VERIFICAÇÃO DA PRECISÃO DAS COORDENADAS AJUSTADAS EM POLIGONAL FECHADA E ENQUADRADA

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1 XXIII Congresso Brsileiro de Crtogrfi, Rio de Jneiro, Brsil, 4 de outuro de 7. VERIFICAÇÃO DA PRECISÃO DAS COORDENADAS AJUSADAS EM POLIGONAL FECHADA E ENQUADRADA Alessndro Slles Crvlho Diulin Lendro Universidde Federl do Prná Curso de Pós-Grdução em Ciêncis Geodésics (scufv@yhoo.com.r;diulin.lendro@gmil.com) RESUMO Ojetivndo mpemento de áres gráris ou urns, um ds metodologis disponíveis à Engenhri de Agrimensur é o lnçmento de poligonis que servirão de suporte o levntmento de perímetros e de demis pontos temáticos. Nests poligonis são oservdos ângulos e distâncis horizontis, nturlmente e inevitvelmente eivdos de erros oservcionis de nturez sistemátic, grosseir e letóri. Há vários métodos pr otenção ds coordends topográfics. Neste trlho será utilizdo o justmento pelo Método dos Mínimos Qudrdos (MMQ) prmétrico com injunções soluts, pr estimção dos prâmetros e de su precisão, fornecid pel Mtriz Vriânci-Covriânci (MVC). O ojetivo deste trlho é comprr s estimtivs de precisão ds coordends estimds, por meio d nálise d elipse do erro solut e precisões numérics de dus poligonis: um em loop (fechd) e outr enqudrd. Pretende-se tmém verificr os enefícios o considerr dois pontos de controle em um poligonl. Os ddos ds poligonis form simuldos, onde ests são formds por sete vértices. Form considerds dus estrtégis, onde n primeir: foi considerd um poligonl fechd com um ponto de controle e um orientção (Azimute), est possui qutorze oservções sendo: sete ângulos e sete distâncis e um totl de seis vértices serem justdos. N segund estrtégi foi considerd um poligonl enqudrd com um totl de cinco vértices serem justdos e com dois pontos de controle. É esperdo que segund estrtégi presente melhores resultdos, devido existênci de um número mior de pontos de controle e pels especificções que preconizm os levntmentos. Plvrs chves: Ajustmento de oservções, Poligonis, Elipses de erro. ABSRAC One of the ville methodologies to the Engineering of Surveying to mper grrin or urn res, is the lunching of trverses tht will serve to support the survey of perimeters nd others themtic points. In these trverses ngles is oserved horizontl distnces, derivtives from errors of systemtic nture, corse nd rndom nture. It hs some methods to get topogrphicl coordintes, in this work the djustment for the Method of Lest Squres will e used in cse tht prmetric with solute injunctions, for the esteem of the prmeters nd his precision, supplied for the Covrince Mtrix (MVC). he ojective in this work is compre the estimtes of precision on the esteem coordintes, y mens of ellipse nlysis in solute error nd numericl precisions of trverses: one in Loop (closed) nd fit trverse. It is lso intended to verify the enefits when considering points of control in one trverse. he dt of the trverses hd een simulted, where these re formed y seven vertices. It ws considered two strtegies, where in the first one: one closed trverse with point of control ws considered nd n orienttion (erings), this possess fourteen oservtions eing: seven ngles nd seven distnces nd with six vertices to e djusted in totl. In the second strtegy one trverse fit with five vertices in totl ws considered to e djusted nd with control point. he existence of igger numer of control points is wited tht the second strtegy presents etter resulted, due nd specifiction tht prises the surveys. Keywords: Adjustment oservtion, rverse, Ellipses of error. 33

