Análise da Distribuição dos Coeficientes de Rigidez Dinâmica na Base da Fundação de uma Máquina Rotativa

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1 Análie da Ditibuição do Coeficiente de Rigidez Dinâmica na Bae da Fundação de uma Máquina Rotativa Reumo Caio Ramio Toe 1, Segio Hamhie de Cavalho Santo 1 Gaduando/ Ecola Politécnica UFRJ / caioamio@oli.ufj.b Pofeo Titula/ Ecola Politécnica UFRJ / egiohamhie@oli.ufj.b O delocamento oduzido no olo a ati de açõe dinâmica oveniente de equiamento como geadoe, motoe, máquina a ecuão, etc. deendem de diveo aâmeto elativo à etutua da fundação e ao olo, endo o último altamente vaiávei e de difícil obtenção. No camo da análie dinâmica ela fomulação comlexa, a igidez do teeno quanto ao movimento da fundação é taduzida ela imedância dinâmica do olo, uma função comlexa cuja ate eal eeenta a igidez dinâmica e a ate imagináia coeonde à caacidade de diiação de enegia (amotecimento) do itema. Modelo imlificado, como itema maa-mola-amotecedo, ão caaze de eeenta a igidez dinâmica do olo a ati de mola e amotecedoe, com coeficiente que odem e calculado atavé de difeente exeõe, tanto analítica quanto aoximada. O conceito de mola e amotecedoe, muito alicado em itema que conideam o bloco de fundação como efeitamente ígido, ode e etendido aa uma malha de elemento finito que eeenta a inteface fundação-olo. O coeficiente de imedância dinâmica de cada elemento, eunido, fomam a matiz de igidez condenada do olo, que fonece um eultado exlícito aceca da ditibuição da igidez ao longo da bae do bloco. O eente tabalho buca deenvolve uma metodologia aa obte a matiz de igidez dinâmica da bae da fundação aa uma máquina otativa, tabalhando em uma fequência contante. O eultado motam que o amotecimento, cujo comotamento ainda é ouco conhecido, aeenta ditibuição eacial imila à igidez, eta já bem equacionada: ambo tendem a e concenta no contono da bae da fundação, onde o coeficiente ão exeivamente mai alto do que em eu inteio. Palava-chave Objetivo do tabalho Fundaçõe de Máquina; Rigidez do Solo; Amotecimento do Solo; Inteação Solo- Etutua; Análie Dinâmica. O eente tabalho via analia a ditibuição eacial do coeficiente de igidez e de amotecimento na bae da fundação de uma máquina otativa, atavé do cálculo da matiz de igidez de uma malha de elemento finito que eeenta a inteface fundação-olo.

2 Intodução Modelagem de fundaçõe de máquina Um do inciai aecto a e obevado no ojeto de uma fundação ujeita a caegamento dinâmico é a limitação do delocamento. Enquanto que o delocamento vetical etático (ecalque) toleável de uma fundação é da odem de centímeto, o delocamento dinâmico toleável é da odem de algun micômeto 110. Tal exigência decoe da neceidade de e mante o bomm funcionamento da máquina, além de e gaanti o confoto humano e imedi que etutua vizinha ejam afetada o uma vibação exceiva. Em geal, obeva-e na noma de ojeto de fundaçõe de máquina que quanto maio a velocidade efetiva de oeação, menoe eão o delocamento toleávei. Imedância dinâmica Simlificadamente, o oblema de uma fundação ujeita a um caegamento hamônico ode e modelado comoo um itema maa-mola-amotecedo comm ei gau de libedade (tê tanlaçõe e tê otaçõe, aumindo que o bloco eja muito m mai ígido que o olo adjacente e ó haja movimento como coo ígido). A cada gau de libedade, atibui-e uma mola (K) e um amotecedo (C), cujo coeficiente ão funçõe do aâmeto do olo e da fequência cicula de excitação ( = πf, endo f a fequência de oeação da máquina). Define-e então a função de imedância dinâmica : K ( ω ) = K ( ω ) + iωc( ω ) (1) No cao da conideação da defomaçõe ofida elo bloco de fundação (bloco flexível), o itema aaa a te infinito gau de libedade e, otanto, infinito coeficiente de igidez e amotecimento (K e C). O modelo ooto o SANTOS e GUIMARÃES (1988) emite calcula c a matiz de igidez condenada na inteface fundação-olo (ou eja, obte o coeficiente K e C de (1)) a ati da dicetização deta inteface em uma malha de elemento finito. A ati deta malha, obtém-e a matiz de flexibilidade da inteface fundação-olo, elo cálculo do delocamento veticai oduzido no elemento dicetizado com a alicação de caga unitáia veticai, concentada e hamônica. Paa a o cálculo dete delocamento utiliza-e aqui a olução fundamental deenvolvida o DOMÍNGUEZ e ABASCAL (1984), que, aa uma caga dela ditante alicada na dieção, fonece o delocamento na dieção, de um onto em um emieaço homogêneoo e elático: 1 [ ψδ χ ] U ji = ij, i j απρ c, ()

