Representação de Curvas e Superfícies

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1 Represenação de Curvas e Superfícies Siseas ráficos/ Copuação ráfica e Inerfaces SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4

2 Represenação de Curvas e Superfícies Represenação de superfícies: perie descrever objecos aravés das suas faces As rês represenações ais couns são: alha polional Superfícies paraéricas bicúbicas Superfícies quadráicas Represenação paraéricas de curvas: iporanes na copuação ráfica D e pelo faco das superfícies paraéricas sere ua eneralização desas curvas ea-po odelado por superfícies curvas suaves (bicúbicas) odelo de referência na Copuação ráfica, noeadaene para ese de novas écnicas de realiso de exura e superfície Criado por arin Newel (975) SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4

3 alha olional alha olional: é ua colecção de aresas, vérices e políonos inerliados de odo que cada aresa é apenas parilhado no áxio por dois políonos Objeco D represenado por alha de políonos SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 Curva linha polional Secção de u objeco curvo O erro de aproxiação pode ser reduzindo auenando o núero de políonos

4 alha olional Caracerísicas da alha polional: Ua aresa lia vérices U políono é definido por ua sequência fechada de aresas Ua aresa é parilhada por ou políonos adjacenes U vérice é parilhado pelo enos por aresas odas as aresas faze pare de alu políono A esruura de dados para represenar a alha polional pode er várias confiurações, que são avaliadas pelo espaço de eória e epo de processaeno necessário para ober resposa, por exeplo, a: Ober odas as aresas que se une nu dado vérice Deerinar os políonos que parilha ua aresa ou u vérice Deerinar os vérices liados a ua aresa Deerinar as aresas de u políono Represenar raficaene a alha Idenificar erros na represenação, coo fala de ua aresa, vérice ou políono SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 4

5 alha olional Represenação Explicia: cada políono é represenado por ua lisa de coordenadas dos vérices que o consiue Ua aresa é definida por dois vérices consecuivos e enre o úlio e prieiro da lisa ((x,y,z),(x,y,z),, (xn,yn,zn)) (x,y,z) (x,y,z) Avaliação da esruura de dados: Consuo de eória (vérices repeidos) Não há ua represenação explicia das aresas e vérices parilhados Na represenação ráfica a esa aresa é clipped e desenhada ais do que ua vez Ao arrasar u vérice é necessário conhecer odas as aresas que parilha aquele vérice (x,y,z) x 4x (x4,y4,z4) SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 5

6 alha olional Represenação por Aponadores para Lisa de Vérices: cada políono é represenado por ua lisa de índices (ou aponadores) para ua lisa de vérices Lisa de Vérices V((x,y,z),(x,y,z),, (xn,yn,zn)) V(V,V,V,V4)(x,y,z),(x,y,z),, (x4,y4,z4)) (,,4) (4,,) Vanaens: Cada vérice da alha polional é uardado ua única vez na eória A coordenada de u vérice é facilene alerada Desvanaens: Difícil ober os políonos que parilha ua dada aresa As aresas coninua a ser clipped e desenhada ais do que ua vez SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 6

7 alha olional Represenação por Aponadores para Lisa de Aresas: cada políono é represenado por ua lisa de aponadores para ua lisa de aresas, na qual cada aresa aparece ua única vez or sua vez, cada aresa apona para os dois vérices que a define e uarda abé quais os políonos a que perence U políono é represenado por (E,E,,En) e ua aresa coo E(V,V,,) Se a aresa perence apenas a u políono enão é null SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 7

8 Vanaens: alha olional O desenho ráfico é facilene obido percorrendo a lisa de aresas Não ocorre a repeição de clippin ne de desenho ara o preenchieno (colorir) dos políonos rabalha-se co a lisa de políonos Fácil efecuar a operação de clippin sobre os políonos Desvanaens: Coninua a não ser iediao deerinar quais as aresas que incide sobre o eso vérice Solução de Bauar Cada vérice e u aponador para ua das aresas (aleaório) que incide nesse vérice Cada aresa apresena aponadores para as aresas que incide nu vérice SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 8

9 Curvas Cúbicas oivação: Represenar curvas suaves do undo real A represenação por alha polional é ua aproxiação de prieira orde: A curva é aproxiada por ua sequência de seenos lineares rande quanidade de dados (vérices) para ober a curva co precisão Difícil anipulação para udar a fora da curva, ie necessário posicionar vários ponos co precisão eralene uiliza-se polinóios de rau (Curvas Cúbicas), sendo a curva coplea forada por u conjuno de curvas cúbicas rau < oferece pequena flexibilidade no conrolo da fora das curvas e não perie ua inerpolação enre dois ponos co a definição da derivada nos ponos exreos U polinóio de rau é especificado por ponos que define o plano onde a curva oa luar rau > pode inroduzir oscilações indesejáveis e exiir aior cálculo copuacional SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 9

