Planeamento Hídrico de Curto Prazo: Programação Não Linear Inteira Mista

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1 Planeamento Hídrco de Curto Prazo: Programação Não Lnear Intera Msta J.P.S. Catalão, H.M.I. Pousnho e V.M.F. Mendes 2 Deartamento de Engenhara Electromecânca Unversdade da Bera Interor R. Fonte do Lamero, 62- Covlhã (Portugal) Telefone: , fax: , e-mal: catalao@ub.t 2 Deartamento de Engenhara Eléctrca e Automação Insttuto Sueror de Engenhara de Lsboa R. Conselhero Emído Navarro, Lsboa (Portugal) Telefone: , fax: , e-mal: vfmendes@sel.t Resumo. Esta comuncação aborda o roblema de laneamento hídrco de curto razo, consderando a varação da altura de queda ara um sstema hdroeléctrco com confguração hdráulca em cascata. Proõe-se uma metodologa baseada na rogramação não lnear ntera msta ara otmzar a exloração de recursos hídrcos. A metodologa roosta consdera não só a deendênca não lnear da otênca roduzda em função do caudal de água turbnado e da altura de queda, mas também consdera as zonas robdas de funconamento, ara obter resultados mas realístcos e fazíves. Os resultados numércos, baseados num sstema hdroeléctrco exstente em Portugal, lustram a rofcênca da metodologa roosta. Por últmo, são aresentadas as conclusões. Palavras-chave Planeamento hídrco, curto razo, rogramação não lnear ntera msta, mercado eléctrco.. Introdução Nesta comuncação consdera-se o roblema de laneamento hídrco de curto razo, tendo em conta a varação da altura de queda num sstema hdroeléctrco em cascata. As centras hdroeléctrcas que têm uma equena caacdade de armazenamento de água são denomnadas como centras de fo de água. Devdo à sua equena caacdade de armazenamento, a efcênca da exloração torna-se sensível à varação da altura de queda efeto de queda []. Numa confguração hdráulca em cascata, onde as centras hdroeléctrcas odem ser lgadas em sére ou em aralelo, as centras stuadas a montante afectam as centras a jusante na medda em que as afluêncas rovenentes das centras a montante vão conflur às centras a jusante. A confguração hdráulca da cascata juntamente com o efeto de queda, ara além de tornar o roblema não lnear, aumenta a dmensão do roblema e a sua comlexdade. No roblema de laneamento hídrco de curto razo é consderado um horzonte temoral de um a sete das, geralmente dscretzado em eríodos de uma hora. O roblema de laneamento hídrco de curto razo é tratado como sendo determnístco. Quando o roblema nclu quantdades estocástcas como a afluênca aos reservatóros ou os reços da energa, as revsões corresondentes são utlzadas [2]. O objectvo rncal no roblema de laneamento hídrco de curto razo consste em maxmzar o lucro obtdo com a venda da energa eléctrca ara o horzonte temoral consderado, com a reocuação de satsfazer todas as restrções a que o equamento está sujeto, vsando a utlzação mas efcente e rentável da água [3]. A rogramação dnâmca (PD) fo um dos rmeros métodos utlzados ara a resolução do roblema de laneamento hídrco de curto razo [4]. A utlzação da rogramação dnâmca ara a resolução do roblema ermte obter a solução ótma. Contudo, a maldção da dmensonaldade, nerente à rogramação dnâmca, mlca que a sua utlzação só seja ossível ara roblemas de dmensão reduzda. Técncas de ntelgênca artfcal também foram alcadas ao roblema de laneamento hídrco de curto razo, desgnadamente algortmos genétcos [5] e redes neuronas [6]. No entanto, devdo às heurístcas usadas no rocesso de esqusa, aenas odem ser alcançadas soluções sub-ótmas. Uma abordagem natural do laneamento hídrco de curto razo é modelar o sstema como uma rede de fluxos [7], devdo à estrutura subjacente nas centras hdroeléctrcas. O modelo de rede de fluxos é frequentemente smlfcado tornando o modelo lnear. A rogramação lnear (PL) é um método extensamente usado ara laneamento hídrco de curto razo [8]. No entanto, PL consdera tcamente que a otênca fornecda é

