Estrutura da Turbulência em Escoamentos Junto à Superfícies Sólidas

Transcrição

1 Erra da rblência em Ecoameno Jno à Sperfície Sólida O nívei de enõe de Renold em ecoameno rbleno jno à perfície ólida ão mio menore do qe aqele enconrado em ecoameno livre, devido à ação inibidora da parede. Por oro lado, devido à inibição do movimeno do flido na direção normal à parede, a anioropia da flaçõe de velocidade jno à parede é bem maior do qe no cao de ecoameno livre. l ' v'

2 Uma decrição alernaiva da rblência pode er obida com ma análie da freqüência. Diribição de epecro de da camada limie obre ma placa plana O maiore valore de energia eão aociado a menore freqüência. A medida qe a freqüência crece, o epecro de energia varia de acordo com a eoria de Kolmogorov, F(n) n -/3. Para freqüência mai ala, o epecro de energia decai mai rapidamene devido a ação da vicoidade cinemáica. De acordo com Heienberg, F(n) n -7 A parir da diribição do epecro de energia, pode-e verificar qe ma correne rblena poi rbilhõe de vário amanho, já qe a freqüência é inveramene proporcional ao comprimeno de onda.

3 Diribição de enão Cialhane óimo à Parede (Camada imie) Para deerminar o perfil de velocidade, vamo inicialmene deerminar a diribição de enão cialhane. Pela definição de vicoidade efeiva, como endo a oma da vicoidade abola com a rblena, emo ef Inrodzindo a implificaçõe de camada limie na eqaçõe média de Navier-Soke, obemo v dp d v dp d Noe qe ea eqação acima é válida ano para regime laminar qano rbleno 3

4 Vamo no concenrar na região relaivamene próima a parede al qe é mio menor qe o oro ermo, podendo er deprezado. Ea região geralmene e eende fora da b-camada vicoa, podendo em algn cao inclir ano qano m erço de oda a camada limie. Io é chamado de aproimação de Ecoameno de Coee, endo chamada de Região de Ecoameno de Coee. Com a hipóee de qe, a eqação de conervação de qanidade de movimeno orna-e ma eqação diferencial ordinária. ( ) Sendo qe pela coninidade 0 v 0 v ce v o 4

5 ogo, a eqação de qanidade de movimeno orna-e v o d d dp d d d Inegrando ea eqação de =0, onde 0, aé ma diância arbirária, emo vo dp d Vamo inrodzir agora variávei adimenionai, referenciada freqüenemene com coordenada de parede. Porém, primeiro vamo definir a variável velocidade de ario * Cf U

6 Com a egine adimenionalização: v vo p ( dp/ d) 3 v o p A eqação acima ó é valida na região onde a aproimação de ecoameno de Coee é válida, na froneira eerna da camada limie / 0 6

7 e Perfil de Velocidade na Região da Parede Vamo agora eimar o perfil de velocidade em cada ma da zona na região próima à parede, a parir da eqaçõe de conervação, coniderando v o 0 Nee cao, na região de ecoameno de Coee, a eqação de conervação e redz a Para ober o perfil de velocidade preciamo inegrar p 0 d d Inicialmene vamo coniderar qe a camada limie rblena conie de da regiõe diina: o b-camada vicoa, onde >>> o região oalmene rblena onde <<<. 7

8 Sb-camada vicoa: Nea região, emo inegrando a eqação, obemo d d ea eqação pode er recria como * * A conclão é qe o perfil de velocidade de m ecoameno rbleno poi forma linear na região mio próima à parede. Podemo conclir ainda qe + e + ão variávei de imilaridade para ea região. Dado eperimenai moram qe ea relação é válida para + < Para o modelo de da camada, amplia-e a região de validade do perfil linear aé + 8

9 Imediaamene acima da região laminar vicoa deve eiir ma região onde o efeio da enõe laminare e rblena poem a mema imporância. É a camada amorecedora. Ea região é mai difícil de er modelada. A região egine, chamada de Região rblena, a enão rblena domina, enão Infelizmene, não podemo inegrar a eqação acima, em a inrodção de ma relação coniiva qe permia modelar o ermo rbleno. Amindo qe próimo a parede a aproimação do comprimeno de mira e aplica, podemo reecrever a enão rblena como * * k 9

10 o coeficiene k é conhecido como a conane de von Kármán, e de acordo com dado eperimenai é aproimadamene igal a 0,4. Inegrando a eqação anerior, obemo k ln ce Para parede lia o valor da conane de inegração é deerminado coniderando coninidade enre a da camada, io é, para ; donde e concli qe a conane de inegração é igal a,0. Ea eqação logarímica é mia veze chamada de lei da parede o perfil niveral de velocidade, ln 0

