O ENSINO DE PROBABILIDADE VIA CONCEITO DE MEDIDA

Transcrição

1 O ENSINO DE PROBABILIDADE VIA CONCEITO DE MEDIDA Maiko Luiz Mirkoski Istituto Federal do Paraá Irati Paraá Diego Zotii Dutra Istituto Federal do Paraá Irati Paraá Resumo: Este artigo apreseta um relato de aplicação de uma sequêcia didática com situações problema sobre Probabilidade pautadas os objetivos da BNCC. Trazemos um esio do coceito de Probabilidade a luz da teoria da medida, com defiições matemáticas mais abragetes, evitado assim futuras rupturas os coceitos. A metodologia segue os pricípios da Egeharia Didática, valorizado tato o aspecto teórico quato experimetal. A atividade foi desevolvida em uma turma do terceiro ao do curso técico em iformática itegrado ao esio médio, composta por vite e oito estudates, e sua aálise mostrou uma costrução sólida dos coceitos os mais variados cotextos. Palavras-chave: Esio, Medida, Probabilidade, Egeharia Didática. 1 INTRODUÇÃO Promovemos este artigo uma discussão sobre o esio de probabilidade por meio do coceito de medida. Aplicamos uma sequêcia didática em uma turma de 3º ao do curso técico em iformática itegrado ao esio médio, com objetivo de esiar probabilidade sem usar fórmulas, e ates do coteúdo de aálise combiatória. Podemos destacar que o objetivo pricipal é ateder as ovas habilidades que a BNCC traz, pricipalmete o (EM13MAT511) Recohecer a existêcia de diferetes tipos de espaços amostrais, discretos ou ão, de evetos equiprováveis ou ão, e ivestigar as implicações o cálculo de probabilidades (BNCC, 2017, p.533). Os professores muitas vezes baseiam suas aulas em problemas rotieiros e fórmulas protas, sem utilizar à abordagem a problemas que agucem a curiosidade dos aluos. Dos poucos problemas ecotrados em livros, estes ão chegam a ser trabalhado, pois a maeira como são iseridos levam o professor a deixar de trabalhá-los, sedo que eles são os últimos problemas de cada capítulo dos livros, quado existem. Não podemos colocar a culpa totalmete os professores, pois lhes falta tempo, e um material que efatize tais importâcias dos problemas de probabilidade que saiam da rotia, mais precisamete problemas que abordem a medida de um cojuto.

2 Os livros didáticos raramete apresetam o termo medida de um cojuto, e de certo modo esse coceito puro realmete é complexo para aluos de esio médio, etretato a ideia por trás dele é muito simples, e podemos trabalhar uma ifiidade de problemas iteressates sem utilizar um rigor matemático ou o próprio coceito puro, basta etedermos a ideia geral. Neste trabalho buscaremos eteder e fazer uma trasposição didática deste coceito para professores. Faremos mais adiate o desevolvimeto geral de Teoria da medida e da Teoria de probabilidade, de modo a deixar claro qual ideia de medida que usaremos em probabilidade e ver como isto é importate em certos cotextos. 2 O ENSINO DE PROBABILIDADE O papel do professor é desafiador, e vai muito além do costate estado de atualização de cohecimetos e estratégias de esio. Primeiramete, por que ão pode ser cosiderado como úico detetor do cohecimeto, e em um cohecimeto proto e acabado, por outro lado, o estudate ão pode ser visto como uma págia em braco ou um agete passivo o processo de apredizagem deve haver tripla correlação professor/cohecimeto/aluo(brum & SCHUHMACHER, 2013, p.62). O esio de matemática está fortemete etrelaçado com resolução de problemas, mesmo utilizado de outras metodologias de esio, a resolução de problemas certamete aparecerá durate o processo de esio. Segudo Gaffuri (2012, p.38) [...] resolver problemas parece ser um desafio para aluos e professores de Matemática. Embora pareça ser a metodologia mais utilizada, há dúvidas quato ao que se faz em sala de aula ser mesmo resolução de problemas ou meros exercícios de fixação. Esiar matemática através da resolução de problemas, remete a um processo de esio-apredizagem que iicia com uma situação-problema, esta deve ser a partida em busca da costrução de ovos coceitos e coteúdos matemáticos. Além disto, uma situaçãoproblema deve ser istigadora, deve deixar o aluo curioso a poto de demadar seu esforço para trabalhar em uma solução. O estudo do acaso ou a teoria da aleatoriedade é deomiada Probabilidade. Segudo Morgado et al. (1991, p. 128) a Probabilidade é o ramo da Matemática que cria, desevolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimetos ou feômeos aleatórios. Experimetos aleatórios podem ser defiidos como experiêcias que repetidas sob as mesmas codições produzem resultados geralmete diferetes (LIMA, 1997, p. 113). Feômeos aleatórios acotecem costatemete em ossa vida diária. São frequetes pergutas tais como: choverá amahã? Qual será s temperatura máxima o próximo domigo? Qual será o úmero de gahadores da Loteria Esportiva? Quatos habitates terá o Brasil o ao 2000?(MORGADO et al., 1991, p.128) A resolução de problemas, é o pricípio orteador da apredizagem da matemática, ão faz setido trabalhar com atividades evolvedo coceitos estatísticos e probabilísticos que ão estejam viculados a essa problemática. Ela pode possibilitar o desevolvimeto do trabalho com estatística e probabilidade em sala, porque da mesma forma que a matemática, a probabilidade também se desevolveu através da resolução de problemas de ordem prática a história(lopes, 2018). Uma vez mais ressaltamos que o esio da estocástica deve propiciar ao estudate situações que lhe permitam a superação do determiismo em favor da aleatoriedade.