2 lnearmente deendente do caudal de água turbnado, gnorando assm a varação da altura de queda. A rogramação lnear ntera msta (PLIM) tem sdo frequentemente usada no laneamento hídrco de curto razo [9]-[], onde varáves nteras ermtem modelar os custos de arranque, que são rncalmente causados elo aumento de manutenção dos enrolamentos e equamentos mecâncos e elo mau funconamento do equamento de controlo. O laneamento hídrco é or natureza um roblema de otmzação não lnear. Um modelo não lnear tem vantagens quando comarado com um modelo lnear. O modelo não lnear é mas recso uma vez que o efeto de queda ode ser tdo em consderação [], [3]. No entanto, no modelo não lnear não é ossível evtar descargas de água em zonas robdas de funconamento. Nesta comuncação, é roosta uma nova metodologa baseada na rogramação não lnear ntera msta (PNLIM) ara resolver o roblema de laneamento hídrco de curto razo. A metodologa roosta consdera não só o efeto de queda, mas também as zonas robdas de funconamento. Aresentam-se resultados numércos obtdos ara um caso de estudo baseado num sstema hdroeléctrco ortuguês. O método fo desenvolvdo e executado a artr do MATLAB sendo resolvdo usando o solver de otmzação Xress-MP. Fnalmente, conclu-se sobre o desemenho da metodologa aresentada. 2. Formulação do Problema A. Função Objectvo Nesta comuncação, a função objectvo a ser maxmzada é dada or onde a k é a afluênca ao reservatóro na hora k, M é o conjunto de reservatóros stuados a montante do reservatóro, q k é o caudal de água turbnado elo reservatóro na hora k, e s k é o caudal de água descarregado elo reservatóro na hora k. Assume-se que a duração dos trânstos de água entre as undades da cascata é nferor relatvamente ao ntervalo de temo de um estádo. 2) Altura de queda: a queda é consderada função do nível de água a montante e jusante dos reservatóros h k = l v ) l ( v ) (3) f ( ) k ( f ( ) k t( ) k t( ) k onde h k é a altura de queda da central na hora k, e l k é o nível de água no reservatóro na hora k. 3) Potênca fornecda: a otênca fornecda é consderada uma função do caudal de água turbnado e da efcênca da exloração k = q η ( h k) (4) k k onde η k é a efcênca da central na hora k. A efcênca ode ser exressa como o quocente entre a otênca fornecda e o caudal de água turbnado, que or sua vez deende da altura de queda entre reservatóros. Cada central hídrca é caracterzada or uma relação de três varáves: otênca fornecda k, caudal de água turbnado q k, e altura de queda h k. Assumndo que a altura de queda é constante, cada central ode ser caracterzada or um conjunto de curvas característcas de otênca fornecda versus caudal de água turbnado (Fg. ). I K λ + k k = k= = I Ψ ( v ) () onde I é o número total de reservatóros, K é o número total de horas do horzonte temoral, λ k é o reço revsto ara a energa eléctrca na hora k, k é a otênca fornecda ela central na hora k, Ψ é o valor futuro da água armazenada no reservatóro na hora k, e v k é o volume de água armazenada no reservatóro na hora k. Em (), o rmero termo está relaconado com o lucro obtdo em cada central. O ultmo termo exressa o valor futuro da água armazenada nos reservatóros na ultma hora K. K k h h B. Restrções ) Equação de balanço de água: a equação de balanço de água ara cada reservatóro é dada or v k = v k + a k + ( q mk + s mk) q k s (2), k m M q Fg.. Conjunto de curvas característcas ara uma central hídrca.

