TESE DE DOUTORADO. Autora. Márcia Suely Corrêa Vilela INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

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1 TESE DE DOUTORADO METODOLOGIA PARA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO POTENCIAL EM TORNO DE CORPOS DE GEOMETRIA ARBITRÁRIA UTILIZANDO O MÉTODO DE QUADRATURA DIFERENCIAL LOCAL COM FUNÇÕES DE BASE RADIAL Autra Márcia Suely Crrêa Vilela INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Itajubá, dezembr de 2017 Minas Gerais Brasil

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA TESE DE DOUTORADO METODOLOGIA PARA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO POTENCIAL EM TORNO DE CORPOS DE GEOMETRIA ARBITRÁRIA UTILIZANDO O MÉTODO DE QUADRATURA DIFERENCIAL LOCAL COM FUNÇÕES DE BASE RADIAL Autra: Márcia Suely Crrêa Vilela Orientadr: Waldir de Oliveira Curs: Dutrad em Engenharia Mecânica Área de Cncentraçã: Térmica, Fluids e Máquinas de Flux Tese submetida a Prgrama de Pós-Graduaçã em Engenharia Mecânica cm parte ds requisits para btençã d Títul de Dutra em Engenharia Mecânica. Itajubá, dezembr de 2017 Minas Gerais - Brasil

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA TESE DE DOUTORADO METODOLOGIA PARA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO POTENCIAL EM TORNO DE CORPOS DE GEOMETRIA ARBITRÁRIA UTILIZANDO O MÉTODO DE QUADRATURA DIFERENCIAL LOCAL COM FUNÇÕES DE BASE RADIAL Autra Márcia Suely Crrêa Vilela Banca Examinadra: Dr. Marcel Assat Dr. Luís Guilherme Cunha Sants Prf. Dr. Nelsn Manzanares Filh Prf. Dr. Ramir Gustav Ramirez Camach Prf. Dr. Genési Jsé Menn Prf. Dr. Waldir de Oliveira APA/DCTA CEPETRO/UNICAMP IEM/UNIFEI IEM/UNIFEI IEM/UNIFEI IEM/UNIFEI

4 Dedicatória As meus pais, Juber e Vera (in memrian), à minha filha, Bruna...

5 Agradeciments A minha mãe, fnte de genersidade, cuj caminh de retidã me guiu até aqui. A meu pai, pelas palavras de cragem e pels sábis cnselhs. As dis, minha eterna saudade. Às minhas irmãs, Rita e Patrícia, que sempre me mtivaram, agradeç pr entenderem as minhas faltas e afastaments. A minha filha Bruna, amr mair. Pela luz, pr tants srriss e bas lucuras cmpartilhadas. Pssa eu ser sempre mtiv de seu rgulh. A Rômul, querid cmpanheir de jrnadas, pela sincera amizade e frequentes palavras de incentiv. Muit especialmente, agradeç a meu rientadr Prf. Dr. Waldir de Oliveira, pela amizade, dispnibilidade, paciência, dedicaçã e prfissinalism... um Muit Obrigada. À sua família, pela atençã e carinh sempre dispensads a mim. As meus amigs, em especial, Francislei, Isac, Eli, Wellyngthn, Talita e Vanessa, pel api e alegrias cmpartilhadas. A tds s prfessres d Prgrama de Pós-Graduaçã em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Itajubá, que me receberam cm tanta atençã e dispnibilidade. As funcináris d Institut de Engenharia Mecânica e da Pró-reitria de Pós-graduaçã da Universidade Federal de Itajubá, sempre prestativs e educads.

6 "Sua aprendizagem só terá valr na medida em que vcê tiver prazer nela. A chegada a pnt nde recmeçar e se superar cnstantemente trna-se, entã, uma dança." Alan Watts

7 Resum Neste trabalh, Métd de Quadratura Diferencial Lcal cm Funções de Base Radial (MQDL-FBR) é aplicad para simular escament ptencial e bidimensinal em trn de crps de gemetria arbitrária. Sã utilizadas duas funções de base radial, a saber, a multiquádrica e a Thin-Plate Spline Mdificada. Para a aplicaçã d métd, sã geradas malhas tip "O" utilizand métd diferencial elíptic, das quais sã utilizads s pnts de interseçã cm nós de referência. A partir de um prgrama desenvlvid utilizand sftware MATLAB e através de simulações numéricas, primeiramente é avaliada a influência ds parâmetrs envlvids na geraçã da malha. A partir d mapeament d dmíni físic irregular para dmíni cmputacinal regular, a equaçã gvernante é transfrmada para plan cmputacinal e discretizada utilizand MQDL-FBR. Sã apresentads s resultads para as linhas de crrente e distribuiçã d ceficiente de pressã para escament ptencial e bidimensinal em trn de um cilindr, de elipses, de aerfólis Jukwski simétrics e d aerfóli NACA Para validaçã d prgrama desenvlvid, a partir das sluções exatas para s ceficientes de pressã nas superfícies d cilindr, das elipses e ds aerfólis Jukwski, sã analisads s Errs Médis Quadrátics () para s resultads numérics btids. É avaliada a cntribuiçã d parâmetr de frma das funções de base radial e d númer de pnts da malha ns resultads btids para. Para escament em trn d aerfóli NACA 0012 sã btidas as linhas de crrente e a distribuiçã d ceficiente de pressã para diverss ânguls de ataque. Os resultads btids, quand utilizadas as duas FBRs, sã satisfatóris, send cnfrntads cm resultads dispníveis na literatura, btids pel métd ds painéis. Palavras-chave: Métd de Quadratura Diferencial Lcal cm Funções de Base Radial, Funções de Base Radial, Geraçã de Malha, Escament Ptencial, Dinâmica ds Fluids, Aerfólis.

8 Abstract In this wrk, the Lcal Radial Basis Functin-Based Differential Quadrature Methd (RBF-DQ) is applied t simulate the ptential tw-dimensinal flw arund arbitrary gemetry bdies. The tw radial basis functins used are the Multiquadric and the Thin- Plate Spline Mdified. In rder t apply the methd, a mesh type O is generated by using the elliptical differential methd, frm which the intersectin pints are used as a reference nde. Frm a prgram develped by a MATLAB sftware and als thrugh numeric simulatins, the influence f the invlved parameters n the mesh generatin is evaluated. Frm the mapping ver the irregular physical dmain t the regular cmputatinal dmain, the gverning equatin is cnverted t the cmputatinal plane and discretized by using the RBF-DQ. The results fr the stream functin cnturs and the distributin f the pressure cefficient fr the tw-dimensinal ptential flw arund a cylinder, f the ellipse, symmetrical Jukwski airfils and the NACA 0012 are presented in this wrk. As fr the ellipses and airfils, the results fr different attack angles are presented. In rder t validate the develped prgram, frm the exact slutins fr the pressure cefficients n a cylinder s surface, f the ellipses and the Jukwski airfil, the mean quadric errrs (MQE) are analysed fr the btained results. The cntributin f the shape parameter f the radial basis functins and the number f mesh pints in the results btained fr the MQE is evaluated. The stream functin cnturs and the distributin f the pressure cefficient fr diverse attack angles are btained fr the flw arund NACA 0012 airfil. The btained results, when using bth radial basis functins, are apprpriate, up t be cnfrnted with available results in the literature, btained thrugh the panel methd. Keywrds: Lcal Radial Basis Functin-Based Differential Quadrature Methd, Radial Basis Functin, Mesh Generatin, Ptential Flw, Fluid Dynamics, Airfils.

9 Sumári Lista de Figuras Lista de Tabelas Lista de Símbls Lista de Abreviaturas v xv xix xxiii 1 Intrduçã Justificativa Revisã de Literatura Escament Ptencial em Trn de Crps de Gemetria Arbitrária O Métd de Quadratura Diferencial Lcal cm Funções de Base Radial (MQDL-FBR) Objetivs d Trabalh Delineament d Trabalh A Malha Cmputacinal Algumas Cnsiderações Frmulaçã Matemática para a Geraçã da Malha Sluçã Numérica das Equações de Transfrmaçã Avaliaçã da Influência ds Parâmetrs Envlvids Na Geraçã da Malha Influência ds Valres das Funções de Cntrle

10 Sumári ii Influência da Cndiçã de Ortgnalidade Influência d Númer de Pnts Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de Crps de Gemetria Arbitrária Funções de Base Radial Interplaçã cm Funções de Base Radial A Sluçã de Equações Diferenciais Parciais Utilizand Funções de Base Radial O Métd de Quadratura Diferencial Lcal cm Funções de Base Radial (MQDL-FBR) Cnsiderações Físicas e Frmulaçã Matemática para Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de Crps de Gemetria Arbitrária Aplicaçã d MQDL-FBR n Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de Crps de Gemetria Arbitrária Superpsiçã de Sluções A Cndiçã de Kutta Cálcul das Velcidades Cálcul d Ceficiente de Pressã Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR n Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de Crps de Gemetria Arbitrária Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de um Cilindr Circular Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de uma Elipse Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de um Aerfóli Jukwski

11 Sumári iii Testes cm a FBR Multiquádrica para Aerfóli Jukwski Simétric e Arredndad Testes cm a FBR TPS Multiquádrica para Aerfóli Jukwski Simétric e Afilad Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de um Aerfóli NACA A Equaçã da Espessura de Perfis NACA de 4 Dígits Tabelas de Cnslidaçã ds Resultads Obtids a Utilizar a FBR Multiquádrica Cnclusões e Sugestões Cnclusões Sbre a Geraçã da Malha Sbre a Aplicaçã d MQDL-FBR Sugestões para Trabalhs Futurs A Fluxgrama da Geraçã de Malha 133 B Fluxgrama d Prgrama Principal 135 C Derivadas das FBRs Multiquádrica e TPS Mdificada 138 C.1 FBR Multiquádrica C.2 FBR TPS Mdificada D Cmprtament da FBR TPS Mdificada e Resultads Obtids cm a sua Utilizaçã 142 D.1 Cmprtament da FBR TPS Mdificada D.2 Resultads ds Testes cm Cilindr D.3 Resultads ds Testes cm a Elipse cm Razã de Aspect Igual a 0, D.4 Resultads ds Testes cm Aerfóli Jukwski Simétric e Arredndad

12 Sumári iv D.5 Resultads ds Testes cm Aerfóli Jukwski Simétric e Afilad D.6 Resultads ds Testes cm Aerfóli NACA E Resultads ds Testes Numérics Realizads para a Elipse cm Razã de Aspect Igual a 0,1 153 E.1 Utilizand a FBR Multiquádrica E.2 Utilizand a FBR TPS Mdificada Referências Bibligráficas 159

13 Lista de Figuras 1.1 Nó de referência na prximidade d brd de fuga de um perfil, Métd da Visibilidade, Rams (2010) Discretizaçã d aerfóli NACA 0012, utilizada pr Carey e Kim (1983) Detalhe da discretizaçã na regiã próxima a brd de ataque d aerfóli NACA 0012 utilizada pr Carey e Kim (1983) Distribuiçã d ceficiente de pressã nas superfícies superir e inferir d NACA 0012, para diverss ânguls de ataque, btida pr Carey e Kim (1983) Cmparaçã ds ceficientes de sustentaçã btids numericamente pr Carey e Kim (1983) cm s resultads experimentais frnecids pr Abbtt e Denhff (1959) Malha em trn d aerfóli NACA 0012, utilizada pr Ferreira e Fic (2004) Cmparaçã entre valr numéric da velcidade na superfície d aerfóli btid pr Ferreira e Fic (2004) e valr teóric frnecid pr Abbt e Denhff (1959) Cmparaçã entre valr numéric d ceficiente de pressã na superfície d aerfóli btid pr Ferreira e Fic (2004) e

14 Lista de Figuras vi valr teóric frnecid pr Abbt e Denhff (1959) Distribuiçã de pressã em trn de um cilindr circular, Lima (2010) Distribuiçã de pressã em trn de uma elipse cm razã de aspect de 0,5 sem incidência, Lima (2010) Malha tip O gerada utilizand métd diferencial elíptic, Mhebbi e Sellier (2014) Cmparaçã da distribuiçã d ceficiente de pressã btida numericamente pr Mhebbi e Sellier (2014) cm resultads frnecids pr Andersn (1985) Dmíni cmputacinal utilizad, Hashemi e Hatam (2011), Vilela et al. (2015) Resultads da carga hidráulica btids pr Hashemi e Hatamm (2011) Resultads d cntrn da carga hidráulica btids pr Vilela et al. (2015), cndiçã inicial Resultads d cntrn da carga hidráulica btids pr Vilela et al. (2015), t = 120 min Resultads d cntrn da carga hidráulica btids pr Vilela et al. (2015), t = 180 min Resultads d cntrn da carga hidráulica btids pr Vilela et al. (2015), t = 300 min Malha curvilínea estruturada tip H ajustada à frnteira de um aerfóli NACA 0012 (Siladic, 1987) Malha curvilínea estruturada tip C ajustada à frnteira de um aerfóli NACA 0012 (Siladic, 1987) Malha curvilínea estruturada tip O ajustada à frnteira de um aerfóli NACA 0012 (Siladic, 1987)

15 Lista de Figuras vii 2.4 Mapeament d plan físic (malha tip O ) para plan cmputacinal (Fletcher, 1988) Transfrmaçã d dmíni físic malha tip O (Thmpsn et al., 1985) Pnt intern a plan cmputacinal e seus vizinhs Malha gerada pr interplaçã transfinita em trn d aerfóli NACA Malha gerada pel métd diferencial elíptic em trn d aerfóli NACA Plan cmputacinal Transfrmaçã gemétrica de Jukwski ζ = z +a 2 / z, Lewis (1991) Malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts, cm P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0; 165 iterações Detalhes das regiões d brd de ataque e d brd de fuga, NACA 0012, P( ξ, η ) = 0e Q( ξ, η ) = Malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts, cm P( ξ, η ) = 0,15 e Q( ξ, η ) = 0; 180 iterações Malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts, cm P( ξ, η ) = 0,15 e Q( ξ, η ) = 0; 151 iterações Sbrepsições e quebras da malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts Malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts, cm P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0,22, 261 iterações Malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts, cm P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 1,56; 109 iterações Sbrepsições e quebras da malha tip O, NACA 0012, 41 x

16 Lista de Figuras viii 41 pnts Malha tip O, Jukwski simétric e arredndad, 41 x 41 pnts, cm P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0; 169 iterações Detalhes das regiões d brd de ataque e d brd de fuga, Jukwski, simétric e arredndad, P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = Sbrepsições e quebras da malha tip O, Jukwski simétric e arredndad, 41 x 41 pnts Defrmações da malha tip O, Jukwski simétric e arredndad, 41 x 41 pnts Malha tip O, Jukwski simétric e afilad, 41 x 41 pnts, cm P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0; 166 iterações Detalhes das regiões próximas a brd de ataque e a brd de fuga de aerfóli Jukwski simétric e afilad, P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = Malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts, P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = Malha tip O, Jukwski simétric e arredndad, 41 x 41 pnts, P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = Malha tip O, Jukwski simétric e afilad, 41 x 41 pnts, P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = Cmprtament d númer de iterações necessári para cnvergência, cm a dimensã da malha, NACA Cmprtament d temp necessári para cnvergência, cm a dimensã da malha, NACA Cmprtament d númer de iterações necessári para cnvergência, cm a dimensã da malha, aerfólis Jukwski Cmprtament d temp necessári para cnvergência, cm

17 Lista de Figuras ix a dimensã da malha, aerfólis Jukwski Cmprtament da FBR Multiquádrica (Sants, 2016) Cmprtament da FBR Multiquádrica Inversa (Sants, 2016) Cmprtament da FBR Gaussiana (Sants, 2016) Suprte lcal (estêncil) em trn de um nó de referência Suprte lcal nã centrad (Sants, 2016) Escament em trn de um cilindr (Pereira, 2005) Cndições de cntrn: escament nã viscs (Andersn, 1985) Terminlgia para um aerfóli típic (adapatad de Andersn, 1985) Cndições de cntrn transfrmadas Estruturas de suprte lcal (estênceis) testadas Estrutura de suprte lcal (estêncil) de segunda camada Aerfóli cm ângul finit n brd de fuga (adaptada de Mhebbi e Sellier, 2014) Aerfóli cm brd de fuga afilad (adaptada de Mhebbi e Sellier, 2014) Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR Multiquádrica, escament ptencial e bidimensinal em trn d cilindr Cmprtament d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn d cilindr, FBR Multiquádrica, c = Malha tip O gerada em trn d cilindr, 89 x 89 pnts Linhas de funçã crrente n escament ptencial e bidimensinal em trn d cilindr circular, 89 x 89 pnts, FBR Multiquádrica, c = Ceficiente de pressã na superfície d cilindr circular, malha

18 Lista de Figuras x de 89 x 89 pnts, FBR Multiquádrica, c = Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR Multiquádrica, escament ptencial em trn da elipse, λ = 0,5, α = 0º e α = 5º Cmprtament d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, FBR Multiquádrica, λ = 0,5, α = 0º ( c = 90 ) e α = 5º ( c = 20 ) Malha tip O gerada em trn da elipse, λ = 0,5, 89 x 89 pnts Linhas de funçã crrente n escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, λ = 0,5, α = 0º ( c = 90 ) e α = 5º ( c = 20) Ceficiente de pressã na superfície da elipse, λ = 0,5, FBR Multiquádrica, α = 0º ( c = 90 ) e α = 5º ( c = 20 ) Malha tip O gerada em trn da elipse, λ = 0,5, 69 x 69 pnts Linhas de funçã crrente n escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, λ = 0,1, FBR Multiquádrica, α = 0º ( c = 80 ) e α = 5º ( c = 10 ) Ceficiente de pressã na superfície da elipse, λ = 0,1, FBR Multiquádrica, α = 0º, ( c = 80 ) e α = 5º ( c = 10 ) Transfrmaçã gemétrica de Jukwski ζ = z +a 2 / z, Lewis (1991) Cndiçã de Kutta n brd de fuga, transfrmaçã Jukwski, Lewis (1991) Ocrrência na geraçã da malha de dimensã 37 x 37 pnts, aerfóli Jukwski simétric e arredndad

19 Lista de Figuras xi 4.17 Ocrrência na geraçã da malha de dimensã 47 x 47 pnts, aerfóli Jukwski simétric e arredndad Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR Multiquádrica, escament ptencial em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 0º e α = 5º Cmprtament d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, FBR Multiquádrica Malha tip O gerada em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, 45 x 45 pnts Linhas de funçã crrente n escament ptencial e bidimensinal em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 0º e α = 5º, 45 x 45 pnts, FBR Multiquádrica, c = Ceficiente de pressã na superfície d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 0º e α = 5º, malha de 45 x 45 pnts, FBR Multiquádrica, c = Ocrrência na geraçã da malha de dimensã 39 x 39 pnts, aerfóli Jukwski simétric e afilad Ocrrência na geraçã da malha de dimensã 47 x 47 pnts, aerfóli Jukwski simétric e afilad Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR Multiquádrica, escament ptencial em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, α = 0º e α = 5º Cmprtament d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, FBR Multiquádrica Malha tip O gerada em trn d aerfóli Jukwski

20 Lista de Figuras xii simétric e afilad, 45 x 45 pnts Linhas de funçã crrente n escament ptencial e bidimensinal em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, α = 0º e α = 5º, 45 x 45 pnts, FBR Multiquádrica, c = Ceficiente de pressã na superfície d aerfóli Jukwski simétric e afilad, α = 0º e α = 5º, malha de 45 x 45 pnts, FBR Multiquádrica, c = Malha tip O gerada em trn d aerfóli NACA 0012, 49 x 49 pnts Malha tip O gerada em trn d aerfóli NACA 0012, 89 x 89 pnts Distribuiçã d ceficiente de pressã, NACA 0012, malha tip O, 49 x 49 pnts, FBR Multiquádrica Distribuiçã d ceficiente de pressã, NACA 0012, malha tip O, 89 x 89 pnts, FBR Multiquádrica Linhas de crrente para s ânguls de ataque α = 0, 4, 6, 8 e 9, NACA 0012, malha tip O, 89 x 89 pnts, FBR Multiquádrica, c = Distribuiçã d ceficiente de pressã, NACA 0012, FBR Multiquádrica, c = 80, 89 x 89 pnts, valr da cnstante d terceir term da equaçã de mapeament igual a 0,3516, α = 0º Distribuiçã d ceficiente de pressã, NACA 0012, FBR Multiquádrica, c = 80, 89 x 89 pnts, valr da cnstante d terceir term da equaçã de mapeament igual a 0,3516, α = 4º

21 Lista de Figuras xiii 4.37 Distribuiçã d ceficiente de pressã, NACA 0012, FBR Multiquádrica, c = 80, 89 x 89 pnts, valr da cnstante d terceir term da equaçã de mapeament igual a 0,3516, α = 9º A.1 Fluxgrama da sub-rtina para a geraçã da malha B.1 Fluxgrama d prgrama principal D1 Cmprtament da FBR TPS Mdificada para alguns valres d parâmetr de frma D.2 Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR TPS Mdificada, escament ptencial e bidimensinal em trn d cilindr D.3 Cmprtament d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn d cilindr, FBR TPS Mdificada, 4 c = D.4 Cmprtament d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, FBR TPS Mdificada, λ = 0,5, α = 0º e α = 5º D.5 Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR TPS Mdificada, escament ptencial em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 0º e α = 5º D.6 Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR TPS Mdificada, escament ptencial em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 0º e α = 5º D.7 Cmprtament d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, FBR TPS Mdificada D.8 Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR TPS Mdificada, escament ptencial em trn d aerfóli