11 A figra abaio ilra ma comparação enre o perfi para a região da b-camada laminar e região rblena e dado eperimenai, onde oberva-e ecelene concordância

12 d d n n d d ep( n n d d ep( d n n ) ep( Como mencionado, na realidade eiem rê camada na região próima a parede, endo qe a b- camada vicoa ó é válida aé + <, enqano qe a região oalmene rblena ó é válida para + > 30. Para avaliar o perfil de velocidade na camada amorecedora podemo ilizar o modelo de rblência de Deier. Nee cao Ea eqação deve er inegrada a parir de + =, onde + = +. Como é ma eqação não linear deve er inegrada nmericamene, relando na egine epreão aproimada

13 ln apreena boa concordância com o dado eperimenai para < + < 6, como pode er vio na figra a egir É imporane noar qe a ei da Parede apreenada não pode er aplicada em divera iaçõe de ineree práico, como por eemplo ecoameno envolvendo ranferência de maa, regiõe de eparação, regiõe com gradiene elevado de preão o de maa epecífica, a preença de força de corpo, ec. Para ea iaçõe, noa epreõe devem er obida. 3

14 4 Perfil de emperara na Região da Parede Simplificando a eqação da energia com a hipóee de camada limie, emo ocedendo de forma análoga ao feio com a eqação de conervação de qanidade de movimeno, vamo recrever ea eqação ilizando a definição de flo de calor v k k q c q p 0 q v c p

15 Vamo coniderar a região próima a parede onde Vamo coniderar ainda qe a emperara da parede é conane e igal a. A eqação de energia e redz a 0 / 0 d q d c d d v p o o p q v c q q ) ( Inegrando ea eqação de =0, onde q q, aé ma diância arbirária, emo ) /( ) ( p c q v v o v q q o

16 Noe a imilaridade com a eqação de / com a eceção de qe não há o ermo p + v o p De fao a analogia de comporameno enre a ranferência de calor e qanidade de movimeno falha na preença de m gradiene de preão. Coniderando o cao pariclar em injeção/cção, io é com q vo 0 q Podemo agora inegrar q c p d d para avaliar a emperara 6

17 q d c p 0 d Rearrmando e inrodzindo +, obemo ( ) q /( c p ) d 0 / ( / )/ d 0 / ( / )/ Na região da b-camada laminar, a difão laminar domina, ma como nea região o perfil de velocidade é linear, enão 7

18 Para avaliar o perfil de velocidade na Região rblena, devemo inicialmene definir o região de validade da b-camada érmica. Vimo qe o limie da b-camada vicoa é + =, porém, a epera efeiva da b-camada érmica é maior, + =3,. Qebrando a inegral em da pare, coniderando a difão moleclar dominane na b-camada érmica e a difão rblena na ; região rblena, emo b d d 0 / ( / ) / b 3, d d 0 3, / Uilizando novamene o modelo de comprimeno de mira de andl /( ) k k 8

19 3, d d 3, ln 0 3, / k 3, O número de andl rbleno deve er deerminado a parir de dado eperimenai, mencionamo qe o memo é aproimadamene igal a = 0,9. Nee cao a eqação acima pode er recria como, 9 ln 3,, 66 A comparação da eqação acima com dado eperimenai pode er vio na figra ao lado 9

20 Para ober ma melhor eimaiva do perfil de emperara, podemo coniderar o relado da b-camada vicoa aé + =. Conideraremo a camada amorecedora de enre < + < 30, onde d ln 0 / ( / )/ d d 0 / / ( / ) / b ma camada amorecedora ( ) d d d / ( / )( / ) d / d / ln (/ )( / ) camada amorecedora ( ) ln ln ( ) 0

21 Nee cao a diribição de emperara no núcleo rbleno orna-e 30 d d 0 / ( / )( / ) 30 k d ln k ln 30 Para avaliar a diferença de emperara enre a correne livre e a parede, devemo levar em conideração rê regiõe ( ) bcamada camada amorecedora núcleo rbleno

22 rbleno núcleo amorecedora camada bcamada c q p /( ) ) ( rbleno núcleo amorecedora camada bcamada livre correne d d d d d ) / /( ) / )( / ( / bcamada amorecedora camada ln ) ln ( ) ( ) ( d livre correne rbleno núcleo c q p / ln ) /( ) ( 6 logo a diferença de emperara é para conane

23 3 q h ) ( h q ) ( S U S h c c q p p ) ( ) /( ) ( U c h S p S Re N O coeficiene de ranferência de calor pode er deerminado a parir da eqação acima, já qe número de Sanon U U k c h k h c c q p p p N Re ) ( ) /( ) (

