corpo K. Deonsração O prieiro passo para osrar que [g (x)], [xg (x)],..., [ x n s g (x) ] é ua base de I, é osrar que eses são linearene independene. Assi, seja a 0,a,..., a n s K e suponhaos [ a 0 [g (x)] + a [xg (x)] a n s x n s g (x) ] =[0] [g (x)] [ a 0 + a x a n s x n s ] =[0] Assi, exie u d (x) K [x] dealaneiraque g (x) ( a 0 + a x a n s x n s ) = d (x) ( x n ) e coo h (x) = xn g (x) eos que a 0 + a x a n s x n s = d (x) h (x) Mas, o grau de h (x) é n s, o que iplica que d (x) = 0. Logo, a 0 + a x a n s x n s =0. Porano, a 0 = a =... = a n s =0edaí[g (x)], [xg (x)],..., [ x n s g (x) ] são linearene indepedenes. Agora, deveos osrar que [g (x)], [xg (x)],..., [ x n s g (x) ] gera I sobre K. Toando [f (x)] I,eos que f (x) =d (x) g (x)+ (x)(x n ), para algu (x) K [x]. Pelo algorío da divisão exise q (x),r(x) K [x] de al aneira que d (x) =h (x) q (x)+r (x) cor (x) =0ougrauder (x) enor que grau de h (x).daí, f (x) =(h (x) q (x)+r(x)) g (x)+(x)(x n ) = h (x) g (x) q (x)+r(x) g (x)+(x)(x n ) =(q (x)+(x)) (x n ) + r (x) g (x) o que significa que [f (x)] = [r (x)] [g (x)]. Agora, coo o grau de r (x) é enor que o grau de h (x) que é igual a n s, podeos escrever co b 0,b,..., b n s K. Porano, r (x) =b 0 + b x b n s x n s [f (x)] = [ b 0 + b x b n s x n s ] [g (x)] = b 0 [g (x)] + b [xg (x)] b n s [ x n s g (x) ] e assi, qualquer eleeno de I pode ser escrio coo cobinação de [g (x)], [xg (x)],..., [ x n s g (x) ]. Porano [g (x)], [xg (x)],..., [ x n s g (x) ] éuabase. Corolário 3. Dado u código cíclico C, exise v C al que C = v. Deonsração Se C éucódigo cíclico, enão υ (C) éuideali e porando gerado por u polinôio [g (x)], onde g (x) divide x n. Agora, fazendo v = υ ([g (x)]), eos que C é gerado por v, T π (v),..., Tπ n s (v), e porando C = v. Veja que esaos a u passo de conruiros a ariz geradora de C. Corolário 3.3 Seja g (x) =g 0 +g x+...+g s x s u polinôio que divide x n. Se I = I ([g (x)]), enão di I = n s

186 ealédissoocódigo C = υ (I) e ariz geradora υ ([g (x)]) g 0 g g s 0 0 υ ([xg (x)]) G =. υ ([ x n s g (x) ]) = 0 g 0 g g s g 0 g g s Deonsração Sabeos que I é gerado por [g (x)], [xg (x)],..., [ x n s g (x) ]. Logo, T n s π di I = n s e do corolário 3.3 eos abé que C é gerado por v e e coo veores geradores v = υ ([g (x)]), T π (v) =υ ([xg (x)]),..., Tπ n s (v) =υ ([ x n s g (x) ]). Cooaarizeesuaslinhasos veores geradores enão v υ ([g (x)]) T π (v) G =. = υ ([xg (x)]). (v) υ ([ x n s g (x) ]). Definição 3.4 Seja h (x) =h 0 + h x h x K [x]. Definireos h (x) =h + h x h 0 x coo o recíproco de h (x). Proposição 3.4 Se h (x) divide x n, enão h (x) abé divide x n. Noe, que coo h (x) divide x n, enão h (x) é gerador de u código linear cíclico. Teorea 3.3 Seja C = υ (I) u código cíclico, onde I = I ([g (x)]), co g (x) u divisor de x n.enão C écíclico e C = υ (J),onde J = I ([h (x)]). Deonsração Seja g (x) =g 0 + g x g s x x e h (x) = xn. Assi (h (x)) = n s, e consequeneene podeos g (x) escrever h (x) =h 0 + h x h n s x n s co h n s 0. Toeos as arizes g 0 g g s g 0 g g s 0 G = g 0 g g s e H = h n s h n s h h n s h n s h h n s h n s h 0 As linhas de H são linearene independene pois se a (h n s,h n s,..., h 0, 0,..., 0) a s (0,..., 0,h n s,h n s )=(0,..., 0) eos que a h n s =0,o que iplica a =0. Da esa fora a h n s =0, a = 0 e assi sucessivaene obeos, a 3 =... = a s =0. Considerando {e,..., e n } a base canônica de K n, eos que a i-ésia linha de G é G i = g 0 e i g s e i+s

187 co i n s eaj-ésia linha de H é H j = h n s e j h 0 e j+n s co j s. Noe que a j-ésia linha de H éaj-ésiacolunadeh. Suponhaos i j. O produo inerno de G i por H j é dado por j i g j i h n s + g j i+ h n s g 0 h j i = g j i k h n s+k onde j i =0,..., s. Noe que dado, o produo g (x) h (x) =x n, asoaaciaé exaaene o coeficiene de x n s+j. Coo n s + j i n, eos que ese coeficiene é0.observequeocasoondej i éanálogo. Assi, ereos que G H =0, e consequeneene H éaarizgeradoradec. Coo no caso da ariz geradora eos H = υ ([h (x)]) υ ([xh (x)]). υ ([x s h (x)]) = k=0 h n s h n s h h n s h n s h h n s h n s h 0 e C = υ (J), onde J = I ([h (x)]). TeospeloeoreaaciaqueaarizesedeparidadedeC éaarizh. Exeplo 3.3 Dados os polinôios x 7 e g (x) = ( +x + x 3), veja que g (x) divide x 7 e x 7 = ( +x + x 3)( +x + x + x 4). Chae de h (x) = ( +x + x + x 4). Observe que υ ([g (x)]) = (,, 0,, 0, 0, 0) e υ ([h (x)]) = (,,, 0,, 0, 0). Seja C = I ([g (x)]) ocódigo gerado por g (x). Enão a ariz geradora de C é G = Toando o recíprico de [h (x)] que é [h (x)] = [ +x + x 3 + x 4], eos que a ariz ese de paridade de C é H = Decodificando e Códigos Cíclicos Seja C u código cíclico onde υ (C) =I ([g (x)]). Assi, ua ariz geradora de C é G = υ ([g (x)]) υ ([xg (x)]). υ ([ x n s g (x) ]) = g 0 g g s g 0 g g s g 0 g g s Noe que esa ariz não esá na fora padrão. Vaos onar ua ariz geradora do código C na fora padrão (A Id). Para iso vaos definir o isoorfiso μ : K s K [x] s K [x] (a 0,a,..., a s ) [ a 0 + a x a n x n ] onde K [x] s é o conjuno dos polinôios de grau enor ou igual a s.

188 Teorea 3.4 Seja C K n u código cíclico e suponhaos C = υ (I) onde I = I ([g (x)]), co g (x) u divisor de x n. Toeos a ariz A (n s) s cuja i-ésia linha é R i = μ (r i (x)) co i n s e r i (x) éoresodadivisão de x s +i por g (x). Assi a ariz (A Id n s ) éua ariz geradora de C. Deonsração Seja q i (x),r i (x) K [x] aisquex s +i = g (x) q i (x)+r i (x) cor i (x) =0ou r i (x) < g(x) =s. Coo x s +i r i (x) =g (x) q i (x) eos que [ x s +i r i (x) ] I ([g (x)]) = I. Veja que [ x s +() r (x) ],..., [ x s +(n s) r n s (x) ] são linearene indepenenes sobre K pois, [ k x s + r (x) ] ],..., k n s [x s +(n s) r n s (x) =[0] [ k x s k n s x n + k r (x) k n s r n s (x) ] =[0] k x s k n s x n + k r (x) k n s r n s (x) =d (x)(x n para k,..., k n s K e d (x) K [x], coo (k r (x) k n s r n s (x)) <seos que d (x) =0, daí k x s k n s x n + k r (x) k n s r n s (x) =0 o que iplica k =... = k n s =0. Daí, {[ x s +() r (x) ],..., [ x s +(n s) r n s (x) ]} e diensão n s =dic. O que iplica que [ υ ([ x s +() r (x) ]),..., υ ([ x s +(n s) r n s (x) ])] = C. Coo υ ([ x s +i r i (x) ]) = e s +i μ (r i (x)) = ( μ (r i (x)), 0,...,,..., 0 ) eos que a ariz μ (r (x)) μ (r (x)) μ (r n s (x)) é geradora de C. Exeplo 3.4 Uilizando o eso exeplo anerior eos que x 7 = ( +x + x 3)( +x + x + x 4) onde g (x) = ( +x + x 3) e h (x) = ( +x + x + x 4). Assi, dividindo x 3 +i por g (x) co i =,..., 4, (veja que n s =4), eos que, x 3 = ( +x + x 3) +(x +) x 4 = x ( +x + x 3) +(x + x) x 5 = ( x + )( +x + x 3) + ( x + x + ) x 6 = ( x 3 + x + )( +x + x 3) + ( x + ) Logo r (x) =x + μ (x +)=(,, 0) r (x) =x + x μ ( x + x ) =(0,, ) r 3 (x) =x + x + μ ( x + x + ) =(,, ) r 4 = x + μ ( x + ) =(, 0, ) e assi ua ariz geradora de C será G =

189 3.4. Codificando e Códigos Cíclicos Dado u código cíclico C co ariz geradora G =(A Id n s ) na fora padrão, podeos codificar ua palavradocódigo de fone e K n s para o código de canal por eio da ransforação T : K n s K n a =(a,..., a n s ) ag Coo eos G na fora padrão, a codificação será (b 0,..., b s,a,..., a n s )onde (b 0,..., b s )= a μ (r (x))... a n s μ (r n s (x)) Uilizando o código do úlio exeplo a codificação de (a,a,a 3,a 4 ) F 4 será (b 0,b,b,a,a,a 3,a 4 ) onde (b 0,b,b )são os coefienes do polinôio ( a (x +)+a x + x ) ( + a 3 x + x + ) ( + a 4 x + ) =(a + a 3 + a 4 )+x(a + a + a 3 )+x (a + a 3 + a 4 ) Porano a codificação de (a,a,a 3,a 4 )será(a + a 3 + a 4,a + a + a 3,a + a 3 + a 4,a,a,a 3,a 4 ) Calculando o Veor Síndroe e Códigos Cíclicos Vaos agora calcular o veor síndroe e u código cíclico, se que seja necessário efeuar o produo aricial. Teorea 3.5 Seja C K n u código cíclico gerado por u polinôio ônico g (x), co a ariz geradora G na fora padrão (A Id) e a ariz ese de paridade H =(Id A ). Se v =(v 0,..., v n ) K n,enãoasíndroe de v co relação a ariz H é dado por μ (r (x)), onde r (x) éoresodadivisão de v 0 + v x v n x n por g (x). Deonsração Lebre que a síndroe de u código C co ariz ese de paridade H =(Id A )é dada por ( Id A )... 0 v 0 v =..... A v n μ (r (x)) onde A μ (r (x)) = = ( μ (r (x)) μ (r (x)) μ (r n s (x)) ). μ (r n s (x)) Daí, (Id A )= ( μ () μ (x)... μ ( x s ) μ (r (x)) μ (r (x)) μ (r n s (x)) ) Logo, ( Id A ) v = ( μ () μ (x)... μ ( x s ) ) μ (r (x)) μ (r n s (x)) v 0.. v n = μ () v 0 + μ (x) v μ ( x s ) vs + μ (r (x)) v s μ (r n s (x)) v n = μ ( v 0 + v x v s x s + v s r (x) v n r n s (x) ) Coo viso aneriorene, eos que v 0 + v x v s x s + v s r (x) v n r n s (x) éoreso da divisão de v 0 + v x v n x n por g (x).

190 Exeplo 3.5 Uilizando o eso exeplo anerior, eos que o código C gerado pelo polinôi [g (x)] = [ +x + x 3 ] e ariz geradora e ariz ese de paridade G = H = Assi dado o veor v = (000) F 7, asuasíndroe será dada pelo reso da divisão de μ (v) = +x + x 3 + x 6 por g (x) = + x + x 3. Veja que ( +x + x 3 + x 6) = ( x 3 + x ) g (x) + ( x + ) e consequeneene a síndroe será μ ( x + ) = (0). 4 Referências [] R.E. BLAHUT, Theory and Pacice of Error Conrol Codes, Addison-Wesley Publishing Copany, Massachuses, 984 [] A. HEFEZ e M.L.T. VILLELA, Códigos Correores de Erros, IMPA, Rio de Janeiro 00 [3] F.J. MACWILLIAMSe N.J.A. SLOANE, The Theory of Error-Correcing Codes, Norh-Holland, 99

191 UMA ANÁLISE DA ESTABILIDADE DO SISTEMA MECÂNICO PÊNDULO DUPLO PLANAR CARLOS HENRIQUE TOGNON, MÁRCIO JOSÉ HORTA DANTAS Resuo Ese rabalho apresena u problea: fazer a análise da esabilidade do Sisea Mecânico pêndulo duplo planar. Para se fazer esa análise fora usados conceios de Física, ais especificaene conceios de Mecânica, para se conseguir ober as Equações de Movieno do Sisea Mecânico pêndulo duplo planar. Logo após ober esas Equações de Movieno, fez-se ua análise das esas; foi observado que elas represena Equações Diferenciais Ordinárias e co isso a eoria que diz respeio à Física cedeu espaço a conceios da Maeáica que fora aplicados para se conseguir alcançar a solução do problea e quesão. Para auxiliar o esudo da esabilidade do Sisea Mecânico fora uilizados dois eoreas, que são o Teorea da Linearização de Lyapunov-Poincaré e o Criério de Hurwiz. No decorrer do rabalho são realizadas inerpreações físicas das siuações que envolve o esudo desa análise a fi de se ober ua elhor copreensão do que ocorre. Palavras chave: Sisea Mecânico, Equações de Movieno, Esabilidade. Faculdade de Maeáica, UFU, Av. João Naves de Ávila,, Uberlândia, , arcio@ufu.br

192 . INTRODUÇÃO Ao analisar u problea de Mecânica, alé de se uilizar conceios da Física para a sua resolução, é necessário inroduzir conceios aeáicos e usar adequadaene a eoria para copreender a siuação dada. Anes de se iniciar a resolução aeáica de u problea de Mecânica, ou seja, anes de forular os passos a seguir para ober a solução, é de exrea iporância que se faça ua inerpreação física do que esá aconecendo. Para ano, uias vezes precisa-se enender a geoeria do problea e quesão fazendo-se ua associação co a pare física e co isso chegar a ua previsão do que se espera para o resulado final. Fazendo esa análise pode-se enender elhor o que esá por rás de fórulas e cálculos que evenualene se uiliza para a solução. Ouro faor relevane para se resolver o problea é a aplicação de conceios aeáicos para faciliar a obenção da solução. Conhecienos de Cálculo Diferencial e Inegral são uio usados durane a aplicação dos conceios de Física, junaene co alguns conhecienos sobre equações diferenciais e Álgebra. Eses conceios aeáicos vê auxiliar, por exeplo, a obenção de Equações de Movieno e a análise da esabilidade deses Siseas Mecânicos. A aplicação correa deses conceios faz co que a solução do problea se apresene de ua aneira ais clara e objeiva. Cabe ressalar abé que a eoria Física, que perie chegar ao resulado final, deve ser usada de ua aneira adequada durane a resolução do problea. Por exeplo, a aplicação de algu eorea que peria a obenção da resposa deve ser feia de odo que as hipóeses já eseja verificadas aneriorene no decorrer da invesigação para que assi se alcance direaene o resulado procurado. Por fi, observa-se que há uio ais coisas envolvidas na resolução de u problea de Mecânica do que siplesene a aplicação de fórulas e cálculos derivados desas fórulas. É necessária cera engenhosidade para se odelar o problea e abé ua boa copreensão do assuno para que se enha cereza do que se esá fazendo, enando ao áxio eviar dúvidas que possa causar ransorno e ua fase fuura da resolução do problea e quesão.. OBJETIVOS Nese rabalho será apresenada a dedução das Equações de Movieno do pêndulo duplo planar. Para se fazer esá dedução serão uilizadas as Equações de Lagrange. Tais equações fornece as Equações de Movieno de Siseas Mecânicos. Siseas Mecânicos são siseas consiuídos por u conjuno de objeos agrupados por algua ineração ou inerdependência, de odo que exisa relações de causa e efeio nos fenôenos que ocorre co os eleenos desse conjuno. No caso presene, o pêndulo duplo planar é o Sisea Mecânico. E u Sisea Mecânico alguas grandezas que caraceriza seus objeos consiuines varia no epo, no caso, os ângulos que o pêndulo fora co seu eixo ao se ovienar. Essas grandezas que varia co o epo são represenadas pelas Equações de Movieno. As Equações de Lagrange fora obidas a parir das Equações do Movieno de Newon, por isso não represena propriaene ua nova eoria da Física, as, siplesene, ua aneira diferene, as equivalene, de expressar essas esas leis. E uios casos é ais conveniene aplicar o éodo de Lagrange ao invés do éodo Newoniano para se ober as Equações de Movieno de Siseas Mecânicos. Iso ocorre devido à aneira unifore que ese éodo propicia de enconrar ais equações. Para uilizar as Equações de Lagrange, de u odo geral, é necessário enconrar a posição de cada ua das