22 Lista de Figuras xiv Jukwski simétric e afilad, α = 0º e α = 5º D.9 Cmprtament d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, FBR TPS Mdificada D.10 Distribuiçã d ceficiente de pressã na superfície, NACA 0012, malha tip O, 49 x 49 pnts, FBR TPS Mdificada D.11 Distribuiçã d ceficiente de pressã na superfície, NACA 0012, malha tip O, 89 x 89 pnts, FBR TPS Mdificada E.1 Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR Multiquádrica, escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, λ = 0,1, α = 0º e α = 5º E.2 Cmprtament d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, FBR Multiquádrica, λ = 0,1, α = 0º e α = 5º E.3 Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR TPS Mdificada, escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, λ = 0,1, α = 0º e α = 5º E.4 Cmprtament d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, FBR TPS Mdificada, λ = 0,1, α = 0º (esquerda) e α = 5º (direita)

23 Lista de Tabelas 2.1 Errs médis quadrátics btids sem e cm a aplicaçã da cndiçã de rtgnalidade, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 0º e α = 5º, FBR Multiquádrica, malha de 41 x 41 pnts Errs médis quadrátics btids sem e cm a aplicaçã da cndiçã de rtgnalidade, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, α = 0º e α = 5º, FBR Multiquádrica, malha de 41 x 41 pnts Algumas FBRs infinitamente suaves mais utilizadas (Shu et al., 2003) Algumas FBRs infinitamente suaves em funçã de r e ε (Larssn e Frnberg, 2003) FBRs suaves pr partes, mais utilizadas segund Piret (2007) FBRs de suprte cmpact (Wendland, 1995) para diferentes valres d parâmetr de frma, escament ptencial e bidimensinal em trn d cilindr, FBR Multiquádrica para diferentes dimensões da malha, escament

24 Lista de Tabelas xvi ptencial e bidimensinal em trn d cilindr, FBR Multiquádrica, c = para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn da elipse, λ = 0,5, α = 0º, FBR Multiquádrica para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn da elipse, λ = 0,5, α = 5º, FBR Multiquádrica para diferentes dimensões da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, FBR Multiquádrica, λ = 0,5, α = 0º e α = 5º para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 0º, FBR Multiquádrica para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 5, FBR Multiquádrica para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, α = 0º, FBR Multiquádrica para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, α = 5º, FBR Multiquádrica Dimensões da malha e ds valres d parâmetr de frma da FBR Multiquádrica que resultaram ns menres Númer de iterações para a geraçã da malha e temps gasts nas simulações que apresentaram menr

25 Lista de Tabelas xvii 4.12 Númer de iterações para a geraçã da malha e temps gasts nas simulações d NACA D.1 para diferentes valres d parâmetr de frma, escament ptencial e bidimensinal em trn d cilindr, FBR TPS Mdificada D.2 para diferentes dimensões da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn d cilindr, FBR TPS Mdificada, 4 c = 1 x D.3 para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn da elipse, λ = 0,5, α = 0º, FBR TPS Mdificada D.4 para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn da elipse, λ = 0,5, α = 5º, FBR TPS Mdificada D.5 para diferentes dimensões da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, FBR TPS Mdificada, λ = 0,5, α = 0º e α = 5º D.6 para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 0º, FBR TPS Mdificada D.7 para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 5, FBR TPS Mdificada D.8 para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, α = 0º, FBR TPS Mdificada D.9 para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e

26 Lista de Tabelas xviii afilad, α = 5º, FBR TPS Mdificada E.1 para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn da elipse, λ = 0,1, α = 0º, FBR Multiquádrica E.2 para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn da elipse, λ = 0,1, α = 5º, FBR Multiquádrica E.3 para diferentes dimensões da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, FBR Multiquádrica, λ = 0,1, α = 0º e α = 5º E.4 para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn da elipse, λ = 0,1, α = 0º, FBR TPS Mdificada E.5 para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn da elipse, λ = 0,1, α = 5º, FBR TPS Mdificada E.6 para diferentes dimensões da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, FBR TPS Mdificada, λ = 0,1, α = 0º e α = 5º

27 Lista de Símbls Símbls Latins a Rai de influência da FBR de suprte cmpact; cnstante utilizada na transfrmaçã Jukwski [ A ] c C C p Matriz de interplaçã; matriz das FBRs Parâmetr de frma da FBR Crda d aerfóli Ceficiente de pressã C p num Ceficiente de pressã numéric C p ref Ceficiente de pressã de referência f F { F } i j J k L P L Funçã Fatr determinad a partir da cndiçã de Kutta Vetr ds valres cnhecids da funçã Variável n dmíni cmputacinal na direçã de ξ Variável n dmíni cmputacinal na direçã de η Jacbian da transfrmaçã Númer de iterações Operadr diferencial parcial Operadr diferencial da equaçã diferencial parcial

28 Lista de Símbls xx N 0 N i N S p p P Q r r s t u u v V t V x x y y t Númer de pnts n dmíni Cnjunt ds númers naturais Cnjunt ds númers naturais incluind zer Númer de pnts interns Númer de nós de suprte Pressã Pressã da crrente livre Funçã de cntrle na geraçã da malha Funçã de cntrle na geraçã da malha Cnjunt ds númers reais Nrma euclidiana entre dis pnts; rai plar Rai da circunferência na transfrmaçã Jukwski Crdenada superficial Espessura máxima d aerfóli NACA de quatr dígits Velcidade dimensinal na direçã x Sluçã aprximada Velcidade dimensinal na direçã y Velcidade tangencial Velcidade da crrente livre Crdenada espacial Vetr d espaç vetrial Crdenada espacial d Ordenada referente à espessura d aerfóli NACA de quatr dígits tmada em relaçã à linha de arqueament w Ceficiente de pnderaçã

29 Lista de Símbls xxi Símbls Gregs α α β Ω γ ε ε 1 ε 2 ε 3 Γ η θ λ ξ ρ ρ φ φ T ϕ Φ ψ ω Ω Cmpnente d tensr métric Ângul de ataque Cmpnente d tensr métric Derivada parcial Frnteira d dmíni Cmpnente d tensr métric Parâmetr de frma da FBR; tlerância Parâmetr gemétric utilizad na transfrmaçã Jukwski Parâmetr gemétric utilizad na transfrmaçã Jukwski Parâmetr gemétric utilizad na transfrmaçã Jukwski Circulaçã Crdenada generalizada Ângul plar Incógnita na interplaçã cm FBR; razã de aspect da elipse Crdenada generalizada Massa específica Massa específica d fluid na crrente livre Funçã de Base Radial; ângul na transfrmaçã Jukwski Ângul para aplicaçã da cndiçã de Kutta na transfrmaçã Jukwski Funçã de Base Radial; variável genérica Funçã de Base Radial; matriz de interplaçã n sistema da FBR Funçã-crrente Fatr de relaxaçã Dmíni cnsiderad

30 Lista de Símbls xxii Subscrits/Sbrescrits d i j k m n max S t Dimensã d espaç Indexaçã na malha; indexaçã glbal n MQDL-FBR Indexaçã na malha; indexaçã lcal n MQDL-FBR Númer da iteraçã e indexaçã lcal Ordem de derivaçã Grau de suavidade e rdem de uma matriz u vetr Máxim Suprte Tangencial

31 Lista de Abreviaturas CB DF EF FBR GA LDU LN MP Mq MqI MQD MQDL FBR Cúbica Diferenças Finitas Elements Finits Err Médi Quadrátic Funçã de Base Radial FBR Gaussiana Factrizatin Lwer-Diagnal-Upper FBR Linear Métd ds Painéis FBR Multiquádrica FBR Multiquádrica Inversa Métd de Quadratura Diferencial Métd de Quadratura Diferencial Lcal MQDL-FBR Métd de Quadratura Diferencial Lcal cm Funções de Base Radial MSF PHS SCC SOR TPS TPSm VF Métd das Sluções Fundamentais FBR Pliharmônica Spline Sistema de Crdenadas Curvilíneas Sucessive Over-Relaxatin FBR Thin-Plate Spline FBR Thin-Plate Spline mdificada Vlumes Finits

32 Capítul 1 Intrduçã 1.1 Justificativa O estud d escament de fluids tem, nas últimas décadas, cntad cm pdersas ferramentas cmputacinais para a sua análise, tais cm s métds de vórtices e ds painéis, entre utrs, bem cm s métds tradicinais das Diferenças Finitas (DF), ds Vlumes Finits (VF) e ds Elements Finits (EF). O métd DF é métd de aprximaçã mais antig e de mair facilidade de implementaçã. Segund Gnçalves (2007), acredita-se que tenha sid utilizad pr Lenhard Euler n sécul XVIII. Basicamente, cnsiste em aprximar u interplar valres descnhecids da funçã utilizand uma expansã em série de Taylr u um ajuste plinmial em pnts de uma determinada malha. Segund Maliska (1995), métd DF sempre fi amplamente utilizad para a análise de escaments de fluids send, n entant, seu desenvlviment basead ns sistemas rtgnais, cm cartesian, cilíndric e esféric, deixand para um segund plan tratament de gemetrias cmplexas. Em prblemas cm gemetrias cmplexas, seriam indicads s métds VF e EF, que pdem ajustar a malha a qualquer tip de gemetria. N entant, a aplicaçã de tais métds nã é trivial, pdend gerar elevad cust cmputacinal.

33 1 Intrduçã 2 Nas últimas décadas, têm sid desenvlvids métds que resultam em mdels e análises mais simples, cnhecids cm métds sem malhas, d inglês meshfree u meshless. Tais métds pssibilitam a interplaçã u a cnstruçã de relações funcinais a partir apenas das infrmações de dads disperss, entre s quais nã existem relações de cnectividade pré-definidas (Tiag e Leitã, 2002). Uma das abrdagens pssíveis para s métds sem malhas é feita a partir da utilizaçã das Funções de Base Radial (FBRs). As FBRs fram inicialmente utilizadas pr Hardy (1971) na interplaçã de dads disperss. As primeiras tentativas de se usar FBRs para a sluçã de prblemas envlvend equações diferenciais parciais fram realizadas pr Kansa (1990a,b), que apresentu um métd assimétric de clcaçã. Kansa (1990b) utilizu a FBR multiquádrica para aprximaçã espacial envlvend equações diferenciais parciais parabólicas, hiperbólicas e elípticas, encntrand resultads bastante preciss. Cncluiu que, cmparad a métd das diferenças finitas, a sua prpsta era mais eficiente, uma vez que requeria menr númer de perações para atingir mesm grau de precisã ds resultads. Em 1997, utra abrdagem para a sluçã de equações diferenciais utilizand FBRs fi apresentada pr Fasshauer (1997) e, psterirmente, fi utilizada pr Larssn e Frnberg (2003a) e Pwer (2002). Esta abrdagem, baseada na interplaçã de Hermite, apresenta cm vantagem fat de a matriz de interplaçã ser simétrica. Mas a abrdagem prpsta pr Kansa (1990b), é de implementaçã mais simples, pis requer um menr númer de derivadas da funçã básica. N entant, tds esses métds aplicam as FBRs de frma glbal, u seja, s suprtes ds nós cmpreendem td dmíni, gerand, cm aument de nós, sistemas de equações lineares mal-cndicinads. Para prblemas cmplexs que necessitam da clcaçã de um grande númer de nós, prblema de mal-cndicinament é praticamente inevitável. Em 2003, Shu et al. (2003) apresentaram Métd de Quadratura Diferencial Lcal cm Funções de Base Radial (MQDL-FBR), que utiliza as FBRs cm funções

34 1 Intrduçã 3 interpladras n prcess de quadratura diferencial lcal. O métd é flexível, versátil e de implementaçã relativamente simples. Pr apresentar uma abrdagem lcal, reduz cust cmputacinal e evita prblema de mal-cndicinament ds sistemas de equações lineares, quand é grande númer de pnts distribuíds n dmíni. Para a sua aplicaçã, s pnts pdem ser distribuíds n dmíni de frma estruturada (malha estruturada), nã-estruturada (malhas nã-estruturadas) u aleatriamente. O métd é semelhante a métd tradicinal das diferenças finitas e preserva a característica meshless, uma vez que basta distribuir uma nuvem de pnts para a sua aplicaçã. Além diss, pde ser utilizad em prblemas cm diversas dimensões espaciais, send também pssível cálcul de peradres e derivadas parciais de altas rdens (Shen, 2010, Sants, 2016). A ideia d MQDL-FBR fi, segund Bayna et al. (2010), desenvlvida independentemente pr Shu et al. (2003), Wright (2003) e Cecil et al. (2004). Esta tese utiliza MQDL-FBR para simular escament ptencial em trn de crps de gemetria arbitrária, a saber: cilindr, duas elipses cm razões de aspect distintas, aerfólis Jukwski simétrics e aerfóli NACA Sã utilizadas duas funções de base radial e sã avaliadas as influências ds valres d parâmetr de frma das FBRs e d númer de pnts distribuíds n dmíni físic, na precisã ds resultads numérics. Para a distribuiçã ds pnts, sã geradas malhas estruturadas, utilizand métd diferencial elíptic e sã avaliads s parâmetrs envlvids nesta geraçã. A pçã pr gerar uma malha estruturada para bter a distribuiçã de pnts n dmíni cmputacinal, deve-se a algumas dificuldades inerentes à utilizaçã de nuvens de pnts u distribuiçã a partir da geraçã de malhas nã-estruturadas. Restrições acntecem cm relaçã à esclha de pnts da nuvem, quand um nó de referência está na prximidade da regiã de brd de fuga de um perfil aerdinâmic (Rams, 2010). O perfil é cnsiderad fra d dmíni cmputacinal e um pnt de referência da nuvem nã pde pssuir suprte que cruze perfil, cnfrme ilustrad na Figura 1.1. Nguyen et al. (2008) definiram um critéri para a

35 1 Intrduçã 4 seleçã de nós, cnhecid cm Visibility Methd (Métd da Visibilidade). Um rai é calculad entre pnt de referência e pssível pnt de suprte. Se rai cruzar perfil, nó nã pde ser um nó de suprte, prque ele é invisível. Cas s nós invisíveis sejam utilizads cm nós de suprte, a sluçã perde precisã send que, em alguns cass, pde resultar em uma sluçã divergente. A utilizaçã de uma malha nã-estruturada para bter a distribuiçã de pnts também apresenta utras desvantagens. Apesar de a sua geraçã ser mais simples, cntrle na geraçã nrmalmente limita-se às frnteiras físicas e é necessári um mair númer de infrmações para serem armazenadas e recuperadas, (Zheleznyakva e Surzhikv (2013)). Buscand um menr cust cmputacinal, u seja, menr memória e temp de prcessament requerids, fez-se, assim, a pçã pr bter a distribuiçã de pnts n dmíni cmputacinal a partir da geraçã de uma malha estruturada. Uma vez gerada a malha, sã utilizads s pnts de interseçã cm nós n dmíni físic irregular que é mapead para um dmíni cmputacinal regular para a aplicaçã d MQDL-FBR. Em funçã da reduçã d cust cmputacinal, fez-se também a pçã pr uma estrutura de suprte fixa e centrada. Regiã d brd de fuga Nó de referência Nó visível Nó invisível Figura 1.1: Nó de referência na prximidade d brd de fuga de um perfil, Métd da Visibilidade, Rams (2010)

36 1 Intrduçã Revisã de Literatura Escament Ptencial em Trn de Crps de Gemetria Arbitrária Diverss trabalhs de simulações de escaments em trn de crps de gemetria arbitrária sã encntrads na literatura, utilizand diferentes métds numérics. Thames et al. (1977), utilizand sistema de crdenadas curvilíneas (SCC), cincidente cm as frnteiras, avaliaram escament viscs, incmpressível e bidimensinal, em trn de crps de gemetria arbitrária, utilizand a frmulaçã funçã-crrente/vrticidade. Para a sluçã numérica, as funções fram aprximadas utilizand métd DF. Os resultads btids para a placa plana semi-infinita apresentaram ótima cncrdância cm a sluçã de Blasius para a camada-limite. Na segunda parte d trabalh, utilizand mesm SCC, fi avaliad escament ptencial em trn de aerfólis Karman-Trefftz. Excelente cncrdância fi btida quand cmparads s resultads numérics cm a sluçã analítica. Carey e Kim (1983) aplicaram Métd de Elements de Cntrn para escament ptencial incmpressível em trn de um aerfóli NACA 0012, para determinaçã ds ceficientes de pressã e de sustentaçã. Fi utilizada uma distribuiçã de elements nã unifrme cm 117 nós. A Figura 1.2 ilustra a distribuiçã de elements n aerfóli utilizada e a Figura 1.3 apresenta um detalhe da discretizaçã na regiã próxima a brd de ataque d aerfóli. Os resultads para ceficiente de pressã, btids para as superfícies superir e inferir d aerfóli NACA 0012, para diferentes ânguls de ataque, α, estã ilustrads na Figura 1.4. Os ceficientes de sustentaçã fram btids para ânguls de ataque de 0 a 20 e cmparads cm resultads frnecids pr Abbtt e Denhff (1959). Para valres d ângul de ataque abaix de 14, a cncrdância ds resultads fi

37 1 Intrduçã 6 excelente. Para alts valres d ângul de ataque, maires de 14, s autres justificaram a nã cncrdância ds resultads, pela pssível separaçã d escament, trnand inválid mdel matemátic para escament ptencial utilizad. A Figura 1.5 ilustra a cmparaçã ds resultads btids numericamente pr Carey e Kim (1983) cm s resultads experimentais frnecids pr Abbtt e Denhff (1959). Figura 1.2: Discretizaçã d aerfóli NACA 0012, utilizada pr Carey e Kim (1983) Figura 1.3: Detalhe da discretizaçã na regiã próxima a brd de ataque d aerfóli NACA 0012 utilizada pr Carey e Kim (1983)

38 1 Intrduçã 7 C p α Figura 1.4: Distribuiçã d ceficiente de pressã nas superfícies superir e inferir d NACA 0012, para diverss ânguls de ataque, btida pr Carey e Kim (1983) Figura 1.5: Cmparaçã ds ceficientes de sustentaçã btids numericamente pr Carey e Kim (1983) cm s resultads experimentais frnecids pr Abbtt e Denhff (1959)

39 1 Intrduçã 8 Ferreira e Fic (2004) simularam escament em trn de aerfólis, utilizand uma malha tip "O", gerada a partir d métd diferencial elíptic. As equações gvernantes fram slucinadas numericamente, utilizand a técnica de vlumes finits. A malha utilizada para as simulações, de 30 x 15 pnts, está ilustrada na Figura 1.6. Figura 1.6: Malha em trn d aerfóli NACA 0012, utilizada pr Ferreira e Fic (2004) Os resultads btids para velcidade e ceficiente de pressã na superfície d aerfóli fram cmparads cm s resultads apresentads pr Abbtt e Denhff (1959), para ângul de ataque nul. Os gráfics cmparativs estã ilustrads nas Figuras 1.7 e 1.8. Os autres cncluíram que s resultads numérics encntrads fram preciss, cm exceçã daqueles btids na regiã próxima a brd de fuga. Cm mdel utilizad pels autres nã cnsideru a viscsidade, s mesms utilizaram dads teórics d escament ptencial para cmparaçã. Pereira (2005) analisu desempenh d Métd ds Painéis (MP), cm diferentes tips de singularidades n escament ptencial e incmpressível em trn de aerfólis da família van de Vren. Diverss tips de singularidades fram cmparads, bem cm as suas distribuições. Os resultads btids para ceficiente de sustentaçã e a distribuiçã d ceficiente de pressã sbre

40 1 Intrduçã 9 aerfóli fram cmparads à sluçã analítica, apresentand ba cncrdância. O efeit da curvatura ds painéis sbre desempenh d métd fi avaliad. Figura 1.7: Cmparaçã entre valr numéric da velcidade na superfície d aerfóli btid pr Ferreira e Fic (2004) e valr teóric frnecid pr Abbt e Denhff (1959) Figura 1.8: Cmparaçã entre valr numéric d ceficiente de pressã na superfície d aerfóli btid pr Ferreira e Fic (2004) e valr teóric frnecid pr Abbt e Denhff (1959) Lima (2010) utilizu Métd das Sluções Fundamentais (MSF) basead em vórtices, para a sluçã de prblemas bidimensinais de aerdinâmica, utilizand a equaçã de Laplace para a funçã-crrente. Verificu que s resultads btids

41 1 Intrduçã 10 fram preciss e que métd apresentu ba cnvergência. Cncluiu também que MSF é de fácil implementaçã, permite a cmbinaçã de várias singularidades, apresenta baix cust cmputacinal e que, a utilizaçã de variáveis cmplexas, facilita ainda mais a sua aplicaçã. N entant, cita algumas desvantagens, tais cm: em crps esbelts e cm regiã próxima a brd de fuga aguda u afilada, a distribuiçã das singularidades nã é trivial. Além diss, MSF mstra-se muit sensível às variações de curvatura n cntrn d crp. Alguns exempls fram apresentads para ilustrar a precisã d MSF basead em vórtices, quand cmparad cm MP e cm a sluçã exata, quand existente. As Figuras 1.9 e 1.10 ilustram s gráfics cmparativs para um cilindr circular de rai unitári e para uma elipse cm razã de aspect de 0,5. Em ambs s cass, fram utilizads n MSF 100 pnts n cntrn d crp, cm um fatr de distância de 0,8 e n MP fram utilizads 96 painéis. Figura 1.9: Distribuiçã de pressã em trn de um cilindr circular, Lima (2010) Mhebbi e Sellier (2014) prpuseram um métd basead n esquema de DF aplicad numa malha tip "O", gerada pel métd diferencial elíptic, para avaliar escament ptencial em trn de um aerfóli. Os resultads btids apresentaram uma ótima precisã, cmparads cm aqueles da sluçã analítica e