2 XXIII Congresso Brsileiro de Crtogrfi, Rio de Jneiro, Brsil, 4 de outuro de 7. INRODUÇÃO Um ds finliddes d topogrfi é otenção de coordends crtesins de pontos referentes tems de interesse - elementos do terreno que por su importânci, crcterístic ou posição reltiv, deve compor plnt topográfic. is elementos podem ser relevos, rios, lgos, lvours, florests, ors de engenhri, etc. Esss coordends são referids um sistem de eixo crtesino plno ortogonl (XY), com o eixo ds ordends (Y) orientdo n direção norte sul e o eixo positivo (X) n direção leste. Pode-se tmém utilizr um terceir grndez que é ltitude ou cot (Loch e Cordini, ). Utilizndo-se s três grndezs define-se posição tridimensionl de ojetos (plniltimetri), dus grndezs, posição idimensionl (plnimetri) e um grndez, unidimensionl (ltimetri). A origem do sistem de referenci pode-se dr no ponto onde foi otido o zimute inicil. Em função d áre ser levntd e d finlidde do levntmento est origem poderá estr no centro d áre, so superfície físic, no nível médio dos mres ou num posição intermediári. A relizção de um levntmento topográfico consiste em determinr com precisão os elementos necessários pr confecção de um determind plnt. Estes elementos são s coordends polres; ângulos e distâncis, que nturlmente e inevitvelmente contém erros de medid que podem ser de nturez sistemátic, grosseir e letóri (Comstri, 994). Os erros de oservção não permitem que hj um fechmento geométrico correto n poligonl, portnto é necessário que se fç um distriuição dos erros ns oservções. Pressupondo que foi relizd um nálise priori nos ddos de cmpo e que os mesmos form escoimdos de possíveis erros grosseiros e sistemáticos. Admitindo existênci de erros rndômicos, oservções superundntes utilizm-se o Método dos Mínimos Qudrdos - M.M.Q pr determinção d estimtiv únic dos prâmetros justdos (coordends ds feições). O princípio fundmentl do M.M. Q, é que som dos qudrdos dos resíduos sej mínimo (Gemel, 994; Dlmolin 4). MEODOLOGIA Pr relizção deste trlho, form simulds dus poligonis com mesm mgnitude de erro ngulr e ordem de grndez de erro liner semelhnte. Sendo um poligonl fechd em loop, e outr enqudrd. A poligonl fechd (loop) em torno do mesmo ponto pode ser visulizd n figur () e poligonl enqudrd n figur () Os vlores ds oservções serem justds estão indicdos n figur e figur e estão presentdos n tel e respectivmente. N poligonl fechd, figur, é conhecido s coordends do ponto inicil P considerd fix no justmento, e o zimute do linhmento PP com desvio pdrão de, segundos de rco. As coordends iniciis do ponto P são: X=, m e Y=, m e o ' " Azimute do Alinhmento PP de. NM X =. Y =. P AzP P d 7 P7 d α AzP P α 7 d 6 α 3 P α d P3 α 6 P6 d 3 α 4 d Ponto de coordend conhecid Pontos de coordends determinr P4 d 4 α P Fig. : Poligonl fechd em loop. 34

3 XXIII Congresso Brsileiro de Crtogrfi, Rio de Jneiro, Brsil, 4 de outuro de 7. Oserv-se n figur o número de oservções ngulres são um totl de oito ângulos horizontis, sendo sete ângulos horizontis horários e um zimute. Já s oservções de distâncis totlizm sete. Deste modo têm-se quinze oservções. O número de incógnits determinr, coordends X e Y, dos pontos d poligonl som um totl de. O número de grus de lierdde é de três e pode ser otido pel equção () gl = m n ; () Onde, gl = número de grus de lierdde; m é o número de equções de oservções do método prmétrico, ou sej, o número de oservções é igul o número de equções de oservção; n é o número de incógnits. A poligonl