REALIZAÇÃO DE UMA REDE ALTIMÉTRICA A PARTIR DA COMBINAÇÃO DE SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NORMAIS COM A CONDIÇÃO NNT RESUMO ABSTRACT

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1 S B C Anis do XXVII Congresso Brsileiro de Crtogrfi e XXVI Exposicrt 6 9 de novembro de 27, SBC, Rio de Jneiro - RJ, p REALIZAÇÃO DE UMA REDE ALTIMÉTRICA A PARTIR DA COMBINAÇÃO DE SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES NORMAIS COM A CONDIÇÃO NNT A. L. C. Souz,2, C. H. C. Mendonç,2, J. F. G. Monico,3 Universidde Estdul Pulist - UNESP, Brsil 2 Progrm de Pós-Grdução em Ciêncis Crtográfics, Presidente Prudente- SP, Brsil 3 Deprtmento de Crtogrfi, Presidente Prudente- SP, Brsil Comissão II - Geodési, Astronomi, Topogrfi e Agrimensur RESUMO Admitindo definição de um sistem de referênci pr um rede de nivelmento, cso unidimensionl e, portnto, o cso mis simples, este sistem present deficiênci de posto em termos de origem. Assim, não se teri como obter s ltitudes d rede pois o sistem de equções normis é singulr, presentndo deficiênci de posto igul um. Deste modo, informções dicionis devem ser introduzids pr que o problem sej soluciondo. Ess deficiênci pode ser soluciond medinte introdução d condição NNT (No Net Trnsltion), qul grnte que rede sej livre de trnslção, ou sej, não ocorre lterção d médi ds ltitudes proximds pós o justmento. O presente trblho vis contribuir com os fundmentos teóricos e práticos envolvidos n inserção d condição NNT n relizção de um rede de referênci de nivelmento, um vez que est bordgem não é muito difundid. Além disso, serão presentdos spectos concernentes combinção de soluções de dus redes de nivelmento djcentes nível de equções normis, bem como sugestão pr plicção no cso de um rede com váris estções de referêncis (mrégrfos). Plvrs chve: Condição NNT, Equções Normis, Rede de Nivelmento. ABSTRACT Assuming definition of reference system for leveling network, one-dimensionl cse, nd therefore the simplest cse, this system presents deficiency of position in terms of origin. Thus, it is not possible to obtin s ltitudes of the network, the system of norml equtions is singulr, presenting deficiency of rnk equl to one. In this wy, the informtion must be provided so tht the problem is solved. This deficiency cn be solved by mens of n introduction of the condition NNT (No Network Trnsltion), which ensures tht the network is free of trnsltion, tht is, there is no chnge in the verge of the pproximte ltitudes fter the djustment. The present reserch ims to contribute with theoreticl nd prcticl foundtions involved in the insertion of the NNT condition in the reliztion of network reference leveling, since this pproch is not widespred. In ddition, the following spects hve been described: combintion of solutions of two djcent leveling networks t the level of norml equtions, s well s suggestion for ppliction in the cse of network with severl reference sttions (tide guges). Keywords: NNT Condition, Norml Equtions, Leveling Network. INTRODUÇÃO Ns relizções do ITRS (Interntionl Terrestril Reference System) estão envolvids diferentes técnics de posicionmento espciis, sendo ests: GNSS (Globl Nvigtion Stellite System), VLBI (Very Long Bseline Interferometry), SLR (Stellite Lser Rnging) e DORIS (Doppler Orbitogrphy nd Rdiopositioning Integrted by Stellite). As soluções fornecids prtir de cd um desss técnics envolvem vários nos de observções e são combinds de form produzir um únic solução que pode ser considerd ótim. Cd solução individul present proprieddes de interesse, bem como lgum deficiênci, sendo necessário doção de injunções no modelo mtemático pr relizção do referencil globl. Ests condições mtemátics são denominds NNR (No Net Rottion) e NNT (No Net Trnsltion), s Sociedde Brsileir de Crtogrfi, Geodési, Fotogrmetri e Sensorimento Remoto, Rio de Jneiro, Nov/27 73