193 parículas que copõe o sisea, e eros de coordenadas caresianas. Assi, consegue-se ober o veor posição de cada ua das parículas do sisea. Tendo enão o veor posição, obé-se o veor velocidade de cada parícula do sisea, basando para iso derivar o veor posição. Após ese processo deve-se enconrar a energia cinéica de cada parícula. No caso e que exise energia poencial no sisea, pode-se inroduzir a função lagrangiana. Obé-se enão a energia poencial. A função lagrangiana é igual à energia cinéica enos a energia poencial do Sisea Mecânico. Denoina-se a função lagrangiana por L, a energia cinéica por T e a energia poencial por V. Porano L T V. Nese caso as Equações de Lagrange são expressas da seguine aneira d L L 0, d q k q k onde q k represena as coordenadas generalizadas das parículas do sisea, k,...,n, onde n é o núero de parículas do sisea. Co isso obé-se as Equações de Movieno de Siseas Mecânicos. Logo após a dedução das Equações de Movieno do pêndulo duplo planar, será apresenada ua análise a respeio da esabilidade de dois ponos de equilíbrio do sisea represenado pelas Equações de Movieno. Tal análise será feia usando o Teorea da Linearização de Lyapunov- Poincaré e o Criério de Hurwiz. Os conceios que envolve o esudo da esabilidade junaene co os dois eoreas serão explicados ais adiane. Anes, faz-se necessário enunciar, na próxia seção, eses dois eoreas a fi de que possa ser uilizados poseriorene. 3. RESULTADOS MATEMÁTICOS Considere u sisea de n equações diferenciais de prieira orde, não-lineares, sendo n u núero ineiro, dx f x, x,..., xn d dx f x, x,..., xn d () dxn fn d x, x,..., xn Seja x x..., x, n u pono que anula siulaneaene as n equações dese sisea, ou seja, f x,..., xn 0 f x,..., xn 0 x,..., x 0 fn n U pono nesas condições é denoinado pono de equilíbrio do sisea de equações diferenciais. A parir de u sisea de n equações diferenciais de prieira orde não-lineares, pode-se ober u sisea onde as equações são lineares. Conseguese iso aravés de ua linearização do sisea não-linear e orno de u pono de equilíbrio dese sisea. A fi de se osrar coo é feia esa linearização considere, por exeplo, u sisea de duas equações diferenciais de prieira orde não-lineares, dx F x, y d dy G x, y d Seja x 0, y 0 u pono de equilíbrio dese sisea, iso é, F x0, y0 0 e G x0, y0 0 Pode-se considerar, se perda de generalidade, x 0 0 e y 0 0. Considerando as funções F x, ye G x, y conínuas co derivadas de prieira orde abé conínuas nua

194 vizinhança de 0,0, pode-se expandi-las pela Fórula de Taylor, obendo dx F d F0,0 y y x, y F 0,0 dy G d G0,0 y y x, yg 0,0 F G x, y x, y F 0,0 x x G 0,0 x x Te-se que F 0,0G 0,0 0, pois 0,0 é pono de equilíbrio do sisea, e F x, y G x, y lir 0 li 0 r 0 r r onde r x y (disância do pono x, y à orige 0,0). Co isso obé-se o sisea linearizado e orno do pono de equilíbrio do sisea não-linear; ese é o seguine, dx Fx 0,0x Fy 0,0y d dy Gx 0,0x Gy 0,0y d Para o caso geral do sisea (), o procedieno para se fazer a linearização é análogo ao apresenado aneriorene. Observe que nese exeplo foi considerado o caso e que n. Para o caso geral, ao se fazer a linearização, obé-se a ariz jacobiana calculada no pono de equilíbrio. Dese odo, considere a linearizaçao do sisea () e orno de seu pono de equilíbrio x. A parir do sisea linear pode-se ober ua ariz A cujos eleenos são os coeficienes dese sisea. Os auovalores dessa ariz A são as raízes do chaado polinôio caracerísico, que é obido aravés da expressão do deerinane de A I 0, onde I é a ariz idenidade e A é a ariz dos coeficienes da versão linearizada do sisea não-linear e orno do pono de equilíbrio dese sisea e j, j,..., n são os auovalores. Anes de enunciar o prieiro eorea que auxiliará no esudo da esabilidade dos ponos de equilíbrio, é necessário definir alguns conceios. Eses conceios dize respeio à chaada ariz de Hurwiz. A ariz de Hurwiz H é consruída a parir do polinôio caracerísico da ariz A, ou seja, os eleenos dessa ariz são os coeficienes do polinôio caracerísico disposos da seguine aneira: Na prieira linha da ariz, escreve-se os coeficienes do polinôio a j, j,..., n, co índice ípar, co j crescene; na segunda linha escreve-se os coeficienes a j co j par, co j crescene. As deais posições são preenchidas co zeros. As duas linhas seguines são obidas deslocando-se as duas prieiras linhas ua coluna para a direia, e colocando zeros nas posições que ficara vazias. Segue-se esse processo para se consruir as deais linhas, aé que o coeficiene independene do polinôio ocupe o cano inferior direio. A parir dessa ariz obé-se os deerinanes j, j,..., n. Para ilusrar coo são obidos os deerinanes j, j,..., n da ariz de Hurwiz, considere a ariz quadrada de orde n 6 abaixo coo sendo ua ariz de Hurwiz. Os eros a, a, a3, a4, a5, a6 são os coeficienes do polinôio caracerísico, que são os eleenos da ariz.

195 a a3 a a a a a a3 a5 0 0 H 0 a a4 a a a a a a4 a6 Confore colocado e-se, a a a3 a a a a H a a a a a a a a a a 0 a a a a a a a a a a a a Para arizes de orde superior ou inferior a esa do exeplo anerior, o procedieno para se ober os deerinanes é o eso. Desa aneira, enuncia-se o prieiro eorea. Teorea. (Criério de Hurwiz): Os auovalores de ua ariz quadrada A possue pare real negaiva se, e soene se, odos os coeficienes do polinôio caracerísico de A são posiivos e se odos os deerinanes j, j,..., n referenes à ariz de Hurwiz são posiivos. Nese oeno é conveniene ua definição aeáica do que significa u pono de equilíbrio do sisea de equações diferenciais () ser assinoicaene esável e insável. a a a a a a 0 a a a Para isso, considere o problea de se resolver () co as seguines condições iniciais, x 0 x x 0 0 x x n x n Definição: Considere o sisea, dx f x () d n n n e que x e f :. Denoina-se fluxo do sisea () à função n : x definida da seguine fora: dado y, considere a solução x de (), saisfazendo a condição inicial x 0 y. Dado define-se, y x, ou seja, para cada y fixo, a função, y é a solução de () co a condição inicial y. Noe que é ua função de n variáveis. Para o problea de se resolver o sisea () co as condições iniciais x, x,..., x n, o fluxo é represenado por, x 0, onde x 0 x, x,..., x n é a condição inicial dada no problea. Co o acréscio das condições iniciais ao sisea de equações diferenciais (), forula-se o chaado problea de valores iniciais para ese sisea cuja solução exise e é única. A aplicação da solução geral x à condição inicial x 0 dá o valor de x no insane. Pode-se verificar que o fluxo calculado no pono de equilíbrio do sisea é consane e igual ao pono de equilíbrio, ou seja,, x x. Noe que nese caso x 0 x. Co esas considerações, de acordo co Moneiro (00), foralene u pono de equilíbrio x é esável se, e soene se, dado 0, exise

196 0, 0 al que para x x enão, 0, para odo x x 0. Assi, há ua vizinhança de raio e orno do pono de equilíbrio al que, para ua condição inicial perencene a essa vizinhança, a rajeória correspondene a essa condição inicial nunca se afasa ais do que ua disância. O pono de equilíbrio x é assinoicaene esável se, e soene se, exise 0 al que para x 0 x, enão, x 0 x 0 para. Nesse caso, confore o epo passa, a rajeória que pare de x 0 se aproxia cada vez ais do pono de equilíbrio, ou seja, li, x 0 x. Enreano, se independene de quão próxio eseja x 0 de x, ua rajeória que pare de x 0 deixa a vizinhança de raio nu epo finio, enão o pono de equilíbrio é insável. Inuiivaene, pode-se dizer que x é u pono de equilíbrio assinoicaene esável se, após ua perurbação na condição inicial x 0 x, enão a rajeória, x 0 se aproxia do pono de equilíbrio x à edida que o epo passa, iso é, quando. Desa aneira, abé se coloca x coo u pono de equilíbrio insável se, após algua perurbação na condição inicial x 0 x, enão, x 0 se afasa do pono de equilíbrio nu epo finio. A noção de pono de equilíbrio esável se faz quando após ua perurbação na condição inicial x 0 x, enão a rajeória, x 0 não se afasa do pono de equilíbrio x, confore o epo passa. Repare que essa idéia inuiiva de esabilidade se baseia na evolução eporal da disância enre a rajeória, x 0 e o pono x. Agora se e condição de enunciar o segundo eorea. Deve-se noar anes que para o caso geral de ua função de u n conjuno abero e n, u sisea linearizado e orno de u pono de equilíbrio O do sisea não-linear pode ser escrio pela expansão de Taylor da seguine fora f x Ax x, onde A é a ariz dos coeficienes, ou fi O seja, Ai j, que é a ariz x j jacobiana calculada no pono O e x represena os eros de orde superior na expansão pela fórula de Taylor e pode-se escrever, x x onde r x li x x r x x ou li 0 x 0 x 0 x Iso acaba sugerindo que o coporaeno das órbias nua vizinhança do pono de equilíbrio O de u sisea não-linear seja deerinado pelo esudo da versão linearizada dese sisea e orno de O. Teorea. (Teorea da Linearização de Lyapunov-Poincaré): x Seja f u sisea de equações diferenciais de prieira orde nãolineares coninuaene diferenciável e ua vizinhança de u pono de equilíbrio O e considere o sisea linearizado e orno de O obido pela expansão e série de Taylor, iso é, x x f Ax. a) Enão, se odos os auovalores da ariz quadrada A possuíre pare real negaiva, o pono de equilíbrio O será assinoicaene esável para o sisea não-linear.

197 b) Se pelo enos u auovalor de A for al que Re 0 (pare real posiiva), o pono de equilíbrio O é insável para o sisea não-linear. A deonsração dese úlio eorea pode ser enconrada e Bassanezi & Ferreira Jr. (988). 4. ANÁLISE DA ESTABILIDADE 4.. Dedução das Equações de Movieno do pêndulo duplo planar Confore colocado na seção, será apresenado coo se chegar às Equações de Movieno do pêndulo duplo planar por eio do éodo de Lagrange, éodo ese enconrando e Syon (98). Considere o ovieno de u pêndulo duplo planar, consisindo de duas assas, e, suspensas nu pono fixo O, que é a orige do plano caresiano, por eio de duas hases rígidas e se peso, de coprienos, respecivaene, l e l. Considere soene ovienos do pêndulo duplo no plano verical. A figura seguine ilusra a siuação descria acia. y O l Os ângulos e são os ângulos forados, respecivaene, pela hase l co o eixo verical que passa pelo pono de susenação O, e pela hase l co u eixo iaginário paralelo ao eixo de susenação. l Figura. Pêndulo duplo planar. x O Sisea Mecânico é coposo de duas parículas, que são represenadas pelas assas do pêndulo, assi se obé a posição da assa e a posição da assa e eros de coordenadas caresianas. A posição da assa é dada por, x l sen y l cos A posição da assa é dada por, x l sen l sen y l cos l cos Obendo devidaene a posição de cada ua das parículas do sisea, levando e consideração a orienação do sisea, que é a orienação verical volada para cia, e-se o veor posição dessas parículas que será indicado por r e r, respecivaene veor posição da prieira parícula e da segunda parícula, ou seja, r l sen i l cos j r l sen l sen i l cos l cos j O objeivo ao se fazer isso é ober a energia cinéica, T, do sisea. A saber, a energia cinéica de u Sisea Mecânico é igual à eade da assa do sisea uliplicado pelo ódulo da velocidade ao quadrado do sisea. Coo foi ressalado, o Sisea Mecânico e quesão possui duas parículas, logo a energia cinéica T é obida pela soa da energia cinéica de cada parícula. Para se fazer o que segue, a parir dese oeno, é considerado a variação dos ângulos e coo ua função do epo, ou seja, eses ângulos varia confore o epo passa. Para represenar que os ângulos e são dependenes do epo usa-se a noação e. Co esas considerações, obé-se a energia cinéica da prieira parícula; para iso se faz a derivada do veor posição da esa, conseguindo sua velocidade, iso é,

198 d r d v l cos i j l sen Assi, o ódulo de v é dado por, / v l Chaando de T a energia cinéica da prieira parícula segue que, T l Procedendo da esa aneira obé-se a energia cinéica da segunda parícula. Assi derivando o veor posição desa parícula consegue-se a sua velocidade, iso é, d r v l cos l cos i d l sen l sen j O ódulo de v é dado por / cos l l v l l Chaando de T a energia cinéica da segunda parícula segue que, l l T l l cos Coo foi dio, a energia cinéica do sisea é igual à soa da energia cinéica de cada parícula que o copõe. Porano, T T T T l l l l l cos Para uilizar as equações de Lagrange será preciso inroduzir a função lagrangiana. Para isso é necessário ober a energia poencial do sisea. Esa, coo a energia cinéica, é dada pela soa da energia poencial de cada parícula. Calcula-se enão a energia poencial da prieira parícula. Para isso se faz necessário esclarecer coo se obé a expressão final de al energia. É o que se e a seguir. Ua função escalar u x, y possui duas derivadas, que pode ser consideradas coo coponenes de ua função de pono veorial denoinada gradiene de u, ou seja, u u grad u i j x y Pode-se abé definir geoericaene grad u coo u veor cuja direção é aquela e que a função u cresce ais rapidaene e cujo ódulo é a chaada derivada direcional de u, iso é, a axa de crescieno de u por unidade de disância naquela direção. Diz que ua força F e poencial V se, F grad V (3) Esa equação pode ser oada coo expressão do significado físico da energia poencial, que é ua função cujo gradiene negaivo é igual à força. A parir da equação (3) pode-se escrever para a parícula de assa a seguine expressão F grad V, onde V é a energia poencial da prieira parícula. Na fora de coponenes ese que, F x, y i F x, y j V x, y V x, y j i x y Igualando coponene a coponene da expressão acia segue que, V x, y F x, y x F V x, y x, y y Assi obé-se a energia poencial da prieira parícula observando que a coponene F x, y da força F aua horizonalene sobre a parícula de assa

199 e coo esá se considerando que a orienação do sisea é no senido verical para cia, a coponene e quesão não exerce força algua sobre a parícula, iso é, ela é igual à zero, ou seja, F x, y 0 E conraparida, a coponene F x, y da força F aua vericalene sobre a parícula no senido conrário à orienação do sisea. No nosso problea esa coponene represena a força Peso auane sobre a parícula, que por definição é dada por P g, onde g é a aceleração da gravidade e é a assa da parícula. Coo a orienação do sisea é no senido verical para cia, a aceleração da gravidade é dada co o sinal conrário, porano g e coo a parícula e assa segue que P g, ou seja, F x, y g Te-se enão, V x, y 0 x V x, y g y Finalene explicia-se a energia poencial da prieira parícula da seguine aneira, V x, y dy g dy g y c, y onde c é ua consane de inegração que pode ser desprezada e coo y l cos segue que, V g l cos Para ober a energia poencial V da segunda parícula procede-se do eso odo, ou seja, observa-se que a força F auane sobre a segunda parícula é função de sua posição, iso é, F F x, y i F x, y j Enão se e que, F grad V, onde V é a energia poencial da parícula de assa. Colocando na fora de coponenes resula e, F x, y i F x, y j x, y V x, y j V i x y Igualando coponene a coponene da expressão acia segue que, V x, y F x, y x V x, y F x, y y Pelo eso oivo explicado aneriorene se e que, V x, y 0 x V x, y g y Assi explicia-se a energia poencial da segunda parícula, ou seja, V x, y dy g dy y g y c A consane de inegração c pode ser desprezada e coo y l cos l cos, segue que, V g l cos l cos g l cos g l cos A energia poencial do sisea, V, é a soa da energia poencial de cada parícula, que no caso considerado é V V V, V g l cos g l cos g l cos Te-se enão a energia cinéica T e a energia poencial V de odo Sisea Mecânico.

200 Co isso pode-se inroduzir a função lagrangiana L, que se sabe ser igual à energia cinéica enos a energia poencial do Sisea Mecânico, ou seja, L T V, e coo se e as expressões da energia cinéica e poencial segue que, L l l l l l cos g l cos g l cos g l cos Expressa-se assi as Equações de Lagrange co o auxílio da função lagrangiana, iso é, d L L 0, d coo já fora colocado na seção (). Porano e relação ao ângulo a Equação de Lagrange se escreve da seguine aneira, g sen l l l l l cos sen Agora a Equação de Lagrange e relação ao ângulo é d d logo L L 0, l l g l sen cos l sen l Coo já foi esclarecido as Equações de Lagrange nos fornece as Equações de Movieno de Siseas Mecânicos, porano as Equações de Movieno do Sisea Mecânico pêndulo duplo planar são g sen l l cos l l sen l g sen l l cos l l sen l Esas duas equações osra coo os ângulos e varia co o passar do epo, ou seja, coo é o ovieno do pêndulo e cada insane de epo. Será elaborada agora ua análise desas Equações de Movieno a fi de que se possa fazer o esudo da esabilidade dos ponos de equilíbrio. 4.. Análise das Equações de Movieno do pêndulo duplo planar Pode-se considerar as Equações de Movieno do pêndulo duplo planar coo u sisea de duas equações diferenciais de segunda orde não-lineares. Dese odo considere a seguine siuação física: o pêndulo duplo planar esá se ovienando e eio a u gás qualquer e e conseqüência disso sofre ario causado pelo gás. Ese ario sofrido pelo pêndulo é represenado pelos

201 chaados eros dissipaivos, designados por a e b, onde a e b são núeros reais posiivos. No sisea represenado pelas Equações de Movieno do pêndulo duplo planar eses eros dissipaivos provenienes do ario enre o ovieno do pêndulo e o gás colocado e eio a ese ovieno são inseridos da seguine aneira, g sen l l cos l l sen l a 0 g sen l l cos l l sen l b 0 A parir de agora se passa a considerar ese úlio sisea de duas equações diferenciais de segunda orde não-lineares para se fazer o que segue. A princípio noa-se que o pono, 0,0 anula siulaneaene as equações dese sisea, viso que assi se e, 0,0 e, 0,0. Coo já foi encionado, segue que, 0,0 é pono de equilíbrio do sisea de equações diferenciais considerado. Ua equação diferencial de orde n, linear ou não, pode ser ransforada e u sisea de n equações diferenciais de prieira orde. Segue enão que o sisea do caso presene pode ser escrio coo quaro equações diferenciais de prieira orde, pois cada equação de orde dois fornece duas equações de orde u. O procedieno para se ransforar ua equação de orde n e n equações de prieira orde esá na definição das variáveis. Desa aneira a equação diferencial de segunda orde não-linear g sen l a 0 l l l l cos sen pode ser ransforada no sisea nãolinear de duas equações diferenciais de prieira orde g sen l l cos l l sen l a onde, ; ; ; Dese odo, abé a equação diferencial de segunda orde não-linear g sen l l cos l l sen b 0 l pode ser ransforada no sisea nãolinear de duas equações diferenciais de prieira orde, coo segue

