MÁRCIO SEITI KAWAMURA

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1 MÁRCIO SEITI KAWAMURA APLICAÇÃO DO MÉTODO BRANCH-AND-BOUND NA PROGRAMAÇÃO DE TAREFAS EM UMA ÚNICA MÁQUINA COM DATA DE ENTREGA COMUM SOB PENALIDADES DE ADIANTAMENTO E ATRASO Dssertação aresentada à Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo ara obtenção do Título de Mestre em Engenhara. São Paulo 2006

2 MÁRCIO SEITI KAWAMURA APLICAÇÃO DO MÉTODO BRANCH-AND-BOUND NA PROGRAMAÇÃO DE TAREFAS EM UMA ÚNICA MÁQUINA COM DATA DE ENTREGA COMUM SOB PENALIDADES DE ADIANTAMENTO E ATRASO Dssertação aresentada à Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo ara obtenção do Título de Mestre em Engenhara. Área de Concentração: Engenhara de Produção Orentadora: Profª Drª Débora Prett Roncon São Paulo 2006

3 FICHA CATALOGRÁFICA Kawamura, Marco Set Alcação do método branch-and-bound na rogramação de tarefas em uma únca máquna com data de entrega comum sob enaldades de adantamento e atraso / M.S. Kawamura. -- São Paulo, Dssertação (Mestrado) - Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo. Deartamento de Engenhara de Produção. 1.Programação da rodução 2.Pesqusa Oeraconal 3.Branch-and-Bound I.Unversdade de São Paulo. Escola Poltécnca. Deartamento de Engenhara de Produção II.t.

4 AGRADECIMENTOS À Professora Débora P. Roncon, elo ncentvo, ela dedcação e ela orentação nesses últmos anos. À mnha famíla, or tudo que tenho na vda. A Lucana Y. Matsuda, elo aoo, carnho e comreensão durante esse eríodo.

5 RESUMO O objetvo desse trabalho é o de estudar o roblema de rogramação de tarefas num ambente rodutvo com uma únca máquna com data comum de entrega. Nesse caso, as tarefas, deos de rocessadas uma únca vez na máquna, devem ser entregues em uma data comum e sofrem enaldades de adantamento e de atraso conforme o nstante em que são comletadas. Na rátca, esse roblema é encontrado em casos de eddos de lotes de rodutos com data de entrega comum réesecfcada, embarques ara exortação e materal químco ou msturas que têm vda méda de curta duração. Problemas desse to são NP-hard (Hall, Kubak & Seth, 1991; Hoogeven & van de Velde, 1991), sendo comumente tratados na lteratura através de heurístcas e meta-heurístcas. Vsto não ser de nosso conhecmento a exstênca na lteratura de tratamento desse roblema através de métodos exatos, roôs-se a utlzação de um algortmo do to branch-and-bound ara obtenção da solução ótma do roblema que mnmze a soma das enaldades de adantamento e de atraso. No desenvolvmento do algortmo, a utlzação de roredades do roblema fo mortante na elaboração de lmtantes nferores e regras de domnânca que melhoraram a efcênca do modelo. Os exermentos realzados avalaram o desemenho de dferentes crtéros elaborados, como escolha do nó a, lmtante nferor, ordem de execução das estratégas e ordem de construção da seqüênca. Os resultados obtdos mostraram-se robustos quando comarados com o benchmark da lteratura e revelaram o bom desemenho do modelo ara roblemas de equeno orte, suerando o desemenho de rogramas de otmzação comercas.

6 ABSTRACT The objectve of ths work s to study the sngle-machne schedulng roblem wth a common due date. In ths case, jobs, after be rocessed only once n the machne, must be delvered n a common due date and they are enalzed of earlness or tardness accordng to ther comleton tme. Ths roblem s found n cases of batch roducton wth resecfed common due date, exortaton shng and chemcal materal that has short half-lfe erod. Ths knd of roblem s NP-hard (Hall, Kubak & Seth, 1991; Hoogeven & van de Velde, 1991) and t has been treated n the lterature by heurstcs and meta-heurstcs. Not havng knowledge about revous treatment by exact methods n the lterature, t was roosed the mlementaton of a branch-and-bound algorthm to obtan the otmal soluton that mnmzes the total weghted earlness and tardness enaltes. In the develoment of the algorthm, the utlzaton of roblem roertes was mortant to the elaboraton of lower bounds and runng rules that have enhanced the effcency of the model. The realzed tests have evaluated the erformance of dfferent crtera, lke the choce of father node, lower bound, strategy executon order and sequence constructon order. The obtaned results have demonstrated robustness comarng to benchmark and they have revealed the good workng of the model for small roblems, overcomng otmzaton software erformance.

7 SUMÁRIO INTRODUÇÃO DESCRIÇÃO DO PROBLEMA CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA FORMULAÇÃO MATEMÁTICA PROPRIEDADES DO PROBLEMA REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ALGORITMO BRANCH-AND-BOUND PROPOSTO (B&B) MÉTODO BRANCH-AND-BOUND ALGORITMO PROPOSTO Heurístca Construtva Estratéga 1 Iníco da Seqüênca no Instante Zero Ordens de Construção da Seqüênca Crtéros de Escolha do Nó Pa Lmtantes Inferores Algortmo de Busca Estratéga 2 Iníco da Seqüênca em um Instante Dferente de Zero Lmtantes Inferores Crtéro de Escolha do Nó Pa Algortmo de Busca RESULTADOS COMPUTACIONAIS ORIGEM DOS DADOS EXPERIMENTAIS CONSIDERAÇÕES INICIAIS RESULTADOS DA HEURÍSTICA PROPOSTA RESULTADOS DO ALGORITMO BRANCH-AND-BOUND PROPOSTO Resultados das Combnações Proostas Análse Geral do Desemenho do Algortmo Branch-and-Bound Proosto Análse do Desemenho dos Crtéros Utlzados Análse do Desemenho das Ordens de Construção de Seqüênca da Estratéga Análse do Desemenho dos Crtéros de Escolha do Nó Pa da Estratéga Análse do Desemenho dos Lmtantes Inferores da Estratéga Análse do Desemenho da Combnação de Ordem de Execução das Estratégas 1 e RESULTADOS DA FORMULAÇÃO MATEMÁTICA NO CPLEX CONSIDERAÇÕES FINAIS CONCLUSÕES...59 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...61

8 LISTA DE TABELAS TABELA 3.1 INTERVALO DOS PARÂMETROS DOS DADOS TABELA RESULTADOS DA HEURÍSTICA CONSTRUTIVA PROPOSTA TABELA 3.3 TEMPOS DE PROCESSAMENTO (EM SEGUNDOS) OBTIDOS COM AS COMBINAÇÕES DE A1 A A TABELA TEMPOS DE PROCESSAMENTO (EM SEGUNDOS) OBTIDOS COM AS COMBINAÇÕES DE A13 A A TABELA RESUMO DOS RESULTADOS DO ALGORITMO PROPOSTO TABELA 3.6 TEMPOS DE PROCESSAMENTOS POR ESTRATÉGIA TABELA 3.7 COMPARATIVO DOS TEMPOS DE PROCESSAMENTO POR ORDEM DE CONSTRUÇÃO TABELA 3.8 COMPARATIVO DOS TEMPOS DE PROCESSAMENTO POR CRITÉRIO DE ESCOLHA DO NÓ PAI TABELA 3.9 COMPARATIVO DOS TEMPOS DE PROCESSAMENTO POR LIMITANTE INFERIOR TABELA 3.10 COMPARATIVO DOS TEMPOS DE PROCESSAMENTO POR ORDEM DE EXECUÇÃO TABELA 3.11 COMPARATIVO DE DESEMPENHO ENTRE O ALGORITMO PROPOSTO E O CPLEX

