Notas de Aula de SMA308 - Análise 2. Wagner Vieira Leite Nunes Departamento de Matemática ICMC - USP agosto de 2014

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1 Nots de Aul de SMA308 - Análise 2 Wgner Vieir Leite Nunes Deprtmento de Mtemátic ICMC - USP gosto de 2014

2 2

3 Sumário 1 Avisos Geris sobre Disciplin 5 2 Introdução 13 3 A Integrl de Riemnn-Stieltjes 15 4 Sequênci e Séries de Funções 81 5 Séries de Potêncis e de Fourier Funções de Váris Vriáveis Reis Existênci e Unicidde de Soluções 329 3

4 4 SUM ARIO

5 Cpítulo 1 Avisos Geris sobre Disciplin 1. ul Págin n web d disciplin A pgin d disciplin SMA308 - Anlise II, que ser ministrd pelo prof. Wgner, tem o seguinte endereco: Endereço de emil do professor O emil do professor Wgner, e wvlnunes@icmc.usp.br 1.3 Sl do professor no ICMC A sl do professor Wgner, e sl 3-128, no ICMC-USP. 1.4 Telefone/Rml do professor O telefone/rml do professor Wgner, no ICMC, e (3) Horário ds uls Os horrios ds uls d disciplin SMA308 - Anlise II ser~o: 3.s-feirs, ds 8:10 s 9:50, n sl 3-009, do ICMC-USP 5.s-feirs, ds 8:10 s 9:50, n sl 3-009, do ICMC-USP Outrs informc~oes podem ser obtids no seguinte endereco d web: 5

6 6 CAPITULO 1. AVISOS GERAIS SOBRE A DISCIPLINA 1.6 Ement d disciplin A ement d disciplin SMA308 - Anlise II e seguinte: 1. Integrl de Riemnn-Stieltjes: () Denic~oes. (b) Criterios de integrbilidde e proprieddes. (c) Integrc~o e diferencic~o. (d) Teorem Fundmentl do Clculo. (e) Integrc~o de func~oes vetoriis. (f) Curvs reticveis. 2. Sequ^encis e Series de Func~oes: () Converg^enci pontul e uniforme. (b) Converg^enci uniforme e continuidde. (c) Integrc~o e diferencic~o termo termo. (d) Equicontinuidde e o Teorem de Arzel-Ascoli. (e) Teorem de Stone-Weierstrss. 3. Algums Func~oes Especiis: () Series de pot^encis. (b) Serie de Tylor. (c) Func~o exponencil e logrtmico. (d) Func~oes trigonometrics. (e) Completividde lgebric do corpo complexo. (f) Serie de Fourier. (g) A func~o Gm. 4. Func~oes de Vris Vriveis: () Trnsformc~oes lineres. (b) Norm de um trnsformc~o liner. (c) Diferencic~o de func~oes de vris vriveis. (d) Teorem de Schwrz. (e) Formul de Tylor. (f) Princpio d contrc~o. (g) Teorem d func~o invers.

7 1.7. BILBIOGRAFIA 7 (h) Teorem d func~o implcit. Outrs informc~oes podem ser obtids no seguinte endereco d web: ou Bilbiogrfi d disciplin Os livros sugeridos pr disciplin SMA308 - Anlise II ser~o: Rudin, W. - Principles of Mthemticl Anlysis, McGrw-Hill, Lim, E.L. - Curso de Anlise, Projeto Euclides, IMPA, vol. 2, Lng, S. - Anlysis I, Addison-Wesley, Reding, Outrs informc~oes podem ser obtids no seguinte endereco d web: Nots de ul No endereco estr~o disponveis s nots de ul d disciplin SMA308 -Anlise II, reltivs o conteudo desenvolvido pelo professor Wgner, em sl de ul. As nots de ul ser~o tulizds periodicmente. 1.9 Horários de monitori d disciplin O Giulino Zuglini ser o monitor d disciplin SMA308 - Anlise II, ministrd pelo professor Wgner. Ele ministrr ul de exerccios semnlmente e dr plnt~o de duvids semnlmente. Os horrios e locis dest e ds outrs monitoris ser~o: Plnt~o de duvids: 3.s-feirs ds 18:00 s 20:00, n sl no ICMC-USP Aul de exerccios: 6.s-feirs ds 8:00 s 10:00 n sl no ICMC-USP Outrs informc~oes podem ser obtids no seguinte endereco d web:

8 8 CAPITULO 1. AVISOS GERAIS SOBRE A DISCIPLINA Observção: Ns uls de exerccios ministrds pelo monitor, ser~o pssdos exerccios pr os lunos resolverem, durnte ul de exerccios, e entregues o monitor. Aos lunos que certrem mis de 70% desses exerccios, ser diciondo 1, 0 n not d prov subsequente. Outrs informc~oes podem ser obtids no seguinte endereco d web: Horário de tendimento dos docentes d disciplin pr sus respectivs turms O horrio de tendimento d disciplin SMA308 - Anlise II, ministrd pelo professor Wgner, ser: 3.s-feirs ds 10:00 s 12:00 n sl do professor Wgner no ICMC-USP. Outrs informc~oes podem ser obtids no seguinte endereco d web: Lists de exercícios d disciplin As oito lists de exerccios d disciplin SMA308 - Anlise II, ministrd pelo professor Wgner, podem ser encontrds n seguinte pgin d web: Freqüênci n disciplin Um condic~o necesssri (ms n~o suciente) pr o luno ser provdo n disciplin SMA308 - Anlise II, e que su frequ^enci n disciplin, que denotremos por F, sej mior ou igul 70%. A list de presenc d disciplin ser controld. So ser~o ceits ASSINATURAS ou NOME COMPLETO POR EXTENSO n list de presenc. Qulquer outro modo NÃO ser ceito e ser colocdo flt n list de presenc.

9 1.13. CRIT ERIO DE AVALIAC ~AO Critério de vlição e provção d disciplin A vlic~o d disciplin ministrd pelo professor Wgner, constr de dus provs, primeir prov, que ser denotd P 1, vlendo 2 d not nl, segund prov, que ser 5 denotd P 2, vlendo 3 d not nl, ou sej, medi nl, que denotremos por MF, ser 5 dd pel seguinte formul: MF. 2 P P 2. 5 Pr ser considerdo provdo n disciplin ministrd pelo professor Wgner, medi do luno n disciplin dever ser mior ou igul 5, 0 e su frequ^enci ser mior ou igul 70%, ou sej: 5, 0 MF e 70% F. Alem disso, ser~o plicdos exerccios os lunos, ns uls de exerccios ministrd pelo monitor, que entregr~o s nots ds respectivs provs. Outrs informc~oes sobre os dois itens cim podem ser encontrds no seguinte endereco d web: Prov substitutiv d disciplin O luno que perder um, e somente um, ds dus provs do item (1.13) poder se submeter ssim denomind prov substitutiv, cujo vlor denotremos por PS. A not dest prov entrr n lugr d not d prov que o luno perdeu e medi ser clculd como no item (1.13), substituindo-se not prov perdid pel not d prov substitutiv, ou sej, MF. 2 PS + 3 P 2 ou MF. 2 P PS 5 5 no cso, o vlor esquerd n primeir linh, ser pr o luno que perdeu primeir prov, vlor direit n primeir linh, ser pr o luno que perdeu segund prov. SOMENTE poder fzer prov substitutiv o luno que perdeu um ds dus provs do item (1.13). Pr ser considerdo provdo n disciplin ministrd pelo professor Wgner, medi do luno n disciplin, pos prov substitutiv, dever ser mior ou igul 5, 0 e su frequ^enci ser mior ou igul 70%, ou sej: 5, 0 MF e 70% F. Observção O conteudo d prov substitutiv ser todo o conteudo desenvolvido durnte disciplin ministrd pelo professor Wgner. Outrs informc~oes sobre o item cim podem ser encontrds no seguinte endereco d web:

10 10 CAPITULO 1. AVISOS GERAIS SOBRE A DISCIPLINA 1.15 Dts ds vlições, prov substitutiv e de recuperção d disciplin As dts ds provs d disciplin SMA308 - Anlise II ser~o: As dts ds provs d disciplin ser~o: 1. Prov: 30 de setembro - 3.-feir 2. Prov: 27 de novembro - 5.-feir Prov Substitutiv: 4 de dezembro - 5.-feir Outrs informc~oes sobre os itens cim podem ser encontrds no seguinte endereco d web: Gbritos ds provs d disciplin Os gbritos ds provs d disciplin SMA308 - Anlise II, que ser~o plicds durnte o desenvolvimento d mesm, estr~o disposic~o dos lunos, logo pos s mesms terem sido plicds, e se encontrr~o no seguinte endereco d web: Trncmento d disciplin A dt mxim pr o trncmento d disciplin SMA308 - Anlise II e 26 de gosto. Procure sec~o de grduc~o d su unidde pr miores esclrecimentos de como proceder o trncmento Números de uls O numero totl de uls serem ministrds, ser~o de 29/26 uls, sendo que 3 dests ser~o destinds s vlic~oes.