3 É ecessário trabalharmos detro do currículo de Matemática com situações que evolvam as idéias de acaso e de aleatório, pois, do cotrário, estaremos reduzido o esio desta ao verdadeiro e falso de suas proposições(lopes, 2008, p.63). Na BNCC, temos que Certeza e icerteza são ieretes, aida, as variadas formas de comuicação social, que empregam elemetos de estatística e suas represetações, além dos problemas de cotagem e de formas ituitivas de expressão de probabilidades (2017, p.521). Nas Orietações Curriculares para o Esio Médio: Ciêcias da Natureza, Matemática e suas Tecologias, os coteúdos básicos estão orgaizados em quatro blocos: Números e operações; Fuções; Geometria; Aálise de dados e probabilidade. Os coteúdos do bloco Aálise de dados e probabilidade têm sido recomedados para todos os íveis da educação básica, em especial para o esio médio. Uma das razões desse poto de vista reside a importâcia das ideias de icerteza e de probabilidade, associadas aos chamados feômeos aleatórios, presetes de forma essecial os mudos atural e social (BRASIL, 2006, p.78). Aida as Orietações Curriculares para o Esio Médio: Ciêcias da Natureza, Matemática e suas Tecologias, temos que Ao estudar probabilidade e chace, os aluos precisam eteder coceitos e palavras relacioadas à chace, icerteza e probabilidade, que aparecem a ossa vida diariamete, particularmete a mídia (BRASIL, 2006, p.79). Ao tratar da Matemática equato compoete curricular, o documeto BNCC (2017) apreseta sua estrutura em 5 eixos: Geometria, Gradezas e Medidas, Estatística e Probabilidade, Números e Operações, Álgebra e Fuções. Temos o eixo Estatística e Probabilidade, as habilidades: (EM13MAT511)Recohecer a existêcia de diferetes tipos de espaços amostrais, discretos ou ão, de evetos equiprováveis ou ão, e ivestigar as implicações o cálculo de probabilidades (BNCC, 2017, p.533). (EM13MAT311) Resolver e elaborar problemas que evolvem o cálculo da probabilidade de evetos aleatórios, idetificado e descrevedo o espaço amostral e realizado cotagem das possibilidades (BNCC, 2017, p.529). (EM13MAT312) Resolver e elaborar problemas que evolvem o cálculo de probabilidade de evetos em experimetos aleatórios sucessivos (BNCC, 2017, p.529). (EM13CNT205) Utilizar oções de probabilidade e icerteza para iterpretar previsões sobre atividades experimetais, feômeos aturais e processos tecológicos, recohecedo os limites explicativos das ciêcias (BNCC, 2017, p.543). Nossa proposta de esio visa cotribuir para que todas as habilidades acima citadas sejam cumpridas, o etato, foge ao espaço deste trabalho cumprir todas elas. Iremos etão reescrevê-las coforme ossos objetivos de trabalho, desta forma, trazemos como hipóteses, as seguites habilidades. Recohecer a difereça etre tipos de espaços amostrais, discretos ou cotíuos, fiitos ou ifiitos, de evetos equiprováveis ou ão. Recohecer a existêcia de diferetes medidas de cojutos discretos ou cotíuos. Resolver problemas que evolvem o cálculo da probabilidade de evetos aleatórios, idetificado e descrevedo o espaço amostral e realizado a medição do eveto a partir de uma medida adequada ao cotexto. Resolver e elaborar problemas que evolvem o cálculo de probabilidade de evetos em experimetos aleatórios sucessivos e codicioais.