enqudrd presentd n figur mostr os dois pontos de controle P e P7, considerdos fixos no justmento. As coordends dos pontos de controle P e P7 são respectivmente X =, m; Y =, m e X =38,774 m; Y = 7,4 m. N poligonl d figur, têm-se sete oservções de ângulo e seis de distâncis, totlizndo treze oservções. O número de incógnits são um totl de dez. Deste modo, tem-se um número grus de lierdde igul três. NM AzP P7 X =, P P7 X = 38,774 Y =, Y = 7,4 d α α 7 d 6 α 3 P α d P3 α 6 P6 d 3 α 4 d Ponto de coordend conhecid Pontos de coordends determinr P4 d 4 α P Fig. : Poligonl enqudrd N tel estão indicdos os vlores dos ângulos horários, ds distâncis entre os vértices e precisões que estão representdos grficmente pel figur. ABELA OBSERVAÇÕES E DESVIO PADRÃO Oservção Ângulo Horário Desvio Pdrão (GMS) (") α 3º α 4º α 36º9 3 α 46º9 8 4 α 97º α 7º 6 α 8º 7 7 Oservção Distânci (m) Desvio Pdrão (m) d 9,4,7 d 83,46,6 d 36,8,7 3 d 7,7,8 4 d 6,37,7 d 63,77,6 6 d 336,7, 7 N tel estão indicdos os vlores dos ângulos horários, distâncis entre os vértices e precisões que estão representdos grficmente pel figur. 3

4 XXIII Congresso Brsileiro de Crtogrfi, Rio de Jneiro, Brsil, 4 de outuro de 7. ABELA - OBSERVAÇÕES E DESVIO PADRÃO Oservção Ângulo Horário Desvio Pdrão Oservção Distânci (m) Desvio Pdrão (m) (GMS) (") α 3º d 9,4,7 α 4º d 83,46,6 α 36º9 3 d 36,8,7 3 α 46º9 8 4 d 7,7,8 4 α 97º d 6,37,7 α 7º 6 d 63,77,6 6 α 8º Ajustmentos de oservções pelo Método dos Mínimos Qudrdos Apresent-se o itinerário pr relizção do justmento pelo M.M.Q - cso Prmétrico. º psso: estudr o prolem de form determinr s equções mtemátics de oservções que envolvem os prâmetros. N form dd pel equção (): L = F(X ). () Onde, L represent o vetor ds oservções justdos, u represent o nº. de prâmetros e X são os prâmetros justdos. º psso: oter os vlores proximdos pr os prâmetros (x ). Os vlores dos prâmetros proximdos do presente trlho form clculdos utilizndo-se ds coordends do vértice inicil ( p ) d poligonl, presentd n figur, do zimute inicil do linhmento -, os comprimentos dos ldos e os ângulos horários. 3º psso: montr mtriz dos pesos P =σ L. Pr montr ess mtriz é necessário que se conheçm s precisões com que form otids s oservções (ângulos e distâncis). Cso não tenh sido feito medids repetids pr otenção ds precisões ds oservções, pode-se considerr precisão nominl do prelho. Ess mtriz será digonl, devido não considerção ds correlções entre s oservções. O sigm zero priori σ, ou ftor de vriânci posteriori pode ser ritrário, gerlmente ssume-se o vlor igul à unidde. A Mtriz Vriânci - Covriânci ds Oservções - MVC ( ) é formd por meio dos L vlores d precisão (vriânci) de cd oservção e (covriânci) cso hj correlção entre s oservções. 4º psso: encontrr o vetor ds oservções proximds L = F(X ) Este vetor é clculdo pel sustituição dos vlores proximdos otidos no psso ns possíveis equções de oservções Xk X j Xi X j ; (3) α j = Az jk Az ji = tn tn Yk Y j Yi Y j Az X ; (4) ij ij = tn Y ij ( ) ( ) d X X Y Y i = j i + j i /. () º psso: encontrr o vetor dos termos independentes L= L L O vetor L dos termos independentes é resultdo d diferenç do vetor ds oservções e o vetor ds oservções proximds otids no 4º psso. 6º psso: montgem d mtriz design ou mtriz A. A mtriz A é otid por meio ds derivds prciis ds equções de oservções em relção os prâmetros justdos no ponto proximdo. A é dd pel equção (6). F (6) A = X X= X 7º psso: resolução do sistem de equções normis O modelo mtemático ds equções de oservção linerizds é ddo pel equção (7). AX L = V ; (7) onde, V : vetor dos resíduos ds oservções, otido do justmento pr corrigir s oservções; X : é o vetor incógnito ds correções, serem plicds os prâmetros proximdos pr otenção dos prâmetros justdos, ou sej, coordends dos pontos d poligonl justdo. Aplicndo o princípio dos mínimos qudrdos n equção (7) e pós lgums operções lgérics e mtriciis, otêm-se os sistems de equções normis 36