11 1.19. CALEND ARIO USP Clendário USP O incio do 2.o semestre ser no di 4 de gosto e o termino do mesmo ser no di 6 de dezembro. N~o hver ul nos seguintes dis/semns: 15 de gosto - Ferido em S~o Crlos 8 13 de setembro - Semn d Ptri 12 outubro - Di d Pdroeir do Brsil, Noss Senhor Aprecid 27 e 28 de outubro - Consgrc~o o Funcionrio Publico 2 de novembro - Findos 4 de novembro - Aniversrio d cidde de S~o Crlos 15 de novembro - Proclmc~o d Republic Outrs informc~oes sobre os dois itens cim podem ser encontrds no seguinte endereco d web: USP Jupiterweb 1.20 Observções finis

12 12 CAPITULO 1. AVISOS GERAIS SOBRE A DISCIPLINA

13 Cpítulo 2 Introdução O objetivo dests nots e ser um texto de poio pr disciplin SMA308 - Anlise II, que trt, em um primeir prte, de conceitos relciondos com integrl de Riemnn e Riemnn-Stieltjes de func~oes de um vrivel rel vlores reis ou vlores vetoriis, proprieddes ds mesms, relc~oes entre ests e plicc~oes. Em um segund etp, ser~o estuddos topicos relciondos com sequ^enci e series de func~oes; estudo d converg^enci pontul ou uniforme, proprieddes e plicc~oes. Em um terceir etp trtremos d continuidde, diferencibilidde de func~oes de vris vriveis reis vlores reis ou vetoriis, proprieddes e plicc~oes. Finlizndo com enunciremos, provremos e plicremos os Teorems d func~o implcit e d func~o invers pr func~oes de vris vriveis reis vlores reis ou vetoriis. Iniciremos xndo notc~o dos elementos que ser~o utilizdos o longo ds nots. Notção N. {1, 2, 3, } Z. {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Q. { } p q ; p, q Z, q 0 I. {x pq } ; pr todo p, q Z, q 0 R. Q I (conjunto dos numeros nturis) (conjunto dos numeros inteiros) (conjunto dos numeros rcionis) (conjunto dos numeros irrcionis) (conjunto dos numeros reis) 13

14 14 CAPITULO 2. INTRODUC ~AO

15 Cpítulo 3 A Integrl de Riemnn-Stieltjes Neste cptulo introduziremos integrl de Riemnn-Stieltjes de um func~o denid em um intervlo fechdo e limitdo, vlores reis. Pr isto relembrremos o conceito de supremo e nmo em R e lgums proprieddes relcionds com estes conceitos. 3.1 Supremo e ínfimo de subconjuntos de R Comecremos pelos importntes conceitos estuddos no curso de Anlise I: supremo de nmo de "certos" subconjuntos de R. Definição Diremos que o subconjunto E R e limitdo superiormente em R, se existir β R tl que e β, pr cd e E. Neste cso, o numero rel β ser dito limitnte superior do conjunto E. De modo semelhnte, diremos que o subconjunto F R e limitdo inferiormente em R, se existir α R tl que α f, pr cd f F. Neste cso, o numero rel α ser dito limitnte inferior do conjunto F. Diremos que o subconjunto A R e limitdo em R, se for limitdo superiormente e inferiormente, isto e, se existirem α, β R tis que Notemos que α β, pr cd A. Proposição Sej E R. O conjunto E ser limitdo em R se, e somente se, existe γ R tl que γ e γ, pr cd e E. 15

16 16 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES Demonstrção: Foi vist no curso de Anlise I e ser deixd como exerccio pr o leitor. Temos os: Exemplo Sej E. [2, ) R. Ent~o o conjunto E e limitdo inferiormente em R. Resolução: De fto, pois qulquer α (, 2] ser um limitnte inferior do conjunto E, ms não e limitdo superiormente em R. Exemplo Sej E. (, ) 2 Q R. Ent~o o conjunto E e limitdo superiormente. Resolução: De fto, pois qulquer [ ) β 2, e um limitnte superior do conjunto E, ms não e limitdo inferiormente em R. Exemplo Sej E. Ent~o o conjunto E e limitdo em R. ( 1, ) 2 R. Resolução: De fto, o conjunto E e limitdo superiormente, pois qulquer [ ) β 2, er um limitnte superior do conjunto E e e limitdo inferiormente em R, pois qulquer α (, 1] ser um limitnte inferior do conjunto E. Com isto podemos introduzir : Definição Sej E R um conjunto n~o vzio e limitdo superiormente em R. Suponhmos que exist α R, que t^em s seguintes proprieddes:

17 3.1. SUPREMO E INFIMO DE SUBCONJUNTOS DE R α e um limitnte superior do conjunto E; 2. se γ R stisfz γ < α, ent~o γ n~o ser limitnte superior do conjunto E. Neste cso diremos que o numero rel α e o supremo do conjunto E, e ser denotdo por sup(e), isto e, sup(e). α. Observção A denic~o cim nos diz que o numero rel α e o menor limitnte superior do conjunto E (se existir). De modo semelhnte temos : Definição Sej F R um conjunto n~o vzio e limitdo inferiormente em R. Suponhmos que exist β R, que t^em s seguintes proprieddes: 1. β e um limitnte inferior do conjunto F; 2. se γ R stisfz γ > β, ent~o γ n~o ser limitnte inferior do conjunto F. Neste cso diremos que o numero rel β e o ínfimo do conjunto F, e ser denotdo por inf(f), isto e, inf(f). β. Observção A denic~o cim nos diz que o numero rel β e o mior limitnte inferior do conjunto F (se existir). Exemplo Sej Ent~o E. (0, 1] R. sup(e) 1 e inf(e) 0. Resolução: Notemos que o conjunto formdo por todos os limitntes superiores do conjunto E ser o seguinte subconjunto de R: LS. [1, ). Assim o menor limitnte superior ser 1, ou sej, sup(e) 1.

18 18 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES Por outro ldo, o conjunto formdo por todos os limitntes inferiores do conjunto E ser o seguinte subconjunto de R: LI. (, 0]. Assim o mior limitnte inferior ser 0, ou sej, inf(e) 0. Temos um modo equivlente Denic~o de supremo (isto e, Denic~o (3.1.2)) que e dd pelo: Observção Notemos que, no Exemplo cim, tem-se: sup(e) E e inf(e) E. Temos gor o seguinte importnte resultdo: Teorem Sej E R um conjunto n~o vzio e limitdo superiormente em R. Ent~o α sup(e) se, e somente se, 1' α e limitnte superior do conjunto E; 2' ddo ε > 0, podemos encontrr e E, de modo que α ε < e α. Demonstrção: Foi vist no curso de Anlise I e ser deixd como exerccio pr o leitor. Temos um resultdo nlogo o cim pr o nmo, sber: Teorem Sej F R um conjunto n~o vzio e limitdo inferiormente em R. Ent~o β inf(f) se, e somente se, 1' β e limitnte inferior do conjunto F; 2' ddo ε > 0, podemos encontrr f F, de modo que β f < β + ε. Demonstrção: Foi vist no curso de Anlise I e ser deixd como exerccio pr o leitor. Antes de prosseguir temos o seguinte resultdo sobre exist^enci do supremo (respectivmente, nimo) de um conjunto limitdo superiormente (respectivmente, inferiormente):