2 quis grntem conservção do momento ngulr (não rotção) e não trnslção d rede, respectivmente (MONICO, 25). Considerndo definição de um sistem de referênci pr um rede de nivelmento, cso unidimensionl e, portnto, o cso mis simples, este sistem present deficiênci de posto em termos de origem. Segundo Monico (25), não seri possível obtenção ds ltitudes d rede de nivelmento, um vez que o sistem de equções normis é singulr, presentndo deficiênci de posto igul um. Deste modo, fz-se necessário inclusão de informções dicionis pr que este problem sej soluciondo. Um possibilidde é introduzir condição NNT por meio de injunção, o que grnte não lterção d médi ds ltitudes proximds pós o justmento. Tendo em vist o discutido, o presente trblho tem como objetivo contribuir com os fundmentos teóricos e práticos envolvidos n plicção d condição NNT n relizção de um rede de nivelmneto. Além disso, serão presentdos spectos concernentes combinção de soluções de dus redes de nivelmento djcentes nível de equções normis. 2 CONDIÇÃO NNT EM REDES DE NIVELMANTO N concepção de um rede de nivelmento estátic unidimensionl, present deficiênci de posto em termos de origem. Um rede que cumpre condição NNT signific que el é livre de trnslção (MONICO, 25). Pr um rede vinculd um rede de referênci de ordem superior, que possui ltitudes conhecids de lt curáci, condição NNT é de cert form trivil. Neste cso, origem d rede de ordem superior é conhecid e sus ltitudes são tomds como fixs. Entretndo, qundo não se tem um rede de ordem superior, conforme Monico (25), condição NNT pode ser plicd em relção médi ds ltitudes proximds, levndo segunte condição: Σ m i= Δx i = () sendo m o número de estção d rede e Δx i o vetor ds correções os prâmetros (ltitudes) proximds. Ao fzer uso dest condição, fic grntido que não ocorrênci de lterção ds médis ds ltitudes proximds pós o justmento. A Figur ilustr o cso de um rede que cumpre condição NNT, onde resultnte do movimento é nul, não presentndo trnslção. De cordo com Monico (25), é importnte resltr que est condição corresponde injunções interns que comprecem no justmento livre. Figur Rede que cumpre condição NNT Fonte: Monico (25) N combinção de soluções de dus redes de nivelmento, ou mis, nível de equções normis, é fundmentl preservr equção norml de cd solução individul sem injunções (MONICO, 25). N obtenção deste tipo de solução é de sum importânci que condição NNT sej plicd um únic vez n solução finl. Tl procedimento é um solução que pode ser plicdo n combinção de redes de nivelmentos de diferentes origens (mrégrfos). 3 DESENVOLVIMENTO Pr o desenvolvimento do presente trblho considerou-se dus redes de nivelmmento independentes e djcentes, hvendo pontos comuns entre ests. No justmento ds redes de nivelmento, considerou-se não existênci de um rede de referênci de ordem superior e que s ltitudes proximds são de cert form estbelecids de form rbitrári. Deste modo, pr relizção d rede, um possibilidde é utilizção d condição NNT. Inicilmente, form obtids s soluções individuis de cd rede. Posteriormente, obteve-se solução conjunt por meio d combinção dos resultdos nível de equções normis, estimndo ssim solução finl (ltitudes) pr rede de nivelmento. A Figur 2 present distribuição dos pontos pertencentes rede de nivelmento considerd. Figur 2 Rede de nivelmento Fonte: Adptdo de Gemel (994) Sociedde Brsileir de Crtogrfi, Geodési, Fotogrmetri e Sensorimento Remoto, Rio de Jneiro, Nov/27 74