42 1 Intrduçã 11 d métd ds painéis. A Figura 1.11 ilustra a malha gerada pels autres que, utilizaram para distribuiçã inicial ds pnts a interplaçã transfinita. Figura 1.10: Distribuiçã de pressã em trn de uma elipse cm razã de aspect de 0,5 sem incidência, Lima (2010) Figura 1.11: Malha tip O gerada utilizand métd diferencial elíptic, Mhebbi e Sellier (2014) A validaçã ds resultads fi feita cmparand a distribuiçã d ceficiente de pressã, btida nas simulações, cm resultads teórics u resultads btids pel MP, para diverss aerfólis NACA de quatr dígits. A Figura 1.12 ilustra a

43 1 Intrduçã 12 cmparaçã ds resultads btids para ceficiente de pressã cm s resultads frnecids pr Andersn (1985), para aerfóli NACA 0012, cm um ângul de ataque de 9. Os autres btiveram esses resultads numérics utilizand a malha tip O de 155 x 155 pnts. Figura 1.12: Cmparaçã da distribuiçã d ceficiente de pressã btida numericamente pr Mhebbi e Sellier (2014) cm resultads frnecids pr Andersn (1985) O Métd de Quadratura Diferencial Lcal cm Funções de Base Radial (MQDL-FBR) O Métd de Quadratura Diferencial (MQD) fi inicialmente prpst pr Bellman et al. (1972), seguind a ideia de quadratura integral. Essencialmente, métd aprxima as derivadas parciais de uma funçã descnhecida através de smas pnderadas de valres da funçã ns pnts discrets d dmíni. Os ceficientes de pnderaçã sã calculads utilizand funções de base plinmiais u trignmétricas e apresenta também uma abrdagem glbal. Prtant, gera sistemas

44 1 Intrduçã 13 de equações lineares de baixa esparsidade e mal-cndicinads, ficand entã, limitad a aplicações cm pequen númer de pnts clcads n dmíni. Shu et al. (2003) apresentaram Métd de Quadratura Diferencial Lcal cm Funções de Base Radial (MQDL-FBR), utilizand as FBRs cm funções interpladras n prcess de quadratura diferencial, aplicad lcalmente. Ou seja, para cada pnt d dmíni (nó de referência), cnsideraram uma regiã de suprte e simularam fenômen da cnvecçã natural numa cavidade quadrada, cnsiderand uma distribuiçã irregular de nós n dmíni. Smente nas regiões próximas às frnteiras, cnsideraram uma distribuiçã rtgnal de pnts, para aprximar as derivadas utilizand diferenças finitas para frente de segunda-rdem. Os resultads encntrads fram próxims as btids pr utrs pesquisadres que utilizaram métd das diferenças finitas. Ding et al. (2006) aplicaram MQDL-FBR para prblemas de escament viscs, incmpressível, tridimensinal e nã-permanente. Os resultads btids fram satisfatóris quand cmparads cm resultads dispníveis na literatura. Os autres ressaltam que um prblema na aplicaçã d métd é a esclha d valr adequad d parâmetr de frma da FBR a ser utilizad e que, a esclha deste valr depende da realizaçã de testes e da experiência d usuári final. Tta e Wang (2007) aplicaram MQDL-FBR para escaments cmpressíveis, nã viscss e em regime permanente. Utilizaram uma distribuiçã randômica de pnts disperss, sem nenhuma relaçã u cnectividade pré-definidas. Validaram s resultads a partir de diversas aplicações em escaments cmpressíveis e bidimensinais e cncluíram que MQDL-FBR é qualitativamente e quantitativamente aprpriad para a sluçã de escaments cmpressíveis. Sleimani et al. (2010) aplicaram MQDL-FBR para a discretizaçã espacial em prblemas bidimensinais de cnduçã de calr nã-permanente. Os resultads fram cmparads cm resultads btids pel métd ds EF e demnstraram que métd é precis para prblemas de transferência de calr, mesm para gemetrias cmplexas irregulares.

45 1 Intrduçã 14 Yngyuan (2010) prcuru avaliar a eficiência d MQDL-FBR. Inicialmente, apresentu um métd que utilizava esquema de diferenças finitas, mas utilizand a FBR multiquádrica cm funçã de aprximaçã, cm bjetiv de avaliar a influência d parâmetr de frma na precisã ds resultads. Na segunda parte, aplicu MQDL-FBR, utilizand um algritm para adaptaçã d suprte lcal, para simular escament bidimensinal em prblemas cm cntrns curvs, utilizand pnts btids de uma malha ajustada a crp (bdy-fitted grid). Depis, aplicu um esquema híbrid, n qual cmbinava a aplicaçã d MQDL-FBR nas regiões próximas às frnteiras curvas e métd tradicinal de diferenças finitas nas regiões d dmíni afastadas das frnteiras, em escaments bidimensinais e tridimensinais. Os resultads btids fram crrbrads pels resultads dispníveis na literatura e esquema híbrid mstru-se mais eficiente cmputacinalmente que esquema MQDL-FBR aplicad em td dmíni. Finalmente, autr aplicu MQDL-FBR em prblemas tridimensinais de escaments em frnteiras curvas, para avaliar a influência d númer de pnts de suprte e d valr d parâmetr de frma da FBR multiquádrica, na precisã ds resultads. Percebeu que a precisã das sluções numéricas e que a taxa de cnvergência pdiam ser melhradas, aumentand valr d parâmetr de frma da FBR multiquádrica e a dimensã d suprte lcal. Finalmente, cncluiu que, as utilizações d algritm de suprte lcal adaptativ e d esquema híbrid melhraram a eficiência cmputacinal. O autr ressalta n seu trabalh que MQDL-FBR, pr ser um métd lcal, pde ser aplicad a prblemas de larga escala e que, pr aprximar as derivadas e nã a funçã tem ba aplicaçã em prblemas lineares e nã lineares. Bayna et al. (2011) prpuseram um algritm para calcular valr aprpriad d parâmetr de frma, que minimiza err de aprximaçã, quand utilizad MQDL-FBR para a sluçã de uma equaçã diferencial parcial. Mstraram que, a utilizar valr crret d parâmetr de frma, pde-se melhrar a precisã ds

46 1 Intrduçã 15 resultads de uma u duas rdens em relaçã a métd das diferenças finitas. Utilizaram a FBR Multiquádrica, mas ressaltaram que algritm pde ser utilizad quand cnsiderada qualquer FBR que tenha um parâmetr de frma na sua definiçã. Sleimani et al. (2011) utilizaram MQDL-FBR para bter a distribuiçã e s gradientes de temperatura num prblema de cnduçã de calr bidimensinal, em uma cavidade quadrada, cm aqueciment nã unifrme. Os resultads fram cmparads cm s resultads btids quand aplicad um métd analític e mstraram ba cncrdância. Hashemi e Hatam (2011) utilizaram MQDL-FBR para simulaçã da infiltraçã transiente bidimensinal numa estrutura hidráulica, cnsiderand uma variaçã linear d nível da água à mntante e, utilizand para a discretizaçã tempral, métd alfa de aprximaçã. Cm cndiçã inicial para a simulaçã transiente, fi utilizada a sluçã em regime permanente. Os autres utilizaram para mnitrament d valr d parâmetr de frma adequad, númer de cndicinament da matriz ds ceficientes. Os resultads btids para a carga hidráulica fram crrbrads pr trabalhs dispníveis na literatura, que utilizaram métd ds elements finits. Dehghan e Nikpur (2013) aplicaram MQDL-FBR e utilizaram a FBR multiquádrica para reslver prblemas de cntrn de segunda rdem. Os resultads numérics btids fram cmparads cm resultads de sluções analíticas e resultads dispníveis na literatura que utilizaram métd das DF e utrs, btend ba cncrdância. Vilela et al. (2015) utilizaram MQDL-FBR para um prblema similar a um ds prblemas estudads pr Hashemi e Hatam (2011), cnsiderand agra, nã só uma variaçã linear, mas também uma variaçã expnencial d nível da água à mntante da estrutura hidráulica. A Figura 1.13 ilustra dmíni cmputacinal cnsiderad, n qual fi realizada uma distribuiçã unifrme de 481 pnts.

47 1 Intrduçã 16 Figura 1.13: Dmíni cmputacinal utilizad, Hashemi e Hatam (2011), Vilela et al. (2015) A equaçã gvernante utilizada é dada pr (Hashemi e Hatam, 2011) 2 2 S + + F = S 2 2 h h h x y K t (1.1) nde h é a carga hidráulica, F term fnte, S S armazenament específic e K a cndutividade hidráulica. Para slucinar sistema de equações para determinaçã ds ceficientes de pnderaçã d MQDL-FBR, fi utilizad Métd de Eliminaçã de Gauss cm pivtament. Para a sluçã d sistema de equações para determinaçã d valr da carga hidráulica, fi utilizada a ferramenta de fatraçã LDU (Factrizatin Lwer- Diagnal-Upper) d sftware MATLAB, devid à esparsidade da matriz d MQDL- FBR. Avaliaram, inicialmente, em regime permanente, a influência d parâmetr de frma da FBR multiquádrica e a dimensã d suprte lcal na precisã ds resultads btids para a carga hidráulica. N regime transiente, utilizaram métd alfa para a discretizaçã tempral, prcurand avaliar a influência ds esquemas Crank-Niclsn, Galerkin e Euler, que sã incndicinalmente estáveis. Os resultads fram cmparads cm utrs dispníveis na literatura e nã fram bservadas

48 1 Intrduçã 17 variações significativas na precisã quant as esquemas de discretizaçã tempral, tant para a variaçã linear quant para a variaçã expnencial d nível à mntante. A Figura 1.14 ilustra s resultads btids pr Hashemi e Hatan (2011) para prblema caracterizad pel dmíni cmputacinal apresentad na Figura Fram cnsiderads na btençã destes resultads esquema de discretizaçã tempral de Crank-Niclsn, uma variaçã linear d nível da água a mntante da estrutura e também, prpriedades d sl cnstantes, a saber, ceficiente de armazenament específic igual a 10-5 m -1 e cndutividade hidráulica igual a 1,7 x 10-4 m/s. Figura 1.14: Resultads da carga hidráulica btids pr Hashemi e Hatamm (2011) Utilizand s mesms dmíni cmputacinal e parâmetrs adtads pr Hashemi e Hatam (2011) para btençã ds resultads ilustrads na Figura 1.14, Vilela et al. (2015) btiveram s resultads ilustrads nas Figuras 1.15 a 1.18.

49 Intrduçã 18 Quant as parâmetrs de simulaçã, s melhres resultads fram btids para um parâmetr de frma da FBR multiquádrica igual a 0,7, cm um suprte lcal de 13 nós, send este suprte de mair dimensã testad. y(m) x(m) Figura 1.15: Resultads d cntrn da carga hidráulica btids pr Vilela et al. (2015), cndiçã inicial y(m) x(m) Figura 1.16: Resultads d cntrn da carga hidráulica btids pr Vilela et al. (2015), t = 120 min

50 Intrduçã 19 y(m) x(m) Figura 1.17: Resultads d cntrn da carga hidráulica btids pr Vilela et al. (2015), t = 180 min y(m) x(m) Figura 1.18: Resultads d cntrn da carga hidráulica btids pr Vilela et al. (2015), t = 300 min 1.3 Objetivs d Trabalh O Métd de Quadratura Diferencial Lcal cm Funções de Base Radial tem se mstrad bastante eficiente, apresentand baix cust cmputacinal em diversas aplicações. Além diss, métd trna-se bastante interessante pr pder ser

51 1 Intrduçã 20 aplicad a gemetrias cmplexas, pr evitar mal-cndicinament ds sistemas de equações lineares a se trabalhar cm grande númer de pnts, pr permitir abrdar derivadas de altas rdens e pr pder ser implementad utilizand distribuições de pnts estruturadas e nã-estruturadas (Sants, 2016). O bjetiv geral desta Tese de Dutrad é aplicar MQDL-FBR para simular escament ptencial e bidimensinal em trn de crps de gemetria arbitrária, buscand evidenciá-l cm ptencial ferramenta para a sluçã de prblemas na área de dinâmica ds fluids. Para alcançar tal bjetiv, fram traçads s bjetivs específics, descrits a seguir: Desenvlver um prgrama em MATLAB para gerar uma malha estruturada tip O em trn de crps de gemetria arbitrária, utilizand métd diferencial elíptic. Avaliar a influência ds parâmetrs envlvids na geraçã da malha, tais cm valres das funções de cntrle, cndiçã de rtgnalidade e númer de pnts. Utilizand sftware MATLAB, desenvlver um prgrama para aplicar MQDL-FBR n escament ptencial em trn de crps de gemetria arbitrária. Cmparar s resultads para a distribuiçã ds ceficientes de pressã, cm resultads analítics e/u numérics dispníveis na literatura. Avaliar a influência d valr d parâmetr de frma utilizad em duas FBRs diferentes na precisã ds resultads numérics. Avaliar a influência d númer de pnts da malha na precisã ds resultads btids. 1.4 Delineament d Trabalh O capítul 2 deste trabalh apresenta as cnsiderações sbre geraçã da malha cmputacinal. Sã descritas as equações de transfrmaçã, a sluçã numérica dessas equações e a avaliaçã da influência ds parâmetrs na geraçã da

52 1 Intrduçã 21 malha tip O, a saber: as funções de cntrle, a cndiçã de rtgnalidade e númer de pnts da malha. N capítul 3, sã apresentadas algumas cnsiderações sbre funções de base radial, bem cm sbre MQDL-FBR. Também sã apresentadas as cnsiderações físicas e matemáticas sbre escament ptencial em trn de um crp de gemetria arbitrária e a frmulaçã matemática para aplicaçã d MQDL-FBR. N capítul 4, sã descrits s testes numérics realizads para aplicaçã d MQDL-FBR n escament ptencial e bidimensinal em trn de crps de gemetria arbitrária. Sã apresentads s resultads btids quand utilizadas duas funções de base radial distintas. N Capítul 5, sã apresentadas as cnclusões e as prpstas para trabalhs futurs. Pr fim, sã apresentads cinc apêndices: A) Fluxgrama da Geraçã de Malha; B) Fluxgrama d Prgrama Principal; C) Derivadas das FBRs Multiquádrica e TPS Mdificada; D) Resultads ds Testes Numérics Realizads Utilizand a FBR TPS Mdificada e E) Resultads ds Testes Numérics Realizads para a Elipse cm Razã de Aspect 0,1.

53 Capítul 2 A Malha Cmputacinal Este capítul tem cm bjetiv apresentar as cnsiderações sbre a geraçã da malha, a frmulaçã matemática e a transfrmaçã das equações para a geraçã, bem cm, apresentar uma análise da influência ds parâmetrs envlvids n prcess. Sã geradas malhas estruturadas tip "O" em trn de aerfólis Jukwski simétrics e d aerfóli NACA Algumas Cnsiderações A sluçã numérica de prblemas físics, descrits pr equações diferenciais, tem na sua precisã uma influência direta da frma de discretizaçã d espaç físic. Tal discretizaçã cnsiste na geraçã de uma malha através da qual sã distribuíds pnts n espaç cntínu, ns quais s valres numérics da funçã devem ser btids (Mhebbi, 2014). Prblemas de escament de fluids sã característics desta situaçã. A distribuiçã de pnts n dmíni físic pde ser feita a partir de malhas que nã se ajustam a crp u a partir de malhas que se ajustam a crp (bdyfitted grid), Snar (1989).

54 2 A Malha Cmputacinal 23 Ns prblemas que envlvem gemetrias cmplexas, a malha deve ser gerada de maneira a se adaptar às cmplexidades, send imprtante ressaltar que, em sistemas de equações diferenciais, as cndições de cntrn têm influência dminante (Thmpsn et al., 1974, Hirsch, 2007). Assim, deve-se gerar a malha que se ajusta a crp (bdy-fitted grid) e, para tal, deve ser usad sistema crdenad generalizad cincidente cm as frnteiras (bundary-fitted crdinates). Quand essas malhas sã utilizadas em prblemas de escaments de fluids, s crps físics inserids n camp de escament sã partes da malha, u seja, tds s pnts lcalizads na superfície desses crps sã pnts da malha. Uma malha cartesiana, na qual as linhas sã linhas retas rtgnais, é uma malha que nã se ajusta as crps de gemetria cmplexa inserids n camp de escament. A variaçã suave da densidade de pnts distribuíds n dmíni e a mair densidade de pnts nas regiões nde sã esperads s maires gradientes da funçã sã características desejáveis, tant para as malhas, quant para a aplicaçã d MQDL-FBR. Além diss, as linhas da malha devem se aprximar da rtgnalidade. Malhas que se ajustam as crps pdem ser classificadas em nãestruturadas e estruturadas. As nã-estruturadas apresentam cm desvantagem fat de que cada pnt só pde ser identificad pels pnts vizinhs a ele, uma vez que nã existe uma rdenaçã na estrutura da malha. N entant, para algumas gemetrias cmplexas, a sua geraçã é mais simples d que a geraçã da malha estruturada. Para desenvlviment d prgrama cmputacinal, as malhas estruturadas apresentam vantagens cm a rdenaçã ds elements. Nessas malhas, em funçã da rientaçã das linhas, as diferentes cnfigurações sã denminadas utilizand letras cm as quais se assemelham (Siladic, 1987 e Carstens, 1988). Em alguns prblemas pde ser indicada, inclusive, a cmbinaçã de diferentes cnfigurações. As Figuras 2.1, 2.2 e 2.3 ilustram respectivamente as cnfigurações tip H, tip C e tip O, para a malha estruturada gerada em trn de um aerfóli NACA 0012.

55 2 A Malha Cmputacinal 24 Figura 2.1: Malha curvilínea estruturada tip H ajustada à frnteira de um aerfóli NACA 0012 (Siladic, 1987) Figura 2.2: Malha curvilínea estruturada tip C ajustada à frnteira de um aerfóli NACA 0012 (Siladic, 1987) Figura 2.3: Malha curvilínea estruturada tip O ajustada à frnteira de um aerfóli NACA 0012 (Siladic, 1987)

56 2 A Malha Cmputacinal 25 Para a geraçã da malha em trn de crps de gemetria arbitrária, a malha tip O apresenta-se mais interessante, pr permitir uma distribuiçã precisa de pnts tant na regiã d brd de ataque quant na regiã d brd de fuga de cnfigurações aerdinâmicas, cm n cas de aerfólis (Hirsch, 2007). A Figura 2.4 ilustra mapeament utilizad, cnsiderand uma malha tip O, em trn de um crp de cntrn suave. Figura 2.4: Mapeament d plan físic (malha tip O ) para plan cmputacinal (Fletcher, 1988) O dmíni físic é uma regiã multiplamente cnexa, mas é transfrmad numa regiã simplesmente cnexa, intrduzind um crte n mesm, na geraçã da malha tip O. Pde-se imaginar um crte d dmíni, a redr d crp (segment CD), send transfrmad em um retângul, cnfrme ilustrad na Figura 2.5.

57 2 A Malha Cmputacinal 26 Figura 2.5: Transfrmaçã d dmíni físic malha tip O (Thmpsn et al., 1985) As crdenadas cincidentes ds segments 1-2 e 3-4 d crte trnam-se frnteiras reentrantes n dmíni cmputacinal send, n plan transfrmad, as frnteiras da esquerda e da direita, respectivamente (Srensn,1980 e Thmpsn et al., 1985). Diverss métds para a geraçã da malha sã apresentads na literatura, pdend ser classificads em algébrics e diferenciais (Fletcher, 1988, Tannehill et al., 1997). Os métds algébrics utilizam funções de interplaçã para cálcul das crdenadas ds nós interns e sã mais simples de implementar. Apresentam cm desvantagem a tendência a transmitir as infrmações das frnteiras para interir d dmíni, que pde ser indesejável se as frnteiras frem descntínuas u puc suaves. Os métds diferenciais utilizam sistemas de equações diferenciais, as quais estabelecem uma relaçã matemática entre as crdenadas cartesianas e as crdenadas cmputacinais. Sã mais elabrads para implementaçã e utilizam mair temp cmputacinal. N entant, sã mais rbusts e s parâmetrs da malha sã relativamente mais fáceis de serem cntrlads (Lpes et al., 2011). Sã amplamente utilizads em prblemas de escament bidimensinais (Hirsch, 2007). Dentre s métds diferenciais, destaca-se métd diferencial elíptic, utilizad nesta Tese de Dutrad, que cnsiste em bter a sluçã de um sistema de equações diferenciais parciais elípticas, n plan físic, cm cndições de cntrn de Dirichlet (Thmpsn et al., 1974, Srensn e Steger 1977 e Snar, 1989).