9 LISTA DE FIGURAS FIGURA 1.1 REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO PROBLEMA... 4 FIGURA 1.2 REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DA PROPRIEDADE 1 DO PROBLEMA FIGURA 1.3 REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DA PROPRIEDADE 2 DO PROBLEMA FIGURA 1.4 REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DA PROPRIEDADE 3 DO PROBLEMA FIGURA 2.1 ÁRVORE DE BUSCA DO BRANCH-AND-BOUND FIGURA 2.2 FORMAÇÃO DA SEQÜÊNCIA INICIAL PELA HEURÍSTICA FIGURA 2.3 PROCESSO DE AVALIAÇÃO DE NOVAS SOLUÇÕES PELA HEURÍSTICA FIGURA 2.4 ALGORITMO DA HEURÍSTICA CONSTRUTIVA FIGURA 2.5 ORDEM DE CONSTRUÇÃO OC FIGURA 2.6 ORDEM DE CONSTRUÇÃO OC FIGURA 2.7 REPRESENTAÇÃO DO CONCEITO DO LIMITANTE INFERIOR LI FIGURA 2.8 LIMITANTE INFERIOR LI 0 APLICADO COM ORDEM DE CONSTRUÇÃO OC 2 COM A TAREFA I APÓS A DATA DE ENTREGA FIGURA 2.9 REPRESENTAÇÃO DO CONCEITO DO LIMITANTE INFERIOR LI FIGURA 2.10 LIMITANTE INFERIOR LI 1 APLICADO COM ORDEM DE CONSTRUÇÃO OC 1 COM A TAREFA I ANTES DA DATA DE ENTREGA FIGURA 2.11 LIMITANTE INFERIOR LI 1 APLICADO COM ORDEM DE CONSTRUÇÃO OC 2 COM A TAREFA I APÓS A DATA DE ENTREGA FIGURA 2.12 REPRESENTAÇÃO DO CONCEITO DO LIMITANTE INFERIOR LI FIGURA 2.13 LIMITANTE INFERIOR LI 2 APLICADO COM ORDEM DE CONSTRUÇÃO OC 1 COM A TAREFA I ANTES DA DATA DE ENTREGA FIGURA 2.14 LIMITANTE INFERIOR LI 2 APLICADO COM ORDEM DE CONSTRUÇÃO OC 2 COM A TAREFA I APÓS A DATA DE ENTREGA FIGURA ÁRVORE DE BUSCA DO ALGORITMO BRANCH-AND-BOUND PARA ESTRATÉGIA FIGURA 2.16 ALGORITMO BRANCH-AND-BOUND PARA A ESTRATÉGIA FIGURA 2.17 EXEMPLO DA ÁRVORE GERADA PELA ESTRATÉGIA FIGURA 2.18 EXEMPLO COMPARATIVO ENTRE SEQÜÊNCIAS COM NENHUMA E UMA TAREFA ANTES DA DATA DE ENTREGA FIGURA 2.19 EXEMPLO DO CÁLCULO DO LIMITANTE INFERIOR LI 3 SEM TAREFAS SEQÜENCIADAS FIGURA 2.20 EXEMPLO DO CÁLCULO DO LIMITANTE INFERIOR LI 4 COM TRÊS TAREFAS JÁ SEQÜENCIADAS FIGURA ÁRVORE DE BUSCA DO ALGORITMO BRANCH-AND-BOUND PARA ESTRATÉGIA FIGURA 2.22 ALGORITMO BRANCH-AND-BOUND PARA A ESTRATÉGIA

10 Introdução INTRODUÇÃO Segundo Feldmann & Bsku (2003), a crescente comettvdade no mercado global tem obrgado as emresas a oferecer uma grande varedade de servços e de rodutos ersonalzados a clentes cada vez mas exgentes no cumrmento dos razos de entrega. Nos últmos qunze anos, a fm de satsfazer essas exectatvas, foram desenvolvdos métodos e tecnologas como Just-n-Tme, de modo que as entregas fossem realzadas no razo com o menor custo ossível (Gordon, Proth & Chu, 2002). De acordo com a flosofa Just-n-Tme, atrasos e adantamentos são consderados rejudcas à lucratvdade da emresa e, or esse motvo, devem ser mnmzados: atrasos rovocam erda de reutação e de confabldade do servço restado, além de ostergações de agamento, enquanto adantamentos causam moblzação do catal, custos de armazenagem adconas desnecessáros e eventual erda de qualdade dos rodutos. Nesse sentdo, a rogramação da rodução tem sdo alvo de esforços das emresas e dos esqusadores no ntuto de desenvolver modelos que mnmzem atrasos e adantamentos na entrega dos rodutos. Durante os últmos anos, como mostram Gordon, Proth & Chu (2002) e Baker & Scudder (1990), foram realzados extensvos estudos nessa área. Segundo essa lnha, o objetvo desse trabalho é o de estudar o roblema de rogramação de tarefas com data comum de entrega num ambente rodutvo com uma únca máquna. Problemas desse to são casos freqüentes nas emresas. Na rátca, de acordo com Feldmann & Bsku (2003), eddos de lotes de rodutos com data de entrega comum ré-esecfcada, embarques ara exortação e materal químco ou msturas que têm vda méda de curta duração são casos em que tarefas devem ser seqüencadas em uma únca máquna ara serem entregues em uma data comum. A roosta de resolução do roblema no resente estudo será baseada em algortmos exatos, que exloram o esaço de soluções na busca da solução ótma do roblema. O método utlzado será o branch-and-bound, que garante a otmaldade da solução sem necessaramente analsar todas as soluções ossíves. O crtéro de otmzação do modelo será o de mnmzar a soma de enaldades de atraso e de 1

11 Introdução adantamento e o algortmo branch-and-bound desenvolvdo buscará utlzar característcas eculares do roblema ara aumentar a efcênca na busca da solução. O ael do algortmo roosto será o de encontrar uma solução ótma ara o roblema em um temo de rocessamento comutaconal razoável, de modo a tornar conhecdo o valor ótmo da solução ara servr de referênca ara eventuas comarações de desemenho com outras técncas de resolução do roblema. Sendo assm, não faz arte de seu escoo de desenvolvmento encontrar e relaconar todos os rogramas ótmos de rodução. É conhecdo que o roblema tratado é NP-hard em sua essênca (Hall, Kubak & Seth, 1991; Hoogeven & van de Velde, 1991). Por tal motvo, dversos autores, como será vsto osterormente na Revsão Bblográfca (Seção 1.3), trataram o roblema através de heurístcas e meta-heurístcas, que, embora não garantam a otmaldade da solução, obtêm bons resultados em temos de rocessamento curtos. Abordagens exatas ara este roblema não foram encontradas na lteratura, o que motvou o resente estudo. Este trabalho está dvddo como descrto a segur. O rmero caítulo aresenta as rncas característcas do roblema, detalha sua formulação e oferece uma revsão bblográfca sobre o assunto. O caítulo segunte descreve brevemente o método branch-and-bound e aresenta o algortmo roosto com abordagens dferencadas baseadas nas característcas do roblema. O tercero caítulo aresenta a fonte dos dados exermentas, os resultados comutaconas obtdos com os exermentos realzados, o comaratvo com o benchmark da lteratura e a análse dos resultados. Nesse caítulo, também se aresenta um comaratvo do desemenho do algortmo roosto com um rograma de otmzação comercal. Fnalmente, no últmo caítulo, são exostas consderações fnas sobre o estudo. 2