3 A primeir rede de nivelmento considerd consiste nos circuitos I, II e III, conforme Figur 2. As observções refentes est encontrm-se n Tbel. Tbel Observções n primeir rede de nivelmento Linh Comprimento Δh (m) niveld (km) H (m) A-B -6, A 393,9237 B-A 6,262 4 B 287,4992 B-C 75, C 463,4648 C-D 4,472 2 D 467,5542 D-A -73,695 6 E 427,5 C-E -36, F 457,8 E-F 29, F-D,424 6 Já segund rede de nivelmento consider os circuitos IV, V e VI, conforme Figur 2. As observções refentes est rede são presentds n Tbel 2. Tbel 2 Observções n segund rede de nivelmento Linh Comprimento Δh (m) niveld (km) H (m) E-F 29, E 427,5 E-G -38, F 457,8 G-H 8, G 288,392 H-F -2,47 74 H 469,5 G-I 62, I 45,6622 I-J 23,825 J 474,4666 J-H -5,35 67 K 473,5248 I-K 22, K-J, Pr s soluções individuis, lém ds equções de observção em função dos desníveis, tornou-se necessário introduzir injunção NNT referentes origem. Dest form, se cordo com Monico (26), tem-se: V = AX + L (2) CX = sendo V(n ) o vetor dos resíduos ds observções; A(n u) mtriz Jcobin; X(u ) o vetor ds correções os prâmetros proximdos (X ); e L(n ) o vetor ds observções subtrído do vetor ds observções clculdos em função dos prâmetros proximdos; n é o número de observções; e u o número de prâmetros. A segund equção de (2) refere-se s injunções necessários pr que o sistem poss ser soluciondo, sendo C( u) um vetor o qul ssume que todos os vértices fizerm prte d definição d origem, ddo por: C = [ ] Por meio dests informções, o sistem de equções presentdos em (2) pode ser soluciondo plicndo o Método dos Mínimos Qudrdos (MMQ), fzendo uso do Método Prmétrico conforme Gemel (994). Considerou-se o peso de cd observção inversmente proporcionl o comprimento d linh de nivelmento, expresso n mtriz P(n n). As equções normis necessáris pr solução são dds por: N = A T PA (3) U = A T PL (4) O vetor ds correções dos prâmetros proximdos é ddo por: X = (N + C T C) U (5) Assim, o vetor dos prâmetros justdos de cd solução individul é obtido fzendo: 4 RESULTADOS E ANÁLISES X = X + X (6) Nest seção serão presentdos os resultdos obtidos no justmento ns redes de nivelmento. 4. Solução individul d primeir rede Pr relizção do justmento d primeir rede de nivelmente tem-se s seguintes s seguintes equções dee observção: { ΔH A B ΔH B A ΔH B C ΔH C D ΔH D A ΔH C E ΔH E F ΔH F D = H B H A = H A H B = H C H B = H D H C = H A H D = H E H C = H F H E = H D H F Por meio do modelo mtemático cim, chegou-se mtriz A: A = [ ] Dinte do resultdo, determinou-se s mtrizes normis N e U, dds por meio ds Equções (3) e (4), respectivmente. A mtriz N é singulr, presentndo deficiênci de posto igul um. Pr se obter solução, fez-se uso d condição NNT, por meio d Equção (5), obtendo ssim o vetor de correção dos prâmetros proximdos, ddo por: Sociedde Brsileir de Crtogrfi, Geodési, Fotogrmetri e Sensorimento Remoto, Rio de Jneiro, Nov/27 75

4 ,528,85,43 X =,522,29 [,34] m Como pode ser verificdo, o somtório ds correções no vetor X é nul, implicndo que rede cumpre condição NNT. Ademis, determinou-se precisão ds ltitudes por meio d Mtriz Vriânci- Covriânci (MVC). Assim, s ltitudes justds pr primeir rede de nivelmento, bem como sus respectivs precisões, é ddo por: H A = 393,879 ±,37 m H B = 287,5843 ±,299 m H C = 463,469 ±,2 m H D = 467,52 ±,2233 m H E = 427,792 ±,29 m { H F = 457,947 ±,356 m 4.2 Solução individul d segund rede Pr relizção do justmento d segund rede de nivelmente tem-se s seguintes s seguintes equções dee observção: { ΔH E F ΔH E G ΔH G H ΔH H F ΔH G I ΔH I J ΔH J H ΔH I K ΔH K J = H F H E = H G H E = H H H G = H F H H = H I H G = H J H I = H H H J = H K H I = H J H K Por meio do modelo mtemático cim, chegou-se mtriz A: A = [ ] Dinte do resultdo, determinou-se s mtrizes normis N e U, dds por meio ds Equções (3) e (4), respectivmente. Novmente, mtriz N é singulr, presentndo deficiênci de posto. Pr se obter solução, fez-se uso d condição NNT, por meio d Equção (5), obtendo ssim o vetor de correção dos prâmetros proximdos, ddo por:,899,582,279 X =,69,66,68 [,377] m Como pode ser verificdo, o somtório ds correções no vetor X é nulo, implicndo que rede cumpre condição NNT. Ademis, determinou-se precisão ds ltitudes por meio d Mtriz Vriânci- Covriânci (MVC). Assim, s ltitudes justds pr segund rede de nivelmento, bem como sus respectivs precisões, é ddo por: 4.3 Solução combind H E = 427,24 ±,7 m H F = 457,663 ±,64 m H G = 288,49 ±,22 m H H = 469,4932 ±, m H I = 45,66 ±,76 m H J = 474,458 ±,4 m { H K = 473,487 ±,22 m Visndo estimtiv d ltitude ds estções d rede ltimétric como um todo, foi relizdo combinção ds soluções individuis obtids ns seções 4. e 4.2 nível equções normis. A combinção de equções normis se deu pel som ds equções normis de cd solução individul fornecid. Embor preç ser trivil, est combinção demndou um nálise minucios dos elementos de cd mtriz N e U fornecids pels soluções individuis, de form que cd elemento ds mtrizes normis d solução finl fossem obtidos pel som dos elementos correspondentes ds soluções individuis em cd ponto. 