58 2 A Malha Cmputacinal 27 Uma das crdenadas deve ser especificada igual a uma cnstante na superfície d crp e igual à utra cnstante na frnteira externa d dmíni físic. A utra crdenada, deve variar mntnicamente em trn d crp. O métd é utilizad para mapear dmíni físic irregular d plan xy para dmíni cmputacinal regular d plan ξη. Apesar deste métd nã garantir a rtgnalidade e a cnfrmidade da malha, mesm permite um bm cntrle ds pnts n interir da malha e frnece sluções suaves (Maliska, 1995). 2.2 Frmulaçã Matemática para a Geraçã da Malha A equaçã diferencial parcial mais utilizada para a geraçã da malha é a equaçã de Pissn, na frma apresentada nas Equações (2.1) e (2.2). ξxx + ξyy = P( ξ, η) (2.1) η xx + ηyy = Q( ξ, η) (2.2) nde P(ξ,η) e Q(ξ,η) sã funções utilizadas para cntrlar a distribuiçã ds pnts da malha. Para que s cálculs numérics sejam realizads n dmíni cmputacinal retangular, as variáveis dependentes e independentes sã trcadas nas Equações (2.1) e (2.2), (Maliska, 1995, Hirsch, 2007), segund a transfrmaçã ξ = ξ ( x, y) (2.3) η = η( x, y) (2.4) Assim, para uma funçã f (x,y), aplicand a regra da cadeia, tem-se que as derivadas parciais de primeira rdem sã f x = fξξ x + fηη x (2.5) f = f ξ + f η (2.6) y ξ y η y

59 2 A Malha Cmputacinal 28 A seguir, é apresentad desenvlviment para a btençã das derivadas de segunda rdem, primeiramente em relaçã a x f = ( f ξ ) + ( f η ) (2.7) xx ξ x x η x x Aplicand a regra d prdut na Equaçã (2.7), btém-se f = f ξ + f ξ + f η + f η (2.8) xx ξ x x ξ xx ηx x η xx Mas, f e f sã funções de ξ ξ η (x,y) e de η (x,y). Assim, aplicand a regra da cadeia, btém-se u f = [ f ξ + f η ] ξ + f ξ + [ f ξ + f η ] η + f η (2.9) xx ξξ x ξη x x ξ xx ηξ x ηη x x η xx f = f ξ + f ηξ + f ξ + f ξη + f η + f η (2.10) 2 2 xx ξξ x ξη x x ξ xx ηξ x x ηη x η xx Entã, f = f ξ + 2 f ηξ + f ξ + f η + f η (2.11) 2 2 xx ξξ x ξη x x ξ xx ηη x η xx f = f ξ + f η + ξ f + η f + 2ξ η f (2.12) 2 2 xx ξ xx η xx x ξξ x ηη x x ξη Para a determinaçã da derivada de segunda rdem de f em relaçã a y, segue-se um prcess análg. Assim, f = f ξ + f ξ + f η + f η (2.13) yy ξ y y ξ yy η y y η y y Mas, f ξ e f η sã funções de ξ (x,y) e de η (x,y). Assim, aplicand a regra da cadeia, btém-se u f = [ f ξ + f η ] ξ + f ξ + [ f ξ + f η ] η + f η (2.14) yy ξξ y ξη y y ξ yy ηξ y ηη y y η yy f = f ξ + f ηξ + f ξ + f ξη + f η + f η (2.15) 2 2 yy ξξ y ξη y y ξ yy ηξ y y ηη y η yy f = f ξ + 2 f ηξ + f ξ + f η + f η (2.16) 2 2 yy ξξ y ξη y y ξ yy ηη y η yy Entã, f = f ξ + f η + ξ f + η f + 2ξ η f (2.17) 2 2 yy ξ yy η yy y ξξ y ηη y y ξη

60 2 A Malha Cmputacinal 29 Fazend f = x na Equaçã (2.12), btém-se 0 = xξ ξ xx + xηη xx + E 1 (2.18) nde ξx xξξ + ηx xηη + 2 x E = ξ η x (2.19) x ξη Fazend f = y na Equaçã (2.12), btém-se 0 = yξ ξxx + yη xx + F 1 (2.20) nde Assim, ξx yξξ + ηx yηη + 2 x F = ξ η y (2.21) x ξη 0 = xξξxx + xηηxx + E1 0 = yξξxx + yηηxx + F1 (2.22) u xξξxx + xηηxx = E1 yξξxx + yηηxx = F1 (2.23) que, na frma matricial, pde ser escrit cm xξ xη ξxx E1 yξ y = η η xx F 1 (2.24) Reslvend sistema de equações (2.24), btém-se ξ ξ xx xx E1 xηη xx = x ξ F1 yηη xx = y ξ (2.25) (2.26) Entã, das Equações (2.25) e (2.26), btém-se E x η F y η 1 η xx 1 η xx = (2.27) x ξ y ξ

61 2 A Malha Cmputacinal 30 ( ) 1 1 ηxx xξ yη yξxη = F xξ + E yξ (2.28) Fx 1 ξ E1yξ η xx = + x y y x x y y x ξ η ξ η ξ η ξ η (2.29) Mas, das relações de transfrmaçã apresentadas em Fletcher (1988), sabe-se que x y x ξ x y ξ η η ξ =η y (2.30) x y y ξ x y ξ η η ξ = η x (2.31) Entã, ( E1 F1 ) η = η + η (2.32) xx x y De frma análga, reslvend sistema de equações (2.24) para ξ xx, tem-se ( E1 F1 ) ξ = ξ + ξ (2.33) xx x y Fazend f = x na Equaçã (2.17), btém-se 0 = xξ ξ yy + xηη yy + E 2 (2.34) nde E = x + x + x (2.35) ξy ξξ ηy ηη 2ξη y y ξη Fazend f = y na Equaçã (2.17), btém-se 0 = yξ ξ yy + yηη yy + F 2 (2.36) nde Assim, F = y + y + y (2.37) ξy ξξ ηy ηη 2ξyηy ξη 0 = xξξyy + xηηyy + E 0 = yξξyy + yηηyy + F 2 2 (2.38) u

62 2 A Malha Cmputacinal 31 xξξyy + xηηyy = E yξξyy + yηηyy = F 2 2 (2.39) que, na frma matricial, pde ser escrit cm xξ xη ξ yy E2 y y = η F 2 ξ η yy (2.40) Reslvend sistema de equações (2.40), btém-se ξ yy E2 xηη yy = (2.41) x ξ ξ yy F2 y ηyy = (2.42) y ξ Entã, das Equações (2.41) e (2.42), btém-se E2 xηη yy F2 yηη yy = (2.43) x y ξ ξ ( ) 2 2 ηyy xξ yη yξxη = Fxξ + E yξ (2.44) Fx 1 ξ Ey 1 ξ η xx = + x y y x x y y x ξ η ξ η ξ η ξ η (2.45) Recrrend-se nvamente às relações de transfrmaçã e utilizand as Equações (2.30) e (2.31), tem-se ( E2 F2 ) η = η + η (2.46) yy x y De frma análga, reslvend sistema de equações (2.40) para ξ yy, tem-se ( E2 F2 ) ξ = ξ + ξ (2.47) yy x y Substituind as Equações (2.33) e (2.47) na Equaçã (2.1), btém-se ( E + E ) ξ ( F + F) ξ = P( ξ, η) (2.48) 1 2 x 1 2 y Substituind as Equações (2.32) e (2.46) na Equaçã (2.2), tem-se

63 2 A Malha Cmputacinal 32 e fazend ( E + E ) η ( F + F ) η = Q( ξ, η) (2.49) 1 2 x 1 2 y E1 + E2 = E (2.50) F1+ F2 = F (2.51) Substituind (2.50) e (2.51) nas Equações (2.48) e (2.49), tem-se seguinte sistema de equações: Eξ x + Fξy = P( ξ, η) Eη x + Fηy = Q( ξ, η) (2.52) que, na frma matricial, se apresenta cm ξx ξy E P( ξ, η) ηx η y F = Q( ξ, η) (2.53) Reslvend sistema de equações (2.53), btém-se P( ξ, η) Eξx F = (2.54) ξ y Q( ξη, ) Eηx F = (2.55) η y Entã, das Equações (2.54) e (2.55), btém-se P( ξ, η) Eξx Q( ξ, η) Eηx = (2.56) ξ η y ( ξyηx ξη x y) ξy (,) ξ η ηy (,) ξ η y E = Q + P (2.57) ξ y ηy E = Q( ξ, η) + P( ξ, η) ξη ξη ξη ξη y x x y y x x y (2.58) Das relações de transfrmaçã, sabe-se que Jacbian da transfrmaçã pde ser escrit cm (Maliska,1995, Hirsch, 2007)

64 2 A Malha Cmputacinal 33 J = ξη ξη = x y y x x y 1 x y ξ η η ξ (2.59) Substituind (2.59) na Equaçã (2.58), btém-se ξ y η y E = Q( ξ, η) P( ξ, η) (2.60) J J u P( ξ, ηη ) y Q( ξηξ, ) y E = (2.61) J De maneira análga, reslvend sistema de equações (2.53) para F, tem-se F Mas, cm [ Q( ξ, ηξ ) P( ξηη, ) ] x x = (2.62) J E = E1+ E2 (2.63) e substituind as Equações (2.19) e (2.35) em (2.63) tem-se E= ξ x + η x + 2ξη x + ξ x + η x + 2ξη x (2.64) x ξξ x ηη x x ξη y ξξ y ηη y y ξη Entã, (2.64) pde ser escrita cm u ( ξx ξy ) ( ηx ηy ) 2( ξη x x ξη y y) + x + + x + + x = E (2.65) ξξ ηη ξη ax + bx + 2dx = E (2.66) ξξ ηη ξη nde 2 x 2 y a = ξ + ξ, 2 x 2 y b = η + η e d = ξ xη x + ξ yη y. De maneira análga F = F1+ F2 (2.67) e substituind as Equações (2.21) e (2.37) em (2.67) tem-se

65 2 A Malha Cmputacinal 34 F = ξ y + η y + 2ξη y + ξ y + η y + 2ξη y x ξξ x ηη x x ξη y ξξ y ηη y y ξη (2.68) Entã, (2.68) pde ser escrita cm u ( ξx ξy ) ( ηx ηy ) 2( ξη x x ξη y y) + y + + y + + y = F (2.69) ξξ ηη ξη ay + by + 2dy = F (2.70) ξξ ηη ξη nde 2 x 2 y a = ξ + ξ, 2 x 2 y b = η + η e d = ξxηx + ξyηy. Das relações de transfrmaçã (Fletcher, 1988), x y x ξ η y = (2.71) J η J x ξ = (2.72) y η ξ y = (2.73) J ξ J x η = (2.74) e substituind estas relações nas Equações (2.61) e (2.62), btém-se E = P( ξη, ) xξ + Q( ξη, ) xη (2.75) F = Q( ξη, ) yη + P( ξη, ) y ξ (2.76) E, finalmente, substituind as Equações (2.75) e (2.76) nas Equações (2.66) e (2.70), tem-se as seguintes equações: axξξ + bxηη + 2 dxξη + P( ξη, ) xξ + Q( ξη, ) xη = 0 (2.77) ayξξ + byηη + 2 dyξη + P( ξη, ) yξ + Q( ξη, ) yη = 0 (2.78) nde a = ξ + ξ, 2 2 x y b η η d = ξ η + ξ η. 2 2 = x + y e x x y y

66 2 A Malha Cmputacinal 35 Observa-se que, nas Equações (2.77) e (2.78), as variáveis dependentes sã x e y, send, agra, ξ e η as variáveis independentes. O prblema passa a ser reslvid num plan cmputacinal (ξ,η), fix e regular, e a sluçã frnece s pnts d dmíni físic irregular (x,y). Os ceficientes a, b e d pdem também ser escrits adtand-se x e y cm variáveis dependentes e ξ e η cm variáveis independentes. Para ist, basta utilizar as relações de transfrmada inversa (Maliska, 1995). Assim, 1 αxξξ + γxηη 2 βxξη + P( ξ, η) x Q(, ) x 0 2 ξ + ξ η η = J (2.79) 1 α yξξ + γ yηη 2 β yξη + P( ξ, η) y Q(, ) y 0 2 ξ + ξ η η = J (2.80) nde 2 2 α = x + y, γ = x + y, β = x x + y y. 2 2 η η ξ ξ ξ η ξ η Os ceficientes α, γ e β sã s cmpnentes d tensr métric assciad à transfrmaçã e J Jacbian da transfrmaçã. O sistema definid pelas Equações (2.79) e (2.80) é um sistema que, apesar de ser mais cmplex que sistema definid pelas Equações (2.1) e (2.2), apresenta duas vantagens: as cndições de cntrn sã especificadas diretamente nas frnteiras e dmíni cmputacinal é unifrme, descrit pr crdenadas cartesianas (Thames et al., 1977). 2.3 Sluçã Numérica das Equações de Transfrmaçã As equações de geraçã transfrmadas, Equações (2.79) e (2.80), nã têm sluçã analítica fácil, send entã, reslvidas numericamente. O bjetiv é bter as crdenadas x e y d dmíni físic, crrespndentes as pnts interns d plan cmputacinal (ξ,η). O métd das diferenças finitas, utilizand diferenças finitas centradas, pde ser aplicad para a sluçã das equações.

67 2 A Malha Cmputacinal 36 A Figura 2.6 ilustra plan cmputacinal (ξ,η) e a discretizaçã utilizada para a sluçã das equações de geraçã transfrmadas, cnsiderand um pnt P e seus vizinhs. Escrevend as Equações (2.79) e (2.80) para uma variável genérica ϕ, que representa as crdenadas x e y d dmíni físic, tem-se a seguinte equaçã: 1 αϕξξ + γϕηη 2 βϕξη + P( ξ, η) ϕ Q(, ) 0 2 ξ + ξ η ϕη = J (2.81) Figura 2.6: Pnt intern a plan cmputacinal e seus vizinhs Aprximand numericamente s terms da Equaçã (2.81), utilizand diferenças finitas centradas, as seguintes expressões sã estabelecidas: ϕe ϕw ϕξ = 2Δξ ϕn ϕs ϕη = 2Δη ϕ ϕ ξξ ηη ϕe + ϕw 2ϕP = 2 Δξ ϕn + ϕs 2ϕP = 2 Δη (2.82) (2.83) (2.84) (2.85)

68 2 A Malha Cmputacinal 37 ϕ ξη ϕ + ϕs ϕ ϕ = 4ΔΔ ξ η NE SW SE NW (2.86) Substituind as Equações (2.82) a (2.86) na Equaçã (2.81), btém-se ϕe + ϕw 2ϕP ϕn + ϕs 2ϕP ϕne + ϕssw ϕse ϕnw α + γ 2β Δξ Δη 4ΔξΔη 1 ϕe ϕw ϕn ϕs + P( ξη, ) Q( ξη, ) = J 2Δξ 2Δη (2.87) Para facilitar a implementaçã, fram assumids Δξ = 1 e Δη = 1. Estes valres, após a substituiçã das equações transfrmadas, sã cancelads. A Equaçã (2.87) fi entã manipulada algebricamente, para bter s ceficientes assciads a pnt P e as seus pnts vizinhs. Assim, P( ξη, ) P( ξη, ) Q( ξη, ) ϕe α+ 2 + ϕw α ϕ 2 + N γ J 2J 2J Q( ξη, ) 2β 2β + ϕ γ ϕ ϕ S 2 + 2J NE SE 4 2β 2β + ϕnw + ϕsw = ϕp α+ γ 4 4 ( 2 2 ) (2.88) Entã, A ϕ = A ϕ + A ϕ + A ϕ + A ϕ + P P E E W W N N S S + A ϕ + A ϕ + A ϕ + A ϕ (2.89) NE NE SE SE NW NW SW SW nde A = 2( α + γ ) (2.90) A P E A W A N P( ξ, η) = α + (2.91) 2 2J P( ξ, η) = α (2.92) 2 2J Q( ξ, η) = γ + (2.93) 2 2J

69 2 A Malha Cmputacinal 38 A S Q( ξ, η) = γ (2.94) 2 2J β A NE = 2 (2.95) β A SE = 2 (2.96) A NW β = 2 (2.97) A SW β = 2 (2.98) e 2 η 2 η α = x + y (2.99) 2 ξ 2 ξ γ = x + y (2.100) β = x x + y y (2.101) ξ η ξ η J = x ξ y η 1 x η y ξ (2.102) Para a geraçã da malha é necessária uma distribuiçã inicial ds pnts n dmíni físic. Para métd diferencial elíptic de geraçã da malha, a interplaçã transfinita se destaca pr ser uma técnica algébrica, de baix cust cmputacinal, e que acelera temp de cnvergência. A interplaçã transfinita, detalhada em Mhebbi (2014), é essencialmente uma interplaçã entre curvas u superfícies a invés de pnts. É chamad de "transfinita" prque cmbina valres de crdenadas em tda a curva u superfície, u seja, num númer infinit de pnts (Siladic, 1987). Numa interplaçã unidimensinal, utiliza funções cm plinômis de Lagrange u de Hermite, u funções spline. Para dmíni bidimensinal, faz interplações lineares cm funções de Lagrange a lng de cada uma das crdenadas. A malha inicial, gerada pela interplaçã transfinita nã é suave e, se huver descntinuidade da inclinaçã ns limites d dmíni físic, essa descntinuidade será prpagada para interir d dmíni. A Figura 2.7 ilustra a

70 2 A Malha Cmputacinal 39 malha de dimensã 29 x 29 pnts, btida a utilizar a interplaçã transfinita, a redr d aerfóli NACA Figura 2.7: Malha gerada pr interplaçã transfinita em trn d aerfóli NACA 0012 A Figura 2.8 ilustra a malha de dimensã 29 x 29 pnts, btida a utilizar métd diferencial elíptic, a redr d aerfóli NACA Fi utilizada para a distribuiçã inicial ds pnts, as interseções da malha btida pr interplaçã transfinita. Figura 2.8: Malha gerada pel métd diferencial elíptic em trn d aerfóli NACA 0012

71 2 A Malha Cmputacinal 40 Nesta Tese de Dutrad, para gerar a malha em trn de crps de gemetria arbitrária, fi cnsiderada cm frnteira externa d dmíni físic, uma circunferência cm rai igual a 10 unidades de cmpriment. N centr desta circunferência, fram clcads diferentes crps para simulações, a saber: um cilindr circular, uma elipse, aerfólis Jukwski simétrics e um aerfóli simétric NACA de quatr dígits. Na frnteira externa, pnts fram distribuíds utilizand um increment angular cnstante, calculad a partir d númer de pnts distribuíds na linha de centr d cilindr, n eix mair da elipse e na crda ds aerfólis. Os perfis gemétrics ds crps fram mapeads para a determinaçã das crdenadas ds pnts na superfície ds mesms, cnsiderada cm frnteira interna d dmíni físic. Para definir as linhas de ξ e de η cnstantes n dmíni físic, fram definidas as variáveis i e j n dmíni cmputacinal. A variável i descreve s pnts a redr d crp (linhas de η cnstante), send tmada n sentid hrári a partir d brd de fuga ds crps, da superfície ds mesms até à frnteira externa. A variável j descreve as linhas rtgnais às linhas de i, send j =1 na superfície d crp e j = j max na frnteira externa. Uma vez determinads s pnts na frnteira externa e na frnteira interna, fi utilizada para uma primeira distribuiçã de pnts n dmíni físic, a interplaçã transfinita prpsta pr Thmpsn et al. (1977a e 1977b). Para as abscissas x ds pnts d dmíni, tem-se x i j = i 1 x i j i + i x j max 1(, ) ( max, ) (1, ) imax 1 imax 1 (2.103) j 1 j j x2(, i j) = xi (, jmax) x1(, i jmax) + xi (,1) x1(,1) i jmax 1 jmax 1 max [ ] [ ] (2.104) x(, i j) = x (, i j) + x (, i j) (2.105) 1 2

72 2 A Malha Cmputacinal 41 Equações análgas fram utilizadas para as rdenadas y ds pnts d dmíni, tend assim, a distribuiçã inicial btida utilizand interplaçã transfinita n plan xy, para a geraçã da malha. A Figura 2.9 ilustra plan cmputacinal para a geraçã elíptica da malha tip O. Cnfrme cmentad anterirmente, s limites d plan cmputacinal em i = 1 e em i = i max cnstituem frnteiras reentrantes, nas quais s valres de x e y nã sã especificads. Numericamente, nestas frnteiras, s valres da funçã fram tratads cm f = f (2.106) imax, j 1, j f + = f (2.107) imax 1, j 2, j 2 j jmax 1 As derivadas para s pnts interns, u seja, quand 2 i imax 1 e, fram aprximadas utilizand diferenças finitas centradas, cnfrme as Equações (2.108) a (2.117). 1 xξ ) i, j = ( xi+ 1, j xi 1 j ) (2.108) 2 (, 1 ( xη ) i, j= ( xi, j+ 1 xi, j 1) (2.109) 2 1 yξ ) i, j = ( yi+ 1, j yi 1 j ) (2.110) 2 (, 1 y η ) i, j = ( yi, j+ 1 yi, j ) (2.111) 2 ( 1 (, xξξ ) i, j = ( xi+ 1, j 2xi, j + xi 1 j ) (2.112) ( i, j = i, j+ 1 i, j + i, j 1 x ηη ) ( x 2x x ) (2.113) (, yξξ ) i, j = ( yi+ 1, j 2 yi, j + yi 1 j ) (2.114) ( i, j = i, j + 1 i, j + i, j 1 y ηη ) ( y 2y y ) (2.115)

73 2 A Malha Cmputacinal 42 1 x ξη ) i, j = ( xi+ 1, j+ 1 xi 1, j+ 1 xi+ 1, j 1 + xi 1, j ) (2.116) 4 ( 1 1 y ξη ) i, j = ( yi+ 1, j+ 1 yi 1, j+ 1 yi+ 1, j 1 + yi 1, j ) (2.117) 4 ( 1 Figura 2.9: Plan cmputacinal O sistema de equações resultante fi entã reslvid utilizand Métd de Sbre-Relaxaçã Sucessiva u SOR (Sucessive Over-Relaxatin). Assim, ( k + 1) ( k + 1) ( ) x = ω x + (1 ω) x k (2.118) ( k + 1) ( k + 1) ( ) y = ω y + (1 ω) y k (2.119) nde k é númer da iteraçã e ω é fatr de relaxaçã. Quand ω é igual a um, tem-se Métd de Gauss-Siedel e se ω < 1, prblema está send sub-relaxad, crrend um aument d númer de iterações necessári para cnvergência. Quand ω > 1, sistema está send sbre-relaxad e tende a diminuir númer de iterações até um determinad valr de ω, que deve ser menr d que dis (Frtuna, 2012). Testes numérics fram realizads e, para tds s cass, valr de ω em trn de 1,8 apresentu um menr númer de

74 2 A Malha Cmputacinal 43 iterações para a cnvergência. Para definir a cnvergência, fi definida uma 5 tlerância de ε = 10 para err, qual fi estabelecid para ( k + 1) ( k ) ( 1) ( ) x x e y k + ε y k ε (2.120) Depis de btida a cnvergência, s valres das métricas da transfrmaçã α, β, γ e d Jacbian, para cada pnt d dmíni, fram armazenads para serem utilizads na sluçã d escament. 2.4 Avaliaçã da Influência ds Parâmetrs Envlvids na Geraçã da Malha Para que fsse pssível avaliar a influência das funções de cntrle, da cndiçã de rtgnalidade e d númer de pnts na geraçã da malha, fram realizads testes numérics a partir de um prgrama desenvlvid neste trabalh utilizand sftware MATLAB. O fluxgrama utilizad para a geraçã da malha tip O está apresentad n Apêndice A. As malhas fram geradas em trn de um aerfóli NACA 0012 e em trn de aerfólis Jukwski. Em tds s testes, fi cnsiderada cm critéri de 5 cnvergência uma tlerância ε = 10, send utilizad fatr de relaxaçã ω = 1, 85. O aerfóli simétric NACA 0012, cm crda igual a uma unidade de cmpriment, fi psicinad n centr da circunferência que limita dmíni físic, e teve seu perfil gerad utilizand a Equaçã (2.121), Mran (1984). t yt (0,2969 x 0,1260 x 0,3537 x 0, 20 2 =± , 2843 x 0,1015 x ) (2.121) nde y t é a rdenada calculada em funçã da espessura máxima d aerfóli, t, e da psiçã x tmada a lng da crda, a partir d brd de ataque. O aerfóli NACA 0012 é um aerfóli simétric tend uma espessura máxima de 12% da crda.