4 Utilizar oções de probabilidade para iterpretar previsões sobre atividades experimetais. Este é um trabalho, a forma de uma ação pedagógica/ivestigativa, que cotou com plaejameto e implemetação de uma sequêcia didática para esio de probabilidade, o ível médio, sedo que os aluos ão tiham cohecimeto prévio de aálise combiatória. Dessa forma a sequêcia didática tem etre suas pricipais características a abolição de fórmulas protas e acabadas, e prioriza a ituição dos aluos, com efoque o coceito de medida. A metodologia que utilizamos, foi a qual tem os pricípios e etapas mais coeretes com ossa proposta, sedo assim osso trabalho está fortemete utilizado a metodologia da Egeharia Didática. 3 ENGENHARIA DIDÁTICA A Egeharia Didática (clássica ou de primeira geração) emergiu a didática da matemática o iício dos aos Iiciada em 1982 por Yves Chevallard e Guy Brousseau, depois, em 1989, por Michèle Artigue. A Egeharia Didática, ecarada como metodologia de pesquisa, possui a característica de um esquema experimetal baseado em realizações didáticas em sala de aula, isto é, a cocepção, realização, observação e aálise de sessões de esio. Tem ispiração o trabalho do egeheiro, cuja atuação exige um cohecimeto cietífico sólido, mas também exige efretameto, o setido de comparação de problemas práticos para os quais ão existe teoria prévia, mometos de proposição de soluções, que visam além de resolver um problema correlacioar a solução com a teoria (CARNEIRO, 2009). Segudo Artigue (1996), a Egeharia Didática é um processo empírico que objetiva coceber, realizar, observar e aalisar situações didáticas. Iicialmete associada como metodologia para a aálise de situações didáticas, a Egeharia Didática foi cocebida como um trabalho didático de modo aálogo ao: [...] ofício do egeheiro que, para realizar um projeto preciso, se apoia sobre cohecimetos cietíficos de seu domíio, aceita submeter-se a um cotrole de tipo cietífico, mas, ao mesmo tempo, se vê obrigado a trabalhar sobre objetos bem mais complexos que os objetos depurados a ciêcia e, portato, a efretar [...] problemas que a ciêcia ão quer ou ão pode levar em cota. (ARTIGUE, 1996, p. 193) Em um trabalho com a egeharia didática o professor faz da sua ação pedagógica um objeto de ivestigação, estabelecedo uma depedêcia etre saber teórico e saber prático, em busca da costrução de cohecimeto, pois sem essa depedêcia ambas as partes teria seu potecial reduzido (PAIS, 2016, p. 99). Os modelos da Egeharia Didática proposta pela pesquisadora fracesa Michèle Artigue, possuem 4 etapas a cumprir: aálises prévias; cocepção e aálise a priori; experimetação e aálise a posteriori com validação. A etapa 1 é Aálise prévia, faz-se um estudo teórico acerca do coteúdo que deseja-se implemetar as sequêcias didáticas, desde aspectos históricos até algumas das dificuldades que possam surgir. Nesta etapa também é importate se situar com algumas pesquisas que estão sedo publicadas sobre o coteúdo escolhido, deve-se fazer o recohecimeto dos sujeitos evolvidos a pesquisa, ambiete etre outros. Para complemetar, Pais diz que:

5 Para melhor orgaizar a aálise prelimiar, é recomedável proceder a uma descrição das pricipais dimesões que defiem o feômeo a ser estudado e que se relacioam com o sistema de esio, tais como a epistemologia cogitiva, pedagógica, etre outras. Cada uma dessas dimesões participa a costituição do objeto de estudo(pais, 2016, p. 101). A etapa 2 é a Aálise a priori, esta etapa fazemos as elaborações das sequêcias didáticas, devemos ter bem claro a importâcia de cada objeto de esio para a costrução juto ao aluo. Outro poto muito importate esta etapa é elecar as hipóteses que se pretede alcaçar com a aplicação da sequêcia didática. A elaboração de uma sequêcia didática exige toda uma preparação, pois é formada por algumas aulas plaejadas e aalisadas previamete com a fialidade de observar situações de apredizagem. De modo geral, ão são aulas o setido da rotia da sala de aula, pois acotece a execução de todo um projeto difereciado, assim é preciso estar ateto ao maior úmero possível de iformações que possa cotribuir a parte da aálise do feômeo ivestigatório(pais, 2016, p.102). A etapa 3 é Experimetação, o mometo de aplicação da sequêcia elaborada em sala de aula. Nesta etapa, muitas iformações serão captadas e posteriormete aalisadas. É comum que da aplicação sejam coletados escritos das atividades dos aluos, pois a simples observação pode gerar um etedimeto muito superficial das dificuldades