202 g sen l l cos l l sen b l onde, ; ; ; Ese sisea não-linear de equações diferenciais de prieira orde equivale ao sisea de duas equações diferenciais de segunda orde não-lineares original. Para a ransforação ficar coplea se faz necessário colocar,,, coo função de,,,. Para ano, se oa a expressão de e subsiui-se na expressão. Co isso, isolando, e-se coo função de,,,. Analogaene, subsiuindo a expressão de e e isolando e-se esa variável coo função de,,,. Co esas adapações chega-se a u ouro sisea não-linear de quaro equações diferenciais de prieira orde. Ese sisea de equações é equivalene ao sisea original. Observa-se que coo, 0,0 é u pono de equilíbrio para o sisea original e-se equivaleneene que,, 0,0,0,0 é, pono de equilíbrio para o sisea ransforado e equações de prieira orde. Não se deve esquecer que o sisea ransforado osra as Equações de Movieno do pêndulo duplo planar co os eros dissipaivos do ario causado pelo ovieno do pêndulo e eio a u gás. O objeivo a parir dese oeno será efeuar a análise da esabilidade do pono de equilíbrio,,, 0,0,0,0, que corresponde ao sisea não-linear de quaro equações diferenciais de prieira orde. Ao se fazer a análise da esabilidade de u pono de equilíbrio de u sisea de equações diferenciais é ais conveniene que ese sisea eseja represenado por equações diferenciais de prieira orde, pois co isso consegue-se a diensão do sisea, que é jusaene indicada pelo núero de equações diferenciais de prieira orde que o caraceriza. Ao se fazer esa ransforação abé se objeiva aender as hipóeses do Teorea da Linearização de Lyapunov- Poincaré. Iso ficará ais claro quando se uilizar ese eorea que irá auxiliar no esudo da esabilidade de ponos de equilíbrio dese sisea. O novo sisea não-linear de equações diferenciais de prieira orde que será uilizado a parir dese oeno para a análise da esabilidade do pono de equilíbrio P = 0,0,0,0 dese sisea é o que segue, lebrando sepre que a definição das variáveis se faz da seguine aneira, ; ; ; Porano, o sisea encionado se escreve da seguine aneira,

203 sen l l sen b l l sen sen sen sen l g sen a sen sen l g sen....cos...cos...cos.... a l l sen sen l g sen sen l g sen.cos..cos.... sen sen b l l sen sen l l sen.cos Esabilidade do pono de equilíbrio: 0,0,0,0,,,. No caso esudado a solução esacionária, que indica quando o Sisea Mecânico para de se over, represenada por 0,0,0,0,,, (que é o pono de equilíbrio para o sisea de equações diferenciais), osra fisicaene que o pêndulo duplo planar realene esá parado, ou seja, não esá se ovienando no plano verical. Iso fica claro quando se verifica que 0 e 0 denoa que não há ângulo enre o pêndulo e o eixo verical de susenação osrando que o pêndulo esá na posição verical ais baixa e as variáveis 0 e 0 denoa que não há velocidade angular no pêndulo, ou seja, ele esá parado. A figura seguine ilusra esa siuação. l O l Figura. Represenação física da solução esacionária: 0,0,0,0,,,

204 Assi a esabilidade de ua solução esacionária (que equivale à esabilidade do pono de equilíbrio) nada ais é do que coo o Sisea Mecânico se copora e ua vizinhança desa solução. No caso e esudo a esabilidade de 0,0,0,0,,, é coo o pêndulo se copora quando se exerce nele ua pequena perurbação ao redor de,0,0,0 0, ou seja, se após ua perurbação ao redor de,0,0,0 0 o pêndulo se afasa ou ende a esse pono co o passar do epo. Se após ua pequena perurbação ao redor do pono de equilíbrio o pêndulo se afasar de al pono co o passar do epo, o eso é u pono de equilíbrio insável. Caso conrário, iso é, se após a perurbação ao redor do pono de equilíbrio o pêndulo volar ao esado original co o passar do epo, ese pono é assinoicaene esável. Coo encionado, o objeivo é fazer a análise da esabilidade do pono de equilíbrio P =,0,0,0 0 do sisea de equações diferenciais de prieira orde. Pela siuação física, ao se execuar ua perurbação no pêndulo ao redor dese pono, ele ende a reornar ao esado original co o passar do epo. Pelo que foi viso aneriorene o pono é assinoicaene esável. Poré, esa análise não pode ser feia desa aneira. É necessária ua arguenação aeáica para realene se consaar que ese al pono de equilíbrio é assinoicaene esável. Para iso, considera-se o sisea de quaro equações diferenciais de prieira orde. Coo já encionado ese sisea é não-linear, pois as equações diferenciais que o consiui são não-lineares. Nese sisea não-linear colocouse,,, coo função de,,,, ou seja, p h w f,,,,,,,,,,,, O pono P =,0,0,0 0 é pono de equilíbrio para o sisea não-linear. Expande-se essas funções e série de Taylor e orno de P, obendo, ,0,0,0,,, f f f f f f ,0,0,0,,, w w w w w w ,0,0,0,,, h h h h h h ,0,0,0,,, p p p p p p

205 Os eros,, 3, 4 são os eros de orde superior nas respecivas expansões e série de Taylor. Por conveniência, escolhe-se u novo sisea de coordenadas a fi de que o pono de equilíbrio P seja ransladado para a orige (nese caso, P = 0,0,0,0 já esá na orige). Alé disso, e-se que f w h p 0,0,0,0 0 0,0,0,0 0 0,0,0,0 0 0,0,0,0 0 pois P = 0,0,0,0 é pono de equilíbrio do sisea não-linear. Assi, as equações diferenciais que rege a evolução das novas variáveis são, e prieira aproxiação, dadas por ouro sisea de quaro equações diferenciais de prieira orde. Coo as funções f, w, h, p fora expandidas e série de Taylor e se oa a prieira aproxiação nessa expansão, os eros obidos são odos lineares. O novo sisea de equações resulane dese processo é o seguine, g l a g l b l l g l l a l g b l Os coeficienes que acopanha,, e são obidos aravés das derivadas parciais das funções f, w, h e p, calculadas no pono de equilíbrio P, e orno do qual essas funções fora expandidas. Esse processo, coo já foi esclarecido, é denoinado linearização do sisea não-linear e orno de u pono de equilíbrio P dese sisea. O novo sisea obido pela linearização é forado por quaro equações diferenciais de prieira orde lineares e é chaado versão linearizada do sisea não-linear e orno de seu pono de equilíbrio P = 0,0,0,0. As variáveis,, e do sisea linear descreve o coporaeno das soluções na vizinhança do pono de equilíbrio P do sisea nãolinear. Assi o esudo da esabilidade de u pono de equilíbrio de u sisea nãolinear reduz-se ao esudo do sisea linearizado e orno dese pono, se ceras condições fore saisfeias. Esas condições são dadas pelos eoreas que fora enunciados. Enão, o oivo pelo qual foi feio a linearização do sisea e orno de P = 0,0,0,0 é o de se esudar a sua esabilidade; os eoreas que serão usados esabelece condições necessárias e suficienes para que os resulados da aproxiação linear seja válidos, ao enos localene. Considera-se enão o sisea linear. Noe que se pode dispor os coeficienes que acopanha

206 ,, e da versão linearizada do sisea e ua ariz, que será denoada por A, que é a ariz jacobiana calculada no pono de equilíbrio P =,0,0,0 0. Coo o sisea possui quaro equações e quaro incógnias, a ariz A e orde 4 4. Coloca-se enão os coeficienes do sisea linear na ariz A obendo, A p p p p h h h h w w w w f f f f P Co essa ariz, ê-se condições de uilizar o prieiro dos dois eoreas que irão auxiliar no esudo da esabilidade do pono de equilíbrio P do sisea nãolinear. Ese eorea é o Criério de Hurwiz (Teorea da seção 3). De acordo co a recíproca do Criério de Hurwiz o prieiro passo para saber se a pare real de odos os auovalores da ariz A é negaiva, será verificar coo são os coeficienes do polinôio caracerísico dessa ariz. Obé-se enão o polinôio caracerísico da ariz A a parir da relação, 0 de A I Fazendo o cálculo dese deerinane chega-se à seguine expressão do polinôio caracerísico na variável, expressão esa que é colocada logo a seguir l l g l g b l g a l g l g ab b a Observa-se que odos os coeficienes do polinôio caracerísico são posiivos, ua vez que e são as assas do pêndulo, logo núeros reais posiivos, l e l são os coprienos do fio do pêndulo, enão núeros reais posiivos, g a aceleração da gravidade é ua consane posiiva e coo foi dio a e b, que são os eros dissipaivos do ario causado pelo gás, são núeros reais posiivos. O segundo passo para se aplicar a recíproca do criério é consruir a denoinada ariz de Hurwiz. Coo a ariz A é de orde 4 4 a ariz de Hurwiz H abé é 4 4. Dese odo, coo já colocado a ariz H é a seguine, H a a a a a a a a a a Noe que o coeficiene 0 a do polinôio é igual a. Observe que a diagonal principal dessa ariz coné, se repeição, os coeficienes 4 3,,, a a a a. Agora se deve exainar coo são os deerinanes enores principais 4 3,,, obidos a parir da ariz

207 H. A obenção deses deerinanes já foi ilusrada aneriorene. Considerando enão a ariz H, o deerinane é o seguine, b a a Assi, coo a e b são núeros reais posiivos, é posiivo. O deerinane vê logo a seguir e o seu desenvolvieno resula e, l g b l g a l g b l g a ab b a a a a a Assi é posiivo l g ab l g b a l g b a l g b a l g b l g a l g ab l g ab l g l g ab a a a a a a a Assi 3 é posiivo. 3 4 l l g, e coo 3 é posiivo, segue que 4 abé o é. Coo encionado na seção 3, o Criério de Hurwiz esabelece que j Re de ua ariz A é negaiva para odo j...,n, se, e soene se, odos os coeficienes j a do polinôio caracerísico são posiivos e se são posiivos os deerinanes j referenes à ariz de Hurwiz. Pelo que foi analisado aneriorene, segue da recíproca do Criério de Hurwiz que j Re < 0, para,,3,4 j, ou seja, odos os auovalores da ariz jacobiana A calculada no pono de equilíbrio P do sisea não-linear ê pare real negaiva. Fala agora saber coo se pode analisar a esabilidade do pono de equilíbrio P das equações originais, que corresponde ao sisea não-linear. Para isso usa-se o segundo eorea encionado na seção Resulados Maeáicos, iso é, o Teorea da Linearização de Lyapunov- Poincaré. Ese eorea diz que a esabilidade de u pono de equilíbrio de u sisea não-linear é esabelecida pelo sinal da pare real dos auovalores da ariz dos coeficienes do sisea linearizado e orno dese pono pela expansão e série de Taylor. Noe que o eorea se refere a auovalores da ariz do sisea linear correspondene ao não-linear, por isso se fez necessário a linearização do sisea não-linear e orno de seu pono de equilíbrio P =,0,0,0 0 para que assi a ariz A eseja nas condições do eorea. Porano, na deerinação da esabilidade do pono de equilíbrio, não é necessário calcular expliciaene os auovalores da ariz A ; basa conhecer o sinal das suas pares reais.

208 Desa aneira coo se e que odos os auovalores da ariz A do sisea linearizado e orno de P = 0,0,0,0 possue pare real negaiva, o ie (a) do Teorea garane que o pono de equilíbrio P do sisea não-linear é assinoicaene esável. Cabe ressalar que esa análise da esabilidade do pono de equilíbrio P do sisea não-linear foi feia co o auxílio do sisea linear correspondene. O pono P ser assinoicaene esável para o sisea não-linear significa que odas as soluções dese sisea quando e ua vizinhança do pono P ende a se aproxiar dese pono. Observa-se que o resulado esá de acordo co a siuação física, que já previa ese ipo de esabilidade para o pono de equilíbrio. Nese oeno se pode definir o conceio de pono de equilíbrio hiperbólico de u sisea não-linear. U pono de equilíbrio de u sisea não-linear é hiperbólico quando nenhu auovalor da ariz A dos coeficienes do sisea linearizado e orno dese pono possui pare real nula Esabilidade do pono de equilíbrio:,,,,0,,0. Considerando o sisea de equações diferenciais de prieira orde não-lineares, verifica-se que o pono,,,,0,,0 anula siulaneaene as quaro equações dese sisea, ou seja, Q =, 0,,0 é pono de equilíbrio para ese sisea. Esa solução esacionária represena o pêndulo parado e de pona cabeça, viso que e represena, respecivaene, que o ângulo enre a hase l do pêndulo e o eixo verical que passa por seu pono de susenação e o ângulo enre o fio l e o eixo iaginário paralelo ao eixo de susenação esão na posição verical ais ala, ou seja, o pêndulo esá no senido da orienação do sisea; as variáveis 0 e 0 denoa que a velocidade angular do pêndulo é nula, porano ele esá parado. A siuação física que ese pono de equilíbrio represena sugere que o eso apresena esabilidade insável, pois ua pequena perurbação leva o pêndulo a se afasar de al pono. A figura a seguir ilusra a posição do pêndulo na siuação iposa pela solução esacionária esudada no oeno. No enano não se pode concluir a esabilidade de u pono de equilíbrio apenas analisando a siuação física. Será uilizado nese caso o eso procedieno que foi usado para o esudo da esabilidade do pono P = 0,0,0,0. Prieiraene deve-se fazer a linearização do sisea não-linear e orno do pono Q =, 0,,0. Para ano, calcula-se as derivadas parciais das funções f, w, h, p no pono Q e assi se faz a expansão dessas funções e série de Taylor e orno do pono Q, coo fora feio aneriorene. Escolhe-se assi u novo sisea de coordenadas co o objeivo de que o pono de equilíbrio Q seja ransladado para a orige, coo no caso anerior. Enão segue que, 0 0 O l Figura 3. Represenação física da solução esacionária:,,,0,,0 l,

209 As equações que governa a evolução eporal das novas variáveis são Logo, e prieira aproxiação, as equações diferenciais que rege a evolução das novas variáveis são dadas por l l b l g a l g b l g l l a l g Agora que se e o sisea linearizado e orno do pono Q se pode seguir o eso processo para aplicar os dois eoreas. A parir dese sisea linear obése a ariz jacobiana A calculada no pono Q =,0 0,,, que é a seguine A p p p p h h h h w w w w f f f f Q Para se descobrir a esabilidade do pono Q é necessário saber o sinal da pare real dos auovalores 4,3,,, j j da ariz A. De acordo co a recíproca do Criério de Hurwiz se deve analisar os coeficienes do polinôio caracerísico da ariz A. Fazendo 0 de A I o polinôio e é da fora, l l g l g b l g a l g ab l g ab b a Noe que o coeficiene que acopanha no polinôio é negaivo, viso que ese coeficiene é o seguine, l g b l g a Desa aneira exise pelo enos u coeficiene do polinôio caracerísico

210 que é negaivo, assi não se e condições de aplicar a recíproca do Criério de Hurwiz para saber qual é o sinal da pare real dos auovalores da ariz A viso que e u prieiro oeno é necessário que odos os coeficienes do polinôio seja posiivos. É preciso descobrir ouro cainho para se enar fazer isso. Ese ouro cainho se baseia na negação da recíproca do Criério de Hurwiz cujo enunciado é dado a seguir: Se ne odos os coeficienes do polinôio caracerísico da ariz A são posiivos ou ne odos os deerinanes n j j...,,,, da ariz de Hurwiz são posiivos, enão ne odos os auovalores da ariz A possue pare real negaiva, iso é, exise pelo enos u auovalor da ariz quadrada A que possui pare real nula ou posiiva. Volando ao polinôio caracerísico enconrado se e cereza que pelo enos u de seus coeficienes é negaivo, enão aplicando a negação da recíproca do Criério de Hurwiz exise pelo enos u auovalor da ariz quadrada A co pare real nula ou posiiva. Coo se sabe os auovalores da ariz A são as raízes do polinôio caracerísico. Assi se exisir algu auovalor co pare real nula, exise ua raiz do polinôio da fora i onde é u núero real e i é a chaada unidade iaginária, iso é, exise ua raiz do polinôio que é u núero coplexo co pare real nula, que é denoinado u núero iaginário puro. Suponha enão que exisa algu auovalor da ariz quadrada A co pare real nula, porano i é ua raiz do polinôio caracerísico dessa ariz, logo saisfaz a igualdade desse polinôio, ou seja, subsiuindo i no polinôio e-se que, l l g l g b l g a i l g ab l g ab b a i Igualando pare real co pare real e pare iaginária co pare iaginária da expressão acia segue as seguines igualdades, 0 4 l l g l g ab l g ab e 0 3 l g b l g a b a Trabalhando co a úlia expressão obé-se u valor para de odo que,

211 a. a b g g b l l. O núero real elevado ao quadrado é igual a algo negaivo, o que é u absurdo. Desa aneira pode-se concluir que não exise raízes do polinôio co pare real nula, ou seja, a ariz quadrada A não possui auovalores co pare real igual à zero. Logo, soene exise pelo enos u auovalor dessa ariz co pare real posiiva, de acordo co a negação da recíproca do Criério de Hurwiz. Para esudar a esabilidade do pono de equilíbrio Q =, 0,,0 usa-se o Teorea, ie (b), iso é, coo exise pelo enos u auovalor da ariz A co pare real posiiva segue que o pono Q é insável para o sisea não-linear. O pono Q ser insável para o sisea não-linear significa que exise algua solução dese sisea que quando e ua vizinhança do pono Q ende a se afasar dese pono. Novaene esa análise da esabilidade não foi conrária à siuação física, que anecipava ese resulado. 5. CONCLUSÕES O rabalho realizado osra coo se pode usar direaene odelos aeáicos para a resolução de probleas de Física. Observa-se que ao realizar a dedução das Equações de Movieno do pêndulo duplo planar foi feio u odelo aeáico do problea, co o qual se obeve os dados necessários para se uilizar as Equações de Lagrange; no processo de desenvolvieno dessas equações fora usados apenas conceios de cálculo Diferencial e Inegral, osrando que após a eoria Física o que se usa é apenas a Maeáica. Ao se fazer as análises da esabilidade dos ponos de equilíbrio usara-se conceios de Álgebra e as próprias definições forais que dize respeio ao que significa u pono de equilíbrio ser assinoicaene esável e insável se baseia e conceios aeáicos. Não se pode deixar de salienar que a inerpreação física dos resulados foi de grande iporância para se perceber o que aconecia na práica e que esa inerpreação abé serviu de oivação para se enconrar a esabilidade dos ponos de equilíbrio encionados, viso que proporcionou ua idéia de onde se eria que chegar. AGRADECIMENTOS O prieiro auor agradece o CNPq por conceder supore financeiro aravés da bolsa de esudos nº A-04/005. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bassanezi, R.C.; Ferreira Jr., W.C. Equações Diferenciais co aplicações. São Paulo: Harbra, p. Syon, K.R. Mecânica. Rio de Janeiro: Capus, p. Moneiro, L.H.A. Siseas Dinâicos. São Paulo: Livraria da Física, p.