12 Caítulo 1 Descrção do Problema 1 - DESCRIÇÃO DO PROBLEMA No resente caítulo, o roblema estudado será descrto e uma formulação matemátca conhecda também será aresentada. Além dsso, serão aresentados trabalhos exstentes na lteratura sobre o tema, que servrão de orentação ara o desenvolvmento do trabalho Caracterzação do Problema No roblema estudado, consdera-se que há n tarefas dsoníves no nstante ncal a serem rocessadas em uma únca máquna sujetas a uma data de entrega comum. Cada tarefa necessta de uma únca oeração e seu temo de rocessamento é determnístco e conhecdo. Caso a tarefa seja comletada antes da data de entrega d, assume-se um adantamento equvalente a E = d C, onde C é o nstante em que a tarefa é comletada. Caso a tarefa seja comletada deos da data de entrega d, o atraso é caracterzado or T = C d. Para cada tarefa, são atrbuídas enaldades de adantamento α e atraso β. Não é ermtdo nterromer uma tarefa durante seu rocessamento e o nstante de níco de rocessamento da seqüênca não necessaramente deve ser no nstante zero, quando todas as tarefas estão dsoníves. O objetvo do roblema, ortanto, é obter a rogramação de rodução que mnmze a soma das enaldades de atraso e adantamento das tarefas. A Fgura 1.1. a segur reresenta esquematcamente o roblema: 3

13 Caítulo 1 Descrção do Problema Tarefas J J 1 J 2 J 4 J 3 Jn Máquna C 1 C 2 C 4 C 3 Instante de Térmno de Processamento C C n Data de Entrega Comum d Tarefas que termnam antes da data de entrega Tarefa que nca antes e termna deos da data de entrega Tarefas que ncam deos da data de entrega Temo de rocessamento α Data de Entrega Comum d β Fgura 1.1 Reresentação esquemátca do roblema Formulação Matemátca Para obter rogramações ótmas desse roblema ara casos de equeno tamanho, a segunte formulação lnear ntera msta, obtda de Bsku & Feldmann (2001), ode ser utlzada. Parâmetros: d : data comum de entrega. α : enaldade de adantamento da tarefa or undade de temo de adantamento. β : enaldade de atraso da tarefa or undade de temo de atraso. : temo de rocessamento da tarefa. M : número sufcentemente grande. Varáves: 1 se a tarefa é rocessada antes da tarefa k. x k = 0 caso contráro. C : nstante de térmno de rocessamento da tarefa. 4

14 Caítulo 1 Descrção do Problema E : adantamento da tarefa em relação à data comum de entrega d. T : atraso da tarefa em relação à data comum de entrega d. Formulação: n Mn z = α E Sujeto a: n = 1 = 1 β T T C d = 1, 2, 3,..., n (2) E C C d = 1, 2, 3,..., n (3) C k k k ( x ) C M 1 = 1, 2, 3,..., n-1 k k k = 1,..., n C M x = 1, 2, 3,..., n-1 { 0,1} k = 1,..., n x = 1, 2, 3,..., n-1 k k = 1,..., n (1) (4) (5) (6) T 0 = 1, 2, 3,..., n (7) E 0 = 1, 2, 3,..., n (8) C 0 = 1, 2, 3,..., n (9) A equação (1) reresenta a função objetvo a ser mnmzada, ou seja, a soma dos atrasos e adantamentos onderados elas resectvas enaldades. Os valores de atraso e adantamento de cada tarefa são calculados elos conjuntos de restrções (2) e (3). Os conjuntos de restrções (4) e (5) determnam o nstante de térmno de cada tarefa: se a tarefa é seqüencada antes da tarefa k, x k será gual a 1 e conseqüentemente a restrção C C terá efeto. Devdo à adção da constante k k M, o conjunto de restrções (5) não nvablza o modelo com x k gual a 1. Por outro lado, ara x k gual a zero, o conjunto de restrções (5) transforma-se em C k C e o conjunto de restrções (4), com a resença da constante M, não gera nconsstênca no modelo. O conjunto de restrções (6) determna que a varável x k é bnára, ou seja, somente ode assumr os valores 0 ou 1, enquanto que os conjuntos 5

15 Caítulo 1 Descrção do Problema de restrções (7) e (8) determnam a não-negatvdade das varáves T e E. O conjunto de restrções (9) garante que o nstante ncal de cada tarefa seja não negatvo. Segundo Bsku & Feldmann (2001), resolver o roblema com essa formulação em stuações reas (roblemas de grande orte) demanda consderável esforço comutaconal Proredades do Problema Nos estudos exstentes na lteratura, foram ntroduzdas algumas roredades desse roblema: - Proredade 1: Exste uma seqüênca ótma que ossu uma tarefa sendo comletada exatamente na data comum de entrega ou que se nca no nstante zero (Bsku & Feldmann, 2001). A Fgura 1.2 a segur lustra essa roredade. 1) 2) 0 Data de Entrega Comum 0 Data de Entrega Comum Fgura 1.2 Reresentação esquemátca da Proredade 1 do roblema. - Proredade 2: A seqüênca ótma não ossu temos ocosos entre tarefas (Cheng & Kahlbacher, 1991). Isso sgnfca que o nstante de níco de rocessamento de uma tarefa qualquer, com exceção à tarefa osconada no níco da seqüênca, é gual ao nstante de térmno da tarefa a ser rocessada na osção medatamente anteror. A Fgura 1.3 a segur lustra essa roredade do roblema. 6

16 Caítulo 1 Descrção do Problema X Data de Entrega Comum Fgura 1.3 Reresentação esquemátca da Proredade 2 do roblema. - Proredade 3: Exste uma seqüênca ótma que tem o formato em V, ou seja, as tarefas que termnam antes da data de entrega são ordenadas de acordo com taxas não-crescentes de / α (temo de rocessamento em relação a enaldade de adantamento) e as que ncam deos da data de entrega, com taxas não-decrescentes de / β (temo de rocessamento em relação a enaldade de atraso) (Bsku & Feldmann, 2001). Note que ode exstr uma tarefa que nca antes e que termna deos da data de entrega (straddlng job), a qual não segue essa roredade. A Fgura 1.4 a segur reresenta essa roredade do roblema. /α /β Data de Entrega Comum Fgura 1.4 Reresentação esquemátca da Proredade 3 do roblema. Essas roredades exostas acma serão ntensamente utlzadas no desenvolvmento de um algortmo mas efcente no caítulo segunte, restrngndo o esaço de soluções a ser exlorado e fazendo com que a busca seja dreconada ara alternatvas que estejam alnhadas aos seus enuncados. 7