e perde-se detalhes idividuais de cada aluo. Por fim, a etapa 4 a Aálise a posteriori, partimos das observações realizadas durate a fase da experimetação, e faremos a validação ou ão das hipóteses levatadas a aálise a priori. É idispesável a coleta de dados durate a etapa 3, para o processo de validação ser o mais completo possível. Segudo Brum & Schuhmacher (2013) a atuação ativa do aluo com seu processo de apredizagem deve ser valorizada, pois é fudametal a pesquisa. O sucesso da pesquisa também depede do procedimeto, evolvimeto dos aluos e habilidade de escolher o camiho adequado para verificar os objetivos da experimetação, todos estes aspectos devem ser cosiderados o plaejameto. Deste modo, com a Egeharia Didática, equato vertete da pesquisa qualitativa, buscamos estudar os problemas ieretes à apredizagem de coceitos específicos da Matemática, diagósticos de dificuldades, e a compreesão do desevolvimeto das estratégias dos aluos e apredizagem. Portato, a proposta desse estudo foi de realizar uma pesquisa de atureza qualitativa, buscado uma abordagem descritiva, mas sem iteções de geeralização aalítica, com êfase em um Estudo de Caso. 4 MEDIDAS DE PROBABILIDADE Até o adveto da teoria da medida, a probabilidade foi estudada a partir de problemas de azar e de métodos para resolvê-los. O iteresse de matemáticos estes problemas remota a Pascal e Fermat o século XVII. Mas aida ão existia ehuma teoria geral, em boas defiições fudametais para se basear. Esta é uma das pricipais realizações do século XX e é iteiramete devido ao desevolvimeto da teoria da medida. Uma teoria de probabilidade com base matemática firme só veio após a teoria de medida ser costruída, especialmete por Lebesgue e Borel, mas foi A. Kolmogorov que laçou as bases da teoria das medidas de probabilidade. Não podemos deixar parecer que a úica aplicação da teoria de medidas seja a probabilidade, muito pelo cotrário, Quato à Teoria da Medida, esta foi importatíssima,

6 iclusive, para matematizar outras áreas de cohecimeto como, por exemplo, a probabilidade, as teorias ecoômicas e a termodiâmica PALARO, 2006, p. 227). Seja um cojuto Ω, defiimos P(Ω) como sedo o cojuto dos subcojutos cotidos em Ω. Utilizaremos C para idicar uma classe específica de cojutos, tais que: A1. Ω C. A2. Se A C, etão A c C. A3. Se A C e B C,etão A B C. A classe de cojutos C que satisfaz A1, A2 e A3 é chamada uma álgebra de cojutos. Proposição. Seja C uma álgebra de subcojutos de Ω. Etão valem as seguites propriedades: A4. C. A5., A 1... A C, temos i= 1 A i C e A i C. A3'. Se A C para =1,2,3,..., etão i= 1 i= 1 A i C. A classe de evetos A que satisfaz A1, A2 e A3' é uma sigma-álgebra de evetos. Como A3' implica em A3, temos que toda sigma-álgebra é uma álgebra. De modo geral, sempre podemos supor, sem perda de geeralidade que C é uma sigma-álgebra em vez de álgebra, tal fato é justificável pelo Teorema da Extesão de Carathéodory (FERNANDEZ, 1976). O par (Ω, C) chama-se espaço mesurável. Os elemetos de C chamam-se cojutos mesuráveis. Exemplo de sigma-álgebra de evetos aleatórios. Caso discreto: Se Ω for fiito ou eumerável, etão C será (usualmete) a sigma-álgebra de todas as partes de Ω, ou seja, C= P(Ω). No laçameto de um dado, temos Ω= {1,2,3,4,5,6}, e assim C=P(Ω)={, {1}, {2},..., {6 },{1,2},..., Ω} Sedo o úmero de elemetos de Ω, a classe C das P(Ω) terá 2 elemetos, este exemplo, P(Ω) possui 2 6 =32 elemetos. É fácil ver que P(Ω) é uma sigma-álgebra. Caso cotíuo: Selecioar, ao acaso, um poto do itervalo [0,1]. Aqui Ω=[0,1], e C é o cojuto de todos os subcojutos cujo comprimeto esteja bem defiido. Vamos cosiderar primeiramete A 0 ={A [0,1]: A é uião fiita de itervalos}. A 0 é uma álgebra, pois Ω A 0, se A A 0 etão A c também é uião fiita de itervalos, e A3 é trivial. Mas A 0 ão é uma sigma-álgebra, pois ão cotém, por exemplo o eveto: A= ( 0, 1 2) ( 1 2, 3 4) ( 3 4, 7 8)... ( 1 1 2, )... que é uma uião eumerável de itervalos, mas claramete ão é fiita. Temos etão uma classe maior e mais complicada de evetos que A 0. Esta classe será uma sigma-álgebra de itervalos, deomiada a sigma-álgebra de Borel. Deota-se por B a sigma-álgebra de Borel a reta, esta é a meor sigma-álgebra cotedo todos os itervalos. Os elemetos desta sigma-álgebra são os boreliaos da reta. Em termos, ituitivo, um boreliao é um boreliao é um cojuto que pode ser obtido de uma quatidade eumerável de itervalos aplicado-se as operações uião, itersecção e complemetar uma quatidade eumerável de vezes.