19 3.1. SUPREMO E INFIMO DE SUBCONJUNTOS DE R 19 Teorem Todo subconjunto de R, n~o vzio e limitdo superiormente (respectivmente, inferiormente) em R, possui supremo (respectivmente, nmo) em R. Demonstrção: A demonstrc~o deste resultdo pode ser encontrd em [1] pgin 8. Como consequ^enci temos o Corolário Todo subconjunto de R, n~o vzio e limitdo em R, possui supremo e nmo em R. Pr nlizr est sec~o temos o seguinte resultdo importnte relciondo com operc~oes de supremo e nmo de subconjuntos de R que s~o limitdos superiomente e inferiormente, respectivmente: Teorem Sejm c R, E 1, E 2 R subconjuntos, n~o vzios e limitdos superiormente em R e F 1, F 2 R subconjuntos, n~o vzios e limitdos inferiormente em R. Ent~o: 1. Se E 1 E 2, ent~o 2. Se F 1 F 2, ent~o sup(e 1 ) sup(e 2 ). inf(f 1 ) inf(f 2 ). 3. o conjunto. E 1 + E 2 {e1 + e 2 ; e 1 E 1 e e 2 E 2 } e limitdo superiormente em R e sup(e 1 ) + sup(e 2 ) sup(e 1 + E 2 ). 4. o conjunto F 1 + F 2 e limitdo inferiormente em R e inf(f 1 ) + inf(f 2 ) inf(f 1 + F 2 ). 5. Se E 1, E 2 [0, ), ent~o o conjunto. E 1 E 2 {e1 e 2 ; e 1 E 1 e e 2 E 2 } e limitdo superiormente em R e sup(e 1 E 2 ) sup(e 1 ) sup(e 2 ). 6. Se F 1, F 2 [0, ), ent~o o conjunto F 1 F 2 e limitdo superiormente em R e inf(f 1 F 2 ) inf(f 1 ) inf(f 2 ).

20 20 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 7. Se c > 0, ent~o o conjunto. c E 1 {c e1 ; e 1 E 1 } e limitdo superiormente em R e sup(c E 1 ) c sup(e 1 ). 8. Se c < 0, ent~o o conjunto c E 1 e limitdo inferiormente em R e inf(c E 1 ) c sup(e 1 ). 9. Se c > 0, ent~o o conjunto c F 1 e limitdo inferiormente em R e inf(c F 1 ) c inf(f 1 ). 10. Se c < 0, ent~o o conjunto c F 1 e limitdo superiormente em R e sup(c F 1 ) c inf(f 1 ). Demonstrção: Foi vist no curso de Anlise I e ser deixd como exerccio pr o leitor. Como consequ^enci dos itens 8. e 10. d Proposic~o cim temos o: Corolário Sej A R subconjunto n~o vzio e limitdo em R. Ent~o o conjunto A. { ; A} tmbem e um subconjunto limitdo de R e lem disso sup( A) inf(a) e inf( A) sup(a). Demonstrção: A demonstrc~o deste ser deixd como exerccio pr o leitor. 2. ul A integrl de Riemnn-Stieltjes Pr introduzir integrl de Riemnn-Sieltjes de um func~o, vlores reis, limitd e denid em um intervlo limitdo e fechdo de R precisremos d:

21 3.2. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 21 Definição Consideremos [, b] R o intervlo limitdo e fechdo de R. Sejm x o, x 1,, x n [, b] tis que x o. < x1 < x 2 < < x n 1 < x n. b. O conjunto P. {x o, x 1,, x n } ser dito prtição do intervlo [, b]. Pr cd i {1, 2,, n}, denotremos o comprimento do intervlo [x i 1, x i ] por: Temos tmbem Definição Sej f : [, b] R um func~o limitd. Dd um prtic~o P. {x o, x 1,, x n } do intervlo [, b], pr cd i {1, 2,, n}, denmos x i. xi x i 1. (3.1). M i sup f(x), (3.2) x [x i 1,x i ]. m i inf f(x) (3.3) x [x i 1,x i ] (como func~o f e limitd em [, b] segue que existem os supremos e nmos cim) e U(P, f). L(P, f). n M i x i, (3.4) i1 n m i x i, (3.5) i1 denominds som superior, respectivmente, som inferior, sobre prtic~o P ssocid func~o f. Observção Notemos que: 1. Como segue que m i M i, pr cd i {1, 2,, n}, L (P, f) U(P, f). (3.6) 2. Denotemos por P, colec~o formd por tods s prtic~oes do intervlo [, b].

22 22 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 3. Se ent~o ou sej, m (b ) n i1 x i m. n m x i i1 inf f(x), (3.7) x [,b] m m i M i, em cd [x i 1,x i ] (3.4) U(P, f), n M i x i i1 m (b ) U(P, f). (3.8) Logo, podemos concluir, que o subconjunto {U(P, f) ; P P} e limitdo inferiormente em R (pois, o numero rel m (b ) e um limitnte inferior do conjunto cim). Logo o conjunto cim possui nmo em R, ou sej, existe inf U(P, f) R. P P 4. Por outro ldo, se ent~o ou sej, L(P, f) M. sup f(x) (3.9) x [,b] n m i x i i1 m i M i, em cd [x i 1,x i ] n M i x i i1 M i M, pr cd i {1,2,,n} M n M x i i1 n x i M(b ), i1 b L(P, f) M(b ). (3.10)

23 3.2. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 23 Logo, podemos concluir, que o subconjunto {L(P, f) ; P P} e limitdo superiormente em R (pois, o numero rel M(b ) e um limitnte superior do conjunto cim). Logo, o conjunto cim possui supremo em R, ou sej, existe Com isto podemos introduzir : sup L(P, f) R. P P Definição N situc~o cim, denimos integrl superior de Riemnn d func~o f no intervlo [, b], que ser indicd por f(x) dx, com o sendo: f(x) dx. inf U(P, f) (3.11) P P e denimos integrl inferior de Riemnn d func~o f no intervlo [, b], que ser indicd por Se f(x) dx, com o sendo: f(x) dx. sup L(P, f). (3.12) P P f(x) dx f(x) dx, diremos que func~o f e Riemnn integrável em [, b] e o vlor comum cim, ser dito integrl de Riemnn d func~o f no intervlo [, b] e ser indicd por ou sej, Denotremos por f(x) dx f(x) dx R([, b]), f(x) dx, f(x) dx. (3.13) ou simplesmente por R (omitindo o intervlo fechdo e limitdo [, b]), o conjunto formdo por tods s func~oes, vlores reis, que s~o Riemnn integrveis no intervlo [, b]. Observção 3.2.2

24 24 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES Quest~o: se f : [, b] R e um func~o limitd ent~o f R([, b])? A respost est quest~o e negtiv. Pr ver isto, notemos que func~o f : [0, 1] R, dd por: f(x). { 0, pr x Q [0, 1] 1, pr x I [0, 1] e um func~o limitd no intervlo [0, 1], ms não e um func~o Riemnn integrvel em [0, 1]. De fto, sej P. {0 x o, x 1,, x n 1} um prtic~o do intervlo [0, 1]. Com isto, teremos que e ssim e Logo, Portnto. M i sup f(x) I [0,1] 1, (3.14) x [x i 1,x i ]. m i inf f(x) Q [0,1] 0 (3.15) x [x i 1,x i ] U(P, f). L(P, f). n M i x i i1 (3.14) n x i 1 0 1, (3.16) i1 n m i x i i1 (3.15) n 0 x i 0. (3.17) i1 f(x) dx. (3.16) inf U(P, f) 1 (3.18) P P f(x) dx. sup L(P, f) (3.17) 0. (3.19) P P f(x) dx (3.18) 1 0 (3.19) ou sej, func~o f n~o e Riemnn integrvel em [0, 1]. f(x) dx, N verdde trtremos de situc~oes mis geris que integrl de Riemnn em intervlos fechdos e limitdos de R, como veremos, seguir.