5, , , , , U f = 4,423 4, , , ,574 4 [ 3,695 4 ] Sociedde Brsileir de Crtogrfi, Geodési, Fotogrmetri e Sensorimento Remoto, Rio de Jneiro, Nov/27 76

5 N f =,553,389,,389,66,227,,227,2,64,,5,,,385,,,,,, [,,,,,,,,,,,,,64,,,,,,5,385,,83,,67,,844,339,67,339,64,,2,,,,35,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2,,,,,,35,,,,545,384,4,,,385,669,,49,,4,,223,9,93,,49,9,37,68,,,93,68,6 ] Novmente, dinte do resultdo, not-se que mtriz N f é singulr, presentndo deficiênci de posto. Pr se obter solução, fez-se uso d condição NNT, por meio d Equção (5), obtendo ssim o vetor de correção dos prâmetros proximdos, ddo por:,96,28,47,86,76 X f =,33,59,397,83,835 [,63] m Como pode ser verificdo, o somtório do vetor ds correções no vetor X é nulo, implicndo que rede cumpre condição NNT. Ademis, determinou-se precisão ds ltitudes por meio d Mtriz Vriânci- Covriânci (MVC). Assim, s ltitudes justds pr solução conjunt ds dus redes de nivelmento, bem como sus respectivs precisões, é ddo por: H A = 393,94 ±,33 m H B = 287,6273 ±,39 m H C = 463,59 ±,24 m H D = 467,5456 ±,257 m H E = 427,227 ±,224 m H F = 457,4 ±,233 m H G = 288,397 ±,256 m H H = 469,474 ±,24 m H I = 45,579 ±,425 m H J = 474,383 ±,35 m { H K = 473,4645 ±,492 m Anlisndo os resultdos obtidos, observse que pontos comuns em mbs s redes de nivelmento (H E e H F ) são mis precisos que os demis devido redundânci de observções. Qundo nlisds s soluções individuis, observ-se que ests presentm precisões diferentes, porém, qundo combinds solução obtid pode ser considerd ótim em comprção com s soluções individuis. 5 CONCLUSÃO Com o desenvolvimento do trblho foi possível executr relizção de um rede de nivelmento fzendo uso d condição NNT, um vez que mesm presentv deficiênci em termos de origem, visto que ssumiu-se não existênci de um rede de nivelmento de ordem superior. No que se refere combinção ds soluções individuis nível de equções normis, tem-se que solução combind pode ser considerd superior qundo comprd s soluções individuis em termos de precisão. Além disto, not-se que s precisões nos pontos de ligção são melhords devido redundânci de observções. Ademis, qulidde ds soluções obtids estão diretmente relcionds os vlores dos prâmetros proximdos, neste sentido, obsev-se que, qunto melhor os prâmetos proximdos, mis precis será solução finl. Por fim, é importnte ressltr que condição NNT deve ser inserid somente um vez n solução finl, preservndo s equções normis de cd solução individul. Cso isso não ocorrá, solução finl presentrá distorções n rede, divergindo d teori presentd no trblho. Um possibilidde importnte dest condição seri no justmento globl de um rede de nivelmento, com vários mrégrfos disponíveis. A condição NNT nest cso poderi ser plicd pens em estções relcionds com os mrégrfos, grntindo comfibilidde d rede. AGRADECIMENTOS Os utores grdecem à CAPES, o CNPq e FAPESP (Processo 26/26-5) pelo fomento à pesquis. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS GEMAEL, C. Introdução o justmento de observções: plicções geodsésics. Curitib: UFPR, 994. MONICO, J. F. G. As condições NNT e NNR n relizção de um Referencil. Boletim de Ciêncis Geodésics, Curitib, v., n., p , jun 25. MONICO, J. F. G. Fundmentos mtemáticos envolvidos n relizção do ITRF. Boletim de Ciêncis Geodésics, Curitib, v. 2, n. 2, p , dez 26. Sociedde Brsileir de Crtogrfi, Geodési, Fotogrmetri e Sensorimento Remoto, Rio de Jneiro, Nov/27 77