17 Caítulo 1 Descrção do Problema Revsão Bblográfca Problemas de rogramação de tarefas em uma únca máquna sob enaldades de adantamento e de atraso têm sdo bastante estudados ao longo do temo. Baker & Scudder (1990) e Gordon, Proth & Chu (2002) revsaram a lteratura exstente sobre roblemas de rogramação de tarefas e de determnação de data comum de entrega com esse crtéro. Ambos os trabalhos anda menconam casos em que é utlzado um ntervalo de tolerânca, no qual não há enalzação ara atrasos ou adantamentos equenos, e funções de enaldades quadrátcas, que enalzam em maor gravdade desvos grandes. Baker & Scudder (1990) mostram que já, na éoca da ublcação desse trabalho, hava a reocuação não somente com os custos dos atrasos como também dos adantamentos. Além dsso, afrmam que os roblemas com data de entrega não restrtva arecem bem trabalhados, enquanto que, ara os casos restrtvos, anda há esaço ara esqusas. Nesse to de roblema, há dos tos de datas de entrega: restrtvas e nãorestrtvas (Feldmann & Bsku, 2003). Uma data de entrega é denomnada nãorestrtva se o seu valor ótmo deve ser determnado ou se, uma vez determnado, não tem nfluênca na seqüênca ótma de rocessamento. No roblema estudado neste trabalho, ara os casos em que a data de entrega dada é maor do que a soma dos temos de rocessamento, essa data é semre não-restrtva. O caso genérco de data não-restrtva é NP-hard. Kanet (1981) tratou o caso artcular em que as enaldades α e β são guas com um algortmo olnomal de comlexdade O(n log n). Panwalkar, Smth & Sedmann (1982) mostrou que o caso em que as enaldades são ndeendentes das tarefas (α =α e β =β) também é assível de ser tratado or algortmo olnomal. Por outro lado, se a data de entrega é dada e tem nfluênca na seqüênca ótma de rocessamento, é chamada de restrtva. Problemas com data de entrega comum restrtva e enaldades dstntas de adantamento e de atraso são NP-hard em sua essênca (Hall, Kubak & Seth, 1991; Hoogeven & van de Velde, 1991), não exstndo, em nosso conhecmento, tratamento exato ara o roblema. Assm sendo, esse to de roblema será alvo do resente estudo. 8

18 Caítulo 1 Descrção do Problema Consderando um número grande de tarefas, técncas heurístcas e metaheurístcas foram utlzadas or dversos autores or ncorrerem em temos de rocessamento curtos e resultados razoáves, dado que não são conhecdos algortmos olnomas ara o caso (Lee, Danusautro & Ln, 1991). James (1997) tratou o roblema com o uso da meta-heurístca busca tabu, enquanto Lee & Km (1995) utlzaram algortmos genétcos aralelos. Ambos os trabalhos utlzaram um esaço de soluções bnáro, baseado na decsão do lado em que cada tarefa (antes ou aós a data de entrega) estara osconada. Essa estratéga tem como base a Proredade 3 da seção 1.3, que afrma que exste uma seqüênca ótma cujas tarefas estão ordenadas em formato em V. Essa estratéga roosta reduz bastante o esaço de soluções, de uma enumeração comleta de tamanho n! ara decsões bnáras de tamanho 2 n. Porém, James (1997) e Lee & Km (1995) gnoraram o fato de que o nstante ncal de rocessamento das tarefas ode ser dferente do nstante zero, restrngndo assm sgnfcatvamente o esaço de soluções consderadas. James (1997) dscorre sobre a mortânca de se utlzar característcas do roblema ara melhorar a efcênca do algortmo. Além dsso, comara o desemenho da busca tabu adrão com busca tabu com dversfcação e alguns métodos conhecdos de formação de vznhança, obtendo os melhores resultados com a busca tabu com dversfcação e vznhança de troca de tarefas duas a duas. Lee & Km (1995) utlzaram algortmos genétcos aralelos, nos quas o aralelsmo, corresondente à avalação smultânea de varas suboulações, trara a vantagem de evtar o roblema de convergênca rematura, causada rncalmente or suer ndvíduos (soluções de alta qualdade). No trabalho, também são testadas dferentes alternatvas ara oerações de rerodução, crossover, mutação e comuncação entre as suboulações. Bsku & Feldmann (2001) foram os rmeros a consderar a exloração de soluções cujo nstante ncal era dferente do nstante zero. Os mesmos elaboraram duas heurístcas ara o roblema, com resultados satsfatóros ara roblemas de equeno orte. Como contrbução sgnfcatva desse trabalho, é ossível ctar a ublcação das 280 nstâncas de roblemas gerados (com tamanhos n de 10 a

19 Caítulo 1 Descrção do Problema tarefas) e dos resultados obtdos com as heurístcas elaboradas, que se tornaram referênca ara osterores estudos. Feldmann & Bsku (2003) desenvolveram cnco versões de meta-heurístcas baseadas em Evolutonary Strategy (ES), Smulated Annealng (SA) e Threshold Accetng (TA) (uma versão determnístca do SA) ara a abordagem desse roblema. O melhor desemenho encontrado fo obtdo com uma varante do Threshold Accetng (TA) com back ste, que, caso o rocesso de busca esteja estagnado aós um determnado número de terações em um esaço de soluções de baxa qualdade, retorna a busca artndo da melhor solução encontrada. Por fm, Hno, Roncon & Mendes (2005) elaboraram uma heurístca construtva exlorando as três roredades descrtas anterormente. Além dsso, algortmos genétcos e busca tabu foram utlzados ara melhorar a qualdade da solução em um temo de rocessamento razoável. Fnalmente, meta-heurístcas híbrdas assocando busca tabu com algortmo genétco foram mlementadas ara melhorar o desemenho desses métodos, alcançando bons resultados fnas. Nos últmos anos, o nteresse e os esforços em algortmos exatos têm crescdo devdo ao aumento sgnfcatvo da caacdade de rocessamento dos equamentos atuas. Mondal & Sen (2001) elaboraram algortmos baseados em rogramação dnâmca e modfcações no método branch-and-bound ara o tratamento desse to de roblema com enaldades de atraso β e adantamento α guas ara cada tarefa. Essas técncas mostraram-se bastante efcentes, tratando os roblemas através da elaboração de busca em grafo ao nvés da tradconal busca em árvore. Law (1999) desenvolveu lmtantes suerores e nferores ara o roblema de rogramação de tarefas em uma únca máquna com enaldades de atraso β e adantamento α e datas de entrega d deendentes de cada tarefa. Com sso, obteve tratamento ara conjuntos de até 50 tarefas com o método branch-and-bound assocado a regras de domnânca roostas. Dleean (1993) exôs o roblema de rogramação de tarefas em uma únca máquna com enaldades de adantamento e de atraso no qual a data comum de entrega é uma varável cujo valor ótmo deve ser determnado elo modelo. Para sso, roôs um modelo de busca em árvore no qual utlzou roredades do roblema ara elmnar alternatvas não romssoras. Em seus exermentos, obteve resultados com temos de rocessamentos baxos ara amostras de até 15 tarefas. 10