25 3.2. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 25 Sej α : [, b] R um func~o monoton crescente em [, b], isto e, α(x) α(y), pr x y, com x, y [, b]. Observemos que, sendo func~o α monoton crescente, deveremos ter < α() α(x) α(b) <, pr cd x [, b], ou sej, func~o α ser limitd em [, b]. Dd um prtic~o P. {x o, x 1,, x n } do intervlo [, b], pr cd i {1, 2,, n}, denmos α i. α(xi ) α(x i 1 ). (3.20) Notemos que, func~o α, sendo monoton crescente, implicr em α i 0, pr cd i {1, 2,, n}. Dd um func~o limitd f : [, b] R denmos U(P, f, α). L(P, f, α). onde, pr cd i {1, 2,, n}, os numeros reis s~o ddos por (3.2) e (3.3), respectivmente. Observção n M i α i, (3.21) i1 n m i α i, (3.22) i1 M i, m i 1. Notemos que, n situc~o cim, teremos: L(P, f, α) U(P, f, α), (3.23) m [α(b) α()] U(P, f, α), (3.24) L(P, f, α) M [α(b) α()], (3.25) onde m e M, s~o ddos por (3.7) e (3.9), respectivmente. Ests desigulddes seguem do fto que, pr cd i {1, 2,, n}, teremos: m m i M i M e que n α i α(b) α(). i1

26 26 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 2. De (3.24) segue que o subconjunto {U(P, f, α) ; P P}, e limitdo inferiormente em R, logo dmite nmo em R, isto e, existe inf U(P, f, α) R. (3.26) P P 3. De modo semelhnte, de (3.25) segue que o subconjunto {L(P, f, α) : P P} (3.27) e limitdo superiormente em R, logo dmite supremo em R, isto e, existe sup L(P, f, α) R. P P Definição N situc~o cim, (3.26) ser denomindo de integrl superior de Riemnn-Stieltjes d func~o f em [, b], reltivmente func~o α e ser denotd por f dα, ou sej, f dα. inf U(P, f, α). (3.28) P P De modo nlogo, (3.27) ser denomindo integrl inferior de Riemnn-Stieltjes d func~o f em [, b], reltivmente func~o α e ser denotd por f dα, ou sej, Se f dα. sup L(P, f, α). (3.29) P P f dα f dα, diremos que func~o f e Riemnn-Stieltjes integrável em [, b], reltivmente func~o α e o vlor comum ds integris cim ser denomindo integrl de Riemnn -Stieltjes d func~o f em [, b], reltivmente func~o α e indicd por e, Observção f dα. f dα f dα, isto f dα. (3.30)

27 3.2. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES Tmbem poderemos utilizr s seguintes notc~oes, pr s integris de Riemnn- Stieltjes: f(x) dα(x). f(x) dα(x). f(x) dα(x). f dα, (3.31) f dα, (3.32) f dα. (3.33) 2. Denotremos o conjunto formdo por tods s func~oes vlores reis, limitds denids no intervlo [, b] que s~o Riemnn-Stieltjes integrveis reltivmente func~o α por R(α). 3. Se α : [, b] R e dd por α(x). x, pr cd x [, b], segue que integrl de Riemnn-Stieltjes, reltivmente func~o α, coincide com integrl de Riemnn, ou sej, pois f dα α i x i. f(x) dx, 4. Notemos que func~o α : [, b] R so precis ser monoton crescente em [, b], pr podermos denir integrl de Riemnn-Stieltjes de um func~o f : [, b] R limitd, reltivmente func~o α. 5. Vmos supor, dqui em dinte, que α(b) > α(), pois, cso contrrio, func~o α seri constnte em [, b] e pouco serviri pr o estudo d integrl de Riemnn-Stieltjes de um func~o vlores reis, limitd e denid em um intervlo [, b]. A seguir pssremos investigr em que situc~oes existe integrl de Riemnn-Stieltjes, reltivmente func~o α, pr um func~o limitd, vlores reis f, denid no intervlo [, b]. Pr isto precisremos d: Definição Sejm P e P, dus prtic~oes do intervlo [, b] (isto e, P, P P). Diremos que prtic~o P e um refinmento d prtição P, se P P, ou sej, todo ponto d prtic~o P e um ponto d prtic~o P.

28 28 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES Observção Sejm P 1 e P 2 dus prtic~oes do intervlo [, b] (isto e, P 1, P 2 P). Denmos P. P1 P 2. (3.34) Ent~o P ser um renmento de mbs s prtic~oes P 1 e P 2, e ser denomind refinmento comum ds prtic~oes P 1 e P 2. Com isto temos o: Proposição Sejm P e P prtic~oes do intervlo [, b] onde prtic~o P e um renmento d prtic~o P do intervlo [, b]. Ent~o vlem: L(P, f, α) L(P, f, α) (3.35) U(P, f, α) U(P, f, α). (3.36) Demonstrção: 3. ul Suponhmos que Notemos que se P. { x o, x 1,, x n 1, x n b}, (3.37) P. { x o, x 1,, x m 1, x m b}. (3.38) P P, nd teremos fzer e, neste cso, s desigulddes (3.35) e (3.36) cim, ser~o igulddes. Logo podemos supor que P P e existe x P \ P. (3.39) Consideremos, primeirmente, o cso (prticulr) que P P {x }. Logo, de (3.39), segue que existe i o {1, 2,, n} tl que x io 1 < x < x io, ou sej, pr cd j {1, 2,, n + 1}, teremos (vej gur bixo): x j, pr j {0, 1,, i o 1} x j x, pr j i o x j 1, pr j {i o + 1, i o + 2,, n + 1}. (3.40) x i o 2 x io 2 x i o 1 x io 1 x x io x i o x io+1 x i o+1 x io+2

29 3.2. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 29 Pr cd j {1, 2,, n + 1}, denotemos por α j m j. α ( ) ( ) x j α x j 1 (3.41). inf f(x). (3.42) x [x j 1,x j ] Notemos que, pr cd j {1, 2,, n + 1}, teremos m j, se j {1,, i o 1} inf f(x), se j i m x [x j i o 1,x o ] inf f(x), se j i o + 1 x [x,x i o ] m j 1, se j {i o + 2, i o + 3,, n + 1}. (3.43) e α j, se j {1, 2,, i o 1} ou j {i o + 2, i o + 3,, n} α j α (x ) α (x io 1), se j i o α (x io ) α (x ), se j i o + 1 Observemos tmbem que (vej gur cim): m io inf f(x) x [x io 1,x io ]. (3.44) m io [x io 1,x io] [x io 1,x io ] inf x [x i o 1,x i o ] f(x) [x io,x io+1] [x i o 1,x i o ] (3.42) inf f(x) m i o, (3.45) x [x io 1,x io] (3.42) inf f(x) m i o +1. (3.46) x [x io,x io+1] Logo n+1 L(P, f, α) L(P, f, α) m j α j n+1 j1,j i o,i o +1 j1 m j (3.43) m j ou m j 1 n m i α i i1 α j + m i o α i o + m i o+1 α i o+1 n m i α i i1 m i o α i o + m i o +1 α i o +1 m io α io m i o [α(x ) α(x io 1)] + m i o+1 [α(x io ) α(x )] m io [α(x io ) α(x io 1)] [m i o m io ] (3.45) 0 [α(x ) α(x io 1)] α e mon. cresc. e x x i o [m i o+1 m io ] (3.46) 0 [α(x io ) α(x )] α e mon. cresc. e x i o x 0 0,

30 30 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES ou sej, L(P, f, α) L(P, f, α) 0, completndo demonstrc~o de (3.35). Se prtic~o P possui mis pontos (no mximo, ser um numero nito de pontos mis que prtic~o P) repetimos o rgumento cim um numero nito de vezes pr obter (3.35). A demonstrc~o d desiguldde (3.36) e nlog e su elborc~o ser deixd como exerccio pr o leitor. Como consequ^enci segue o: Teorem Sej f : [, b] R um func~o limitd em [, b]. Ent~o f dα f dα. (3.47) Demonstrção: Sejm P 1 e P 2 dus prtic~oes do intervlo [, b] e consideremos prtic~o P, o renmento comum ests dus prtic~oes, isto e, D Proposic~o (3.2.1) cim, segue que ou sej, P P 1 P 2. L(P 1, f, α) P 1 P e (3.35) L (P, f, α) (3.23) U(P, f, α) P 2 P e (3.36) U(P 2, f, α), L(P 1, f, α) U(P 2, f, α). Portnto, o numero rel U(P 2, f, α) e um limitnte superior pr o conjunto {L(P 1, f, α) ; P 1 P}. Logo, existe sup L(P 1, f, α) e, lem disso, teremos: P 1 P sup L(P 1, f, α) U(P 2, f, α). P 1 P D desiguldde cim, segue que o numero rel sup L(P 1, f, α) e um limitnte inferior P 1 P do conjunto {U(P 2, f, α) ; P 2 P}. Logo, existe inf P 2 P U(P 2, f, α) e, lem disso, teremos: sup L(P 1, f, α) inf U(P 2, f, α), P 1 P P 2 P f dα f dα