10 Curvas Cúbicas A represenação das curvas é feia na fora ARAÉRICA: x f x (), y f y () ex: x + y + A fora Explicia: yf(x) ex: yx +x Não podeos er vários valores de y para o eso x Não podeos descrever curvas co anenes vericais A fora Iplícia: f(x,y) ex: x +y -r Necessia de resrições para poder odelar apenas ua pare da curva Difícil junar duas curvas de fora suave SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4

11 Curvas Cúbicas araéricas A fiura osra ua curva forada por duas curvas cúbicas paraéricas e D SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4

12 Curvas Cúbicas araéricas Fora eral de represenação da curva: x()a x +b x +c x +d x y()a y +b y +c y +d y z()a z +b z +c z +d z Sendo: [ ] C a b c d x x x x a b c d y y y y a b c d z z z z [ x( ) y( ) z( ) ] C Q ( ) SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4

13 Curvas Cúbicas araéricas A represenação anerior é usada para represenar ua única curva Coo junar os vários seenos de curva? reendeos a junção nu pono coninuidade eoérica e, Que enha o eso declive na junção suavidade (coninuidade da derivada) A arania de coninuidade e suavidade na junção é aranida fazendo coincidir as derivadas (anenes) das curvas no pono de junção ara isso calcula-se: Q( ) x( ) y( ) z( ) ( C ) C Co: [ ] SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4

14 Curvas Cúbicas araéricas ipos de Coninuidade: coninuidade eoérica zero as curvas juna-se nu pono coninuidade eoérica u a direcção dos vecores anenes é iual C coninuidade paraérica as anenes no pono de junção ê a esa direcção e apliude (prieira derivada iual) C n coninuidade paraérica n as curvas ê no pono de junção odas as derivadas iuais aé à orde n SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 4

15 Curvas Cúbicas araéricas Se consideraros coo epo, a coninuidade C sinifica que a velocidade de u objeco que se desloque ao lono da curva se ané conínua A coninuidade C iplicaria que a aceleração seria abé conínua No pono de junção da curva S co as curvas C, C e C eos: Coninuidade enre S e C Coninuidade C enre S e C Coninuidade C enre S e C SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 5

16 Curvas Cúbicas araéricas A coninuidade paraérica é ais resriiva que a coninuidade eoérica: or exeplo: C iplica No pono de junção eos: Q e Q são co Q Só Q é C co Q (V V ) SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 6

17 Curvas Cúbicas araéricas ipos de Curvas Curvas de erie Coninuidade nos ponos de junção Vecor eoérico: ponos exreos e Os vecores anenes nesses ponos 4 R 4 Curvas de Bézier Coninuidade nos ponos de junção Vecor eoérico: ponos exreos e ponos que conrola os vecores anenes nesses exreos R 4 Curvas Splines Faília de curvas uio alarada aior conrolo da coninuidade nos ponos de junção (Coninuidade C e C ) SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 7

18 [ x( ) y( ) z( ) ] C Q ( ) Noação cou Q ( ) [ ] ariz ariz de Base ariz eoérica ariz de Base: Caraceriza o ipo de curva ariz eoérica: Condiciona eoericaene ua dada curva e coné valores relacionados co a eoeria da curva SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 8

19 Q ( ) Q( ) [ ] Noação cou Q( ) ( ( ) ) + ( + ( ) ) 4 + Conclusão : Q() é ua soa pesada dos eleenos do vecor eoérico Conclusão : Os pesos são polinoiais cúbicas e FUNÇÕES DE ISURA (Blendin funcions) Q ( ) C B SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 9

20 SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 Curvas de erie [ ] B Q ) ( [ ] Q ) ( ' Vecor eoérico: 4 4 R R [ ] ) ( Q [ ] 4 ) ( Q [ ] () ' R Q [ ] 4 () ' R Q R R 4 4

21 SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 Curvas de erie Funções de isura (Blendin funcions) Q() ( - +) + (- + ) 4 + ( - +)R + ( - )R 4 [ ] B Q ) ( 4 4 R R Funções de isura das curvas de erie, referenciadas pelo eleeno do vecor eoérico que as uliplica, respecivaene

22 Curvas de erie - Exeplo Esquerda: Funções de isura pesadas pelo facor correspondene do vecor eoérico Cenro: y() soa das quaro funções da esquerda Direia: Curva de erie SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4