7 Exemplo: O cojuto dos úmeros racioais é um boreliao por ser uião eumerável de itervalos degeerados (potos), e o cojuto dos irracioais também é, pois é o complemetar de uma uião eumerável. De maeira aáloga podemos defiir B 2, que é a meor sigma-álgebra cotedo todos os retâgulos. No caso geral, B deota a meor sigma-álgebra cotedo todos os retâgulos - dimesioais. Uma fução μ :C (, ] é chamada uma fução de cojuto. Defie-se assim uma tera (Ω,C, μ ) chamada um espaço de medida, em que Ω é um cojuto, C é uma sigmaálgebra cotida em P(Ω) e μ é uma medida sobre C. E medidas μ é dita aditivamete fiita ou aida sigma-fiita, se satisfaz respectivamete, para A 1,A 2,A 3,... A,... C, etão μ( k=1 k) A = k=1 μ( A k ) e μ( k= 1 Ak) = μ ( A k ) k=1 Vale ressaltar que as duas defiições ateriores A k represeta uma uião disjuta k=1 dos cojutos A k. Teorema da Extesão de Carathéodory - Dada uma medida μ sigma-fiita sobre a álgebra C, existe uma úica medida, μ que estede sobre μ a sigma-álgebra gerada por C. De modo que, μ ( A)= μ ( A), A C. Aida ão dedicamos a desevolver uma maeira de medir. Vamos utilizar a Medida de Lebesgue a partir deste poto. Comecemos por defiir o volume (comprimeto) de Lebesgue. Se Ι ={itervalos de R do tipo {( x 1,x 2,...,x ): <a i <x i <b i <,i :1,2,3,... }},etão seja: A Ι ; A é o produto cartesiao de itervalos { x i R : <a i <x i <b i <,i :1,2,3,... }. O volume é: μ (A)= (b i a i ) i=1 μ (A) é zero se algum par de extremos dos itervalos tem o mesmo valor; é ifiito se algum extremo for ifiito. Vamos agora, esteder esta fução para a sigma-álgebra de Borel. Dado B pertecete a sigma-álgebra de Borel, tal que B= U disjutos, defie-se o volume de B: k μ (B)= μ ( A j ) j=1 k j= 1 A j com A j Ι e Esta fução só tem setido se ão depeder da represetação particular de B. A área de uma região, por mais que ão seja retâgulos em R 2, podemos calcular essa área por aproximação de retâgulos aplicado diretamete a medida de Lebesgue. Estamos iteressados apeas a existêcia de medidas de probabilidades em uma certa sigma-álgebra C de evetos, deomiados evetos aleatórios; supohamos que a todo A C associamos um úmero real P( A), o qual chamaremos de probabilidade de A (JAMES,1996). Axioma 1. P( A) 0

8 Axioma 2. P (Ω )= 1 Axioma 3. (Aditividade fiita) Se A 1,A 2,A 3,... A C são disjutos (2 a 2), etão: P( U A k )= P(A k ). k= 1 k= 1 Uma medida m que satisfaz os 3 axiomas acima é chamada de medida de probabilidade. Defiimos etão, para todo A 1,A 2,A 3,... A... C, disjutos (2 a 2) que μ ( A) P( A )= μ (U k= 1 A k ) Se C é uma sigma-álgebra em Ω e P é defiido como a equação acima, etão P é uma medida de probabilidade. Se C é uma sigma-álgebra em Ω e P é uma medida de probabilidade em A, etão a tripla (Ω, C, P) é chamada um espaço de medida de probabilidade, ou simplesmete espaço de probabilidade. A probabilidade que é comumete usada em espaços fiitos e equiprováveis é a que se obtém defiido P(A), como quociete do úmero de elemetos cotidos em A (casos favoráveis) pelo úmero de elemetos de Ω (casos possíveis). Existem muitas probabilidades, ou seja, fuções satisfazedo os axiomas 1, 2 e 3 que ão são desta forma particular(morgado et al., 1991, p. 136). Um exemplo simples se obtém tomado Ω={1,0} e defiido: P( )= 0 ; P(Ω)= 1; P({0})= 2/3 ;P ({1})= 1/3 Partido dos axiomas, pode-se provar algumas propriedades, as quais são uteis em situações problemas. P1. P(A c )= 1 P (A ) P2. A B P (A) P (b) P3. 