31 3.2. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 31 ou sej, f dα f dα, completndo demonstrc~o do resultdo. Com este resultdo podemos obter um outr crcterizc~o equivlente pr os elementos de R(α) em [, b], mis precismente: Corolário Sej f : [, b] R um func~o limitd em [, b]. f R(α) em [, b] se, e somente se, ddo ε > 0, existe um prtic~o P P tl que 0 U(P, f, α) L(P, f, α) < ε. (3.48) Demonstrção: Suponhmos que (3.48) ocorre e mostremos que f R(α). Pr isto, observemos que se P P ent~o L(P, f, α) sup L(P, f, α) P P f dα (3.47) f dα inf P P U(P, f, α) U(P, f, α). (3.49) Logo, ddo ε > 0, por hipotese, existe um prtic~o P P tl que 0 f dα f dα (3.49) Hipotese (3.48) U(P, f, α) L(P, f, α) < ε, (3.50) ou sej, pr todo ε > 0, mostrndo que 0 f dα f dα < ε, f dα f dα 0, ou sej, f dα f dα, isto e, func~o f e Riemnn-Stieltjes integrvel em [, b], reltivmente func~o α, ou ind, f R(α). Por outro ldo, se f R(α), ddo ε > 0, ds denic~oes de supremo e nmo, segue que existem prtic~oes P 1, P 2 P do intervlo [, b], tis que U(P 2, f, α) Teor. (3.1.1) < f dα f dα f dα + ε 2 f dα + ε 2,

32 32 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES e o que implicr~o em: L(P 1, f, α) Teor. (3.1.2) > f dα f dα f dα ε 2 f dα ε 2, 0 U(P 2, f, α) < 0 f dα + ε 2, (3.51) f dα < ε 2 + L(P 1, f, α). (3.52) Consideremos prtic~o P do intervlo [, b], que e o renmento comum ds prtic~oes P 1 e P 2, isto e, P P 1 P 2. Com isto teremos: ou sej, U(P, f, α) (3.36) U(P 2, f, α) (3.51) < (3.52) < f dα + ε 2 [ ε 2 + L(P 1, f, α)] + ε 2 L(P 1, f, α) + ε (3.35) L(P, f, α) + ε, U(P, f, α) L(P, f, α) < ε, isto e, (3.48), completndo demonstrc~o do resultdo. Temos lguns outros resultdos semelhntes que s~o ddos pelo: Teorem Temos que: 1. Se (3.48) ocorrer pr um prtic~o P P do intervlo [, b] e, pr ε > 0, ent~o (3.48) tmbem ocorrer trocndo-se prtic~o P do intervlo [, b], por um outr prtic~o do intervlo [, b], que sej um renmento d mesm (com o mesmo ε > 0). 2. Se (3.48) ocorrer pr prtic~o P. { x o, x 1,, x n 1, x n } do intervlo [, b] e, pr cd i {1, 2,, n}, escolhermos s i, t i [x i 1, x i ],

33 3.2. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 33 ent~o n f (s i ) f (t i ) α i < ε. (3.53) i1 3. Se f R(α) em [, b], prtic~o P do intervlo [, b] e como no item cim e, pr cd i {1, 2,, n}, escolhermos ent~o teremos t i [x i 1, x i ], n f(t i ) α i i1 f dα < ε. (3.54) Demonstrção: Suponhmos que vle (3.48) pr prtic~o P do intervlo [, b]. De 1.: Se prtic~o P do intervlo [, b] e um renmento d prtic~o P ent~o, de (3.35) e (3.36), segue que o que implicr em U(P, f, α) U(P, f, α) e L(P, f, α) L(P, f, α), U(P, f, α) L(P, f, α) U(P, f, α) L(P, f, α) (3.48) < ε, completndo demonstrc~o do item 1.. De 2.: Sbemos que, pr cd i {1, 2,, n}, escolhendo-se teremos o que implicr em Portnto n i1 (3.55) f(s i ) f(t i ) α i s i, t i [x i 1, x i ], f (s i ), f (t i ) [m i, M i ], f (s i ) f (t i ) M i m i. (3.55) n (M i m i ) α i i1 n M i α i i1 completndo demonstrc~o do item 2.. De 3.: n m i α i i1 (3.21) e (3.22) U(P, f, α) L(P, f, α) (3.48) < ε, (3.56)

34 34 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES Como f R(α), do Corolrio (3.2.1) segue que, ddo ε > 0, existe um prtic~o P do intervlo [, b] tl que Sbemos que, pr cd i {1, 2,, n}, escolhendo-se U(P, f, α) L(P, f, α) < ε 2. (3.57) t i [x i 1, x i ], teremos f(t i ) [m i, M i ], o que implicr em L(P, f, α) (3.21) n m i α i i1 m i f(t i ) f(t i ) M i n f(t i ) α i i1 n M i α i i1 (3.22) U(P, f, α) (3.57) < L(P, f, α) + ε 2, em prticulr, L(P, f, α) ε 2 < L(P, f, α) n i1 f(t i ) α i < L(P, f, α) + ε 2, ou sej, Por outro ldo, d denic~o n f(t i ) α i L(P, f, α) < ε 2. (3.58) i1 L(P, f, α) ε 2 < L(P, f, α) f dα f dα f dα U(P, f, α) (3.57) < L(P, f, α) + ε 2. em prticulr, teremos L(P, f, α) ε 2 < L(P, f, α) f dα < L(P, f, α) + ε 2.

35 3.2. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 35 ou sej, Portnto n f(t i ) α i i1 L(P, f, α) f dα < ε 2. (3.59) f dα n f(t i ) α i L(P, f, α) + L(P, f, α) f dα i1 (3.58) < ε 2 (3.59) < ε 2 < ε 2 + ε 2 ε, (3.60) completndo demonstrc~o do item 3.. Com estes resultdos podemos demonstrr o: Teorem C([, b] ; R) R(α) em [, b]. Demonstrção: Lembremos que estmos supondo que α(b) > α(). Ddo ε > 0, escolhmos η > 0, de modo que η < ε α(b) α(). (3.61) Como f C([, b]; R), segue que func~o f ser uniformemente continu em [, b] (pois [, b] e um subconjunto compcto de R). Logo, existir δ δ(ε) > 0, de modo que pr x, t [, b], stisfzendo x t < δ, teremos f(x) f(t) < η. (3.62) Consideremos um prtic~o P. { x o, x 1,, x n 1, x n b} do intervlo [, b] de modo que, pr cd i {1,, n}, tenhmos x i x i x i 1 < δ. (3.63) Notemos que, pr cd i {1, 2,, n}, como func~o f e contnu em [, b] (em prticulr, em [x i 1, x i ] que e compcto em R), segue que existem s i, t i [x i 1, x i ] tl que f(t i ) m i e f(s i ) M i, (3.64) ou sej, func~o f ssume o mximo e o mnimo bsolutos em [x i 1, x i ], pr cd i {1, 2,, n}.

36 36 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES Com isto teremos Assim, teremos M i m i f(s i ) f(t i ) U(P, f, α) L(P, f, α) s i t i x i x i 1 (3.63) < δ e (3.62) < η. (3.65) < η n M i α i i1 n i1 (M i m i ) n m i α i i1 M i m i (3.65) < η n α i i1 η (3.61) ε < α(b) α() α i [α(b) α()] < ε. (3.66) Portnto, pelo Corolrio (3.2.1), segue que f R(α) em [, b], completndo demonstrc~o do resultdo. Temos tmbem o: Teorem Suponhmos que func~o f : [, b] R e monoton em [, b] e que func~o α : [, b] R sej monoton crescente e contnu em [, b]. Ent~o f R(α), em [, b]. Demonstrção: 4. ul Lembremos, um vez mis, que estmos supondo α(b) > α(). Vmos exibir demonstrc~o pr o cso em que func~o f ser monoton crescente em [, b]. A demonstrc~o pr o cso em que func~o f e monoton decrescente em [, b] e semelhnte e ser deixd como exerccio pr o leitor. Podemos supor, sem perd de generlidde, que f() < f(b), cso contrrio func~o f ser constnte (logo contnu em [, b]) e, do Teorem (3.2.3) cim, teremos que f R(α) em [, b]. Ddo ε > 0, pr cd N N, escolhmos um prtic~o P N. { xo, x 1,, x N b}