5 XXIII Congresso Brsileiro de Crtogrfi, Rio de Jneiro, Brsil, 4 de outuro de 7. dds pels equções (8) e (9) e resolução do sistem de equção norml é ddo pel equção (). N= A PA (8) U= A PL (9) X= N U () 8º psso: cálculo dos prâmetros justdos X O cálculo dos prâmetros, coordends justds é ddo pel equção (). X = X + X () 9º psso: encontrr o vetor dos resíduos V O vetor dos resíduos é utilizdo pr o cálculo ds oservções justds e pr o cálculo do sigm zero posteriori é ddo pel equção (). V = AX L () º psso: cálculo do sigm zero posteriori ˆσ, ddo pel equção (3). VPV σ ˆ = (3) gl onde, O sigm zero posteriori é um vlor que deve ser confrontdo com o sigm zero priori, por meio do teste qui-qudrdo. Cso sej detectd diferenç esttístic certo nível de significânci α, deve-se verificr se há prolems no justmento. De cordo com Gemel (994) form qudrátic VPV tem σ distriuição χ com s =νgrus de lierdde, isto é. VPV : χ ( ν) σ estmos hipótese ásic: H =σ =σ ˆ H =σ σ ˆ Comprndo o qui-qudrdo, pode ser clculdo ddo pel equção (4) com os vlores teóricos ddos pels equções (3) e (3). σˆ VPV χ c = s = (4) σ σ Os vlores teóricos podem ser clculdos, com uxílio de um tel de distriuição qui-qudrdo. Pr isso, st entrr com o número do gru de lierdde e o nível de significânci α, e podem ser clculdos pels equções () e (6). χ ; () s, α χ. (6) α s, A hipótese ásic não é rejeitd, no nível de significânci α se estiver dentro do intervlo ddo pel equção (7): χ <χ <χ. (7) α c α s, s, º psso: cálculo d MVC dos prâmetros justdos X A MVC dos prâmetros estimdos dd pel equção (8) é um mtriz complet e simétric que permite determinção d precisão com que os prâmetros form estimdos. N digonl principl encontrm-se vlores de vriânci e for d digonl, vlores de covriânci. =σˆ X (A PA) (8).. - Elipse dos erros A elipse dos erros e seus elementos podem ser vistos n figur 3. N hipótese de distriuição norml dos erros, interpretção geométric d elipse em su form pdrão pode ser entendid como um proilidde de 39,4% em que posição estimd pr o ponto estej dentro d elipse, centrd n posição verddeir. Pr otenção um região de proilidde de 9%, st multiplicr o semi-eixo mior () e menor () por um ftor de,447. N ψ Fig. 3 Elipse do erro. σ máx. σ mín. A orientção d elipse pode ser clculd pel equção (9), porém é necessári nálise de qudrnte. Os semi-eixos mior e menor d elipse podem ser clculdos respectivmente pels equções () e () com uxílio d equção () σ XY ψ= tn ; (3) σy σx σ =, ( σ +σ + K) ; (4) Y X σ =, ( σ +σ K) ; () Y X E 37

6 XXIII Congresso Brsileiro de Crtogrfi, Rio de Jneiro, Brsil, 4 de outuro de 7. ( Y X) ( XY) K = σ σ + σ ; (6) onde, σx é vriânci ds scisss dos vértices d poligonl; σx é vriânci ds ordends dos vértices d poligonl ψ é orientção d elipse, ou sej, ângulo entre o norte e o semi-eixo mior d elipse; σ é vriânci do semi-eixo mior; σ é vriânci do semi-eixo menor e K é um elemento de cálculo uxilir. 