3 4) Volume de água: o volume de água armazenado tem lmte nferor e sueror v v v (5) k 5) Caudal de água turbnado: o caudal de água turbnado ela central tem or hótese R zonas robdas de funconamento defndas elos lmtes nferor e sueror, defnndo uma regão favorável de funconamento da central Q = [ q, q ] (6) onde r =, 2, K, R. Então, o caudal de água turbnado é dado or (r) k u k q q k u k q R r= k (7) u k R r= k (8) q = q (9) onde u é uma varável bnára que é gual a se a (r) central está a funconar na regão Q na hora k, caso contraro é gual a. 6) Caudal de água descarregado: ara o caudal de água descarregado o lmte nferor é consderado nulo s () k O caudal de água descarregado ode ocorrer quando o volume de água armazenado for sueror ao lmte máxmo mosto, sendo então necessáro roceder ao descarregamento de água or razões de segurança. O volume de água ncal nos reservatóros bem como as afluêncas aos mesmos são dados conhecdos. Também, os reços da energa eléctrca são consderados determnístcos ara o laneamento hídrco de curto razo. No entanto, váras técncas encontram-se dsoníves na lteratura ara realzar a revsão dos reços da energa eléctrca [2]-[3]. 3. Metodologa de PNLIM A PNLIM ode ser enuncada ela maxmzação de sujeta a < F (x) () x x x < + (2) b A x b (3) x j ntera, j J (4) onde F (.) é uma função não lnear do vector x das varáves de fluxo ou de decsão, x e x são os vectores dos lmtes, mínmos e máxmos, assocados às varáves de decsão, A é a matrz de ncdênca nodal, b e b são os vectores dos lmtes mínmos e máxmos das njecções de fluxo nos nós da rede. As restrções de gualdade são defndas estabelecendo uma relação de gualdade entre o lmte nferor e o lmte sueror, sto é, b = b. As varáves x J são varáves nteras. Os lmtes nferores e suerores ara os caudas de água turbnada mlcam novas restrções de desgualdade que serão reescrtas ela equação (3). Como é aresentado em (3) e (4), o nível de água e a otênca fornecda deendem resectvamente do volume de água armazenado e da queda. Consderou-se uma lnearzação da função que caracterza a deendênca entre a efcênca da exloração e a altura de queda, Fg.. Assm, a efcênca da exloração deende da altura de queda. A lnearzação da função é dada or onde os arâmetros k = α h k + η η (5) α e η são dados or α = η η ) / ( h h ) (6) ( η = η α h (7) Também, é consderada uma lnearzação da função do nível de água dada or onde os arâmetros β e k k l = β v + l (8) l são dados or β = l l ) / ( v v ) (9) l ( = l Substtundo (5) em (4) temos k β v (2) = q ( α h + η ) (2) k Anda, substtundo as equações (3) e (8) na equação (2), a otênca fornecda é reresentada or uma função não lnear, sendo dada or com k = α β f ( ) q k v f ( ) k α β t ( ) q k v t( ) k k ( l f ( ) l t( ) ) + η + χ q k (22) χ = α (23)

4 Assm, uma vantagem da PNLIM consste em consderar o efeto de queda numa únca função (22) deendente do caudal de água turbnado e do volume de água armazenado, evtando a necessdade de váras curvas ara dferentes valores da altura de queda. Um novo arâmetro χ, que corresonde ao roduto de α ' s or β ' s, é defndo ara onderar a deendênca não lnear da otênca fornecda com o caudal de água turbnado e com o volume de água. Este arâmetro é determnado aenas elos dados físcos que defnem o sstema hdroeléctrco. A contrbução orgnal aresentada nesta comuncação, tendo resente comuncações já ublcadas [], [3], assa or consderar as zonas robdas ara as quas as turbnas não odem funconar. Assm, as restrções (7) a (9) são consderadas, com a fnaldade de obter resultados mas realístcos e fazíves, ermtndo consderar váras zonas de funconamento das turbnas. 4. Caso Estudo A metodologa de PNLIM fo alcada a um caso de estudo real baseado num sstema hdroeléctrco exstente em Portugal, com três reservatóros em cascata, sendo comarada a uma metodologa de PLIM. As metodologas de otmzação foram mlementadas num comutador com rocessador a 6-MHz e 256 MB de RAM, usando a alcação nformátca MATLAB e o solver Xress-MP. A. Dados de entrada A nterlgação entre os reservatóros é aresentada na Fg. 2. a k Neste sstema hdroeléctrco em cascata consdera-se que aenas o rmero reservatóro recebe afluênca, sendo que os segundo e tercero reservatóros recebem aenas a água rovenente do reservatóro a montante. Na Fg. 3 é aresentada a afluênca ao reservatóro. Afluênca (hm 3 /h) Temo (h) Fg. 3. Afluênca ao reservatóro. O volume fnal de água nos reservatóros é consderado gual ao valor no níco do horzonte temoral, sendo que o volume ncal corresonde a 8% do volume máxmo. O valor futuro da água armazenada nos reservatóros no ultmo eríodo do horzonte temoral não é consderado em (). O horzonte temoral consderado é um da dvddo em 24 eríodos horáros. O erfl dos reços da energa eléctrca é aresentado na Fg. 4, sendo $ uma quantdade smbólca Temo (h) Preço ($/MWh)2 Fg. 4. Perfl de reços da energa eléctrca. s k s 2k 2 v k q k v 2k q 2k Reservatóro Central B. Análse dos Resultados Na Fg. 5 são aresentadas as trajectóras ara o volume de água armazenada nos reservatóros. As lnhas a traço contínuo e as lnhas a traço nterromdo reresentam, resectvamente, os resultados obtdos com a metodologa de PNLIM e os resultados obtdos com a metodologa de PLIM. Os resultados obtdos ara o volume de água nos reservatóros, aresentados na Fg. 5, ermtem lustrar a nfluênca do efeto de queda na exloração ótma de recursos hídrcos. 3 v 3k s 3k q 3k Fg. 2. Sstema hdroeléctrco em cascata. Nos resultados obtdos com a nova metodologa baseada em PNLIM, a trajectóra ara o volume de água no reservatóro stuado no níco da cascata é elevada, vsando a maxmzação do lucro total. Contraramente, a trajectóra ara o volume de água no reservatóro stuado no fm da cascata é reduzda, vsando aumentar a altura de queda ara os reservatóros medatamente a montante.