37 3.2. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 37 do intervlo [, b], de modo que [f(b) f()] α(b) α() ε α i α(x i ) α(x i 1 ) < N, (3.67) α(b) α() N. (3.68) Podemos relmente escolher tl prtic~o pois, (3.67) e sempre possvel de se obter. Por outro ldo, pr se obter (3.68), teremos um pouco mis de trblho. Pr isto, observemos que Alem disso, temos que α(x o ) α() α(b) α() < α(x o ) +. (3.69) }{{ N } α() α(b)>α() > 0 (N 1) α() α()<α(b) < (N 1) α(b), ou sej, N α() α() < N α(b) α(b), ou ind, N α() + α(b) α() < N α(b), ou sej, que, juntmente com (3.69), implicr que α() < α(x o ) + α(b) α() α() + N α(x o ) α(b) α() N < α(b), < α(b). (3.70) Como func~o α e contnu em [, b], segue do Teorem do Vlor Intermedirio, que existe um menor x 1 [, b] (por que existe um menor?), tl que α(b) α() α(x 1 ) α() +. (3.71) N α(x o) Como func~o α e monoton crescente em [, b] e (3.70), segue que x o < x 1 < b. Se considerremos e com isto, de (3.72), teremos α(x 1 ) + α(b) α() N x 2. b α(b), (3.72) α(x 2 ) α(x 1 ) α(b) α(x 1 ) (3.72) α(b) α(), N

38 38 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES e conclumos construc~o d prtic~o P do intervlo [, b], stisfzendo (3.68). Cso contrrio, isto e, se α(x 1 ) < α(x 1 ) + α(b) α() N < α(b), (3.73) como func~o α e contnu em [x 1, b], segue, novmente, do Teorem do Vlor Intermedirio, que existe um menor x 2 [x 1, b], tl que α(x 2 ) α(x 1 ) + α(b) α() N Como func~o α e monoton crescente em [, b], segue que Com isto teremos x o < x 1 < x 2 b.. α(x o ) < α(x 1 ) < α(x 2 ) α(b). (3.74) Repetindo o rgumento cim um numero nito de vezes (devido compcidde do α(b) α() intervlo [, b] e o fto que > 0), obteremos prtic~o P stisfzendo (3.68). N Cso o numero de pontos x i, obtidos n construc~o cim, sej menor que o vlor N, crescentmos mis pontos (um numero nito) te obtermos um prtic~o do intervlo [, b], que tenh N pontos e que, por construc~o, ind ir stisfzer (3.67) e (3.68). Como func~o f e monoton crescente segue que, pr cd i {1, 2,, N}, teremos Deste modo, segue que U(P, f, α) L(P, f, α) m i f(x i 1 ) e M i f(x i ). (3.75) N i1 M i (3.75) f(x i ) α i N [f(x i ) f(x i 1 )] i1 α(b) α() N [f(b) f()] N i1 m i (3.75) f(x i 1 ) α i (3.68) α(b) α() N N [f(x i ) f(x i 1 )] i1 } {{ } f(b) f() α(b) α() N α i (3.67) < ε. (3.76) Portnto, pelo Corolrio (3.2.1), segue que f R(α) em [, b], completndo demonstrc~o do resultdo. Um outro resultdo interessnte e ddo pelo:

39 3.2. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 39 Teorem Sejm f : [.b] R um func~o limitd em [, b], que possui somente um numero nito de pontos de descontinuidde e α : [, b] R um func~o monoton crescente que e contnu em todos os pontos onde func~o f e descontnu. Ent~o f R(α) em [, b]. Demonstrção: Sej E [, b] o conjunto formdo por todos os pontos onde func~o f e descontnu (o conjunto E e nito, por hipotese). Como func~o f e limitd em [, b], segue que existe M. sup f(x). x [,b] Ddo ε > 0 como, por hipotese, E e um conjunto nito e func~o α e contnu em cd um dos pontos de E, podemos cobrir o conjunto E, com um numero nito de intervlos fechdos, limitdos e disjuntos, que denotremos por de modo que [u j, v j ] [, b], pr cd j {1, 2,, m}, m [α(v j ) α(u j )] < j1 De fto, suponhmos que (vej gur bixo) E {y 1, y 2,, y m } [, b], ε 4 M. (3.77) com y j 1 < y j, pr cd j {1, 2,, m}. u j y j v j b func~o f e desconnu Vmos considerr o cso em que m 2 e < y 1 < y m < b. Os outros cso ser~o deixdos como exerccio pr o leitor ( sber, m 1 ou y 1 e/ou y m b). Observemos que, pr cd j {1, 2,, m}, como func~o α e contnu em cd y j, existe δ j > 0, tl que pr x y j < δ j, deveremos ter α(x) α(y j ) < ε 8 M m. (3.78)

40 40 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES Sej δ. { δj min 2, y j y j 1, y 1, b y } m ; pr j {1, 2,, m} > 0. (3.79) Pr cd j {1, 2,, m}, consideremos Notemos que u j. yj δ e v j. yj + δ. (3.80) ou sej, y δ δ (3.79) y 2 y 1 4 y 1 + y 2 y 1 2 y 1 + y 2 2 y 1 <y 2 < y 2 + y 2 2 y 2, v 1 (3.80) y 1 + δ +δ δ (y δ) δ <y 2 < y 2 δ (3.80) u 2. De modo nlogo, podemos mostrr (por induc~o sobre j {1, 2,, m 1}) que, pr cd j {1, 2,, m 1}, teremos v j < u j+1, ou sej, < u j (3.80) < v j < u j+1 (3.80) < v j+1 < b. (3.81) Deixremos demonstrco deste fto como exerccio pr o leitor. Logo, ds desigulddes (3.81) cim, pr j {1, 2,, m 1}, segue que os intervlos [u j, v j ] [, b] s~o disjuntos. Notemos tmbem que, pr cd j {1, 2,, m}, teremos: o que implicr, por (3.78), que m [α (v j ) α (u j )] j1 m v j y j u j y j (3.80) δ (3.79) [α(v j ) α(y j )] j1 α e mon. crescente α(v j ) α(y j ) (3.78) ε < 8Mm < m ε 8 M m + m ε 8 M m ε 4 M, + δ j 2 < δ j, m [α(y j ) α(u j )] j1 α e mon. crescente α(y j ) α(u j ) (3.78) ε < 8 M m (3.82)

41 3.2. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 41 mostrndo (3.77). Observemos tmbem que, pr cd j {1, 2,, m}, por construc~o, temos que: y j (3.80) (u j, v j ) e ssim teremos: Alem disso, temos que o conjunto m E (u j, v j ) j1 K. [, b] \ m (u j, v j ) (3.83) ser um subconjunto compcto de [, b]. Desss dus observc~oes, segue que restric~o d func~o f o conjunto K ser uniformemente contnu em K, ou sej, existir η > 0, de modo que, pr s, t K, stisfzendo: j1 s t < η, deveremos ter f(s) f(t) < Vle observr que não temos, necessrimente: v j u j+1 < δ. Devido este fto, considerremos um prtic~o P. { x o, x 1,, x n 1, x n b} construd d seguinte form (vej gur bixo): ε 2 [α(b) α()]. (3.84) (i) pr cd j {1, 2,, m}, deveremos ter u j P ; (ii) pr cd j {1, 2,, m}, deveremos ter v j P ; (iii) pr cd j {1, 2,, m}, deveremos ter (u j, v j ) P ; (iv) se deveremos ter x i 1 u j, pr todo j {1, 2,, m}, x i < η.