3 RESULADOS Foi relizdo o justmento ds oservções pelo método prmétrico ds dus poligonis, onde foi dotdo como critério de convergênci pr prd d iterção, um vlor de delt δ,mm pr s correções os prâmetros proximdos, form necessáris dus iterções em cd um ds poligonis pr que se tingisse especificção de δ. Pr relizção do justmento d poligonl enqudrd foi considerdo o ponto P como ponto fixo (constnte) e zimute inicil como oservção, com peso lto, o que deste modo fixou o zimute inicil. N poligonl enqudrd form considerdos os pontos P e P7 como pontos fixos. A qulidde do justmento foi nlisd com se no teste esttístico qui-qudrdo um nível α= % de significânci. O qui-qudrdo clculdo pr poligonl fechd foi de:, e os limires, inferior e superior (vlores de qui-qudrdo teórico) form de,7 e,84. Como o qui-qudrdo clculdo está dentro do intervlo de confinç de 99% e deste modo ceit hipótese de nulidde. Pode-se deste modo inferir que o justmento d poligonl fechd em loop teve um om desempenho. Pr poligonl enqudrd tmém foi plicdo o teste qui-qudrdo um nível α de % de significânci. O vlor do qui-qudrdo clculdo foi de,99, e o limires, inferior e superior igul,7 e,84 respectivmente. Deste modo, o qui-qudrdo clculdo está dentro do intervlo de 99% de confinç e então se ceit hipótese de nulidde, ou sej, não há diferenç esttítisc entre vriânci de referenci priori e posteriori o nível de % de significânci. As coordends justds dos vértices ds poligonis em loop e enqudrds e, sus precisões podem ser vists ns tels 3 e 4 respectivmente. ABELA 3 COORDENADAS E PRECISÕES ESIMADAS DA POLIONAL FECHADA ID PO X (m) Y(m) σ X (m) σ Y (m),, FIXO FIXO 493,83 983,66,7, 3 78,3 989,94,3,4 4 8,37 988,769,6,8 4,37 979,86,9,6 6 43, ,33,6,7 7 38,778 7,,7, ABELA 4 - COORDENADAS E PRECISÕES ESIMADAS DA POLIONAL ENQUADRADA ID PO X (m) Y(m) σ X (m) σ Y (m),, FIXO FIXO 493, ,6,,4 3 78,7 989,94,3, 4 8,37 988,84,6,3 4,38 979,7,,6 6 43, ,,, 7 38,794 7, FIXO FIXO Oserv-se pels tels 3 e 4, que houve cert homogeneizção ds precisões n poligonl enqudrd e oserv-se tmém que s precisões dest poligonl form miores pr pontos situdos n vizinhnç dos pontos fixos. Os desvios pdrão dos pontos d poligonl fechd form, em médi, miores qundo se fstrm do ponto fixo e voltndo diminuir qundo os mesmos se proximrm do ponto fixo. N figur 4 estão representdos grficmente os desvios pdrão em módulo dos vértices constituintes ds poligonis: Fechd (loop) e enqudrd. 38

7 XXIII Congresso Brsileiro de Crtogrfi, Rio de Jneiro, Brsil, 4 de outuro de 7. 3 Desvios Pdrão (mm) Vértices Sigm X - Poligonl fechd Sigm X - Poligonl enqudrd Sigm Y - Poligonl fechd Sigm Y - Poligonl enqudrd Fig. 4: Desvios pdrão ds coordends dos vértices ds poligonis Oserv-se n figur 4 que os desvios pdrão d poligonl fechd representd por tons de zul, em médi umentm à medid que se fstrm do ponto fixo e diminuírm medid que se proximrm do ponto fixo. Os desvios pdrão d poligonl enqudrd representdos por tons de verde form em médi menores e tmém seguirm tendênci de miores precisões qundo se proximrm dos pontos fixos. Um form gráfic de visulizção ds precisões dos vértices d poligonl foi permitid pel construção ds elipses do erro solut que podem ser vists pels figurs e 6. Os prâmetros ds elipses do erro soluto; orientção( ψ ), semi-eixo mior ( σ ) e, semi-eixo menor ( σ )estão descritos n tel 3 e 4. N tel 3 oserv-se os vlores numéricos dos prâmetros d elipse dos erros dos vértices d poligonl fechd (loop). ABELA 3 PARÂMEROS DAS ELIPSES DO ERRO PADRÃO Vértices Prâmetros d Elipse do erro com 9% de confinç ψ σ (mm) σ (mm) 3º'9" º'4" º'" º6'3" º'6" º8'49" 4 A representção gráfic ds precisões dos vértices d poligonl fechd (loop) foi feit por meio d elipse do erro e pode ser vist n figur. P7 P P6 P P3 Escl d elipse cm P4 P Escl d poligonl m Fig. : Elipses do erro dos vértices d poligonl fechd (loop) 39