3 Onde: ψ = ex( k c c 1 k k ) 1 + ( k 1 ex( k + k 1 ex( k ) + ) k ) E onde: 3 χ = ( k c c 3 ex( k ) + + 1) k 3 k k 3 ex( k k ) (3) k k = iω / c = iω / c Define-e c como a velocidade de oagação da onda imáia no olo e c é a velocidade de oagação da onda ecundáia. A matiz de igidez condenada na uefície também é obtida aaa o cao etático (onde não há atuação de foça dinâmica). Calculam-e o delocamento a ati da exeão de DOMÍNGUEZ e ABASCAL (1984) aa o delocamento oduzido o uma foça etática unitáia: U ji [( 3 4υ ) +,, ] 1 1 = δ ij 16πG(1 υ) i j (4) O memo ocedimento ode e ealizado a ati da exeão de Bouineq, que fonece o delocamento vetical de um onto a uma ditância de uma foça unitáia etática: δ = 1 υ πg (5)

4 Paâmeto adimenionai de igidez e amotecimento Pode-e eceve (1) em função da igidez etática da fundação K : K = K ( k + ia c) 0 (6) A equação (6) define o aâmeto adimenionai de igidez e amotecimento, k e c. a 0 é a fequência adimenionalizada em função da feqüência de excitação (ω) e da emi-lagua de uma fundação etangula (B). a = B / 0 ω c (7) Aeentação do modelo e metodologia É analiada a bae do bloco de fundação de uma máquina otativa, baeado em um ojeto eal (ve ALBUQUERQUE, 015), com dimenõe em lanta de 6,3 x 3,6 m, com oigem do itema de coodenada cateiana oicionada no cento geomético da bae da fundação. A fundação é aeentada em vita ueio na Figua 1. O modelo de elemento finito utilizado na análie é aeentado na Figua. Figua 1 Vita ueio do bloco de fundação

5 Figua Modeloo de elemntio finito utilizado na análie do bloco A fequência da oeação da máquina etudada é de 710 m (11,83 Hz ou 74,3 ad/). O módulo de defomação tanveal (G), o coeficiente de Poion (υ ), a maa eecífica (ρ) e velocidade de oagação da onda ecundáia do olo ( c ), ão dado abaixo: G = 50000kPa υ = 0,5 ρ = 1,80 Mg / m c = 166,7m / A ati da equação (), obtém-e a matiz de igidez condenada da inteface fundação-olo aa difeente fequência de oeação (ω) da máquina. Na hiótee de um bloco efeitamente ígido, aa uma caga vetical centada, todo o onto da bae da fundação têm o memo delocamento e, otanto, a mola calculada na bae da fundação aumem uma aociação em aalelo. Sendo aim, o omatóio de todo o coeficiente da matiz fonece uma igidez equivalente, aa o bloco conideado como efeitamente ígido. Eta igidez equivalente é então comaada com a obtida atavé de difeente exeõe aoximada. 3

6 Reultado A Tabela 1 aeenta o coeficiente de igidez (K) na dieção vetical (Z), calculado aa um quadante da fundação, conideando ω = 74, 33 ad/, ela fomulação de DOMÍNGUEZ e ABASCAL (1984), coeondendo a a 0 = 0,8) Ete coeficiente eetem-e no outo tê quadante, devido à dula imetia da bae da fundação. O nó de extemidade tem eu coeficiente eduzido oocionalmente à ua áea de influência. Tabela 1 Coeficiente de igidez do nó na dieção Z K z (kn/m) 0 ±0,45 Y = Y = ±0, Y = ±0, Y = ±1, Y = ±1, ±0,90 ±1,35 ±1,80 ±,5 ±,70 ±3, A Tabela aeenta fundação. o coeficiente de amotecimento (C) aa um quadante da Tabela Coeficiente de amotecimento do nó na dieção Z 0 ω C z (kn/m) ±0,45 Y = 0 41,46 41,54 ±0,90 ±1,35 ±1,80 ±,5 ±,70 ±3, ,81 4,43 44,17 45,70 79,67 56,99 Y = ±0,45 Y = ±0,90 Y = ±1,35 Y = ±1,80 4,76 4,83 43,10 43,71 45,44 46,64 81,15 57,88 44,51 44,57 44,79 45,31 46,91 47,71 83,08 59,44 80, 80,300 80,58 81,6 83,1 84,79 14,38 81,93 57,74 57,79 57,98 58,44 58,44 60,97 8,61 51,88 A Figua 3 e 4 aeentam a vaiação do coeficiente K e ω C ao longo de lano tanveai ao blocoo (lano y = 0 e x = 0).

7 K ωc X (m) 4 Figua 3 Coeficiente de igidez dinâmica em y = K ωc ,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 Y (m) Figua 4 Coeficiente de igidez dinâmica em x = 0 Obeva que no onto de extemidade o valoe etão dividido o doi, já que a áea de influência na boda é a metade da demai áea de influência. O omatóio de todo o temo da matiz de igidez fonece a igidez de um bloco efeitamente ígido. A Figua 5 aeenta a vaiação da igidez (K) calculada aa bloco ígido. A igidez equivalente obtida atavé deta metodologia é comaada com a calculada elo método de PAIS e KAUSEL (1988) e LUCO (1974). O valoe negativo encontado foam conideado como nulo.