5 Volume em R (%) Volume em R2 (%) Volume em R3 (%) Temo (h) valor mínmo ara o valor máxmo na PLIM, do que acontece na PNLIM, devdo ao efeto de queda. A contrbução orgnal aresentada, tendo resente comuncações já ublcadas [], [3], assa or evtar caudas de água turbnados em zonas robdas de funconamento, nomeadamente, entre e q. Assm, a metodologa aresentada roorcona um laneamento hídrco de curto razo mas realístco. Os resultados numércos obtdos ara este sstema hdroeléctrco em cascata encontram-se aresentados na Tabela. TABELA I. Comaração da PLIM com a PNLIM Metodologa Caudal turbnado (%) Volume de água (%) Lucro total ($ 2 ) Temo de comutação (s) PLIM PNLIM Fg. 5. Volume de água nos reservatóros, em ercentagem dos valores máxmos, ara cada uma das metodologas. Na Fg. 6 são aresentadas as trajectóras ara o caudal de água turbnado. As lnhas a traço contínuo e as lnhas a traço nterromdo reresentam, resectvamente, os resultados obtdos com a metodologa de PNLIM e os resultados obtdos com a metodologa de PLIM. Caudal de R (%) Caudal de R2 (%) Caudal de R3 (%) Temo (h) Fg. 6. Caudas de água turbnados na centras, em ercentagem dos valores máxmos, ara cada uma das metodologas. A comaração dos resultados da PLIM com PNLIM, aresentados na Fg. 6, revelam que as trajectóras do caudal de água turbnado transtam mas radamente do Embora o caudal de água turbnado médo é, como se eserava, gual ara ambas as metodologas de otmzação, o volume de água armazenada é sueror com a PNLIM, elo facto de se consderar o efeto de queda. Assm, com a PNLIM obtêm-se um lucro total mas elevado, cerca de 4,4%. Anda, o temo de comutação adconal é desrezável. Assm, a metodologa baseada na PNLIM roorcona melhores resultados ara os sstemas hdroeléctrcos em cascata, consderando a varação da altura de queda. 5. Conclusões Uma nova metodologa baseada na PNLIM é roosta ara o roblema de laneamento hídrco de curto razo, consderando não só a varação da altura de queda, mas também as zonas robdas de funconamento das turbnas. Uma vantagem da nossa metodologa consste em consderar o efeto de queda numa únca função deendente do caudal de água turbnado e do volume de água armazenado. Em consequênca da utlzação da metodologa aresentada nesta comuncação, ode-se obter um laneamento hídrco de curto razo mas realístco e fazível, garantndo smultaneamente um temo de comutação acetável. Agradecmentos Os autores desta comuncação agradecem as contrbuções dos Professores Luís Marcelno Ferrera e Sílvo Marano. Referêncas [] J. P. S. Catalão, S. J. P. S. Marano, V. M. F. Mendes e L. A. F. M. Ferrera, Parametersaton effect on the behavour of a head-deendent hydro chan usng a nonlnear model, Electrc Power Systems Research, Vol. 76, 44-42, Abrl de 26.

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