20 Caítulo 1 Descrção do Problema Para o mesmo roblema, elaborou uma heurístca cujos resultados foram bastante róxmos às soluções ótmas. No entanto, ara o caso em questão, não é de nosso conhecmento a exstênca, na lteratura exstente, de modelos desenvolvdos que obtenham soluções comrovadamente ótmas. Assm sendo, esse trabalho rocura contrbur com a lteratura, desenvolvendo um algortmo exato baseado no método branch-and-bound, que vsa à mnmzação das enaldades de atraso e de adantamento no roblema de rogramação de tarefas em uma únca máquna sujetas a uma data comum de entrega. Esse algortmo deve se mostrar mas efcente do que o rocessamento da formulação matemátca adatada de Bsku & Feldmann (2001) em um rograma de otmzação comercal. Além dsso, os valores ótmos obtdos oderão ser utlzados como referênca ara futuros estudos e ara a avalação do desemenho de algortmos não exatos. 11

21 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) 2 - ALGORITMO BRANCH-AND-BOUND PROPOSTO (B&B) Neste caítulo, serão aresentados concetos sobre o funconamento do método branch-and-bound. Além dsso, será aresentado o algortmo roosto ara o tratamento do roblema estudado. De acordo com a descrção do roblema enuncada no caítulo anteror, foram dentfcadas característcas que serão utlzadas no ntuto de melhorar a efcênca do algortmo Método Branch-and-Bound Segundo Hller & Leberman (1988), num roblema de rogramação ntera lmtado, o esaço de soluções ode ser consderado fnto, ou seja, exste um número lmtado de soluções váves. A déa mas smles ara otmzar um roblema desse to sera enumerar todos esses ontos e escolher a melhor solução entre esses ontos. No entanto, ara roblemas reas, o número de ontos a ser nvestgado é extremamente elevado, demandando temos de rocessamento nváves. O método branch-and-bound (B&B) é um algortmo exato de enumeração mlícta, ou seja, um método que, embora não teste exlctamente todas as soluções ossíves, garante a otmaldade da solução obtda. Para sso, utlza-se da geração de uma árvore de nós que reresentam subroblemas do roblema rncal. Trata-se do conhecdo conceto de dvdr e conqustar (Nemhauser, Rnnoy Kan & Todd, 1989), ou seja, otmzar equenos subconjuntos consderando o resultado total ao nvés de tratar ntegralmente o conjunto total de soluções. O método é comosto de duas oerações báscas: a) Branchng: dvdr o roblema rncal em sub-roblemas menores de modo a facltar a análse, elmnando soluções nváves, sem comrometer a ntegrdade do camo de soluções. 12

22 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) b) Boundng: elmnar soluções de baxa qualdade através de comarações com lmtantes. São comumente utlzados dos tos de lmtantes: sueror e nferor. Num roblema de mnmzação, o lmtante sueror é um valor conhecdo e vável da função objetvo, não necessaramente o valor ótmo, que tem o ael de servr como arâmetro ara avalar soluções obtdas, ou seja, soluções com valores suerores ao lmtante sueror são descartadas or se tratarem de soluções ores do que a atualmente conhecda. Por sua vez, o lmtante nferor, em um roblema de mnmzação, é uma estmatva da função objetvo tendo-se como base a solução arcal até então obtda. Nota-se que o lmtante nferor, nesses casos, é semre menor ou gual do que o valor da função objetvo, já que seu cálculo é baseado em um subconjunto da solução enquanto que a função objetvo é calculada consderando-se a solução comleta. Assm sendo, é ossível elmnar soluções que tenham lmtantes nferores ores do que os atuas lmtantes suerores conhecdos. As dvsões ou gerações de ramos da árvore são realzadas recursvamente como mostra a Fgura 2.1 abaxo: Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível n-1 Fgura 2.1 Árvore de busca do branch-and-bound. De acordo com Wnston (1995), durante a busca na árvore, os nós, consderados como subconjuntos de soluções, são analsados e odem ser elmnados se: a) Reresentarem soluções nfactíves. b) Reresentarem soluções cujo resultado arcal é or do que o resultado até então conhecdo. Essa stuação ocorre, num roblema de mnmzação, quando o lmtante nferor, que reresenta uma estmatva da função objetvo 13

23 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) do nó analsado, tem valor or (maor) do que o lmtante sueror, que reresenta a melhor solução conhecda até então. c) Reresentarem soluções váves cujo valor exato da função objetvo ode ser calculado. Nesse caso, a função objetvo é calculada e o ramo ode ser descartado os já fo totalmente exlorado. A seleção do nó a ser escolhdo ara ramfcação ode ser decsva ara a efcênca do algortmo. Há bascamente dos tos de oções, segundo Nemhauser, Rnnoy Kan & Todd (1989): regras defndas a ror, que são determnadas antes do níco do rocessamento, e regras adatatvas, que varam utlzando as nformações dos nós atvos e do rocessamento corrente. Exstem duas regras mas comumente utlzadas: deth-frst-search, também conhecda como last-n-frst-out (LIFO), no qual a busca na árvore é rortaramente em rofunddade e breadth-frst-search, no qual a busca é rortaramente em largura. No mecansmo de busca em rofunddade, selecona-se um nó do últmo nível gerado (nós flhos), denomnado nó a, ara dar orgem a novos nós na árvore. Nesse caso, a árvore cresce sstematcamente em rofunddade até chegar no últmo nível ossível. No últmo nível da árvore, aós a avalação de todos os nós dsoníves, ocorre o backtrackng, sto é, a ordem de busca retorna ao nível anteror ara que seja avalado um novo ramo da árvore de busca e assm sucessvamente. Em contraosção, o mecansmo de busca em largura rorza os nós stuados no mesmo nível (nós rmãos) na cração de novos nós flhos antes de exlorar nós do nível abaxo. Nesse caso, a árvore cresce rortaramente em largura e todos os ramos ossuem a mesma rofunddade. Do mesmo modo, exstem alguns crtéros ara a escolha do nó a dentro do conjunto de nós dsoníves no mesmo nível (Nemhauser, Rnnoy Kan & Todd, 1989). Estão entre eles: a) Escolher o nó em uma seqüênca ré-determnada. Por exemlo: da esquerda ara dreta. b) Escolher o nó com melhor lmtante. Por exemlo: escolher o nó com lmtante de menor valor ara roblemas de mnmzação. 14