75 2 A Malha Cmputacinal 44 Os aerfólis Jukwski, cm crda igual a uma unidade de cmpriment, fram também psicinads n centr da circunferência que limita dmíni físic. Fi utilizada a transfrmaçã de Jukwski para mapeament desses perfis, cnfrme detalhada em Lewis (1991) e ilustrada gemetricamente na Figura Fram cnsiderads um aerfóli Jukwski simétric e arredndad nas prximidades d brd de fuga e um aerfóli Jukwski também simétric, prém afilad nas prximidades d brd de fuga. Para esses aerfólis, fi cnsiderad r 0 = 0, 25. Os valres ds parâmetrs gemétrics da transfrmaçã de Jukwski utilizads para aerfóli simétric e arredndad na regiã próxima a brd de fuga fram ε 1 = 0, 02, 6 ε 2 = 10 e ε 3 = 0, 01, nde ε 1, ε 2 e ε 3 cntrlam, respectivamente, a espessura, arqueament e arredndament da regiã próxima a brd de fuga d aerfóli. Para aerfóli simétric e afilad na regiã próxima a brd de fuga esses valres fram ε 1 = 0, 02 ; 6 ε 2 = 10 e ε =. Círcul n plan cmplex z Aerfóli n plan cmplex ζ Figura 2.10: Transfrmaçã gemétrica de Jukwski ζ = z +a 2 / z, Lewis (1991) Influência ds Valres das Funções de Cntrle Para valres aprpriads das funções de cntrle, P ( ξ, η) e Q ( ξ, η), s valres máxims e mínims das crdenadas generalizadas ξ e η devem crrer nas

76 2 A Malha Cmputacinal 45 frnteiras, garantind que mapeament d dmíni físic para dmíni cmputacinal crra pnt a pnt. Valres extrems btids para estas funções, n entant, pdem prvcar distrções e sbrepsiçã da malha. Diversas expressões sã apresentadas na literatura para P ( ξ, η) e Q ( ξ, η). Thmpsn et al. (1977b) apresentaram cm prpsta as expressões dadas em (2.122) e (2.123). n P( ξη, ) = asign( ξ ξ)exp i + m j= 1 i= 1 i i c i ξ ξ 2 2 1/2 d j ( ξ ξ j ) + ( η η j ) bjsign( ξ ξ j)exp (2.122) n Q( ξη, ) = asign( η η)exp i + m j= 1 i= 1 i i c i η η 2 2 1/2 d j ( ξ ξ j ) + ( η η j ) b jsign( η η j)exp (2.123) nde ξ i e η i sã as linhas para as quais as utras linhas de ξ e η serã atraídas e ( ξ j, η j ) sã s pnts para s quais as linhas de ξ e de η serã atraídas. Cabe ressaltar que as cnstantes a i, c i, b e j d nã assumem necessariamente s mesms j valres, devend ser determinadas a partir de testes numérics. A Figura 2.11 ilustra a malha gerada nesta Tese de Dutrad, cm valres de P ( ξ, η) e Q ( ξ, η) nuls, utilizand métd diferencial elíptic, dimensã de 41 x 41 pnts, em trn d aerfóli NACA A Figura 2.12 ilustra mais detalhadamente as regiões d brd de ataque e d brd de fuga referentes à malha apresentada na Figura Testes fram realizads cnsiderand alguns valres para as funções de cntrle P ( ξ, η) e Q( ξ, η ), para avaliar a influência ds mesms na geraçã da malha. Observu-se uma mair sensibilidade cm relaçã as valres de P ( ξ, η). Para valres de P ( ξ, η) iguais a -0,15 e a 0,15, defrmações fram bservadas, cnfrme ilustram as Figuras 2.13 e 2.14.

77 2 A Malha Cmputacinal 46 Figura 2.11: Malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts, cm P ( ξ, η) = 0 e Q( ξ, η ) = 0; 165 iterações Brd de ataque Brd de fuga Figura 2.12: Detalhes das regiões d brd de ataque e d brd de fuga, NACA 0012, P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0

78 2 A Malha Cmputacinal 47 Figura 2.13: Malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts, cm P( ξ, η ) = 0,15 e Q( ξ, η ) = 0; 180 iterações Figura 2.14: Malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts, cm P( ξη, ) = 0,15 e Q( ξ, η ) = 0; 151 iterações Para valres de P( ξ, η ) abaix de -0,15 e acima de 0,15, as defrmações aumentaram gradativamente até que, para s valres de -0,43 e 0,56, huve sbrepsiçã e quebra da malha, cnfrme ilustrad na Figura 2.15.

79 2 A Malha Cmputacinal 48 P( ξ, η ) = 0,43 e Q( ξ, η ) = 0 P( ξ, η ) = 0,56e Q( ξ, η ) = 0 Figura 2.15: Sbrepsições e quebras da malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts Cm relaçã as valres de Q( ξ, η ), fi pssível bter malhas sem sbrepsiçã, n interval de -0,22 a 1,56. Para valres de Q( ξ, η ) negativs, bservu-se uma aprximaçã das linhas de η cnstante para aerfóli e para valres de Q( ξ, η ) psitivs, um afastament. Mesm nã tend crrid defrmações significativas para valres psitivs até 1,56, afastament das linhas de η cnstante nã é interessante para cas d estud d escament em trn d crp, uma vez que s maires gradientes de pressã crrem próxims à superfície. As Figuras 2.16 e 2.17 ilustram as malhas btidas cnsiderand valr nul de P( ξ, η ) e s valres limites de Q( ξ, η ), antes de crrer sbrepsiçã e quebra da malha. Figura 2.16: Malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts, cm P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0,22, 261 iterações

80 2 A Malha Cmputacinal 49 Figura 2.17: Malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts, cm P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 1,56; 109 iterações Para valres abaix de -0,22 e acima de 1,56 para Q( ξ, η ), sbrepsiçã e quebra da malha acnteceram, cnfrme ilustrad na Figura P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0,23 P( ξ, η ) = 0e Q = 1, 57 Figura 2.18: Sbrepsições e quebras da malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts Os testes realizads para aerfóli Jukwski, simétric e arredndad, indicaram uma mair sensibilidade à influência ds valres das funções de cntrle P( ξ, η ) e Q( ξ, η ). A Figura 2.19, ilustra a malha tip O, gerada utilizand métd diferencial elíptic, 41 x 41 pnts, em trn d aerfóli Jukwski, simétric e arredndad, cm valres de P( ξ, η) e Q( ξ, η ) nuls.

81 2 A Malha Cmputacinal 50 Figura 2.19: Malha tip O, Jukwski simétric e arredndad, 41 x 41 pnts, cm P( ξ, η ) = 0 e Q = 0 ; 169 iterações A Figura 2.20 ilustra mais detalhadamente, as regiões d brd de ataque e d brd de fuga. Brd de ataque Brd de fuga Figura 2.20: Detalhes das regiões d brd de ataque e d brd de fuga, Jukwski, simétric e arredndad, P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0 Cm relaçã as valres de P( ξ, η ), defrmações crreram já para P( ξ, η ) = 0,02 e para P( ξ, η ) = 0,02, cnfrme ilustrad na Figura 2.21.

82 2 A Malha Cmputacinal 51 P( ξ, η ) = 0,02e Q( ξ, η ) = 0 P( ξ, η ) = 0,02 e Q( ξ, η ) = 0 Figura 2.21: Sbrepsições e quebras da malha tip O, Jukwski simétric e arredndad, 41 x 41 pnts Para variações de Q( ξ, η ), as defrmações cmeçaram a surgir para valres iguais a -0,07 e a 1,55. A Figura 2.22 ilustra tais defrmações. P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0,07 P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 1,55 Figura 2.22: Defrmações da malha tip O, Jukwski simétric e arredndad, 41 x 41 pnts

83 2 A Malha Cmputacinal 52 Deve-se ressaltar aqui, que defrmações e/u quebras das malhas surgiram em funçã de prblemas de mal-cndicinament ds sistemas. Para aerfóli Jukwski simétric e afilad, só nã crreram defrmações da malha para valres nuls de P( ξ, η) e Q( ξ, η ). A Figura 2.23 ilustra a malha tip O gerada para esta situaçã e a Figura 2.24 ilustra, mais detalhadamente, as regiões d brd de ataque e d brd de fuga d aerfóli Jukwski afilad e simétric Influência da Cndiçã de Ortgnalidade Sabe-se que métd diferencial elíptic nã garante a rtgnalidade da malha. N entant, a suavidade e a rtgnalidade das linhas de malha afetam a precisã das sluções numéricas (Mhebbi, 2014). O desvi d espaçament da malha pde resultar em errs de truncament, particularmente nas frnteiras d dmíni físic. Sejam s gradientes de ξ e η : Entã, ξ = ξ x î + ξ ĵ (2.124) y η = η x î + η ĵ (2.125) y ξ η = ξx ηx + ξyηy (2.126) Figura 2.23: Malha tip O, Jukwski simétric e afilad, 41 x 41 pnts, cm P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0; 166 iterações

84 2 A Malha Cmputacinal 53 Brd de ataque Brd de fuga Figura 2.24: Detalhes das regiões próximas a brd de ataque e a brd de fuga de aerfóli Jukwski simétric e afilad, P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0 Utilizand as relações de transfrmaçã, dadas nas Equações (2.71) a (2.74) e, substituind na Equaçã (2.126), tem-se ( ξ η ξ η) 2 ξ η = J x x + y y (2.127) Aplicand a cndiçã de rtgnalidade, u seja, igualand a zer prdut escalar nas frnteiras, btém-se xξ xη + yξ y n = 0 (2.128) A Equaçã (2.128) fi entã, utilizada para impr a rtgnalidade das linhas de malha à frnteira reentrante. As Figuras 2.25, 2.26 e 2.27 ilustram as malhas tip "O", geradas utilizand métd diferencial elíptic, de 49 x 49 pnts, cm funções de cntrle P ( ξ, η) = 0 e Q ( ξ, η) = 0, cm aplicaçã da cndiçã de rtgnalidade e sem aplicaçã da cndiçã de rtgnalidade. Estas figuras apresentam as malhas geradas para s aerfólis NACA 0012, Jukwski simétric e arredndad e Jukwski simétric e afilad, respectivamente.

85 2 A Malha Cmputacinal 54 Sem cndiçã de rtgnalidade Cm cndiçã de rtgnalidade Figura 2.25: Malha tip O, NACA 0012, 41 x 41 pnts, P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0 Sem cndiçã de rtgnalidade Cm cndiçã de rtgnalidade Figura 2.26: Malha tip O, Jukwski simétric e arredndad, 41 x 41 pnts, P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0

86 2 A Malha Cmputacinal 55 Sem cndiçã de rtgnalidade Cm cndiçã de rtgnalidade Figura 2.27: Malha tip O, Jukwski simétric e afilad, 41 x 41 pnts, P( ξ, η ) = 0 e Q( ξ, η ) = 0 Nta-se que, sem a aplicaçã da cndiçã de rtgnalidade, crre afastament e variaçã d espaçament da malha, gerand errs de truncament e afetand a precisã na sluçã de prblemas físics. Para verificar a influência da aplicaçã da cndiçã de rtgnalidade na precisã de resultads numérics, fram realizadas simulações utilizand MQDL- FBR em trn d aerfóli Jukwski simétric, cm a regiã d brd de fuga arredndada e afilada, cnsiderand s ânguls de ataque α = 0º e α = 5º. Nestas simulações fi utilizada a malha de 41 x 41 pnts e a FBR Multiquádrica cm parâmetr de frma c = 80. As Tabelas 2.1 e 2.2 apresentam s valres para err médi quadrátic, btids para ceficiente de pressã na superfície ds aerfólis Jukwski simétrics arredndad e afilad, respectivamente. Para cálcul ds errs, fram utilizadas cm referência as sluções analíticas. As cnsiderações a respeit ds cálculs d err médi quadrátic e d ceficiente de pressã sã apresentadas n Capítul 4 desta tese.

87 2 A Malha Cmputacinal 56 Tabela 2.1: Errs médis quadrátics btids sem e cm a aplicaçã da cndiçã de rtgnalidade, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 0º e α = 5º, FBR Multiquádrica, malha de 41 x 41 pnts α Sem aplicaçã da cndiçã de rtgnalidade Cm aplicaçã da cndiçã de rtgnalidade 0º 1, x , x , x , x 10-4 Tabela 2.2: Errs médis quadrátics btids sem e cm a aplicaçã da cndiçã de rtgnalidade, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, α = 0º e α α = 5º, FBR Multiquádrica, malha de 41 x 41 pnts Sem aplicaçã da cndiçã de rtgnalidade Cm aplicaçã da cndiçã de rtgnalidade 0º 1, x , x , x , x Influência d Númer de Pnts Para aerfóli NACA 0012 fram testadas as seguintes distribuições de pnts: 29x29, 39x39, 49x49, 59x59, 69x69, 79x79 e 89x89 pnts. As Figuras 2.28 e 2.29 ilustram s cmprtaments d númer de iterações e d temp necessári para cnvergência da malha, em funçã d númer de pnts. Fi utilizad para s testes um cmputadr Intel (R) Cre (TM) 2 Du CPU 2,93 GHz, memória RAM de 4,00 GB, 64-bit.

88 2 A Malha Cmputacinal NACA 0012 Númer de Iterações Númer de Pnts Figura 2.28: Cmprtament d númer de iterações necessári para cnvergência, cm a dimensã da malha, NACA Temp necessári para cnvergência (s) NACA Númer de Pnts Figura 2.29: Cmprtament d temp necessári para cnvergência, cm a dimensã da malha, NACA 0012 As malhas geradas para aerfóli NACA 0012, nã apresentaram prblemas cm relaçã à dimensã, mas para dimensões superires a 49 x 49 pnts crreu um aument significativ d temp cmputacinal. Quant a númer de iterações necessári para cnvergência, crreu um aument gradual d mesm, cm aument da dimensã da malha.

89 2 A Malha Cmputacinal 58 Na geraçã da malha em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, crreu mal-cndicinament d sistema para malhas de dimensões inferires a 39 x 39 pnts e superires a 45 x 45 pnts. A malha em trn d aerfóli Jukwski afilad e simétric mstru-se ainda mais sensível a númer de pnts distribuíds. Neste cas, mal-cndicinament d sistema crreu para dimensões da malha inferires a 41 x 41 pnts e superires a 45 x 45 pnts. Os cmprtaments d númer de iterações e d temp para a cnvergência, cm a dimensã da malha, para s aerfólis Jukwski, estã ilustrads nas Figuras 2.30 e 2.31, respectivamente. 400 Númer de Iterações Aerfóli Jukwski simétric e arrendndad Aerfóli Jukwski simétric e afilad Númer de Pnts Figura 2.30: Cmprtament d númer de iterações necessári para cnvergência, cm a dimensã da malha, aerfólis Jukwski

90 2 A Malha Cmputacinal Temp necessár para cnvergência (s) Aerfóli Jukwski simétric e arredndad Aerfóli Jukwski simétric e afilad Númer de Pnts Figura 2.31: Cmprtament d temp necessári para cnvergência, cm a dimensã da malha, aerfólis Jukwski Os cmprtaments d númer de iterações e d temp gast para cnvergência, n cas d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, nã apresentaram grandes variações cm a dimensã da malha. Para aerfóli Jukwski afilad e simétric, visivelmente, a malha de 43 x 43 pnts distribuíds fi a que apresentu um menr númer de iterações e menr temp necessári para cnvergência.

91 Capítul 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de Crps de Gemetria Arbitrária Este capítul apresenta algumas cnsiderações sbre as funções de base radial, sbre Métd de Quadratura Diferencial Lcal cm Funções de Base Radial (MQDL-FBR), sbre escament ptencial e bidimensinal em trn de crps de gemetria arbitrária, bem cm a metdlgia utilizada para aplicaçã d MQDL- FBR a este tip de escament. 3.1 Funções de Base Radial Uma funçã de base radial (FBR) é definida pr (Fasshauer, 2007, Glbabai e Seifllahi, 2006) ( ) φ : d, φ (x) = φ x x (3.1) i i i nde d é a dimensã d prblema, x e x i sã vetres de mesma dimensã e φ uma funçã que depende apenas da distância radial entre x e x i. Na Equaçã (3.1),. é alguma nrma em d, send geralmente utilizada a nrma euclidiana.

92 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 61 Definind x x i cm r, pde-se escrever a FBR cm φ () r. 2 As FBRs pdem ser divididas em dis grups principais: as infinitamente suaves e as suaves pr partes. As infinitamente suaves, pssuem derivadas parciais de qualquer rdem em r = 0, enquant que as suaves pr partes nã pssuem (Silva, 2014). A Tabela 3.1 apresenta algumas das FBRs infinitamente suaves mais utilizadas, em funçã de r e c, send c parâmetr de frma da funçã ( c > 0 ) (Shu et al., 2003). Tabela 3.1: Algumas FBRs infinitamente suaves mais utilizadas (Shu et al., 2003) FBR infinitamente suave φ (,) rc Multiquádrica (Mq) φ (,) rc = r + c Multiquádrica Inversa (MqI) φ (,) rc = 2 2 r + c Gaussiana (GA) φ (,) rc = e r 2 / c 2 Alguns autres utilizam ε cm send parâmetr de frma da FBR, send que este tem cmprtament invers de c. A Tabela 3.2 apresenta as mesmas FBRs infinitamente suaves, em funçã de r e ε (Larssn e Frnberg, 2003a). Diverss estuds têm sid realizads cm bjetiv de determinar parâmetr de frma mais adequad para s diferentes tips de FBR e aplicações (Piret, 2007, Bayna et al., 2011, Cheng, 2012, Afiatdust e Esmaeilbeigi, 2015, Esmaeilbeigi e Hsseini, 2014). Segund Fasshauer e Zhang (2007), a esclha d parâmetr de frma é fatr imprtante para resultad, pdend cmprmeter a sua precisã, a estabilidade numérica e cust cmputacinal. Em geral, resultads mais preciss sã btids para valres de ε muit pequens, tant em prblemas de interplaçã de dads disperss, quant em prblemas de sluçã de equações diferenciais (Larssn e

93 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 62 Frnberg, 2003b). N entant, valres pequens de ε, resultam em um achatament n cmprtament da FBR e, em algumas situações, pdem gerar mal- cndicinament da matriz de interplaçã. Tabela 3.2: Algumas FBRs infinitamente suaves em funçã de r e ε (Larssn e Frnberg, 2003) FBR infinitamente suave φ (, r ε ) Multiquádrica (Mq) 2 φ(, r ε) = 1 + ( ε r) Multiquádrica Inversa (MqI) φ(, r ε) = ( ε r) 2 Gaussiana (GA) r 2 φ(, r ε) = e ε ( ) Sants (2016) apresenta s cmprtaments de diversas FBRs em funçã ds valres de ε. As Figuras 3.1, 3.2 e 3.3 apresentam estes cmprtaments para as FBRs Multiquádrica, Multiquádrica Inversa e Gaussiana, respectivamente, nde ϕ () r é a funçã de base radial. Dentre as FBRs suaves pr partes, Piret (2007) destaca cm as mais utilizadas, as apresentadas na Tabela 3.3. Figura 3.1: Cmprtament da FBR Multiquádrica (Sants, 2016)

94 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 63 Figura 3.2: Cmprtament da FBR Multiquádrica Inversa (Sants, 2016) Figura 3.3: Cmprtament da FBR Gaussiana (Sants, 2016) Tabela 3.3: FBRs suaves pr partes, mais utilizadas segund Piret (2007) FBR infinitamente suave φ ( r, c) Thin-Plate Spline (TPS) Linear (LN) φ = 2 ( r) r lg( r) φ ( r ) = r 3 Cúbica (CB) φ ( r ) = r Spline Pliharmônica PHS 1 Spline Pliharmônica PHS 1 φ() r 2p 1 = r, p 2 φ () r = r p lg() r, p 0

95 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial Interplaçã cm Funções de Base Radial N prcess de interplaçã utilizand FBRs, faz-se a cmbinaçã linear da funçã centrada ns pnts x i. Assim, trabalha-se cm uma FBR interplante para pnts disperss n dmíni de interesse. Assim, send ( x p ) esclhida, N ( ) f ( x ) = λφ x x (3.2) p i i i= 1 x x a FBR f valr aprximad da funçã n pnt de interesse, φ ( i ) λ i as incógnitas d sistema de equações lineares e x i s centrs (pnts para s quais s valres da funçã sã cnhecids). Send x i (centrs nas FBRs) s pnts ns quais s valres da funçã a ser interplada sã cnhecids, valres desta funçã em utrs pnts disperss x j pdem ser btids desde que ( ) N j j i j i i= 1 j {1,, n} f = f( x ) = λφ x x (3.3) que, na frma vetrial, é escrit cm Φλ = F (3.4) send Φ a matriz simétrica ds elements φij φ( xj xi ) =, cnhecida cm matriz de interplaçã, λ vetr das incógnitas ( λ 1,...λ ) T n e F vetr ds valres cnhecids da funçã ns centrs ( f 1,..., f ) T n. Cm relaçã à sluçã d sistema, sabe-se que, para que mesm tenha sluçã e que esta seja única, a matriz de interplaçã deve ser nã-singular (Michelli, 1986). Na frma matricial, a Equaçã (3.3) é escrita cm φ φ φ ( x1 x1 ) φ( x2 x1 ) φ( xn x1 ) ( x x ) φ( x x ) φ( x x ) 1 λ 1 f λ2 f = n ( x x ) φ( x x ) φ( x x ) λ f 1 2 n n n n 2 n 1 2 n (3.5)

96 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 65 N prcess de interplaçã, as FBRs pdem ser definidas em td dmíni u em parte dele. As FBRs apresentadas nas Tabelas 3.1 a 3.3 sã funções definidas em td dmíni, send cnhecidas cm FBRs de suprte glbal. A análise glbal é utilizada cm resultads satisfatóris em diverss prblemas. Prém, quand númer de pnts é elevad, a matriz de interplaçã resultante é densa e pde ser altamente mal-cndicinada, causand prblemas de estabilidade. Esta dificuldade pde ser superada pela aplicaçã de FBRs de suprte cmpact que a serem empregadas geram matrizes de interplaçã psitivas definidas e esparsas. As FBRs de suprte cmpact u lcal surgiram em meads de 1990 e as mais utilizadas sã as funções apresentadas pr Wendland (1995). Wendland (1995) demnstru que, para uma determinada dimensã d e um determinad grau de suavidade, sempre existe uma funçã de base radial psitiva definida na frma de um plinômi de uma variável de grau mínim, únic dentr de um fatr cnstante. Algumas dessas funções sã apresentadas na Tabela 3.4 para diverss graus de n cntinuidade desejads ( C ) e dimensinalidade d. Send φ psitiva definida e se φ PD d, deve-se ressaltar que φ PDk sempre que k d. As funções apresentadas na Tabela 3.4 têm rai de influência igual a um. Para adaptar a interplaçã de dads disperss de diferentes densidades, trna-se necessári dimensinar rai de influência. Assim, as funções apresentadas pdem ser reescritas substituind r pr ( r / a), nde a é rai de influência a ser cnsiderad. Para valres de r maires d que valr de a cnsiderad, a funçã é truncada para valr zer. Send assim, rai de influência cntrla a densidade da matriz, pis se valr de a fr mair que mair valr de r d dmíni, a matriz será cmpletamente cheia. Pr utr lad, quant menr valr de a, mair a esparcidade da matriz, resultand em menr precisã. Num cas extrem, se a fr menr que a menr distância entre dis pnts de clcaçã (nós), a matriz de interplaçã será uma matriz diagnal. Prtant, um valr aprpriad de rai de influência a ser utilizad deve estar entre estes dis limites.