8 XXIII Congresso Brsileiro de Crtogrfi, Rio de Jneiro, Brsil, 4 de outuro de 7. N tel 4 oserv-se os vlores numéricos dos prâmetros d elipse dos erros dos vértices d poligonl fechd (loop). A representção gráfic ds precisões dos vértices d poligonl enqudrd foi feit por meio d elipse solut e pode ser vist n figur 6. ABELA 4 PARÂMEROS DAS ELIPSES DO ERRO PADRÃO Prâmetros d Elipse do erro com Vértices 9% de confinç ψ σ (mm) σ (mm) 77º4'3" º'48" º39'34" º3'" º8'" CONSIDERAÇÕES FINAIS Pr relizção de levntmentos topográficos plnimétricos são comumente utilizdos poligonis pr suporte à otenção de informções posicionis de feições topográfics. As poligonis são otids por meio de medições de ngulres e lineres, estes ângulos e distâncis qundo otidos em undânci e dmitindo existênci somente de erros letórios os mesmos podem ser justdos trvés dos mínimos qudrdos, fornecendo deste modo, coordends dos vértices ds poligonis em como informções de precisão, tnto em form numéric qunto gráfic. O justmento foi relizdo por utilizndo os mínimos qudrdos, cso prmétrico, pels equções de oservção. Form relizds dus iterções que proporcionou vlores que permitiu dentro do critério de convergênci. Foi feit nálise do justmento por meio do teste glol do modelo com nível de significânci de %. O justmento segundo est esttístic oteve um om desempenho. Neste trlho podem-se oservr s precisões numérics dos vértices d poligonl fechd presentd n tel 3 e d poligonl enqudrd n tel 4. As precisões presentds nest tel permitem dizer que à medid que os pontos serem determindos fstm do ponto de referênci (fixo) s precisões são menores. A representção gráfic d precisão ds coordends d poligonl fechd permite visulizção d diminuição d precisão à medid que os pontos se fstm do ponto fixo e voltm umentr precisão qundo se proximm dos mesmos. N poligonl enqudrd houve cert homogeneizção ds precisões dos vértices estimdos e tmém pode-se oservr que s precisões são menores medid que se fstrm dos pontos fixos. As elipses construíds neste trlho form esclds por um constnte que permitiu que se otivesse um região de confinç não de 39,4% ms de 9% que é região normlmente empregd n representção dest região de ceitção. Dinte dos resultdos otidos, recomend-se pr relizção de levntmentos topográficos utilizção de poligonis enqudrds, ou poids em pontos de controle, que permitirão otenção de precisões mis homogênes nos pontos estimdos. P7 P P6 P P3 P4 P Escl d elipse cm Escl d poligonl m Fig. 6: Elipses do erro dos vértices d poligonl enqudrd 33

9 XXIII Congresso Brsileiro de Crtogrfi, Rio de Jneiro, Brsil, 4 de outuro de 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COOPER, M. A. R, 987.Control Surveys In Civil Engineering, Collins, London, 38págins. COMASRI, J, 99. opogrfi:plnimetri, Imprens Universitári, Viços - MG, Brsil, 336 págins. DALMOLIN, Quintino, 4. Ajustmento por Mínimos Qudrdos, Imprens Universitári, Curiti, Brsil, 7 págins. GEMAEL, Cmil, 994: Introdução o justmento de oservções - plicções geodésics, Curiti-PR: UFPR, 4. 39p. LOCH, C; CORDINI, J,. opogrfi Contemporâne: Plnimetri, UFSC, Florinópolis, Brsil, 3 págins. MIKHAIL, E, M; GRACIE, G, 98.Anlysis nd Adjustment of Survey Mesurements, Litton Eductionl Pulishing, New York, USA, 34 págins. SILVA, A. S. Ajustmento Pelos Mínimos Qudrdos em Ciêncis Geodésics.Viços-MG: Deprtmento de Engenhri Civil d UFV,. 87págins (postil). 33