24 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) c) Escolher o nó com menor ossbldade de obtenção de uma solução ótma. Por exemlo: escolher nós com lmtantes runs (maores ara roblemas de mnmzação) ara acelerar o descarte de ramos e reduzr o esaço em memóra ocuada. d) Escolher um nó com ráda melhora da estmatva de função objetvo, vsando obter uma solução vável radamente. Por exemlo: analsar o hstórco de formação dos nós e seleconar o nó com maor gradente de evolução do lmtante. Além desses crtéros uros, é ossível o uso de crtéros adatatvos, ou seja, conjunto de crtéros que são utlzados ao longo do rocessamento, cuja escolha deende da adatação do algortmo ao hstórco armazenado e às dretrzes revamente defndas. Como exemlo dessa técnca, é ossível ctar o uso de crtéros smles no níco do rocessamento, como a adoção da seqüênca rédetermnada, seguda de crtéros mas elaborados no decorrer da busca, como a escolha do nó com ráda melhora do valor da função objetvo Algortmo Proosto O algortmo roosto é baseado no método branch-and-bound e é comosto de duas estratégas que, comlementarmente, cobrem todo o esaço de soluções necessáro ara a obtenção do valor da solução ótma. Essa roosta é baseada na Proredade 1 da seção 1.3, que afrma que exste uma solução ótma que se nca no nstante zero ou ossu uma tarefa sendo comletada exatamente na data de entrega. Na Estratéga 1, são exloradas todas as seqüêncas que ncam no nstante zero enquanto que, na Estratéga 2, são exloradas todas as seqüêncas que ossuem uma tarefa sendo comletada exatamente na data de entrega comum. O resultado da execução conjunta dessas duas estratégas garante que o algortmo seja robusto, e ao mesmo temo, efcente, uma vez que drecona a busca às alternatvas realmente romssoras na obtenção de soluções ótmas. No algortmo roosto, o lmtante sueror fo determnado or uma heurístca construtva baseada nas roredades do roblema. Heurístcas são técncas de obtenção de soluções baseadas em regras smles ré-determnadas que, embora não 15

25 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) garantam a otmaldade das soluções, têm fácl mlementação comutaconal e são rocessadas em temos bastante reduzdos. A segur, são detalhados a heurístca construtva ara geração da solução ncal utlzada como lmtante sueror do branch-and-bound e as estratégas utlzadas no algortmo branch-and-bound roosto Heurístca Construtva Com o objetvo de se obter uma solução ncal ara fornecer o lmtante sueror ara o algortmo branch-and-bound, elaborou-se uma heurístca construtva ráda comutaconalmente e de fácl mlementação. Nessa heurístca, as tarefas são ncalmente dvddas em dos gruos: um contendo as tarefas que se ncam antes da data de entrega (G_ANTES) e outro com as que se ncam deos da data de entrega (G_DEPOIS). Essa dvsão basea-se na análse das relações entre temo de rocessamento e enaldades de adantamento e atraso ( / α e / β ). As tarefas que ossuem relação / α maor do que / β são osconadas no gruo G_ANTES e vce-versa. Durante a searação das tarefas nos dos gruos, observa-se se a soma dos temos de rocessamento das tarefas já searadas é comatível com o ntervalo de temo dsonível (no caso, o ntervalo de temo dsonível no G_ANTES é gual ao valor da data de entrega enquanto que, no G_DEPOIS é gual ao valor da dferença entre a soma dos temos de rocessamento de todas as tarefas e a data de entrega). No caso de, durante a searação das tarefas, algum gruo ossur um temo total de rocessamento gual ou acma do ntervalo de temo dsonível, as tarefas restantes são automatcamente alocadas no outro gruo até se termne a dvsão. A ordenação das tarefas dentro do gruo G_ANTES dá-se or ordem não crescente de / α. Analogamente, no gruo G_DEPOIS, as tarefas são ordenadas or ordem não decrescente de / β. Esse crtéro de escolha rocura segur a Proredade 3 da seção 1.3 (exstênca de uma solução ótma que obedece ao formato em V). Aós sso, o gruo G_ANTES é undo ao G_DEPOIS ara formar a seqüênca ncal a ser tratada ela heurístca. Essa seqüênca é osconada com níco no nstante zero, como mostra a Fgura 2.2 a segur: 16

26 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) G_ANTES G_DEPOIS Data Comum de Entrega d Fgura 2.2 Formação da seqüênca ncal ela heurístca. A artr dessa solução ncal, são exloradas soluções com nstantes dferentes de zero, realzando movmentos de transferênca de tarefas do gruo das tarefas que ncam antes da data de entrega ara o gruo das tarefas que ncam deos da data de entrega. Nesse rocesso, as tarefas do gruo G_ANTES que ossuem maor valor de / β são transferdas ara o gruo G_DEPOIS, sendo osconadas obedecendo a roredade do formato em V da seqüênca ótma. Em seguda, o gruo G_ANTES é novamente ordenado e o novo nstante ncal é determnado. Esse rocedmento é realzado enquanto houver melhora da função objetvo ou enquanto exstr tarefas no gruo G_ANTES. O rocedmento é lustrado na Fgura 2.3 a segur: G_ANTES G_DEPOIS Data Comum de Entrega d G_ANTES G_DEPOIS Data Comum de Entrega d Fgura 2.3 Processo de avalação de novas soluções ela heurístca. 17

27 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) O algortmo da heurístca construtva é detalhado na Fgura 2.4 a segur: - Lea os dados (tarefa), (temo de rocessamento da tarefa ), α (enaldade de adantamento da tarefa ), β (enaldade de atraso da tarefa ), n (número de tarefas) e d (data comum de entrega). - Para de 1 a n faça - se / α > / β - se Soma dos temos de rocessamento das tarefas do gruo das tarefas que ncam ANTES da data de entrega (SomaANTES) < d - Coloque a tarefa no gruo das tarefas que ncam ANTES da data de entrega (G_ANTES). - senão - Coloque a tarefa no gruo das tarefas que ncam DEPOIS da data de entrega (G_DEPOIS). - fm_se. - senão - se Soma dos temos de rocessamento das tarefas do gruo das tarefas que ncam DEPOIS da data de entrega (SomaDEPOIS) < (Soma dos Temos de Processamento de todas as tarefas TemoTotal d) - Coloque a tarefa no gruo das tarefas que ncam DEPOIS da data de entrega (G_DEPOIS). - senão - Coloque a tarefa no gruo das tarefas que ncam ANTES da data de entrega (G_ANTES). - fm_se. - fm_se. - fm_ara. - Una o gruo G_ANTES com G_DEPOIS ara formar a seqüênca. - Ordene a seqüênca em formato em V. - Calcule a função objetvo com Data Incal = 0. - Armazene o valor da função objetvo e a seqüênca. - Calcule a função objetvo com Data Incal = d SomaANTES. - se houve melhora da função objetvo - Armazene o valor da função objetvo e a seqüênca. - fm_se. - Faça enquanto houver melhora da função objetvo e número de tarefas do G_ANTES > 0 18