8 1,0E+06 K (kn/m) 9,00E+05 6,00E+05 K (Luco) K (Pai/Kauel) K (Domínguez) 3,00E+05 0,00E ,5 1 1,5,5 a0=ωb/c 3 A Figua 6 aeenta da mema metodologia. Figua 5 Rigidez vetical aa bloco ígido a comaação ente o amotecimento (C) calculado atavé,00e+04 C (kn /m) 1,50E+04 C (Luco) C (Pai/Kauel) 1,00E+04 C (Domínguez) 5,00E+03 0,00E+00 0,1 0,6 1,1 1,6,1,6 a0=ωb/c 3,1 Figua 6 Amotecimento vetical aa bloco ígido

9 A Tabela 3 aeentaa o eultado obtido aa o cao etático. Utilizou-e a exeão aoximada de WOLF e GAZETAS(1994) aa fundaçõe etangulae. Tabela 3 Comaação ente funçõe de imedância. K z (kn/m) Diceância Relativa (%) K (Domínguez) K (Bouineq) K (Wolf e Gazeta) A Figua 7 aeenta uma comaação da vaiação do aâmeto k e c em função de a 0. Segundo GAZETAS (1983), aa olo homogêneo, o aâmeto k e c odem e conideado como contante em 1,0 e 0,68, eectivamente. 1 0,8 0,6 k (Domínguez) 0,4 c (Domínguez) k (Gazeta) 0, c (Gazeta) 0 0 0,5 1 1,5,5 a0=ωb/c 3 Figua 7 Vaiação de k e c em função de a 0

10 Concluõe O eultado da Figua 3 e 4 comovam que a ditibuição do coeficiente de amotecimento egue adõe imilae ao da igidez: o contono da bae da fundação eeenta a áea de maio igidez ao delocamento. O eultado ugeem que a hiótee de que a igidez indeende da fequência de vibação, comumente adotada em ojeto de Engenhaia, ode e aceita como endo uma aoximação azoável. Obeva-e que a igidez aeenta decaimento lento, chegando no exemlo etudado a 90% da igidez etática em fequência na faixa do 50 ad / ( 380m). O amotecimento, o ua vez, aeenta comotamento ocilatóio, oém com equeno devio. O aâmeto k e c obtido atavé da exeõe de DOMÍNGUEZ e ABASCAL (1984) concodam com o etudo feito o GAZETAS (1983) que ugeem que, aa olo homogêneo, ete aâmeto e mantêm invaiávei em elação à fequência de excitação ω. O aâmeto k aeentou decaimento lento, chegando a 0,90 quando a = 3 0. Já o aâmeto c aeentou um equeno aumento eguido de queda, com valoe ocilando ente o valo médio de 0,67, óximo ao valo de 0,,68 indicado o GAZETAS (1983). Refeência bibliogáfica ALBUQUERQUE, I. M. Modelagem numéica da fundação de uma máquina otativa conideando igidez e amotecimento do olo com ditibuição não homogênea. M.Sc. Dietação, UFRJ Univeidade Fedeal do Rio de Janeio, Ecola Politécnica, Pogama de Pojeto de Etutua, Rio de Janeio - RJ, Bail, 015. DOMÍNGUEZ, J. e ABASCAL, R. On fundamental olution fo the bounday integal equation method in tatic and dynamic elaticity, Engineeing Analyi, 1984, Vol. 1, N o 3. GAZETAS, G. Analyi of machine foundation vibation: tate of the at, Renelae Polytechnic Intitute, Toy NY, USA, LUCO, J. E. Imedance function fo a Rigid Foundation on a Layeed Medium, Nuclea Engineeing and Deign 31, PAIS, A. e KAUSEL, E. Aoximate fomula fo dynamic tiffnee of igid foundation, Soil Dynamic and Eathquake Engineeing, 1988, Vol. 7, No. 4. RIBEIRO, M.A.C. Análie comaativa de método utilizado no cálculo da inteação olode Janeio, Ecola adie. Pojeto final de gaduação, UFRJ Univeidade Fedeal do Rio Politécnica, Rio de Janeio, 010. RICHART J.; Fank E.; WOODS, R.D.; HALL J., J.R. Vibation of oil and foundation, 1ª ed.- Pentice-Hall, Inc., The Univeity of Michigan, Ann Abo MI, USA, SANTOS, J., Aontamento obe Dinâmica de Fundaçõe, metado em Geotecnia aa Engenhaia Civil, Intituto Sueio Técnico/Univeidade Nova de Liboa/LNEC, 00. SANTOS, S.H.C. e GUIMARÃES, J. T. G. Análie de laca de fundação conideando a matiz de igidez condenada na uefície, IX Congeo Latino-Ameicano e Ibéico obe método comutacionai aa engenhaia, Códoba, Agentina, WOLF, J.P. Foundation vibation analyi uing imle hyical model. 1 t ed. PTR Pentice Hall, Univeity of Michigan MI, USA, 1994.