0 P (A ) 1 P4. P(A)=P (A B)+P(A B c ) P5. P(A B)=P(A )+P (B) P (A B) A teoria das medidas de probabilidade o caráter formal da matemática é um tato complexa, porém as ideias aplicadas em situação problemas o cotidiao escolar são simples, após todo desevolvimeto da teoria que fizemos, vamos agora mostrar a aálise da experimetação que tais coceitos aparecem em problemas do cotexto do esio médio. E acordamos que O docete precisa apresetar pelo meos um ível de abstração superior, o que diz respeito ao coteúdo que irá trabalhar, pois somete dessa forma coseguirá estabelecer coexões com outras áreas e/ou com o próprio cohecimeto matemático e estatístico (LOPES, 2008, p.71) De modo geral, agora ão apeas o assuto de probabilidade, todo professor de matemática precisa possuir um aspecto básico, é ecessário que [...] teha boa relação com a matemática, gosto e dispoibilidade para se evolver em preparação das aulas, para refletir sobre os redirecioametos o decorrer das aulas e durate mometos de formação e trabalho colaborativo (LOPES, 2008, p.71-72). 5 ANÁLISES E DISCUSSÃO DAS ATIVIDADES IMPLEMENTADAS A aplicação foi dividida em três atividades distribuídas as 6 aulas de 50 miutos, em duas seções de 3 aulas. Na primeira seção aplicamos duas atividades e a seguda seção

9 apeas uma atividade. Todas as atividades foram produzidas após uma aálise a priori, coforme detalhamos ateriormete, acrescetado uma trasposição de toda a teoria de medida de probabilidade abstrata, para um cotexto de esio o qual estávamos iseridos, ou seja, para o esio médio. A experimetação foi feita em sala de um curso técico em Iformática, do IFPR- Campus Irati, com aluos do 3º ao. A turma em questão cotava com 28 aluos, e esta era cosiderada uma turma muito boa, digamos de passagem, acima da média. Após a experimetação, temos agora a aálise a posteriori, proposta pela Egeharia Didática, ou seja, cada atividade seguirá esse roteiro, primeiramete listamos os objetivos, propostos a motagem da atividade, que pretedemos alcaçar, bem como, cojecturamos as hipóteses que poderão ser validadas. Em seguida, a descrição da experimetação, quais os procedimetos e materiais utilizados durate a experimetação e, por fim, a discussão dos resultados obtidos por meio da implemetação das atividades. Para iiciar o coteúdo de probabilidade faz-se ecessário uma exposição do coceito de espaço amostral, podedo ele ser fiito ou ifiito; discreto ou cotíuo. Defiimos também evetos, como sedo subcojutos do espaço amostral e fizemos uma coversa sobre o que é medir e tipos de medidas que utilizamos. Essa parte teve duração em toro de 35 miutos e a participação dos 28 aluos que haviam a classe. Em seguida, iiciamos discussões e resolução de uma lista de exemplos, a qual exploramos a otação e os diferetes tipos de espaço amostrais. Na primeira atividade, que foi atecedida da lista de exemplos, visamos como objetivos: recohecer a difereça etre tipos de espaços amostrais, discretos ou cotíuos, fiitos ou ifiitos; a existêcia de diferetes medidas de cojutos discretos ou cotíuos e também um pouco sobre cotagem das possibilidades. A seguda atividade tiha por objetivos: resolver problemas que evolvem o cálculo da probabilidade de evetos aleatórios, idetificado e descrevedo o espaço amostral, bem como idetificar uma medida pertiete ao cotexto; também utilizar oções de probabilidade para iterpretar previsões sobre atividades experimetais. Por fim, a terceira atividade tiha como objetivos: resolver problemas que evolvem o cálculo da probabilidade de evetos aleatórios, idetificado e descrevedo o espaço amostral, bem como idetificar uma medida pertiete ao cotexto, e também problemas que evolvem o cálculo de probabilidade de evetos em experimetos aleatórios sucessivos e codicioais. Na atividade 1 cocluímos que os coceitos de cojutos discretos, cotíuos, fiito e ifiito, foram bem assimilados, pois a turma cocluiu a atividade detro do tempo esperado(30 miutos), e com alto ídice de acerto. Percebemos que o último item da lista as cotages estão corretas, porém em um item aterior, ão havia a orgaização bem defiida, etretato temos de ressaltar que os aluos aida ão viram os assutos de aálise combiatória, o qual certamete desevolverão a habilidade de orgaização. De modo geral, ão apeas este aluo, mas grade parte deles mostraram falta de orgaização, mas esta habilidade requerida ão prejudicou a habilidade de cotagem, visto que os aluos foram muito bem a questão que evolvia a cotagem de possibilidades. Outro aspecto iteressate em algumas resoluções foi o fato de usar reticêcias ao fial, pois tal otação idica uma ifiidade de elemetos o cojuto, etretato em outra questão ovamete a cotagem é correta, de modo que a habilidade de cotagem está otavelmete desevolvida os aluos mesmo sem os cohecimetos do assuto de aálise combiatória. Na atividade 2, mais precisamete as duas primeiras questões, o coceito de probabilidade estava atrelado a medida de áreas. Iicialmete gostaríamos de frisar que até o