212 Esudo e alguas aplicações do Cálculo Avançado Alessandra Ribeiro da Silva Lúcia Resende Pereira Bonfi Faculdade de Maeáica - Faa Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG Seebro de 006 Resuo Ese rabalho erá por objeivo esudar alguns eoreas do Cálculo Avançado enfaizando aplicações, principalene no que se refere ao Teorea da Função Iplícia e ao Teorea dos Muliplicadores de Lagrange, e co visas a fuuras generalizações. Palavras-chave: Teorea da Função Iplícia, Muliplicador de Lagrange. Inrodução Os resulados e definições apresenados nesse rabalho se aplica co poucas exceções, ao caso ais geral da aplicação f: U F onde U E é u conjuno abero e E, F são espaços veorias norados. Co as écnicas do Cálculo Avançado foi possível ober deonsrações alernaivas e sucinas de eoreas iporanes, envolvendo a diagonalização de operadores lineares e a desigualdade de Hadaard, esa úlia aplaene usada na eoria clássica de oiização. A uilização de aplicaivos copuacionais ajudou uio na visualização geoérica dos probleas, e conseqüeneene na copreensão dos resulados. Ua análise aprofundada da deonsração deses eoreas, já esabelecidas na lieraura aeáica, pode proporcionar generalizações dos esos e esruuras ais absraas, coo por exeplo, nos processos fuzzy s-convexos, possibiliando por sua vez a resolução de probleas práicos ainda e abero. -Aplicações diferenciáveis. alessandraribeirosil@erra.co.br. Orienanda do Prograa de Educação Tuorial da Faculdade de Maeáica (PETMAT) de fev/06 a fev/07. luciapereira@ufu.br.professora orienadora.

213 . - Definição de aplicação diferenciável. Seja U R u conjuno abero. Dizeos que ua aplicação f: U R n é diferenciável e u pono x U quando exise ua ransforação linear T: R R n al que r(h) f(x + h) =f(x)+t.h + r(h), onde li h 0 h Noe que, h deve ser oado suficieneene pequeno para que x + h Ue porano f(x + h) enha senido. Coo U é abero, exise δ>0 al que h <δiplica x + h U. E alguas siuações é conveniene escrever a condição para a diferenciabilidade de f: U R n e x U do seguine odo : f(x + h) =f(x)+t.h + ρ(h). h, onde li ρ(h) = 0. h 0 Basando para isso, oaros ρ(h) = r(h)/ h. Iso deixa ρ(h) se senido quando h = 0. Mas, quando f é diferenciável no pono x, é naural definir ρ(0) = 0. Enão ρ(h) será ua função conínua de h no pono h = 0. Se f: U R n é diferenciável no pono x U enão, para cada veor h R, e-se evideneene: =0. T.h = T.(h) = f(x + h) f(x) r(h) = f(x + h) f(x) ± r(h) h. h para odo 0 real. Logo: T.h = li 0 f(x + h) f(x) = f (x) Éúnica, porano, a ransforação linear T: R R n que dá a boa aproxiação para f pero de x. Ela é chaada de derivada de f no pono x, e indicada por f (x) ou df (x). A condição de diferenciabilidade de ua aplicação f: U R n (U R abero) e u pono x U se escreve : f(x + h) =f(x)+f (x).h + r(h), co li r(h)/ h =0. h 0 Se f é diferenciável e odos ponos de U, dizeos siplesene que f é diferenciável.é fácil verificar que, se f é diferenciável no pono x enão f é conínua nese pono. Suponha que f é diferenciável e x, eos: r(h) f(x + h) =f(x)+t.h + r(h)( ), onde li =0 h 0 h Noe que a igualdade (*) é siplesene a definição do reso r(h) R n.

214 Qual seria a ariz da ransforação linear T co respeio as bases canônicas de R e R n? Para ober al ariz precisaos saber que é T(e j ). Teos: r(h) f(x + h) f(x) =T.h + r(h), onde li =0. h 0 h Toando-se h = e j = (0, 0,...,,..., 0) R, obé-se: f(x + e j ) f(x) =.T (e j )+r(e j ) f(x + e j ) f(x) = T (e j ) ± r(e j) e j e fazendo 0: T (e j )= f ( f (x), ou seja, T (e j )= (x),..., f ) n (x) = f (x)e x j x j x j x j f n x j (x)e n. Assi, f f x... x j... J = f n f x... n x j... f x f n x Esa é chaada ariz jacobiana de f no pono x. Logo, sendo f diferenciável e x, dizeos que a diferencial é ua ransforação linear [ cuja ] ariz é a ariz J = df (x). No caso e que f: U R e-se J x = f f x. (x,y) Para aplicações f: R R f(x,y) R n f(), eos J nx = x f (). f n() Nas próxias seções, raareos casos de f: U R n R, enfaizando os principais resulados.. - A diferencial de ua função. O papel da derivada de ua função f: R n R é desepenhado por u funcional linear, confore osrareos agora. Seja f: U R definida no abero U R n, diferenciável no pono a U. A diferencial de f no pono a é o funcional linear df (a): R n R, cujo valor no veor v = (α,...,α n )é dado por df (a).v = f v (a) = n i= f x i (a).α i.

215 Para oda ransforação linear ϕ: R n R, co {e,..., e n } base canônica de R n e e = {} base canônica de R, eos x = n x i.e i donde ϕ(x) = n x i.ϕ(e i )=ϕ(e )x + i= ϕ(e )x ϕ(e n )x n. Podeos escrever : ϕ(x) = (ϕ(e ),..., ϕ(e n )), (x,x,..., x n ), co, o produo inerno usual de R n. Assi, [ϕ(x)] R =[ϕ] Rn R. [x] R, sendo o veor n [ϕ] Rn R (ariz xn)querepresena o funcional. Quando ϕ = df (a),enão, (ϕ(e ),..., ϕ(e n )) = (df (a).e,..., df(a).e n )= ( f x (a),..., f x n (a)). Se idenificaros o funcional co sua ariz, ereos df (a) = ( f (a),..., f ) (a). x x n i= Quando f: U R é diferenciável e odo pono de U, obeos ua aplicação df : U ( R n )* = L (R n ; R), que associa a cada pono x U o funcional df (x), cuja ariz é ( f (x),..., f ) (x). x x n A aplicação df é conínua se, e soene se, cada ua das suas funções coordenadas f x i :U Réconínua, iso é, se, e soene se, f é de classe C. É cou indicar-se, e Análise, a base canônica de (R n )*, co (dx,..., dx n ), logo dx i.v = α i se v =(α,..., α n ). O oivo desa noação é o seguine: coo a i-ésia projeção π i : R n R assue, e cada pono x =(x,..., x n ) R n o valor π i (x)=x i, escreve-se x i e vez de π i. Calculando a diferencial da i-ésia projeção x i: : R n R, obé-se dπ i (a).v =dx i (a).v = n π i x i (a) α i = α i,e odo pono a R n. Escrevendo dx i.v i= e vez de α i, a definição da diferencial fica df (a).v = n i= f x i (a).dx i.v. Coo esa igualdade vale para cada v R n, eos df (a) = n i= f x i (a).dx i. Iso significa que o funcional linear df (a) se exprie coo cobinação linear dos funcionais dx i, sendo ( f/ x i )(a) os coeficienes da cobinação. Finalene, a igualdade acia valendo para odo pono a U, podeos escrever df = n f dx i. x i i=

216 Todo funcional linear ϕ: R n R é diferenciável e, para odo x R n,dϕ(x) =ϕ (iso é, dϕ(x).v = ϕ.v). Co efeio, eos ϕ(x) =c x +...+c n x n, logo ϕ x i =c i. Porano dϕ(x).v = ϕ x i.α i = c i α i = ϕ.v. TEOREMA. Seja f,g: U R diferenciáveis no pono a U. Enão: )f + g: U R é diferenciável, e d(f + g) =df + dg ; )f.g: U R é diferenciável, e d(f.g) =f.dg + g.df; 3) Se g(x) 0 para odo x U, enão f/g: U R é diferenciável e d(f/g)=(g.df f.dg)/g. Deonsração: As funções s, : R R, q: R x(r - {0}) R, definidas por s(x, y) = x + y, (x, y) = x. y e q(x, y) = x/ y, são de classe C, logo diferenciáveis. A aplicação F : U R, definida por F (x) =(f(x),g(x)), e coordenadas diferenciáveis. Coo f + g = s F, f.g = F, e f/g = q F, a Regra da Cadeia assegura a diferenciabilidade de f + g, f.g e f/g.alé disso, eos (f + g) x i (f.g) x i = f x i + g x i = f. g x i + g. f x i ( f g ) x i = g. f/ x i f. g/ x i g () Verificando as afirações acia, eos que d(f + g) = d(f.g) = n i= n i= (f + g) x i.dx i = (f.g) x i.dx i = f. n f dx i + x i i= n g dx i. = df + dg. x i i= n g n f.dx i + g..dx i = f.dg + g.df. x i x i i= i= E analogaene e-se a fórula. - Teorea do Valor Médio Seja f: U R diferenciável e odos os ponos do segeno de rea abero (a, a+v) e seja conínua sua resrição ao segeno fechado [a, a + v] U R n. Exise θ (0, ) al que f(a + v) f(a) =df (a + θv).v = n f x i (a + θv).α i, onde v =(α,...,α n ). i=

217 COROLÁRIO. Seja U Rn abero e conexo. Se f: U R é diferenciável e f df (x) = 0 (iso é, x (x) =... = f x n (x) = 0) para odo x Uenão f é consane. COROLÁRIO. Seja U Rn u abero convexo e f: U R ua função diferenciável. Se df (x) M para odo x Uenão, para quaisquer x, y U, eos f(x) f(y) M. x y Ou seja, nu abero convexo, oda função que possui diferencial liiada é Lipschiziana. No Corolário, df (x) é a nora do funcional df (x) :R n R, iso é, o aior dos núeros f (x), para odo v v Rn, v =. EXEMPLO. Quando V não é convexo, ua função g: V R pode er diferencial liiada e Venão ser Lipschiziana. Por exeplo, seja X = {(x, 0) R ; x 0} o sei-eixo posiivo fechado das abscissas. Considere a função f: U R onde U = R X definida por f(x, y) =x quando x > 0, y>0ef(x, y) = 0 quando x 0ouy 0. Seja V = {z U; z < } o qual é abero que não é convexo (u subconjuno X R n diz-se convexo quando coné qualquer segeno de rea cujos exreos perença à X ou seja, x, y X [x, y] X onde [x, y] ={( )x + y :0 }). Toeos g = f V.Enão dg(z) 4 para odo z V. Vejaos: dg(z) = sup{ dg(z).v } ou df (x, y) = sup v = v = Teos que n f df (x, y).v = df (x, y).(α, β) = (x, y).α i x i = f x i= { df (x, y).v }. (x, y).α + f y (x, y).β = xα =

218 = α. x <. α. =4 α 4 α + β. Logo, df (x, y).v 4 v. Porano, df (x, y) 4 para odo z V as g não é Lipschiziana pois, para odo ε > 0 eos g(,ε) g(, ε) = enquano (,ε) (, ε) =ε. Ua consequência do Corolário acia é que se f: U R é diferenciável e suas derivadas parciais são liiadas no abero convexo U R n,enão f é uniforeene conínua e U. De fao, n df (x) = sup{ df (x).v } e df (x).v = f x i (x).α i n f x i (x). α i v = i= i= n M α i M v S, sendo v S a nora da soa e R n. i= Porano, df (x) M, para odo x U (abero conexo). Segue-se do corolário que x, y U: f(x) f(y) M x y, iso é, x, y U se x y <δ= ɛ M f(x) f(y) M.δ = ɛ. Assi, f é uniforeene conínua. 3 - O gradiene de ua função diferenciável. O produo inerno naural induz u isoorfiso enre R n e seu dual (R n )*. Tal isoorfiso faz corresponder a cada veor v R n o funcional ϕ (R n )* co ϕ (x) = v, x para odo x R n (o produo inerno de u veor fixo v por u veor variável x). De fao, defina T: R n v (R n ) T (v)=ϕ v, al que ϕ v : R n x R ϕ v(x)= v,x. T é ua ransforação linear bijeora? Seja T (v + v ):=ϕ v +v e T(v )+T(v )=ϕ v + ϕ v. Agora, ϕ v +v (x) = v + v,x = v,x + v,x = ϕ v (x)+ϕ v (x) =(ϕ v + ϕ v )(x). Porano, T (v + v )=T(v )+T(v ). E, T (λv ):=ϕ λv e λt (v )=λϕ v ϕ λv (x) = λv,x = λ v,x = λϕ v (x). Porano, T (λv )=λt (v ). Assi, T é ua ransforação linear. T é injeora? Para odo u,u R n, considere T (u )=T (u ) ϕ u = ϕ u ϕ u (x) =ϕ u (x), x R n u,x = u,x u,x u,x =0 u u,x =0, x R n u u =0 u = u. Porano, T é injeora. Coo di R n = di(r n ) = n enão T é sobrejeora e segue que T é u isoorfiso. Dada a função diferenciável f :U R, definida no abero U R n, definireos o gradiene de f no pono a U coo o veor fixado grad f(a), que corresponde ao funcional ϕ = df (a) segundo o isoorfiso acia descrio. Iso significa, por definição, que:

219 df (a).v = grad f(a),v ou seja, grad f(a),v = f (a) =df (a).v = f v x i (a).α i para odo v =(α,...,α n ). E paricular grad f(a),e i = f x i (a), logo grad f(a) =( f x (a),..., f x n (a)); o qual é, confore vios aneriorene, o veor (ariz) que represena o funcional df (a). Se usaros apenas bases oronorais e R n, as coordenadas do veor grad f(a) e relação à base (e,..., e n )são as esas que as do funcional df (a) co respeio à base dual (dx,..., dx n ). Nesas condições, o gradiene se orna praicaene indisinguível da diferencial. Fixando u pono a, e supondo que grad f(a) 0 eos que o gradiene de ua função diferenciável f saisfaz alguas propriedades, das quais vale desacar : ) O gradiene apona para ua direção segundo a qual a função f é crescene;. ) Denre odas as direções ao longo das quais a função f cresce, a direção do gradiene é a de crescieno ais rápido; 3. ) O gradiene de f no pono a é perpendicular à superfície de nível de f que passa por esse pono. Façaos alguas verificações : E prieiro lugar, se w = grad f(a) enão f w (a) = grad f(a),w = grad f(a) > 0. Iso significa que se λ: ( ε, ε) U é u cainho diferenciável, co valores no doínio U da função f, al que λ(0)=aeλ (0) = grad f(a), enão a função real f(λ()) possui derivada posiiva no pono = 0. Se supuseros f e λ de Classe C,enão a derivada de f λ será ainda posiiva e odos os ponos de u inervalo abero de cenro 0, iso é, se oaros ε>0 suficieneene pequeno enão f λ: (-ε, ε) R será ua função crescene. Iso é o que significa afirar que f cresce na direção do gradiene. R 0 grad f(a) a U f - f é crescene Evideneene, não se e f (a) > 0 apenas quando v = grad f(a). v Coo f (a) = gradf(a),v = gradf(a). v. cos θ, sendo θ oângulo que o veor v grad f(a) fora co o veor v,0 θ π; assi, os veores v que apona para direções ao longo das quais a função cresce são aqueles que fora u ângulo agudo co grad f(a), iso é, ais que o produo inerno <gradf(a), v>éposiivo. O que disingue o gradiene é o fao de que e sua direção o crescieno de f é ais rápido do que nas ouras. Iso quer dizer o seguine: se v for u veor al que v = grad f(a) enão

220 f v (a) f (gradf(a)) (a) Co efeio, pela desigualdade de Schwarz: f v (a) = grad f(a),v grad f(a). v = grad f(a) = f (grad f(a)) (a) Finalene, para verificar a erceira das afirações, considereos: Dada f: U R, diferenciável no abero, U R n, e fixado u núero real c, definios o conjuno {x U : f(x) =c} coo a iage inversa f (c), a qual é chaada a superfície de nível c da função f. Quando n=,f (c) chaa-se a curva de nível c de f. Convé, de início, chaar a aenção para o fao de que a iage inversa f (c) às vezes não e aspeco de curva ou superfície. (Por exeplo, f: R R al que f(x, y) =x + y para valores de c<0,f (c) seria o conjuno vazio ). Melhor seria chaar f (c) de conjuno de nível. Mas a erinologia esá consagrada e se jusifica devido a f (c) ser eso ua superfície (ou ua curva) sepre que grad f(x) 0 para odo x co f(x) =c, confore provareos adiane, co ajuda do eorea da função iplícia. Dizer que u veor w é perpendicular à superfície (ou curva) de nível f (c) no pono a, significa que w é perpendicular ao veor velocidade, no pono a, de qualquer cainho diferenciável no pono = 0, co λ(0) = a e λ() f (c), iso é, f(λ()) = c, para odo (-ε,ε). Co efeio, desa úlia igualdade segue-se que 0=(f λ) (0) = n i= f x i (a).λ i(0) = gradf(a),λ (0) logo grad f(a)é perpendicular a λ (0), veor velocidade no pono a = λ(0) de qualquer cainho diferenciável λ, conido na superfície de nível de f que coné a. Agora, vejaos u exeplo siples: EXEMPLO. Considere f(x, y, z) =ax + by + cz (co a + b + c 0). As superfícies de nível de f são planos definidos pelas equações ax + by + cz = d, para qualquer d real. O veor gradiene de f é consane : grad f = (a, b, c), e qualquer pono (x, y, z) R 3. Assi, as superfícies de f são odos os planos perpendiculares ao veor (a, b, c), ais planos são, evideneene paralelos uns aos ouros. As superfícies de nível c da função g(x, y, z) = x +y +z são as soluções de ua equação do ipo g(x, y, z) = c. Elas são vazias se c < 0. A superfície de nível 0 reduz-se a u único pono, a orige. Para c > 0, a superfície de nível c é ua esfera de cenro na orige e raio c. O veor gradiene de g no pono (x, y, z) é grad g(x, y, z) = (x, y, z), u veor paralelo ao raio, o que é de se esperar, pois o raio é perpendicular a odo veor angene a esfera naquele pono. A superfície de nível c da função h(x, y, z) = x +y -z, co c < 0, define u hiperbolóide de duas folhas. Para c = 0, a superfície de nível x +y -z = 0 consise e u cone duplo, co vérice na orige e eixo no eixo do z. No caso de c > 0, a superfície x +y -z =cé u hiperbolóide de revolução, co eso eixo do cone.