42 42 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES A gur bixo ilustr situc~o cim: pode ser mior que δ x o x io u 1 y 1 x io+1 v 1 x i o+2 b x n < δ func~o f e desconnu Denotemos por I. {i {1, 2,, n} ; x i 1 u j, pr todo j {1, 2,, m}}. Notemos que, se i I, devido (i), (ii) e (iii), deveremos ter (vej (3.83)): Pr i {1, 2,, n}, denotemos por: [x i 1, x i ] K. (3.85). m i inf f(x) e M. i sup f(x). x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ] Como, pr cd i I, func~o f e contnu em [x i 1, x i ] (pois [x i 1, x i ] K, por (3.83)), segue que existem s i, t i [x i 1, x i ], tis que Observemos que, pr cd i I, segue que f(t i ) m i e f(s i ) M i. (3.86) f(t i ) inf x [x i 1,x i ] f(x) Por outro ldo, pr cd i {1, 2,, n}, teremos: M i m i sup f(x) f(s i ). (3.87) x [x i 1,x i ] sup f(x) inf f(x) x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ] 2 sup f(x) 2 M, x [,b] ou sej, M i m i 2 M. (3.88) Notemos tmbem que, pr i I, d continuidde uniforme d func~o f em [x i 1, x i ] K (isto e, de (3.84)), do fto que s i, t i [x i 1, x i ] e x i < η (3.89)

43 3.2. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 43 (ver (iv)), segue que Logo U(P, f, α) L(P, f, α) M i m i f(s i ) f(t i ) f(s i ) (3.87) f(t i ) f(s i ) f(t i ) (3.85),(3.89) e (3.84) < n M i α i i1 n m i α i i1 n (M i m i ) α i i1 i {1,,m}\I 2 M 2 M (M i m i ) α i + i I i {1,,m}\I i {1,,m}\I (3.88) 2M α i + α(x i ) α(x i 1 ) ε 2 [α(b) α()]. (3.90) (M i m i ) (3.90) ε < 2 [α(b) α()] [ α(x i ) α(x i 1 ) ] + x i 1 u ji e x i v ji α(v ji ) α(u ji ) α i ε α i 2 [α(b) α()] 2 M ε [α(v j ) α(u j )] + 2[α(b) α()] j {1,,m} (3.77) < ε 4M < 2 M ε 4 M + ε [α(b) α()] 2 [α(b) α()] i I ε 2[α(b) α()] n α i i1 α(b) α() n α i i1 α(b) α() ε 2 + ε 2 ε. (3.91) Portnto, pelo Corolrio (3.2.1), segue que f R(α) em [, b], completndo demonstrc~o do resultdo. Observção Como consequ^enci do Teorem (3.2.5) cim, temos que tod func~o f : [, b] R que e seccionlmente contnu em [, b], pertencer R em [, b]. De fto, pois neste cso temos que func~o α : [, b] R ser dd por α(x). x, pr cd x [, b], que e um func~o monoton crescente e contnu em [, b], em prticulr, ser contnu nos pontos de descontinuidde d func~o f em [, b] (que s~o em numero nito, pois func~o f e seccionlmente contnu em [, b]).

44 44 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES Temos tmbem o: Teorem Suponhmos que f R(α) em [, b], m, M R s~o tis que m f(x) M, pr cd x [, b], e func~o ϕ : [m, M] R e um func~o contnu em [m, M]. Consideremos h : [, b] R func~o dd por Ent~o h R(α) em [, b]. h(x). (ϕ f)(x), pr cd x [, b]. Demonstrção: 5. ul Se func~o ϕ for identidmente nul, nd teremos fzer. Logo podemos supor, sem perd de generlidde, que func~o ϕ n~o e identicmente nul em [m, M]. Ddo ε > 0, como func~o ϕ e contnu em [m, M], que e um subconjunto compcto em R, segue que el ser um func~o limitd e uniformemente contnu em [m, M], ou sej, existir K. sup y [m,m] ϕ(y) > 0 (3.92) e exitir δ > 0, que podemos supor stisfzer, 0 < δ < de modo que, pr s, t [m, M] stisfzendo: s t < δ, teremos ϕ(s) ϕ(t) < Como f R(α) em [, b], existir um prtic~o de modo que ε α(b) α() + 1, (3.93) P. { x o, x 1,, x n 1, x n b}, ε α(b) α() + 1. (3.94) U(P, f, α) L(P, f, α) < δ2 2 K. (3.95) Pr cd i {1, 2,, n}, denotemos por:. m i inf f(x) e. M i sup f(x), x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ] m i. inf h(x) e M i x [x i 1,x i ]. sup h(x), x [x i 1,x i ] A. {i {1, 2,, n} ; 0 M i m i < δ}, (3.96) B. {i {1, 2,, n} ; M i m i δ}. (3.97) Observemos que A B.

45 3.2. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 45 Notemos que, pr cd i {1, 2, n}, teremos: M i m i sup h(x) x [x i 1,x i ] sup ϕ[f(x)] x [x i 1,x i ] m i f(x) M i, pr x [x i 1,x i ] inf x [x i 1,x i ] h(x) inf ϕ[f(x)] x [x i 1,x i ] m i f(x) M i, pr x [x i 1,x i ] Logo, segue que, pr cd i A, teremos: 0 M i m i (3.98),(3.99) sup ϕ(y) y [m i,m i ] Notemos tmbem que, pr cd y, z [m i, M i ], como 0 M i m i < δ (pois i A, vej (3.96)), e, de (3.94), temos que y z < δ, que implicr em ε α(b) α() + 1 sup ϕ(y) (3.98) y [m i,m i ] inf ϕ(y). (3.99) y [m i,m i ] inf y [m i,m i ] ϕ(y). < ϕ(y) ϕ(z) < ε α(b) α() + 1. Tomndo-se o supremo, pr y [m i, M i ], e o nmo, pr z [m i, M i ], n desiguldde cim, obteremos (vej (3.98) e (3.99))) 0 M i m i pr cd i A. Por outro ldo, pr i B, teremos Logo, pr i B, teremos: δ i B ε α(b) α() + 1, (3.100) 0 M i m i M i + m i (3.92) K + K 2K. (3.101) i B (3.97) δ M i m i α i n M i α i i1 (M i m i ) α i i B n m i α i i1 U(P, f, α) L(P, f, α) (3.95) < δ2 2 K,

46 46 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES e como δ > 0, teremos: Portnto U(P, h, α) L(P, h, α) α i < i B n M i α i i1 δ 2 K. (3.102) n m i α i i1 n (M i m i ) α i i1 i A < (M i m i ) (3.100) < ε α(b) α()+1 ε α(b) α() + 1 ε α(b) α() + 1 α i + (M i m i ) α i i B i A n i1 α i (3.101) 2 K α i +2 K α i i B n α i i1 ε [α(b) α()] α(b) α() ε. α(b) α() δ +2 K δ 2 K (3.93) ε < α(b) α()+1 (3.102) δ < 2 K Portnto, pelo Corolrio (3.2.1), segue que h R(α) em [, b], completndo demonstrc~o do resultdo. 3.3 Proprieddes d integrl de Riemnn-Stieltjes Temos s seguintes proprieddes bsics d integrl de Riemnn-Stieltjes, em um intervlo fechdo e limitdo [, b] de R: Proposição Sejm f, g : [, b] R func~oes limitds em [, b], α, β : [, b] R func~oes monotons crescentes em [, b]. Com isto teremos: 1. Se f, g R(α) em [, b] ent~o (f + g) R(α) em [, b]. Alem disso, (f + g) dα f dα + g dα. 2. Se c R e f R(α) em [, b] ent~o (c f) R(α) em [, b].

47 3.3. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 47 Alem disso (c f) dα c f dα. 3. f, g R(α) em [, b] e tl que f(x) g(x), pr cd x [, b], ent~o f dα g dα. 4. Se f R(α) em [, b] e c (, b) ent~o f R(α) em [, c] e em [c, b]. Alem disso 5. Se f R(α) em [, b] e f dα c f dα + c f dα. f(x) M, pr cd x [, b], ent~o f dα M [α(b) α()]. 6. Se f R(α) e f R(β) em [, b] ent~o f R(α + β) em [, b]. Alem disso f d(α + β) f dα + 7. Se f R(α) e c > 0 ent~o f R(c α) em [, b]. Alem disso Demonstrção: De 1.: Se f d(c α) c f dα. f dβ. P. { x o, x 1,, x n 1, x n b} e um prtic~o do intervlo [, b], denotremos por:. m i inf f(x),. M i sup f(x), x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ]. n i inf g(x),. N i sup g(x), x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ] m i. inf (f + g)(x), M i x [x i 1,x i ]. sup (f + g)(x). x [x i 1,x i ]

48 48 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES Observemos que m i M i inf (f + g)(x) x [x i 1,x i ] inf f(x) + inf g(x) x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ] m i + n i, (3.103) sup (f + g)(x) x [x i 1,x i ] sup f(x) + sup g(x) x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ] M i + N i. (3.104) Observemos que, ddo ε > 0, como f, g R(α) em [, b], pelo Corolrio (3.2.1), segue que existem prtic~oes P f, P g P, do intervlo [, b], tis que U(P f, f, α) L(P f, f, α) < ε 2, (3.105) U(P g, g, α) L(P g, g, α) < ε 2. (3.106) Observemos tmbem, que: L(P, f, α) + L(P, g, α) n m i α i + i1 n n i α i i1 n (m i + n i ) α i i1 (3.103) n m i α i i1 L(P, f + g, α), (3.107) n n U(P, f, α) + U(P, g, α) M i α i + N i α i i1 i1 n (M i + N i ) α i i1 (3.104) n M i α i i1 U(P, f + g, α) (3.108) Denotemos por P, o renmento comum ds prtic~oes P f e P g, do intervlo [, b], ou sej, P. Pf P g.