23 Curvas de erie - Exeplos - e 4 fixos - R 4 fixo - R varia e apliude - e 4 fixos - R 4 fixo - R varia e direcção SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4

24 Curvas de erie Exeplo de Desenho Ineracivo Os ponos exreos pode ser reposicionados Os vecores anenes pode ser alerados puxando as seas Os vecores anenes são forçados a sere colineares (coninuidade ) e R 4 é visualizado e senido conrário (aior visibilidade) É cou dispor de coandos para forçar coninuidade, ou C Coninuidade na junção: 4 R R4 4 7 K R R7 4 K > K C SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 4

25 Curvas de erie SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 5

26 SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 6 Curvas de Bézier Vecor eoérico: 4 4 B ara ua esa curva, deonsra-se que, coparando co : R Q () ( - ) R 4 Q () ( 4 ) R R B B

27 Curvas de Bézier Q( ) ( B B ) ( B ) B A esa curva e represenação Bézier: Q() B B B B Q() (-) + (-) + (-) SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 7

28 Curvas de Bézier Q() (-) + (-) + (-) + 4 Observações sobre as funções de isura: - ara Q(), para Q() 4 A curva passa e e 4 - A soa e qualquer pono é - Verifica-se que Q() é ua édia pesada dos 4 ponos de conrolo, loo a curva esá conida no inerior do políono convexo (D) ou poliedro convexo (D) definido por esses ponos, desinado de convex hull Que vanae podeos exrair daqui? SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 8

29 Curvas de Bézier Junção de curvas de Bézier Coninuidade : 4 K( 5 4 ) co K > ie, 4 e 5 deve ser colineares Coninuidade C : 4 K( 5 4 ) resrinindo K SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 9

30 Desenho de Curvas Cúbicas Dois alorios: Avaliação de x(), y() e z() para valores increenais de enre e Subdivisão da curva: Alorio de Caseljau Avaliação de x(), y() e z() Rera de orner perie reduzir o núero de operações de uliplicações e adições para 9 e, respecivaene f() a + b + c + d ((a + b) + c) + d Alorio de Caseljau Efecua a subdivisão recursiva da curva, parando apenas quando a curva e quesão é suficieneene plana para poder ser aproxiada por u seeno de reca Alorio eficiene: requer apenas 6 shifs e 6 adições e cada divisão SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4

31 Desenho de Curvas Cúbicas - Alorio de Caseljau Criérios possíveis de parae: - A curva e quesão é suficieneene plana para poder ser aproxiada por u seeno de reca - Os 4 ponos de conrolo esão no eso pixel L ( + )/, ( + )/, L (L +)/, R ( + 4 )/ R (+R )/, L 4 R (L + R )/ SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4

32 Desenho de Curvas Cúbicas Alorio de Caleljau void DrawCurveRecSub(curve,ε) { if (Sraih(curve,ε)) DrawLine(curve); else { SubdivideCurve(curve, lefcurve, rihcurve); DrawCurveRecSub(lefCurve, ε); DrawCurveRecSub(rihCurve, ε); } } SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4

33 Exercício SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4

34 Superfícies Cúbicas As superfícies cúbicas são ua eneralização das curvas cúbicas A equação da superfície é obida a parir da equação da curva: Q(), sendo consane udar para a variável s: Q(s) S Fazendo variar os ponos do vecor eoérico e D ao lono de u percurso paraerizado por obé-se: Q( s, ) ( ) ( ) S ( ) S ( ) 4 ( ) A ariz eoérica é coposa por 6 ponos SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 4

35 SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 5 Superfície de erie ara a coordenada x: x x R R S S s x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( 4 4 x x 4 ) ( x x 4 4 ) ( x x R 4 ) ( x x R ) ( x x R R ) ( ) ( ) ( ) ( Conclui-se que: x S s x ), ( x

36 Superfície de erie SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 6

37 Superfície de Bézier As equações para a superfície de Bézier pode ser obidas da esa fora que as de erie, resulando: x ( s, ) S B B Bx By B y ( s, ) S B Bz B z ( s, ) S B A ariz eoérica e 6 ponos de conrolo SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 7

38 Coninuidade C e é obida fazendo coincidir os quaro ponos de conrolo de froneira: 4, 4, 4, 44 Superfície de Bézier ara ober deve ser colineares:, 4 e 5, 4 e 5, 4 e 5 4, 44 e 45 e ( 4 - ) / ( 5-4 ) K ( 4 - ) / ( 5 4 ) K ( 4 - ) / ( 5 4 ) K ( 44-4 ) / ( ) K SISEAS RÁFICOS JB/AAS 4 8