221 4 - Teorea da Função Iplícia. Seja f: U R ua função de classe C k (k ), definida nu abero U R, e(x 0,y 0 ) U al que f(x 0,y 0 )=c, f (x y 0,y 0 ) 0. Enão exise u reângulo abero I J, de cenro (x 0,y 0 ), al que f (c) (I J) é o gráfico de ua função ξ: I J, de classe C k. Te-se ξ (x) = f/ x esas derivadas sendo calculadas no pono (x, ξ(x)). f/ y Coo (x 0,y 0 ) I J, o inervalo abero I coné x 0, enquano J coné y 0. A afiração de que f (c) (IxJ)é o gráfico de ua função ξ: I J significa que, para cada x I, exise u único y J al que y = ξ(x) e(x, y) f (c) f(x, y) = c. Nese caso, dizeos que a equação f(x, y) =c define ipliciaene y = ξ(x), no abero I J. R - ( ) - ( ) Deonsração: Suponhaos f (x y 0,y 0 ) > 0. Coo f é conínua pois f éde y classe C k, exise δ>0eε>0 ais que, pondo I =(x 0 δ, x 0 + δ) ej =(y 0 ε, y 0 + ε),

222 eos I J U e f (x, y) > 0 para odo pono (x, y) I J. Enão, para odo x I, y a função y f(x, y) é esriaene crescene no inervalo J. E paricular, coo f(x 0,y 0 )=c, eos f(x 0,y 0 ε) <ce f(x 0,y 0 + ε) >c. z c x x0 - x0 x0 + y0 - y0 y 0 + y Pela coninuidade de f, podeos supor δ ão pequeno que, paraodo x I, enhaos f(x, y 0 ε) <ce f(x, y 0 + ε) >c. E virude do Teorea do Valor Inerediário eos que se g: I J R é conínua e exise (x, y) I J e c R ais que f(x, y 0 ε) <c<f(x, y 0 + ε) (**) enão exise (x, y) I J al que f(x, y) =c. Assi, para cada x I, exise u único y = ξ(x) J al que f(x,y) = c. Usando (**) e-se obrigaoriaene y J, porano f (c) (I J) = f (c) (I J)é o gráfico de ua função ξ: I J. Mosreos que ξ é de classe C k, ou seja, que exise ξ (x) para odo x I e que ξ :I R é de classe C k. Chaando k = ξ(x + h)- ξ(x), eos ξ(x+h)=ξ(x) + k, logo f(x + h, ξ(x) + k) = f(x + h, ξ(x+h))=f(x,ξ(x)) = c. Pelo Teorea do Valor Médio, sabeos que exise θ, co 0 <θ<, al que f(a + v) f(a) = n f x i (a + θv).α i, sendo v =(α,..., α n ). Assi, nese caso, eos: i= 0=f(x + h, ξ(x)+k) f(x, ξ(x)) = f[(x, ξ(x))+(h, k)] f(x, ξ(x)) = f [(x, x ξ(x)) + θ(h, k)].h + f f f [(x, ξ(x)) + θ(h, k)].k = (x + θh, ξ(x)+θk).h + (x+ θh, y x y ξ(x)+θk). k. Assi, f f (x+θh, ξ(x)+θk).h = x y (x+ θh, ξ(x)+θk).k k h = f (x + θh, ξ(x)+θk) x (#). (x + θh, ξ(x)+θk) f y

223 E coo ξ(x+h)-ξ(x) = k segue que ξ(x+h) ξ(x) h (##) obeos: = k (##). Igualando (#) e h ξ(x + h) ξ(x) h = k f h = (x + θh, ξ(x)+θk) x (x + θh, ξ(x)+θk) f y Segundo o lea que provareos logo a seguir, ξ é conínua. Logo li h 0 ξ(x + h) ξ(x) =0 li h 0 k = 0. A coninuidade das derivadas parciais de f nos dá porano ξ (x) = li h 0 ξ(x + h) ξ(x) h = f x f (x, ξ(x)) y (x, ξ(x)) () Se f C, sendo f/ x, f/ y e ξ conínuas, esa fórula osra que ξ é conínua, logo ξ C.Sef C enão f/ x, f/ y e (coo acabaos de osrar) ξ são de classe C.Afórula que dá ξ osra enão que ξ é abé de classe C, iso é, ξ C. E assi por diane: se f C k enão ξ C k. Vejaos agora o lea usado na deonsração LEMA. Se X R,K R k copaco, f : X K R p conínua e c R p. Se f (c) é o gráfico de ua aplicação ξ: X K, (iso é, para cada x X exise u único y = ξ(x) K co f(x,ξ(x)) = c) enão ξ é conínua. Deonsração: Dado x 0 X, seja y 0 = ξ(x 0 ) K. Toaos ua sequência de ponos x n X, co li x n = x 0, e quereos provar que li ξ(x n )=y 0 = ξ(x 0 ).Coo a sequência (ξ(x n )) é liiada (pois ξ(x n ) K n e coo K é u copaco ese por definição é fechado e liiado logo, u conjuno de ponos de K, no caso a sequência ξ(x n ), é abé liiada), basa provar que oda subsequência ξ(x n), convergene e R k, e liie y 0. Ora, se for li ξ(x n)=y, deve ser y K pois K é fechado (logo, coné odos os liies das sequências). Coo lif(x n,ξ(x n)) = c para odo n, eos c = lif(x n,ξ(x n)) = f(li x n, li ξ(x n))=f (x 0,y). Pela unicidade de y 0, iso obriga y = y 0 e conclui a deonsração. Dada ua função diferenciável f: U R, u pono x U chaa-se pono f críico de f (ou pono singular) quando df (x) =0, iso é, x (x) =... = f x n (x) =0. Seja f: U R ua função diferenciável no abero U R n. Direos que o núero real c é u valor regular de f quando não exisire ponos críicos de f no nível c, ou seja f(x) =c grad f(x) 0. Quando c é u valor regular de f, diz-se abé que o nível c é regular. Quando exise ponos críicos x U ais que f(x) =c, dizeos que c éunível críico de f. U conjuno M R n+ chaa-se ua hiperfície de classe C k quando é localene o gráfico de ua função de n variáveis de classe C k. Iso significa que cada pono p M perence a u abero V R n+ al que V M é o gráfico de ua função de classe C k definida nu abero do espaço R n. Quando n = diz-se curva e, se n =, diz-se superfície e vez de hiperfície.

224 EXEMPLO 3: Seja S n = {x R n+ ; x, x =} a esfera uniária n-diensional. Indiqueos co U R n a bola abera de raio, co cenro na orige. Para cada i =...., n + ponhaos V i = {x R n+ ; x i > 0} e i = {x R n+ ; x i < 0}. Escrevendo x =(x,..., x i, x i+,,x n+ ), eos: x S n V i x < e x i = x,x ; x S n W i x < ex i = x,x. Logo, se consideraros a função ξ: U R, de classe C, definida por ξ(u) = u, u, veos que, para cada i =...., n +, S n V i é o gráfico da função x i = ξ(x ) enquano que S n W i é o gráfico de x i = ξ(x ). Coo odo pono p S n esá conido e algu V i ou e algu W i, concluíos que S n é ua hiperfície de classe C e R n+. Seja M R n+. Dado p M, usareos a noação T p M para indicar o conjuno dos veores velocidade λ (0), dos cainhos λ: ( ε, ε) M R n+, conidos e M, diferenciáveis no pono = 0 e ais queλ(0) = p. Quando M é ua hiperficie diferenciável, o conjuno T p M chaa-se o espaço veorial angene a M no pono p. Esa denoinação e sua jusificaiva no TEOREMA. Se a hiperficie M R n+ é diferenciável enão, para cada p M, o conjuno T p M é u subespaço veorial de diensão n do espaço euclidiano R n+. EXEMPLO 4. Para hiperfícies M R n+ de classe C 0,T p M pode não ser u espaço veorial de diensão n: se X = {(x, y, z) R 3 ; z = x + y } (cone-fig.), e-se que X não é ua superfície diferenciável, pois f(0,0). Podeos ver que, sendo x p =(0, 0, 0), e-se T p M consise do veor 0 apenas, donde di T p M =0. SeY = {(x, y, z) R 3 ; z = x }(superfície cilíndrica ao longo do eixo dos y -fig.) ) abé não é superfície diferenciável para p =(0, 0, 0), T p Y é o subespaço forado pelos veores β j, donde di T p Y =. Por ouro lado, a superfície Z = {(x, y, z) R 3 ; z = x + y } é al que, para p =(0, 0, 0), T p Z R 3 é a reunião de duas reas (o eixo dos x e o eixo dos y) logo não é sequer u subespaço veorial. EXEMPLO 5. Sabeos que a esfera S n R n+ é ua hiperfície de classe C. Assi, pelo eorea, eos que para cada pono p S n, o espaço veorial angene T p (S n ) erá diensão n e T p S n é o conjuno [p] dos veores v R n+ ais que p, v =0. Co efeio, se λ: ( ε, ε) S n é u cainho diferenciável no pono =0, co λ(0) = p enão, coo o λ() = λ() = λ(),λ() = λ (),λ() + λ(),λ () =0 λ (),λ() =0 λ (),λ() =0, iso é λ (0) [p].

225 Figura : Superfície cilíndrica Figura : Cone Iso osra que T p M [p]. Coo [p] é u subespaço n-diensional de R n+ resula que esa inclusão é, na realidade, ua igualdade. O eorea abaixo perie ober u grande núero de exeplos de hiperfícies. Ele diz que se não há ponos críicos de f no nível c enão a superfície de nível c da função f é, de fao, ua hiperfície. Teorea Global da Função Iplícia. A iage inversa M = f (c) de u valor regular c de ua função f: U R, de classe C k (k ) nu abero U R n+,é ua hiperfície de classe C k. E cada pono p M, o espaço veorial angene T p M éonúcleo da diferencial df (p): R n+ R ou, equivaleneene, o conjuno dos veores v R n+ perpendiculares ao veor grad f(p). 5 - Muliplicador de Lagrange. Nesa seção explorareos u éodo poderoso para enconrar valores exreos de funções condicionadas: o éodo dos uliplicadores de Lagrange. Langrange desenvolveu o éodo e 755 para resolver probleas de áxios e ínios e geoeria. Hoje o éodo é iporane e econoia, engenharia (onde é usado e projeo de foguees, por exeplo) e e aeáica. Muias das vezes é usado para resolver probleas de oiização. Considereos ua função real f: U R de classe C k,em R n+ ua hiperfície de classe C k (k ), conida nu abero U R n+. Quereos achar os áxios locais, ínios locais, e ais geralene, os ponos críicos da resrição f M. Para al, inicialene definios o pono críico f M. Sabeos que os ponos críicos de f e U são os ponos x U ais que grad f(x) = 0, iso; é, f (x) = 0 para odo v v Rn+. Iso quer dizer que, para odo cainho diferenciável λ: (- ε, ε) R n+ co λ(0) = x, eos (f λ) (0) = 0. Assi, definireos u pono críico de f M coo u pono p M al que (f λ) (0) = 0 para odo cainho diferenciável λ: ( ε, ε) M,coλ(0) = p. Iso significa que f (p) = 0 para v

226 odo v T p M, ou seja, p M é u pono críico da resrição f M se, e soene se, grad f(p),v = 0 para odo v T p M, ou ainda, se, e soene se, o veor grad f(p) é noral à hiperfície M no pono p. Se p M é u pono de áxio local (ou de ínio local) para a resrição f M enão, para odo cainho diferenciável λ: ( ε, ε) M, co λ(0) = p, 0é u pono de áxio (ou de ínio) local para a função real f λ: ( ε, ε) R. Co efeio, eos f(x) f(p), X M, e paricular, f(λ()) f(p) =f(λ(0)) (f λ)() (f λ)(0), ( ɛ, ɛ). Logo (f λ) (0) = 0, porano p é u pono críico de f M de acordo co a definição acia. Evideneene, os ponos críicos de f e U, que por acaso perença a M, se exisire, serão ponos críicos de f M. O ineressane, poré, é que pode ocorrer ponos críicos de f M que não são ponos críicos de f iso é, nos quais grad f não se anula. Por exeplo, seja f(x, y) =x y, em = S = {(x, y) R : x + y =}. Teos grad f(x, y) =(, ) (0, 0) (x, y) R, iso é, f não possui ponos críicos. Enreano, p = ( ), e q = (, ), confore podereos ver adiane, são os ponos onde f S ainge, respecivaene, seu áxio e seu ínio; donde p e q são ponos críicos de f S. De u odo geral, se a hiperfície M R n+ é copaca, enão f M adie pelo enos dois ponos críicos, a saber, os ponos onde f M assue seus valores áxio e ínio. Finalene, a resposa ao nosso problea é dada pelo 5. - Teorea do Muliplicador de Lagrange. Considereos f: U R, ua função de classe C k (k ) no abero U R n+, em=ϕ (c) ua hiperfície conida e U, iage inversa do valor regular c R por ua função ϕ: U R, de classe C k. U pono p Mé pono críico de f M se, e soene se, exise u núero real λ (chaado de uliplicador de Lagrange) al que grad f(p) =λ.grad ϕ(p). Deosração: Sendo M ua superfície de nível de ϕ, e-se que grad ϕ(p) T p M, para odo pono p M. Agora, abé eos que, p é pono críico de f M, seesó se,

227 grad ϕ(p) T p M. Coo T p M R n+ é u subespaço veorial de diensão n, segue-se que, R n+ = T p M (T p M) = T p M [grad ϕ(p)]. Mas, o grad f(p) (T p M) = [grad ϕ(p)]. Assi, exise λ R al que, grad f(p) =λ.grad ϕ(p). Observação: Quando a hiperfície M não é dada coo iage inversa ϕ (c) de u valor regular, os ponos críicos de f M são siplesene os ponos p M nos quais grad f(p) é noral a M. A pesquisa dos ponos críicos de f M reduz-se, porano, a resolver o sisea de (n + ) equações { f x i (p) =λ. ϕ x i (p), (i =,,..., n + ); ϕ(p) =c nas n + incógnias λ, x,..., x n+, onde p = (x,..., x n+ ). A presença do núero λ no sisea acia orna o núero de equações igual ao núero de incógnias, o que uias vezes facilia a resolução. Ua inerpreação geoérica dese eorea poderia ser feia, observando que a condição grad f(p) = λ. grad ϕ(p) significa que a hiperfície M é angene à superfície de nível de f que passa pelo pono críico p da função f M. No caso e que se pode esboçar essas superfícies, esa observação auxilia a localizar os ponos críicos. Vejaos agora alguns probleas onde se aplica o éodo do uliplicador de Lagrange. EXEMPLO 6. Seja f: R R definida por f(x, y) = ax + by, co a +b 0. Quais são os ponos críicos da resrição de f ao círculo uniário S? Teos grad f = (a, b), S = ϕ l (),ϕ(x,y) = x +y e grad ϕ= (x, y). Os ponos críicos de f S são aqueles onde os veores (a, b) e (x, y) são colinares. Coo, alé disso, deve-se er x +y =,iso nos dá x= a a,y = +b b a +b ou x = a a +b,y = b a +b.neses ponos, f S assue, respecivaene,seu valor áxio, igual a a + b, e seu valor ínio, igual a a + b. EXEMPLO 7. Seja (a ij ) ua ariz real n x n siérica, iso é, a ij =a ji. A ela corresponde ua ransforação linear A: R n R n, definida por A. x=y,co y i = a ij x j.a condição a ij = a ji é equivalene a Ax, y = x, Ay para quaisquer j x, y R n, ou seja, a ransforação linear A é auo-adjuna. U veor x R n chaa-se u veor próprio de A quando x 0eA.x = λ.x para algu λ R. Onúero λ chaase enão o valor próprio correspondene ao veor próprio x. E geral, ua ransforação linear A: R n R n não precisa er veores próprios x R n ne valores próprios. (Toe, por exeplo, a ransforação linear A sendo ua roação no plano, de ângulo θ, co 0 o <θ<80 o daí λ R al que Ax = λx). Mosrareos agora que se A é auo-adjuna enão exise ua base oronoral de R n forada por veores próprios de A. Para isso, considerareos f: R n R al que f(x) = Ax, x e S n = ϕ (), sendo ϕ: R n R dada por ϕ(x) = x = x, x. Sabeos que u S n al que f(u ) f(u), u S n, assi, u é pono críico de f S n. Analisareos os ponos críicos de f S n :

228 Teos, e f(x + h) = A(x + h),x+ h = Ax + Ah, x + h = = Ax, x + Ax, h + Ah, x + Ah, h = = Ax, x + Ax, h + h, Ax + Ah, h = = f(x)+.ax, h + Ah, h r(h) h = Ah, h h Ah. h h A. h h = A. h h 0 0 Logo, f é diferenciável e f (x).h =.Ax, h, ou seja, grad f(x) =.Ax. Agora, ϕ(x) =x + x x n,é diferenciável e grad ϕ(x) =(.x,.x,...,.x n )=.(x,x,..., x n )=x Porano, usando o Teorea do uliplicador de Lagrange, e-se os ponos críicos de f S n são os ponos u S n ais que grad f(u) =λ.grad ϕ(u).au = λ.u Au = λ.u. Podeos concluir: Dada a fora quadráica f: R n R,f(x) = A.x, x, co A: R n R n auoadjuna, u pono u S n é pono críico de f S n se, e soene, A.u = λ.u, onde λ = f(u), pois f(u) = Au, u = λu, u = λ u, u = λ. Assi, sendo u S n u pono críico de f S n, e-se Au = λ u. E podeos considerar o subespaço (n )-diensional E = {x R n : x, u =0} =[u ]. Noe que, se x E Ax E. De fao, Ax, u = x, Au = x, λ u = λ x, u = 0. Por resrição, obeos ua ransforação linear auo-adjuno A E : E E. Seja f(u ) = λ o valor áxio da fora quadráica f enre os veores uniários perencenes a E donde, u E al que u =eau = λ u, iso é, u é auoveor de A, sendo u u veor uniário e orogonal à u. Prosseguindo analogaene, obeos ua base oronoral de R n,(u,u,...,u n ), forada por veores próprios de A. EXEMPLO 8.Usareos o éodo do uliplicador de Lagrange para osrar a conhecida desigualdade de Schwarz : x, y x. y. Para isso oareos a função f : R R, dada por f(x, y) = x, y e considereos a esfera uniária S = {(x, y) R : x + y =}. Teos que f é de classe C e S = g (), onde g(x, y) = x + y, é de classe C. Sabeos que, sendo f conínua e S u copaco, e-se que f assue seus valores áxio e ínio. Sendo (x 0,y 0 ) S uponodeáxio ou ínio de f, o eorea do uliplicador de Lagrange nos garane que exisirá unúero real λ al que f(x 0,y 0 )= λ. g(x 0,y 0 ). Agora, f(x, y) =x.y + x.y x.y, daí: ( f f(x, y) =, f f,...,, f, f ) f,..., =(y,y,..., y,x,x,..., x ) e: x x x y y y g(x, y) =x + x x + y + y y