97 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 66 φ (r) ( 1 r ) + Tabela 3.4: FBRs de suprte cmpact (Wendland, 1995) (1 ) + (3r + 1) n C PD 0 d C PD 3 r C 2 PD1 5 2 r C 4 PD1 (1 ) + (8r + 5r + 1) r C 0 PD3 2 ( 1 ) + 4 (1 r ) + (4r + 1) C 2 PD3 6 2 r C 5 PD3 (1 ) + (35r + 18r + 3) (1 r ) + (32r + 25r + 8r + 1) C 6 PD3 r C 0 PD5 3 ( 1 ) + 5 r C 2 PD5 (1 ) + (5r + 1) 7 2 (1 r ) + (16r + 7r + 1) C 4 PD5 1 Segund Flater e Iske (1996), valr d rai de influência interfere n cmprtament da aprximaçã e na estabilidade d prcess de interplaçã. D pnt de vista d cmprtament da aprximaçã, intuitivamente, parece que uma mair densidade de valres na matriz de interplaçã prduz melhr aprximaçã, send melhr um mair valr d rai de influência. N entant, grandes valres d rai de influência geram valres pequens para a razã ( r / a) e clunas da matriz de clcaçã pdem ter valres muit próxims, pdend casinar perda de estabilidade n prcess de interplaçã. Prtant, pensand nesta estabilidade, melhr seria trabalhar cm valres menres d rai de influência A Sluçã de Equações Diferenciais Parciais Utilizand Funções de Base Radial Ideia similar à da interplaçã, pde ser utilizada para a sluçã de equações diferenciais parciais, utilizand FBRs. Seja um dad dmíni d Ω e uma equaçã diferencial parcial de frma que

98 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 67 Lu ( x) = f ( x), em Ω (3.6) Cm cndiçã de cntrn de Dirichlet, u ( x) = g( x), em Ω (3.7) nde L é peradr diferencial parcial. N métd assimétric de clcaçã (Kansa, 1990a,b), a sluçã aprximada u é representada pr uma expansã análga àquela utilizada para a interplaçã de dads, Equaçã (3.3), u seja, N u = λφ x x i= 1 i ( i ) (3.8) nde u é valr aprximad da sluçã n pnt de interesse, φ ( x x i ) é a funçã de base radial, λ i sã as incógnitas d sistema de equações, x i s centrs, B i s pnts d cntrn d dmíni, N númer de pnts d dmíni. Send a matriz de interplaçã φ φ ( x x i ) = definida cm à A = L à (3.9) btida pr à L ( x x ) = Lφ j = 1,2,...,Ni i = 1,2,..., N (3.10) j ( ) i à = φ x j x i j = Ni +1, Ni + 2,..., N i = 1,2,..., N (3.11) nde N i é númer de pnts interns d dmíni. Kansa (1990a,b) prpôs métd utilizand a FBR multiquádrica e, cnsequentemente, este métd de clcaçã assimétric frequentemente aparece na literatura cm Métd Multiquádric. O prblema d métd de Kansa é que, para um parâmetr de frma ε cnstante, a matriz de interplaçã pde ser singular para certas cnfigurações de centrs.

99 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 68 N métd de clcaçã simétric, basead na interplaçã de Hermite, a expansã aprximada para a funçã incógnita u, assume a seguinte frma Ni N P λi φ i λiφ i i= 1 i= N i + 1 u = L ( x x ) + ( x x ) (3.12) nde Ni é númer de pnts n dmíni Ω, N = N i + Nb, N b é númer de pnts n cntrn Ω e Send a matriz de interplaçã φ φ ( x x i ) P L é peradr diferencial da equaçã diferencial parcial. = simétrica definida cm à P à A = LL L (3.13) à P à L Send s blcs gerads da seguinte frma P ( LL i à P ) ij = LL φ ( x j x ), j = 1,2,...,Ni, i = 1,2,...,Ni (3.14) ( ÃL) ij = Lφ ( x j xi ), j = 1,2,...,Ni, i = Ni +1, Ni + 2,... N (3.15) P ( à P ) ij = L φ ( x j xi ), j = Ni +1, Ni + 2,... N, i = 1,2,..., Ni (3.16) L à ij = φ ( x j xi ), j = Ni +1, Ni + 2,... N, i = Ni +1, Ni + 2,... N (3.17) A matriz A na Equaçã (3.13) é nã-singular para uma esclha aprpriada de φ. Um pnt a favr da abrdagem de Hermite é que a matriz A é simétrica, a cntrári da matriz de interplaçã btida pel métd assimétric, que é de grande valr para uma implementaçã eficiente d métd de clcaçã. Vale ntar que, embra a matriz A agra seja cmpsta pr quatr blcs, ela permanece d mesm tamanh da matriz btida pel métd de Kansa. Se métd de Hermite pssui a vantagem de gerar matrizes de interplaçã simétricas, métd de Kansa apresenta a vantagem de ser mais simples de implementar, uma vez que requer númer menr de derivadas da funçã básica.

100 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial O Métd de Quadratura Diferencial Lcal cm Funções de Base Radial (MQDL-FBR) O Métd de Quadratura Diferencial (MQD) fi inicialmente prpst pr Bellman et al. (1972) seguind a ideia de quadratura integral. A essência d métd é a aprximaçã das derivadas parciais de uma funçã descnhecida através de smas pnderadas de valres da funçã ns pnts discrets d dmíni. N Métd de Quadratura Diferencial Lcal (MQDL), a aprximaçã é aplicada lcalmente. Para cada pnt d dmíni (nó de referência), define-se uma regiã de suprte (estêncil), cnfrme ilustrad na Figura 3.4. Nó de referência Nó de suprte lcal Figura 3.4: Suprte lcal (estêncil) em trn de um nó de referência Seja f ( x) uma funçã suficientemente suave. Entã a derivada de m-ésima rdem cm relaçã à x, n pnt x i, pde ser aprximada utilizand MQDL cnfrme a Equaçã (3.18) f ( x ) = w f( x ), i = 1, 2,..., N (3.18) m Ns i m x j= 1 ( m) ij j nde x j, j = 1,... NS, sã s pnts de suprte, f ( x ) e j (m) wij sã, respectivamente, s valres da funçã nestes pnts e s ceficientes de pnderaçã relacinads. O índice i relacina pnt numa discretizaçã glbal de N nós e índice j numa discretizaçã lcal (suprte). O prcediment pde ser utilizad para qualquer

101 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 70 dimensã d dmíni e para a determinaçã ds ceficientes de pnderaçã, que é um pnt crucial d métd, é necessári um cnjunt de funções de base. Shu et al. (2003) prpuseram entã, Métd de Quadratura Diferencial Lcal cm Funções de Base Radial (MQDL-FBR), que utiliza uma funçã de base radial para determinar s ceficientes de pnderaçã n prcess de quadratura diferencial lcal (Bhatia e Arra, 2016). Este métd é atualmente denminad pr váris autres cm Métd de Diferenças Finitas gerad pr Funções de Base Radial (Radial Basis Functin-generated Finite Difference RBF-FD), Sants (2016). Nesta Tese de Dutrad, para a aplicaçã d MQDL-FBR, fram utilizadas as FBRs Multiquádrica, cnfrme apresentada na Tabela 3.1, e a FBR utilizada pr Yu (2001), para interplaçã de superfícies de pnts disperss, apresentada na Equaçã (3.19), nmeada aqui de FBR TPS mdificada (TPSm). 2 2 φ ( x) = r ln( r + c) (3.19) Substituind cnjunt de FBR na Equaçã (3.18), btém-se um sistema de equações lineares lcal para a determinaçã ds ceficientes de pnderaçã (Sants, 2012), cnfrme a Equaçã (3.20). m φk( xi) = m x NS j= 1 w φ ( x ), k = 1, 2,... NS (3.20) ( m) ij k j Para um dad pnt de referência i, sistema de equações btid na partir da Equaçã (3.20) tem N S incógnitas cm N S equações. A sluçã deste sistema frnece entã, s ceficientes de pnderaçã (m) w ij, que sã utilizads para a aprximaçã das derivadas da funçã descnhecida. Na frma matricial, a Equaçã (3.20) pde ser escrita cm m φk( xi) A w m = i x [ ]{ }, i = 1, 2,... N (3.21)

102 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 71 A matriz [ A ], btida da FBR, é simétrica e, cas ela seja singular, sistema nã tem sluçã. Para a FBR multiquádrica, Hn e Shaback (2001) mstraram que s cass de singularidade sã rars, pdend ser descnsiderads. Os ceficientes de pnderaçã calculads para cada derivada de cada nó de referência devem ser armazenads, bem cm a relaçã de cnectividade entre s nós de suprte, estabelecida para a definiçã da estrutura d estêncil. Expressand de frma explícita, a Equaçã (3.21) para a primeira derivada ( m = 1) em relaçã à crdenada x, tem-se φ1 ( x ) ( ) x i φ ( x ) φ ( x ) φ xn S w i,1 x φ2 ( xi ) x x = φ2( x1) φ2( x2) φ2 ( xn ) S w i,2 φn ( xi) S w x { b i } x N ( 1) N ( 2) N ( N ) in, N x1 φ x φ x φ x S S S S N xn S S S S N x1 S [ A] { w i } (3.22) Diverss critéris para definiçã da estrutura d estêncil pdem ser estabelecids, cm pr exempl: utilizar um determinad númer de nós mais próxims a nó de referência u estabelecer um rai e cnsiderar cm nós de suprte s pnts interns à circunferência definida pr esse rai. Neste últim cas, númer de nós de suprte pde ser variável para diferentes pnts de referência. O suprte lcal pde ainda ser centrad u nã. A Figura 3.5 exemplifica um suprte lcal nã centrad. Uma característica favrável d métd é que s ceficientes de pnderaçã estã relacinads smente cm a FBR utilizada e a psiçã ds nós de suprte. É naturalmente um métd meshfree, uma vez que a única infrmaçã necessária ds pnts d dmíni é a lcalizaçã ds mesms (Shu et al., 2003). Apesar d MQDL-FBR apresentar uma abrdagem lcal, prblemas de malcndicinament pdem crrer na matriz da FBR. Para suprtes lcais cm mair númer de pnts, a matriz [ A ] d sistema (3.21) pde ser mal-cndicinada,

103 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 72 impedind cálcul de valres satisfatóris para s ceficientes de pnderaçã, para determinads valres d parâmetr de frma da FBR. Diverss trabalhs têm sid desenvlvids, prpnd frmas para melhrar cndicinament da matriz [ A ], cm pr exempl, métd Cntur-Padé (Sarra e Kansa, 2009) e métd RBF- QR, que permite cálcul de interplantes e a aprximaçã de derivadas para pequens valres d parâmetr de frma (ε ) da FBR (Frnberg e Piret, 2008, Frnberg et al., 2011, Frnberg et al., 2013, Larssn et al., 2013). Figura 3.5: Suprte lcal nã centrad (Sants, 2016) 3.3 Cnsiderações Físicas e Frmulaçã Matemática para Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de Crps de Gemetria Arbitrária Escaments externs em crps simétrics, tais cm cilindrs e esferas, nã geram sustentaçã, uma vez que nã geram assimetria n escament incidente, cnfrme ilustrad na Figura 3.6.

104 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 73 Figura 3.6: Escament em trn de um cilindr (Pereira, 2005) Em perfis esbelts, ns quais a simetria acntece em relaçã a apenas um eix, s camps de pressã e velcidade, acima e abaix d crp sã simétrics, quand crp está alinhad cm escament incidente. N entant, quand crp é ligeiramente rtacinad, bserva-se que uma assimetria surge n escament. Tal assimetria altera s camps de velcidade e pressã, gerand uma frça de sustentaçã (Pereira, 2005). Cnsiderand um escament cm efeits de cmpressibilidade desprezíveis e efeits viscss restrits a uma estreita camada limite, as hipóteses de escament incmpressível e irrtacinal sã bastante razáveis para escament em trn de um crp. Tal escament é classificad cm escament ptencial e incmpressível. Send escament bidimensinal e incmpressível, define-se entã, a funçã crrente ψ cm u = ψ y ψ v = x (3.23) (3.24) nde u é a cmpnente da velcidade na direçã x e v é a cmpnente da velcidade na direçã y. Pela cndiçã de irrtacinalidade, tem-se que v u x y = 0 (3.25)

105 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 74 Substituind as Equações (3.23) e (3.24) na Equaçã (3.25), tem-se a equaçã gvernante para escament ptencial e bidimensinal u a equaçã de Laplace para a funçã-crrente, dada a seguir. 2 2 ψ ψ + = x y (3.26) Tal equaçã requer duas cndições de cntrn, uma na superfície d crp e uma n limite d dmíni físic (regiã de escament nã perturbad), cnfrme ilustrad na Figura 3.7, para escament em trn de um aerfóli. Figura 3.7: Cndições de cntrn: escament nã viscs (Andersn, 1985) Lnge da superfície d crp, a velcidade tende à velcidade d escament incidente (cndiçã de crrente livre). Se α é ângul de ataque e V a velcidade da crrente livre, entã as cmpnentes da velcidade pdem ser escritas cm ψ u = = V y ψ v= = V x csα senα (3.27) (3.28) Em terms da funçã-crrente, tem-se entã a cndiçã de cntrn na regiã de escament nã-perturbad (frnteira externa d dmíni físic):

106 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 75 ψ ( x, y) = ycsα xsenα (3.29) Na Equaçã (3.29), cmpriment d crp e a velcidade da crrente livre V, fram utilizadas para adimensinalizar a funçã-crrente. Uma vez que escament é nã viscs, nã se aplica na superfície a cndiçã de nã deslizament. A cndiçã de cntrn aplicada é a de impenetrabilidade, u seja, vetr velcidade deve ser tangente à superfície. Assim, ψ = 0 s (3.30) nde s é tmad a lng da superfície u, ψ ( xy, ) = cnstante (3.31) Além das cndições de cntrn, necessárias para a sluçã da Equaçã (3.26) n escament ptencial em trn de um crp, a aplicaçã da cndiçã de Kutta, que fixa valr da circulaçã, é fundamental para perfis aerdinâmics cm regiões próximas a brd de fuga afilada u aguda. Tal cndiçã exige escament suave e que nã cntrne brd de fuga. Na regiã muit próxima a brd de fuga a pressã n extradrs precisa ser igual à pressã n intradrs (Wilkinsn, 1967). A Figura 3.8 ilustra a terminlgia utilizada para um aerfóli típic de crda C. Espessura máxima Brd de ataque y Extradrs Linha de curvatura média x Pnt de espessura máxima Crda Intradrs Brd de fuga Figura 3.8: Terminlgia para um aerfóli típic (adaptad de Andersn, 1985)

107 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial Aplicaçã d MQDL-FBR n Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de Crps de Gemetria Arbitrária O escament ptencial e bidimensinal em trn de um crp tem cm equaçã gvernante para a funçã-crrente a equaçã de Laplace, Equaçã (3.26), cm as cndições de cntrn dadas pelas Equações (3.29) e (3.30). Quand a Equaçã (3.26) é transfrmada para sistema de crdenadas curvilíneas, ela assume a frma dada a seguir: αψ 2βψ + γψ = 0 (3.32) ξξ ξη ηη nde α, β e γ sã as métricas da transfrmaçã, dadas pelas Equações (2.99) a (2.101). Send as cndições de cntrn, depis de transfrmadas, escritas cm: Na superfície d crp, para i = 1,..., imax : ψ ( ξη, ) = ψ 0 η η1 em = ( j = 1) (3.33) Na frnteira externa d dmíni, para i = 1,..., imax : ψ ( ξη, ) ( ξη, )cs α ( ξη, )senα = y 2 x 2 η η2 j jmax em = ( = ) (3.34) A Figura 3.9 ilustra as frnteiras e as cndições de cntrn transfrmadas, crrespndentes. Discretizand a Equaçã (3.32) para um nó de referência i d dmíni, btém-se αψ( ξ, η ) 2 βψ( ξ, η ) + γψ( ξ, η ) = 0 (3.35) i i ξξ i i ξη i i ηη Aprximand as derivadas pel MQDL-FBR, cnfrme a Equaçã (3.21) e aplicand na Equaçã (3.35) tem-se que N S 2ξ ξη 2η [ αwi, j 2 βwi, j+ γwi, j] ψ( ξ j, ηj) = 0 i 1, 2,... j= 1 = N (3.36)

108 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 77 Figura 3.9: Cndições de cntrn transfrmadas nde 2 ξ w i, j e 2 η w i, j sã s ceficientes de pnderaçã assciads às derivadas de segunda rdem cm relaçã a ξ e a η, respectivamente, e ξη w i, j é ceficiente de pnderaçã assciad à derivada de segunda rdem mista, para nó de referência i. Nesta Tese de Dutrad, fram adtadas estruturas de suprte lcal centradas e, inicialmente, fram testadas duas distribuições diferentes ds nós de suprte para a aplicaçã d MQDL-FBR. A Figura 3.10 ilustra as estruturas de suprte testadas, send estas, cnhecidas cm estruturas de primeira camada (Sants, 2012). Estêncil 1: N S = 5 Estêncil 2: N S = 9 Figura 3.10: Estruturas de suprte lcal (estênceis) testadas

109 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 78 Estruturas de segunda camada nã fram testadas pr apresentarem, para s pnts de referência próxims d crp, pnts de suprte interns a crp. Tais situações necessitariam de aprximações, casinand errs numérics. A Figura 3.11 ilustra uma estrutura de suprte de segunda camada. Figura 3.11: Estrutura de suprte lcal (estêncil) de segunda camada Dentre as estruturas testadas e apresentadas na Figura 3.10, fez-se a pçã pela estrutura denminada estêncil 2, cm nve nós de suprte, em funçã das derivadas de segunda rdem mista se anularem na estrutura denminada estêncil 1. Fi utilizada a mesma estrutura de suprte lcal para tds s pnts de referência d dmíni, send que, entã, cálcul ds ceficientes de pnderaçã fi realizad apenas uma vez e armazenad. A Equaçã (3.36) fi entã aplicada para s nós interns, cnsiderand as métricas e s valres d Jacbian btids na geraçã da malha para s pnts de referência. Fram cnsideradas quatr situações: 1) pnts de referência sem nós de suprte nas frnteiras físicas, 2) pnts de referência cm nós de suprte na frnteira interna, 3) pnts de referência cm nós de suprte na frnteira externa e 4) nós de referência situads nas frnteiras reentrantes. Atençã especial fi dada as nós de referência lcalizads nas frnteiras reentrantes, para que as estruturas de suprte ds mesms se cmunicassem. A sluçã d sistema de equações para determinaçã ds ceficientes de pnderaçã d MQDL-FBR fi btida utilizand Métd de Eliminaçã de Gauss, cm pivtament.