28 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) - Passe a tarefa do G_ANTES com maor / β ara o G_DEPOIS. - Ordene a seqüênca em formato em V. - Calcule a função objetvo. - se houve melhora da função objetvo - Armazene o valor da função objetvo e a seqüênca. - fm_se. - fm_enquanto. Fgura 2.4 Algortmo da heurístca construtva Estratéga 1 Iníco da Seqüênca no Instante Zero A estratéga 1 é alcada ara o esaço de soluções que ossu níco da seqüênca no nstante zero. Para essa estratéga, foram desenvolvdos crtéros dferentes de osconamento das tarefas e de escolha do nó a e de dferentes lmtantes nferores. O algortmo dessa estratéga é baseado em um branch-and-bound, no qual cada nó gerado na árvore reresenta uma seqüênca arcal da solução fnal. A cada nível da árvore, é adconada uma tarefa à seqüênca arcal já exstente. Essa seqüênca arcal é construída gradualmente de acordo com uma das duas ordens de construção roostas: OC 1, que nca no nstante zero com a tarefa a ser rocessada na rmera osção da seqüênca, e OC 2, que nca com a últma tarefa da seqüênca. Além dsso, são roostos nessa estratéga dos crtéros de escolha do nó a: um que rvlega o nó com menor lmtante nferor e maor rofunddade (busca em rofunddade) e outro que rvlega o nó cuja seqüênca encontra-se mas róxma da data de entrega. Esse últmo crtéro rocura ultraassar radamente a data de entrega, já que, aós sso, as tarefas restantes dsoníves serão osconadas em formato em V, de acordo com a Proredade 3 da seção 1.3. Como crtéro de elmnação de nós, desenvolveram-se três lmtantes nferores ara essa estratéga, que buscam estmar o valor da função objetvo e, com sso, elmnar rematuramente seqüêncas arcas cujas soluções sejam ores do que a atualmente conhecda. Dado que o roblema tratado é um roblema de mnmzação da função objetvo, o nó corrente é elmnado se o seu lmtante nferor 19

29 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) é maor do que a melhor solução conhecda (lmtante sueror). É conhecdo que quanto melhor for o lmtante sueror utlzado, mas rádo será o algortmo devdo ao descarte antecado de soluções ores do que a orgnal. Por fm, mlementou-se no algortmo a cração somente dos nós flhos que atendam à Proredade 3 da seção 1.3, consderando assm somente as seqüêncas que ossuam suas tarefas em formato em V e tornando o algortmo mas efcente em seu rocessamento. Isso elmna rematuramente as seqüêncas arcas que não obedeçam à essa roredade. As ordens de construção da seqüênca, os crtéros ara a escolha do nó a, os lmtantes nferores e o algortmo são descrtos em detalhe a segur Ordens de Construção da Seqüênca As ordens de construção da seqüênca determnam a regra de formação das soluções a serem avaladas. Foram elaboradas 2 dferentes ordens de construção nessa estratéga, descrtas a segur: a) Ordem de Construção OC 1 : a seqüênca é montada da tarefa rocessada na rmera osção (ncada no nstante zero) ara a tarefa rocessada na últma osção (que termna no nstante gual à soma dos temos de rocessamento). A Fgura 2.5 a segur lustra a ordem de construção da seqüênca nesse caso: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª... nª Data Comum de Entrega d Fgura 2.5 Ordem de construção OC 1. Note que, aós a seqüênca arcal ter ultraassado a data de entrega comum, não há a necessdade de contnuar o rocesso de testes de osconamento das tarefas restantes, vsto que a melhor seqüênca será dada com as mesmas osconadas em ordem não-decrescente de / β, de acordo com a Proredade 3 da seção

30 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) Como será vsto adante na seção , ara o caso da OC 1, ara datas de entrega róxmas ao nstante zero, os lmtantes nferores têm ncrementos ncas relatvamente baxos, os as tarefas osconadas ncalmente ossuem adantamentos relatvamente equenos. Contudo, a seqüênca construída ultraassa mas radamente a data de entrega e, assm, tem sua formação fnal determnada mas radamente. Ao contráro, ara datas de entrega róxmas ao nstante fnal de rocessamento, ocorre o nverso: os ncrementos nos lmtantes nferores são altos no níco e decrescem conforme a seqüênca é montada, aumentando a ossbldade de descarte de seqüêncas arcas cujo lmtante nferor seja or do que o lmtante sueror. No entanto, a seqüênca arcal demora mas temo ara ultraassar a data de entrega e ter sua formação fnal determnada. b) Ordem de Construção OC 2 : a seqüênca é montada da tarefa rocessada na últma osção (que termna no nstante gual à soma dos temos de rocessamento) ara a tarefa rocessada na rmera osção (ncada no nstante zero). A Fgura 2.6 a segur lustra a ordem de construção da seqüênca nesse caso: nª... 5ª 4ª 3ª 2ª 1ª Data Comum de Entrega d Fgura 2.6 Ordem de construção OC 2. Analogamente ocorre com a OC 2 o que ocorre com a OC 1 em relação às consderações sobre os ncrementos dos lmtantes nferores e a assagem ela data de entrega. 21

31 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) Crtéros de Escolha do Nó Pa A escolha do nó a determna qual ramo da árvore será o róxmo a ser exlorado, ou seja, qual seqüênca arcal será desenvolvda. Nessa estratéga, foram elaborados dos crtéros dferentes: a) Escolha do Nó com Menor Lmtante Inferor e Maor Profunddade (Pa LI): Nesse crtéro de busca em rofunddade, o objetvo é a obtenção ráda de uma solução de boa qualdade ara melhora do lmtante sueror utlzado e descarte antecado das soluções ores. O nó escolhdo é aquele que ossu maor rofunddade, localzado no nível mas baxo da árvore, e menor lmtante nferor, dado que se trata de um roblema de mnmzação. b) Escolha do Nó Mas Próxmo à Data de Entrega (Pa ): Esse crtéro fo desenvolvdo ara esse roblema devdo às suas característcas artculares. De acordo com a Proredade 3 da seção 1.3 (formato em V da solução ótma), aós a seqüênca arcal ter ultraassado a data comum de entrega, as tarefas restantes são dsostas de modo a formarem um V em relação a / α e / β. Assm o objetvo é rorzar as seqüêncas arcas que estão róxmas à data de entrega e determnar seu formato fnal antecadamente. Ambos os crtéros rocuram mnmzar o tamanho da árvore, rorzando o tratamento dos melhores nós e assm reduzr a necessdade de memóra e de temo comutaconal Lmtantes Inferores Os lmtantes nferores serão calculados ara cada nó, reresentando o valor da função objetvo da seqüênca arcal formada até então. Os nós cujos lmtantes nferores forem maores do que o lmtante sueror odem ser descartados os certamente orgnarão seqüêncas fnas ores do que a atualmente conhecda. Foram elaborados três lmtantes nferores ara a Estratéga 1, que são calculados até que a seqüênca arcal ultraasse a data de entrega, a artr do qual as tarefas restantes são ordenadas em formato em V e a função objetvo ode ser calculada. Os lmtantes nferores desenvolvdos são descrtos a segur. 22

32 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) a) Lmtante Inferor LI 0 : Esse lmtante consdera somente a rogramação arcal já realzada e a tarefa adconada no momento. Nesse caso, a tarefa adcona ao lmtante já acumulado a sua róra arcela de contrbução na forma de enaldade de atraso ou adantamento. A Fgura 2.7 abaxo lustra o conceto desse lmtante nferor ara o caso em que a seqüênca é construída com a ordem de construção OC 1. LI 0 = Z arcal Penal. J Fxada J Fgura 2.7 Reresentação do Conceto do Lmtante Inferor LI 0. O cálculo do lmtante nferor ara cada nó contendo a tarefa adconada à seqüênca arcal é dado a segur: LI 0 ( d C ) β ( C ) = Zarcal α d a onde: ( x ) = max( 0, x) ; k σ Zarcal = α E β T ; a k k k σ k σ é o conjunto das tarefas não seqüencadas até o momento. k A Fgura 2.86 a segur lustra a obtenção da arcela de contrbução da tarefa no cálculo do Lmtante Inferor LI 0. A seqüênca fo montada segundo a Ordem de Construção OC 2 ara o caso em que o nstante de térmno da últma tarefa osconada localza-se aós a data comum de entrega d. 23