229 g(x, y) = ( g, g g,...,, g, g ) g,..., = x x x y y y = (x, x,..., x, y, y,..., y )= =.(x,x,..., x,y,y,..., y ) Assi, { (y0,x 0 )=λ.(x 0,y 0 ) x 0 + y 0 = y 0 =.λ.x 0 (I) x 0 =.λ.y 0 (II) x 0 + y 0 = (III) Subsiuindo (II) e (I) : y 0 =.λ.(.λy 0 ) y 0 =4.λ y 0 y 0 ( 4.λ )=0 y 0 = 0 ou 4.λ =0 Reornando y 0 = 0 e (II), x 0 =0enão saisfaz (III). Daí, 4.λ =0 4.λ = λ = 4 λ = ± Para λ =+, e-se y 0 = x 0 ; Para λ =, e-se y 0 = x 0 ; E qualquer caso, segue que x 0 + y 0 = x 0 + x 0 ==. x 0 == x 0 =. Noe que f(x 0,x 0 )= x 0,x 0 = x 0 = e f(x 0, x 0 )= x 0, x 0 = x 0 =. Logo, nos ponos da fora (x 0,x 0 ) a função assue valor áxio de x 0 =, e nos ponos na fora (x 0, x 0 ) o valor da função éínio co valor x 0 =. ( Seja (x, y) R R, donde Assi, ( f x x, x x, y y ) S, pois ) y y f(x 0,x 0 )=, ou seja x + y. x =.. y x y, x y.. x, y x y. x. y x, y x, y x. y.(a)

230 Tabé eos que ( ) x f(x 0, x 0 ) f y x, y. x, y x. y x, y (b) x. y Por (a) e (b) obé-se: x, y x. y. EXEMPLO 9. Aravés do éodo do uliplicador de Lagrange deonsrareos a desigualdade de Hadaard: se X é ua ariz n n cujas linhas são os valores X i =(x i,x i,..., x in )enão de.x X. X... X n, onde X i é a nora euclidiana de X i. Iso éóbvio se de.x =0. Caso de.x 0, enão odos os veores de linha são 0, logo X i = X i.w i, co W i =, para odo i. Coo X = enão de.x = X. X... X n.de.w, onde W = W. W n X. X n = X.W. X n.w n. A desigualdade de Hadaard ficará provada se osraros que dew pois ereos que dex = X... X n.dew X..... X n. dex X... X n. Mais geralene, osrareos que se W =(w ij ) é ua ariz n n al que wij = n enão de.w. i,j Definaos, porano f,ϕ : R n R pondo f(x) =de.x e ϕ(x) = i,j x ij = n. Teos ϕ x ij (X) =x ij e f x ij (X) =( ) i+j X [ij], onde X [ij] é o deerinane da ariz (n ) (n ), obida de ϕ pela oissão da i-ésia linha e j-ésia coluna. Todo núero real 0éu valor regular de ϕ, pois grad ϕ(x) =x ij e ese só se anula quando x ij =0, ou seja, X é a ariz nula, nese caso, o valor de ϕ é 0, logo ϕ (n) é ua hiperfície (copaca) de classe C (pois ϕ é C ) e R n (esfera de cenro 0 e raio n). Ua ariz W =(w ij )éoponocríico de f M se, e soene se, x ij = n e i,j grad f(w )=λ.grad ϕ(w ) para algu λ real. Daí: ( ) i+j W [ij] =λ.w ij para quaisquer i, j [,n]. (*) Muliplicando por w ij, soando e lavando e cona a regra de expansão de u deerinane e relação aos eleenos de ua linha, eos: n.de W = i,j ( ) i+j.w ij.w [ij] =.λ. i,j w ij =.λ.n, onde de W =.λ. Agora ulipliqueos (*) por w ij, fixeos i e soeos e relação a j. Resula: de W = j ( ) i+j.w ij.w [ij] =.λ. j w ij = de W. j w ij.

231 Suponhaos que W seja u pono onde f M assue seu valor áxio. Enão: de W = f(w ) 0 e da igualdade acia ve W i = P wij = para odo i. j E seguida, ulipliqueos (*) por w kj, co k i, e soeos e relação a j. Tereos: ( ) i+j.w ij.w [ij] =.λ. j j w kj =.λ. W k,w i. Ora, o prieiro soaório acia é zero, por ser desenvolvieno e relação aos eleenos da i-ésia linha, do deerinane de ua ariz co duas linhas (a i-ésia e a k-ésia) iguais a W k. Logo W k,w i = 0 para k i. Assi, para odo pono W M onde f M ainja seu valor áxio é ua ariz cujas linhas são veores uniários, a orogonais; iso é, W é ua ariz orogonal. E paricular, de W = ±. Por ser de W áxio, seu valor é evideneene. Concluios que de W para oda W M, o que deonsra a desigualdade de Hadaard. Observação: O valor de de X é o volue do paralelepípedo n-diensional deerinado pelos veores X,X,..., X n, que significa, geoericaene, que se aniveros consanes os coprienos desses veores, de X se orna áxio quando eles fore a perpendiculares, caso e que o volue do paralelepípedo é o produo X. X... X n dos coprienos das aresas. Referências [] Lia, Elon Lages. Curso de Análise, vol.. Rio de Janeiro: Projeo Euclides, IMPA [] Lia, Elon Lages. Análise no Espaço Rn. S. Paulo: Ediora Edgar Blucher. [3] Lia, Elon Lages. Espaços Méricos, vol.. Rio de Janeiro: Projeo Euclides, IMPA. 977.

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233 FAMAT e Revisa Revisa Cienífica Elerônica da Faculdade de Maeáica - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG Probleas e Soluções Núero 07 - Seebro de 006

234 Coiê Ediorial da Seção Probleas e Soluções do Núero 07 da FAMAT EM REVISTA: Luiz Albero Duran Saloão (coordenador da seção) Márcio José Hora Danas Marcos Anônio da Câara

235 Probleas e Soluções A revisa elerônica FAMAT e Revisa publica regularene ua seção de probleas co o íulo Probleas e Soluções. Todos os ineressados pode paricipar dessa seção apresenando soluções para os probleas já publicados ou propondo novos probleas. Serão publicados probleas de aeáica básica ou superior, assi coo enigas de naureza lógica que desafie nossos leiores e lhes proporcione bo reinaeno na resolução de probleas. O coiê ediorial selecionará, denre os probleas proposos, os que ais se desacare por sua beleza, relevância e originalidade. Probleas proposos e u núero da revisa erão suas soluções publicadas no núero seguine. Quando da publicação de probleas ou resoluções enviados por leior, serão ciados o(s) proponene(s) e o(s) auor(es) das soluções recebidas. Ao propor u problea, o leior deverá encainhar sua solução junaene co o enunciado e ciar a fone de onde ele foi irado, se for o caso. Todo paricipane dessa seção deverá idenificar-se encionando seu noe e endereço copleos (inclusive e-ail). Para fazer conao co a revisa, os paricipanes poderão uilizar o endereço elerônico ou encainhar correspondência para: revisa@faa.ufu.br FAMAT e Revisa Faculdade de Maeáica Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila,, Sana Mônica CEP Uberlândia - MG Nesse núero, alé de quaro novos desafios, publicaos a resolução dos quaro do núero anerior. ATENÇÃO: Esareos dando coninuidade à prooção do núero anerior. Para os leiores que nos enviare soluções correas, de pelo enos dois dos probleas proposos, esareos soreando e Abril de 006 alguns exeplares do livro: MOREIRA, C. e. alli. (orgs.) Olipíadas Brasileiras de Maeáica. 9 a. a 6 a. Probleas e resoluções. Rio de Janeiro: Publicação da Sociedade Brasileira de Maeáica, 003. A filosofia esá escria nesse grande livro - ou seja, o Universo - que se enconra abero coninuaene ane os nossos olhos, as ele não pode ser enendido a enos que se aprenda, prieiro, a ler sua linguage e inerprear as leras co as quais o copusera. Ele foi escrio no idioa da aeáica e seus síbolos são riângulos, círculos e ouras figuras geoéricas, se as quais é huanaene ipossível enender ua única palavra de seu exo. Galileu Galilei, Il Saggiaore (63)

236 Resoluções Dos Probleas Da Edição Núero 6. Mosre que as edianas de u riângulo divide a região que ele liia e seis regiões de áreas iguais. Resolução: Dado u riângulo ABC, chae AP, BQ e CR suas edianas e O o seu baricenro. Os riângulos OAR e ORB ê a esa área vaos chaá-la s pois ê respecivas bases e aluras iguais. Repeindo o eso argueno, eos que os riângulos OBP e OPC ê a esa área digaos s e, abé OCQ e OQA, cuja área cou vaos represenar por s 3. Agora, a área do riângulo ABP é a esa do riângulo RBC, pois abas são a eade da área do riângulo ABC; esa igualdade pode ser expressa coo s + s = s + s. Daí, eos que s = s. De odo ineiraene análogo, podeos osrar que s = s 3, o que coplea a deonsração.. Dados u ângulo AÔB e u pono P e seu inerior, consrua (co régua e copasso) u pono X sobre a sei-rea de orige O passando por A e u pono Y sobre a sei-rea de orige O passando por B, de odo que o pono P eseja enre X e Y e PX = PY. Jusifique a consrução. Resolução: Pelo pono P, race a rea paralela à sei-rea de orige O que passa por A e chae Q o pono onde ela inerseca a sei-rea de orige O que passa por B. Agora, oe Y na sei-rea de orige O que coné B de odo que Q eseja enre O e Y e OQ = QY. Por fi, race a rea por Y e P; o pono onde esa rea inerseca a sei-rea de orige O que passa por A é o pono X procurado. Para jusificar essa consrução, veja que o fao de Q esar enre O e Y acarrea que P esá enre X e Y e, alé disso, PX QO. PY QY 3. Dados u ângulo AÔB e u pono P e seu inerior, consrua u segeno XY, co X sobre a sei-rea de orige O passando por A e Y sobre a sei-rea de orige O passando por B, que conenha P, de odo que o riângulo OXY enha área ínia. Jusifique a consrução. Resolução: Consrua o segeno XY coo no problea de núero. Seja, agora, X u pono sobre a sei-rea de orige O passando por A e Y u pono sobre a seirea de orige O conendo B, de odo que P eseja enre X e Y, e X seja diferene de X (conseqüeneene, Y é diferene de Y). Vaos, a seguir, osrar que área(oxy) < área(ox Y ). Coo PX é diferene de PY, vaos adiir, se perda de generalidade, que PX > PY. Pelo pono X, race ua rea paralela à sei-rea de orige O passando por B e chae Z o pono onde esa rea inerseca o segeno de exreidades P e X. Pelo caso ângulo-lado-ângulo, os riângulos PYY e PXZ são congruenes e, porano, ê a esa área. Para concluir, veja que área(oxy) = área(opy ) + área(pyy ) + área(opx) = área(opy ) + área(pxz) + área(opx) < área(opy ) + área(pxz) + área(opx) + área(zxx ) = área(ox Y ).

237 4. Mosre que o polinôio x n x n- + 3x n nx + n + não e raízes reais. Resolução: Para x 0, p(x) = x n x n- + 3x n nx + n + >0, coo é fácil ver. Suponha, agora, x>0. Assi, veja que xp(x) + p(x) = x n+ x n + x n- - x n x + n +, o que acarrea n x (+ x)p(x) = x n. x Daí, concluíos que p(x) > 0, sepre que x > 0.

238 Probleas Proposos 5. É possível ebrulhar u cubo de aresa uilizando ua folha de papel quadrada 33? Jusifique sua resposa. 6. Se a, a,,a n são consanes reais, onde n é u ineiro posiivo, e a cos x a cos x an cos nx 0, x R, osre que a 0, para i =,,, n. i 7. É possível exrair da seqüência,,,, ua subseqüência cuja soa dos 4 8 eros seja? Jusifique sua resposa Seja a, b, c e d núeros reais posiivos. Deonsre a seguine desigualdade: a d b c ab cd.

239 FAMAT e Revisa Revisa Cienífica Elerônica da Faculdade de Maeáica - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG Evenos Núero 07 - Seebro de 006

240 Coiê Ediorial da Seção Evenos do Núero 07 da FAMAT EM REVISTA: Maria Luiza Maes (coordenador da seção) Marcos Anônio da Câara Márcio José Hora Danas

241 EVENTOS Gosaríaos de enfaizar aqui, A VI Seana da Maeáica, eveno a ser realizado nos dias de à 5 de dezebro. No próxio núero dareos os dealhes da realização dese eveno. VI Seana da Maeáica à 5//06 Inscrições: 6/ à 8/ Inforações: PET/ Maeáica e DAMAT Palesranes e Minisranes de Mini-Cursos Técnicos: ) Prof. Dr. Geovan Tavares PUC Rio de Janeiro RJ (Palesra e Maeáica Aplicada) ) Prof. Dr. Anônio José Manzao IBILCE UNESP (Palesra e Esaísica Aplicada) 3) Prof. Ms. Luís Márcio Pereira Ienes Auor de Livros Didáicos São Paulo SP (Palesra e educação e Maeáica) 4) Prof. Dr. Marcelo Viana IMPA Rio de Janeiro RJ (Palesra e Maeáica Pura) 5) Prof. Dr. Pedro Albero Morein IME USP São Paulo SP (Mini-curso écnico e Esaísica Aplicada) 6) Profª. Drª. Rosa Maria dos Sanos Barreiro Chaves IME USP São Paulo SP (Mini-curso écnico e Maeáica Pura) 7) Profª. Drª. Sandra Augusa Sanos IMECC UNICAMP Capinas - SP (Mini-curso écnico e Maeáica Aplicada) 8) Prof. Dr. Sérgio Apparecido Lorenzao FE UNICAMP Capinas SP (Mini-curso e educação e Maeáica) IV Enconro Mineiro de Educação e Maeáica 0,03 e 04//06 Inscrições: 0/08 à 0/0 Inforações: XXII Seana da Maeáica 5/09 á 9/09/06 Inscrições: A parir de 8/08/06 Inforações: XVIII Seana da Maeáica 4/0 à 7/0/06 Inforações: ª Seana da Maeáica 7/ à //06 Inscrições: 05 à 7/ Inforações:

242 III Seana da Maeáica da Universidade Federal Fluinense (Nierói RJ) 8 à //06 Inforações: III Bienal da Sociedade Brasileira da Maeáica 06 à 0//06 Inscrições: 5/09 à 5/0 Inforações: IV Enconro Inerno e X Seinário de Iniciação Cienífica 07 e 08//06 Inforações: 4ª SIICUSP Sipósio Inernacional de Iniciação Cienífica da Universidade de São Paulo - USP - 06, 07 e 08 de novebro de 006 Inforações: hp://

243 FAMAT e Revisa Revisa Cienífica Elerônica da Faculdade de Maeáica - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG Reflexões Sobre o Curso de Maeáica Núero 07 - Seebro de 006

244 Coiê Ediorial da Seção Reflexões sobre o Curso de Maeáica do Núero 07 da FAMAT EM REVISTA: Márcio José Hora Danas (coordenador da seção) Marcos Anônio da Câara Valdair Bonfi

245 Reflexões sobre o Curso de Maeáica Falando u pouco sobre o processo ensino-aprendizage. Não preendo nese arigo nenhu aprofundaeno nu ea que ceraene é ão coplexo coo o de ensinar, e alvez ais coplexo ainda e se raando do caso paricular de ensinar Maeáica. Quase udo o que falarei é sobre o ensino específico de Maeáica, as abé é verdade que grande pare se aplica ao ensino de ua fora geral. Gosaria inicialene de ranqüilizar o leior quano ao que escrevi acia e iálico. De fao, não que o ensino de Maeáica seja ais coplexo que o ensino das deais áreas do conhecieno, as si que ele esá ais coplexo por ua série de circunsâncias. Vou discorrer sobre alguas delas seguindo ais ou enos ua orde cronológica, que vai da infância aé a fase adula de ua pessoa. Ua desas circunsâncias infelizene já aparece no dia-a-dia da criança, às vezes no lar, anes eso desa adenrar os uros de ua escola. Traa-se do infeliz as cosueiro hábio da grande aioria dispensar à Maeáica adjeivos que, verdadeiraene, não lhe são próprios: difícil, chaa, ipossível de ser assiilada por pessoas norais, coisa de fanáicos, e por aí afora. Aé eso os coenários negaivos ais ingênuos sobre a Maeáica denro do lar são incorporados pelas crianças, que vão forando e sua ene aquilo que, para ela, deve ser a Maeáica: u verdadeiro onsro. Aé ua siples piada pode conribuir negaivaene, piorando o cenário. É óbvio que e se raando de piadas não deveos levá-las a sério, as o esrago é grande quando há pessoas, às vezes educadores, que aliena a propaganda negaiva. A íulo de ilusração cio o seguine exeplo, infelizene enconrado nu sie que se dedica a novas eodologias de ensino. O auor da proeza deve ficar ranqüilo, pois sei que a inenção foi apenas a de fornecer u oeno agradável ao leior do sie. Paricularene e rendeu boas gargalhadas, as e preocupa a reação de leiores desavisados que counga da idéia de que aeáica não serve para nada: ao ler al piada enconra u endosso para a sua ese. Ei-la. Dois hoens viaja nu balão e esão perdidos nua área desera e desolada. Lá pelas anas, voando e baixa aliude, avisa u indivíduo ediando à sobra de ua árvore, e aproveia para pergunar, aos grios: Onde esaos, por favor? Após algua reflexão, o hoe responde: - Nu balão. U dos balonisas reruca, irriado pela brilhane inforação: Obrigado, senhor aeáico! O hoe perguna, espanado: - Coo sabe que sou aeáico?, ao que o balonisa responde: por rês oivos. Prieiro porque o senhor pensou uio anes de responder. Segundo, porque sua resposa é precisa. Terceiro, porque ela não serve para nada! Repare que u aspeco iporane no processo de aprendizage da aeáica, qual seja, o ao de pensar basane, é colocado coo algo negaivo. Claro que ningué deveria deorar uio para dar ua resposa ão óbvia e desnecessária quano a dada pelo colega aeáico, as a piada ebue, nu cero senido, ua falsa iage de que qualidade eso é sepre dar ua resposa rápida. Oura coisa ais negaiva ainda é a falsa idéia de que, alé do fao de deorare para dar ua resposa, esa não e valor algu. Poder-se-ia dizer que, de fao, há aeáicos que se ocupa e desenvolver belas eorias, às vezes uio coplexas e abé uio disanes do alcance de parcela significaiva da população. Teorias que parece não fornecer, de iediao, nenhua aplicação práica. Enreano, não se pode desesiular o exercício do pensaeno aeáico pelo siples fao dele não ser copreendido pela aioria. De fao, a grande aioria da população desconhece os dealhes eóricos que faze u carro funcionar, as isso nunca foi, não é, e nunca