110 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial Superpsiçã de Sluções Uma vez que sistema a ser reslvid é linear em ψ, a sluçã para escament em trn d aerfóli, para qualquer ângul de ataque, fi btida fazend a superpsiçã de três sluções, descritas a seguir, cm as respectivas cndições de cntrn. Sluçã (1): O escament cm ângul de ataque α = 0, sem circulaçã. (1) ψ i,1 = 0 1,..., imax i = (3.37) ψ = y i = 1,..., imax (3.38) (1) i, jmáx i, j Sluçã (2): O escament cm ângul de ataque α = 90, sem circulaçã. (2) ψ i,1 = 0 1,..., imax i = (3.39) ψ = x i = 1,..., imax (3.40) (2) i, jmáx i, j Sluçã (3): O escament cm V = 0, cm circulaçã. (3) ψ i,1 = 1 1,..., imax i = (3.41) ψ = i = 1,..., imax (3.42) (3) i, j máx 0 Os sistemas de equações btids para cálcul das sluções descritas acima, fram slucinads utilizand a ferramenta de fatraçã LDU d sftware MATLAB, devid à esparsidade da matriz d MQDL-FBR.

111 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial A Cndiçã de Kutta Para a determinaçã d valr da funçã-crrente, fi impsta na superfície d crp a cndiçã de Kutta, que estabelece que escament deva ser suave e que nã cntrne brd de fuga. Uma circulaçã é intrduzida n escament, mdificand a cnfiguraçã das linhas de crrente, de tal frma que a velcidade n brd de fuga seja finita. (1) Uma vez btidas as sluções fundamentais ( ψ, (2) (3) ψ e ψ ), a sluçã cmpleta para a funçã crrente é determinada a partir da Equaçã (3.43). (1) (2) (3) ( F) F ψ ξη,, = ψ ( ξη, )cs α + ψ ( ξη, )sen α + ψ ( ξη, ) (3.43) nde F é um fatr determinad a partir da impsiçã da cndiçã de Kutta. Para a determinaçã deste fatr F, fi adtad prcediment apresentad pr Pires Júnir (1977), descrit a seguir. Seja a transfrmaçã apresentada nas Equações (2.3) e (2.4). Aplicand a regra da cadeia, as expressões das derivadas de primeira rdem de uma funçã f sã btidas e estã apresentadas nas Equações (2.5) e (2.6). Fazend f = ψ nessas equações, pde-se escrever que ψ = ψ ξ + ψ η (3.44) x ξ x η x ψ = ψ ξ + ψ η (3.45) y ξ y η y Das relações de transfrmaçã e substituind as Equações (2.71) à (2.74) nas Equações (3.44) e (3.45), tem-se ψ x = J ( ψξ yη ψη yξ) (3.46) ψ y = J( ψη xξ ψξ xη) (3.47) Utilizand as Equações (3.46) e (3.47) nas Equações (3.23) e (3.24), que definem a funçã crrente ψ, entã,

112 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 81 u = ψ = J( ψ x ψ x ) (3.48) y η ξ ξ η v = ψ = J( ψ y ψ y ) (3.49) x η ξ ξ η Na superfície d crp, cm ψ ξ = 0, entã, as Equações (3.48) e (3.49) sã reescritas cm u = = J x (3.50) ψ y ψ η ξ v = = J y (3.51) ψ x ψ η ξ Uma frma de garantir que, na regiã d brd de fuga, a linha de crrente tenha a mesma direçã d perfil é fazer cm que a cmpnente nrmal da velcidade v seja nula. Assim, para que ist acntecesse, fi cnsiderad n brd de fuga que ψ η = 0 (3.52) Derivand a Equaçã (3.43) em relaçã a η, pde-se escrever que (1) (2) (3) ( F) F ψ ξη,, = ψ ( ξη, )cs α + ψ ( ξη, )sen α + ψ ( ξη, ) (3.53) η η η η Aplicand a Equaçã (3.52) na Equaçã (3.53), para que a cndiçã de Kutta fsse bedecida, fatr F fi calculad segund a Equaçã (3.54). F ψ ( ξη, )cs α ψ ( ξη, ) senα = (3.54) (1) (2) η η (3) ψη ( ξ, η) Uma vez calculad, este fatr F fi utilizad na Equaçã (3.43) para determinaçã da funçã-crrente em tds s pnts d dmíni. A metdlgia aqui utilizada para a impsiçã da cndiçã de Kutta garante a velcidade nula n brd de fuga (pnt de estagnaçã), que é válid quand aerfóli tem um ângul finit n brd de fuga, cnfrme ilustrad na Figura 3.12.

113 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 82 Aerfóli V 1 V 2 Figura 3.12: Aerfóli cm ângul finit n brd de fuga (adaptada de Mhebbi e Sellier, 2014) Se V 1 e V 2 sã s vetres velcidade n intrabrd e n extrabrd, respectivamente, ter dis valres finits d módul destes vetres, em direções diferentes, n mesm pnt, é impssível. Assim, a única pssibilidade é ter ambas as velcidades nulas (Mhhebi e Sellier, 2014). N entant, se aerfóli tiver brd de fuga afilad, esta cnsideraçã nã é realista. Uma vez que, nesta situaçã, s vetres velcidade estã na mesma direçã, estas grandezas assumem magnitudes finitas e iguais, send este valr, diferente de zer, cnfrme ilustrad na Figura Aerfóli V 2 V 1 Figura 3.13: Aerfóli cm brd de fuga afilad (adaptada de Mhebbi e Sellier, 2014) Cálcul das Velcidades As Equações (3.48) e (3.49) pdem ser utilizadas para a determinaçã das cmpnentes d vetr velcidade para s pnts d dmíni. Já, as Equações (3.50) e (3.51) sã válidas para a superfície d crp, na qual a funçã-crrente é cnstante, u seja, ψ ξ = 0.

114 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 83 A Equaçã (3.55) apresenta a expressã para vetr velcidade na superfície d crp. V = Jxξψη î + Jyξψη ĵ (3.55) O vetr unitári tangente à superfície d crp pde ser escrit cm τ = x ˆi+ y ˆj ξ x ξ + y 2 2 ξ ξ (3.56) u τ = x ˆi+ y ˆj ξ γ ξ (3.57) Assim, a cmpnente d vetr velcidade tangente à superfície d crp pde ser btida cm Entã, ( Jx ψ î + Jy ψ ĵ) xξ î + yξ ĵ V t = V. τ = ξ η ξ η. (3.58) γ V t = Jψ η γ (3.59) Na superfície d crp, as derivadas de x e y em relaçã à ξ fram aprximadas pelas diferenças centradas de segunda rdem, cnfrme Equações (2.108) e (2.110), em tds s pnts, excet nas frnteiras reentrantes, u seja, em i =1 e em i = imax (Thames et al. (1977)). Nestas frnteiras, tem-se 1 ξ 1,1 2 (3.60) ( x ) = x3,1 + 4x2,1 3x1,1 ( xξ ) = xi 2,1 4xi 1,1 + 3xi,1 imax,1 1 2 max max max (3.61) Send que expressões análgas fram utilizadas para a crdenada y.

115 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 84 As derivadas, na superfície d crp, em relaçã η fram aprximadas utilizand as expressões das diferenças unilaterais de segunda rdem, cnfrme 1 η i,1 2 (3.62) ( x ) = xi,3 + 4xi,2 3xi,1 1 η i,1 2 (3.63) ( y ) = yi,3 + 4yi,2 3yi,1 ( ψη ) = ψi,3 + 4ψi,2 3ψi,1 i,1 1 2 (3.64) Cálcul d Ceficiente de Pressã O ceficiente de pressã, C p, é uma grandeza adimensinal que relacina a pressã estática cm a pressã dinâmica em um escament ideal. É definid cm C p p p 1 ρ V 2 2 (3.65) nde p e V sã, respectivamente, a pressã e a velcidade d escament nãperturbad e ρ a massa específica d fluid em escament. Para escaments ptenciais e incmpressíveis, ceficiente de pressã pde ser express em terms de velcidades apenas, a partir da equaçã de Bernulli (Andersn, 1985). Seja escament a redr de um crp aerdinâmic. Para um pnt tmad na superfície d crp, nde p e V sã, respectivamente, a pressã e a velcidade d escament neste pnt, entã, aplicand a equaçã de Bernulli, tem-se p + ρ V = p + ρv (3.66) 2 2 u

116 3 Funções de Base Radial e MQDL-FBR Aplicad a Escament Ptencial 85 p 2 ( V V 2 ) 1 p = ρ (3.67) 2 Substituind a Equaçã (3.66) na Equaçã (3.64), btém-se u 2 V C p = 1 (3.68) V C p ( V ) 2 = (3.69) 1 t nde V t é a velcidade tangencial (lcal) à superfície d crp, adimensinalizada pela velcidade da crrente livre (escament nã perturbad).

117 Capítul 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR n Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de Crps de Gemetria Arbitrária Este capítul apresenta s testes numérics realizads e s principais resultads btids para a aplicaçã d MQDL-FBR n escament ptencial e bidimensinal em trn de crps de gemetria arbitrária, a saber: cilindr, a elipse, aerfólis Jukwski simétrics e aerfóli NACA O prgrama utilizad para a simulaçã fi desenvlvid utilizand sftware MATLAB, tend cm bjetivs bter as linhas de funçã-crrente e avaliar cmprtament d ceficiente de pressã na superfície ds crps, C p. Tds s testes fram realizads utilizand um cmputadr cm prcessadr Intel Cre Du CPU cm memória RAM de 4,00 GB, 64-bit. O fluxgrama utilizad para desenvlviment deste prgrama está apresentad n Apêndice B. Para análise ds resultads numérics btids, fi avaliad Err Médi Quadrátic () encntrad para ceficiente de pressã na superfície ds crps, cnfrme definid na Equaçã (4.1), tmand cm referências as sluções exatas dispníveis na literatura.

118 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 87 1 = C C i n= imax 2 ( p p ) (4.1) numéric exat max n= 1 Os cass simulads e, neste capítul apresentads, fram: 1) cilindr circular, sem sustentaçã; 2) a elipse cm razã de aspect igual a 0,5 e cm ânguls de ataque iguais a 0 e a 5 ; 3) s aerfólis Jukwski simétrics cm ânguls de ataque 0 e 5 e regiões d brd de fuga arredndada e afilada; 4) aerfóli NACA 0012 cm diferentes ânguls de ataque. A validaçã d prgrama fi realizada a partir ds resultads btids para cilindr circular, para a elipse e para s aerfólis Jukwski simétrics, que apresentam sluçã analítica e exata para d ceficiente de pressã na superfície. Psterirmente, fram realizadas as simulações para aerfóli NACA As simulações fram realizadas para diferentes tamanhs de malhas e diverss valres d parâmetr de frma da FBR Multiquádrica, cnfrme a Tabela 3.1 (Capítul 3) e da FBR TPS Mdificada (TPSm), apresentada na Equaçã (3.19). A FBR Multiquádrica, em tdas as situações simuladas, apresentu menr para ceficiente de pressã na superfície d cilindr, da elipse e ds aerfólis Jukwski simétrics. Assim, fez-se a pçã pr, neste capítul, apresentar s resultads btids quand utilizada esta FBR. Sã cmentads s resultads btids cm a utilizaçã da FBR TPS Mdificada, mas as tabelas e s gráfics para esta FBR estã apresentads n Apêndice D. Cm relaçã às funções de cntrle da malha, P( ξ, η ) e Q( ξ, η ), bservu-se que, para tdas as gemetrias, resultads satisfatóris fram btids cm valres de P( ξ, η ) = 0 e de Q( ξ, η ) = Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de um Cilindr Circular Fi avaliad escament ptencial e bidimensinal em trn de um cilindr circular fix, de diâmetr igual a uma unidade de cmpriment. Para análise ds

119 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 88 resultads numérics, fi avaliad Err Médi Quadrátic () tmand cm referência a sluçã teórica apresentada na Equaçã (4.2), Andersn (1985). C p 2 = 1 4sen θ (4.2) Para avaliar cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR, fram realizadas simulações cm diferentes valres d parâmetr de frma, para três tamanhs diferentes da malha, a saber: 49 x 49, 59 x 59 e 89 x 89 pnts. A Tabela 4.1, apresenta s resultads btids para, cm a variaçã d parâmetr de frma, para as três malhas citadas, quand utilizada a FBR Multiquádrica. Estes resultads estã ilustrads na Figura 4.1. Tabela 4.1: para diferentes valres d parâmetr de frma, escament ptencial e bidimensinal em trn d cilindr, FBR Multiquádrica c (Malha 49 x 49) (Malha 59 x 59) (Malha 89 x 89) 0,100 5, x , x , x ,000 5, x , x , x ,000 7, x , x , x ,000 3, x , x , x ,000 1, x , x , x ,000 1, x , x , x ,000 1, x , x , x ,000 1, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 8, x , x , x ,000 1, x , x , x ,000 1, x , x , x 10-5 Pde ser bservad que, valr d parâmetr de frma da FBR Multiquádrica que apresentu um menr err médi quadrátic, fi c = 80, independentemente d

120 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 89 númer de pnts das malhas testadas. O fat d valr ótim d parâmetr de frma nã depender da dimensã da malha (distância ndal) é crrbrad pr Bayna et al. (2010) Cilindr (R = 0,5) FBR Multiquádrica 49 x 49 pnts 59 x 59 pnts 89 x 89 pnts Parâmetr de Frma da FBR Figura 4.1: Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR Multiquádrica, escament ptencial e bidimensinal em trn d cilindr Para avaliar cmprtament d cm a dimensã da malha, fram realizadas simulações para diferentes dimensões da malha, em númer de pnts, 29 x 29, 39 x 39, 49 x 49, 59 x 59, 69 x 69, 79 x 79, 89 x 89, 99 x 99 e 109 x 109. Fi mantid fix parâmetr de frma da FBR n valr que apresentu melhr resultad nas primeiras simulações, u seja, c = 80. A Tabela 4.2 e a Figura 4.2, apresentam s resultads numérics e cmprtament d em funçã d númer de pnts da malha, respectivamente, para um parâmetr de frma da FBR Multiquádrica c = 80. Pde ser bservad que, menr fi btid cm uma malha de 89 x 89 pnts, quand cnsiderad um parâmetr de frma c = 80. Fram realizadas 488 iterações para a geraçã da malha e s temps de prcessament gasts nesta situaçã fram de aprximadamente: 1) para a geraçã da malha: 83 segunds; 2) para cálcul ds

121 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 90 ceficientes de pnderaçã: 0,1 segund; 3) para sluçã d MQDL-FBR: 220 segunds. Tabela 4.2: para diferentes dimensões da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn d cilindr, FBR Multiquádrica, c = 80 N x N 29 x 29 4, x x 39 1, x x 49 8, x x 59 4, x x 69 2, x x 79 7, x x 89 1, x x 99 3, x x 109 1, x Cilindr R = 0, FBR Multiquádrica c = Númer de Pnts Figura 4.2: Cmprtament d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn d cilindr, FBR Multiquádrica, c = 80 Pde ser bservad que, para malhas de dimensã superir a 89 x 89 pnts, aumentu. Tal fat é cnhecid cm err de estagnaçã u saturaçã,

122 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 91 que crre quand err nã diminui cm refinament da malha. Uma pssível explicaçã para fat é que grau de cndicinament da matriz da FBR pde estar send mantid u pirad. Flyer et al. (2016a) e Flyer et al. (2016b) apresentam cm sugestã para evitar pssíveis errs desta natureza, a inclusã de plinômis adicinais a utilizar a FBR Pliharmônica Spline. As simulações descritas também fram realizadas utilizand a FBR TPS Mdificada. N entant, fi necessári utilizar valres bastante elevads d parâmetr de frma ( c ) para que fssem btids valres d próxims as cnseguids quand utilizada a FBR Multiquádrica. O cmprtament e s resultads cm a sua utilizaçã estã apresentads n Apêndice D. O menr, para escament em trn d cilindr, fi btid quand utilizada a malha de 89 x 89 pnts, cm valr d parâmetr de frma da FBR Multiquádrica c = 80. As Figuras 4.3, 4.4 e 4.5 ilustram a malha de 89 x 89 pnts, cmprtament das linhas de crrente e d ceficiente de pressã na superfície d cilindr, respectivamente. Observa-se uma ba cncrdância cm s resultads analítics. Figura 4.3: Malha tip O gerada em trn d cilindr, 89 x 89 pnts

123 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 92 Figura 4.4: Linhas de funçã crrente n escament ptencial e bidimensinal em trn d cilindr circular, 89 x 89 pnts, FBR Multiquádrica, c = 80 Figura 4.5: Ceficiente de pressã na superfície d cilindr circular, malha de 89 x 89 pnts, FBR Multiquádrica, c = Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de uma Elipse Para a avaliaçã d escament ptencial em trn de uma elipse, fi utilizada a transfrmaçã Jukwski para mapeament d perfil, cnfrme detalhada em Lewis (1991). A sluçã exata para a velcidade tangencial d escament na superfície da elipse é btida pr

124 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 93 v t 2V sen( θ α ) + Γ /2πr0 = 4 a a 1+ 2 cs2θ r r 0 0 (4.3) nde r 0 e a sã, respectivamente, rai da circunferência (ver Figura 2.10) e uma cnstante utilizads na transfrmaçã de Jukwski, θ é ângul plar e Γ é a circulaçã (Lewis, 1991). A relaçã a/ r 0 é funçã da razã de aspect, λ, send, a r 0 = 1 λ 1+ λ (4.4) nde eix menr λ = (4.5) eix mair e 1+ λ r0 = (eix mair) 4 (4.6) N cas da elipse cm sustentaçã, a circulaçã Γ fi btida a partir da sluçã exata, aplicand a cndiçã para que pnt de estagnaçã crresse n brd de fuga. Assim, fazend v t = 0 quand θ = 0º na Equaçã (4.3), btém-se Γ 2π r 0 = 2V sen( α ) (4.7) Cm sen( α ) = sen( α ), entã Γ =4 π rv sen ( α ) (4.8) 0 A Equaçã (4.8) fi entã utilizada para cálcul da circulaçã n escament em trn da elipse cm ângul de ataque diferente de zer. Uma vez btid valr, este entã fi substituíd na Equaçã (4.3) para btençã da sluçã exata da velcidade tangencial. As simulações fram realizadas cnsiderand elipses cm razã de aspect λ = 0,5 e λ = 0,1, para dis valres d ângul de ataque: α = 0º (sem circulaçã) e

125 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 94 α = 5º (cm circulaçã). Sã apresentads neste capítul, s resultads btids para a elipse cm razã de aspect λ = 0,5. Os resultads para a elipse cm razã de aspect λ = 0,1, sã apresentads n Apêndice E, cnsiderand a FBR Multiquádrica e a FBR TPS Mdificada. As Tabelas 4.3 e 4.4 apresentam s resultads numérics btids para, cm a variaçã d parâmetr de frma da FBR Multiquádrica, para a elipse cm razã de aspect λ = 0,5, cnsiderand s ânguls de ataque α = 0º e α = 5º, respectivamente. Tabela 4.3: para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn da elipse, λ = 0,5, α = 0º, FBR Multiquádrica c (Malha 49 x 49) (Malha 59 x 59) (Malha 89 x 89) 0,100 2, x , x , x ,000 2, x , x , x ,000 2, x , x , x ,000 8, x , x , x ,000 5, x , x , x ,000 3, x , x , x ,000 3, x , x , x ,000 3, x , x , x ,000 2, x , x , x ,000 1, x , x , x ,000 5, x , x , x ,000 5, x , x , x ,000 1, x , x , x 10-4 Os cmprtaments d para a elipse cm razã de aspect λ = 0,5, cnsiderand s ânguls de ataque α = 0º e α = 5º estã ilustrads na Figura 4.6, à esquerda e à direita, respectivamente.

126 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 95 Tabela 4.4: para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn da elipse, λ = 0,5, α = 5º, FBR Multiquádrica c (Malha 49 x 49) (Malha 59 x 59) (Malha 89 x 89) 0,100 2, x , x , x ,000 2, x , x , x ,000 2, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 5, x , x , x ,000 4, x , x , x ,000 4, x , x , x ,000 4, x , x , x ,000 3, x , x , x ,000 2, x , x , x ,000 6, x , x , x ,000 5, x , x , x ,000 2, x , x , x Elipse (λ = 0,5) FBR Multiquádrica 10 0 Elipse (λ = 0,5) FBR Multiquádrica x 49 pnts 59 x 59 pnts 89 x 89 pnts α = x 49 pnts 59 x 59 pnts 89 x 89 pnts α = Parâmetr de Frma da FBR Parâmetr de Frma da FBR Figura 4.6: Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR Multiquádrica, escament ptencial em trn da elipse, λ = 0,5, α = 0º e α = 5º

127 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 96 Observa-se que, independentemente d ângul de ataque, s melhres resultads fram btids para a malha de 89 x 89 pnts, send c = 90 para a elipse cm ângul de ataque α = 0º, e c = 20 para a elipse cm ângul de ataque α = 5º. Assim, para a mesma elipse, valr ótim d parâmetr de frma fi frtemente dependente d ângul de ataque, u seja, das cndições de escament. Para avaliar a influência da dimensã da malha, fram fixads s valres d parâmetr de frma c = 90 para a elipse cm ângul de ataque α = 0º, e c = 20, para a elipse cm ângul de ataque α = 5º. A Tabela 4.5 apresenta s resultads numérics e a Figura 4.7 ilustra s cmprtaments d cm a dimensã da malha, para s ânguls de ataque α = 0º e α = 5º, à esquerda e à direita, respectivamente. Tabela 4.5: para diferentes dimensões da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, FBR Multiquádrica, λ = 0,5, α = 0º e α = 5º N x N (α = 0 ) (α = 5 ) 29 x 29 4, x , x x 39 1, x , x x 49 5, x , x x 59 2, x , x x 69 8, x , x x 79 2, x , x x 89 6, x , x x 99 3, x , x x 109 1, x , x 10-4 Para a elipse cm ângul de ataque α = 0º, nta-se um cmprtament semelhante a apresentad n cilindr cm relaçã à influência d númer de pnts da malha, sugerind uma estagnaçã da cnvergência.