33 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) C J 2ª 1ª Data Comum de Entrega d β Fgura 2.8 Lmtante Inferor LI 0 alcado com Ordem de Construção OC 2 com a tarefa aós a data de entrega. Para a ordem de construção OC 1, o exemlo é análogo ao da Fgura 2.6. b) Lmtante Inferor LI 1 : Esse lmtante consdera a rogramação arcal já realzada, a tarefa adconada no momento e a mínma enaldade que será mosta com base nas tarefas anda não seqüencadas. Essa mínma enaldade ode ser calculada como a enaldade relatva à da tarefa vznha à tarefa osconada no momento, cujo nstante de níco ou térmno torna-se conhecdo. A mínma enaldade consdera o menor valor de enaldade de atraso ou adantamento entre as tarefas anda não seqüencadas. Esse lmtante ossu como base o valor da função objetvo acumulada até o nó a e não o valor do lmtante nferor do nó a. Isso se deve ao fato de que o lmtante é formado or uma arcela formada or estmatvas do valor da função objetvo, que odem não se mostrar recsas no arofundamento da busca na árvore de soluções. A Fgura 2.9 a segur lustra o conceto do Lmtante Inferor LI 1. LI 1 = Z arcal Penal. J Fxada Penal. Tarefa Vznha de J J Fgura 2.9 Reresentação do Conceto do Lmtante Inferor LI 1. O cálculo do lmtante nferor deende da ordem de construção utlzada. 24

34 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) No caso da OC 1, ara cada nó contendo a tarefa adconada à seqüênca arcal, o cálculo do lmtante nferor é dado a segur: LI 1 = Zarcal a α mn α j d C max j j σ j σ onde: ( x ) = max( 0, x) k σ ; ( d C ) β ( C d ) mn β C mn d k σ Zarcal = α E β T ; a k k k k j σ σ é o conjunto das tarefas não seqüencadas até o momento. j j σ j A Fgura 2.10 a segur lustra a obtenção da arcela de contrbução da tarefa no cálculo do Lmtante Inferor LI 1 utlzando a Ordem de Construção OC 1 ara o caso em que o nstante de térmno da últma tarefa osconada localza-se antes da data comum de entrega d. C C max j 1ª 2ª mn α j J α Data Comum de Entrega d Fgura 2.10 Lmtante Inferor LI 1 alcado com Ordem de Construção OC 1 com a tarefa antes da data de entrega. No caso da OC 2, ara cada nó contendo a tarefa adconada à seqüênca arcal, o cálculo do lmtante nferor é dado a segur: LI 1 ( d C ) β ( C d ) mn β ( S ) = Zarcal α d a j σ j onde: ( x ) = max( 0, x) ; k σ Zarcal = α E β T ; a k k k σ k k 25

35 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) S é o nstante de níco da tarefa ; σ é o conjunto das tarefas não seqüencadas até o momento. Note que, ao ser osconada a rmera tarefa que tem seu S antes da data de entrega, a seqüênca fnal ode ser determnada, osconando as tarefas restantes de modo a formarem um V (Proredade 3 da seção 1.3). A Fgura 2.11 a segur lustra a obtenção da arcela de contrbução da tarefa no cálculo do Lmtante Inferor LI 1. A seqüênca fo montada segundo a Ordem de Construção OC 2 ara o caso em que o nstante de térmno da últma tarefa osconada localza-se aós a data comum de entrega d. S C Data Comum de Entrega d mn β j 2ª 1ª β J Fgura 2.11 Lmtante Inferor LI 1 alcado com Ordem de Construção OC 2 com a tarefa aós a data de entrega. c) Lmtante Inferor LI 2 : Esse lmtante tem como base o lmtante nferor LI 1. Ao lmtante LI 1, adcona-se uma arcela relatva à menor enaldade mosta à tarefa seqüencada na osção oosta à regra de fxação da tarefa. No caso da OC 1, é calculada a menor enaldade mosta à tarefa localzada na últma osção da seqüênca, cujo nstante de térmno é conhecdo (gual à soma dos temos de rocessamento de todas as tarefas, uma vez que o nstante ncal é o nstante zero). No caso da OC 2, é calculada a menor enaldade mosta à tarefa localzada na rmera osção, cujo nstante ncal é o nstante zero. Do mesmo modo, o cálculo do lmtante nferor deende da ordem de construção utlzada. A Fgura 2.12 a segur lustra o conceto do Lmtante Inferor LI 2. 26

36 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) LI 2 = Z arcal Penal. J Fxada Penal. Tarefa Vznha de J Penal. Tarefa Oosta à J J Fgura 2.12 Reresentação do Conceto do Lmtante Inferor LI 2. No caso da OC 1, ara cada nó contendo a tarefa adconada à seqüênca arcal, o cálculo do lmtante nferor é dado a segur: LI 2 = Zarcal a α ( d C ) β ( C d ) mn β C mn d ( C ) mn α j d C max j mn β j f d j σ j σ j σ onde: ( x ) = max( 0, x) k σ ; Zarcal = α E β T ; a k k k σ k k C f é o nstante de térmno da tarefa f osconada na últma osção da seqüênca, ou seja, C n f = o ; o= 1 j σ σ é o conjunto das tarefas não seqüencadas até o momento. j j σ j A Fgura 2.13 a segur lustra a obtenção da arcela de contrbução da tarefa no cálculo do Lmtante Inferor LI 2. A seqüênca fo montada segundo a Ordem de Construção OC 1 ara o caso em que o nstante de térmno da últma tarefa osconada localza-se antes da data comum de entrega d. 27

37 Caítulo 2 Algortmo Branch-and-Bound Proosto (B&B) C C max j C f 1ª 2ª J α mn α j Data Comum de Entrega d mn β j Fgura 2.13 Lmtante Inferor LI 2 alcado com Ordem de Construção OC 1 com a tarefa antes da data de entrega. No caso da OC 2, ara cada nó contendo a tarefa adconada à seqüênca arcal, adcona-se a menor enaldade, mosta à tarefa na rmera osção, ncada no nstante zero. O cálculo do lmtante nferor é dado a segur: LI 2 = Zarcal a α ( d C ) β ( C d ) mn β ( S d ) j σ j mn α σ max j d j j j σ onde: ( x ) = max( 0, x) k σ ; Zarcal = α E β T ; a k k k σ S é o nstante de níco da tarefa ; k σ é o conjunto das tarefas não seqüencadas até o momento. k Note que, ao ser osconada a rmera tarefa que tem seu S antes da data de entrega, a seqüênca fnal ode ser determnada, osconando as tarefas restantes de modo a formarem um V (Proredade 3 da seção 1.3). A Fgura 2.14 a segur lustra a obtenção da arcela de contrbução da tarefa no cálculo do Lmtante Inferor LI 2. A seqüênca fo montada segundo a Ordem de Construção OC 2 ara o caso em que o nstante de térmno da últma tarefa osconada localza-se aós a data comum de entrega d. 28