246 deverá ser oivo para desesiular pesquisas nesa área do conhecieno. O carro não deixa de ser úil à pessoa que não conhece o seu funcionaeno. Tapouco se deve desesiular o exercício do pensaeno aeáico pelo siples fao dele, via de regra, não render aplicações a curo prazo. A hisória já se encarregou de deonsrar isso. De fao, as anenas parabólicas herda ese noe por sere pedaços de superfície obidas pela roação de u pedaço de ua curva chaada parábola, e orno de seu eixo de sieria. As anenas parabólicas são assi consruídas por causa das propriedades refleoras da parábola, que perie por exeplo apliar os sinais recebidos de u saélie arificial, periindo a reprodução de ua iage nua ela de elevisão, ou enão redirecionar os raios luinosos eanados de ua lâpada posicionada adequadaene no farol de u carro, que para cuprir esa função é fabricado co forao parabólico. Observe que as anenas e os carros são invenções relaivaene recenes coparadas co a época e que as propriedades das parábolas, e ais geralene o esudo das cônicas, fora levadas a ero. Denre as cenenas de aeáicos que se dedicara ao esudo das cônicas, e que quase ceraene jaais vislubrara as fuuras aplicações das esas, cio apenas alguns: Hipócraes de Quios - 43 ac; Menecos, discípulo de Eudoxo, por vola de 350 ac; Euclides 300 ac; Apolônio de Perga, 5 ac, cujo rabalho é considerado de alíssia qualidade, as que não inha à época nenhu objeivo iediao. Apolônio esudava o assuno pela beleza inrínseca do eso. O resulado dos esudos de Apolônio viera a er suas prieiras aplicações be ais arde co os rabalhos de Kepler e Newon, quase 800 anos depois. Após breve divergência do assuno principal, voleos a coenar sobre ais alguas circunsâncias que faze do ensino de aeáica ua arefa coplexa. Alé daquilo que já foi coenado, ou seja, de que uia injusiça é feia à aeáica, ipuando-lhe adjeivos que iniida qualquer oral, há que se acrescenar que e geral nenhu esforço é epreendido pelos pais no senido de esiulare, e seus filhos, o desenvolvieno da capacidade de pensar aeaicaene. Não se raa de obrigá-los a esudar uias horas alé daquelas já habiuais e necessárias durane o dia. Iso pode er u efeio conrário. Traa-se de não desperdiçar oenos ricos que ocorre nauralene no quoidiano da criança. Deve-se aliar o úil ao agradável. Se é iporane para a criança as brincadeiras e as aividades lúdicas, porque não aproveiar eses oenos? É possível ensinar frações a ua criança enquano se coe ua bela pizza, fazendo-a enender que dois oiavos da pizza é equivalene a u quaro da esa, ou que quaro oiavos é equivalene à eade da pizza. Aé eso quando a criança brinca é possível esiular ese desenvolvieno. U parque de diversões pode ser de ua riqueza ipressionane, co várias oporunidades de se conexualizar, por exeplo, a geoeria euclidiana. Isso udo enquano se brinca no escorregador, na gangorra, no balanço. É u local onde a criança ou o adolescene pode coprovar a eficiência da aeáica que aprende na escola: seja fazendo ua edida indirea da alura do escorregador a parir da edida de sua sobra, usando-se seelhança de riângulos, ou enão especulando as razões pelas quais a sobra da roda-gigane projeada no chão não é ua circunferência. O Princípio de Cavalieri, ópico da geoeria espacial, pode ser explorado nauralene durane u inervalo de u jogo de baralho, pela siples anipulação de u one de caras dese baralho. O próprio baralho, ou ais geralene os jogos, e uio valor, pois as diferenes esraégias para a viória são u excelene exercício do pensaeno aeáico. Passeos à adolescência. Nesa fase, aé as copras nu shopping pode ser be exploradas, fazendo o jove pensar no que é elhor enre ua copra a visa ou ua copra a prazo. Ele deve ser esiulado a fazer coparações anes de oar decisões, e udo deve ser feio para que ele veja algua vanage pessoal concrea naquele exercício

247 enal. Incie-o a coparar preços de produos de aneira ineligene - ne sepre o produo ais barao é ais vanajoso, seja pela quanidade ou pela qualidade; incie-o a coparar volues de ebalagens, a decidir sobre rajeórias ais curas, enfi, a oar decisões sábias ediane u raciocínio aeáico. Muio esforço deve ser epreendido pelos professores no senido de osrar o poder e a beleza da aeáica. Se a beleza inrínseca da aeáica não arair a aenção do jove - e isso jaais deve ser considerado algo rui, pois é possível que eles veja beleza na úsica, nas ares, nos espores, e é óio que cada u desenvolva as suas habilidades naurais - deve-se pelo enos conduzir o ensino da aeáica de al fora a proporcionar-lhes ua visão de que u conhecieno básico, as sólido, da aeáica perie-lhes exercer de fora plena a sua cidadania. U cidadão não deve se deixar enganar quando for coprar u erreno de forao irregular. Deve esar ciene que o períero de u quadriláero não deerina a sua área, confore podeos coprovar no exeplo seguine. 96 eros 8 eros 60º eros eros eros Deve esar aeno de que a área de u erreno e declive não corresponde à área que efeivaene pode ser uilizada para a consrução de u ióvel, ua vez que, radicionalene e por quesões de segurança, consrói-se sobre errenos horizonalene planos. Tabé não é deasiado dizer que é ais conforável e ais práico ovienar-se nua casa co u piso horizonal. No desenho abaixo, por exeplo, a área aproveiável para consrução é a região reangular ABEF, que é enor do que a área da região reangular ABCD. Precisaene, AB. AE AB. AC.cos, e sendo 0 90º enão cos, de onde segue que AB. AE AB. AC. A B A B F D E C C D U cidadão deve saber calcular os juros que paga nua copra a prazo. Deve abé saber que juros coposos é be diferene de juros siples. Essa conscienização e preparação para a cidadania deve fazer pare da aula de aeáica. Para fazer iso, basa siular siuações na qual u indivíduo oa epresado u deerinado capial a juros siples, e oura na qual o eso capial é epresado a juros coposos. A enaiva de responder a pergunas do ipo - Qual o valor da dívida no prieiro ano e cada ipo de eprésio? E quano epo a dívida riplicará? -

248 nauralene levará aos ópicos das progressões ariéicas, progressões geoéricas, e das funções exponenciais e logaríicas. Ua abordage dese ipo valoriza o coneúdo ensinado. Do conrário, o aluno erá a níida ipressão de que eses coneúdos só aparece nos exaes escolares e no vesibular, e de que porano esas deve ser as únicas oivações para seu esudo. Quando iso ocorre é pior ainda, pois fica insalado o abiene propício para a eorização de fórulas e receiinhas. Que nunca ouviu o faoso paralelo co a Canção do Exílio, anigo poea de Gonçalves Dias publicado e 846 no livro Prieiros Canos, uilizado nos cursinhos preparaórios ao vesibular para que os alunos eorize ais facilene a idenidade rigonoérica sen( a b) sen( a).cos( b) sen( b).cos( a)? Coo os objeivos são iediaisas - a saber: passar de ano; passar no vesibular -, não se perde epo co deonsrações. Não quero dizer que não se pode usar esraégias para eorização e deerinadas siuações, principalene naquelas e que ceras fórulas ou idenidades são usadas co freqüência. Não é nada práico er que deonsrar algua coisa oda vez que ela se fizer necessária, as abé é inaceiável que os resulados não seja deonsrados pelo enos ua vez. Concordo que há siuações nas quais ua deonsração rigorosa de u resulado pode epregar éodos que foge oalene dos objeivos proposos, coo por exeplo ua deonsração rigorosa do Teorea Fundaenal da Álgebra. Pode-se deonsrá-lo rigorosaene co écnicas de variáveis coplexas, ou co opologia algébrica, por exeplo. Claro que jaais deveos enar ua deonsração rigorosa dese eorea no ensino édio, as eso nesse nível do ensino é possível uilizar alguns arguenos que orna ese eorea u resulado plausível, coo se pode ver e []. Não se raa de ua deonsração rigorosa, as são arguenos que convence. O aluno enconrará prazer ao enender ua deonsração, e sou prova disso auando na docência. Aliás, na inha opinião acho eses os oenos ais prazerosos no processo ensino-aprendizage, apesar das várias decepções que frequeneene vivencio. Para o aluno são oenos de descobera. Resuindo, não sou conra écnicas de eorização, as sou exreaene convico de que o ensino de aeáica jaais pode se reduzir nu conjuno de regrinhas. Nu abiene assi raciocina-se uio pouco. Os alunos, al insruídos alvez pelo professor ou pelo livro didáico, liia-se a aplicar de odo ecânico esas receias. Infelizene há ainda aqueles professores que ena classificar os probleas, co procedienos específicos para cada ipo. Coo se não fosse possível enunciar algo ineiraene fora da classificação dada. Repio: deve se esiular anes o raciocínio. Já que encionei os livros didáicos, aproveio para opinar que, e geral, ese pode se caracerizar e oura circunsância que orna coplexa a arefa de ensinar aeáica. Às vezes há enaivas forçadas de conexualização de coneúdos, co exeplos irreais, ou longe da realidade

249 dos alunos. Consegue-se u efeio conrário ao que realene se deseja, que é pôr e relevo a iporância da aeáica aravés das suas aplicações. Os livros didáicos e que proporcionar iniaene aquilo que o professor Elon Lia [] denoina as rês coponenes básicas sobre as quais deve apoiar o ensino da aeáica, que são a conceiuação, a anipulação e as aplicações. Claro que não basa os livros co esas caracerísicas: faz-se necessária a copleenação e inerediação indispensável de u professor be forado, junaene co o coproisso e o ineresse por pare do aluno. Enreano, ua boa foração docene não erina co os esudos e nível superior, co ua siples graduação, por exeplo. É necessário ua foração coninuada cursos de especialização, esrado, douorado, paricipação e congressos, paricipação e projeos que envolve a universidade e a escola básica, na busca de solução para os probleas relacionados ao ensino e aqui nos deparaos co oura circunsância coplicadora, ua vez que os professores da educação básica precisa dedicar-se inegralene à docência, às vezes e rês urnos, devido aos baixos salários dispensados a esa caegoria. Coo paricipar co aproveiaeno, porano, de prograas de foração coninuada sob siuações ão adversas? A elhoria que o país preende na área da educação não passa soene pela reforulação de currículos que esaos presenciando aualene, as dos invesienos nesa área. Enquano a França, co ua população be enor do que a nossa, eprega 7% de seu PIB na educação, o Brasil não chegou ainda a %. Vou agora expor ais alguns coplicadores, e eses se aplica ao ensino de u odo geral, e não especificaene ao da aeáica. Quero falar das dificuldades pariculares dos professores frene aos odernos sisea de ensino. De aneão já deixo claro que não esou a defender o odelo anigo, as apenas considerando dificuldades surgidas no novo. Vou expor de aneira basane resuida, e porano incoplea, aquilo que Zagury [3] discorre co basane propriedade no prieiro capíulo de seu livro Professor Refé. Alguns rechos serão era ranscrição do referido livro. Nos anigos siseas de ensino o conrole de ua sala de aula era ais fácil para o professor, pois o poder ficava odo concenrado nas suas ãos. O professor ensinava e o aluno enava aprender, de preferência be coporado no seu cano. O odelo anigo era auoriário, ipunha edo. Lebro de hisórias escabrosas conadas pelo eu pai a respeio de alguns de seus colegas que era subeidos a casigos e consrangienos por não ere, por exeplo, eorizado a abuada no epo deerinado pelo professor. Ajoelhar no ilho ou não paricipar do oeno de recreação era exeplos canônicos de punição daquela época. Ainda be que eses são epos idos. Já na escola oderna udo é passível de discussão, desde o coneúdo aé a eodologia e a fora de avaliação. A hierarquia de poder nesa sala de aula fica enos visível, e para alguns esudanes aé eso inexisene. E aqui reside u grave perigo, pois nese ipo de sala de aula os alunos, e

250 uias vezes seus responsáveis, se sene no direio de opinar ( deerinar? ) o que quere aprender, o que gosa e aé coo quere o que gosa. Não é por acaso que os professores se queixa das dificuldades de oivar, de er alunos ineressados. Torna-se arefa uio difícil conciliar gosos, proposas e objeivos os ais variados. Chegar ao consenso nua ura pode ornar-se ua arefa quase ipossível. Especialene quando boa pare dos alunos, uio ais ineressados e passar de ano (se possível co o enor esforço possível) do que realene aprender, oa consciência dessa possibilidade e a ransfora nu óio insrueno para o iediaiso que os caraceriza. Co al práica eses alunos se orna os aiores prejudicados, pois sae da escola se as habilidades e copeências esperadas. Salvadas as exceções, são eses os alunos que esaos recebendo na universidade: alunos víias de suas próprias escolhas. Aquilo que foi incorporado no oderno sisea de ensino coo ua possibilidade de aender aos gosos e às realidades de u deerinado grupo de alunos, foi ransforado nua aneira de abreviar cainhos e conornar dificuldades inconornáveis, inerenes ao processo de ensino e aprendizage. Aprender abé exige esforço do aluno, e não soene do professor. O professor não é ineiraene responsável pelo ao de ensinar. Ele, co sua experiência, criará condições favoráveis para que o aluno consiga aprender por si eso. Oura dificuldade enconrada pelo professor é o fao dele, quase sepre, ser responsabilizado pelo fracasso do aluno. Definiivaene não é verdade que co u bo professor os alunos aprende se fazer esforços, se fazer arefas ou aividades e casa, se concenração. É óbvio que o professor responsável deverá planejar be a sua aula, incorporar novas ecnologias de inforação e counicação, uilizar-se de oficinas quando for o caso, escolher probleas insiganes, oivadores e desafiadores, ser acessível ao aluno e sepre disponível às suas indagações. Tudo isso favorecerá a aprendizage, as jaais garanirá a esa, a não ser que o aluno se coproea co o seu esforço. Na inha opinião isso iplica na necessidade, por pare do aluno, de u planejaeno de esudos e ua rígida disciplina. É necessário esudos individuais, leiuras copleenares, esudos e reflexões e grupo. Há escolas que erra ao fazere os alunos e seus failiares acrediare que, co bons professores, o processo da aprendizage esará garanido coo que nu passe de ágica. Claro que esas escolas, e geral pariculares, faze iso para conquisar ais clienes. E geral há prejuízos quando a educação é encarada coo ercadoria. O pior são aquelas escolas que forja resulados arificiais para aprovar, indevidaene, u aluno se ério cujo pai é fiel pagador das ensalidades escolares. Qualquer gesor que pense soene do pono de visa epresarial cogiará nua possibilidade desas para não perder o bo cliene. Isso é concreo, pois ouvi relao seelhane de ua colega professora que já deu aulas e insiuição paricular de boa repuação. Mas passeos a oura circunsância

251 coplicadora, aponada por Zagury no livro já encionado. Co a inforação globalizada e deocraizada da aualidade, a sociedade oou ciência de alguns odernos conceios de educação, e aquilo que novaene poderia ser posiivo, passou a ser ais u problea. De fao, uios confunde o seu pequeno arsenal de inforações co o doínio pleno do saber, e a parir daí sene-se habiliadas a quesionar a pedagogia da escola. Não que iso não deve ser feio, pois há casos e que iso é aé eso necessário. O rui é que às vezes, conhecendo pouco sobre deerinada eoria educacional, ceros pais faze generalizações equivocadas, querendo propor coisas absurdas. E aquilo que poderia ser u quesionaeno legíio, assue a fora de confrono, uias vezes culinando e processos e deandas judiciais. Coiado do professor sério e copeene, que uias vezes se sene inseguro e aé eso aeaçado por pais e alunos, pela sociedade, e aé eso pelo próprio sisea inerno da escola, que requer resulados a odo cuso. Nu clia dese o professor orna-se, coo be percebeu Zagury, refé de odo u conexo, que o ané fragilizado e e peranene esresse: e edo de perder o eprego, e edo de ser conesado judicialene, e edo de não agradar, enfi, e edo de exercer plenaene a profissão que escolheu. Para finalizar ese arigo enciono que, quando as coisas não vão be, udanças se faze necessárias. Há alguns anos arás várias reuniões fora proovidas pelo Conselho Nacional de Educação para repensar os currículos dos cursos de foração de professores, e esas reuniões culinara co a elaboração das Direrizes Curriculares Nacionais para ais cursos. Seguindo esas direrizes a nossa faculdade de aeáica elaborou ua proposa de projeo pedagógico que conepla as aspirações de seus ebros. Aqueles espaços de desorde criaiva encionados pelo Prof. Paulo Cezar Pino Carvalho e [4] a ser pensado na escola básica para favorecer os processos de discussão, fora concreizados e nosso projeo pedagógico aravés dos PIPE s ( Projeos Inegrados de Práica Educaiva). Traa-se de u coponene curricular novo no qual a orde naural de ua sala de aula radicional ( co careiras voladas para a lousa ) é oalene abolida. E alguns casos, a sala coo u odo é abolida, pois as aividades acaba sendo não presenciais. Incorporando essas novidades, nosso projeo foi aprovado, as não anes de enfrenaros sérias dificuldades e conselhos superiores. Verdadeiros confronos. Por esa razão vou ranscrever algo que acho basane adequado para o oeno, principalene por não sere palavras inhas e ne de algu colega da nossa faculdade de aeáica, o que poderia denunciar u corporaiviso. São palavras de Tânia Zagury, professora da Faculdade de Educação da Universidade Federal do Rio de Janeiro, várias vezes ciada nese arigo: Se de fao quereos resolver probleas educacionais, eos que nos unir da necessária isenção inelecual, de ua rígida disposição de não prejulgar, de nada predeerinar. Precisaos er posuras ais

252 cieníficas, e, coo se faz e qualquer ciência, pedir (exigir?) dos que defende a adoção desa ou daquela edida que esclareça e que se baseia sua escolha e quais as edidas necessárias para sua efeivação na práica. Bibliografia [] Maeáica no Ensino Médio. Lia; Morgado; Wagner; Carvalho. Volue 3; Coleção do Professor de Maeáica. [] Maeáica e Ensino. Lia, Elon Lages. ª Edição. Coleção do Professor de Maeáica. Publicação SBM, 00. ISBN [3] Professor Refé Zagury, Tânia. Ediora RCB, ISBN: ; Edição: 006. [4] Fazer Maeáica e Usar Maeáica. Carvalho, Paulo Cezar Pino. Salo Para o Fuuro / TV Escola

253 FAMAT e Revisa Revisa Cienífica Elerônica da Faculdade de Maeáica - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG E Sala de Aula Núero 07 - Seebro de 006

254 Coiê Ediorial da Seção E Sala de Aula do Núero 07 da FAMAT EM REVISTA: Márcio José Hora Danas (coordenador da seção) Marcos Anônio da Câara