128 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR Elipse (λ = 0,5) α = Elipse (λ = 0,5) α = FBR Multiquádrica c = FBR Multiquádrica c = Númer de Pnts Númer de Pnts Figura 4.7: Cmprtaments d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, FBR Multiquádrica, λ = 0,5, α = 0º ( c = 90 ) e α = 5º ( c = 20) Os melhres resultads btids cm a utilizaçã da FBR TPS Mdificada (Apêndice D) fram cm a malha de 89 x 89 pnts e parâmetr de frma 5 c = 1x 10 para a elipse cm ângul de ataque α = 0º, e cm a malha de 59 x 59 4 pnts cm parâmetr de frma c = 1x 10 para a elipse cm ângul de ataque α = 5º. A Figura 4.8 ilustra a malha de 89 x 89 pnts gerada em trn da elipse cm razã de aspect λ = 0,5. As Figuras 4.9 e 4.10 ilustram s cmprtaments das linhas de crrente e ds ceficientes de pressã na superfície da elipse, respectivamente, para s ânguls de ataque α = 0º (à esquerda) e α = 5º (à direita). Fram realizadas 523 iterações para a geraçã da malha e s temps de prcessament gasts para a simulaçã, independentemente d valr d ângul de ataque fram de aprximadamente: 1) para a geraçã da malha: 93 segunds; 2) para cálcul ds ceficientes de pnderaçã: 0,1 segund. Para a sluçã d MQDL-FBR, fram gasts aprximadamente 280 segunds para ângul de ataque α = 0º e 230 segunds para ângul de ataque α = 5º.

129 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 98 Observa-se uma ba cncrdância cm s resultads analítics. N entant, n cas da elipse cm ângul de ataque α = 5º, bserva-se pequen desvi ds resultads numérics btids para ceficiente de pressã na superfície, cm relaçã as resultads teórics, na regiã mais central, n intradrs da gemetria. Figura 4.8: Malha tip O gerada em trn da elipse, λ = 0,5, 89 x 89 pnts α = 0º α = 5º Figura 4.9: Linhas de funçã crrente n escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, λ = 0,5, FBR Multiquádrica, α = 0º ( c = 90 ) e α = 5º ( c = 20)

130 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 99 Figura 4.10: Ceficiente de pressã na superfície da elipse, λ = 0,5, FBR Multiquádrica, α = 0º ( c = 90 ) e α = 5º ( c = 20) As simulações fram também realizadas para a elipse cm mair excentricidade, u seja, razã de aspect λ = 0, 1, cm ânguls de α = 0º e α = 5º (resultads apresentads n Apêndice E). Assim cm na elipse cm razã de aspect λ = 0, 5, cm aument d ângul de ataque, valr d parâmetr de frma que geru menr diminuiu, passu de c = 80 para c = 10, n cas da utilizaçã da FBR Multiquádrica. Cm relaçã à dimensã da malha, para a elipse cm ângul de ataque α = 0º, melhr resultad fi btid para a malha de 69 x 69 pnts. Para a elipse cm ângul de ataque α = 5º, melhr resultad fi btid para a malha de 79 x 79 pnts. Fica evidente ns gráfics que ilustram cmprtament d cm a dimensã da malha, pnts ns quais crrem pssíveis errs de estagnaçã. Esses pnts sã mais evidentes nas simulações das elipses cm ângul de ataque α = 0º. Os testes realizads para a elipse cm razã de aspect λ = 0, 1, utilizand a FBR TPS Mdificada, cm ângul de ataque α = 5º indicam que menr crreu para a menr dimensã de malha testada, u seja, 29 x 29 pnts.

131 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 100 A Figura 4.11 ilustra a malha de 69 x 69 pnts gerada em trn da elipse cm razã de aspect λ = 0, 1. As Figuras 4.12 e 4.13 ilustram s cmprtaments das linhas de crrente e ds ceficientes de pressã na superfície da elipse, respectivamente, para a elipse cm razã de aspect λ = 0, 1, para s ânguls de ataque α = 0º (à esquerda) e α = 5º (à direita). Figura 4.11: Malha tip O gerada em trn da elipse, λ = 0,1, 69 x 69 pnts α = 0º α = 5º Figura 4.12: Linhas de funçã crrente n escament ptencial e bidimensinal em trn da elipse, λ = 0,1, FBR Multiquádrica, α = 0º ( c = 80 ) e α = 5º ( c = 10 )

132 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 101 Observa-se ba cncrdância ds valres numérics encntrads para ceficiente de pressã na superfície da elipse, cm s resultads teórics. N entant, para ângul de ataque α = 5º, um pequen desvi é bservad, n extradrs da elipse, na regiã afastada ds brds de ataque e de fuga. Figura 4.13: Ceficiente de pressã na superfície da elipse, λ = 0,1, FBR Multiquádrica, α = 0º ( c = 80 ) e α = 5º ( c = 10 ) 4.3 Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de um Aerfóli Jukwski Para avaliar escament ptencial em trn de aerfólis Jukwski, fi utilizada a transfrmaçã de Jukwski para mapeament d perfil, cnfrme detalhada em Lewis (1991) e ilustrada gemetricamente na Figura 4.14 (Figura 2.10 d Capítul 2). As crdenadas d aerfóli n plan ξη sã dadas pr 2 a ξ = 1 + ( r0cs φ ε1) r (4.9)

133 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR a η = 1 ( r0sen φ ε2) r (4.10) nde a é uma cnstante da transfrmaçã de Jukwski, r é a crdenada plar, φ é ângul tmad n sentid anti-hrári a partir d brd de fuga, ε 1 e ε 2 sã parâmetrs gemétrics que cntrlam a espessura e arqueament d aerfóli. Círcul n plan z Aerfóli n plan ξη Figura 4.14: Transfrmaçã gemétrica de Jukwski ζ = z +a 2 / z, Lewis (1991) N cas de aerfóli Jukwski cm regiã arredndada próxima a brd de fuga, r 0 nas Equações (4.9) e (4.10) assume a seguinte frma (Lewis, 1991): r = ( a+ ε + ε ) + ( ε ) (4.11) nde ε 3 é parâmetr gemétric que cntrla arredndament da regiã próxima a brd de fuga. As crdenadas plares r e θ d círcul, n plan z, sã calculadas a partir das Equações (4.12) e (4.13). r = ( r cs φ ε ) + ( r senφ + ε ) (4.12)

134 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 103 θ rsenφ + ε = tg r0csφ ε1 (4.13) A sluçã exata para a velcidade tangencial d escament n cntrn d aerfóli fi btida a partir da Equaçã (4.14), Lewis (1991). v t = 2V sen( φ α) + Γ /2πr a a 2 1 cs2θ + sen 2 r r 0 θ (4.14) nde r 0 é rai da circunferência utilizad na transfrmaçã de Jukwski, θ é ângul plar e Γ é a circulaçã, send esta, calculada pr Γ = 4πrV sen( α φ ) (4.15) 0 T nde φ T é ângul tmad em relaçã a brd de fuga (pnt T na Figura 4.15) d n círcul n plan z, que ilustra a cndiçã de Kutta n brd de fuga, send este ângul calculad cnfrme a Equaçã (4.16). φ ε 1 2 T = tg a + ε1 (4.16) V Figura 4.15: Cndiçã de Kutta n brd de fuga, transfrmaçã Jukwski, Lewis (1991)

135 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 104 Fram realizadas simulações d escament ptencial em trn de aerfólis Jukwski, cnsiderand um aerfóli simétric e arredndad e um aerfóli simétric e afilad. As simulações realizadas mstraram uma frte dependência d númer de pnts da malha e da esclha adequada d rai da circunferência na transfrmaçã de Jukwski ( r 0 ) Testes cm a FBR Multiquádrica para Aerfóli Jukwski Simétric e Arredndad Para aerfóli simétric e arredndad na regiã próxima a brd de fuga, fi cnsiderad r 0 = 0, 25, send utilizads s seguintes valres ds parâmetrs gemétrics da transfrmaçã de Jukwski: ε 1 = 0, 02 ; ε = e ε 01 3 = 0,. Cabe aqui ressaltar que, nenhum destes parâmetrs gemétrics devem ser zerads, uma vez que é gerada singularidade na matriz d Métd de Quadratura Diferencial Lcal cm Funções de Base Radial (MQDL-FBR). As simulações para este aerfóli fram realizadas para ânguls de ataque α = 0 e α = 5. Fi bservad que para malhas de dimensões inferires a 39 x 39 pnts e superires a 45 x 45 pnts, as mesmas nã fram geradas crretamente. As Figuras 4.16 e 4.17 ilustram as crrências para as malhas de 37 x 37 pnts e de 47 x 47 pnts, respectivamente. Figura 4.16: Ocrrência na geraçã da malha de dimensã 37 x 37 pnts, aerfóli Jukwski simétric e arredndad

136 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 105 Figura 4.17: Ocrrência na geraçã da malha de dimensã 47 x 47 pnts, aerfóli Jukwski simétric e arredndad Os resultads numérics para, btids nas simulações cm a FBR Multiquádrica, para aerfóli Jukwski simétric e arredndad, cnsiderand s ânguls de ataque α = 0 e α = 5 estã apresentads nas Tabelas 4.6 e 4.7, respectivamente. Tabela 4.6: para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 0, FBR Multiquádrica C (Malha 39 x 39) (Malha 41 x 41) (Malha 43 x 43) (Malha 45 x 45) 1,000 1, x , x , x , x ,000 1, x , x , x , x ,000 6, x , x , x , x ,000 3, x , x , x , x ,000 3, x , x , x , x ,000 2, x , x , x , x ,000 2, x , x , x , x ,000 1, x , x , x , x ,000 1, x , x , x , x ,000 6, x , x , x , x ,000 5, x , x , x , x 10-4

137 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 106 Tabela 4.7: para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 5, FBR Multiquádrica C (Malha 39 x 39) (Malha 41 x 41) (Malha 43 x 43) (Malha 45 x 45) 1,000 1, x , x , x , x ,000 2, x , x , x , x ,000 1, x , x , x , x ,000 8, x , x , x , x ,000 7, x , x , x , x ,000 7, x , x , x , x ,000 6, x , x , x , x ,000 5, x , x , x , x ,000 3, x , x , x , x ,000 1, x , x , x , x ,000 1, x , x , x , x 10-4 Fram utilizads s mesms valres d parâmetr de frma da FBR Multiquádrica utilizads nas simulações d cilindr e da elipse. N entant, para parâmetr de frma c = 0, 1, crreu mal-cndicinament da matriz d MQDL-FBR (para α = 0º e para α = 5º ). A Figura 4.18 ilustra s cmprtaments d btids para ceficiente de pressã na superfície d aerfóli, em funçã d parâmetr de frma da FBR Multiquádrica, para s ânguls de ataque α = 0º (à esquerda) e α = 5º (à direita). Observa-se que, independentemente da dimensã da malha, valr d parâmetr de frma que apresentu s melhres resultads fi c = 80. Nta-se também, uma pequena influência da dimensã da malha na precisã ds resultads. O menr fi btid cm a malha de dimensã 45 x 45 pnts, quand utilizad parâmetr de frma c = 80, independentemente d valr d ângul de ataque. Fram realizadas 177 iterações para a geraçã da malha e s temps de prcessament gasts para a simulaçã, independentemente d valr d ângul de

138 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 107 ataque fram de aprximadamente: 1) para a geraçã da malha: 8 segunds; 2) para cálcul ds ceficientes de pnderaçã: 0,1 segund; 3) para sluçã d MQDL-FBR: 8 segunds Aerfóli Jukwski Simétric e Arredndad Aerfóli Jukwski Simétric e Arredndad x 39 pnts 41 x 41 pnts 43 x 43 pnts 45 x 45 pnts α = x 39 pnts 41 x 41 pnts 43 x 43 pnts 45 x 45 pnts α = FBR Multiquádrica 10-5 FBR Multiquádrica Parâmetr de Frma da FBR Parâmetr de Frma da FBR Figura 4.18: Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR Multiquádrica, escament ptencial em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 0 e α = 5º A Figura 4.19 ilustra cmprtament d cm a dimensã da malha, para valr d parâmetr de frma c = 80 α = 5., para s ânguls de ataque α = 0 e Os testes para esse aerfóli também fram realizads utilizand a FBR TPS Mdificada (resultads n Apêndice D) para s ânguls de ataque α = 0 e α = 5. Para s dis valres de ânguls de ataque testads, s melhres resultads fram btids para a malha de 45 x 45 pnts, quand utilizad parâmetr de frma da 4 FBR TPS Mdificada c = 1x 10. Os gráfics que descrevem cmprtament d cm a dimensã da malha nã apresentaram pnts de estagnaçã da cnvergência.

139 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR Aerfóli Jukwisk Simétric e Arredndad 10-2 FBR Multiquádrica c = 80 α = 0 α = Númer de Pnts Figura 4.19: Cmprtament d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, FBR Multiquádrica A Figura 4.20 ilustra a malha tip "O", de 45 x 45 pnts, gerada para aerfóli Jukwski simétric e arredndad. As Figuras 4.21 e 4.22 ilustram cmprtament das linhas de crrente e ds ceficientes de pressã exat e numéric na superfície d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, respectivamente, para s ânguls de ataque α = 0º (à esquerda) e α = 5º (à direita). Estes resultads fram btids utilizand a FBR Multiquádrica, cm parâmetr de frma c = 80. Figura 4.20: Malha tip O gerada em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, 45 x 45 pnts

140 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 109 α = 0º α = 5º Figura 4.21: Linhas de funçã crrente n escament ptencial e bidimensinal em trn d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 0º e α = 5º, 45 x 45 pnts, FBR Multiquádrica, c = 80 Figura 4.22: Ceficiente de pressã na superfície d aerfóli Jukwski simétric e arredndad, α = 0º e α = 5º, malha de 45 x 45 pnts, FBR Multiquádrica, c = Testes cm a FBR Multiquádrica para Aerfóli Jukwski Simétric e Afilad Para aerfóli simétric e afilad, fi cnsiderad r 0 = 0, 25, send utilizads s seguintes valres ds parâmetrs gemétrics da transfrmaçã de Jukwski:

141 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 110 ε 1 = 0,02 ; ε = e ε =. As simulações fram realizadas para ânguls de ataque α = 0 e α = 5. Fi bservad que para malhas de dimensões inferires a 41 x 41 pnts e superires a 45 x 45 pnts, as mesmas nã fram geradas crretamente. As Figuras 4.23 e 4.24 ilustram as crrências para as malhas de 39 x 39 pnts e de 47 x 47 pnts, respectivamente. Figura 4.23: Ocrrência na geraçã da malha de dimensã 39 x 39 pnts, aerfóli Jukwski simétric e afilad Figura 4.24: Ocrrência na geraçã da malha de dimensã 47 x 47 pnts, aerfóli Jukwski simétric e afilad

142 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 111 Os resultads numérics para, btids nas simulações para aerfóli Jukwski simétric e afilad, utilizand a FBR Multiquádrica, cnsiderand s ânguls de ataque α = 0 e α = 5 estã apresentads nas Tabelas 4.8 e 4.9, respectivamente. Assim cm crreu para aerfóli Jukwski simétric e arredndad, para parâmetr de frma c = 0, 1, crreu mal-cndicinament da matriz d MQDL- FBR. Tabela 4.8: para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, α = 0º, FBR Multiquádrica c (Malha 41 x 41) (Malha 43 x 43) (Malha 45 x 45) 1,000 1, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 8, x , x , x ,000 8, x , x , x ,000 8, x , x , x ,000 8, x , x , x ,000 8, x , x , x ,000 8, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 9, x , x , x 10-3 A Figura 4.25 ilustra cmprtament d btid para ceficiente de pressã na superfície d aerfóli, em funçã d parâmetr de frma da FBR Multiquádrica, para s ânguls de ataque α = 0º (à esquerda) e α = 5º (à direita). Os resultads btids fram ligeiramente melhres para a malha de 45 x 45 pnts, cm parâmetr de frma da FBR c = 80, independentemente d ângul de ataque. Observa-se que, a influência d parâmetr de frma para valres acima de c = 10 fi muit pequena na precisã ds resultads.

143 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 112 Tabela 4.9: para diferentes valres d parâmetr de frma, escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, α = 5º, FBR Multiquádrica c (Malha 41 x 41) (Malha 43 x 43) (Malha 45 x 45) 1,000 1, x , x , x ,000 1, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 9, x , x , x ,000 10,000 Aerfóli Jukwski Simétric e Afilad Aerfóli Jukwski Simétric e Afilad 1,000 FBR Multiquádrica 1,000 FBR Multiquádrica 0, x 41 pnts 43 x 43 pnts 45 x 45 pnts α = 0 0, x 41 pnts 43 x 43 pnts 45 x 45 pnts α = 5 0,010 0,010 0, Parâmetr de Frma da FBR 0, Parâmetr de Frma da FBR Figura 4.25: Cmprtament d cm parâmetr de frma da FBR Multiquádrica, escament ptencial em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, α = 0 e α = 5º Na simulaçã d escament em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, utilizand a FBR Multiquádrica, fram realizadas 198 iterações para a geraçã da malha. Os temps de prcessament para a situaçã que apresentu menr

144 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 113, independentemente d valr d ângul de ataque fram de aprximadamente: 1) para a geraçã da malha: 9 segunds; 2) para cálcul ds ceficientes de pnderaçã: 0,1 segund; 3) para sluçã d MQDL-FBR: 8 segunds. A Figura 4.26 ilustra cmprtament d cm a dimensã da malha, para valr d parâmetr de frma c = 80 α = 5., para s ânguls de ataque α = 0 e 0,0100 0,0095 Aerfóli Jukwisk Simétric e Afilad 0,0090 0,0085 FBR Multiquádrica c = 80 α = 0 α = 5 0,0080 0, Númer de Pnts Figura 4.26: Cmprtament d cm a dimensã da malha, escament ptencial e bidimensinal em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, FBR Multiquádrica Observa-se que s resultads sã mens sensíveis à variaçã d parâmetr de frma da FBR e à dimensã da malha, quand cmparads cm s resultads btids para aerfóli Jukwski simétric e arredndad. Os resultads das simulações para aerfóli Jukwski simétric e afilad, utilizand a FBR TPS Mdificada, sã apresentads n Apêndice D. O fi ligeiramente menr para a malha de 45 x 45 pnts, cm parâmetr de frma da 4 FBR TPS Mdificada c = 1x 10, independentemente d ângul de ataque. A Figura 4.27 ilustra a malha tip "O", de 45 x 45 pnts, gerada para aerfóli Jukwski simétric e afilad.

145 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 114 As Figuras 4.28 e 4.29 ilustram cmprtament das linhas de crrente e ds ceficientes de pressã exat e numéric na superfície d aerfóli Jukwski simétric e afilad, respectivamente, para s ânguls de ataque α = 0º (à esquerda) e α = 5º (à direita). Estes resultads fram btids utilizand a FBR Multiquádrica, cm parâmetr de frma c = 80. Figura 4.27: Malha tip O gerada em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, 45 x 45 pnts α = 0º α = 5º Figura 4.28: Linhas de funçã crrente n escament ptencial e bidimensinal em trn d aerfóli Jukwski simétric e afilad, α = 0º e α = 5º, 45 x 45 pnts, FBR Multiquádrica, c = 80

146 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 115 Figura 4.29: Ceficiente de pressã na superfície d aerfóli Jukwski simétric e afilad, α = 0º e α = 5º, malha de 45 x 45 pnts, FBR Multiquádrica, c = 80 Pde-se bservar que um valr encntrad numericamente n brd de fuga, nã tem cncrdância cm resultad teóric. Tal fat retrata a metdlgia utilizada para a impsiçã da cndiçã de Kutta, metdlgia válida para regiões d brd de fuga cm ânguls finits, nas quais crrem pnts de estagnaçã. N cas d aerfóli afilad, sabe-se que nã há pnt de estagnaçã n brd de fuga, cnfrme abrdad n sub-item deste trabalh. 4.4 Escament Ptencial e Bidimensinal em Trn de um Aerfóli NACA 0012 O aerfóli simétric NACA 0012, cm crda igual a uma unidade de cmpriment, fi psicinad n centr da circunferência que limita dmíni físic e teve seu perfil gerad utilizand a funçã descrita pela Equaçã (2.121) d Capítul 2. As simulações fram feitas para aerfóli NACA 0012, para diverss ânguls de ataque, a saber: 0º, 4º, 6º, 8º e 9º. Os resultads btids para ceficiente de pressã n aerfóli fram cmparads graficamente cm s resultads btids pel Métd ds Painéis, dispníveis na literatura (Lima, 2006).

147 4 Testes Numérics para Aplicaçã d MQDL-FBR 116 As simulações fram realizadas utilizand a FBR Multiquádrica e a FBR TPS Mdificada, para duas dimensões de malhas, a saber, 49 x 49 pnts e 89 x 89 pnts. Neste capítul sã apresentads s resultads para a FBR Multiquádrica. Os resultads para a FBR TPS Mdificada estã apresentads n Apêndice D. As Figuras 4.30 e 4.31 ilustram as malhas tip O, de 49 x 49 pnts e de 89 x 89 pnts, respectivamente, geradas para aerfóli NACA Para a malha de 49 x 49 pnts, fram necessárias 221 iterações e para a malha de 89 x 89 pnts, 565 iterações. Figura 4.30: Malha tip O gerada em trn d aerfóli NACA 0012, 49 x 49 pnts Figura 4.31: Malha tip O gerada em trn d aerfóli NACA 0012, 89 x 89 pnts