49 3.3. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 49 Logo U(P, f + g, α) L(P, f + g, α) (3.108) e (3.107) [L(P, f, α) + L(P, g, α)] [U(P, f, α) + U(P, g, α)] [U(P, f, α) L(P, f, α)] + [U(P, g, α) L(P, g, α)] P f,p g P, (3.35) e (3.36) ε 2 + ε 2 ε. Portnto, pelo Corolrio (3.2.1), segue que [U(P f, f, α) L(P f, f, α)] (3.105) < ε 2 (f + g) R(α) em [, b]. + [U(P g, g, α) L(P g, g, α)] (3.106) < ε 2 Notemos tmbem que, como f, g R(α) em [, b], segue d denic~o de nmo que, podemos encontrr dus prtic~oes P f, P g P tis que U(P f, f, α) < U(P g, g, α) < f dα inf P P U(P,f,α) g dα inf P P U(P,g,α) Considerndo o renmento comum ests dus prtic~oes, isto e, teremos Logo P. Pf P g, U(P, f, α) P f P e (3.36) U(P f, f, α) (3.109) < U(P, g, α) P g P e (3.36) U(P g, g, α) (3.110) < (f + g) dα U(P, f + g, α) (3.108) + ε 2, (3.109) + ε 2. (3.110) f dα + ε 2, (3.111) g dα + ε 2. (3.112) U(P, f, α) + U(P, g, α) ( f dα + ε ) ( + g dα + ε ) 2 2 (3.111) e (3.112) f dα + g dα + ε,

50 50 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES pr todo ε > 0. Assim teremos: (f + g) dα f dα + g dα. (3.113) Por outro ldo, como f, g R(α) em [, b], segue d denic~o de supremo que, podemos encontrr dus prtic~oes P f, P g P tis que L(P f, f, α) > f dα sup P P L(P,f,α) ε 2 e L(P g, g, α) > g dα sup P P L(P,g,α) ε 2. (3.114) Considerndo o renmento comum ests dus prtic~oes, isto e, teremos P. Pf P g, Logo L(P, f, α) (3.35) L(P f, f, α) (3.114) > L(P, g, α) (3.35) L(P g, g, α) (3.114) > f dα ε 2, (3.115) g dα ε 2. (3.116) pr todo ε > 0. Assim, segue que (f + g) dα L(P, (f + g), α) (3.107) L(P, f, α) + L(P, g, α) ( f dα ε ) ( + g dα ε ) 2 2 (3.115) e (3.116) > f dα + (f + g) dα Portnto, de (3.113) e (3.117), segue que (f + g) dα g dα ε. f dα + f dα + g dα. (3.117) g dα,

51 3.3. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 51 completndo demonstrc~o do item 1.. Deixremos elborc~o ds demonstrc~oes dos itens 2., 3., 4., 5., 6. e 7., como exerccio pr o leitor. Exercício: +0.5 Como consequ^enci temos o: Corolário Se f, g R(α) em [, b] ent~o: 1. (f g) R(α) em [, b]. 2. f R(α) em [, b]. Alem disso, teremos f dα f dα. (3.118) Demonstrção: De 1.: Consideremos ϕ : R R func~o dd por ϕ(t). t 2, pr cd t R. Como func~o ϕ e contnu em R e f R(α) em [, b] segue, do Teorem (3.2.6), que func~o h : [, b] R dd por pertencer R(α) em [, b], ou sej, Observemos tmbem, que h(x). (ϕ f)(x), pr cd x [, b], f 2 (x) f 2 R(α) em [, b]. (3.119) f g 1 4 [ (f + g) 2 (f g) 2]. (3.120) Como f, g R(α) em [, b], segue d Proposic~o (3.3.1) itens 1. e 2., que (f + g), (f g) R(α) em [, b]. Logo, de (3.119), segue que (f + g) 2, (f g) 2 R(α) em [, b]. e ssim, de (3.120) e d Proposic~o (3.3.1) itens 1. e 2., teremos que f g R(α) em [, b], completndo demonstrc~o do item 1..

52 52 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES De 2.: Consideremos ϕ : R R func~o dd por ϕ(t). t, pr cd t R. Como func~o ϕ e contnu em R e f R(α) em [, b] segue, do Teorem (3.2.6), que func~o h : [, b] R dd por pertencer R(α) em [, b], ou sej, Alem disso, se considerrmos h(x). (ϕ f)(x), pr cd x [, b], f(x) f R(α) em [, b]. c 1 ou c 1, de modo que segue que c f dα c f dα f dα 0, Prop. (3.3.1) item 2. c f f e Prop. (3.3.1) item 3. f dα, (c f) dα completndo demonstrc~o do item 2. e do resultdo. A seguir considerremos um exemplo importnte, sber: Definição A func~o I : R R dd por I(x). { 0, pr cd x (, 0] 1, pr cd x (0, ), ser denomind função degru unitário. A representc~o geometric do grco d func~o I e dd pel gur bixo.

53 3.3. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 53 1 x Com isto temos Proposição Sejm s (, b) e f : [, b] R um func~o limitd em [, b] e contnu em s. Consideremos func~o α : R R dd por onde func~o I e func~o degru unitrio. Ent~o f R(α) em [, b] e α(x). I(x s), pr cd x R, (3.121) f dα f(s). (3.122) Demonstrção: A gur bixo nos fornece representc~o geometric do grco d func~o α: 1 s x Observemos que func~o α e monoton crescente em R, em prticulr em [, b]. Consideremos P o. { xo, x 1, x 2, x 3 b}, seguinte prtic~o do intervlo [, b]: x o., x1. s, x3. b e x2 (x 1, x 3 ) (s, b).

54 54 CAPITULO 3. A INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES x o x 1 s x 2 x3 b Pr cd i {1, 2, 3}, denmos Com isto teremos: U(P o, f, α). m i inf f(x) e M. i sup f(x). x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ] 3 M i α i i1 M 1 [α( x 1 ) α( x o )] + M 2 [α(x 2 ) α( x 1 )] + M 3 [α( x 3 ) α(x 2 )] s s b M 1 [ α(s) α() ] + M 2 [α(x 2 ) α(s) ] + M 3 [α(b) α(x 2 )] (3.121) 0 (3.121) 0 (3.121) 1 (3.121) 0 (3.121) 1 (3.121) 1 M 2 sup f(x). (3.123) x [x 1,x 2 ] De modo semelhnte, teremos: L(P o, f, α) 3 m i α i i1 m 1 [α( x 1 ) α( x o )] + m 2 [α(x 2 ) α( x 1 )] + m 3 [α( x 3 ) α(x 2 )] s s b m 1 [ α(s) α() ] + m 2 [α(x 2 ) α(s) ] + m 3 [α(b) α(x 2 )] (3.121) 0 (3.121) 0 (3.121) 1 (3.121) 0 (3.121) 1 (3.121) 1 m 2 inf f(x). (3.124) x [x 1,x 2 ] Notemos que, como func~o f e contnu em s, qundo x 2 s x 1, segue que M 2 sup f(x) e m 2 inf f(x) f(s). (3.125) x [x 1, x 2 ] x [x 1, x 2 ] [s,x 2 ] [s,x 2 ] A vericc~o deste fto ser deixd como exerccio pr o leitor.

55 3.3. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES 55 Logo ou ind, m 2 L(P o, f, α) (3.124) m 2 sup L(P, f, α) P P } {{ } f dα (3.23) inf f(x) m 2 x [x 1, x 2 ] [s,x 2 ] inf U(P, f, α) P P f dα U(P o, f, α) M 2, (3.126) (3.123) M 2 (3.126) f dα f dα (3.126) M 2 sup f(x), (3.127) x [x 1, x 2 ] [s,x 2 ] pr cd Fzendo isto e, considerndo prtic~oes x 2 (x 1, x 3 ) (s, b). x 2 s +, P {x o, x 1 s, x 2,, x n b}, de modo que x 2 s +, ns desigulddes (3.127) e utilizndo (3.125), obteremos f(s) f dα f dα f(s), ssim, f(s) f dα f dα,