24 combinando com a diferença de emperara obida e rearrmando, emo N Re / 3 / / 3 ln / / 6 ma U U Cf N C f Re ( / ) / C f ln / / 6 óimo a parede N C f Re ( C / ) / ln /6 f 4

25 o A analogia enre a ranferência de calor e coeficiene de ario repreenada pela eqação anerior não é reria a ecoameno paralelo obre ma placa plana. o ambém pode er ilizada para calclar a ranferência de calor de perfície imera em correne eerna na preença de gradiene de preão não mio grande, e aé memo para ecoameno compreívei. o ambém pode er ilizada em ecoameno inerno em do circlare. o Condo não pode er aplicada para meai líqido, qe apreenam baio número de andl, já qe o efeio da condividade érmica moleclar é apreciável no núcleo rbleno.

26 Coeficiene de ranferência de Calor em Placa Plana Em m ecoameno paralelo de m flido com obre ma placa plana com emperara conane, o coeficiene de ranferência de calor rbleno pode er obida da analogia de Renold como N Re C f Para deerminar o coeficiene de ranferência de calor, preciamo deerminar a enão cialhane na parede (io é, o coeficiene de ario). A epreõe aneriore para deerminação do perfil de velocidade ão de difícil ilização, pode-e enão ilizar m perfil mai imple, obido empiricamene para avaliar a velocidade na região da camada limie no regime rbleno U / 7 6

27 Infelizmene, ee perfil não é adeqado para avaliar a enão cialhane na parede, poi prevê / na parede. Recomenda-e a ilização do egine perfil empírico 0,033 U U / 4 para Re > 0 A epera da camada limie pode er eimada a parir da egine correlação empírica 0, Re / Re O coeficiene de ario local pode er obido por () Cf() U / Cf() 0,09 / Re para 0 Re 0 7 7

28 A variação da enão ao longo da perfície enconra-e ilrada na figra abaio. Para deerminar a força relane em ma placa é precio levar em conideração qe na pare anerior da placa, < c o regime é laminar e a enão cai com - /, e em c ocorre ma mdança de regime, a ranferência de qanidade de movimeno crece, e a enão cialhane crece bancialmene, paando a cair com - / A força obre a placa é -/ -/ rbleno laminar F U A c c Cf 0 lam () () b d A d c U Cf rb Cf() d A A () b d U U Cf 0 Cf() A b d 8

29 Cf 0 Cf rb () d c 0 [Cf rb () Cf lam ()] d Cf 0,074 Re / 740 Re para 0 Re 0 7 (**) Cf 0,4,8 log Re 60 Re para 0 Re 0 9 Se c < < a camada limie obre a placa é praicamene oda rblena, pode-e enão aproimar o coeficiene de ario médio para (++) Cf 0,074 Re / (++) (**) (##) Cf 0,4 log Re, 8 (##) 9

30 Sbiindo o coeficiene de ario local Cf ( ) 0, 09 Re / na analogia de Renold, emo N Re S C f 0, 096 Re / N 0,096 Re 0,8 para 0 < Re < 0 7 e 0, < <,0 30

31 O flo de calor obre placa é Q q A q ( ) d A q A ( ) h( ) ( ) d A h( ) A 0 d o coeficiene de ranferência de calor médio deve levar em conideração qe no começo da placa, a camada limie é laminar q ( ) h 0 c h lam ( ) d h rb ( ) c d h c hrb ( ) d hrb ( ) hlam 0 0 ( ) d h ( ) ( ) / 3 0, 33 ( ) lam Cf N Re Re / 3 0, 33 Re / lam Re / k / 3 Nrb( ) hrb( ) k 0, 096 Re 0,8 3

32 N h k N rb( ) 0 d c 0 [ Nrb( ) Nlam( )] d N 0, 096 Re 0, 8 d 0 0 c 0, 096 Re 0, 8 0, 33 Re 0, / 3 d N 0, 8 0, 037 Re 0, 037 Re 0, 8 0, 664 Re 0, c c / 3 Re c 0 3

33 Ecoameno com Velocidade da Correne ivre Conane obre ma Placa Semiinfinia com Comprimeno Inicial não Aqecido Na região da camada limie, o perfil de velocidade e emperara podem er avaliado com U / 7 / 7 33

34 34 7 / ) ( ) /( f p C c q S / / C S f / /,, Re, S ,,,, Re, Re S N O número de Sanon local na parede é Inrodzindo o fao de qe a epera da camada limie varia com a poência 4/, obém-e Uma aproimação qe pode er mai conveniene é