255 Índice de Trabalhos Meodologia de Resolução de Probleas no Ensino de Maeáica 56 Laís Bássae Rodrigues e Eugênio Anônio de Paula O Papel da Maeáica na Ópica 78 Mariana Raos Reis e Luiz Albero Duran Saloão

256 Meodologia de Resolução de Probleas no Ensino de Maeáica Laís Bássae Rodrigues Eugênio Anônio de Paula Faculdade de Maeáica - Faa Universidade Federal de Uberlândia - Ufu - MG Seebro de 006 Inrodução Ua grande descobera resolve u grande problea, as há sepre ua piada de descobera na resolução de qualquer problea. O problea pode ser odeso, as se ele desafiar a curiosidade e puser e jogo as faculdades invenivas, que o resolve por seus próprios eios, experienará a ensão e gozará o riunfo da descobera. (George Polya, A Are de Resolver Probleas, 994) A aeáica provoca as ais diversas reações enre adulos e crianças, enquano alguns se divere resolvendo probleas, ouros deonsra aversão ou incapacidade e relação à aeáica. O que para alguns é u problea, para ouros é u exercício e para alguns ouros ua disração. A dificuldade e relação à aprendizage da aeáica é, e pare, jusificada pela coplexidade desa área de conhecieno. É claro que o desineresse dos alunos abé é causa dessa dificuldade, ainda que a eodologia adoada pelo professor enha que ser considerada. Mas, o aluno assue a culpa quando diz que não enendo, não sou bo e aeáica, ou e dificuldades e conas e raciocínio aeáico. No enano, essa culpa abé pode ser dos professores cujo odelo de ensino érígido, anacrônico, orodoxo. Para copreender essas dificuldades evidenciadas pelos alunos ua das variáveis dessa dinâica coplexa é a eodologia usada pelo professor. É iporane que a aeáica desepenhe equilibrada e indissociavelene seu papel na foração das capacidades inelecuais na esruuração do pensaeno, na agilização do pensaeno deduivo do aluno, na sua aplicação a probleas da vida coidiana e aividades do undo, do rabalho e no apoio à consrução e ouras áreas curriculares. Para que a aprendizage da aeáica desepenhe esse papel, a resolução de probleas é u eio que o professor pode recorrer. No conexo da educação aeáica, u problea, ainda que siples, pode susciar o goso pelo rabalho enal se desafiar à curiosidade e proporcionar ao aluno o goso pela descobera de resolução. E ao enar resolvê-los adquirir criaividade, apriorar o raciocínio e apliar os seus conhecienos aeáicos. Guardadas as proporções, corrobora essa afiraiva o fao que fez co que Gauss decidisse se ornar o grande aeáico que conheceos, foi a sua descobera, aos 8 anos, de coo consruir u polígono regular de 7 lados, usando apenas régua e copasso. Ese rabalho foi desenvolvido coo Projeo Inegrado de Práica Educaiva - PIPE da disciplina O Ensino da Maeáica Aravés de Probleas do curso de Licenciaura e Maeáica. laisbassae@hoail.co eugenioap@ufu.br

257 A inenção da eodologia de resolução de probleas é irar o aluno de sua posura passiva, radicional, para ua posura aiva, ineressada. George Polya ( ) é u dos aeáicos do nosso século que considera a Maeáica coo ua ciência observacional na qual a observação e a analogia desepenha u papel fundaenal. Afira abé a seelhança do processo criaivo na Maeáica e nas ciências naurais. Explorar e aqui exaaene o senido noral da palavra: enrar e erreno desconhecido, recolher dados, deecar diferenças, ser sensível às repeições e às analogias, reconhecer regularidades e padrões - ou porvenura u senido ainda ais fore - invesigar, procurar enconrar, procurar descobrir. O espaço a explorar não é agora o Alânico, as, por exeplo, ua página cheia de núeros, Paulo Abranes. O desenvolvieno da Educação Maeáica, influenciou o surgieno de linhas de pesquisa, denre elas a da Resolução de Probleas. A Resolução de Probleas passou a ser invesigada coo capo de pesquisa e Educação Maeáica sob influência de Polya, nos Esados Unidos, nos anos 60 e, undialene, na década de 70 (Onuchic, 999). A Resolução de Probleas é indicada coo eodologia de ensino adequada para proporcionar ao aluno a oporunidade de pensar por si eso, consruir esraégias de resolução e arguenações, relacionar diferenes conhecienos e, enfi, perseverar na busca da solução de u problea. (Brasil, 00) Para Polya, resolver probleas era o ea ais iporane para se fazer aeáica, o ensinar o aluno a pensar era sua iporância prieira. U ea que fundaena a invesigação e a resolução de probleas e aeáica é coo pensar (Onuchic, 999, p.0). Problea versus Exercício Qual a diferença enre problea e exercício? Por que nos livros didáicos nos raze seções de exercícios e probleas separados para fixar ou aprender deerinado ópico da aéria? E Maheaical Discovery, Pólya afira que ua pessoa e u problea quando procura conscieneene cera ação apropriada para ober u objeivo claraene concebido, as não aingível de aneira iediaa. U problea aeáico é oda siuação requerendo a descobera de inforações aeáicas desconhecidas para a pessoa que ena resolvê-lo e/ou a invenção de ua deonsração de u resulado dado. Que o resolve pode aé conhecer o objeivo a ser aingido, as não conhece eios para concreizar sua ação. Nesse rabalho eos dois ipos de problea: Os probleas de deerinação e os probleas de deonsração. Traçareos u paralelo enre eses dois ipos de probleas. O objeivo de u problea de deerinação é enconrar cero objeo, a incógnia do problea. A incógnia é abé chaada de quaesiu, ou aquilo que se procura ou de que se necessia. Os probleas de deerinação pode ser eóricos ou práicos, absraos ou concreos, probleas sérios ou siples enigas. O objeivo de u problea de deonsração é osrar conclusivaene que cera afiraiva, claraene enunciada, é verdadeira, ou enão, que é falsa. Exercício é ua aividade de reinaeno de algua habilidade ou conhecieno aeáico, coo a aplicação de u algorio ou fórula já conhecida. Ou seja, o exercício é ua era aplicação de resulados eóricos, enquano o problea envolve, necessariaene, ua invenção significaiva. Por exeplo, considere coo resolvedor u aluno no final do Ensino Fundaenal (é iporane dizer o perfil do resolvedor, pois o que pode ser u problea para ua pessoa pode não ser para oura que enha ais conhecieno ou que já enha viso o problea anes): Exercício: resolver a equação x 3x+ = 0 (supõe-se que al aluno conheça a fórula de Bhaskara). Problea: provar a fórula de Bhaskara (supõe-se que al aluno nunca enha viso al deonsração, as conheça a fórula); aqui percebeos a iporância de definir o perfil do aluno, pois para o professor ese não seria u problea ua vez que provavelene ele já viu esa deonsração. Problea (ais difícil): descobrir, provando, ua fórula para resolver oda e qualquer equação algébrica do segundo grau (supõe-se que al aluno não conheça a fórula de Bhaskara). O problea é o eio pelo qual a aeáica se desenvolve. A qualidade de u problea esá relacionada co a quanidade de idéias novas que ele raz à aeáica e de quão ele é capaz de ipulsionar os diversos raos da aeáica. U óio problea aeáico é se dúvida o que hoje conheceos coo o Úlio Teorea de Fera. Se n =3, 4, 5,... osrar que não há x, y, z ineiros posiivos al que x n + y n = z n.

258 O enunciado é siples, poré fora necessários quase 400 anos para que Andrew Willes da Universidade de Princeon conseguisse deonsrá-lo. Willes perane ese: aqui esava u problea que eu, co dez anos de idade, podia copreender e soube a parir desse oeno que nunca ais o poderia ignorar. Tinha que o resolver.apesar de a uilidade desse resulado ser praicaene inexisene, as enaivas de deonsrá-lo produzira idéias produzira idéias e probleas que ferilizara inúeros capos da Maeáica coo a Teoria de Núeros e a Geoeria Algébrica. No caso de probleas relacionados à aprendizage de aeáica bons probleas são aqueles que e u enunciado acessível e de fácil copreensão, exercie o raciocínio aeáico do aluno, exija criaividade na resolução, sirva pra inrodução de ouros conceios ou idéias e não seja uio fácil, ne uio difícil e si ineressane. O ineresse pelo problea de que o resolve é essencial. O passo crucial do aeáico pode ser escolher o seu problea, ou aé eso, invená-lo. A heurísica de resolução de probleas A aividade heurísica, definida coo u esquea psíquico aravés do qual o hoe cria, elabora e descobre a resolução de u problea, é o eixo cenral dos esudos sobre coo pensaos, esabelecidos por Polya, e que fundaena a Resolução de Probleas, linha de pesquisa e Educação Maeáica. E aeáica a heurísica exise desde a Grécia aniga. Considerando as quesões que fundaena a linha de pesquisa Resolução de Probleas, vesígios de heurísica são enconrados e obras de Arquiedes, Pappus, Descares, Arnauld, Leibniz, Bolzano, Loria, ec. Heurísica, Heuréica ou ars inveniendi era o noe de cero rao de esudo, não be deliiado, perencene àlógica, à Filosofia ou à Psicologia, uias vezes delineado as raraene apresenado co dealhes, hoje praicaene esquecido. O objeivo da Heurísica é o esudo dos éodos e das regras da descobera e da invenção. Alguns indícios desse esudo pode ser enconrados e rabalho dos coenarisas de Euclides. A ese respeio, Pappus e ua passage paricularene ineressane. As ais faosas enaivas de siseaização da Heurísica deve-se a Descares e a Leibniz, abos grandes aeáicos e filósofos. Bernard Bolzano apresenou noável descrição porenorizada da Heurísica. (Polya, 994, p.86) Para explicar e discuir os processos heurísicos e os eleenos que dele faze pare eos u pequeno dicionário de heurísica. Nos probleas descrios na próxia seção uilizareos esses eleenos na resolução dos probleas: Para resolver probleas de qualquer naureza deveos seguir u Raciocínio Heurísico. Raciocínio heurísico é aquele que não se considera final e rigoroso, as apenas provisório e plausível, e que e por objeivo descobrir a solução do problea que se apresena. Soos uios vezes levados a usar o raciocínio heurísico. Tereos a absolua cereza quando chegaros à solução coplea, as frequeneene, anes de chegaros à cereza absolua, ereos de nos saisfazer co ua esiaiva ais ou enos plausível. É possível que preciseos do provisório anes de aingiros o final. Para chegaros a ua deonsração rigorosa, é necessário o raciocínio heurísico, assi coo andaies são necessários à consrução de u edifício. (Polya, 994, p.3) Para Polya o pensaeno aeáico não esá relacionado apenas co axioas, definições e deonsrações rigorosas, as abé co analogias, induções, conjecuras, relações, generalizações e ouros processos enais. Para isso vaos nos basear na Heurísica Moderna. Heurísica oderna procura copreender o processo solucionador de probleas, paricularene as operações enais, ípicas desse processo, que enha uilidade. Dispõe de várias fones de inforação, nenhua das quais deve ser desprezada. U esudo consciencioso da Heurísica deve levar e cona, ano as suas bases lógicas quano as psicológicas. Não deve esquecer aquilo que os auores anigos coo Pappus, Descares, Leibniz e Bolzano escrevera sobre o assuno, as uio enos pode desprezar a experiência iparcial. A experiência na resolução de probleas e a experiência na observação dessa aividade por pare de ouros deve consiuir a base e que se assena a Heurísica. Nese esudo, não deveos descurar de nenhu ipo de problea, e assi procurar aspecos couns na aneira de raar de probleas de oda sore: deveos considerar os aspecos gerais, independene do assuno específico do problea. O esudo da Heurísica e objeivos práicos : elhor conhecieno das ípicas operações

259 enais que se aplica à resolução de probleas pode exercer ua cera influência benéfica sobre o ensino, paricularene sobre o ensino da Maeáica. (Polya, 994, p.87) No processo de resolução de probleas a prieira dica é: Considere a incógnia. Ese é u velho conselho. Corresponde ao diado laino respice fine, iso é, olhe para o fi. Lebre-se do seu objeivo. Não esqueça de sua ea. Pense naquilo que deseja ober. Não perca de visa o que é necessário. Tenha e ene aquilo para que eseja a rabalhar. O processo se orna ais fácil se o aluno conhece u problea correlao: Conhece u problea correlao?, refere-se especificaene a resolução de probleas, as esá relacionado co o procedieno de esabelecer analogias, pois, ao procurar u problea que seja correlao ao que se preende resolver, e-se que buscar relações seelhanes enre eles. Mas o que é analogia? Analogia é ua espécie de seelhança. Objeos seelhanes coincide uns co os ouros e algu aspeco; objeos análogos coincide e ceras relações das suas respecivas pares. (Polya,994, p.9) Descares, apona que perceber a seelhança de relações enre os objeos é ua experiência fundaenal e priordial para a consrução do conhecieno. Dessa fora, segundo ele, cada u pode ver por inuição inelecual que exise, que pensa, que u riângulo é liiado soene por rês linhas, u corpo esférico por ua só superfície, e ouros faos seelhanes que são uio ais nuerosos do que a aioria observa, e conseqüência do desdé que experiena e volar as sua ineligências para coisas ão fáceis. (Descares, 908, p.4-5 Trad.A.) Polya, do eso odo que Descares, considera que a analogia, ainda que e diferenes níveis, éu princípio essencial que pode levar à descobera da resolução de u problea. A analogia pereia odo o nosso pensaeno, a nossa fala coidiana e as nossas conclusões riviais, assi coo os odos de expressão arísica e as ais elevadas conclusões cieníficas. Ela é epregada nos ais diferenes níveis. É cou o uso de analogias vagas, incopleas ou obscuras, poré a analogia pode alcançar-se ao nível do rigor aeáico. Todos os ipos de analogia pode desepenhar ua função na descobera da solução e, por isso, não deveos desprezar nenhu deles. (Polya, 994,p.9) E sieria? Sieria e dois significados: u, ais cou, paricular, geoérico; ouro, enos cou, genérico. lógico. Se o problea for siérico e algu aspeco, podeos irar vanage da observação das duas pares inercabiáveis e uias vezes copensa raar da esa aneira as pares que desepenha a esa função. Mas pra isso deveos anes equacionar o problea. Equacionaeno é coo raduzir de ua língua para oura. Esa coparação, usada por Newon na sua Ariheica Universalis, pode conribuir para esclarecer a naureza de ceras dificuldades uias vezes enconradas, ano por esudanes coo por professores. E, se possível, uilizar ua figura. O funcionaeno heurísico de ua figura. O papel inuiivo e heurísico que as figuras ê na represenação geoérica é ua opinião couene adiida, iso porque as figuras perie analisar ua siuação e conjuno, são u eio ais direo para explorar os diferenes aspecos, anecipar os resulados e selecionar ua solução para o problea (DUVAL, 995) O uso de figuras coo ferraena heurísica, be coo para auxiliar na visualização, copreensão e resolução de probleas aeáicos, consiui-se coo u fore aliado para a educação aeáica. Ora, ua análise rápida pela hisória e podeos enconrar anos ouros exeplos do uso da operação de reconfiguração coo possibilidade heurísica para a resolução de probleas. Leonardo da Vinci e suas resoluções aeáicas é u denre anos. Ele desenvolveu esudos sobre as proporções geoéricas, ano da geoeria plana coo da geoeria dos sólidos ridiensionais,

260 esabelecendo a equivalência enre as áreas de figuras reilíneas e curvas, o que chaou de Scienza de equiparania. A figura abaixo é u exeplo diso. Ele fez a consrução de ua figura geoérica curvilínea endo a esa área que ua figura reilínea dada, ou vice-versa, quer dizer, a equivalência enre u riângulo reilíneo e u riângulo curvilíneo. Ainda, no vaso capo da hisória, observa-se que no Papiro de Ahes ou Rhind (650 a.c.) a solução apresenada para o Problea 5 - Qual éaárea de u riângulo de lado 0 je e base 4 je? - osra o uso da figura para a resolução do problea que se pode considerar coo sendo ua reconfiguração.

261 Segundo BOYER (974), Ahes jusifica seu éodo para achar a área sugerindo que o riângulo isósceles pode ser pensado coo dois riângulos reângulos, u dos quais pode ser deslocado de odo que os dois junos fora u reângulo. (p.3). Pensar o caso da reconfiguração de figuras geoéricas planas no ensino de aeáica coo possibilidade heurísica na resolução de probleas aeáicos, significa razer para a educação do aluno novas foras de resolução para ua esa aividade aeáica. Isso quer dizer que, por exeplo, ao invés do aluno resolver seus exercícios de cálculo de área usando soene o procedieno de fórulas, ele erá alernaiva de solução, ou seja, a busca heurísica na própria figura. Isso significa abé, possibiliar ao aluno ua desenvolura ano nas suas foras de pensar coo na sua fora de olhar e, alé de udo, de raciocinar. A operação de reconfiguração é iporane já que é a práica dos ovienos realizados nua figura que perie seu desaque heurísico. Alé disso, habilidades ais coo visualizar ua figura e diferenes posições, prever conseqüências da aplicação de deerinados ovienos sobre figuras geoéricas, raar de diferenes foras as inforações visuais, pode ser desenvolvidas ediane a aprendizage desa operação figural. Não podeos esquecer que er a inuição é u aspeco uio iporane nesse processo. Para ser u bo aeáico, ou u bo jogador, ou bo no que quer que seja, deveos. Co o propósio de er ua boa inuição, parece-e, que você deveria coeçar sendo, nauralene, sagaz. Ainda que ser sagaz não é o basane. Você deveria exainar suas inuições, copará-las co os objeivos, odificá-las se for necessário, e assi adquirir ua exensa (e inensa) experiência das inuições que fracassa e as que chega a ser ceras. Co al experiência coo base você será uio ais capaz de julgar copeeneene quais inuições ê a oporunidade de se ornare correas e quais não. (Polya, 973a, p.-) A lógica e a inuição ê cada ua seu papel necessário. Abas são indispensáveis. A lógica, a única que pode dar a cereza, é o insrueno da deonsração: a inuição é o insrueno da invenção. (Poincaré, O Valor da Ciência, 905.) A Heurísica raa do coporaeno huano e face de probleas. É de presuir que iso venha ocorrendo desde os priórdios da sociedade huana e a quinessência de anigas observações a respeio parece er sido preservada na sabedoria dos provérbios. (Polya, 994, p.88) As quaro fases Procurando organizar u pouco o processo de resolução de probleas, Pólya o dividiu e quaro fases: a fase: Copreensão do problea O prieiro passo é enender o problea. Aqui é iporane fazer pergunas. Qual é a incógnia? Quais são os dados? Qual é a condicionane? Trace ua figura. Adoe ua noação adequada. a fase: Esabelecieno de u plano