10 mometo de aplicação desta atividade os aluos tiham apeas uma defiição de probabilidade como ferrameta para resolver as questões. Vamos mostrar a defiição que os aluos receberam para facilitar a aálise das resoluções. P( A )= Medidado cojuto A Medida do cojuto Ω Na questão 1, escolhemos um problema cuja maeira mais usual de ser resolvido seria usar probabilidade complemetar, etretato os aluos ão tiham recebido este coceito em sala. Porém, em algumas soluções ecotramos este coceito implícito, mas a maioria das resoluções o que se pode observar foi resoluções usado apeas a defiição de probabilidade e cálculo de áreas. Na questão 2 desta atividade, que evolvia a áreas de dois setores circulares, os aluos mostram 3 tipos gerais de resolução. A primeira e mais umerosa foi simplesmete apeas assumir que era metade de um círculo e partir para a resolução. A seguda resolução que apareceu foi usada uma lógica de setores e cocluiu-se o resultado. A terceira e mais elaborada foi a ideia de usar retas paralela e coceitos de âgulos, mais especificamete, relações etre âgulos quado temos duas retas paralelas cortadas por uma trasversal. No geral, os objetivos foram parcialmete cocluídos a atividade 2, pois iterpretar previsões sobre atividades experimetais era um objetivo bem específico do problema de aplicação, sedo que a maioria dos aluos ão tiveram tempo de trabalhar ele, ão foi possível cumprir tal objetivo, e também a escolha da medida adequada o cotexto, foi apeas de medir área, visto que deixamos os problemas que ecessitam de outro tipo de medida para a atividade 3. Na atividade 3, trazemos iicialmete 4 questões as quais os aluos calculam probabilidades sobre cartas de baralho e laçametos sucessivos de dados. Na questão 1 algus aluos perceberam que os casos podem ser cotados jutos, porém a maioria dos aluos usou a ideia do Axioma 3. Na questão 2 os aluos cocluíram que deveriam usar a probabilidade da uião, para evetos ão idepedetes. Abordages diferetes e iteressates apareceram a questão 3, a qual algus aluos pesaram iicialmete em que o primeiro laçameto o úmero do dado ão importava, fazedo 1.1/6.1/6=1/36, e também que após escolher um úmero o primeiro, segudo e terceiro laçameto, aida devemos escolher um úmero detre os 6 dispoíveis, fazedo etão 1/6.1/6.1/6.6=1/36. Tais escolhas certamete devem-se ao fato da aálise combiatória aida ão ter sido esiada. Nesta atividade 3 os aluos tiham visto ateriormete o coceito de probabilidade complemetar, dessa forma a questão 4 utilizamos um problema que se os aluos ão o iterpretassem bem poderiam tetar fazer apeas 1-1/36, coforme o aluo fez, mas fora este tivemos casos bem isolados com este erro, o geral obtivemos resoluções detro do esperado. Na questão 5 e 6 estamos iteressados em ver uma solução mais direta e uma usado probabilidade codicioal, e realmete a meos da ordem foi o que ocorreu o geral. Mas tivemos uma proposta de solução fugido o padrão, a qual utilizou-se de probabilidade complemetar, muito iteressate. A atividade 3 de modo geral atigiu ossos objetivos, talvez o úico poto egativo a destacar foi que os aluos ão termiaram de resolver toda a atividade, e sedo assim o objetivo de idetificar uma medida pertiete ao problema se restrigiu a cotar elemetos, visto que problemas evolvedo medida de área e comprimeto apareceriam os problemas fiais.