35 Ecoameno com Velocidade da Correne ivre Conane obre ma Placa Semiinfinia com Flo de Calor Conane Epecificado Nee cao, a diribição do coeficiene de ranferência de calor pode er obida de N S 0, 4 0, 030 Re 0, Re 0, 6 Ee relado é 4% mai alo do qe o cao com emperara de parede conane. Noe qe no cao laminar ea diferença foi de 36% A camada limie rblena é mio meno eniiva a variaçõe da emperara da perfície qe a camada limie laminar. Para alo número de andl, ea afirmação é mai verdadeira ainda, enqano para baio número de andl, o grande efeio do ipo laminar reaparecem. 3

36 Camada imie com ranpiração Nee cao, define-e m parâmero de injeção como S So ln Bh Bh Bh vo / U m / G S S Vimo qe N Re S o C f 0, 096 Re / Para gae, obém-e a egine epreão Para ma mema coordenada, com memo número de Renold, a eqação acima apreena ecelene concordância com dado eperimenai para o cao de velocidade conane da correne livre., ln( Bh ) S 0, Re / B h 36

37 Podemo apreenar o número de Sanon como fnção do número de Renold baeado na epera da enalpia, ( ) d 0 ( ) U ( ) 0U ( ) d S, 0, 0, ln( B ) 0, 0 Re h Bh B 0, h definido S o como o número de Sanon em ranpiração correpondene ao memo valor de Re S So, ln( Bh ) Bh B 0, h 37

38 o A faia de aplicação da eqação anerior é mio grande, e a mema eqação pode er aplicada para Cf/Cf o e B h for biído por B f. o O gráfico abaio, ilra ma comparação obida com diferene de operação. Oberva-e ma ecelene concordância enre o relado medido e a correlação apreenada. 38

39 o A figra a egir mora m eemplo de m degra na injeção, egida de ma razão conane de injeção m / G o A eqação, 0, 0, ln( B ) 0, 0 Re h S Bh B 0, repreena bem o dado eperimenai, memo próimo ao degra. o Noe qe o efeio da ranpiração na camada limie é de redzir bancialmene o número de Sanon, e porano redzir o coeficiene de ranferência de calor h 39

40 Número de andl rbleno Moro-e aneriormene qe a analogia de Renold é eqivalene a =. De acordo com evidência eperimenai, pelo meno para o ar, realmene é próimo de, endo qe m valor próimo a 0,9 é mai correo ao longo de qae oda a camada limie e bem acima de é obervado bem próimo à parede. O número de andl rbleno é difícil de medir com precião. A figra ilra o efeio do gradiene de preão advero na camada limie. Oberva-e qe no núcleo rbleno, a aproimação de andl rbleno conane é aifaória, porém falhando próimo à parede. 40

41 o Oberva-e qe realmene é aproimadamene da ordem de, de al forma qe a analogia de Renold, com a implicidade, é ma boa repreenação da realidade o óimo à parede apreena valore mai alo, decaindo e ficando conane na região da lei da parede e na pare eerna da camada limie. o Oberva-e m peqeno efeio do gradiene de preão em. Já dado eperimenai moram qe a ranpiração praicamene não inflencia. o Noe qe alo valore de próimo à parede ocorrem denro da b-camada onde o mecanimo de ranferência rblena é meno imporane qe a difão moleclar. 4

42 o Alo número de andl na b-camada indicam qe na b-camada, a ranferência de qanidade de movimeno é maior qe a de energia por mecanimo rbleno. o A epreão a egir, repreena relaivamene bem obre odo o epecro de número de andl, com a endência correa próima à parede C Pe C Pe ep C Pe onde Pe = ( /, =conane, é o valor de longe da parede C = conane empírica C = 0, e, =0,86. 4

43 Faor de Recperação para Ecoameno rbleno O faor de recperação para ecoameno rbleno é definido da mema forma qe para ecoameno laminar, como r aw U /( c p ) onde aw é a emperara qe eria aingida na parede adiabáica. Medida eperimenai moram qe a camada limie mda de e eado de regime laminar próimo a borda de aaqe, onde r= /, e r crece para m valor máimo ( 0,89 para ar) na ranição de laminar para rbleno e enão ainge ma valor conane dado por 43

44 Medida eperimenai moram qe a camada limie mda de e eado de regime laminar próimo a borda de aaqe, onde r= /, e r crece para m valor máimo ( 0,89 para ar) na ranição de laminar para rbleno e enão ainge ma valor conane dado por r / 3 Para número de andl diferene da nidade, o faor de recperação pode er avaliado por r / 4 4 / 4 / arcan ( / ) / ln ( / ) / 44