11 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS No processo tradicioal de esio, a probabilidade é apresetada pelo professor geralmete após o assuto aálise combiatória, visto que a grade maioria os livros didáticos trazem desta forma, e ao trabalhar probabilidade iicialmete restrigissem-se a espaços discretos, defiido probabilidade com P( A)= casos favoráveis/casos possíveis, e posteriormete as vezes trabalhado probabilidade geométrica. Deixado assim o coceito de medida de probabilidade ão bem defiido em casos gerais. A sequêcia de apredizagem que é proposta esse trabalho iverte este modelo de apresetação. Optamos por esiar probabilidade sem ates trabalhar aálise combiatória, e buscamos sempre defiir probabilidade com uma medida, visto que desta forma defiimos probabilidade em cotextos gerais. O trabalho em sua totalidade apresetou resultados positivos frete a ovos objetivos para o esio de probabilidade segudo a BNCC (2017), apesar do pouco tempo de aplicação a pesquisa em sala de aula, mostrou que existem possibilidades da articulação etre: didática, metodologias, tedêcia o esio e o coteúdo matemático em sua forma abstrata. Por fim, o estudo ajudou em mostrar que cohecimeto matemático é um fator muito importate o cotexto escolar, visto que ovos documetos como a BNCC trazem objetivos mais completos para o esio de matemática em especial. Outro diferecial que foi beéfico a realização desta pesquisa foram os pressupostos da Egeharia Didática, a forma com que a mesma sistematiza e orgaiza os dados da pesquisa, foi justamete o que os levou a escolhê-la para osso trabalho, visto que facilitou a operacioalização dos procedimetos plaejados. É fato que ossas atividades poderiam ser mais elaboradas, ou melhor, ossos problemas poderiam ser mais completos, porém seria ecessário em vários casos utilizar métodos de cotagem, que são esiados o assuto de aálise combiatória, e também é claro que o fator tempo é extremamete importate, dessa forma, um aprimorameto de osso trabalho, utilizado-o após o assuto de aálise combiatória com mais aulas dispoíveis certamete proporcioará resultados aida melhores que os ossos. Portato, durate todas as etapas de realização da pesquisa, a mesma detectou a importâcia de falar em medida de probabilidade e que realmete o coceito puramete matemático de medida de probabilidade ão é tão elemetar, porém é possível fazer uma trasposição do coceito mais abstrato para aplicações corriqueiras de sala de aula. Também devemos destacar que esta trasposição feita em ossas atividades vai ao ecotro com os objetivos da BNCC, sedo assim tora-se uma possibilidade de metodologia muito adequada pautado-se em documetos oficiais e ormais gerais de esio em osso país. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARTIGUE, M. Egeharia Didática. I: BRUN, Jea. Didáctica das Matemáticas. Lisboa: Istituto Piaget. Horizotes Pedagógicos, BRASIL. Orietações Curriculares para o Esio Médio: Ciêcias da Natureza, Matemática e suas Tecologias. Brasília: MEC, BNCC. Base Nacioal Comum Curricular. Brasília: Miistério da Educação, 2017.

12 BRUM, W. P.; SCHUHMACHER, E. A egeharia didática como campo metodológico para o plaejameto de aula de matemática: Aálise de uma experiêcia didática para o estudo de geometria esférica. JIEEM - Joral Iteracioal de Estudos em Educação Matemática, v. 6,. 2, CARNEIRO, V. C. G. Egeharia didática: um referecial para ação ivestigativa e para formaçãao de professores de matem atica, p Zetetike, v. 13,. 1, FERNANDEZ, P. J. Medida e itegração. Rio de Jaeiro: IMPA, Istituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, GAFFURI, S. L. Esio e apredizagem de probabilidade através da metodologia de resolução de problemas. Sata Maria: Cetro Uiversitário Fraciscao de Sata Maria, JAMES, B. R. Probabilidade: um curso em ível itermediário. Rio de Jaeiro: IMPA, LIMA, E. A matemática do esio médio. Rio de Jaeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, (Coleção do Professor de Matemática). LOPES, C. E. O esio da estatística e da probabilidade a educação básica e a formação dos professores. Cad. Cedes, Campias, Rio de Jaeiro, v. 28,. 74, p , MORGADO, A. et al. Aalise combiatória e probabilidade: com as soluções dos exercícios. Rio de Jaeiro: SBM, (Coleção do professor de matemática). PAIS, L. Didática da matemática: Uma aálise da ifluêcia fracesa. Belo Horizote: Autêtica Editora, PALARO, L. A. A cocepção de educação matemática de Heri Lebesgue. Rio de Jaeiro: Potifícia Uiversidade Católica de São Paulo, THE TEACHING OF PROBABILITY VIA MEASURE CONCEPT Abstract: This paper presets a applicatio of a didactic sequece with problems about Probability based o Commo Natioal Curriculum Base objectives. We brig a teachig of the cocept of Probability i light of the measure theory, with broader mathematical defiitios, avoidig future ruptures i cocepts. The methodology follows the priciples of Didactic Egieerig, valuig both the theoretical ad the experimetal aspects. The activity was developed i a group of the third year of the techical computer course itegrated to high school, composed of twety-eight studets, ad its aalysis showed a solid costructio of the cocepts i the most varied cotexts. Keywords: Teachig, Measure, Probability, Didactic Egieerig.